《电路原理》第五版_邱关源_9.8串联电路的谐振、9.9

U
_

R
O
0
XC( )

(2) LC上的电压大小相等，相位相反，串联总电压 为零，也称电压谐振，即 U

UL UC 0, LC相当于短路。



L
U 电源电压全部加在电阻上， U R UR I U j L jQU UL j LI UC R I U UC j j L jQU U QU U L C C R
U _

G
C
L
R L C 串联
G C L 并联
Z R j(ωL 1 ) ωC
谐振角频率
Y G j(ωC 1 ) ωL
1 ω0 LC
ω0
1 LC
R L C 串联
|Z| R |Y| G
G C L 并联
O I( )
0

O
U( ) IS/G
0

U/R
O
UL

0

相频特性
| Z (ω) | R 2 ( L 1 )2 R 2 ( X L X C )2 R 2 X 2 C
ωL 1 1 1 X L X C ω C (ω ) tg tg tg1 X R R R
Z ( ) |Z( )| XL( ) X( ) R
解
R
10 U _ R 50 I 0 200 103 U C 600 U C QU Q 60 U 10
u C
V
L
50 60 L 60mH 3 0 5 10 RQ
1
C
L
2 0
6.67 m F
9.9
并联电路的谐振
+
IS

1. G、C、L 并联电路
4. RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性
谐振曲线 物理量与频率关系的图形称谐振曲线， 研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。
（1） 阻抗的频率特性
Z R j( L 1 ) | Z (ω) | (ω) C
幅频特性
| Z (ω) | R 2 ( L 1 ) 2 R 2 ( X L X C ) 2 R 2 X 2 C ωL 1 1 1 X L X C ω C (ω ) tg tg tg 1 X R R R
1 2π LC
谐振角频率 (resonant angular frequency)
仅与电路参数有关
谐振频率 (resonant frequency)
串联电路实现谐振的方式： （1） L、C 不变，改变 。
0由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只能有一个对应的0 , 当外
加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。 （2）电源频率不变，改变 L 或 C (常改变C )。
IC
I 0
U


I L IC QI 0 I 0
IL

例
R 100k
如图R=10的线圈其QL=100， 与电容接成并联谐振电路，如 再并联上一个100k的电阻， C 求电路的Q.
L
等效电路
G jB
谐振时 B=0，即
ω0 L ω0C 2 0 2 R (ω0 L)
ω0
1 ( R )2 LC L
1 ( R )2 ω 0 此电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足 LC L
1 R 2 L ( ) 0, 即 R 时, 可以发生谐振 LC L C
1 2 CU Cm C 2 π f Q 2π 2 0 2 G T GU
ω0C R G 0 L
2.
电感线圈与电容器的并联谐振
实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与 电容器并联时，电路如图： （1）谐振条件
R
L
1 R j L C 2 R 2 j(C 2 L 2 ) R ( L) R ( L) Y jC
根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半， 人的听觉辨别不出，这是定义通频带的实践依据。
在I / I 0 1/ 2 0.707处作一水平线, 与每一谐振曲线 交于两点, 对应横坐标分别为 η1和η2 .
ω2 ω1
ω1 η1 , ω0
称为通频带BW (Band Width)
ω2 η2 , ω2 ω1. ω0 可以证明： Q 1 ω0 . η2 η1 ω2 ω1
电感、电容储能的总值与品质因数的关系：
LI LI Q 0 2π R RI RI T
0 L
2 0 2 0
2 0 2 0 0
谐振时电路中电磁场的总储能 2π 谐振时一周期内电路消耗的能量
Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，品质因数越大， 总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小， 振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般讲 在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高Q值。
通用谐振曲线
I (ω)
U
| Y (ω) | U
I (ω) U / | Z | I (ω0 ) U / R
1 1 2 L 1 2 2 R ( L ) 1 ( ) C R RC
R
1 ω0 L ω ω0 2 ω0 2 1 ω 1 ( ) 1 (Q Q ) R ω0 ω0 RC ω ω0 ω
R,L,C 电路
U Z R I
发生 谐振
2.
串联谐振的条件
+
I


R j L
1 j C
Z R j(ωL 1 ) R j( X L X C ) ωC R jX
U _
当 X 0
ω0
f0
ω 0L 1 0C
时，电路发生谐振。
谐振条件
1 LC
f (kHz) L
X I=U/|Z| (mA)
1 ωC
北京台 820
中央台
640 1000
–1660 – 660 I1=0.0152
北京经济台 1026
1290
1290 0 I0=0.5
1611
1034 577 I2=0.0173
北京台 I=U/|Z| (mA) I0=0.5
中央台 I1=0.0152
3. RLC串联电路谐振时的特点
(1). U 与 I 同相 .
入端阻抗Z为纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值|Z|最小 电流I达到最大值 I0=U/R (U一定)。
+

I

R _ + + U R U_ L
+ UC _
Z ( ) j L
1 j C
|Z( )|
XL( ) X( )
100 15 L 39.8mH 4 0 2 10 RQ
4
解
+ u _ 10
R
L C
C
1
L
2 0
6360 pF
例 +
_ + _ + _
u1 u2 u3
R L C
一接收器的电路参数为： L=250mH, R=20, C=150pF(调好), U1=U2= U3 =10mV, 0=5.5106 rad/s, f0=820 kHz.
9.8
串联电路的谐振
谐振(resonance)是正弦电路在特定条件下所产生的一种 特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应 用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。
1. 谐振的定义
含有R、L、C的一端口电路，在特定条件下出现端口 电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。
I
U
2 2
Um sin 0 t I m sin 0t R
表明
（a）电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等
WLm=WCm。L、C的电场能量和磁场能量作周期振荡
性的能量交换，而不与电源进行能量交换。
（b）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。
2 2 2 w总 wL wC 1 LI m 1 CU C LI m 2 2
电源不向电路输送无功。电 感中的无功与电容中的无功 大小相等，互相补偿，彼此 进行能量交换。
L Q P
C
+
_
R
(4)
设
谐振时的能量关系
则i
u U m sin 0t Im o uC sin(0 t 90 ) L I m cos 0t 0C C 2 2 2 1 1 电场能量 wC CuC LI m cos 0 t 2 2 2 磁场能量 wL 1 Li 2 1 LI m sin 2 0 t
I (η ) I0 1 1 Q (η
2
1
1
η
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)2
I ( η) I0
0.707
通用谐振曲线
Q=0.5 Q=1 Q=10
0
1 1
'2

Q越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时， 曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有 较强的抑制能力，所以选择性好。因此， Q是反映 谐振电路性质的一个重要指标。
北京经济台 I2=0.0173
I( f )
I1 3.04% I0
0
640 820
∴收到北京台820kHz的节目。 1200 f (kHz)
I2 3.46% I0
小得多
例
一接收器的电路参数为：U=10V
=5103 rad/s, 调C使电路中的电
流最大， Imax=200mA ， 测得电容 电压为600V，求R、L、C及Q +