《向量数量积的坐标运算与度量公式》教案1

《向量数量积的坐标运算和度量公式》教案
复复习提问 提问1：如何用向量的长度、夹角反映数量积？又如何用数量积、长度来反映夹角？向量的运算律有哪些？
由学生口答，教师板书向量数量积的定义及向量的运算律公式
为数量积的坐标运算及度量公式的推导证明打好理论基础
练习2：已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a －b 与
a 垂直，求a 与
b 的夹角.
练习3：设i ，j 为正交单位向量，
则
①i ·i =_______ ② j ·j =________
③ i ·j =________
学生板书，教师分析，引导学生复习前课重点……两个向量的数量积的运算性质
引导入新
课 及公式推
导 向量的坐标表示，为我们解决向量
的加、减、数乘向量带来了极大的方便，那么向量的坐标表示，对数量积的表达方式会带来哪些变化呢？
问题1 如果已知a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2) ，
怎样用a 、b 的坐标表示a ·b 呢？
推广1：设a =(x , y )，则|a |2
=x 2
+y
2
或22||y x a +=ρ
(长度公式)
推广2：设A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2)，则
(距
离公式)
推广3：
c o s θ
=|
|||b a b
a ⋅⋅ρ
ρρ2
2
222
1
2
12121y x y x y y x x +++= 学生独立进行每个公式的证明，
教师个别指导
教师小结：
（1）两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即
b a ϖ
ρ⋅2121y y x x +=
(2) 向量的长度、距离和夹角公式
在充分复习的基础上，
培养学生用旧知解
决新问题的能力，独立思考探索的意识
（πθ≤≤0）(夹角公式)
问题2 内积为何值时说明两个向量是垂直的？
a ⊥
b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0
教师小结：向量垂直的充要条件
设),(11y x a =ρ
，),(22y x b =ρ，则b a ϖ
ρ⊥ ⇔02121=+y y x x
应应用举例
例1 设a = (3, -1)，b = (1, -2)，
求a ⋅b ，|a |，|b |，和<a , b >
教师演示第一问，强调先写公式，后计算，学生完成全题。

巩固向量数量积的坐标运算和度量公式的基本应用
例2 已知A (1, 2)，B (2, 3)，C (-2,
5)，
求证：△ABC 是直角三角形
（1）教师引导，师生共同完成。

(2)教师提问：该题还有其他证明方法吗？
（提示可计算
、
、
，然后用勾股定理验证）
运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决
问题；培养学生灵活运用所学公式解决问题的能力
例3 已知A （1，2），B （3，4），C （5，
0），求∠BAC 的值。

教师引导，师生共同完成。

应用夹角的坐标公式，揭示向量与三角的联系,训练学生的运算能力
例4 已知a =(4,2) ，求与a 垂直的
单位向量
教师讲解，学生归纳方法
课
练习A 1（1），（2）
学生独立完成，教师指导 巩固
课堂练习
新知
归归纳小结
1、向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式
（1）用坐标表示的数量积公式，常用来计算两向量的夹角. （2）两向量垂直时，在表达方式上有一定技巧，如
与
总是垂直的。

2、平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用。

师生共同完成 使学生养成归纳总结的习惯，主动独立思考问题的能力
布布置作业
练习A 1（3）（4）,2,3 练习B 1
学生独立完成 巩固新知。