高二数学同步辅导教材：算术平均数与几何平均数 a97602_591

算术平均数与几何平均数

一、本讲进度算术平均数与几何平均数

二、本讲主要内容

基本不等式：a，b>0时，≥的运用。

三、学习指导

1、本节给出的两个基本不等式为：①a，b∈R时，a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时“=”号成立）；②a，b ≥0时，a+b≥2 （当且仅当a=b时“=”号成立）。这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。若在非负实数范围之内，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式及公式的变

形：ab≤，ab≤。对不等式ab≤，还有更一般的表达式：|ab|≤

。

由高一学习可知，称为a，b的等差中项，称为a，b的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”。

同学们可在二元基本不等式的基础上类比推出三元基本不等式：当a，b，c>0时，a+b+c≥，当且仅当a=b=c时，等号成立，……乃至n元基本不等式；当a i>0（i=1，2，…，n）时，a1+a2+…+a n≥。

二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当a>0，b>0时，≥2，a+ ≥2等。

当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，如a<0时，可得到a+ ≤-2。

基本不等式中的字母a，b可代表多项式。

2、利用二元基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。在高一已学过了用单调性求函数最大值或最小值。利用二元基本不等式求函数最值时，其条件为“一正二定三等”，“一正”指的是在正实数集合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值（常数），“三等”指的是等号条件能够成立。

利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数。

利用基本不等式求函数最值时，可能上面的三个条件不一定满足，此时不能认为该函数不存在最值，因为通过化归思想和初等变形手段可以使条件得到满足。常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数等。

在利用基本不等式求最值时，若不能直接得到结论，应考虑与间接法的解题思路连用，如通过解不等式的途径。

一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数。

四、典型例题

例1、已知a>1，0

解题思路分析：

由对数函数可知：，log b a<0，因此由的结构特点联想到用基本不等式去缩小，但条件显然不满足，应利用相反数的概念去转化。

∵ log a b<0

∴ -log a b>0

∴≥2 =2

∴ log a b+ ≤-2

即 log a b+log b a≤-2

当且仅当，log a2b=1，log a b=-1时，等号成立，此时ab=1。

例2、已知x，y，z均为正数，且xyz(x+y+z)=1，求证：(x+y)(y+z)≥2。

解题思路分析：

这是一个含条件的不等式的证明，欲证不等式的右边为常数2，联想到二元基本不等式及条件等式中的“1”。下面关键是凑出因式xyz和x+y+z。对因式(x+y)(y+z)展开重组即可。

(x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=(xy+y2+yz)+xz=y(x+y+z)+xz。

将y(x+y+z)，xz分别看成是两个因式，得用二元基本不等式：

y(x+y+z)+xz=2 =2 =2

当且仅当时等号成立

讲评：通过本题的证明，同学们应该知道基本不等式中的a，b不仅指数、字母、单项式，还指多项式，这是数学中的整体思想的一个体现。

例3、（1）已知x>1，求3x+ +1的最小值；

（2）已知x，y为正实数，且=1，求的最大值；

（3）已知x，y为正实数，3x+2y=10，求函数W 的最值；

（4）已知x>0，求函数f(x)=4x+ 的最小值；

（5）已知a>b>0，求函数y=a+ 的最小值；

（6）求函数y=x(10-x)(14-3x)（0

（7）求函数y=sin2θcosθ，θ∈(0，)的最值。

解题思路分析：

这一组练习主要介绍在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正二定三等”的条件所涉及的一些变形技巧。

（1）在分式的位置凑出分母x-1，在3x后面施加互逆运算：±3

原式=(3x-3)+3+ +1=3(x-1)+ +4≥2 =4 +4

（2）因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。同时还应化简中y2前面的

系数为

下将x，分别看成两个因式

≤

∴≤

（3）若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单

≤

否则，这样思考：

条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W>0，W2=3x+2y+2 ≤=10+(3x+2y)=20

∴ W≤

（4）函数式为和的形式，故考虑凑积为常数。分母为x的二次，为使积的结果在分式位置上出现x2，应对4x均匀裂项，裂成两项即可。

f(x)=2x+2x+ ≥

（5）本题思路同（1）：

y=(a-b)+b+ ≥

（6）配x项前面系数为4，使得与后两项和式中的x相消

y= (4x)(10-x)(14-3x)≤

=

（7）因式为积的形式，设法凑和为常数，注意到=1为常数，应对解析式平方。

y>0，y2=

≤

y≤

例4、已知a，b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y= 的最小值。

解题思路分析：

这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。、

法一：，

由a>0得，0

令t=b=1，1

∵≥=8

∴ ab≤18

∴ y≥

当且仅当t=4，即b=3，a=6时，等号成立。