2021届浙江省衢州市五校高三上学期期中联考文科数学试卷

2021年浙江省衢州市五校高三上学期期中联考文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量(1,2)a =-，1(,)2b y =-，若b a //，则y =（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．已知a ,b 都是实数，那么“22a b >”是“a >b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．函数x x f x 32)(+=的零点所在的一个区间是（ ）．A ．（－2，－1）B ．（－1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）4．数列{a }为等差数列，若a ＋a＝23π，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ．5．()sin 600︒-的值为（ ） A ．21 B ．21- C ．23 D ．6．已知函数⎩⎨⎧>≤=+.0,log ,0,3)(21x x x x f x 若0()3f x =，则0x 的值为（ ） A ．00x = B ．08x =C ．08x =或00x =D ．06x =或00x =7．已知sin cos αα-=(0,)απ∈，则tan α=（ ）A ．1B ．-1C ．12D 8．要得到函数cos(2)3y x π=-的图象，可由函数x y 2cos =的图像（ ） A ．向左平移3π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向右平移6π个长度单位 9．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，若sin A 、sin B 、sin C 依次成等比数列，则（ ）A ．,,a b c 依次成等差数列B ．,,a b c 依次成等比数列C ．,,a c b 依次成等差数列D ．,,a c b 依次成等比数列10．若函数f(x)=2sin(ωx +φ)，x ∈R （其中ω>0，|φ|<π2）的最小正周期是π，且f(0)=√3，则（ ）A ．ω=12，φ=π6B ．ω=12，φ=π3C ．ω=2，φ=π6D ．ω=2，φ=π3二、填空题11．已知集合A={}03≤-∈x N x ，B={}022≤-+∈x x Z x ，则=B A ．12．已知实数,a b 满足等式b a 43log log =,给出下列五个关系式：①1a b >>；②1b a >>；③1a b <<；④1b a <<；⑤a b =．其中可能关系式是 ．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ， c ，若3A π=，4=⋅AB AC 且，则△ABC 的面积等于 ．14．等比数列{}n a 中，245S S =,则5351a a a a +-= ． 15．在平面直角坐标系中，,i j 分别是与,x y 轴正方向同向的单位向量，平面内三点A 、B 、C 满足j i AB 2+=，2AC i m j =+，2BAC π∠=，则实数m 的值为 ．16．平面向量→→→e b a ,,满足(1,0)e =，(1,)a m =，(2,)b n =，2||=-→→b a ，则→→⋅b a 的最小值为 ．17．已知）（x f 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，那么在区间[1,3]-内，关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有4个不同的根，则k 的取值范围是 ．三、解答题18．（本题满分14分）已知{}n a 是递增的等差数列，21242,8a a a ==+ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和S n ．19．本题满分14分）在ΔABC 中，a,b,c 分别为A,B,C 的对边,已知cos2A =−14． （1）求sinA ；（2）当c =2，2sinC =sinA 时，求ΔABC 的面积．20．已知函数f （x ）＝22x x a x++，x ∈[1，＋∞)． （1）当a ＝12时，求函数f （x ）的最小值； （2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f （x ）＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．21．（本题满分15分）已知(3,cos 2)a x =，(sin 2,1)b x =-，()f x a b =⋅（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）当55,2412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域． 22．（本题满分15分）已知定义域为R 的奇函数()f x x x m =+．（1）解不等式()f x x ≥；（2）对任意[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()2f x f x -≤，求实数a 的取值范围．参考答案1．A ． 【解析】由题意，得1)21(2=-⨯-=y ．考点：平面向量平行的判定．2．D【解析】本小题主要考查充要条件相关知识．依题“>b”既不能推出“>b”；反之，由“>b”也不能推出“”．故“”是“>b”的既不充分也不必要条件． 3．B ． 【解析】042362)22<-=-=--（f ，02532)1(1<-=-=--f ，102)0(0=+=f ；因为0)0(1(<⋅-f f ），所以函数x x f x 32)(+=的零点所在的一个区间是()0,1-．考点：零点存在定理．4．D【解析】试题分析： {}n a 为等差数列，所以372823a a a a π+=+=，所以2tan 3π=，故正确选项为D ．考点：1、等差数列性质的运用；2、角的正切值．5．C ．【解析】2360sin )60180sin(120sin )120720sin()600sin(0000000==-==+-=-． 考点：诱导公式．6．C ． 【解析】3)(0=x f ，⎩⎨⎧≤=∴+03310x x 或⎩⎨⎧>=03log 02x x ，解得00=x 或80=x ． 考点：分段函数．7．B ．【解析】由2cos sin =-αα，得2)4sin(2=-πα，即1)4sin(=-πα；()πα,0∈ ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-∴43,44πππα，则24ππα=-，即43πα=，则1tan -=α．考点：辅助角公式、三角方程．8．D ．【解析】因为)]6(2cos[)32cos(ππ-=-=x x y ，所以要得到函数cos(2)3y x π=-的图象，可由函数x y 2cos =的图像向右平移6π个长度单位．考点：三角函数的图像变换．9．B ． 【解析】因为sin A 、sin B 、sin C 依次成等比数列，则C A B sin sin sin 2=；由正弦定理Cc B b A a sin sin sin ==,得ac b =2，即,,a b c 依次成等比数列． 考点：等比中项、正弦定理．10．D【解析】由题意，得，则；又因为f(0)=√3，则，则；故选D ．考点：三角函数的图像与性质．11．{}3,2,1,0,1,2--．【解析】由题意，得{}3,2,1,0=A ，{}1,0,1,2--=B ，则=B A {}3,2,1,0,1,2--． 考点：集合的运算．12．②④⑤．【解析】设t b a ==43log log ，则t t b a 4,3==；当0<t 时，tx y =在()+∞,0上为减函数，则1<<a b ；当0>t 时，tx y =在()+∞,0上为增函数，则1>>a b ；当0=t 时，则1==a b ；故选②④⑤．考点：幂函数的单调性．13．【解析】由4=⋅，得4cos =A bc ,即8=bc ；则三角形的面积3223821sin 21=⨯⨯==A bc S ． 考点：平面向量的数量积定义、三角形的面积公式．14．34-． 【解析】设等比数列的首项为1a ，公比为q （显然不为1），由245S S =，得qq a q q a --=--1)1(51)1(2141，得512=+q ， 即2±=q ；则431)1()1(22221415351-=-=+-=+-q q q q a q a a a a a ． 考点：等比数列．15．1-． 【解析】由题意，得0=⋅,则022)2()2(=+=+⋅+m mj i j i ，即1-=m ． 考点：平面向量的数量积运算．16．54．【解析】2=-，4222=+⋅-∴，即3222=-+mn n m ，即3±=-n m （不妨设3=-n m ）；则452323)3(2222+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++=+=⋅n n n n n mn ，即→→⋅b a 的最小值为54． 考点：平面向量的数量积、二次函数的最值．17．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】令1++=k kx y ，则化为)1(1+=-x k y ，即直线1++=k kx y 恒过)1,1(-M ；根据题意，画出[]3,1),(-∈=x x f y 的图像与直线1++=k kx y ；由图像，可知当直线介于直线MA 与MB 之间时，关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有4个不同的根；又因为0=MA k ,31-=MB k ,所以031<<-k ．考点：函数的性质、直线与曲线的位置关系．18．（1）n a n 2=;（2）3441-=+n n S ． 【解析】试题分析：（1）设出等差数列的公差为d ，整理成关于d 的方程进行求解；（2）由（1）求出n b ，再利用等比数列的求和公式进行求解．试题解析：（1）设等差数列的公差为d ，0>d ．由题意得，832)2(2++=+d d ，)2)(3(62-+=-+d d d d ,得2=d ；故n n a n 2)1(22=-+=；（2）nn n b 422==，则34441)41(41-=--=+n n n S 考点：1．等差数列；2．等比数列．19．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由二倍角公式即角的范围进行求解即可；（2）由正弦定理求出边，再利用余弦定理求出边，最后利用三角形的面积公式求出三角形的面积．试题解析：（1），则；又因为在中，,；（2），,，；根据余弦定理，得，， 则三角形的面积．考点：1．二倍角公式；2．正弦定理、余弦定理；3．三角形的面积公式．20．（1）72；（2）(－3，＋∞). 【分析】（1）1()22f x x x =++，利用作差法判断[1，＋∞)上的单调性，即可求得； （2）f （x ）＞0恒成立，等价于f （x ）的最小值大于零，令y ＝x 2＋2x ＋a ，求y 的最小值即可.【详解】（1）当a ＝12时，1()22f x x x=++， 设1≤x 1＜x 2，则122121212112(21)11()()2(2)()222x x f x f x x x x x x x x x --=++-++=-， ∵1≤x 1＜x 2，∴2x 1x 2＞2，2x 1x 2-1>0，21x x ->0，∴21()()0f x f x ->， ∴f （x ）在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f （x ）在区间[1，＋∞)上的最小值为f （1）＝72， （2）在区间[1，＋∞)上f （x ）＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，则函数y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在区间[1，＋∞)上是增函数，∴当x ＝1时，y 取最小值，即y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a ＞0时，函数f （x ）＞0恒成立，故a ＞－3，实数a 的取值范围为(－3，＋∞)．【点晴】（1）判断函数单调性的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）四则运算法；（4）复合函数法；（5）导数法；此题也可以利用对勾函数的图像解决；（2）()f x a >恒成立等价于min ()f x a >.21．（1）Z k k k ∈++-],3,6[ππππ；（2）[]2,2-． 【解析】试题分析：先利用平面向量的数量积运算化简)(x f 成)sin(ϕω+x A 的形式，再利用整体思想与三角函数的图像与性质进行求解． 试题解析：()3sin 2cos22sin(2)6f x a b x x x π=⋅=-=-（1）令Z k k x k ∈+≤-≤+-,226222πππππ得 Z k k x k ∈+≤≤+-,36ππππ, 所以函数的单调递增区间为Z k k k ∈++-],3,6[ππππ 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,245ππx 时，32624πππ≤-≤x ，2)62sin(22≤-≤∴πx ， 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,245ππx 时，函数)(x f 的值域为[]2,2-． 考点：1．平面向量的数量积；2．函数的单调区间；3．函数的值域．22．（1）[)[)+∞-,10,1 ；（2）130-≤<a ．【解析】试题分析：（1）先根据奇偶性求出m 值，再去掉绝对值符号转化为分段函数解不等式；（2）对任意[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()2f x f x -≤，即2)()(min max ≤-x f x f 即可；． 试题解析：m x x x f +=)( 是定义域为R 的奇函数，0=∴m ；即x x x f =)(； （1）由x x x ≥，得⎩⎨⎧≥-<⎩⎨⎧≥≥x x x x x x 2200或，即011<≤-≥x x 或，即不等式的解集为[)[)+∞-,10,1 ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,0,)(22x x x x x f ，则)(x f 在()+∞∞-,上单调递增 所以)(x f 在[]a +1,1上单调递增，21()1(≤-+∴）f a f ，即211)1≤-++a a （， 11>+a 130-≤<∴a ．考点：1．函数的奇偶性；2．分段函数；3．函数的单调性．。