10-3高等数学下第十章第三节复习 41页PPT文档
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高等数学电子课件第十章 10.4
第十章 无穷级数
例8：将函数 f ( x) x 1 4 x
第一节 数项级数的概念与性质
展开成x=1的幂级数．
解： 1 1 4x 3(x1)
3(1
1 x
1)
,
3
1 3 [ 1 x 3 1 (x 3 1 )2 (x 3 1 )n ]x13
x1(x1) 1
4x
4x
1 3 (x 1 ) (x 3 2 1 )2 (x 3 3 1 )3 (x 3 n 1 )n x13
❖直接展开法的步骤(麦克劳林级数)
第一步 求出f (x)的各阶导数:
f (x), f (x), , f (n)(x), ;
第二步 求函数及其各阶导数在x0 处的值:
f(0), f (0), f (0), , f (n)( 0), ;
第三步 写出幂级数
f(0 )f(0 )x f(0 )x 2 L f(n )(0 )x n L
数, 则在该邻域内有
f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f2(!x0)(xx0)2 f(nn )(!x0)(xx0)nRn(x)
其中 Rn(x)f(n (n 1)1()!)(xx0)n(1介于x与x0之间). 这个公式
称为泰勒公式,其中的Rn(x)称为拉格朗日型余项.
第十章 无穷级数
第一节 数项级数的概念与性质
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换,四
则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展
开式.
例如 co x s(sx i)n
si x n x 1x 3 1 x 5 ( 1 )n x 2 n 1
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
co x 1 s1x 21x 4 ( 1 )nx 2 n
高等数学与工程数学课件第十章数理统计基础.ppt
14.70，15.21，14.90，14.91，15.32，15.32， 假设滚珠直径总体分布的方差为0.05，问能否认为这一批滚珠
的平均直径为15.25 mm? ( 0.05) 解 提出原假设： 0 15.25，
由于方差已知，故选统计量
U X 0 ~ N (0,1) n
由P{|U | } P{U } P{U } 1 () () 2 2 () 0.05 .
由P{ 2
2}
2
0.025， 2
~
2 (15)，查表得2
27.5，
由P{ 2
1}
1
2
0.975， 2
~
2 (15)，查表得1
6.26.
故 2的95%的置信区间为
15
0.00244，15 27.5
0.00244 6.26
即 [0.0013，0.0058] .
二、假设检验的方法
假设检验的一般步骤如下： (1) 提出原假设 H0，明确所要检验的对象， (2) 构造合适的统计量 ， (3) 求出临界值，确定拒绝域，
6
9.05.
S2 1 6 5 i1
2
Xi X
1 0.052 0.252 0.052 0.252 0.152 0.152
5
0.035.
返回
4、解： X N u， 2 且已知 2
选取统计量
U
X
n
该统计量服从标准正态分布，即：U N 0，1.
ห้องสมุดไป่ตู้
返回
机变量
X1，X
，
2
，X n 的函数称为样本函数，若样本函
数不含未知参数且是连续的，我们称之为统计量.(不含
未知参数的样本函数叫统计量.)
的平均直径为15.25 mm? ( 0.05) 解 提出原假设： 0 15.25，
由于方差已知，故选统计量
U X 0 ~ N (0,1) n
由P{|U | } P{U } P{U } 1 () () 2 2 () 0.05 .
由P{ 2
2}
2
0.025， 2
~
2 (15)，查表得2
27.5，
由P{ 2
1}
1
2
0.975， 2
~
2 (15)，查表得1
6.26.
故 2的95%的置信区间为
15
0.00244，15 27.5
0.00244 6.26
即 [0.0013，0.0058] .
二、假设检验的方法
假设检验的一般步骤如下： (1) 提出原假设 H0，明确所要检验的对象， (2) 构造合适的统计量 ， (3) 求出临界值，确定拒绝域，
6
9.05.
S2 1 6 5 i1
2
Xi X
1 0.052 0.252 0.052 0.252 0.152 0.152
5
0.035.
返回
4、解： X N u， 2 且已知 2
选取统计量
U
X
n
该统计量服从标准正态分布，即：U N 0，1.
ห้องสมุดไป่ตู้
返回
机变量
X1，X
，
2
，X n 的函数称为样本函数，若样本函
数不含未知参数且是连续的，我们称之为统计量.(不含
未知参数的样本函数叫统计量.)
《高数课总复习下册》课件
2
例题二
解析：使用方法与策略对复杂的多项式函数和向量的题目进行解析，培养学生的 分析问题和解题能力。
3
例题三
解析：通过计算曲线积分和曲面积分的题目，加深对它们的理解，提高应用技能。
解题技巧和策略
• 理清思路，先抓住问题的关键点。 • 多思考特殊情况和边界条件。 • 熟练掌握公式和计算方法。 • 通过多做习题提高解题速度和准确性。 • 培养逻辑思维和数学建模能力。 • 积极讨论和合作，共同解决问题。
第四章：无穷级数
研讨数列极限、函数连续性和可积性；学习无穷 级数的收敛性和求和方法。
重要知识点回顾
一元函数微分 学
多元函数微分 学
重积分与曲线 积分
1. 极限与连续 2. 导数与微分 3. 函数的极值与最值 4. 高阶导数与泰
勒公式
1. 偏导数与全微分 2. 多元函数的极
值与条件极值 3. 隐函数与参数方程 4. 方向导数和梯度
《高数课总复习下册》 PPT课件
本PPT课件旨在对《高数课总复习下册》进行全面复习，提供课程目标、大 纲、重要知识点回顾、典型例题解析、解题技巧与策略、应试技巧与注意事 项，以及总结和复习策略。
课程目标
1 深入理解知识点
帮助学生全面理解下册的重要数学知识点，掌握核心概念。
2 提高解题能力
培养学生的解题思维和分析问题的能力，增强解决实际问题的能力。
1. 重积分的概念 和性质
2. 累次积分的计 算方法
3. 曲线积分的概 念和计算方法
4. 曲面积分的概 念和计算方法
无穷级数
1. 数列的极限和 收敛性
2. 函数的连续性 和可积性
3. 幂级数和傅里 叶级数
4. 泰勒级数和麦 克劳林级数
《高等数学(下册)》课件 高等数学 第10章
对于正态分布总体（对其他分布的总体，当样本容量 ≥30 时，可近似看成正态分布），如果已知总体标准差为σ ，样本 均值为 X ，则在置信度为 1 α 下，总体均值 μ 的置信区间为
(X
σ
n
U
α 2
，X
σ
n
U
α 2
)
〔1〕
其中，U α 为标准正态分布的双侧 a分位点， n为样本容量。
2
在上面的置信区间中，X 为点估计值。置信区间实际上是以X
图10-1
称满足条件
P(| X | U α ) α
2
的点 U α 为标准正态分布的双侧 a
2
分位点或双侧临界值，简称双a
点，其几何意义如图10-2所示。
图10-2
在统计中， Ua 可直接根据式（8）查书后附录三（正态分布
表）求得；U α
2
可由
P( X
Uα)
2
α 2
查表求得。
例1 某种灯泡的寿命从正态分布，总体均值为200，总体标准差为 40，从该总体中抽取一个容量为20的简单随机样本，求这一样本 的均值介于190~210 的概率。
X
2 2
X
2 3
...
X
2 n
式右端包含独
立变量的个数。
χ 2 分布的概率密度函数为
f
( y)
2
n 2
1
n 2
n 1 y
y2 e 2
，y
0
0 ，
y0
其图形如图10-3所示。
图10-3
由于用 χ2分布的概率密度计算较为困难，对不同的自由度 n 及不同的数 α (0 α 1) ，书后附了 χ2分布表（附录四），类似于
(X
σ
n
U
α 2
，X
σ
n
U
α 2
)
〔1〕
其中，U α 为标准正态分布的双侧 a分位点， n为样本容量。
2
在上面的置信区间中，X 为点估计值。置信区间实际上是以X
图10-1
称满足条件
P(| X | U α ) α
2
的点 U α 为标准正态分布的双侧 a
2
分位点或双侧临界值，简称双a
点，其几何意义如图10-2所示。
图10-2
在统计中， Ua 可直接根据式（8）查书后附录三（正态分布
表）求得；U α
2
可由
P( X
Uα)
2
α 2
查表求得。
例1 某种灯泡的寿命从正态分布，总体均值为200，总体标准差为 40，从该总体中抽取一个容量为20的简单随机样本，求这一样本 的均值介于190~210 的概率。
X
2 2
X
2 3
...
X
2 n
式右端包含独
立变量的个数。
χ 2 分布的概率密度函数为
f
( y)
2
n 2
1
n 2
n 1 y
y2 e 2
，y
0
0 ，
y0
其图形如图10-3所示。
图10-3
由于用 χ2分布的概率密度计算较为困难，对不同的自由度 n 及不同的数 α (0 α 1) ，书后附了 χ2分布表（附录四），类似于
高等数学下册第十章课件.ppt
则
(2) 若D为Y -型区域
则
说明:
即先对y后对x积分
即先对x后对y积分
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(4) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
(3) 若积分区域既是X-型区域又是Y -型区域
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
记作
第五节 三重积分（一）
利用直角坐标计算三重积分
方法1 投影法 (“先一后二” )
如图，
第五节 三重积分（一）
划分：
记作
第五节 三重积分（一）
化为三次积分
区域
方法2 截面法 (“先二后一”)
第五节 三重积分（一）
记作
于是
注：方法一和方法二的可看作由上下两个曲面所围成.即平行于z轴且穿过内部的直线与的边界曲面相交不多于两点.
直角坐标系
柱面坐标系
球面坐标系
说明:
三重积分类似于二重积分也可以利用对称性计算.
变量可分离.
围成 ;
第六节 三重积分（二）
例 求
解 原式
第六节 三重积分（二）
几种的图形
第六节 三重积分（二）
三重积分的应用 1.物体的质心
设物体占有空间域 ,
有连续密度函数
则
设空间有n个质点,
其质量分别
例 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1 将D看作X-型区域, 则
解法2 将D看作Y-型区域, 则
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 计算
其中D 是抛物线
(2) 若D为Y -型区域
则
说明:
即先对y后对x积分
即先对x后对y积分
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(4) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
(3) 若积分区域既是X-型区域又是Y -型区域
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
记作
第五节 三重积分（一）
利用直角坐标计算三重积分
方法1 投影法 (“先一后二” )
如图，
第五节 三重积分（一）
划分：
记作
第五节 三重积分（一）
化为三次积分
区域
方法2 截面法 (“先二后一”)
第五节 三重积分（一）
记作
于是
注：方法一和方法二的可看作由上下两个曲面所围成.即平行于z轴且穿过内部的直线与的边界曲面相交不多于两点.
直角坐标系
柱面坐标系
球面坐标系
说明:
三重积分类似于二重积分也可以利用对称性计算.
变量可分离.
围成 ;
第六节 三重积分（二）
例 求
解 原式
第六节 三重积分（二）
几种的图形
第六节 三重积分（二）
三重积分的应用 1.物体的质心
设物体占有空间域 ,
有连续密度函数
则
设空间有n个质点,
其质量分别
例 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1 将D看作X-型区域, 则
解法2 将D看作Y-型区域, 则
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 计算
其中D 是抛物线
高等数学 第十章 电子课件
一、常数项级数的概念
（3）同样地，以正十二边形的每一边为底，在弓形内作顶点在圆上的十二个等腰三角形，设 其面积之和为 u3 ，则 u1 u2 u3 （圆内接正二十四边形的面积）仍是 S 的一个近似值，其近似程度 要比 u1 u2 好．
（4）如此继续下去，圆内接正 3 2n 边形的面积为 u1 u2 u3 un ， 其十分逼近圆的面积，当 n 时，该和式的极限就是所要求的圆面积 S ，也就是说圆面积 S 是无穷多个数的累加，即 S u1 u2 u3 un ．
一、函数项级数的概念
函数项级数（10-1）收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域．
在收敛域上，函数项级数（10-1）的和是 x 的函数 s(x) ，称 s(x) 为函数项级数（10-1）的和
函数，并写成 s(x) u1(x) u2 (x) u3(x) un (x) ．
若函数项级数（10-1）前
n
项的部分和记作
sn
(x)
，则在收敛域上有
lim
n
sn
(
x)
s(
x)
．
记
rn
(
x)
s(
x)
sn
(x)
，称
rn
(
x)
为函数项级数（10-1）的余项，并有
lim
n
rn
(
x)
0
．
二、幂级数及其敛散性
幂级数是一种特殊的函数项级数，其各项都是常数乘幂函数，它的形式是
an xn a0 a1x an xn ，
n0
（10-2）
其中 a0 ，a1 ， ，an ， 都是常数，称为幂级数的系数， an xn 称为幂级数的通项．例如，
高等数学教学课件-第十章.10.1-10.2 53页PPT文档
m f(x,y)dM
D
（二重积分估值不等式）
例21 估计I
d
的值，
D x2y22xy16
其中D：0x1, 0y2.
解
f(x,y)
1, (xy)216
区 域 面 积 2 ,
在D上f (x, y)的最大值 M1 (xy0) 4
f(x ,y )的 最 小 值 m 1 1 (x1 ,y2) 3242 5
10
积分性质5
200I200 即: 1.96 I 2 102 100
P137 :
5、利用二重积分性质估计下列积分的值：
（1）I xy( x y )d ,其中D : 0 x 1,0 y 1;
D
（2）I sin2 x sin2 yd ,其中D : 0 x ,0 y ;
1
所围成区域.
o
解： 由已知得积分区域D ：
xy1x,0y,0.
D 1x
xy1
从而 (xy)2(xy)3
(xy)2d(xy)3d
D
D
性质６ 设 M 、 m 分 别 是 f(x,y)在 闭 区 域 D上 的
最 大 值 和 最 小 值 ， 为 D的 面 积 ， 则
解: 积分域由两部分组成:
D1
:
0
y
1 2
0x
x2 2
,
D2
:0y 8x2 2x2 2
将 DD1D2视为Y–型区域 , 则
D : 2yx 8y2
0y2
y x2y2 8
2
y
1 2
x2 D
1
D
2
o 22 2 x
D
（二重积分估值不等式）
例21 估计I
d
的值，
D x2y22xy16
其中D：0x1, 0y2.
解
f(x,y)
1, (xy)216
区 域 面 积 2 ,
在D上f (x, y)的最大值 M1 (xy0) 4
f(x ,y )的 最 小 值 m 1 1 (x1 ,y2) 3242 5
10
积分性质5
200I200 即: 1.96 I 2 102 100
P137 :
5、利用二重积分性质估计下列积分的值：
（1）I xy( x y )d ,其中D : 0 x 1,0 y 1;
D
（2）I sin2 x sin2 yd ,其中D : 0 x ,0 y ;
1
所围成区域.
o
解： 由已知得积分区域D ：
xy1x,0y,0.
D 1x
xy1
从而 (xy)2(xy)3
(xy)2d(xy)3d
D
D
性质６ 设 M 、 m 分 别 是 f(x,y)在 闭 区 域 D上 的
最 大 值 和 最 小 值 ， 为 D的 面 积 ， 则
解: 积分域由两部分组成:
D1
:
0
y
1 2
0x
x2 2
,
D2
:0y 8x2 2x2 2
将 DD1D2视为Y–型区域 , 则
D : 2yx 8y2
0y2
y x2y2 8
2
y
1 2
x2 D
1
D
2
o 22 2 x
《高等数学下》课件
教学目标
1 掌握高等数学下各个重要知识点的概念和性质。 2 培养解决实际问题的数学建模和分析能力。 3 提高逻辑思维和分析问题的能力。
课程安排和考核
1
课程安排
每周3学时
2
考核方式
闭卷考试：60%；实践项目：40%
3
考核内容
课堂作业、实验报告、小组项目等
学习策略
理论与实践相结合
通过理论学习和实际应用相结合的方式，提高学生对数学知识的理解和运用能力。
积极参与课堂讨论
鼓励学生积极参与课堂讨论，提问和解答问题，加深对数学概念和问题的理解。
多样化的学习资源
为学生提供多样化的学习资源，如教材、习题集、在线教学平台等，帮助学生更好地掌握课 程内容。
课程资源
教材与参考书
《高等数学下》教材、相关参考 书籍
在线学习平台
学校提供的在线学习平台，包括 课程资料、习题库、讨论区等。
主要包括多元函数微分学、重积分与曲线积分、无 穷级数等内容，是进一步学习与应用高等数学的关 键。
高等数学下的主要内容
多元函数微分学
学习多元函数的概念、极限、连续性、偏导数等重要概念和性质。
重积分与曲线积分
掌握重积分和曲线积分的基本定义和计算方法，理解曲线积分在工程、物理等领域的应用。
无穷级数
深入了解级数的概念、收敛性、敛散判别法等基本概念，学习级数计算和应用技巧。
《高等数学下》PPT课件
本课件是关于《高等数学下》课程的完整介绍和内容概要。通过本课件，您 将了解到该课程的教学目标、课程安排和考核、学习策略以及课程资源等重 要信息。
课程介绍
课程背景
《高等数学下》是继《高等数学上》之后的一门高 等数学课程，是深化和扩展大学生的数学基础能力 的重要课程之一。
高数下册总复习知识点.pptx
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 ,
0
(取 x为参数)
i jk
取T Fx Fy Fz
切线方程为
Gx Gy Gz M
x x0 y y0 z z0 ,
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz M Gz Gx M Gx Gy M
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
M
(x
x0 )
它们距离为
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
2、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式 a b axbx a yby azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz
ax2
函数连续
函数可导
有极限
函数可微 偏导数连续
4、多元复合函数求导法则
中间变量均为一元函数的情形
定理1 若函数
在点t处可导，z f (u, v)
在点 处偏导连续, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z du z dv dt u dt v dt
z
u v
1
旋 转 椭 球 面
z
o
y
x
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2 y2 z2 1
x2 y2 z2
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
x2 a2
y2 a2
z2 c2
高等数学下教学课件：10-3
∞ 1发散
1 1)3
，
n+1
11 n3n = 3 R = 3
∑ 当x = -3，原级数n=1∞n(-1)n 条件收敛∴收敛域为[-3,3)
(2) (nx )n ;
n=1 n
n1
解：
lim n n
an
lim n , R 0, n
级数只在x 0点收敛。
x n
(3)
;
n1 n!
解： lim an1 lim 1 0,
n0
lim an1 x n1 n an x n
lim an1 x n an
x,
(1) 如果lim an1 ( 0)存在,
n an
由比值审敛法, 当 |
x
|
1 时,
级数 | an xn
n0
| 收敛,
从而级数 an x n绝对收敛.
n0
当 | x | 1 时,
级数 an x n发散.
如果级数 an x n 在x x0处发散,则它在满足
n0
不等式 x x0 的一切x 处发散.
证明
(1) an x0 n收敛,
n0
lim
n
a
n
x
0
n
0,
M , 使得 an x0n M (n 0,1,2,)
an xn
=|
an x0n
•
xn x0n
|
an x0n
x x0
n
M
x x0
n
an xn
称s( x)为函数项级数的和函数.
s( x) u1 ( x) u2 ( x) un ( x)
(定义域是收敛域)
函数项级数的部分和 sn ( x),
1 1)3
，
n+1
11 n3n = 3 R = 3
∑ 当x = -3，原级数n=1∞n(-1)n 条件收敛∴收敛域为[-3,3)
(2) (nx )n ;
n=1 n
n1
解：
lim n n
an
lim n , R 0, n
级数只在x 0点收敛。
x n
(3)
;
n1 n!
解： lim an1 lim 1 0,
n0
lim an1 x n1 n an x n
lim an1 x n an
x,
(1) 如果lim an1 ( 0)存在,
n an
由比值审敛法, 当 |
x
|
1 时,
级数 | an xn
n0
| 收敛,
从而级数 an x n绝对收敛.
n0
当 | x | 1 时,
级数 an x n发散.
如果级数 an x n 在x x0处发散,则它在满足
n0
不等式 x x0 的一切x 处发散.
证明
(1) an x0 n收敛,
n0
lim
n
a
n
x
0
n
0,
M , 使得 an x0n M (n 0,1,2,)
an xn
=|
an x0n
•
xn x0n
|
an x0n
x x0
n
M
x x0
n
an xn
称s( x)为函数项级数的和函数.
s( x) u1 ( x) u2 ( x) un ( x)
(定义域是收敛域)
函数项级数的部分和 sn ( x),
高数下册总复习PPT课件
m
n
p
则
L
//
s
n
Am Bn Cp 0
L在 上 Am Bn Cp 0, ( x0, y0, z0 )
L
s
//
n
ABC
mn p
sin
| Am Bn Cp |
,
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
0 ,
2
第1页/共47页
（3）曲面在某点处的法线方程的确定
要点：I：曲面在某点处的法线方程的确定
要点：I、方向导数与梯度的计算 II ：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；
III ：隐函数的偏导数的计算；
IV ：多元函数极值（条件极值和无条件极值）；
例1：设 z 1 f ( xy) y( x y) , 求 2z .
x
xy
答案： 2z y f ( xy) ( x y) y( x y)
xy
D
其中 D 由直线 y = x , y = 1 , 及x = 1 所围平面区域
第25页/共47页
( 2 ) 3
例 4 计算 ( x2 y2 )dxdy ，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
所确定的二元函数，求
dz,
2z .
xy
解：两边取全微分 e x yd( xy) 2dz ezdz 0,
整理并解得
dz
ye xy ez 2
dx
x ez
dy, 2
z x
ye xy ez 2
,
2z xy
y
(
ye xy ez 2
)
(
ye
xy
)'y
10-3高等数学下第十章第三节复习 共41页
曲线的曲线积分为零)的充要条件是：在G内恒 成立等式 P Q .
y x
证明 充分性 在G内任取两点A、B 并任取两条
从A到B的光滑曲线L1、L2 ，把 L1、L2围成的区域记作D，则
B L1 D
A
G L2
Pd Q x dy(Q xP y)dxd 0,y
L 1L 2
D
D
OA A B BO
xe y2d y1xe x2dx 1(1e1).
OA
0
2
3. 计算闭曲线上的曲线积分(P172例2)
4. 计算非封闭曲线
y
上的曲线积分
A
例3 计算 xdy, 其中积分 AB
曲线是半径为r 的圆在第一
D
象限的部分(如图)。
O
L
Bx
解 引入闭曲线 L O A B BO
(xx,y)
u(x+x, y) u(x, y)=
PdxQdy
(x,y)
x x
x P (x ,y )d x P (x x ,y )x ,
其中 0 1。
u u (xx,y)u (x,y)
lim
x x 0
x
. (x, y) (x+x, y)
应 用 格 林 公 式 ， P 0 ,Q x ， 得
dxdyLxdy
D
A
xd yxd yx,dy
OA AB BO
D
xd 0 y , xd 0 y , O
OA
BO
B
AB xdy Dd x dy1 4r2.
5. 偏导数在区域内有不连续点
设平面区域D的边界曲线L，则其面积
Adxdyxdy ( P=0 , Q=x )
y x
证明 充分性 在G内任取两点A、B 并任取两条
从A到B的光滑曲线L1、L2 ，把 L1、L2围成的区域记作D，则
B L1 D
A
G L2
Pd Q x dy(Q xP y)dxd 0,y
L 1L 2
D
D
OA A B BO
xe y2d y1xe x2dx 1(1e1).
OA
0
2
3. 计算闭曲线上的曲线积分(P172例2)
4. 计算非封闭曲线
y
上的曲线积分
A
例3 计算 xdy, 其中积分 AB
曲线是半径为r 的圆在第一
D
象限的部分(如图)。
O
L
Bx
解 引入闭曲线 L O A B BO
(xx,y)
u(x+x, y) u(x, y)=
PdxQdy
(x,y)
x x
x P (x ,y )d x P (x x ,y )x ,
其中 0 1。
u u (xx,y)u (x,y)
lim
x x 0
x
. (x, y) (x+x, y)
应 用 格 林 公 式 ， P 0 ,Q x ， 得
dxdyLxdy
D
A
xd yxd yx,dy
OA AB BO
D
xd 0 y , xd 0 y , O
OA
BO
B
AB xdy Dd x dy1 4r2.
5. 偏导数在区域内有不连续点
设平面区域D的边界曲线L，则其面积
Adxdyxdy ( P=0 , Q=x )
《高等数学(下册)》 第10章
10.2.2 多元函数的极限
例6
证明 lim ( x ，y)(0 ，0)
xy x2 y2
不存在．
证明 取 y kx （ k 为常数），则
lim
( x ，y)(0 ，0)
xy x2 y2
lim ( x ，y)(0 ，kx)
x kx x2 k2x2
10.2 多元函数的概念、极限与连续性
10.2.1 多元函数的基本概念
1．引例
引例 1 矩形面积 S 与边长 x 、宽 y 满足下列关系： S x y (x 0，y 0) ，
其中，长 x 与宽 y 是两个独立的变量，当 x，y 在它们的变化范围内取一定值时，
矩形面积 S 有一个确定的值与之对应．
， P0 (x0
，y0 )
是
D 的聚点．如果存在 o
常数 A ，对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当 P(x ，y) D I U(P0 ， ) 时，总有
| f (P) A || f (x ，y) A|
成立，则称常数 A 为函数 f (x ，y) 当 (x ，y) (x0 ，y0 ) 时的极限，记为
高等数学（下册）
第10章 多元函数微分法及其应用
10.1 预备知识
在前面章节中，我们介绍了一元函数的性质、极限、连续性、导数、 微分、不定积分、定积分，以及微积分在几何、物理等领域的一些应 用．这些内容是高等数学的基础知识，所涉及的函数运算都是一元函数 的运算，但在实际应用中，常常要考虑多个变量之间的关系．例如，工 厂生产一件产品，产品的成本包括原材料的成本，也包括工人的工资成 本．因此，我们将在前面章节的基础上，研究一个变量（因变量）与多 个变量（自变量）的关系．
10.2.1 多元函数的基本概念
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应 用 格 林 公 式 ， P 0 ,Q x ， 得
dxdyLxdy
D
A
xd yxd yx,dy
OA AB BO
D
xd 0 y , xd 0 y , O
OA
BO
B
AB xdy Dd x dy1 4r2.
5. 偏导数在区域内有不连续点
设平面区域D的边界曲线L，则其面积
Adxdyxdy ( P=0 , Q=x )
D
L
ydx ( P=y , Q=0 )
L
12L xdy ydx
例1 (P174) 求椭ax圆 22 by22 1所围的面积
解 L ：x=acos , y=bsin ,
A12Lxdyydx 12a(bc2o ssi2n )d
Dx
c 1(y) x
d
d
cQ (2 (y )y ) ,d y cQ (1 (y )y ) ,dy
y
Q (x ,y )d yQ (x ,y )dy
CBE
CAE
d
x1(y)
CQ B (x E ,y )d y EQ A (x C ,y )dyA
c
LQ(x,y)dy
2.
式若。L围成的区域D内含有
P y
、 Q x
的不连续
点P0 , 应选取适当的闭曲线(通常是以P0为中
心的小圆)将点P0从D内挖去，再在剩余的区 域上应用格林公式。
四、平面曲线积分与路径无关的条件
1 定义：
y
如果对于区域G内任意两点
L 1
B
G
A、B及G内从A到B的任意
L2
A
两条曲线L1、L2 , 等式
D1
L1
L
Y型的小区域D1, D2 , D3 ，则
QP
QP
( )dxdy ( )dxdy
Dx y
x D 1D 2D 3 y
L 1 P Q d x L d 2 P y Q d x L d 3 P y Q dx d
LPdxQdy
说明：1. 格林公式的实质:
L3
D3
D2 L2
D1
L1
L
沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系。
2. 便于记忆的形式
x ydxdyLPdxQdy
DP Q
3. 格林公式对于复连通区域也成立(证明(2)含有 这种情形)，但应注意：外面的边界方向逆时针， 里面的边界方向顺时针。
三、应用举例
1. 用曲线积分表示平面区域的面积
例4(P146) 计算
L
xdy x2
ydx y2
，其中L为一条无
重点，分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的
方向为逆时针方向。
解 记 L所 围 成 的 闭 区 域 为 D,
令 Px2yy2, Qx2 xy2, 则 当 x2y20时 ,有 Q x(x y22 yx22)2 P y.
o
E DB
C
x2(y)
x
同理可证 D P ydx dL yP(x,y)dx
两式相加得 D( Q x P y)dx dLyPdQ x dy
(2) 若区域D不符合(1)的要
求，则可将 D 分成若干个 L3 D 3
D2 L2
符合要求的小区域。如图,
D
将D分成三个既是X型又是
O
x
PdQ x dyPdQ x dy
二、格林公式
定理1 设闭区域D由分段光滑曲线L围成，函数
P(x , y)、Q(x , y)在D上具有一阶连续偏导数, 则 成立格林公式：
D Q x P ydx dL yPdx Qd, y
其中L是D的取正向的边界曲线。
证明 (1) 区域D既是 X 型又是Y 型，即平 行于坐标轴穿过D内 部的直线与D的边界 L 恰好交于两点，这 样D可表示为下面的 两种形式：
D
OA A B BO
xe y2d y1xe x2dx 1(1e1).
OA
0
2
3. 计算闭曲线上的曲线积分(P172例2)
4. 计算非封闭曲线
y
上的曲线积分
A
例3 计算 xdy, 其中积分 AB
曲线是半径为r 的圆在第一
D
象限的部分(如图)。
O
L
Bx
解 引入闭曲线 L O A B BO
y
(1) 当(0 , 0) D 时，
L
D
由格林公式 L xxd2yyy2dx0. O
x
(2) 当(0 , 0) D 时，
作位于D内的小圆周l :
x2y2 r2.
把 L和 l 围成的闭区域记作D1， 应用格林公式得( l 逆时针方向)
y
L
l D1 x
Or
Lxx2d y y y2dx lxx2d y y y2dx 0
y
d
x1(y)
A c Oa
E y2(x)
D
B
x2(y) C y1(x)
bx
D {x ,( y )1 ( x ) y 2 ( x )a ,x b } ,
D {x ,( y )1 (y ) x 2 (y )c ,y d } .
Qdx ddydy2(y)Q dx
20
a b
2. 计算二重积分
例2 计算 e y2 dxdy, 其中是D 以O(0,0), A(1,1),
(P175)
D
y
B(0,1) 为顶点的三角形闭区域。
B 1
A
解
令P = 0 ,
Q
=
xe
y
y2, x y
O
1
x
ey2dx dy x ey2dy
Lxxd 2 yyy2dxlxxd 2 yyy2dx
02r2co2sr2r2si2nd
2.
(注意格林公式的条件)
y
L
D1
l
x
O
小结：计算第二类曲线积分时，如果被积函
数或曲线L的方程较复杂，应首先考虑使用 格林公式。
1. 若L不是闭曲线，可适当添加曲线(通常是
2. 直线段)使之与L 构成闭曲线，再用格林
§3 格林公式及其应用
一、区域的连通性及区域边界的方向
设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所 围的部分都属于D，则称D为平面单连通区域， 否则称为复连通区域。
D D
单连通区域
复连通区域
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成 L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时， 区域D总在他的左边。