13-14(下)高数期末试题A 重理工资料库

合集下载

(完整版)高等数学下册期末考试试题及答案,推荐文档

(完整版)高等数学下册期末考试试题及答案,推荐文档


1 zx2
z
2 y
a
a2 x2 y2 ,…..………【3】
第3页共2页
高数

dS z
Dxy
adxdy a2 x2 y2
a
2 d
0
a2 h2 0
d a2 2
2
a
1 2
ln(a2
2
)0
a2 h2
2 a ln a ..【7】 h
三、【9 分】解:设 M (x, y, z) 为该椭圆上的任一点,则点 M 到原点的距离为 d x2 y2 z2 ……【1】
n1
n
4、设 z f (xy, x ) sin y ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求 z ,
2z

y
x xy
5、计算曲面积分 dS , 其中 是球面 x2 y2 z2 a2 被平面 z h (0 h a) 截出的顶部.
z
三、(本题满分 9 分) 抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1 截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离
第1页共2页
的最大值与最小值.
高数
(本题满分 10 分)
计算曲线积分 (ex sin y m)dx (ex cos y mx)dy , L
其中 m 为常数, L 为由点 A(a, 0) 至原点 O(0, 0) 的上半圆周 x2 y2 ax (a 0) .
四、(本题满分 10 分)
xn
3 , 1 2
3 ,2
3),
1 M2( 2
3 , 1 2
3 ,2
3). …………………【7】
又由题意知,距离的最大值和最小值一定存在,所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得.

高等数学下期末试题(七套附答案)

高等数学下期末试题(七套附答案)

⾼等数学下期末试题(七套附答案)⾼等数学(下)试卷⼀⼀、填空题(每空3分,共15分)(1)函数的定义域为(2)已知函数,则(3)交换积分次序,=(4)已知是连接两点的直线段,则(5)已知微分⽅程,则其通解为⼆、选择题(每空3分,共15分)(1)设直线为,平⾯为,则() A. 平⾏于 B. 在上 C.垂直于D. 与斜交(2)设是由⽅程确定,则在点处的() A.B.C. D.(3)已知是由曲⾯及平⾯所围成的闭区域,将在柱⾯坐标系下化成三次积分为() A. B. C.D.(4)已知幂级数,则其收敛半径()A.B. C.D.三、计算题(每题8分,共48分)1、求过直线:且平⾏于直线:的平⾯⽅程2、已知,求,3、设,利⽤极坐标求4、求函数的极值5、计算曲线积分,其中为摆线从点到的⼀段弧 6、求微分⽅程满⾜的特解得分阅卷⼈四.解答题(共22分)1、利⽤⾼斯公式计算,其中由圆锥⾯与上半球⾯所围成的⽴体表⾯的外侧2、(1)判别级数的敛散性,若收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;()(2)在求幂级数的和函数()⾼等数学(下)试卷⼆⼀.填空题(每空3分,共15分)(1)函数的定义域为;(2)已知函数,则在处的全微分;之间的⼀段弧,则;(5)已知微分⽅程,则其通解为 .⼆.选择题(每空3分,共15分)(1)设直线为,平⾯为,则与的夹⾓为();A. B. C. D.(2)设是由⽅程确定,则(); A.B.C. D.(3)微分⽅程的特解的形式为(); A.B.C. D.(4)已知是由球⾯所围成的闭区域, 将在球⾯坐标系下化成三次积分为(); A B.C.D.(5)已知幂级数,则其收敛半径().B. C.D.三.计算题(每题8分,共48分)得分阅卷⼈5、求过且与两平⾯和平⾏的直线⽅程.6、已知,求,.8、求函数的极值.得分9、利⽤格林公式计算,其中为沿上半圆周、从到的弧段.6、求微分⽅程的通解.四.解答题(共22分)1、(1)()判别级数的敛散性,若收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;(2)()在区间内求幂级数的和函数 .2、利⽤⾼斯公式计算,为抛物⾯的下侧⾼等数学(下)模拟试卷三⼀.填空题(每空3分,共15分)1、函数的定义域为.2、= .3、已知,在处的微分 .4、定积分 .5、求由⽅程所确定的隐函数的导数 .⼆.选择题(每空3分,共15分)1、是函数的间断点(A)可去(B)跳跃(C)⽆穷(D)振荡2、积分= .(A) (B)(C) 0 (D) 13、函数在内的单调性是。

高等数学(下册)期末复习试题及答案

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题(共21分 每小题3分)1.曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z .2.直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π. 3.设函数22232),,(z y x z y x f ++=,则=)1,1,1(grad f }6,4,2{.4.设级数∑∞=1n n u 收敛,则=∞→n n u lim 0.5.设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+.6.全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 Cxy =.7.写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*.二、解答题(共18分 每小题6分)1.求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程.解:设所求平面的法向量为n,则{}3,2,1111121=--=k j i n(4分)所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2.将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分,其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域.解: πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ (6分)3.计算二重积分⎰⎰+-=Dy x y x eI d d )(22,其中闭区域.4:22≤+y x D解 ⎰⎰-=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题(共35分 每题7分)1.设vue z =,而22y x u +=,xy v =,求z d .解:)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)2.函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z所确定,求yzx z ∂∂∂∂,.解:令xyz e z y x F z-=),,(, (2分)则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F zz -= (5分)xye yzF F x z zz x -=-=∂∂, xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂. (7分) 3.计算曲线积分⎰+-Ly x x y d d ,其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段.解:添加有向辅助线段OA ,有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ,根据格林公式⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)ππ=-⋅=022 (7分)4.设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关,其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ,求)(x f .解: 由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+, 即xe xf x f =-')()( (3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=, (6分) 代入初始条件,解得1=C ,所以)1()(+=x e x f x . (7分)5.判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性.解: 因为 )!2()!()!22(])!1[(lim lim221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= (6分) 故该级数收敛. (7分)四、(7分)计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ,其中∑是上半球面221z y x --=的上侧.解:添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ,取下侧,则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (6分)34213π⋅⋅=π2=. (7分)五、(6分)在半径为R 的圆的内接三角形中,求其面积为最大的三角形.解:设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,,则π2=++z y x ,且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=, 令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x .此时,其边长为R R 3232=⋅. 由于实际问题存在最大值且驻点唯一,故当内接三角形为等边三角形时其面积最大. (6分)六、(8分)求级数∑∞=1n nnx 的收敛域,并求其和函数.解: 1)1(lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ,故收敛半径为1=R . (2分) 当1-=x 时,根据莱布尼茨判别法,级数收敛; 当1=x 时, 级数为调和级数,发散.故原级数的收敛域为)1,1[-. (5分)设和为)(x S ,即∑∞==1)(n nnx x S ,求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11, (6分) 再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰-=)1ln(x --=,)11(<≤-x (8分) 七、(5分)设函数)(x f 在正实轴上连续,且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立.如果3)1(=f ,求)(x f . 解:等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ (2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立.令1=y ,且因3)1(=f ,故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(. (3分)由于上式右边可导,所以左边也可导.两边求导,得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f .故通解为 C x x f +=ln 3)(.当1=x 时,3)1(=f ,故3=C . 因此所求的函数为 )1(l n 3)(+=x x f . (5分)八. (5分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程. 解1:由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解,xxe 是非齐次方程的一个特解,故可设此方程为 )(2x f y y y =-'-''将x xe y=代入上式,得x x xe e x f 2)(-=,因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2:由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解,xxe 是非齐次方程的一个特解,故x x x e C e C xe y -++=221是所求微分方程的通解,从而有 x x x x e C e C xe e y --++='2212,x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ,得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B一、填空题(共30分 每小题3分)1.xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x .2.设函数22),,(z yz x z y x f ++=,则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--.3.直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π. 4. 设Ω是曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的区域积分,则⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分形式是⎰⎰⎰-22120d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ.5. 设L 是圆周22x x y -=,取正向,则曲线积分=+-⎰Ly x x y d dπ2.6. 幂级数∑∞=--11)1(n nn n x 的收敛半径1=R .7.设级数∑∞=1n n u 收敛,则=∞→n n u lim 0.8.设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π.9.全微分方程0d d =+y y x x 的通解为Cxy =.10.写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*.二、解答题(共42分 每小题6分)1.求过点)1,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-03202z y x z y x 的平面方程.解:设所求平面的法向量为n ,则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分) 所求平面方程为 032=++z y x (2分)2.函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定,求xz ∂∂. 解:令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=, (2分)则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z . (2分))32c o s (33)32c o s (1z y x z y x F F x z z x -+--+-=-=∂∂ . (2分) 3.计算⎰⎰Dxy σd ,其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域.解法一: 原式⎰⎰=211d ]d [xx y xy (2分)x y x x d ]2[2112⎰⋅=x xx d )22(213⎰-= 811]48[2124=-=x x . (4分)解法二: 原式⎰⎰=212d ]d [y y x xy 811]8[2142=-=y y .(同上类似分)4.计算⎰⎰--Dy x y x d d 122,其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.解: 选极坐标系原式⎰⎰-=2012d 1πθr r r d (3分))1(1)21(22102r d r ---⋅=⎰π6π= (3分) 5.计算⎰Γ-+-z x y yz x z y d d 2d )(222,其中Γ是曲线,t x =,2t y =3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧.解:原式⎰⋅-⋅+-=122564d ]322)[(t t t t t t t (3分)⎰-=146d )23(t t t 1057]5273[t t -=351= (3分)6.判断级数∑∞=-1212n n n 的敛散性. 解: 因为 n n n nn n n n u u 2122)12(lim lim11-+=+∞→+∞→ (3分) 121<=, (2分) 故该级数收敛. (1分) 7.求微分方程043=-'-''y y y 满足初始条件,00==x y 50-='=x y 的特解. 解:特征方程 0432=--r r ,特征根 1,421-==r r通解为 x xe C e C y -+=241, (3分)x xe C e C y --='2414,代入初始条件得 1,121=-=C C ,所以特解x x e e y -+-=4.(3分)三、(8分)计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ,其中∑是上半球面221z y x --=的上侧.解:添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ,取下侧,则在由1∑和∑所围成的 空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x ⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (2分)34213π⋅⋅=π2=. (2分) 四、(8分)设曲线积分⎰-+Ly x x xf x x yf d ])(2[d )(2在右半平面)0(>x 内与路径无关,其中)(x f 可导,且满足1)1(=f ,求)(x f .解:由xQy P ∂∂=∂∂, 得x x f x x f x f 2)(2)(2)(-'+=,即1)(21)(=+'x f xx f , (3分) 所以)d ()(d 21d 21C xeex f x x x x +=⎰⎰-⎰)(2121C dx x x+=⎰-)32(2321C x x+=-, (3分)代入初始条件,解得31=C ,所以xx x f 3132)(+=. (2分)五、(6分)求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值. 解:⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=033),(033),(22x y y x f y x y x f y x 得驻点 )1,1(),0,0( (3分),6),(x y x f xx = ,3),(-=y x f xy y y x f yy 6),(=在点)0,0(处,,092>=-AC B 故)0,0(f 非极值;在点)1,1(处,,0272<-=-AC B 故1)1,1(-=f 是极小值. (3分)六、(6分)试证:曲面)(xyxf z =上任一点处的切平面都过原点.证:因),()(xyf x y x y f x z '-=∂∂ )(1)(x y f x x y f x y z '=⋅'=∂∂ (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ,有)(0000x y f x z =,得切平面方程为))(())](()([)(00000000000000y y x yf x x x y f x y x y f x y f x z -'+-'-=- 即 0)()]()([0000000=-'+'-z y x y f x x y f x y x y f 故切平面过原点. (3分)07A一、 填空题(每小题3分,共21分).1.设向量}5,1,{},1,3,2{-==λb a ,已知a 与b垂直,则=λ1-2.设3),(,2,3π===b a b a ,则=-b a 6-3.yoz 坐标面上的曲线12222=+bz a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=++bz a y x4.过点)0,4,2(且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 垂直的平面方程0832=+--z y x5.二元函数)ln(y x x z +=的定义域为}0,0,({>+≥=y x x y x D6.函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=,则=)1,0,1(gradf }1,0,1{7.设xy e z=,则=dz )(xdy ydx e xy +8.设),(x y x xf u =,f 具有连续偏导数,则=∂∂x u21f xyxf f -+ 9.曲线32,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=T}3,2,1{10.交换积分顺序:⎰⎰=ydx y x f dy 010),(⎰⎰110),(xdyy x f dx11.闭区域Ω由曲面222y x z+=及平面1=z 所围成,将三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰πθθθ20101),sin ,cos (r dz z r r f rdr d12.设L 为下半圆周21x y--=,则=+⎰ds y xL )(22π13.设L 为取正向圆周922=+y x,则=-+-⎰dy x x dx y xy L )4()22(2π18-14.设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧<≤≤<-=ππx xx x f 000)(则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π15.若0lim ≠∞→nn u ,则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散16.级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性是 收敛17.设一般项级数∑∞=1n n u ,已知∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=1n n u 的敛散性是 绝对收敛18.微分方程05)(23=+'-''xy y y x 是 2 阶微分方程19.微分方程044=+'+''y y y 的通解=y xx xe C e C 2221--+20.微分方程x xe y y y 223=+'-''的特解形式为xe b ax x 2)(+二、(共5分)设xy v y x u v u z ===,,ln 2,求yz x z ∂∂∂∂,解:]1)ln(2[1ln 2222+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy y x y v u y v u x v v z x u u z x z]1)ln(2[)(ln 23222--=⋅+-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy yx x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、(共5分) 设022=-++xyz z y x ,求xz∂∂ 解:令xyz z y x z y x F 22),,(-++=x y zyzxyz F x -=xyzxyxyz F z -=xyxyz xyz yz F F x zz x --=-=∂∂ 四、(共5分)计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ,其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域解:y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==xyx xdy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 1010101010)1(241)2(21)1(213102102=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x 五、(共6分)计算⎰-+-Lx x dy y e dx y y e )1cos ()sin (,其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22解:添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ,根据格林 公式⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ⎰⎰⎰-+--=DOAx x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (0)2(212-=a π 381a π= 六、(共6分)求幂级数∑∞=-13)3(n nn n x 的收敛域 解:对绝对值级数,用比值判敛法3313131lim 333)1(3lim lim 111-=-⋅+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n n x n x u u n n nn n n n n n 当1331<-x 时,即60<<x ,原级数绝对收敛 当1331>-x 时,即60><x x 或,原级数发散 当0=x 时,根据莱布尼兹判别法,级数∑∞=-1)1(n nn收敛当6=x时,级数∑∞=11n n发散,故收敛域为)6,0[七、(共5分) 计算dxdy z⎰⎰∑2,其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧解:∑在xoy 面的投影xy D :0,0,122≥≥≤+y x y xdxdy z ⎰⎰∑2dxdy y x xyD )1(22--+=⎰⎰rdr r d )1(20102⎰⎰-=πθ412⋅=π8π=八、(共7分)设0)1(=f ,求)(x f 使dy x f ydx x f x x )()](1[ln ++为某二元函数),(y x u 的全微分,并求),(y x u解:由x Q y P ∂∂=∂∂,得)()(1ln x f x f x x '=+,即x x f xx f ln )(1)(=-' 所以)ln 21()1ln ()ln ()(211C x x C dx x x x C ex ex f dxx dxx+=+⋅=+=⎰⎰⎰⎰---带入初始条件,解得0=C,所以x x x f 2ln 21)(=⎰++=),()0,0(22ln 21)ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u⎰⎰+=xyxdy x 002ln 210x xy 2ln 21=07高数B一、(共60分 每题3分)1. 设向量}4 ,2 ,6{-=a ,}2 ,1 ,{-=λb ,已知a 与b平行,则=λ3-.2. yoz 坐标面上的曲线12222=-c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=-+bz a y x . 3.设3),(,1,2π===∧b a b a ,则a b -=3.4. 设一平面经过点)1,1,1(,且与直线⎩⎨⎧=+=--03042z y y x 垂直,则此平面方程为032=-+z y x .5. 二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为{}012|),(2>+-x y y x .6. 设xye z =,则=z d )d d (y x x y e xy +.7. 函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=,则=)1,0,1(grad f )1,0,1(.8.设(,)y u xf x x =,f 具有连续导数,则u x ∂=∂12yf xf f x''+-.9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(-处的法向量=n{}4,0,2-. 10. 交换积分顺序:⎰⎰=1d ),(d x y y x f x ⎰⎰101d ),(d yx y x f y .11.闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成,将三重积⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰11202d ),sin ,cos (d d rz z r r f r r θθθπ.12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积,则 ⎰⎰∑++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3.13. 设L 为上半圆周21x y -=,则=+⎰Ls y x d )(22π.14. 设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π.15. 若lim 0n n u →∞≠,则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 . 16. 级数∑∞=1!5n n nn n 的敛散性是 收敛 .17.级数∑∞=12sin n nn的敛散性是 收敛 . 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程. 19. 微分方程02=+'-''y y y 的通解为)(21x C C e x +.20.微分方程x xe y y y 2365-=+'+''的特解的形式xe bx ax y 22*)(-+=.三、(共5分)函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定,求xz∂∂. 解:令=),,(z y x F z z y x 4222-++, (1分)则 ,2x F x = ,42-=z F z (2分)zxF F x z z x -=-=∂∂2 (2分) 五、(共6分)计算曲线积分⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22,其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周x y x 222=+.解:添加有向辅助线段,它与上半圆周围成的闭区域记为D ,根据格林公式⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22⎰⎰⎰+---+-=OADy y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分)⎰⎰=Dy x d d ⎰-22d x x 3823212132-=-⋅⋅=ππ (3分)七、(共6设0)1(=f ,确定)(x f 使y x f x xyx f x d )(d )]([sin +-为某二元函数(,)u x y 的全微分.解: 由xQy P ∂∂=∂∂ 得 )()(sin x f x x f x '=-, 即 xxx f x x f s i n )(1)(=+' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1d 1C xe xx ex f x x x+⋅=⎰⎰⎰-)d sin (ln ln C x e xx e xx +⋅=⎰- (2分) )cos (1C x x+-=, (1分) 代入初始条件,解得1cos =C ,所以)cos 1(cos 1)(x xx f -=. (1分) 八、(共6分) 计算⎰⎰∑y x z d d 2,其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分.解:⎰⎰∑y x z d d ⎰⎰∑=1d d y x z ⎰⎰∑+2d d y x (2分)⎰⎰--=xyD y x y x d d )1(22⎰⎰----xyD y x y x d )d 1()1(22 (2分) ⎰⎰--=xyD y x y x d )d 1(222r r r d )1(d 21220⋅-=⎰⎰πθ 4π=(2分)08高数A一、选择题(共24分 每小题3分)1.设{}1111,,p n m s =,{}2221,,p n m s =分别为直线1L ,2L 的方向向量,则1L 与2L 垂直的充要条件是 (A )(A )0212121=++p p n n m m (B )212121p p n n m m ==(C )1212121=++p p n n m m (D )1212121=++p pn n m m 2.Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )(A )12+=y z (B )22x y z +=(C )122++=x y z (D )x y z +=23.二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为 (B )(A ){}02|),(2>-x y y x (B ){}012|),(2>+-x y y x (C ){}012|),(2≤+-x y y x (D ){}0,0|),(≥>y x y x4.交换积分顺序:1d (,)d yy f x y x =⎰⎰ ( A )(A )dy y x f dx x ⎰⎰110),((B )dx y x f dy y ⎰⎰110),((C )dx y x f dy y⎰⎰110),((D )dy y x f dx x⎰⎰110),(5.空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成,则三重积分⎰⎰⎰Ωv d 2= ( C ) (A )2 (B )2π (C )38π (D )34π 6.函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定,则xz∂∂= ( D ) (A )zy -2 (B )y x-2 (C )zz-2 (D )zx-27.幂级数∑∞=13n n nn x 的收敛域是 ( C )(A )][3,3- (B )](3,0(C ) [)3,3- (D )()3,3-8.已知微分方程xe y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*,则它的通解是( B )(A )x xe x C x C ++221(B )x x x xe e C e C ++-221(C )x e x C x C ++221(D )x x x xe e C e C ++-21二、填空题(共15分 每小题3分)1.曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=--z x . 2.若lim 0n n u →∞≠,则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 . 3.级数∑∞=12cos n nn的敛散性是 绝对收敛 . 4.二元函数2221sin)(),(xy x y x f +=,当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题(每题4分,共20分)1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$,答案为(B)2.2.已知 $2x^2y=2$,求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$,答案为(D)不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$,答案为(D)$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续,且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$,则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的(A)极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续,且 $F(0)=0$,则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为(D)$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空:(每题4分,共20分)1.$\iint\limits_D dxdy=1$,若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$,则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为(未完成)。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为(未完成)。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$,则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为(未完成)。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$,若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$,则 $D$ 的面积为(未完成)。

高数-下-期末考试试卷及答案

高数-下-期末考试试卷及答案

2017学年春季学期《高等数学Ⅰ(二)》期末考试试卷(A)注意:1、本试卷共 3 页;2、考试时间110分钟;3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题(8个小题,每小题2分,共16分)将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中.1.已知a 与b都是非零向量,且满足-=+a b a b ,则必有( )。

(A)-=0a b (B)+=0a b (C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2。

极限2222001lim()sinx y x y x y →→+=+( ).(A ) 0(B) 1 (C) 2(D )不存在 3.下列函数中,d f f =∆的是( )。

(A )(,)f x y xy = (B )00(,),f x y x y c c =++为实数(C )(,)f x y =(D )(,)e x y f x y +=4.函数(,)(3)f x y xy x y =--,原点(0,0)是(,)f x y 的( ).(A )驻点与极值点 (B )驻点,非极值点 (C )极值点,非驻点 (D )非驻点,非极值点 5.设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤,若1d 4D x y I σ+=⎰⎰,2DI σ=,3DI σ=,则有( )。

(A )123I I I << (B )123I I I >> (C )213I I I << (D )312I I I <<6.设椭圆L :13422=+y x 的周长为l ,则22(34)d L x y s +=⎰( ). (A) l (B ) l 3 (C) l 4 (D ) l 127.设级数∑∞=1n na为交错级数,0()n a n →→+∞,则( )。

(A)该级数收敛 (B )该级数发散(C )该级数可能收敛也可能发散 (D )该级数绝对收敛 8.下列四个命题中,正确的命题是( )。

(A )若级数1nn a∞=∑发散,则级数21nn a∞=∑也发散(B)若级数21nn a∞=∑发散,则级数1nn a∞=∑也发散 (C)若级数21nn a∞=∑收敛,则级数1nn a∞=∑也收敛(D )若级数1||nn a∞=∑收敛,则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题,每小题2分,共14分).1。

2020-2021大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷A1(含答案)

2020-2021大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷A1(含答案)

2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷A1适用专业: 考试日期: 试卷类型:闭卷 考试时间:120分钟 试卷总分:100分一.填空题:(共5小题,每小题3分,共15分)1.设(,)z f u v =可微2(,)z f xy x =,则zx∂=∂ ,z y ∂=∂ .2.微分方程220y y y '''-+=的通解为 .3.改变积分顺序1210(,)x dx f x y dy ⎰⎰= .4.函数u=xyz 在点(1,1,1)处最大的方向导数是 .5.设以2π为周期函数()f x 傅里叶级数为1[cos sin ]2n n n a a nx b nx ∞=++∑ , 那么n a = ,n b = .二.单项选择. (共7小题,每小题2分,共14分)1.下列说法正确的是( );(A)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在,则一定连续. (B)函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微,则一定连续.(C)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在,则一定可微. (D) 函数),(y x f z =在点),(00y x 处无极限,,则偏导数一定不存在. 2.级数1(1)nn ∞=-∑一定 ( ); (A) 绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)无法确定收敛性. 3.积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是( );(A)x Q y P ∂∂=∂∂ , (B) xQ y P ∂∂-=∂∂, (C) y Q x P ∂∂=∂∂ , (D) y Q y P ∂∂=∂∂. 4. 设),(y x f z =可微,则曲面)32,(y x xy f z +=的一个法向量是( );(A)12{,,1}f f - , (B) 1212{2,3,1}yf f xf f ++-, (C) {,2,1}yf f ''-, (D) 1212{2,3,1}yf f xf f ++5.设Ω是由锥面22y x z +=与平面2z =围成,则3dxdydz Ω⎰⎰⎰=( );(A) 83π , (B) 3π , (C) 4π, (D)8π.6.若∑是上半球面z =,则对面积的曲面积分∑⎰⎰=( );(A) 0 , (B) 2π , (C) 4π, (D)8π. 7. 微分方程2dyxy dx=,(0)2y =的解为( ). (A) 2x ce , (B) 2x e , (C) 22x e , (D) 22x ce . 三、计算下列各题.(共5小题,每小题8分,共40分)1.设01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩,求,u v x x ∂∂∂∂.2.求曲面22y x z +=夹在平面z=0,z=4之间的曲面面积.3.222()Lx y z ds ++⎰,其中L 是曲线cos ,sin ,x a t y a t z t ===上相应于t 从0到2π的一段弧.4.求I=⎰⎰∑++zdxdy ydxdz xdydz ,其中∑是上半球面z =的上侧.5.求(sin )(cos )x x L I e y ky dx e y k dy =-+-⎰,其中L 是由点)0,(a 到点(0,0)的上半圆周022=-+ax y x (y ≥0).四.(8分)验证方程2223(36)(64)0x xy dx x y y dy +++=是全微分方程,求其通解.五.(11分)求幂级数210121n n x n ∞+=+∑的收敛半径,收敛区域与和函数()s x .并且求201(21)3nn n ∞=+∑的和.六.(12分)在第一卦限内作球面2221x y z ++=的切平面,使切平面与三坐标平面所围的四面体体积最小,并且求切点坐标.2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷A1答案适用专业: 考试日期: 试卷类型:闭卷 考试时间:120分钟 试卷总分:100分一.填空题:(共5小题,每小题3分,共15分)1.设2(,)z f xy x =,则zx∂=∂122yf xf + ,z y ∂=∂1xf .2.微分方程220y y y '''-+=的通解为12(cos sin )x y e C x C x =+ .3.改变积分顺序121(,)x dx f x y dy ⎰⎰=1/2211/011/21(,)(,)ydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰. 4.函数u=xyz 在点(1,1,1)5.设以2π为周期函数()f x 傅里叶级数为01[cos sin ]2n n n a a nx b nx ∞=++∑ , 那么n a =1()cos f x nxdx πππ+-⎰,n b =1()sin f x nxdx πππ+-⎰ .二.单项选择. (共7小题,每小题2分,共14分)1.下列说法正确的是( B );(A)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在,则一定连续. (B)函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微,则一定连续.(C)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在,则一定可微. (D) 函数),(y x f z =在点),(00y x 处无极限,,则偏导数一定不存在. 2.设曲线L 为正方形 1x y += 的边界,则Ldsx y+⎰ =( D ); (A) 0(B)(C) 3.积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是(A ).(A)x Q y P ∂∂=∂∂ , (B) xQ y P ∂∂-=∂∂, (C) y Q x P ∂∂=∂∂ , (D) y Q y P ∂∂=∂∂. 4.曲面2224x y z ++=在点的一个法向量是( B ).(A){1,1,1}- ,(B) {,(C) {1,1,, (D) {1,--5.函数22(,)44f x y x y x y =---的极大值为( C ).(A) (2,2)8f =- , (B) (0,0)0f = , (C) (2,2)8f -=, (D)不存在. 6. 若∑是上半球面z=,则对面积的曲面积分∑⎰⎰=(A ).(A)0 , (B) 2π , (C) 4π, (D)8π. 7. 微分方程2dyxy dx=,(0)2y =的解为(C ). (A) 2x ce , (B) 2x e , (C) 22x e , (D) 22x ce . 三、计算下列各题.(共5小题,每小题8分,共40分)1.设01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩,求,u v x x ∂∂∂∂.解22u xu yvx x y ∂+=-∂+,…….. 4分 ……22u yu xv x x y∂-=∂+……. 8分 2.求曲面22y x z +=夹在平面z=0,z=4之间的曲面面积.解 ⎰⎰++=Ddxdy y x S 22441 ………… 4分=)11717(64120202-=+⎰⎰ππθrdr r d ……….. 8分3.222()Lx y z ds ++⎰,其中L 是曲线cos ,sin ,x a t y a t z t ===上相应于t 从0到2π的一段弧.解 222()L x y z ds ++⎰=dt a t t a t a 1)cos sin (2202222+++⎰π…… 4分222)a ππ+ (8)分4.求I=dydz dxdy ∑+,其中∑是上半球面z =的上侧.解 因为2221x y z ++=,则I xdydz ydxdz zdxdy ∑=++⎰⎰由高斯公式得I=⎰⎰∑+∑++1zdxdy ydzdx xdydz - ⎰⎰∑++1zdxdy ydxdz xdydz ……4分=dxdydz ⎰⎰⎰Ω3-0………… 6分=2π-0=2π………… 8分5.求(sin )(cos )x x L I e y ky dx e y k dy =-+-⎰,其中L 是由点)0,(a 到点(0,0)的上半圆周022=-+ax y x (y ≥0).解k yPx Q =∂∂-∂∂,由格林公式 1(sin )(cos )x x L L I e y ky dx e y k dy +=-+-⎰1(sin )(cos )x x L e y ky dx e y k dy --+-⎰=⎰⎰-Dkdxdy 0=28a kπ……… 8分四.(8分)设函数()y f x =满足全微分方程2(())(())0xy yf x dx f x x dy -++=,求()f x . 解 因为是全微分方程,则()()2P Qx f x f x x y x∂∂'=-==+∂∂,………. 4分 于是()(),f x f x x '+=-或y y x '+=-则 1x y x Ce =++,即 ()1x f x x Ce =++………..8分五.(12分)求幂级数210(1)21n n n x n ∞+=-+∑的收敛半径,收敛区域与和函数()s x .并且求0(1)(21)3nnn n ∞=-+∑的和. 解 R=1lim+∞→n nn a a =1 ……3 分. 因为1-=x ,1=x ,210(1)21n n n x n ∞+=-+∑发散,所以收敛区域为(1,1)-......5分 (21)0(1)arctan 21n n n x x n ∞+=-=+∑=()s x …………………8分令x =1)0(1)(2nn n n ∞+=-+∑=arctan 6π=…(1)(21)36n nn n ∞=-=+∑…..12分 六.(10分)求均匀半球体0z ≤≤的质心坐标.解 设 质心坐标为(,,)x y z , 球体密度为ρ ,则x = 0y =… ..2分因为 32,,3zdv z dv a dv ρρρπρΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2/22401cos sin 4azdv d d r r d a ππρρθϕθθθρπΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰………..8分 于是,38z a =则质心坐标为3(0,0,)8π………..10分。

高等数学下期末试题七套附答案

高等数学下期末试题七套附答案

高等数学(下)试卷一一、 填空题(每空3分,共15分)(1)函数z =的定义域为 (2)已知函数arctany z x =,则zx ∂=∂(3)交换积分次序,2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰=(4)已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段,则()Lx y ds +=⎰(5)已知微分方程230y y y '''+-=,则其通解为二、选择题(每空3分,共15分)(1)设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩,平面π为4220x y z -+-=,则( ) A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交(2)设是由方程xyz =(1,0,1)-处的dz =( ) A.dx dy +B.dx +D.dx(3)已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域,将22()x y dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为( ) A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D.22520d r dr dzπθ⎰⎰⎰(4)已知幂级数,则其收敛半径( )A. 2B. 1C. 12D. (5)微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=( )A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题(每题8分,共48分)1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L :21211x y z+-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =,求zx ∂∂, z y ∂∂3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤,利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin)()yLxy x dx x e dy++-⎰,其中L为摆线sin1cosx t ty t=-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O到(,2)Aπ的一段弧6、求微分方程xxy y xe'+=满足11xy==的特解四.解答题(共22分)1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy∑+-⎰⎰,其中∑由圆锥面z=与上半球面z=(10)'2、(1)判别级数111(1)3nnnn∞--=-∑的敛散性,若收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;(6')(2)在(1,1)x∈-求幂级数1nnnx∞=∑的和函数(6')高等数学(下)试卷二一.填空题(每空3分,共15分)(1)函数z=的定义域为;(2)已知函数xyz e=,则在(2,1)处的全微分dz=;(3)交换积分次序,ln10(,)e xdx f x y dy⎰⎰=;(4)已知L是抛物线2y x=上点(0,0)O与点(1,1)B之间的一段弧,则=⎰;(5)已知微分方程20y y y'''-+=,则其通解为.二.选择题(每空3分,共15分)(1)设直线L为30x y zx y z++=⎧⎨--=⎩,平面π为10x y z--+=,则L与π的夹角为();A. 0B. 2πC. 3πD. 4π(2)设是由方程333z xyz a-=确定,则zx∂=∂();A.2yzxy z- B. 2yzz xy- C. 2xzxy z- D. 2xyz xy-(3)微分方程256xy y y xe'''-+=的特解y*的形式为y*=();A.2()xax b e+ B.2()xax b xe+ C.2()xax b ce++ D.2()xax b cxe++(4)已知Ω是由球面2222x y z a++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为();A222000sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰B.22000ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.2000ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰D.22000sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰(5)已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑,则其收敛半径( ).A. 2B. 1C. 12D. 三.计算题(每题8分,共48分)5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=,求zx ∂∂, z y ∂∂ .7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤,利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy-+-⎰,其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四.解答题(共22分)1、(1)(6')判别级数11(1)2sin 3n nnn π∞-=-∑的敛散性,若收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;(2)(4')在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰,∑为抛物面22z xy =+(01)z ≤≤的下侧高等数学(下)模拟试卷三一. 填空题(每空3分,共15分)1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+,在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx = .二.选择题(每空3分,共15分)1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 (A )可去 (B )跳跃(C )无穷 (D )振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。

高等数学下期末试题七套附答案

高等数学下期末试题七套附答案

高等数学〔下〕试卷一一、填空题〔每空3分,共15分〕〔1〕函数11z x y x y =++-的定义域为〔2〕函数arctany z x =,那么zx ∂=∂〔3〕交换积分次序,2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰=〔4〕L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段,那么()Lx y ds +=⎰〔5〕微分方程230y y y '''+-=,那么其通解为二、选择题〔每空3分,共15分〕 〔1〕设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩,平面π为4220x y z -+-=,那么〔〕 A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交〔2〕设是由方程2222xyz x y z +++=确定,那么在点(1,0,1)-处的dz =〔〕A.dx dy +B.2dx dy +C.22dx dy +D.2dx dy - 〔3〕Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域,将22()xy dvΩ+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为〔〕 A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D.22520d r dr dzπθ⎰⎰⎰〔4〕幂级数,那么其收敛半径〔〕A. 2B. 1C. 12 D.2〔5〕微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=〔〕A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题〔每题8分,共48分〕1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L :21211x y z+-==的平面方程 2、 22(,)z f xy x y =,求z x ∂∂,zy ∂∂得分阅卷人3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤,利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)xf x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰,其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程xxy y xe '+=满足11x y ==的特解四.解答题〔共22分〕1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy∑+-⎰⎰,其中∑由圆锥面22z x y =+与上半球面222z x y =--所围成的立体外表的外侧(10)'2、〔1〕判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性,假设收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;〔6'〕〔2〕在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数〔6'〕高等数学〔下〕试卷二一.填空题〔每空3分,共15分〕〔1〕函数24x y z -=的定义域为; 〔2〕函数xyz e =,那么在(2,1)处的全微分dz =;〔3〕交换积分次序,ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰=;〔4〕L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧,那么L yds =⎰;〔5〕微分方程20y y y '''-+=,那么其通解为.二.选择题〔每空3分,共15分〕〔1〕设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩,平面π为10x y z --+=,那么L 与π的夹角为〔〕;A. 0B. 2πC. 3πD. 4π〔2〕设是由方程333z xyz a -=确定,那么z x ∂=∂〔〕;A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D.2xy z xy - 〔3〕微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=〔〕;A.2()x ax b e +B.2()xax b xe + C.2()x ax b ce ++ D.2()x ax b cxe ++〔4〕Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为〔〕; A2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰〔5〕幂级数1212nnn n x ∞=-∑,那么其收敛半径〔〕.A. 2B. 1C. 12 D.2三.计算题〔每题8分,共48分〕5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、(sin cos ,)x yz f x y e +=,求z x ∂∂,zy ∂∂ . 7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤,利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy-+-⎰,其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程32(1)1y y x x '-=++的通解.四.解答题〔共22分〕1、〔1〕〔6'〕判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性,假设收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;〔2〕〔4'〕在区间(1,1)-内求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰,∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧得分阅卷人得分高等数学〔下〕模拟试卷三一.填空题〔每空3分,共15分〕1、函数arcsin(3)y x =-的定义域为.2、22(2)lim 332n n n n →∞++-=.3、2ln(1)y x =+,在1x =处的微分dy =. 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二.选择题〔每空3分,共15分〕1、2x =是函数22132x y x x -=-+的连续点 〔A 〕可去 〔B 〕跳跃 〔C 〕无穷 〔D 〕振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是。

高等数学下册期末考试及试题答案

高等数学下册期末考试及试题答案

高等数学A(下册)期末考试试题一、填空题:(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上)1、已知向量a r、b r满足0a b +=r rr,2a =r,2b =r ,则a b ⋅=r r . 2、设ln()z x xy =,则32zx y∂=∂∂ . 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 .4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于,在x π=处收敛于 .5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则()Lx y ds +=⎰.※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级.二、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分)1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程.2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积. 3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? 4、设(,)sin x z f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z zx x y∂∂∂∂∂.5、计算曲面积分,dSz ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部. 三、(本题满分9分) 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.(本题满分10分)计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰,其中m 为常数,L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>.四、(本题满分10分)求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数.五、(本题满分10分)计算曲面积分332223(1)Ix dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰,其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧.六、(本题满分6分)设()f x 为连续函数,(0)f a =,222()[()]tF t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰,其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域,求 30()lim t F t t+→. -------------------------------------备注:①考试时间为2小时;②考试结束时,请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交; 不得带走试卷。

高数下期末考试试题及答案解析

高数下期末考试试题及答案解析

2017学年春季学期《高等数学Ⅰ(二)》期末考试试卷(A )注意:1、本试卷共 3 页;2、考试时间110分钟;3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题(8个小题,每小题2分,共16分)将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中.1.已知a 与b都是非零向量,且满足-=+a b a b ,则必有( ). (A )-=0a b (B)+=0a b (C)0⋅=a b (D )⨯=0a b 2.极限2222001lim()sinx y x y x y→→+=+( ). (A) 0 (B ) 1 (C) 2 (D)不存在 3.下列函数中,d f f =∆的是( ).(A)(,)f x y xy = (B )00(,),f x y x y c c =++为实数(C )(,)f x y =(D)(,)e x yf x y +=4.函数(,)(3)f x y xy x y =--,原点(0,0)是(,)f x y 的( ).(A)驻点与极值点 (B )驻点,非极值点 (C )极值点,非驻点 (D)非驻点,非极值点 5.设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤,若1d 4D x y I σ+=⎰⎰,2D I σ=,3DI σ=,则有( )。

(A )123I I I << (B)123I I I >> (C )213I I I << (D )312I I I <<6.设椭圆L :13422=+y x 的周长为l ,则22(34)d L x y s +=⎰( ). (A ) l (B ) l 3 (C) l 4 (D) l 127.设级数∑∞=1n na为交错级数,0()n a n →→+∞,则( ).(A )该级数收敛 (B)该级数发散 (C )该级数可能收敛也可能发散 (D )该级数绝对收敛 8.下列四个命题中,正确的命题是( )。

(A )若级数1nn a∞=∑发散,则级数21nn a∞=∑也发散 (B )若级数21nn a ∞=∑发散,则级数1nn a ∞=∑也发散 (C )若级数21nn a∞=∑收敛,则级数1nn a∞=∑也收敛(D )若级数1||nn a∞=∑收敛,则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题,每小题2分,共14分).1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交,则常数a 为 。

高数下期末考试试题和答案解析

高数下期末考试试题和答案解析

2017学年春季学期《高等数学Ⅰ(二)》期末考试试卷(A )注意:1、本试卷共 3 页;2、考试时间110分钟;3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题(8个小题,每小题2分,共16分)将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中.1.已知a 与b都是非零向量,且满足-=+a b a b ,则必有( ). (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2.极限2222001lim()sinx y x y x y →→+=+( ).(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3.下列函数中,d f f =∆的是( ).(A )(,)f x y xy = (B )00(,),fx y x y c c =++为实数(C )(,)f x y =(D )(,)e x y f x y +=4.函数(,)(3)f x y xy x y =--,原点(0,0)是(,)f x y 的( ).(A )驻点与极值点 (B )驻点,非极值点 (C )极值点,非驻点 (D )非驻点,非极值点 5.设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤,若1d 4D x y I σ+=⎰⎰,2DI σ=,3DI σ=,则有( ).(A )123I I I << (B )123I I I >> (C )213I I I << (D )312I I I <<6.设椭圆L :13422=+y x 的周长为l ,则22(34)d L x y s +=⎰( ). (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 127.设级数∑∞=1n na为交错级数,0()n a n →→+∞,则( ).(A)该级数收敛 (B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中,正确的命题是( ). (A )若级数1nn a∞=∑发散,则级数21nn a∞=∑也发散 (B )若级数21nn a∞=∑发散,则级数1nn a ∞=∑也发散 (C )若级数21nn a∞=∑收敛,则级数1nn a∞=∑也收敛(D )若级数1||nn a∞=∑收敛,则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题,每小题2分,共14分).1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交,则常数a 为 .2.设(,)ln(),y f x y x x=+则(1,0)y f '=______ _____.3.函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 .4.设22:2D x y x +≤,二重积分()d Dx y σ-⎰⎰= .5.设()f x 是连续函数,22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--,22()d f x y v Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下的三次积分为 . 6.幂级数11(1)!nn n x n ∞-=-∑的收敛域是 . 7.将函数21,0()1,0x f x x x ππ--<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩以2π为周期延拓后,其傅里叶级数在点x π=处收敛于 .三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名…………………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………三、综合解答题一(5个小题,每小题7分,共35分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1.设(,)x u xf x y =,其中f 有连续的一阶偏导数,求ux∂∂,u y ∂∂.解: 2.求曲面e 3z z xy ++=在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程. 解:3.交换积分次序,并计算二次积分0sin d d xyx y yππ⎰⎰. 解:4.设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间闭区域,求23d d d I xy z x y z Ω=⎰⎰⎰. 解:5.求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数()S x ,并求级数12nn n ∞=∑的和. 解:三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名…………………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………四、综合解答题二(5个小题,每小题7分,共35分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1.从斜边长为1的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形. 解2.计算积分22()d Lx y s +⎰,其中L 为圆周22x y ax += (0a >).解:3.利用格林公式,计算曲线积分22()d (2)d LI xy x x xy y =+++⎰,其中L 是由抛物线2y x =和2x y =所围成的区域D 的正向边界曲线.4. 计算d x S ∑⎰⎰,∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分.解:5.利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d d d d d d x y y z z x S++蝌,其中∑为圆锥面222z x y =+介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧. 解:三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名…………………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………2y x =2x y =y2017学年春季学期《高等数学Ⅰ(二)》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题(8个小题,每小题2分,共16分)1.已知a 与b 都是非零向量,且满足-=+a b a b ,则必有(D ) (A)-=0a b ; (B)+=0a b ; (C)0⋅=a b ; (D)⨯=0a b .2.极限2222001lim()sin x y x y x y→→+=+ ( A ) (A) 0; (B) 1; (C) 2; (D)不存在. 3.下列函数中,d f f =∆的是( B );(A ) (,)f x y xy =; (B )00(,),f x y x y c c =++为实数;(C )(,)f x y =(D )(,)e x yf x y +=.4.函数(,))f x y y ,原点(0,0)是(,)f x y 的( B ).(A )驻点与极值点; (B )驻点,非极值点; (C )极值点,非驻点; (D )非驻点,非极值点.5.设平面区域D :22(1)(1)2x y -+-≤,若1d 4D x y I σ+=⎰⎰,2DI σ=,3DI σ=,则有( A ) (A )123I I I <<; (B )123I I I >>; (C )213I I I <<; (D )312I I I <<.6.设椭圆L :13422=+y x 的周长为l ,则22(34)d L x y s +=⎰(D ) (A) l ; (B) l 3; (C) l 4; (D) l 12.7.设级数∑∞=1n na为交错级数,0()n a n →→+∞,则( C )(A)该级数收敛; (B)该级数发散;(C)该级数可能收敛也可能发散; (D) 该级数绝对收敛. 8.下列四个命题中,正确的命题是( D ) (A )若级数1nn a∞=∑发散,则级数21nn a∞=∑也发散; (B )若级数21nn a∞=∑发散,则级数1nn a∞=∑也发散; (C )若级数21nn a∞=∑收敛,则级数1nn a∞=∑也收敛;(D )若级数1||nn a∞=∑收敛,则级数21n n a ∞=∑也收敛.二、填空题(7个小题,每小题2分,共14分).1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交,则常数a 为 3 。

高数下期末考试试题及答案解析

高数下期末考试试题及答案解析

专业资料 值得拥有2017学年春季学期1.已知与都是非零向量,且满足,则必有( ).(A) (B) (C ) (D ) 2.极限( ).(A ) 0 (B) 1 (C ) 2 (D)不存在3.下列函数中,的是( ). (A ) (B ) (C) (D )4.函数,原点是的( )。

(A)驻点与极值点 (B )驻点,非极值点 (C )极值点,非驻点 (D )非驻点,非极值点 5.设平面区域,若,,,则有( )。

(A ) (B) (C ) (D ) 6.设椭圆:的周长为,则( )。

(A ) (B ) (C ) (D ) 7.设级数为交错级数,,则( ).(A )该级数收敛 (B)该级数发散(C )该级数可能收敛也可能发散 (D )该级数绝对收敛 8。

下列四个命题中,正确的命题是( )。

(A)若级数发散,则级数也发散 (B )若级数发散,则级数也发散 (C)若级数收敛,则级数也收敛 (D)若级数收敛,则级数也收敛二、填空题(7个小题,每小题2分,共141。

直线与轴相交,则常数为 . 2.设则______ _____.3.函数在处沿增加最快的方向的方向导数为 .4.设,二重积分= . 5.设是连续函数,,在柱面坐标系下的三次积分为 . 6。

幂级数的收敛域是 .7。

将函数以为周期延拓后,其傅里叶级数在点处收敛 于 。

三、综合解答题一(5个小题,每小题7分,共35分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1.设,其中有连续的一阶偏导数,求,. 解:2.求曲面在点处的切平面方程及法线方程. 解:3.交换积分次序,并计算二次积分. 解:4.设是由曲面及 所围成的空间闭区域,求。

解:5.求幂级数的和函数,并求级数的和. 解:四、综合解答题二(5个小题,每小题7分,共35分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1。

从斜边长为1的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形. 解2.计算积分,其中为圆周 ().解:3.利用格林公式,计算曲线积分,其中是由抛物线和所围成的区域的正向边界曲线.4. 计算,为平面在第一卦限部分。

2013-2014-1工科高数(2-1)期末试卷A答案

2013-2014-1工科高数(2-1)期末试卷A答案

2013—2014学年第一学期《高等数学(2-1)》期末考试A 卷(工科类)参考答案及评分标准一.(共5小题,每小题3分,共计1 5 分)判断下列命题是否正确?在题后的括号内打“√”或“⨯” ,如果正确,请给出证明,如果不正确请举一个反例进行说明. 1.若)(x f 在),(∞+a 无界,则∞=∞+→)(lim x f x .( ⨯ )------------- ( 1分 )例如:x x x f sin )(=,在),1(∞+无界,但∞≠∞+→x x x sin lim . ------- ( 2分 )2.若)(x f 在0x 点连续,则)(x f 在0x 点必可导.( ⨯ )------------- ( 1分 ) 例如:x x f =)(,在0=x 点连续,但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ ( 2分 ) 3.若0lim =∞→n n n y x ,则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y ( ⨯ )-------------- ( 1分 )例如:,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ,但n n x ∞→lim ,n n y ∞→lim 都不存在. ---------------------------- ( 2分 ) 4.若0)(0='x f ,则)(x f 在0x 点必取得极值.( ⨯ )------------------- ( 1分 )例如:3)(x x f =,0)0(='f ,但3)(x x f =在0=x 点没有极值. ---------( 2分 )5.若)(x f 在],[b a 有界,则)(x f 在],[b a 必可积.( ⨯ )------------- ( 1分 ) 例如:⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数,当x x x D ,在]1,0[有界,但)(x D 在]1,0[不可积. ( 2分 )二.(共3小题,每小题7分,共计2 1分)1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的间断点,并判断其类型. 解 函数x x x f cot )(⋅=的间断点为:,2,1,0,±±==k k x π ------------------------------------------------------- ( 3分 )当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷间断点 . --------- ( 2分 )2.求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解 ⎰-+∞→+x xt x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------(3分) xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------(1分) 3.设方程)0,0(>>=y x x y yx 确定二阶可导函数)(x y y =,求22d ydx.解1 对yx x y =两边取对数,得 x yy x ln 1ln 1=,即 x x y y ln ln =,-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导,得:x dx dy y ln 1)ln 1(+=+,即yx dx dy ln 1ln 1++=,------- ( 2分 ) ⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 ) 322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 ) 解2 对yx x y =两边取对数,得 x yy x ln 1ln 1=,----------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导,x y dx dy x y dx dy y x y x 11ln 111ln 122⋅+⋅⋅-=⋅⋅+-xx xy yy xy dx dy ln ln 22++=∴ (直接再求导比较繁琐,需化简后再求导)----------------------------------------------------------------------------------------- ( 2分 )由x yy x ln 1ln 1=得x x y y ln ln =, xx xy y y xy dx dy ln ln 22++=y xy xy x xy xy ln ln ++=y xln 1ln 1++=, 以下同解1. 三.(共3小题,每小题7分,共计2 1分)1.求不定积分⎰+dx xx x 23sin 1cos sin . 解 ⎰⎰+-=+)(s i n s i n 1)s i n 1(s i n s i n 1c o s s i n 2223x d xx x dx x x x ------------------------(2分) (令t x =sin ) =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212 ------------------(2分) C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------(3分)2.设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数,求⎰'dx x f x )(.解 )(ln 2)ln (2x f xxx ==' ,------------------------------------------------- ( 2分 ) C x dx x f +=∴⎰2ln )(,------------------------------------------------------- ( 2分 ) ⎰⎰='∴)()(x df x dx x f x⎰-=dx x f x f x )()(.ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3.求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442c o s s i n ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------(2分)dx x 2cos 274⎰=π----------------------------------------------------------(2分)(令t x =2) dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------(1分).!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------(1分) 四.(共2小题,每小题6分,共计1 2分)1.已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加,宽w 以3cm/s 的速度增加,则当长为12cm ,宽为5cm 时,它的对角线的增加率是多少?解:设长方形的对角线为y ,则 222w l y += ----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导,得 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222, 即 dtdw w dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------(1)-------------------------------- ( 2分 ) 已知,2=dt dl ,3=dtdw ,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入(1)式,得 对角线的增加率:3=dt dy(cm/s ). -------------------------------------------------- ( 2分 ) 2.物体按规律2x ct =做直线运动,该物体所受阻力与速度平方成正比,比例系数为1,计算该物体由0x =移至x a =时克服阻力所做的功.解 ct dtdxt v 2)(== ----------------------------------------------------------- ( 2分 ) cx t c t c k x f 444)(2222===, -------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdx W 04=22ca . ------------------------------------------------------ ( 2分 )五.(本题10分)已知x x x f arctan 5)(-=,试讨论函数的单调区间,极值,凹凸性,拐点,渐近线解 函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(x x x x f +-=+-=',令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ,得可能拐点的横坐标:.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间,极值,凹凸性,拐点:----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ),1)arctan 51(lim )(lim1=-==∞+→∞+→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 11π-=-=-=∞+→∞+→x x a x f b x x ,1)arctan 51(lim )(lim2=-==∞-→∞-→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 22π=-=-=∞-→∞-→x x a x f b x x 渐近线为:.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 ) 六.(共2小题,每小题7分,共计14分) 1. 试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解:⎰⎰∞+-∞+==02dx xe dx y V x ππ------------------------------------------------------(4分)[]x x xe x ex -+∞→∞+-+-=+-=)1(lim )1(0πππππππ=-=+-=+∞→01limxx e x ----------------------------------------------(3分)2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解 特征方程为:,0452=++r r 特征根:.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为:.241x xe C eC y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根,可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 )代入原方程可得,.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 ) 故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C eC y x x-------------------------------- ( 1分 )七.(本题7分)叙述罗尔)(Rolle 中值定理,并用此定理证明:方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π内至少有一个实根,其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Ro lle中值定理:设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,)()(b f a f =,则),(b a ∈∃ξ,使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 )令nnx a xa x a x f n sin 22sin sin )(21+++= ,-------------------------------------- ( 2分 ) 在],0[π上连续,在),0(π内可导,且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ,0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理,),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ,即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π内至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下:第 一 章 函数与极限 13 %; 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %; 第 三 章 微分中值定理与导数的应用 20 %; 第 四 章 不定积分 14 %; 第 五 章 定积分及其应用 30 % . 第 六 章 常微分方程 7 % .。

高等数学期末考试试题及解答

高等数学期末考试试题及解答

高等数学(下)期末试题(2)二、填空题(每题3分,总计15分)。

1、函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值,则常数a =______。

2、若曲面2222321x y z ++=的切平面平行于平面46250x y z -++=,则切点坐标为______________________。

3、二重积分3110x ydyye dx -蝌的值为______________。

5、微分方程2yy x y ¢=+的通解为_____________________。

三、计算题(每题7分,总计35分)。

2、设(,)z f x y xy =-具有连续的二阶偏导数,求2z x y¶抖。

3、将函数23()2f x x x=--展开成x 的幂级数,并指出收敛域。

4、设)(x y y 满足方程322x y y y e ⅱ?-+=,且其图形在点)1,0(与曲线21y x x =-+相切,求函数)(x y 。

5、计算222Ldsx y z++ò,其中L 是螺旋线8cos ,8sin ,x t y t z t ===对应02t p#的弧段。

四、计算题(每题7分,总计35分)。

1、设0a >,计算极限23123lim ()n n na a a a??++++的值。

2、计算z dv W蝌?,其中W 由不等式z ?22214x y z ?+?所确定。

4、将函数()(11)f x x x =-#展开成以2为周期的傅立叶级数。

5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足(1)3f =,计算曲线积分22(())(())Ly f x x dx x f x y dy +++ò的值,假定此积分在右半平面内与路径无关,曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。

五、本题5分。

对0p >,讨论级数11(1)nn n n p¥+=-å的敛散性。

高数下期末考试试题及答案解析

高数下期末考试试题及答案解析

高数下期末考试试题及答案解析(总6页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--22017学年春季学期《高等数学Ⅰ(二)》期末考试试卷(A )注意: 1、本试卷共 3 页;2、考试时间110分钟;3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题(8个小题,每小题2分,共16分)将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中.1.已知a 与b都是非零向量,且满足-=+a b a b ,则必有( ). (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0⋅=a b (D)⨯=0a b2.极限2222001lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在3.下列函数中,d f f =∆的是( ).(A )(,)f x y xy = (B )00(,),f x y x y c c =++为实数 (C )(,)f x y =(D )(,)e x y f x y +=4.函数(,)(3)f x y xy x y =--,原点(0,0)是(,)f x y 的( ). (A )驻点与极值点 (B )驻点,非极值点 (C )极值点,非驻点 (D )非驻点,非极值点 5.设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤,若1d 4Dx y I σ+=⎰⎰,2DI σ=,3DI σ=,则有( ). (A )123I I I << (B )123I I I >> (C )213I I I << (D )312I I I <<6.设椭圆L :13422=+y x 的周长为l ,则22(34)d L x y s +=⎰( ). (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 127.设级数∑∞=1n n a 为交错级数,0()n a n →→+∞,则( ).(A)该级数收敛 (B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中,正确的命题是( ).(A )若级数1n n a ∞=∑发散,则级数21n n a ∞=∑也发散(B )若级数21n n a ∞=∑发散,则级数1n n a ∞=∑也发散(C )若级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1n n a ∞=∑也收敛(D )若级数1||n n a ∞=∑收敛,则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题,每小题2分,共14分).1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交,则常数a 为 .2.设(,)ln(),y f x y x x=+则(1,0)y f '=______ _____.3.函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 .4.设22:2D x y x +≤,二重积分()d Dx y σ-⎰⎰= .5.设()f x 是连续函数,22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--,22()d f x y v Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下的三次积分为 .6.幂级数11(1)!nn n x n ∞-=-∑的收敛域是 . 三峡大学 试卷纸 教学班 序 学 姓名 …………………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………37.将函数21,0()1,0x f x xx ππ--<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩以2π为周期延拓后,其傅里叶级数在点x π=处收敛于 .三、综合解答题一(5个小题,每小题7分,共35分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1.设(,)x u xf x y=,其中f 有连续的一阶偏导数,求ux∂∂,u y ∂∂. 解:2.求曲面e 3z z xy ++=在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程. 解:3.交换积分次序,并计算二次积分0sin d d xyx y yππ⎰⎰. 解:4.设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间闭区域,求23d d d I xy z x y z Ω=⎰⎰⎰.解:三峡大学 试卷纸 教学班 序 学 姓名 …………………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………45.求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数()S x ,并求级数12n n n ∞=∑的和.解:四、综合解答题二(5个小题,每小题7分,共35分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1.从斜边长为1的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形. 解2.计算积分22()d Lx y s +⎰,其中L 为圆周22x y ax += (0a >).解:3.利用格林公式,计算曲线积分22()d (2)d LI xy x x xy y =+++⎰,其中L 是由抛物线2y x =和2x y =所围成的区域D 的正向边界曲线.4. 计算d x S ∑⎰⎰,∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分.解:三峡大学 试卷纸 教学班 序 学 姓名 …………………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………x O 2y x = 2x y = yD55.利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d d d d d d x y y z zx ,其中∑为圆锥面222z x y =+介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧. 解:2017学年春季学期《高等数学Ⅰ(二)》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题(8个小题,每小题2分,共16分)1.已知a 与b 都是非零向量,且满足-=+a b a b ,则必有(D ) (A)-=0a b ; (B)+=0a b ; (C)0⋅=a b ; (D)⨯=0a b .2.极限2222001lim()sin x y x y x y →→+=+ ( A )(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D)不存在. 3.下列函数中,d f f =∆的是( B );(A ) (,)f x y xy =; (B )00(,),f x y x y c c =++为实数; (C )(,)f x y = (D )(,)e x y f x y +=.4.函数(,)(3)f x y xy x y =--,原点(0,0)是(,)f x y 的( B ). (A )驻点与极值点; (B )驻点,非极值点; (C )极值点,非驻点; (D )非驻点,非极值点. 5.设平面区域D :22(1)(1)2x y -+-≤,若1d 4Dx y I σ+=⎰⎰,2DI σ=,3DI σ=,则有( A ) (A )123I I I <<; (B )123I I I >>; (C )213I I I <<; (D )312I I I <<. 6.设椭圆L :13422=+y x 的周长为l ,则22(34)d L x y s +=⎰(D ) (A) l ; (B) l 3; (C) l 4; (D) l 12.7.设级数∑∞=1n n a 为交错级数,0()n a n →→+∞,则( C )(A)该级数收敛; (B)该级数发散;(C)该级数可能收敛也可能发散; (D) 该级数绝对收敛. 8.下列四个命题中,正确的命题是( D )(A )若级数1n n a ∞=∑发散,则级数21n n a ∞=∑也发散;(B )若级数21n n a ∞=∑发散,则级数1n n a ∞=∑也发散;(C )若级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1n n a ∞=∑也收敛;6(D )若级数1||n n a ∞=∑收敛,则级数21n n a ∞=∑也收敛.二、填空题(7个小题,每小题2分,共14分).1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交,则常数a 为 3 。

2013-2014成都理工大学第二学期《高等数学 I、Ⅱ》(下)期末考试试卷 高数下试题及答案

2013-2014成都理工大学第二学期《高等数学 I、Ⅱ》(下)期末考试试卷 高数下试题及答案

2 又由级数 un 收敛,级数 n 1
1 1 2 则:级数 2 un 收敛, n 1 2 n
(1 分)
故, 级数
un 绝对收敛。 n 1 n

( 1 分)
5
1
) )
A. 2 6
B. 4
C. 2 2
A. lim f ( x, y) 存在
x x0 y y0
B. lim f ( x, y0 ) 及 lim f ( x0 , y ) 都存在
x x0 y y0
D. f ( x, y) 在 p 点必可微 f ( x, y) 在 p 点必连续 x t 3.在曲线 y t 2 的所有切线中,与平面 x 2 y z 4 平行的切线( D ) z t3 A. 只有 1 条 B. 至少有三条 C. 不存在 D. 只有 2 条 2 4. 设 L 是抛物线 y x 上从点 A(1, 1) 到点 B(1,1) 的弧段,则积分 xydx 的值
L
(x a ) y a , y 0 ,沿逆时针方向.
2 2 2
解:画出图形并补充有向直线段
I
L OA OA
(1 分) (1 分)
x x Q P dxdy 0 = (e cos y e cos y 2) dxdy x y D D
A. 1
1 7.设 un (1) n ln 1 ,则级数 n
2 A. un 与 un 都收敛 n 1 n 1
B.
u
n 1

n
2 与 un 都发散 n 1

C. 8.直线
un 收敛而 un2 发散

【大学资料】贵州师范大学2013-2014学年第二学期《高等数学一》理工科期末考试试卷A答案

【大学资料】贵州师范大学2013-2014学年第二学期《高等数学一》理工科期末考试试卷A答案

0 的两个特解,
【 A 】
线
(A)
n 1
( 1) ( 1)
n 1
n 1
n n 1 n n 1
( 1)
3 4
3x
n 1
n 2
5 8
3 n
c1 , c 2 为任意常数,则 y
( A)可能是该微分方程的通解 ( C)不是该微分方程的通解 3. 在空间直角坐标系下 ( A) ,方程
( B)是该微分方程的通解 ( D ) 不是该微分方程的解
2 n
b 收敛,所以级数
n 1
2 n
1 2
( an
2
bn ) 收敛,
2
( 2 分)
由比较判别法知级数
n 1
| a n b n | 收敛,从而级数
n 1
anbn 收敛 .
( 2 分)
贵州师范大学 2013 — 2014 学年度第 《
二 学期
(A) (C) (D)
2 x 3 e x sin 2 ( 2 x x cos( 2 x 2 x cos( 2 x
2 0
y)
( B ) 2 x cos( 2 x
2
y)
2 x sin( 2 x
y)
高等数学 》课程期 末 考试试卷
(A 卷 ; 闭卷 )
x
2
y
2
0 表示 Z 轴 . f ( x, y) 在该点必可微 .
【 √ 】
yz, F y ' xz, F z '
z x Fx ' Fz ' xy yz
xy e
z
3. 二元函数 f ( x, y) 在某点的偏导数存在,则函数 4.
D

高数-下-期末考试试卷及答案

高数-下-期末考试试卷及答案

2017学年春季学期1.已知与都是非零向量,且满足,则必有( )。

(A ) (B) (C ) (D ) 2.极限( )。

(A) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D )不存在3.下列函数中,的是( ). (A) (B ) (C ) (D )4.函数,原点是的( ).(A )驻点与极值点 (B )驻点,非极值点 (C )极值点,非驻点 (D )非驻点,非极值点 5.设平面区域,若,,,则有( ). (A) (B ) (C ) (D) 6.设椭圆:的周长为,则( ).(A ) (B) (C ) (D ) 7.设级数为交错级数,,则( )。

(A )该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8。

下列四个命题中,正确的命题是( )。

(A )若级数发散,则级数也发散 (B )若级数发散,则级数也发散 (C )若级数收敛,则级数也收敛(D )若级数收敛,则级数也收敛 二、填空题(7个小题,每小题2分,共14分).1。

直线与轴相交,则常数为 .2.设则______ _____.3.函数在处沿增加最快的方向的方向导数为 。

4.设,二重积分= . 5.设是连续函数,,在柱面坐标系下的三次积分为 . 6.幂级数的收敛域是 .7。

将函数以为周期延拓后,其傅里叶级数在点处收敛 于 。

三、综合解答题一(5个小题,每小题7分,共35分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1.设,其中有连续的一阶偏导数,求,. 解:2.求曲面在点处的切平面方程及法线方程. 解:3.交换积分次序,并计算二次积分. 解:4.设是由曲面及 所围成的空间闭区域,求。

解:5.求幂级数的和函数,并求级数的和. 解:四、综合解答题二(5个小题,每小题7分,共35分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1.从斜边长为1的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形. 解2.计算积分,其中为圆周 ().解:3.利用格林公式,计算曲线积分,其中是由抛物线和所围成的区域的正向边界曲线.4. 计算,为平面在第一卦限部分。

高等数学下册期末测试题含答案

高等数学下册期末测试题含答案

综合测试题(下册)A 卷 一、填空题(每空4分,共20分) 1、 曲线cos ,sin ,tan2tx t y t z ===在点(0,1,1)处的一个切向量与OX 轴正向夹角为锐角,则此向量与OZ 轴正向的夹角是_________________ . 2、 设:1,01D x y ≤≤≤,则3()Dx y yd σ+⎰⎰= _________ . 3、 设2222:x y z a ∑++=,则曲面积分222()xy z ds ∑++⎰⎰ =__________.4、 周期为2π的函数()f x ,它在一个周期上的表达式为10()10x f x x ππ--≤<⎧=⎨≤<⎩,设它的傅立叶级数的和函数为()S x ,则5()2S π= . 5、 微分方程x dyy e dx-+=的通解为______________. 二、选择题(每题4分,共20分)1、函数(,)f x y 在00(,)x y 点可微是函数(,)f x y 在00(,)x y 点连续且可导的 [ ] (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 无关条件2、设空间区域2222222212:,0;:,0,0,0x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥,则 [ ] (A)124xdv xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (B) 124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(C)124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (D) 124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3、设L 为221x y +=一周,则2Lx ds ⎰ [ ](A) 等于0 (B) 等于π (C) 等于2π (D) 等于1 4、如果幂级数nn n c x∞=∑和11n nn nc x∞-=∑的收敛半径分别是1R 和2R ,则1R 与2R 的大小关系是 [ ] (A) 1R 大于2R (B) 1R 小于2R (C) 1R 等于2R (D) 不能确定 5、微分方程256xy y y xe '''-+=的特解形式是 [ ](A) 2xAe Bx C ++ (B) 2()x Ax B e + (C) 22()x x Ax B e + (D) 2()x x Ax B e +三、解答题1、(11分)函数(,)z z x y =由方程(,)0z zF x y y x++=所确定 ,其中F 具有一阶偏导数,计算x zxy x y∂∂+∂∂ 2、(9分)计算曲线积分22(23)(2)Lx y x y dx x y xy dy +-+-+⎰ ,其中L 为圆周222x y +=的顺时针方向3、(12分)在曲面z =231x y z -+=的距离最短4、(9分)计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰,其中∑是曲面 221z x y =-- 在xoy 面上方部分的上侧5、(10分)求幂级数111(1)n n n nx ∞--=-∑的收敛区间与和函数()S x6、(9分)求微分方程4cos y y x x ''+=的通解.综合测试题(下册)A 卷答案 一、填空题 1、34π 2、23 3、44a π 4、1 5、()x y e x C -=+二、选择题1、A2、C3、B4、C5、D 三、解答题1、解:1212122211(),(),()()x y z z z F F F F F F F F F x y y x=+-=-+=+ 由隐函数计算公式得 22112()()y zF x F z x x xF yF -∂=∂+21212()()x zF y F z y y xF yF -∂=∂+ 则 22211212()()()y zF x F x zF y F x z x y z xy x y xF yF -+-∂∂+==-∂∂+2、解:由格林公式 原式=22(13)Dyx dxdy -+-+⎰⎰=220)d r rdr πθ-⎰=2412(24r r ππ-=.3、解:设曲面上(,,)x y z 点到平面距离为d ,则2214(231)d x y z =-+-且 22224z x y =++ 即 222420x y z +-+= 令 2222(231)(42)F x y z x y z λ=-+-++-+2(231)204(231)806(231)20x yz F x y z x F x y z x F x y z x z λλλ=-+-+=⎧⎪=--+-+=⎪⎨=-+--=⎪⎪=⎩得唯一解x y z ===. 由实际问题知最小值存在,即为点()4. 4、解:补上一块 221:0,1z x y ∑=+≤ 取下侧,且 10xdydz ydzdx zdxdy ∑++=⎰⎰由高斯公式 原式=222213303(1)2x y dxdydz x y dxdy πΩ+≤-=--=⎰⎰⎰⎰⎰.其中Ω是由1,∑∑所围立体. 5、解:1limlim 11n n n n a nR a n →∞→∞+===+,在 1x =±时,级数发散. 则收敛区间为(1,1)-. 令 111()(1)n n n S x nx ∞--==-∑则1111011()(1)(1)1xn n n n n n xS x dx nx dx x x∞∞---===-=-=+∑∑⎰⎰ 21()()1(1)x S x x x '==++. 6、解:特征方程 240r += , 解得特征根 2r i =±.对应的齐次方程的通解 12cos2sin 2Y C x C x =+. 因为 0,1,i i λωλω==+= 不是特征根 方程的特解形式为 *()c o s ()s i ny a x b x c x d x =+++ 将其代入原方程 解得 12,0,0,39a b c d ====. 所以 *12cos sin 39y x x x =+, 方程的通解 1212cos 2sin 2cos sin 39Y C x C x x x x =+++.综合测试题(下册)B 卷一、填空题(每题3分,总计18分)1、函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值,则常数a =______. 2、若曲面2132222=++z y x 的切平面平行于平面02564=++-z y x ,则切点坐标为______________________.3、二重积分dx ey dy y x ⎰⎰-1103的值为______________.4、设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-的定义为2,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨ <≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 .5、级数1nn nx∞=∑的和函数为 .6、微分方程2yx yy +='的通解为_____________________. 二、选择题(每题3分,总计15分)1、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 连续的 [ ] (A) 必要非充分的条件; (B)充分非必要的条件;(C) 充分且必要的条件; (D) 即非充分又非必要的条件.2、设)ln(222z y x u ++=,则)(u grad div = [ ] (A)2221z y x ++;(B)2222z y x ++;(C)2222)(1z y x ++;(D)2222)(2z y x ++ 3、设D 是xoy 面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域,1D 是D 中在第一象限的部分,则积分⎰⎰+Dd y x y x σ)sin cos (33= [ ](A)σd y x D ⎰⎰1sin cos 23; (B)⎰⎰132D yd x σ; (C)⎰⎰+1)sin cos (433D d y x y x σ; (D)04、设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分,则⎰⎰∑++dS y x ey x )sin(2222=[ ](A)0; (B)2sin Re R R π; (C)R π4; (D)2sin Re 2R R π5、设二阶线性非齐次方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''有三个特解x y =1,xe y =2,x e y 23=,则其通解为 [ ](A)xxe C e C x 221++; (B)xx eC e C x C 2321++;(C))()(221x x x e x C e e C x -+-+; (D))()(2221x e C e e C x x x -+- 三、计算题(每题7分,总计28分)1、已知22),,(z xy z y x f -=及点)1,1,2(-A 、)1,1,3(-B ,求函数),,(z y x f 在点A 处沿由A 到B 方向的方向导数,并求此函数在点A 处方向导数的最大值.2、设),(xy y x f z -=具有连续的二阶偏导数,求yx z∂∂∂2.3、将函数223)(x x x f --=展开成x 的幂级数,并指出收敛域.4、计算222L dsx y z ++⎰,其中L 是螺旋线t z t y t x ===,sin 8,cos 8对应π20≤≤t 的弧段.四、计算题(每题8分,总计32分) 1、计算⎰⎰⎰Ωdv z ,其中Ω由不等式22y x z +≥及41222≤++≤z y x 所确定.2、计算⎰⎰∑++++2222)(z y x dxdya z axdydz ,其中∑为下半球面222y x a z ---=的下侧,a为大于零的常数.3、设)(x y y =满足方程x e y y y 223=+'-'',且其图形在点)1,0(与曲线12+-=x x y 相切,求函数)(x y .4、对0>p ,讨论级数∑-∞=+11)1(n n n pn 的敛散性.综合测试题(下册)B 卷答案一、填空题1、-5;2、)2,2,1(±± ;3、)1(611--e ;4、()21xx +;5、C y y x =- 二、选择题1、D;2、B;3、A;4、D;5、C 三、计算题1、解:由条件得z zf x y f y x f 2,2,2-=∂∂=∂∂=∂∂ }cos ,cos ,{cos }32,32,31{}2,2,1{0γβα=-=⇒-=AB AB 32cos ,32cos ,31cos -===⇒γβα从而)1,1,2(cos cos cos -⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=∂∂A z f y f x f l f γβα=310 点A 的梯度方向是{2,2,2}{2,4,2}AA grad fy x z ==-=--l所以方向导数的最大值是6224242222==++=∂∂lf2、解:2121,xf f yzyf f xz+-=∂∂+=∂∂ []2221211222211211221212)()()(f xyf f y x f f xf f y xf f f yf y y f yf f y x z y y x z ++-+-=++-++-=+∂∂+∂∂=+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂3、解:2311111()212121/2f x x x x x x x ==+=+---+-+10001(1)(1)1222nn nn n n n n n x x x ∞∞∞+===⎡⎤-⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑收敛域为)1,1(-. 4、解:dt dt z y x ds t t t 65222='+'+'=220222220arctan 88L ds dt tx y z t ππ===+++⎰ 四、计算题1、解:2222344011cos sin 2sin cos z dv d d r r dr d r dr πππθϕϕϕπϕϕϕΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 24401115sin 22248d r ππϕϕπ⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰ 2、解:取xoy ∑为xoy 面上的圆盘222a y x ≤+,方向取上侧,则22222223220021()1()()1(23)122cos sin 33xoy xoy xyD a axdydz z a dxdy a axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a z a dv a dxdy a d d r r d a a a a a πππθϕϕϕϕππ∑∑∑+∑∑Ω=++⎡⎤⎢⎥=++-++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰43443021114cos sin 22a a d r dr a a a a a ππππϕϕϕπππ⎡⎤⎡⎤=+=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰.3、解:由条件知)(x y y =满足1)0(,1)0(-='=y y .由特征方程2,1023212==⇒=+-r r r r ,对应齐次方程的通解x x e C e C Y 221+=, 设特解为x Axe y =*,其中A 为待定常数,代入方程,得x xe y A 22*-=⇒-=, 从而得通解x x x xe e C e C y 2221-+=,代入初始条件得0,121==C C . 最后得x e x x y )21()(-=. 4、解:当1p >时 ,1111(1)1n n n n n np np∞∞++==-=∑∑ ()11211lim lim lim 111n n n n n n nu np n u n p p n p +++→∞→∞→∞===<++,所以原级数绝对收敛.当01p <<时,设11q p =>, ()11111(1)nn n n n n qnp n +∞∞+==--=∑∑,()()()11ln 11lim lim lim01xnxn x n x x q q q q q n x ++→∞→+∞→+∞----==≠, 所以原级数发散.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
D
2
2 及直线 y x 所
(6)计算
围成的闭区域.
zdv ,其中 是由 z 2 ( x

1
2
y 2 ) 与 z 1 围成的闭区域.
-2-
微信关注:重理工资料库
重理工资料库
重庆理工大学考试试题卷
2013~ 2014 学年第二学期
班级 学号 姓名 考试科目 高等数学[(2)机电] A卷 闭卷 共 3 页
得分
评卷人
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)
(1)设 a (1, 2,1), b (0,3, 4) ,则 Prj a
b





(2)交换积分次序

1 0
dx
2 2x
f ( x, y )dy

(3)设 : x y z 1 ,则
2 2 2
) . B、
1 1 1 1 1 3 6 9 12 15
1 n 1 4 n

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C、
1 n 1 n( n 1)


D、
3
n 1

1
n
8 n
(9)函数 f ( x)
1 1
x 0 展开成傅里叶级数,其系数 an ( 0 x
( 2 ) 设 函 数 z f ( x, y ) 由 方 程 x 2 y z ye
xyz
(1) 求通过点 P (1, 2, 1) 、 Q(1, 0,3) 且垂直于平面
0 确定,求函数
3x y z 2 0 平面方程.
z f ( x, y ) 在点 (1, 0) 处的全微分 dz






(6)设 D ( x, y ) x y 2 x ,则二重积分
2 2



D
x 2 y 2 dxdy 可表示为(
A、

2 0
d 2 d
0 2
1
B、
2

2 0
d
2cos 0
2d
C、



2
2 d d 2 0
D、
d
( x

2
y 2 ) zdv

(4)幂级数

2n 1 n x 的收敛区间是 3n n 1


(5)函数 z xe y 在点 (1, 0) 处沿 l (1, 1) 方向的方向导数

z l
x 1 y 0


得分
评卷人
三、求解下列各题(本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 60 分) 。
2 2
B、 x y ( z 1)
2 2
2
C、 x y 1 z
D、 ( x 1) y z
2 2
2
(3)
( x , y ) (0,0)
lim
xy ( 2 xy 4
B、 4
) .
A、 4
2 2
C、
1 4
D、不存在 ) D、
(4)曲面 x y z x y z 10 0 在点 (2,1, 2) 处的切平面方程为(
( x y z )ds ,其中 L 为连接点 (1, 2, 2) 与点 (4, 2, 6)
L
(8)计算
(x
L
3
y )dx ( x y 3 )dy , 其 中 L 为 以 点 O(0, 0) ,
的直线段.
A(1, 0) , B (1,1) 为顶点的三角形 OAB 的正向边界.
重理工资料库
重庆理工大学考试试题卷
2013~ 2014 学年第二学期
班级 学号 姓名 考试科目 高等数学[(2)机电] A卷 闭卷 共 3 页
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 密· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·封· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·线· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 学生答题不得超过此线
班级 学号 姓名 考试科目 高等数学[(2)机电] A卷 闭卷 共 3 页
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 密· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·封· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·线· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 学生答题不得超过此线
题号
分数




总分
总分人
得分
评卷人 一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分) 。
(1)点 (7, 1, 2) 关于( A、 x 轴
)的对称点是 (7, 1, 2) . B、 xoy 面 C、 yoz 面 D、 zox 面 ) .
2 2 2
(2)将 yoz 面上的直线 y z 1 绕 z 轴旋转而成的曲面方程是( A、 x y z 1
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 密· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·封· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·线· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 学生答题不得超过此线 (7) 计算
x 2 y z 1 3x 6 y 3 z 5 与直线 L2 : 平行. 2 x y z 2 2 x y z 4
-3-
微信关注:重理工资料库
2
A、 x y z 5 0
2 2
B、 3 x 3 y 3 z 5 0
2
C、
x 2 y 1 z 2 1 1 1
) D、 i j k )
1
x yz 3 3 3
(5)设 f ( x, y, z ) 5 x y 6 z x y z ,则 grad f (0, 0, 0) ( A、 1 B、 3 C、 i j k
x 1 y 0

(3)设函数 z (2 x y )
3 x 2 y
,求
z x
x 1 , y 1
z y
x 1 y 1

(4)求函数 f ( x, y ) 2(3 x y ) 3 x y 的极值.
2 2
(5)计算
xd ,其中 D 是由抛物线 y x
(9)计算
1 (10)将函数 f ( x) 展开成 x 1 的幂级数. ,其中 为球 (2 x 4) dydz (5 y ) dzdx (2 z 7) dxdy x

2 2
面 x y z 1 的外侧.
2
得分
评卷人
四、证明题(5 分)
证明:直线 L1 :
2


2cos 0
2d
) .
2
(7)曲面 是 z xy 被柱面 x y 1( x 0, y 0) 截下部分, D 为曲面 在 xoy 面投影区域,则曲面 的面积是( A、
xyd
D
B、
d
D
C、
xydS

D、
dS

(8)下列级数收敛的是( A、
B、
4 A、 n
(10)级数
2 n
C、 0
0 D、 4 n
n为偶数 n为奇数
sin 2n ( 3n n 1

) . B、绝对收敛 C、发散 D、可能收敛可能发散
A、条件收敛
-1-
微信关注:重理工资料库
重理工资料库
重庆理工大学考试试题卷
2013~ 2014 学年第二学期
相关文档
最新文档