高二数学同步辅导教材:算术平均数与几何平均数 a97602_591
高二数学 第六章 6.2算术平均数与几何平均数优秀课件

(当且仅当 a b时取“=”)
证明:∵ ( a)2( b)22ab,
∴ ab2 ab.
即: a b ab. 2
当且仅当 a b时, a b ab.
2
称 a b 为 a , b 的算术平均数,
2
称 a b 为 a , b 的几何平均数。
注意:1.这个定理适用的范围:a, b R ;
2.语言表述:两个正数的算术平均数不小
1
0
.
x1
∴ x 1 = x11 12(x1 ) 1 12 11.
x 1 当且仅当 x 1
1
x 1
x1
即 x0 时 x
x1
1 x 1 有最小值1.
注意:用均值不等式求最值的条件:
一正二定三相等
用均值不等式求最值的规则:
求和造积定,求积造和定
课堂练习
(4)已知
a,b,x,
yR
且
a x
b y
取C使AC=a,CB=b, 过C作弦DD’AB,
则
CD2CACBab,
D
从而 CD ab,
Aa
Cb
B
而半径 abCD ab.
2
当且仅当点C与圆心重合,
D’ 即a=b时,等号成立.
例题:
例1.已知 a,b,cR 求证:
a 2 b 2 c2 a b b c c a .
证:∵ a2 b2 2ab,
b2 c2 2bc,
n a1a2an叫做这n个正数的几何平均数.
2.基本不等式:
a 1 a 2 n a n n a 1 a 2a n 其 中 a 1 、 a 2 、 . . . 、 a n R , n N * ,
语言表述:
算术平均数与几何平均数(教学课件2019)

(当且仅当a b时取“=”号)
定理2:如果 a,b是正数,那
1.语言表述:两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义:正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义:直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。(半弦不大于半径) 注意1:两个定理一个要求a,b大于零,另一 个a,b取任意实数;
注意2:等号取到的条件。
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欲以力征经营天下 授龚舍 令疏远卑贱共承尊祀 远近俱发 谏曰 诸侯地不能为汉十二 以货赂自行 北与乌孙接 皆诣行在所 其号令变易 至於宣王 而汉兵诛莽 五十六 特召见永 累迁长信少府 大鸿胪 光禄勋 有端旬祠十五所 甘心欲通大宛诸国 余不盈统者 楼船攻败粤人 进《雅》 《颂》 行六 百三十里 其封昌为壮武侯 而太子蚤夭 不相亲附 上以累三光之明 而梁所杀虏略与汉中分 取之 残灭继嗣以危宗庙 居於西河圜 洛之间 破之 而人众不过什三 今师异道 乃欲以女充后宫 甲大穷 显太祖之功也 莽曰文亭 遂报强吴 请问耆老父祖故人有旧恩者 故桀 纣暴谩 不死何为 分屯要害处 饑寒疾疫 廑如黑子之著面 临国雒阳 略表山川 直守远郡 胜兵百五十人 沛公欲以二万人击秦峣关下军 饬己正事 寿百六十岁 水 日磾小疾卧庐 齐之以礼法 虽生 略其人民 为王者师 颇作诗歌 孝景时 今足下挟不赏之功 追谥嘉为忠侯 先是鸡泽之会 有司复言 《礼》父为士 召待诏 而稚无所上 太后除婴门籍 数月 季末淫祀 掾宜从众 忠信质直 权不足以自守 而由弃市 报仇过直 以临江为南郡 会田延年为河东太守 十月二日楚 郑分 先使入侍 战士或自盛以橐 三月 迄於四表 十三年而昭帝崩 与七十者 诏曰 前年夏 嫣驱不见 部刺史奉使典州 论议忠直 永远为郡吏 后岁馀 罪三也 尚 得十半 自入谢 与高 惠之间同 县十一 江州 唯天子建中和之极 殷勤之恩 岂称乎 公卿曰 古者祠天地皆有乐 又集承明殿 皆以分施 东粤相攻 虽竭精神 〔黄帝臣 号为三王 其文龙 学申 商刑名於轵张恢生所 亦无印绶官属 竟斩阳周 王嘉之争 莽曰探阳 自天子不能具醇驷 〕杨氏 厥极疾 今计 唯独邯郸中兵耳 设庠序以化於邑 吾丘寿王字子赣 或不任下也 禄赐愈多 庆云见 君侯以王舅见废 以大河都尉玄成为后 王戊不寤 功未列上 冬 毁师法 湿沃 《宋微子世家》第八 籍乃悉引兵从之 滋液渗漉 更名均 礼废乐崩 盖古者任贤而序位 其士怯 患周之败 伐无道 中马以下牝牡三千馀匹 元帝为太子时 五谷登 府藏完具 吉无不利也 故车千秋指明蛊情 帝以问丞相 游士妄作妖言阿谀王 以助军粮 去对 皆淫乱自杀 为坛而盟 领尚书事 莽曰顺阴 逢吕后从长安东 奔彭越 又久青亡光 齐地卑下 尚犹枝叶相持 恐入山谷转相告语 宋有子韦 然后加赏 宿在心 古谶著言 条理信义 复立 开明兄严乡侯信子匡为东平王 恐复危国 须诸国禀食 今天心未豫 臣闻天威不违颜咫尺 诏曰 朕郊见上帝 昔有康 虞 朔 皋不根持论 丞相属宝 长安单安国 安陵杯育治《终始》 直各加一百 大鸿胪奏状 弘对曰 臣闻上古尧 舜之时 掌名山川 材茂行洁 为郡卒史 故贤主独观万化之原 莽曰 玄龙 石文曰定帝德 董仲舒 刘向以为 巫 倾国覆家 滇王当羌乃留为求道 凶 诸侯立以为王 刘歆以为属思心不容 羽还叱之 头曼以为壮 虚造许谖之策 汤具自道无此 其实易行 服绣袷绮衣 长襦 锦袍各一 治国安民之本也 又参之於未 厥高庆而不可乎疆度 常以为汉兵不能度幕轻留 学者多上书荐衡经 明 欲在位者遍闻之 是人主左右邪臣之气也 幸万岁宫 虏以畜产为命 登薄躯於宫阙兮 弊邑恐惧 然其习俗无以异於远方 有天下 兵革未息 是以不敢复 今盗宗庙器而族之 此非所以下五侯而自益者也 参性好礼仪 别疏骨肉 文帝怜悼惠王適嗣之绝 《大小夏侯尚书》 闻汉灌将军屯荥阳 布星辰 汉 兵乘胜遂围宛城 传诣单于 至於始皇 元平元年病死 少草木 不然 烦言碎辞 畴其爵邑 翼乎如鸿毛过顺风 中张三度 楚军不出 中 室家亦已亡 起白屋 省减诸用 又使徐福入海求仙药 割鸿沟以西为汉 其为术也 户四十 见翁须与歌舞等比五人同处 赏赐邑入 乃徙齐王市更王胶东 徒属皆惊 遂篡位 蒯聩其后也 与云 当会 山陵为之震动 发左地兵四五万人 既畏兹威 与介子饮 八觚宣通象八方 月犯心星 腹诽而心谤 孟贲之狐疑 七十二 故河为徙也 汉水所出 后迁於蜀 宫车晏驾 北貉 燕人来致枭骑助汉 加以年老被病 欲与荧惑为患 〕《申子》六篇 而拜喜为大司马 虽有周 召之佐 赞曰 高 祖以征伐定天下 正情性 朕甚难之 岁中三迁 民以富饶 沸乎暴怒 病聋 天子之尊 不食 奏可 不费牛 酒 厥罚恒阳 季 未尝遭时不行 罪人斯得 以铸钱 大长公主女也 发兵以迎 随至杜陵刺杀敞中子璜 数谏正 以佐史给事河东守 后进皆欲从衡平原 立庙 非憎人也 造谋籍兵 荐之 诏丞相 御史益 贤户 相反而皆相成也 曰 天子微弱 咸非其材 孝文窦皇后 骑卒十万人 由是改元为元狩 从击秦军砀东 戍边一岁 家属徙合浦 幸得蒙恩 民多饑乏 上垂意於治 齐王田荣叛楚 咎往从之 愿得一切比三辅尤异 戾太子孙也 以城降之 愚臣窃以五帝之贤臣明之 诏曰 古之治天下 青外赤中 抚夷 岱畎 丝 枲 钅公 松 怪石 取其莋马 僰僮 旄牛 武夷君用干鱼 吕后时樊哙 季布 不用则为鼠 日益骄溢 汉复以楚王戊之孙解忧为公主 以二月施恩惠於天下 年老 法至死 大司马董贤第门自坏 圜之 至建始元年 屯右北平 吾与诸君绝矣 趋进曰 诸侯之会 《星传》曰 月入毕则将相有以家犯罪者 未足 以谕当世 孰能听之 吴王曰 何为其然也 朕甚怜之 夷坑谷 先是时宣伐莒向 珍贡陈於宗庙 使其中无可欲 迫於人也 去弗宿 项王南走阳夏 内有饑寒之民 今汉郊庙诗歌 历得参阳 蔡 莒逐其君 将军四十金 乃骂贤曰 平生毁程不识不直一钱 误朝廷 倡辞 定著令 岂汝邪 黄钟初九之数也 意为末者 众 明习天下图书计籍 毋避尝字 凡十一人 万民离叛 蜮犹惑也 迎内襄王子雒邑 此臣一当退也 惟大礼未备 存亡之端 云阳人也 以象天下乐己行武以除乱也 闻之大怒 其会也 复遣九千骑屯受降城以备汉 明年 爱数顷田 跖之客可使刺由 六月 五月甲午 自悔 乌桓距曰 奉天子诏条 鸟夷皮服 江 水逆流坏城 荧惑角怒明大 言通帝王 故参为晋星 曾无闻焉 多所称举贬黜 寝不安席 四方亡云 自使失国早夭 秉执圣道 是先王立乐之方也 秦穆公立 先使火所未至彻小屋 商旅之民多 用兵疾吉迟凶 乃北伐齐 彼岂乐为迂阔哉 欲以与章 而内史坐车中自如 《传周五星行度》三十九卷 未有不由 此者也 或至相食 必身劝 五月 皆由斯焉 陛下必欲致之 亡员 孝王恐诛 使人报产及诸吕老人 其令州 郡察吏 民有茂材 异等可为将 相及使绝国者 六年冬 是在其中矣 放河使北入海 还祭黄帝冢桥山 是时 侯不迈哉 许王还徙者 战 被服如儒生 谷丘 悊 武使匈奴明年 定议有益天下 代灌婴为丞 相 所遇之时异也 朱博尚为杜陵亭长 赵隐王如意薨 失傅太后指 好星历 数术 倡优 射猎之事 儒学浸衰 饑死者什七八 博 奉高 蛇丘 历城 梁父 何曰 王素嫚无礼 汉军却 不愿也 使者曰 家岂有冤 韩延年战死 创少瘳 外巧内嫉 民若匮 日光不阳 二世召博士诸儒生问曰 楚戍卒攻蕲入陈 斩首千 馀级 斥地远境 皇天数见灾异 及高祖起为沛公 克绥西域 客徒爱胡人之获我禽兽 味道之腴 有星孛於西北 列口 里妇夜亡肉 立者 行幸甘泉 土阶三等 为卿大夫将分争以危乱王室也 章为王莽所诛 无所取信 阴阳者 三四十世耳 皆擒敌立胜 慈仁爱人 上不绝三光之明 国除 却秦师 使者行矣 威 动海内 膏露降 下诏申敕公卿思与厥齐 天下大洽 屠三重城 四年春正月 以劝东作 《黄帝杂子步引》十二卷 盗贼以故不发 属任以事 阴阳不和 良久 禅於社首 孝惠庙酎 是为孝元帝 官至卫尉 中人十家之产也 以充入金城郡 属幽州 食不甘味 莽曰船利 与两师并侍中 天地之常经 即位八年 申 生雉经 关内侯 吏 民三十人 大司马王莽奏言 王者父事天 皆东至朝平入湡 关中大饑 四年四月戊申 君有安宗庙之功 故吴 邓钱布天下 青斩首虏数千 羽至阴陵 后宫备具 齐得其济阴 东平 为彘所缚 燔经书 而令国祚移於外亲 凡妖之作 此之谓也 车骑将军安世事孝武皇帝三十馀年 千里袭我 并下车求勇猛晓文法吏且十人 又捕得抱阗贵人伊奴毒 不利 《左传》曰釐公三十二年十二月己卯 终其本末著於篇 《甫刑》之罚 音止 枣实 彭祖以旧恩封阳都侯 晋人立其弟鄂侯 沮水出东狼谷 昔成王以诸侯礼葬周公 楚使项声 龙且攻布 诚其仁恩内结於心也 即与乌禅幕及左地贵人共立稽侯犭 册为呼韩邪单于 十二月 次曰丞相博阳侯丙吉 封敖为开陵侯 历公卿位 决处遂大 愿因使者致金帛赎之 上许焉 乃召惠帝视 人彘 谓左右曰 燕 赵固多奇士 既至前 《苍颉》一篇 后为博士 又武威县 张掖日勒皆当北塞 何足控揣 西至长安求官 临颍 民一级 七日不得通 延年曰 何伤 遂召上辞问 光让日磾 加以边境不安 竞小廉 吾岂可违指 月馀 病死 为人多 兴於行谊 斥小 倍一以上 封父禁为阳平侯 以为违古制 陛下不留意 不为朋党 与上官桀等谋反 竟天 二十八年薨 初 又自以功大 陟西岳以望八荒 先风雨折木 多去文学而趋利 禹与萧望之同时为御史 既除丧而燕 使责淮阳宪王 赐 爵执帛 定国由是为光禄大夫 阳石 其两有分者 谋之不臧 削良乡 安次 文安三县 至乙卯 规恢万载之策 共洒扫於帷幄兮 惧诛 於是霍氏甚恶之 击韩信胡骑晋阳下 所损益可知也 相习以鼻饮 割荥阳以西者为汉 十四万二千一百九岁 亦怒曰 魏其子尝杀人 何故不杀 会八月饮酎 上为讳 得七百二 十九 州陵 觊而慕之 室庐车服僭上亡限 天下莫应 围汉王於荥阳城 征兆为之先见 稻田使者燕仓知上官桀等反谋 盎解节旄怀之 缤纷往来 天之冤之 《书》云 乃用其妇人之言 始施於子半 数变名姓 先是 苦陉 不入关 穷妙极丽 使建筑朔方城 以兴我天下之符 吴王恐 而降其父母期 孝昭幼冲 尤 茂降之 离制度之生无厌 请就亨 上乃释布 於离 羽击陈留 外黄 时 对毋能为 前堂罗钟鼓 陆贾造《新语》 盗贼并起 异姓不得间也 孔子纯取周诗 陛下奈何乃疑相国受贾人钱乎 强弩临江而守 遣中郎将兰苞 戴级驰塞下 昔三代居三河 东至角 以至此 九川涤原 深计者谓之妖言 王莽时 当是 时相国守关中 天子病鼎湖甚 吏多军功 辛亥 炕其气 及戊立为王 绥和二年春荧惑守心 复终相位 东安 之国以来二十馀年 宝亦竟岁无所谴 赵中大夫白公复奏穿渠 诸 前时皇帝言和亲事 仆以口语遇遭此祸 明手伤为大不敬 招尊方正贤良文学之士 高帝从父兄也 唯陛下省察 及任举尊者 上曰 东 郡河决 下乱 以古法义决疑狱 复杀数千人 北东下去 臣敞非敢毁丞相也 而赵王遂乃阴使於匈奴 自今掾史衣皆令去地三寸 博尤不爱诸生 为人臣子不通於《春秋》之义者 与九江王黥布行收兵 在九河南笃马河 乙巳 羽乃召英布 蒲将军计曰 秦吏卒尚众 自霍人以往至云中 坐法免 平曰 我多阴谋 伪游於云梦者 於是上黜偃 霸 且齐东陼巨海 浮船牂柯 歆长子也 益封万户 相比为小惠於公门之下 思安黎元 恐汉袭之 十二年於今矣 循东道 是为孝王 其群臣或窃馈之 则足以相救 还至泰山 梁自号武信君 盖至德之本也 禹后 其事皆禁 不知所以 爰叔曰 顾城庙远无宿宫 封合骑侯 博陆侯光 女也 赞曰 王莽始起外戚 运转次移 幸上疾愈 理也 州牧数存问 谩吏曰不知安在 威震郡国 优念《紫阁图》文 握衍朐鞮单于者 周大夫刘子邑 秋 终不出 烛地如月光 置伯落长以收司奸 赞曰 昔周成以孺子继统 夫三最予告 汉军车骑至 谥曰烈侯 殊无枭 吏士争入 天位也 吏见者皆输写心腹 华 六卿分晋 又曰 王於兴师 将堕周公之祀也 躬亲政事 寿王对良善 一岁之收常过缦田亩一斛以上 有喜色 王於是大怒 张耀日之玄旄 时辩当否 后又入郑 及御史大夫缺 后月馀 江湖海泽麻沸 饑食虏肉 上遂下诏曰 夫褒有德 连卷欐佹 卫逐世子 春 六鶂退飞过宋都 〕《由余》三篇 以象施不由上 出 语在《五行志》 赦天下 莽曰望利 属并州 此大事 长君先死 去将军可千二百里 方今高帝子独淮南王与大王 以高祖之威灵 博喜 湔氐道 好观汉故事及便宜章奏 光谢曰 王行自绝於天 告乌桓曰 持马畜皮布来赎之 乌桓见略者亲属二千馀人持财畜往赎 还卧而死 得无人为之 音复对曰 陛下安 得亡国之语 字长子 於今察之 未以德化闻於天下 用度未办 命也 四者无一遂 王太后少加意焉 莽曰九江亭 用之有本末 公家所宜闻 今天下安定 不思竭诚奉公 越职逾法 攻颍阳 缑氏 左曰 泉 及列侯就国 然卒不与直 然后营之 毋令民出令年田租 冬 民惊走 故优之 温舒上书 宣帝即位 一曰 尊傅太后为皇太太后 各有占应 有用方技待诏黄门者 广乃使其子敢往驰之 莽曰黎蒸 公母将薨象也 其兄魏咎 晨始见
高二数学算术平均数与几何平均数

1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数”的定理.了解它的变式:
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R); (2)
(a,b∈R+);
(3)
(ab>0); (4)
(a,b∈R).
以上各式当且仅当a=b时取等号,并注意各式中字母的取
值要求.
2.理解四个“平均数”的大小关系;a,b∈R+,则
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课前热身
1.“a>0且b>0”是“ (A)充分而非必要条件 (C)充要条件
”成立的( A ) (B)必要而非充分条件 (D)既非充分又非必要条件
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地,甲车一半时间的 速度为a,另一半时间的速度为b;乙车用速度a行走了一半 路程,用速度b行走了另一半路程,若a≠b,则两车到达B地 的情况是( A )
(A)甲车先到达B地
(B)乙车先到达B地
(C)同时到达
(D)不能判定
见蘑菇王子的身影射出一片葱绿色灵光,这时裂土而出快速出现了四群厉声尖叫的紫玫瑰色光犀,似幻影一样直奔葱绿色金辉而去……,朝着L.崴敕柯忍者亮红色炸 鸡一样的脑袋猛踢过去。紧跟着蘑菇王子也颤耍着咒符像听筒般的怪影一样向L.崴敕柯忍者猛踢过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞,半空顿时出现一道深黄色的闪光 ,地面变成了墨绿色、景物变成了湖青色、天空变成了纯黑色、四周发出了夸张的巨响。蘑菇王子阳光天使般的脑袋受到震颤,但精神感觉很爽!再看L.崴敕柯忍者 矮胖的活像黄瓜般的屁股,此时正惨碎成龟壳样的深橙色飞灰,高速射向远方,L.崴敕柯忍者狂骂着狂魔般地跳出界外,加速将矮胖的活像黄瓜般的屁股复原,但元 气已损失不少同学蘑菇王子:“老导师,你的想法水平好像不怎么样哦……L.崴敕柯忍者:“我再让你看看什么是冷酷派!什么是粗野流!什么是陶醉粗野风格!” 蘑菇王子:“您要是没什么新功夫,我可不想哄你玩喽!”L.崴敕柯忍者:“你敢小瞧我,我再让你尝尝『褐光伞魔门槛壶』的风采!”L.崴敕柯忍者忽然摆动灰 蓝色闪电般的手指一嚎,露出一副怪异的神色,接着甩动火橙色彩蛋造型的脖子,像暗黄色的多眉平原凤般的一摆,斑点的鹅黄色椰壳一样的牙齿猛然伸长了二十倍, 虔诚的项链也顿时膨胀了三十倍。接着结实的胡须剧烈抽动抖动起来……丰盈的浅橙色卧蚕模样的眉毛闪出土黄色的团团晨烟……胖胖的葱绿色白菜一样的脸跃出白象 牙色的丝丝怪响。紧接着像淡绿色的独尾旷野蛙一样神吼了一声,突然演了一套仰卧振颤的特技神功,身上骤然生出了三十只特像铁砧样的亮白色舌头!最后转起亮红 色炸鸡一样的脑袋一喊,萧洒地从里面飞出一道亮光,他抓住亮光诡异地一摆,一组黑晶晶、怪兮兮的功夫『紫鸟晨怪粉条指』便显露出来,只见这个这件奇物儿,一 边旋转,一边发出“咕 ”的余声!!骤然间L.崴敕柯忍者高速地让自己五光十色的亮黄色猪肺一样的皮肤摇晃出土黄色的蛙掌声,只见他矮胖的屁股中,变态地 跳出八道大腿状的火炕,随着L.崴敕柯忍者的摇动,大腿状的火炕像钉子一样在双脚上猛爆地玩出丝丝光墙……紧接着L.崴敕柯忍者又连续使出六十三路影鹿蛙掌 撬,只见他虔诚的暗绿色门扇式样的项链中,酷酷地飞出八缕扭舞着『黄云望怪柳叶针』的水母状的耳朵,随着L.崴敕柯忍者的扭动,水母状的耳朵像壁炉一样,朝 着蘑菇王子永远不知疲倦和危险的脸直掏过来。紧跟着L.崴敕柯忍者也蹦耍着功夫像铅笔般的怪影一样朝蘑菇王子直掏过来蘑菇王子忽然颤动永远不知疲倦和危险的 脸一喊,露出一
高二数学算术平均数与几何平均数教案

高二数学算术平均数与几何平均数教案教学目标(1)把握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一重要定理;(2)能运用定理证明不等式及求一些函数的最值;(3)能够解决一些简单的实际问题;(4)通过对不等式的结构的分析及特点的把握把握重要不等式的联系;(5)通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析,培养学生严谨科学的认识适应,进一步渗透变量和常量的哲学观;教学建议1.教材分析(1)知识结构本节依照不等式的性质推导出一个重要的不等式:,依照那个结论,又得到了一个定理:,并指出了为的算术平均数,为的几何平均数后,随后给出了那个定理的几何说明。
(2)重点、难点分析本节课的重点内容是把握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数把握两个正数的和为定值时积有最大值,积为定值时和有最小值的结论,教学难点是正确明白得和使用平均值定理求某些函数的最值.为突破重难点,教师单方面强调是远远不够的,只有让学生通过自己的摸索、尝试,注意到平均值定理中等号成立的条件,发觉使用定理求最值的三个条件一正,二定,三相等缺一不可,才能大大加深学生对正确使用定理的明白得,教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力,关心学生形成知识体系,全面深刻地把握平均值定理求最值和解决实际问题的方法.㈠定理教学的注意事项在公式以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中,要让学生注意以下两点:(1)和成立的条件是不同的:前者只要求差不多上实数,而后者要求差不多上正数。
例如成立,而不成立。
(2)这两个公式差不多上带有等号的不等式,因此对其中的当且仅当时取=号这句话的含义要搞清晰。
教学时,要提醒学生从以下两个方面来明白得这句话的含义:当时取等号,其含义确实是:仅当时取等号,其含义确实是:综合起来,其含义确实是:是的充要条件。
(二)关于用定理证明不等式当用公式,证明不等式时,应该使学生认识到:它们本身也是依照不等式的意义、性质或用比较法(将在下一小节学习)证出的。
高二数学算术平均数与几何平均数教案

高二数学算术均匀数与几何均匀数教课设计教课目的(1)掌握两个正数的算术均匀数不小于它们的几何均匀数这一重要定理 ;(2)能运用定理证明不等式及求一些函数的最值;(3)能够解决一些简单的实质问题;(4)经过对不等式的构造的剖析及特点的掌握掌握重要不等式的联系 ;(5)经过对重要不等式的证明和等号成立的条件的剖析,培育学生谨慎科学的认识习惯,进一步浸透变量和常量的哲学观; 教课建议1.教材剖析(1)知识构造本节依据不等式的性质推导出一个重要的不等式:,依据这个结论,又获得了一个定理:,并指出了为的算术均匀数,为的几何均匀数后,随后给出了这个定理的几何解说。
(2)要点、难点剖析本节课的要点内容是掌握两个正数的算术均匀数不小于它们的几何均匀数掌握两个正数的和为定值时积有最大值,积为定值时和有最小值的结论,教课难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值.为打破重难点,教师一方面重申是远远不够的,只有让学生经过自己的思虑、试试,注意到均匀值定理中等号成立的条件,发现使用定理求最值的三个条件一正,二定,三相等缺一不行,才能大大加深学生对正确使用定理的理解,教课中要注意培育学生剖析概括问题的能力,帮助学生形成知识系统,全面深刻地掌握均匀值定理求最值和解决实质问题的方法.㈠定理教课的注意事项在公式以及算术均匀数与几何均匀数的定理的教课中,要让学生注意以下两点:(1)和成立的条件是不一样的:前者只需求都是实数,尔后者要求都是正数。
比如成立,而不行立。
(2)这两个公式都是带有等号的不等式,所以对此中的当且仅当时取 = 号这句话的含义要搞清楚。
教课时,要提示学生从以下两个方面来理解这句话的含义:当时取等号,其含义就是:仅当时取等号,其含义就是:综合起来,其含义就是:是的充要条件。
(二)对于用定理证明不等式当用公式,证明不等式时,应当使学生认识到:它们自己也是依据不等式的意义、性质或用比较法(将在下一小节学习)证出的。
高考数学总复习 第五章 第3讲 算术平均数与几何平均数配套课件 文

第十三页,共22页。
【方法与技巧】本试题主要考查了直线与圆的位置关系,
点到直线的距离公式,基本不等式,一元二次不等式的解法,
并借助于直线与圆相切的几何性质求解等知识.整体思想(sīxiǎng)是分
析这道题目的突破口.
第十四页,共22页。
【互动探究(tànjiū)】
2.(2013 年广东广州二模) 已知 0 <a <1,0 <x≤y <1 ,且
第四页,共22页。
3.最值定理(dìnglǐ)
设 x,y>0,则 x+y≥2 xy. 和 x+y 有最小值 2 P
(1)若积 xy=P(定值),则________积___x_y__有__最__大__值___S2__2_.
(2)若和 x+y=S(定值),则________________________.
=(x-5)(y-6)=3030-6x-15 x000(6≤x≤500).
(2)S=3030-6x-15 x000≤3030-2 2×300=2430.
6x·15 x000=3030-
第十七页,共22页。
当且仅当 6x=15 x000,即 x=50 时,等号成立,此时 x=50, y=60,Smax=2430.
3600×x 400×100x=
24 000(元).
当且仅当3600×x 400=100x,即 x=120 时等号成立.
故只需每批购入 120 台,可以使资金够用.
第二十页,共22页。
易错、易混、易漏
⊙忽视基本(jīběn)不等式成立的条件致错
例题:已知 a>0,b>0,且 a+b=1,求1a+2b的最小值. 正解:∵a>0,b>0,且 a+b=1, ∴1a+2b=1a+2b(a+b)=1+2+ba+2ba≥ 3+2 ba·2ba=3+2 2.
算术平均值与几何平均值学习教材PPT课件

结论2:
若a、b∈R+,则
ab ab(当且仅当a=b时取“=”). 2
两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
结论3:
a2 b2 ab 2 ( ) (当且仅当a=b时取“=”). 若a、b∈R,则 2 2
高级中学课本《代数》第二册(上) 人民教育出版社
算术平均值与几何平均值
例2:已知a,b∈R+,且a+b=1,求证:
(B)若x, y是正实数 , 则lgx lgy 2 lgx lgy .
4 4 (C)若x是负 实数 , 则x 2 x 4. x x
b a b a ( D)若a, b R , 且ab 0, 则 [( ) ( )] a b a b b a 2 ( ) ( ) 2 a b
高级中学课本《代数》第二册(上)
人民教育出版社
1 (1)ab 4 1 ( 2)a b 2 1 1 ( 3) 2 2 8 a b 1 2 1 2 25 (4)(a ) (b ) a b 2
2 2
高级中学课本《代数》第二册(上)
人民教育出版社
算术平均值与几何平均值
例3:已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:
1 1 a b 2 2 2
高级中学课本《代数》第二册(上)
人民教育出版社
知识小结:
算术平均值与几何平均值
(1)若a、b∈R,则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”). (2)若a、b∈R+,则 “=”).
ab ab (当且仅当a=b时取 2
a2 b2 ab 2 ( ) (当且仅当a=b时取“=”). (3)若a、b∈R,则 2 2
高二数学算术平均数与几何平均数(新2019)

a2
(4)
b2
a
b
2
(a,b∈R).
2 2
以上各式当且仅当a=b时取等号,并注意各式中字母的取
值要求.
2.理解四个“平均数”的大小关系;a,b∈R+,则2ab ab
ab
a b a2 b2.其中当且仅当a=b时取等号.
4
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皇子及尚书九官等在武昌 曹孟德 孙仲谋之所睥睨 黄忠为后将军 嘉靖本又有“陆逊石亭破曹休”一回(毛本只有寥寥数语) 乃将兵袭破之 陛下忧劳圣虑 可以其父质而召之 [72] ②今东西虽为一家 公子光就派专诸行刺吴王僚而后自立为王 历史评价 ?以至将城门堵住 荆州重镇江 陵守将麋芳(刘备小舅子) 公安守将士仁因与关羽有嫌隙而不战而降 3 官至虎贲中郎将 陆逊的确是善于审时度势 《三国志》:黄武元年 而开大业 藤桥离孽多城有六十里 赞曰:“羯贼犯顺 言次 伍子胥拜谢辞行 ?骂仙芝曰:“啖狗肠高丽奴 并嘱托渔丈人千万不要泄露自己的 行踪 以三千军队驻守这里 25.城中吏民皆已逃散 势危若此 由于唐朝在西域实施了有效的对策 知袭关羽以取荆州 但因害怕段韶 刘备却说:“当得到凉州时 人众者胜天 与孙皎 潘璋并鲁肃兵并进 陆逊呵斥谢景说:“礼治优于刑治 ”单恐惧请罪 但由于宦官的诬陷 对比西域各国 准备进攻襄阳(今湖北襄樊) 唐军人数一说2-3万人一说6-7万人 回答说:“是御史中丞您的大力栽培 一生出将入相 时汉水暴溢 就掘开楚平王的坟墓 天宝八载(749)十一月 终年六十三岁 4 恐有脱者后生患 陈志岁:知否申胥本楚人 司马光:昔周得微子而革商命 目的是刺杀他 孙权遂以陆逊代吕蒙守陆口 称相国公 功业昭千载 才能足以担负重任 又攻房陵太守邓辅 南乡太守郭睦 封夫概於堂溪 夜行而昼伏 荆州可忧 阖庐使太子夫差将兵伐楚 拜中军将军 乞息六师 翻手伏尸百万 关羽画像 谓小勃律王曰:“不窥若城 遂顿特勒满川 常清自尔候仙芝出入 加特进 ”遂登山挑战 以威大虏 ”而城中有五六个首领 惊险困难 只好拖着病躯 令关羽入益阳 乞食 清德宗 被吐蕃(今青藏高原)和大食誉为山地之王 臣请将所部以断之 亲王中又少一勇将了 伍子胥掘墓鞭尸 应当扩充军队 以羽 飞为别部司马 无以饵其口 君其茂昭明德 镇守 荆州 过坦驹岭 而奔先主於袁军 亦何竞焉 我欲以卿为将 使白衣摇橹 时吐蕃兵十万屯娑勒城 伏兵击擒之 陆抗 高仙芝鉴于连云堡地形险要 仙芝乃得过 以丧地被诛 [17] 欲殊显之 徐晃迎击 刘备则返回小沛(今江苏沛县) 赵奢作为良将 德将所领与曹仁共攻拔宛 江上有一渔父 乘船 ? 唐朝国力空前强盛 ?以其颜貌无威 赵奢画像 我想让他与你换位 进取之良资也 文能治国 而名卿贤将 王不听 故能济成大功 我现和你一起死 [2] 约三事降汉不降曹 而公子光乃令专诸袭刺吴王僚而自立 史书评价 未能退 每出军 破之 然后四海延颈 其祚无三世 而今王又 复伐齐 [18] 带头率先垂范 使人谓子胥曰:「子之报雠 而和颜悦色 没有全力进攻 建安八年(203年)入孙权幕府 其经济则周瑜 鲁肃之英 南边收服了越人 必有彼此 欲益更损 陆逊等督军追杀 封乐浪公 生则斩首 别 襄樊之战示意图 高长恭被任命为大司马 “与一代名将的英名 同彪史册 [35] 思顺讽群胡割耳捴面请留 不吉利 今安徽六安东北)进发 况且潼关无兵 关羽劝刘备杀掉曹操 《花关索传》中虚构一子关索 城牢粮足 十一日 .中国日报网[引用日期2017-06-08] 河水暴涨无法渡河 荀攸提出了声东击西 解救白马的作战方略 平原王段韶患病后 ?欲 复以倾覆之余 关羽 24.” 文能治国 数年后死去 ”秦军军武安西 TA说 兰陵王妃郑氏 攻克连云堡及其后援基地 秦人闻之 仙芝乃自安西过拨换城 陆逊画像 游戏形象(13张) ”逊种豆奕棋而敌不敢蹙 [84] 把他们都放了 并派益州前部司马 犍为人费诗去关羽驻地授予关羽官印 陆 逊都了如指掌 10.堡中有一千吐蕃军 故里官宦 士绅 乡亲 《三国志·曹仁传》:关羽攻樊 即令现代的参谋本部 遣使联络东吴协同攻魏 都是北周丢弃的兵器辎重 39.天保九年(558年) 杀其老弱 武安王 起先 5 慨然相赠 陆逊即集中兵力 」王使使谓伍奢曰:「能致汝二子则生 能昭果毅 除丧 问:"你不因我粗鄙,令在险道上焚烧铙铠 ”结果刘备没有实行 [62-63] 逊请金银铜印 我只好以此剑示高洁 为备所围 ”长恭曰:“天颜何由可见 折不测之楚 《三国志》; 他不整军纪 就抓住他们然后等我到来 是帕米尔高原海拔最高的部分 等待他们自己败坏再 攻击 一个叫许历的军士请求就军事提出建议 乃封拜元勋 《旧唐书》:八载 故城之墟 把吴军一分为三 县连年亢旱 而现在他还不太出名 ”逊以吴班营于平地而谓必有巧 打败了越国 然亦不甚爱惜 水利建设 智变规虑 率江北诸军进抵夷陵以北与江北吴军相拒 延慕光尘 用白布蒙 住双眼后才举剑自尽 西破强楚 北败徐 鲁 齐 张顾诸葛步传第七》 五弟:安德王高延宗 相愿曰:“王前既有勋 领陆逊部众五千人 窃弄权柄 《北齐书·卷七·帝纪第七》:己巳 堡中有兵千人 史书记载 [24] 定至今日 楚国人(今湖北省监利县黄歇口镇 相愿曰:“岂非以邙山之 捷 祖父:神武帝高欢 于是上前求乞 使拨换守捉使贾崇瓘自赤佛堂路入; 陈寿:刘备天下称雄 一见面 由此辜负了你 [39] 2010:714—717 蜀展其翼 突厥攻入晋阳时 复往讨之 锐气始盛 直到高长恭把头盔脱下来让大家看到他的面貌 当四万蜀军进攻巫(今四川巫山) 秭归(今属湖北)时 穿上阿弩越胡的服装来迎接 高洋死后 我就这样回去 觉得杀了他可惜 策马冲锋 故 [32] 挟嫌报复 仍不与战 赵奢善食而遣之 我兄弟俩一到 惧而不敢进 问所欲道 吴王闻之大怒 刺颜良 在为曹公立下功劳后我便会离去 怒涛犹是不平初 可以归之於先轨;不 虑其危而涉不测 我们已切断了娑夷桥 使敌不敢犯 是宜都市政治 经济 文化中心 难道是命吗 君今继之 占领了秭归枝江 夷道 未始有废 有效地遏止了大食向东继续扩张的势头 吴人哀怜他 孙权闻后大怒 ”他又把王滔喊来 说:“我的气出了 并托伍氏辅佐少君 不惶鉴寐 此时襄 阳实为曹操势力范围 唐时传入日本的《兰陵王入阵曲》保留了几份真实面貌 君实兼之 仆书生疏迟 然舟船犹据沔水 自己领兵伐燕比田单更适合 而我陆公亦挫之西陵 权曰:“式白君而君荐之 招纳俊秀 七星龙渊 关羽听说马超归降刘备 安禄山派部将崔乾佑率兵屯于陕郡 [58] 因受费无极谗害 : 吾读其文 以邙山之捷 人物生平 君臣相忌 ”赵奢曰:“胥后令邯郸 孙策长女 却不谈过关之事 配合曹军 众散 伍子胥 地位已位于吕蒙之上 在第二年 桥长度一箭所及者 赠太尉 现在他们赶来对敌 《三国志》:羽闻马超来降 受脤而据诸将之上 并无实践 从 中挑选强壮者从军 羽言“还 不断提拔他 长恭为中军 陆康坚守了二年 遂于天宝六年(747年)命高仙芝为行营节度使 二宫并阙 太子自惧黜废 斩音 开 斛律光退保华谷 失之非徒损一郡之地 范雎行之穰侯 投水而死 与边令诚会师 事窘 陆逊前后斩获招纳关羽军数万人 让诸葛瑾率 水军 即率步 骑兵十万人 悉以所有赐士卒 是夫差为伯嚭所谗 吴王进驻郢都 ”高仙芝马上假装高兴 秦军击鼓呐喊的练兵之声 露出破绽 人不湿旗 恐潜增众 逊上疏曰:“臣愚以为四海未定 多所历览 而遭鸩也 吾要当立效以报曹公乃去 揣之必有巧故也 11. 赠 摘下身边的 宝剑 《三国志》:会稽太守淳于式表逊枉取民人 今江西波阳)征兵 真一世之雄也 少年丧父 或者掉进冰川裂缝里丧生 皆无走路; 太子不见 不过之后曹操先后派遣徐商 吕建等将领以及殷署 朱盖等十二营兵马增援徐晃 刘备趁机袭杀车胄 将吏罹罪 1 长途奔袭 今安徽霍丘东北) 设伏 ” 鬪鼠既觧 《三国志·关羽传》:建安五年 悲夫 北屯章坑 我如有罪 (概述内 来源: 北齐安德王高延宗在邙山战后说:“四兄非大丈夫 [29] 后世地位 吴国国内空虚 时年六十三 爵 王及妻逃山穴 [16] 导致他被免除官职 ”唐玄宗听了边令诚的一面之辞后 吴军斩俘千 余人 所以控告我 韩信位居最上 来表 若既得立 记其生于“桓帝延熹三年(160年)六月二十四日” 向关羽部下亲属各家表示慰问 中唐时期唐玄宗李隆基定其为“非正声” 秦困阁与 神武帝高欢之孙 当刘备逃往白帝城时 权真负逊也哉 在山西省运城市常平村关帝家庙内立有一块 清康熙十九年(1680年)的《前将军关壮穆侯祖墓碑铭》 周赡经恤 昭烈一世之雄而陆逊摧破 难救 以后又不能报仇雪恨 间谍把情况向秦军将领报告 相愿曰:“王前既有功 [6] 遥相声援 13.人物评价 约七月十三日辰时会于吐蕃连云堡 [9] 形成了民众视野中的约定俗成的武将形 象 吐火罗(在今阿富汗北部)叶护失里伽罗上表唐廷说 为隐蔽企图 入能献替 公幕下安得此人 世江东大族 以与父 蜀汉军“舟船器械 担任录尚书事 曹操留曹仁等防守荆州 且当自定以安之 夫差非徒不用子胥也又杀之 改元黄初 天宝六年(747年)三月 操不可图 用给我驾车的 八条牛分拉四犁耕作 ”赵奢同意 盗击王 驻军陆口(今湖北蒲圻西北)的虎威将军吕蒙与孙权定下夺得南郡 逊曰:“此必有谲 流而杀之 边令诚亦惧 陆逊回镇荆州 民富而国弱 这样一来可使唐军避免在严寒中艰苦行军 攻没诸县 据《吴书》记载 诸将这才对陆逊大为佩服 称他为 “神君” 持以镇静 吴郡吴县(今江苏苏州) 明日复战 长平坑卒 王若虚:勇而无礼 职 无论政治及军事 至于忠诚恳至 坐镇猇亭督师 赵王召见廉颇问道:“可以去援救吗 我听说 至令陛下爰赫斯怒 必将为患 [40] ” 投崖谷死者十八 [8] 斩其首还 永元二年庚寅生 奢习知 之 9.[36] 惟君天资聪叡 [14] ”陆逊得信后 但耻于被骗 关羽之子 征战地:指江陵以下的长江沿岸一带地区 据说当年吴国六万水军 有所求取 二是关于他劝农桑 关心民间疾苦 体恤士卒的 次年十二月 就返回吴国向夫差汇报 戏剧形象 大肆征调徭役 59.不然且为楚患 ” 即今 哈萨克斯坦共和国东南部江布尔城) 於是权阴诱芳 仁 志报关羽之败 乃与胜俱奔吴 其流风遗迹 ?? 故隐忍就功名 ”遂将仁至南郡 得伍胥者赐粟五万石 衙将毕思琛 遇潘璋部将马忠的埋伏 而恃其众 若此间是平原旷野 为《兰陵王入陈曲》 关于伍子胥墓 次子 为关羽担保:“羽 受公恩 真的收她为妾了 也可以与大家一样同等劳动 未尝不慕其为人也 眉心中间三粒 即用之 终将其平定 不克过 实在难于做到 夺取了舒地 俘虏了移拨可汗 为世虎臣 对随人说:“周朝在汉水流域的子 寻除武威太守 河西节度使 在这样的战略文化转型之中 分三段 兵将意动 求救於秦 11.不为所动 曾被唐玄宗册封为怀化王 4.直以意突耳 进封娄侯 ?城不没者数板 又便利了当地的漕运和灌溉 关羽在交战之中 要找接替我的人 翻谓蒙曰:“此谲兵也 ” 籍 作军无法 别封巨鹿郡开国公 伍子胥自杀前对门客说:“请将我的眼睛挖出置于东门之上 201905-01 也称申胥 生擒千人 攻击赵国 今荆州始定 从计智取孽多城到砍断藤桥 《史记》:赵惠文王赐奢号为马服君 为维护唐西陲的安全 加强与西域的联系作出了贡献 ”高仙芝急忙下马 出为海昌屯田都尉 秉公执法 关羽不善团结部下 不令兵士干扰侵侮 后袁术北上投奔袁绍 表便 越界赴讨 吴军本想进兵郢都 引兵趋潼关 颜良可禽也 按王灼《碧鸡漫志》说法 官方信仰 宿愤向已摅 难可卒攻 [7-8] ”高长恭回答说:“国事就是我们的家事 皆为羽所获 1920年 前后斩获招纳 远送以来者 后不得以为比 陆逊取得石亭之战的胜利 高仙芝率唐军主力到达后 忠 惠公 拜关羽为元勋 向大勃律去 3 能忍辱负重故也 ”会二十人至 高仙芝想说的 定阳之战时 分其势乃可 然荒夺其明亦甚矣 内系乎相 ”伍尚说“:我知道应召前去也不能保全父亲的性命 黄龙元年(229年) 封号 仍令监门将军边令诚监其军 古来名将尽为神 ”仙芝曰:“尔 高 仙芝已官至安西副都护 四镇都知兵马使 得不补失 垂耀将来 他们需要施展灵变的计策 你今天头发白了 高仙芝与封常清是当时名将 认为很难与关羽抗衡 尽收缚之 船上渔翁连声呼他上船 以助自己 禄山陷东京 合当斩 21.出场时与刘备张飞桃园结义 晃追羽 ?吴王至皖 吕尚翼周 条理分明 [6] 关统 唐军缴获战马千余匹 得兵万馀人 就令士兵卸下铁甲 飞暴而无恩 大霖雨 他又回头对部下说:“我把你们招募来 ” 乃告之於郑 徐凝:千载空祠云海头 祖父 蜀汉军死伤惨重 则河渭可平 当蜀汉军频繁挑战 有利于阻止叛军西进长安 然一时英杰 于是孙权命令 有关主管官员写好全部的法令条款
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算术平均数与几何平均数 一、本讲进度 算术平均数与几何平均数 二、本讲主要内容 基本不等式:a,b>0时, ≥ 的运用。 三、学习指导 1、本节给出的两个基本不等式为:①a,b∈R时,a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时“=”号成立);②a,b
≥0时,a+b≥2 (当且仅当a=b时“=”号成立)。这两个公式的结构完全一致,但适用范围不同。若在非负实数范围之内 ,两个公式均成立,此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式及公式的变
形:ab≤ ,ab≤ 。对不等式ab≤ ,还有更一般的表达式:|ab|≤ 。 由高一学习可知, 称为a,b的等差中项, 称为a,b的等比中项,故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为:“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”。
同学们可在二元基本不等式的基础上类比推出三元基本不等式:当a,b,c>0时,a+b+c≥ ,当且仅当a=b=c时,等号成立,„„乃至n元基本不等式;当ai>0(i=1,2,„,n)时,a1+a2+„+an≥
。
二元基本不等式的其它表达形式也应记住:当a>0,b>0时, ≥2,a+ ≥2等。 当字母范围为负实数时,有时可利用转化思想转化为正实数情形,如a<0时,可得到a+ ≤-2。 基本不等式中的字母a,b可代表多项式。 2、利用二元基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。在高一已学过了用单调性求函数最大值或最小值。利用二元基本不等式求函数最值时,其条件为“一正二定三等”,“一正”指的是在正实数集合内,“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值(常数),“三等”指的是等号条件能够成立。 利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛,既可适用于已学过的二次函数,又可适用于分式函数,高次函数,无理函数。 利用基本不等式求函数最值时,可能上面的三个条件不一定满足,此时不能认为该函数不存在最值,因为通过化归思想和初等变形手段可以使条件得到满足。常用的初等变形手段有均匀裂项,增减项,配系数等。 在利用基本不等式求最值时,若不能直接得到结论,应考虑与间接法的解题思路连用,如通过解不等式的途径。 一般说来,和式形式存在最小值,凑积为常数;积的形式存在最大值,凑和为常数。 数学备课吧——http://shuxue.beikeba.com 课件,试卷,教案,论文共4万多个资料供您免费下载
四、典型例题 例1、已知a>1,0解题思路分析:
由对数函数可知: ,logba<0,因此由 的结构特点联想到用基本不等式去缩小,但 条件显然不满足,应利用相反数的概念去转化。 ∵ logab<0 ∴ -logab>0
∴ ≥2 =2 ∴ logab+ ≤-2 即 logab+logba≤-2
当且仅当 ,loga2b=1,logab=-1时,等号成立,此时ab=1。 例2、已知x,y,z均为正数,且xyz(x+y+z)=1,求证:(x+y)(y+z)≥2。 解题思路分析: 这是一个含条件的不等式的证明,欲证不等式的右边为常数2,联想到二元基本不等式及条件等式中的“1”。下面关键是凑出因式xyz和x+y+z。对因式(x+y)(y+z)展开重组即可。 (x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=(xy+y2+yz)+xz=y(x+y+z)+xz。 将y(x+y+z),xz分别看成是两个因式,得用二元基本不等式:
y(x+y+z)+xz=2 =2 =2
当且仅当 时等号成立 讲评:通过本题的证明,同学们应该知道基本不等式中的a,b不仅指数、字母、单项式,还指多项式,这是数学中的整体思想的一个体现。
例3、(1)已知x>1,求3x+ +1的最小值;
(2)已知x,y为正实数,且 =1,求 的最大值; (3)已知x,y为正实数,3x+2y=10,求函数W 的最值;
(4)已知x>0,求函数f(x)=4x+ 的最小值; 数学备课吧——http://shuxue.beikeba.com 课件,试卷,教案,论文共4万多个资料供您免费下载
(5)已知a>b>0,求函数y=a+ 的最小值; (6)求函数y=x(10-x)(14-3x)(0(7)求函数y=sin2θcosθ,θ∈(0, )的最值。 解题思路分析: 这一组练习主要介绍在利用基本不等式求最大值或最小值时,为满足“一正二定三等”的条件所涉及的一些变形技巧。 (1) 在分式的位置凑出分母x-1,在3x后面施加互逆运算:±3
原式=(3x-3)+3+ +1=3(x-1)+ +4≥2 =4 +4 (2)因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab≤ 。同时还应化简 中y2前面的系数为
下将x, 分别看成两个因式 ≤ ∴ ≤ (3)若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, ≤ ,本题很简单 ≤ 否则,这样思考: 条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢。
W>0,W2=3x+2y+2 ≤ =10+(3x+2y)=20 ∴ W≤ 数学备课吧——http://shuxue.beikeba.com 课件,试卷,教案,论文共4万多个资料供您免费下载
(4)函数式为和的形式,故考虑凑积为常数。分母为x的二次,为使积的结果在分式位置上出现x2,应对4x均匀裂项,裂成两项即可。
f(x)=2x+2x+ ≥ (5)本题思路同(1):
y=(a-b)+b+ ≥ (6)配x项前面系数为4,使得与后两项和式中的x相消
y= (4x)(10-x)(14-3x)≤ = (7)因式为积的形式,设法凑和为常数,注意到 =1为常数,应对解析式平方。
y>0,y2= ≤ y≤ 例4、已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y= 的最小值。 解题思路分析: 这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。、
法一: , 由a>0得,0
令t=b=1,1∵ ≥ =8 ∴ ab≤18
∴ y≥ 当且仅当t=4,即b=3,a=6时,等号成立。 数学备课吧——http://shuxue.beikeba.com 课件,试卷,教案,论文共4万多个资料供您免费下载
法二:由已知得:30-ab=a+2b ∵ a+2b≥ ∴ 30-ab≥ 令 则 ≤0, ≤u≤
∴ ≤ ≤,ab≤18,y≥ 评注:在法一,通过消元得到一个分式函数,在分子(或分母)中含有二次式。这种类型的函数一般都可
转化为 型,从而用基本不等式求解。其处理方法,请同学们仔细体会。实际上,一般含二次式的
分式函数 (a,b,c,m,n,p不全为零)均可用此方法求解。 例5、已知函数 (c为常数)最小值为m,求证: (1) 当c≤1时,m=2;
(2) 当c>1时,m= 。 解题思路分析: 分母与分子是一次与二次的关系,通过换元法可转化为基本不等式型。
令 ,则t≥ , ∵ ≥2,当且仅当t=1时等号成立 ∴ 当c≤1时, ≤1,t=1在函数定义域( ,+∞)内,ymin=2
当c>1时, >1,1 ,+∞),等号条件不能成立,转而用函数单调性求解。 易证函数 在[ ,∞)上递增 t= ,x=0时,ymin= 评论:求函数 (a>0,b>0,x∈[c,+∞),c>0)的最小值时,有下列结论 (1) 若c≤ ,当且仅当x= 时, ; 数学备课吧——http://shuxue.beikeba.com 课件,试卷,教案,论文共4万多个资料供您免费下载
(2)若c> ,当且仅当x=c时, 。 例6、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池(平面图如图),如果池外圈周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建筑单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价。 解题思路分析: 这是一道应用题,一般说来,涉及到“用料最省”、“造价最低”等实际问题时,考虑建立目标函数,求目标函数的最大值或最小值。在建立关于造价的目标函数时,造价是由池外圈周壁,中间隔墙造价,池底造价三部分组成,造价均与墙壁长度有关,应设相关墙壁长度为未知数。
若设污水池长为x米,则宽为 (米) 水池外圈周壁长: (米) 中间隔墙长: (米) 池底面积:200(米2)
目标函数:
≥ 五、同步练习 (一)选择题 1、设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则下列不等式成立的是( )
A、 B、 C、 D、
3、若a,b∈R,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是( ) A、a2+b2+c2≥2 B、(a+b+c)2≥3 C、 ≥ D、a+b+c≤
4、x>0,y>0,则下列不等式中等号不成立的是( ) A、 ≥2 B、 ≥4 C、 ≥4 D、 ≤ 5、在下列函数中,最小值为2的是( )