高中数学知识点：双曲线方程知识点总结
高二双曲线知识点大全
高二双曲线知识点大全一、双曲线的定义和基本性质双曲线是一种平面曲线，它与一个对称轴相交于两个单独的点，被称为焦点。
双曲线的定义可表示为：离两个焦点的距离之差等于给定常数的点的轨迹。
1. 双曲线的方程双曲线的标准方程为：(x²/a²) - (y²/b²) = 1，其中a表示实轴半轴的长度，b表示虚轴半轴的长度。
2. 双曲线的焦点和准线双曲线的焦点是曲线上离两个焦点距离之差恒定的点，而准线是曲线上离两个焦点距离之和恒定的直线。
3. 双曲线的对称性双曲线关于x轴和y轴对称，中心对称于原点。
二、双曲线的图像特征1. 双曲线的离心率双曲线的离心率(e)定义为：e = c/a，其中c表示焦点到原点的距离，a表示实轴半轴的长度。
离心率决定了双曲线的形状。
2. 双曲线的渐近线双曲线具有两条渐近线，即离两个焦点越远的点趋近于渐近线。
渐近线的方程为： y = ±(b/a)x。
其中b表示虚轴半轴的长度。
3. 双曲线的顶点和直径双曲线没有顶点，但有两条对称的虚轴。
通常，我们会称双曲线中心处的点为顶点。
直径是由两个对称的点与中心点所确定的线段。
三、双曲线的基本图像和方程变换1. 双曲线的基本图像（插入关于双曲线的示意图，可手绘或导入图片）2. 改变双曲线的形状和位置双曲线的形状和位置可以通过改变方程中的常数来实现。
例如，改变a和b的值可以调整双曲线的大小和比例，而改变c的值可以使双曲线在平面上移动。
3. 双曲线的旋转双曲线可以通过旋转来改变其方向。
通过适当调整方程中的x和y的系数，可以使双曲线绕着原点旋转一定角度。
四、双曲线的相关公式与应用1. 双曲线的离心率与焦距的关系根据焦距f和离心率e之间的关系可得：e² = 1 + (f/a)²。
2. 双曲线的弦长公式双曲线上两焦点之间的弦长可以通过以下公式计算：2a(e² - 1)。
3. 双曲线的面积计算双曲线的面积可以通过积分计算得出，公式为：S = ∫(y√(1 + (dy/dx)²))dx。
高中数学知识点总结(第九章 平面解析几何 第七节 双曲线)
第七节 双曲线一、基础知识1．双曲线的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a (2a ＜|F 1F 2|)的点P 的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．当|PF 1|－|PF 2|＝2a2a ＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹为靠近F 2的双曲线的一支.当|PF 1|－|PF 2|＝－2a 2a ＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹为靠近F 1的双曲线的一支. 若2a ＝2c ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线；若2a ＞2c ，则轨迹不存在；若2a ＝0，则轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的 标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的 标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．3．双曲线的几何性质标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 范围 |x |≥a ，y ∈R|y |≥a ，x ∈R对称性 对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴 线段A 1A 2，B 1B 2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a ，虚轴长为2b焦距|F 1F 2|＝2c离心率e ＝c a＝ 1＋b 2a2∈(1，＋∞) e 是表示双曲线开口大小的 一个量，e 越大开口越大.渐近线 y ＝±b axy ＝±a bxa ，b ，c 的关系a 2＝c 2－b 2二、常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(4)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .考点一 双曲线的标准方程[典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x 223＝1 (2)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧9a 2－4b 2＝1，a b ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，选C. 法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. (2)法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0， 则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b＝6，所以b ＝3.又由e ＝ca ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3.所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] (1)C (2)C [题组训练]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 解析：选A 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为 5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 解析：选A 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为5，可得c a ＝5，c ＝25，所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x 24－y 216＝1.3．经过点P (3,27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为____________． 解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， 因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q(－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝1考点二 双曲线定义的应用考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程[典例] 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2) C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) [解析] 设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥ 2)． [答案] A[解题技法]利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．考法(二) 焦点三角形问题[典例] 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2， 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2| ＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2| ＝22＋|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4. [答案] B [解题技法]在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF 1|，|PF 2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ，|||PF 1|－|PF 2|＝2a 及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则用S △PF 1F 2＝12·2c ·|y 0|来解决．[题组训练]1．已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0)，动点P 到F 1，F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为( )A.x 24－y 25＝1(y >0) B.x 24－y 25＝1(x >0) C.y 24－x 25＝1(y >0) D.y 24－x 25＝1(x >0) 解析：选B 由题设知点P 的轨迹方程是焦点在x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >0，a >0，b >0)，由题设知c ＝3，a ＝2，b 2＝9－4＝5，所以点P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >0)． 2．已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.考点三 双曲线的几何性质考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)[典例] (2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤53，2B.⎝⎛⎦⎤1，53 C ．(1,2]D.⎣⎡⎭⎫53，＋∞ [解析] 由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53， 即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，53，故选B. [答案] B [解题技法]1．求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．2．求离心率的口诀归纳离心率，不用愁，寻找等式消b 求； 几何图形寻迹踪，等式藏在图形中． 考法(二) 求双曲线的渐近线方程[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．4x ±3y ＝0 B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0[解析] 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝35，∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A.[答案] A[解题技法] 求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0，λ≠0)．[题组训练]1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1 B.3 C ．2D ．23解析：选C 由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bca 2＋b 2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝ca＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.2．已知直线l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是直线l 上一点，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→＝0，则点P 到x 轴的距离为( )A.233B.2 C ．2D.263解析：选C 由题意知，双曲线的左、右焦点分别为F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设直线l 的方程为y ＝2x ，设P (x 0，2x 0)．由PF 1―→·PF 2―→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为|2x 0|＝2，故选C.3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则双曲线E 的离心率为( )A. 2B.32C.52D.5解析：选B 根据|AB |＝6可知c ＝3，又|BC |＝52，所以b 2a ＝52，b 2＝52a ，所以c 2＝a 2＋52a＝9，解得a ＝2(舍负)，所以e ＝c a ＝32.4．(2018·郴州二模)已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x＋y ＝5与y 轴的交点为(0,5)，有c ＝5，则m ＋9＝25，得m ＝16， 所以双曲线的方程为y 216－x 29＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.[课时跟踪检测]A 级1．(2019·襄阳联考)直线l ：4x －5y ＝20经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C 的离心率为( )A.53 B.35 C.54D.45解析：选A 由题意知直线l 与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c ＝5，b ＝4，∴a ＝3，双曲线C 的离心率e ＝c a ＝53.2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( )A ．6B ．4C ．8D ．4或8解析：选D 由双曲线的标准方程可得a ＝1，则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，即|6－|PF 2||＝2，解得|PF 2|＝4或8.3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．22解析：选D ∵e ＝ca＝1＋b 2a 2＝2，∴b a＝1. ∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 4．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：选D 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．5．(2018·陕西部分学校摸底)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )A.24B.22C.28D.216解析：选C 设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝⎛⎭⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.联立⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12·|OA |·12＝12×22×12＝28，故选C.6．(2019·辽宁五校协作体模考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a＞0，b ＞0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1 解析：选D 因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|F A |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D. 7．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.解析：由e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2，得a 2＋4a 2＝54， ∴a 2＝16. ∵a >0，∴a ＝4. 答案：48．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：双曲线的右焦点为F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入x 2－y 23＝0，得y 2＝12，y ＝±23，故|AB |＝4 3. 答案：43 9．(2018·海淀期末)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得b a＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.答案：210．(2018·南昌摸底调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－a b(x －c )，即ax ＋by －ac ＝0.圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a,0)，半径为c 4，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝c a ，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝2. 答案：211．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4， －10)，点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，∴双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 26－y 26＝1. (2)证明：不妨设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点， 则MF 1―→＝(－23－3，－m )，MF 2―→＝(23－3，－m )．∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1―→·MF 2―→＝0.(3)△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3.由(2)知m ＝± 3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6. 12．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.则b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1. (2)不妨设F 1，F 2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的交点， 则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－21322×10×4＝45.B 级1．已知圆(x －1)2＋y 2＝34的一条切线y ＝kx 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1,2)C ．(3，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D 由题意，知圆心(1,0)到直线kx －y ＝0的距离d ＝|k |k 2＋1＝32，∴k ＝±3， 由题意知b a ＞3，∴1＋b 2a 2＞4，即a 2＋b 2a 2＝c 2a 2＞4，∴e ＞2. 2．(2019·吉林百校联盟联考)如图，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1且与双曲线C 的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于M ，N 两点，若|NF 1|＝2|MF 1|，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±33x B ．y ＝±3x C ．y ＝±22x D ．y ＝±2x解析：选B ∵|NF 1|＝2|MF 1|，∴M 为NF 1的中点，又OM ⊥F 1N ，∴∠F 1OM ＝∠NOM ，又∠F 1OM ＝∠F 2ON ，∴∠F 2ON ＝60°，∴双曲线C 的渐近线的斜率k ＝±tan 60°＝±3，即双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x .故选B.3．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ―→＋ON ―→＝t OD ―→，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b ax ，∴bx －ay ＝0.由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得 x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎨⎧ x0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。
双曲线知识点归纳总结
双曲线知识点归纳总结双曲线是高中数学中的一个重要概念，属于二次曲线的一种。
其特点是曲线两支无限延伸且不相交，且中心对称。
双曲线有很多重要的性质和应用，在此对双曲线的知识点进行归纳总结。
1. 双曲线的方程形式双曲线的标准方程由两部分构成，具体形式为：(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1 或者 (y-k)^2/b^2 - (x-h)^2/a^2 = 1其中(h, k)为中心点坐标，a和b为两支曲线的半轴长度。
2. 双曲线的焦点和直径双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值恒为常数，记作2c。
而双曲线的直径是指通过中心点且垂直于双曲线的线段，其长度为2a。
3. 双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别与两支曲线无限接近而永不相交。
渐近线的方程为：y = k1(x-h) + k2 或者 y = k1(x-h) - k2其中k1为双曲线的纵轴斜率，k2为两支曲线与渐近线的交点与中心距离之差。
4. 双曲线的对称轴双曲线的对称轴是通过两支曲线的对称轴的中点且垂直于对称轴的一条直线。
对称轴的方程为：x = h5. 双曲线的准线和离心率离心率是双曲线的一个重要性质，定义为焦点到中心点的距离与准线的长度之比，记作e。
准线是通过中心点且与两支曲线相切的一条直线。
准线的方程为：y = k 或者 y = -k其中k为焦点到中心点的距离。
6. 双曲线的图象特点双曲线的图象是两个关于中心点对称的分支，并且曲线无限延伸。
双曲线的左右两支是无边界的，而上下两支则被渐近线所截断。
双曲线在原点处有一个拐点，两支曲线在拐点处相切。
7. 双曲线的变形双曲线可以通过坐标变换进行平移、伸缩和旋转等变形。
平移是通过改变中心点的坐标实现的，伸缩是通过改变半轴长度实现的，旋转是通过改变坐标轴的方向实现的。
8. 双曲线的应用双曲线在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如在物理学中，双曲线可以用于描述光的折射和反射现象；在工程领域，双曲线可以用于设计梁和拱桥等结构。
双曲线知识点总结中职
双曲线知识点总结中职一、概念与性质1. 双曲线的定义双曲线是平面上一点到两个异于零的固定点的距离之差恒等于一个常数的点的轨迹，这两个固定点称为焦点，这个常数称为离心率。
2. 双曲线的性质（1）双曲线有两个焦点和两条相交的渐近线。
（2）双曲线分为两支，分别是向外开口和向内开口的。
（3）双曲线的离心率大于1。
（4）双曲线的对称轴是连接两个焦点的直线。
（5）双曲线的两个分支之间的距离随着到两个焦点的距离的增加而增加。
二、标准方程1. 双曲线的标准方程（1）椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$（2）双曲线的标准方程为： $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = -1$2. 根据焦点和离心率确定双曲线（1）确定焦点和离心率，可以确定双曲线的形状。
（2）根据焦点和离心率的不同取值，双曲线有向内开口和向外开口之分。
三、相关定理1. 双曲线的渐近线双曲线的渐近线是通过双曲线的两个焦点，并且与双曲线的两支分别相切的两条直线。
双曲线的渐近线的斜率分别为$\pm\frac{b}{a}$。
2. 双曲线的对称性双曲线关于$x$轴、$y$轴和原点对称。
双曲线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x = a \cosh t\\y = b \sinh t\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x = a \sinh t\\y = b \cosh t\end{array}\right.$四、相关公式1. 双曲函数的定义双曲函数是一组超越函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数等。
双曲函数和三角函数有许多相似的性质和公式。
高中数学双曲线知识点
高中数学双曲线知识点双曲线知识点概述1. 双曲线的定义双曲线是二次曲线的一种，它的标准方程为 \(\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中a和b为实数，a > 0, b > 0）。
在直角坐标系中，双曲线是所有满足上述方程的点的集合。
双曲线有两个分支，分别位于两个不同的象限。
2. 双曲线的性质- 对称性：双曲线关于x轴和y轴对称。
- 焦点：双曲线有两个焦点，位于x轴上，其坐标为\((\pm c, 0)\)，其中c是双曲线的焦距，满足\(c^2 = a^2 + b^2\)。
- 准线：每个双曲线的分支都有自己的准线，方程为 \(x = \pm\frac{a^2}{c}\)。
- 渐近线：双曲线有两条渐近线，其方程为 \(y = \pm\frac{b}{a}x\)。
3. 双曲线的方程- 标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
- 顶点：双曲线的顶点位于 \((\pm a, 0)\)。
- 焦点距离：双曲线的焦点距离为2c，其中c满足 \(c^2 = a^2 +b^2\)。
- 准线距离：点\(m\)到双曲线准线的距离为 \(\frac{|mc -a^2|}{\sqrt{m^2 + 1}}\)。
4. 双曲线的应用双曲线在许多领域都有应用，例如在天文学中描述行星轨道，在工程学中用于设计某些类型的天线和声纳系统，以及在物理学中描述某些场的分布。
5. 双曲线的图形绘制绘制双曲线时，通常需要确定其顶点、焦点、准线和渐近线的位置。
首先在坐标轴上标出顶点和焦点的位置，然后画出渐近线和准线，最后通过顶点和焦点的连线绘制出双曲线的两个分支。
6. 双曲线的变换双曲线可以通过平移和旋转进行几何变换。
平移可以通过改变方程中的常数项来实现，而旋转则需要通过更复杂的变换矩阵来完成。
7. 双曲线的方程推导双曲线的方程可以通过从圆锥曲线的一般方程 \(Ax^2 + Bxy + Cy^2+ Dx + Ey + F = 0\) 出发，通过特定的代换和简化得到。
高三双曲线的知识点
高三双曲线的知识点双曲线是高中数学中的重要知识点之一，它在几何、代数等方面都有广泛的应用。
本文将详细介绍高三双曲线的基本定义、性质、方程以及常见的应用。
一、基本定义双曲线是平面上几何曲线的一种，由离心距与准线的差的绝对值等于常数的点的轨迹所组成。
双曲线可以分为两支，分别称为左支曲线和右支曲线。
二、性质1. 双曲线的离心率双曲线的离心率是指离心距与准线的差的绝对值的比值。
双曲线的离心率大于1，且离心率越大，曲线越扁。
2. 焦点和准线双曲线的两个焦点分别位于曲线的左右两端，而准线是通过离心距的中点且与曲线平行的一条直线。
3. 长轴和短轴双曲线的长轴是通过两个焦点的直线段，短轴是通过离心距的中点的直线段。
三、方程双曲线的标准方程有两种形式，分别为横轴双曲线和纵轴双曲线。
1. 横轴双曲线的方程以焦点为原点，准线为x轴，长轴与x轴平行的双曲线方程为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
2. 纵轴双曲线的方程以焦点为原点，准线为y轴，长轴与y轴平行的双曲线方程为：y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1。
四、应用1. 物理应用双曲线在物理学中有许多应用，比如光学中的折射和反射问题，以及力学中的悬链线等。
2. 经济学应用在经济学中，利润曲线常常呈现双曲线形状，双曲线还可以用来表示供需曲线、收入分配曲线等。
3. 电子学应用在电子学中，双曲线常常用来描述和分析交流电路的性质和行为。
总结：高三双曲线的知识点包括基本定义、性质、方程及应用。
了解双曲线的特点与性质，可以帮助我们在几何与代数问题中灵活运用，并且在实际应用中有重要的价值。
通过深入学习双曲线的知识，我们可以更好地理解和应用数学，为将来的学习与工作打下坚实的基础。
高中数学双曲线知识点总结
高中数学双曲线知识点总结一、双曲线的定义双曲线是由平面上距离不变的所有点的轨迹组成的曲线。
具体地说，双曲线是平面上的一条曲线，其上的每一点到两个给定的不同点F1和F2的距离之差是一个常数。
在平面直角坐标系中，双曲线的定义可以表示为：一个点到两个不同点F1和F2的距离之差是一个常数e，即PF1-PF2=e。
二、双曲线的性质1. 双曲线包括两条分支，它们分别靠近两个焦点。
对于双曲线的每个分支来说，离焦点越远，离另一个分支越近。
2. 双曲线的两个焦点之间的距离称为焦距，是双曲线的重要参量，通常用2c表示。
3. 双曲线的渐近线是双曲线的一条特殊的直线，与双曲线有两个不同的交点。
双曲线的两条分支在渐近线上无限趋近。
4. 双曲线具有对称性，关于两个坐标轴都具有对称性，即当双曲线与一个坐标轴相交时，在另一个坐标轴上也有交点。
5. 双曲线有一个中心，它是两个焦点的中点，也是双曲线的对称中心。
6. 双曲线的方程通常可以表示为x^2/a^2-y^2/b^2=1或者y^2/b^2-x^2/a^2=1，其中a 和b分别是椭圆的轴长。
三、双曲线的方程在平面直角坐标系中，双曲线的一般方程可以表示为：1. 若横轴为实轴，纵轴为虚轴，则双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1；2. 若横轴为虚轴，纵轴为实轴，则双曲线的方程为y^2/b^2-x^2/a^2=1。
在双曲线的方程中，a和b分别代表横轴和纵轴方向的轴长，e为离心率。
四、双曲线的图像1. 当a>b时，双曲线的中心在x轴上，两分支朝向y轴；2. 当a<b时，双曲线的中心在y轴上，两分支朝向x轴。
双曲线的图像可以通过手工绘图或者计算机绘图软件来绘制，使学生更好地理解双曲线的性质和特点。
双曲线的图像在实际生活中也有许多应用，比如在光学中的抛物面镜和双曲面镜、在通信中的双曲线天线和成像原理等。
五、双曲线的相关定理和定律1. 双曲线的面积定理：双曲线的面积等于焦距的一半与两个辅助椭圆的面积之和。
高中双曲线知识点
高中双曲线知识点在高中数学中，双曲线是一个重要的曲线类型，理解和掌握双曲线的相关知识对于解决数学问题和应对考试都具有重要意义。
接下来，咱们就来详细聊聊高中双曲线的那些事儿。
一、双曲线的定义平面内到两个定点 F₁、F₂的距离之差的绝对值等于常数 2a（2a ＜｜F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距，记为 2c。
需要注意的是，当 2a ＝｜F₁F₂|时，轨迹是以 F₁、F₂为端点的两条射线；当 2a ＞｜F₁F₂|时，轨迹不存在。
二、双曲线的标准方程1、焦点在 x 轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2＝ a^2 ＋ b^2\），焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。
2、焦点在 y 轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2＝ a^2 ＋ b^2\），焦点坐标为\（（0, ＼pm c)＼）。
这里的 a 表示双曲线的实半轴长，b 表示双曲线的虚半轴长，c 表示半焦距。
三、双曲线的几何性质1、范围对于焦点在 x 轴上的双曲线\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），x 的取值范围是\（x ＼leq a\）或\（x ＼geq a\）；y 的取值范围是 R。
对于焦点在 y 轴上的双曲线\（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\），y 的取值范围是\（y ＼leq a\）或\（y ＼geq a\）；x 的取值范围是 R。
2、对称性双曲线关于 x 轴、y 轴和原点都对称。
3、顶点焦点在 x 轴上的双曲线\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）的顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼）；焦点在 y 轴上的双曲线\（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）的顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼）。
高三数学双曲线知识点总结归纳
高三数学双曲线知识点总结归纳双曲线是高中数学中重要的一章，它不仅在数学理论体系中具有重要作用，还在实际生活中有广泛的应用。
下面是对高三数学双曲线知识点的总结与归纳。
一、双曲线的定义和基本形态双曲线是平面上各点到两个定点的距离之差等于常数的轨迹。
双曲线由两个分离的支线组成，其基本形态可以分为两种类型：横轴双曲线和纵轴双曲线。
横轴双曲线的中心在横轴上，纵轴双曲线的中心在纵轴上。
二、双曲线的方程1. 横轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2}$2. 纵轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$x=\pm \frac{a}{b} \sqrt{y^2-a^2}$三、双曲线的性质1. 焦点和准线：横轴双曲线有两个焦点和两条准线，纵轴双曲线也有两个焦点和两条准线。
2. 对称性：双曲线关于横轴、纵轴和原点对称。
3. 渐近线：横轴双曲线有两条渐近线，纵轴双曲线也有两条渐近线。
4. 离心率：双曲线的离心率定义为焦距与准线之间的比值，离心率大于1。
5. 直径：双曲线的直径是通过焦点的直线段，并且双曲线上的每一点都在某条直径上。
四、双曲线的图像与应用1. 横轴双曲线的图像横轴双曲线的图像呈现出两个分离的支线，它在物理学、电子学和光学中有广泛的应用，例如抛物面反射器、双折式天线等。
2. 纵轴双曲线的图像纵轴双曲线的图像同样由两个分离的支线构成，它在物理学、力学、天文学等领域有广泛的应用，例如行星运动的轨道、卫星发射轨道等。
五、双曲线的解析几何应用1. 双曲线的切线双曲线的切线过双曲线上的一点$P(x_0, y_0)$，切线方程为$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$。
2. 双曲线的渐近线横轴双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{b}{a} x$，纵轴双曲线的渐近线方程为$x=\pm \frac{a}{b} y$。
数学双曲线知识点总结
数学双曲线知识点总结引言数学双曲线是高中数学中重要的一章，涉及到许多基础的数学知识，如指数、对数、公式推导等，也是数学在物理、工程等领域中的重要应用。
本文将围绕数学双曲线的定义、性质和应用等方面进行总结。
第一节：定义数学双曲线是指满足某种方程的一族曲线。
一般情况下，数学双曲线的方程为：$$\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} = 1$$其中a>0且b>0。
特别地，当a=b时，数学双曲线可以化简为以下形式：$$\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{a^2} = 1$$这时，数学双曲线又称为狭义双曲线。
第二节：性质1. 对称轴数学双曲线有两条对称轴，分别为x=0和y=0。
2. 焦点和准线令 $c = \\sqrt{a^2 + b^2}$，则数学双曲线的焦点为 $(\\pm c, 0)$，准线为 $y = \\pm \\frac{b}{a}x$。
3. 渐近线数学双曲线有两条渐近线，分别为 $y = \\pm \\frac{b}{a}x$。
此外，当$x\\rightarrow \\infty$ 或 $x\\rightarrow -\\infty$ 时，数学双曲线趋近于渐近线。
4. 方程变形通过一些代数技巧，数学双曲线的方程可以变形为标准的形式，如：$$y = \\pm \\frac{b}{a}\\sqrt{x^2 - a^2}$$或$$x = \\pm \\frac{a}{b}\\sqrt{y^2 - b^2}$$第三节：应用1. 物理学中的应用双曲线在物理学中有很多应用，如在光学中描述光的折射率的变化，或在相对论中描述时空的变换。
2. 工程学中的应用在工程学中，双曲线主要用于描述电路中的电感或电容的特性。
例如，在无源滤波电路中，为了降低电路的输出噪声，可以使用双曲线电容来达到理想的滤波效果。
结语本文总结了数学双曲线的定义、性质和应用等方面，希望能为读者提供帮助。
高中数学双曲线知识点与性质大全
双曲线与方程【知识梳理】 1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长()1222,0a F F a a >>的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，定长2a 称为双曲线的实轴长，线段12F F 的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】12122PF PF a F F -==，此时P 点轨迹为两条射线.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值()1e e >的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.3、渐近线双曲线()22221,0x y a b a b -=>的渐近线为22220x y a b -=，即0x y a b ±=，或by x a=±.【注】①与双曲线22221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()22220x y a bλλ-=≠；②渐近线为by x a=±的双曲线方程可以设为()22220x y a b λλ-=≠；③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径双曲线上任意一点P 到双曲线焦点F 的距离称为焦半径.若00(,)P x y 为双曲线()22221,0x y a b a b -=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左、右焦点，则10||PF ex a =+，20||PF ex a =-，其中ce a=. 5、通径过双曲线()22221,0x y a b a b-=>焦点F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A 、B 两点，称线段AB 为双曲线的通径，且22b AB a=.6、焦点三角形P 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左右焦点，称12PF F ∆为双曲线的焦点三角形.若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122cot 2F PF S b θ∆=.7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）.8、双曲线()22221,0x y a b a b-=>的焦点三角形的内心的轨迹为()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线:0l Ax By C ++=，双曲线Γ：()22221,0x y a b a b-=>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔->； l 与Γ相切22222a A b B C ⇔-=； l 与Γ相离22222a A b B C ⇔-<.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条. 11、焦点三角形角平分线的性质点(,)P x y 是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，12,F F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则OM a =，即动点M 的点的轨迹为()222x y a x a +=≠±.【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交双曲线()22221,0x y a b a b -=>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E为CD 的中点，则2122b k k a=.13、中点弦的斜率直线l 过()()000,0M x y y ≠与双曲线()22221,0x y a b a b -=>交于,A B 两点，且AM BM =，则直线l 的斜率2020AB b x k a y =.14、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作实轴的平行线，交渐近线于,M N 两点，则PM PN =定值2a .15、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作渐近线的平行线，交渐近线于,M N 两点，则OMPNS =定值2ab .【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_________.【变式1】若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是_________.【变式2】双曲线22148x y -=的两条渐近线的夹角为_________.【变式3】已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.【变式4】若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>有相同焦点1F 、2F ，P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=_________.【变式5】如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A ．[1,1)-B . {}1,0-C . (,1][0,1)-∞-D . [1,0](1,)-+∞【变式6】直线2=x 与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于B A ,两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若b a +=(O R b a ,,∈为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）A .222a b +≥B .2122≥+b a C .222a b +≤ D .2212a b +≤【变式7】设连接双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=的四个顶点为四边形面积为1S ,连接其四个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为_________.例2、设12F F 、分别是双曲线2219y x -=的左右焦点,若点P 在双曲线上，且12=0PF PF ，则12PF PF +=_________.【变式1】过双曲线221109x y -=的左焦点1F 的弦6AB =，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长为_________.【变式2】双曲线2211620x y -=的左、右焦点1F 、2F ，P 是双曲线上的动点，且19PF =，则2PF =_________.例3、设12F F 、是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 是双曲线的任意一点，且123F PF π∠=，求12PF F ∆的面积.例4、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=有A B 、两个不同的交点，如果以AB 为直径的圆恰好过原点O ,试求k 的值.例5、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于A B 、两点，那么是否存在实数k 使得A B 、两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.例6、已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线C :21(4)x y y x -=≤； （1）画出曲线C 的图像；（2）若直线l ：1y kx =-与曲线C 有两个公共点，求k 的取值范围； （3）若()0P p ，()0p >，Q 为曲线C 上的点，求PQ 的最小值.【变式2】直线l ：10ax y --=与曲线C ：2221x y -=. （1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围；（2）若直线l 被曲线C 截得的弦长PQ =，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.例7、已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(14)A ，,P 是双曲线右支上的动点，求PF PA +的最小值.【变式】P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于_________.例8、已知动圆P 与两个定圆()2251x y -+=和()22549x y ++=都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程.【变式1】ABC ∆的顶点为()50A -，,()5,0B ，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是_________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为)F，直线1y x =-与其相交于M N 、两点，线段MN的中点的横坐标为23-，求此双曲线的方程.例9、已知双曲线221916x y -=，若点M 为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.例10、焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点P 为圆心，以1为半径的圆相切，又知双曲线C 的一个焦点与P 关于直线y x =对称 （1）求双曲线的方程；（2）设直线1y mx =+与双曲线C 的左支交于,A B 两点，另一直线l 经过点(2,0)M -及AB 的中点，求直线l 在轴上的截距n 的取值范围.【变式】设直线l 的方程为1y kx =-，等轴双曲线C ：222x y a -=右焦点为).（1）求双曲线的方程；（2）设直线l 与双曲线的右支交于不同的两点A B 、,记AB 中点为M ，求实数k 的取值范围，并用k 表示点M 的坐标；（3）设点()1,0Q -，求直线QM 在y 轴上的截距的取值范围.例11、已知双曲线C 方程为：2212y x -=. （1）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A B 、，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值； （2）设直线l 是圆O ：222x y +=上动点00(,)P x y （000x y ≠）处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B 、，证明AOB ∠的大小为定值.例12、已知中心在原点，顶点12A A 、在x 轴上，其渐近线方程是3y x =±，双曲线过点()6,6P . （1）求双曲线的方程；（2）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点M N 、，问：是否存在直线l ，使G 平分线段MN ，证明你的结论.例13、已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，例14、已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点是()22,0F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上．（3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．仰望天空时，什么都比你高，你会自卑; 俯视大地时，什么都比你低，你会自负; 只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底， 才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
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双曲线与方程【知识梳理】 1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长()1222,0a F F a a >>的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，定长2a 称为双曲线的实轴长，线段12F F 的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】12122PF PF a F F -==，此时P 点轨迹为两条射线.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值()1e e >的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.3、渐近线双曲线()22221,0x y a b a b -=>的渐近线为22220x y a b -=，即0x y a b ±=，或by x a=±.【注】①与双曲线22221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()22220x y a bλλ-=≠；②渐近线为by x a=±的双曲线方程可以设为()22220x y a b λλ-=≠；③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径双曲线上任意一点P 到双曲线焦点F 的距离称为焦半径.若00(,)P x y 为双曲线()22221,0x y a b a b -=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左、右焦点，则10||PF ex a =+，20||PF ex a =-，其中ce a=. 5、通径过双曲线()22221,0x y a b a b -=>焦点F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A 、B 两点，称线段AB 为双曲线的通径，且22b AB a=.6、焦点三角形P 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左右焦点，称12PF F ∆为双曲线的焦点三角形.若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122cot 2F PF S b θ∆=.7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）.8、双曲线()22221,0x y a b a b-=>的焦点三角形的内心的轨迹为()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线:0l Ax By C ++=，双曲线Γ：()22221,0x y a b a b-=>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔->； l 与Γ相切22222a A b B C ⇔-=； l 与Γ相离22222a A b B C ⇔-<.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条. 11、焦点三角形角平分线的性质点(,)P x y 是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，12,F F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则OM a =，即动点M 的点的轨迹为()222x y a x a +=≠±.【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交双曲线()22221,0x y a b a b -=>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E为CD 的中点，则2122b k k a=.13、中点弦的斜率直线l 过()()000,0M x y y ≠与双曲线()22221,0x y a b a b -=>交于,A B 两点，且AM BM =，则直线l 的斜率2020AB b x k a y =.14、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作实轴的平行线，交渐近线于,M N 两点，则PM PN =定值2a .15、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作渐近线的平行线，交渐近线于,M N 两点，则OMPNS =定值2ab .【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_________.【变式1】若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是_________.【变式2】双曲线22148x y -=的两条渐近线的夹角为_________.【变式3】已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.【变式4】若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>有相同焦点1F 、2F ，P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=_________.【变式5】如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A ．[1,1)-B . {}1,0-C . (,1][0,1)-∞-D . [1,0](1,)-+∞【变式6】直线2=x 与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于B A ,两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若OB b OA a OP +=(O R b a ,,∈为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）A .222a b +≥B .2122≥+b a C .222a b +≤ D .2212a b +≤【变式7】设连接双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=的四个顶点为四边形面积为1S ,连接其四个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为_________.例2、设12F F 、分别是双曲线2219y x -=的左右焦点,若点P 在双曲线上，且12=0PF PF ，则12PF PF +=_________.【变式1】过双曲线221109x y -=的左焦点1F 的弦6AB =，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长为_________.【变式2】双曲线2211620x y -=的左、右焦点1F 、2F ，P 是双曲线上的动点，且19PF =，则2PF =_________.例3、设12F F 、是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 是双曲线的任意一点，且123F PF π∠=，求12PF F ∆的面积.例4、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=有A B 、两个不同的交点，如果以AB 为直径的圆恰好过原点O ,试求k 的值.例5、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于A B 、两点，那么是否存在实数k 使得A B 、两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.例6、已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线C :21(4)x y y x -=≤； （1）画出曲线C 的图像；（2）若直线l ：1y kx =-与曲线C 有两个公共点，求k 的取值范围； （3）若()0P p ，()0p >，Q 为曲线C 上的点，求PQ 的最小值.【变式2】直线l ：10ax y --=与曲线C ：2221x y -=. （1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围；（2）若直线l 被曲线C 截得的弦长PQ =，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.例7、已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(14)A ，,P 是双曲线右支上的动点，求PF PA +的最小值.【变式】P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于_________.例8、已知动圆P 与两个定圆()2251x y -+=和()22549x y ++=都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程.【变式1】ABC ∆的顶点为()50A -，,()5,0B ，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是_________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为)F，直线1y x =-与其相交于M N 、两点，线段MN的中点的横坐标为23-，求此双曲线的方程.例9、已知双曲线221916x y -=，若点M 为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.例10、焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点P 为圆心，以1为半径的圆相切，又知双曲线C 的一个焦点与P 关于直线y x =对称 （1）求双曲线的方程；（2）设直线1y mx =+与双曲线C 的左支交于,A B 两点，另一直线l 经过点(2,0)M -及AB 的中点，求直线l 在轴上的截距n 的取值范围.【变式】设直线l 的方程为1y kx =-，等轴双曲线C ：222x y a -=右焦点为).（1）求双曲线的方程；（2）设直线l 与双曲线的右支交于不同的两点A B 、,记AB 中点为M ，求实数k 的取值范围，并用k 表示点M 的坐标；（3）设点()1,0Q -，求直线QM 在y 轴上的截距的取值范围.例11、已知双曲线C 方程为：2212y x -=. （1）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A B 、，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值； （2）设直线l 是圆O ：222x y +=上动点00(,)P x y （000x y ≠）处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B 、，证明AOB ∠的大小为定值.例12、已知中心在原点，顶点12A A 、在x 轴上，其渐近线方程是3y x =±，双曲线过点()6,6P . （1）求双曲线的方程；（2）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点M N 、，问：是否存在直线l ，使G 平分线段MN ，证明你的结论.例13、已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，例14、已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点是()22,0F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上．（3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．仰望天空时，什么都比你高，你会自卑; 俯视大地时，什么都比你低，你会自负; 只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底， 才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
高中数学知识点：双曲线方程知识点总结
双曲线方程1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或.②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)“长加短减”原则：构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证：=.常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.。
高中数学双曲线知识点归纳
高中数学双曲线知识点归纳双曲线是我们高中数学学习中的重要内容之一，它在几何和代数中都有广泛的应用。
本文将对高中数学双曲线的知识点进行归纳和总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
1. 双曲线的定义双曲线是平面上一组点，其到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的轨迹。
其中，定点称为焦点，常数称为离心率。
双曲线具有两支，分别对称于坐标轴。
2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程可以表示为 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 或y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1，其中 a 和 b 分别为椭圆的长轴和短轴的长度，决定了双曲线的形状和大小。
3. 双曲线的性质- 双曲线的对称轴是 x 轴或 y 轴，取决于标准方程的形式。
- 双曲线存在两个渐近线，与双曲线趋于无穷远处的曲线趋势相似。
- 双曲线具有镜像对称性，即曲线关于 x 轴和 y 轴对称。
- 双曲线的离心率决定了离焦点的距离和双曲线的形状，离心率越大，曲线越尖。
4. 双曲线的焦点和直径对于双曲线，有两个焦点，分别位于离心率所决定的距离之内，与中心轴相距相等。
直径则是双焦点之间的距离。
5. 双曲线与其他数学概念的联系双曲线在数学中与许多其他概念有密切的联系，例如：- 双曲线与椭圆是一对共轴的曲线，它们在几何性质上有一定的相似性。
- 双曲线与指数函数和对数函数有关，其图像表现出指数增长或指数衰减的特点。
6. 双曲线的应用双曲线在数学中被广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学和计算机科学等。
在物理学中，双曲线可以描述粒子的运动轨迹；在工程学中，双曲线可以用于描述电路的性质；在计算机科学中，双曲线可以用于图像处理和数据压缩等领域。
本文对高中数学双曲线的定义、标准方程、性质、焦点和直径以及与其他数学概念的联系和应用进行了归纳和总结。
希望通过对这些知识点的了解，同学们能够更好地理解和应用双曲线，为日后的学习和研究打下坚实的基础。
高二文科数学双曲线知识点
高二文科数学双曲线知识点双曲线是高中数学中重要的图形之一，广泛应用于工程、物理、经济等领域。
在高二文科数学中，学习双曲线的相关知识点是必不可少的。
本文将为你详细介绍高二文科数学中的双曲线知识点。
一、双曲线的定义双曲线是平面上与给定直线和两个给定点的距离之差的绝对值之比等于常数的点的轨迹。
通常用方程表示为：x²/a² - y²/b² = 1 或x²/a² - y²/b² = -1。
二、双曲线的性质1. 双曲线的对称轴：双曲线关于y轴或x轴对称，其关联的方程中的x²项或y²项系数不同。
2. 双曲线的焦点：双曲线有两个焦点，记作F1和F2，在x轴的两侧，其距离顶点的距离称为焦距。
3. 双曲线的顶点：双曲线的顶点是其离x轴最近的点或离y轴最远的点，位于双曲线的对称轴上。
4. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线趋于无穷远处，一般与x轴和y轴不重合且不垂直。
5. 双曲线的离心率：双曲线的离心率e定义为焦距与顶点到焦点的距离之比，一般大于1。
三、双曲线的方程1. 标准方程：双曲线的标准方程分为横轴双曲线和纵轴双曲线两种形式。
对于横轴双曲线，其标准方程为x²/a² - y²/b² = 1；对于纵轴双曲线，其标准方程为y²/b² - x²/a² = 1。
2. 中心在原点的双曲线方程：对于中心在原点的双曲线，其方程可以表示为x²/a² - y²/b² = 1 或 y²/b² - x²/a² = 1。
3. 平移双曲线方程：对于中心不在原点的双曲线，可以通过平移变换来求得对应的方程。
四、双曲线的图像与性质通过绘制双曲线的图像，我们可以更好地理解其性质。
高二数学双曲线知识点
高二数学双曲线知识点双曲线是高中数学中重要的曲线类型之一，它具有许多独特的性质和应用。
本文将介绍高二数学中关于双曲线的知识点。
一、定义与基本概念1. 双曲线的定义：双曲线是平面上一个动点与两个给定点（称为焦点）之间的距离差的绝对值等于一个定值（称为离心率）的轨迹。
2. 双曲线的几何特征：双曲线是非闭合曲线，两支曲线相似但不相交。
3. 双曲线的标准方程：一般形式为x²/a² - y²/b² = 1或y²/a² - x²/b²= 1。
4. 双曲线的焦点与离心率关系：离心率e的值决定了焦点与曲线形状的关系，e大于1时，焦点位于x轴；e小于1时，焦点位于y轴。
二、双曲线的性质1. 集中性质：双曲线的焦点位于x轴或y轴上，并且距离原点越远，离心率越大。
2. 对称性质：双曲线关于x轴、y轴和原点分别对称。
3. 渐进线性质：双曲线的渐进线是x轴和y轴，即曲线无限延伸但不与x轴和y轴相交。
4. 双曲线的渐成线性质：双曲线的渐成线是曲线两支的连接线段。
三、曲线的参数方程1. 参数方程的定义：对于双曲线，可以使用参数方程来描述曲线上的点的位置。
常用的参数方程有x = asect，y = btant和x = acost，y = bsint。
2. 参数方程的图像特征：通过改变参数t的取值范围，可以观察到双曲线在平面上的不同部分以及曲线的形状。
四、双曲线的应用1. 物理中的应用：双曲线常用于描述天体运行轨迹、电磁波等物理现象。
2. 经济学中的应用：双曲线可以用于描述供需曲线、价格水平等经济学概念。
3. 工程中的应用：双曲线可用于工程设计和建模，如道路、桥梁等工程结构的设计。
总结：双曲线是高二数学中重要的曲线类型，它具有许多独特的性质和应用。
了解双曲线的定义、基本概念、性质以及参数方程的描述方法，可以帮助我们更好地理解和应用这一曲线类型。
高中数学双曲线知识点归纳
高中数学双曲线知识点归纳1. 双曲线的定义双曲线是数学中的一种曲线形状，定义为平面上满足一定关系式的点的集合。
双曲线由两个分离的曲线支构成，且每个支都是无限延伸的。
双曲线有许多重要的性质和应用。
2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程可以表示为以下形式：- 横轴双曲线方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a>0$且$b>0$。
- 纵轴双曲线方程：$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$，其中$a>0$且$b>0$。
3. 双曲线的焦点和准线双曲线的焦点和准线是双曲线的重要概念。
- 焦点：对于横轴双曲线，焦点是位于横轴上的两个点；对于纵轴双曲线，焦点是位于纵轴上的两个点。
焦点具有很多重要的性质，如与双曲线的离心率相关等。
- 准线：对于横轴双曲线，准线是位于横轴上的两个点；对于纵轴双曲线，准线是位于纵轴上的两个点。
准线也与双曲线的离心率有关。
4. 双曲线的性质双曲线具有许多特殊的性质，包括但不限于：- 双曲线是对称的，关于$x$轴和$y$轴都具有对称性。
- 双曲线的离心率为超过1的正实数，离心率越大，曲线形状越扁平。
- 双曲线的渐近线是曲线的两个分支的极限位置，与曲线的形状和方程有关。
5. 双曲线的应用双曲线在数学和其他领域中有广泛的应用。
- 物理学中的抛物线轨迹、光学中的抛物面反射、天体力学中的行星轨道等问题都涉及到双曲线。
- 经济学中的供求曲线、成本曲线等也可以用双曲线进行建模和分析。
以上是对高中数学中双曲线知识点的简要归纳，希望对你有所帮助。
双曲线是数学中一个重要而有趣的概念，深入学习和应用双曲线将能拓宽你的数学视野。
高二双曲线数学知识点归纳
高二双曲线数学知识点归纳双曲线是高中数学中比较重要的一个知识点，它与函数的图像、性质以及在实际问题中的应用有着密切的联系。
本文将对高二双曲线的相关知识点进行归纳和总结，从而帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 双曲线的定义双曲线是一类二次曲线，其定义为所有到两个定点的距离差等于常数的点的集合。
这两个定点称为焦点，常数称为离心率。
双曲线可以有两个分支，分别是左（右）开口的双曲线。
2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程可以表示为：$\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1$，其中a和b分别表示x轴和y轴方向上的半轴长度。
3. 双曲线的图像特点（1）双曲线的对称轴与x轴、y轴交于两个焦点的中垂线；（2）双曲线的渐近线为直线$y= \frac{b}{a}x$和$y= \frac{-b}{a}x$；（3）双曲线左（右）分支的渐近线与x轴、y轴的夹角分别为$\frac{\pi}{4}$和$\frac{3\pi}{4}$；（4）双曲线的顶点为原点。
4. 双曲线的性质（1）双曲线是一个非线性函数，其图像呈现出增长非常快或者非常陡峭的形状；（2）双曲线的点到焦点的距离差与点的横坐标之间存在特定的关系；（3）双曲线的离心率是一个大于1的实数，决定了曲线的形状；（4）双曲线的面积和弧长等相关计算问题。
5. 双曲线的标准方程变形（1）双曲线标准方程的变形形式有：$\frac{y^2}{b^2} -\frac{x^2}{a^2} = 1$，$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$，$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = -1$，$\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = -k^2$等；（2）根据不同的变形形式，可以得到不同形状的双曲线。
6. 双曲线的应用（1）双曲线可以用于描述电磁波、流体力学和其他物理学现象；（2）双曲线在航天、天体物理学中有广泛的应用；（3）双曲线在经济学、金融学等社会科学领域也有相应的应用。
高三数学双曲线知识点
高三数学双曲线知识点双曲线是高中数学中的一个重要章节，它涉及到很多基本概念和性质。
在本文中，我们将重点介绍双曲线的定义、标准方程、焦点、直径以及离心率等知识点。
1. 双曲线的定义双曲线是平面上一点到两个固定点的距离之差等于定值的轨迹。
该定值称为双曲线的离心率，用e表示。
2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程分为横轴双曲线和纵轴双曲线：- 横轴双曲线的标准方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b 分别代表横轴和纵轴上的顶点到中心点的距离。
- 纵轴双曲线的标准方程为(y^2/a^2) - (x^2/b^2) = 1，其中a和b 分别代表纵轴和横轴上的顶点到中心点的距离。
3. 焦点和准线在双曲线上，有两个特殊的点称为焦点和准线。
焦点是双曲线的一个重要属性，它位于离心率所确定的直线上，离心率越大，焦点离中心点越远；离心率越小，焦点离中心点越近。
准线是离心率为1的双曲线上的一个与中心对称的直线。
4. 离心率离心率是双曲线的一个重要性质，它决定了双曲线的形状。
离心率等于焦点到准线的距离与焦点到中心点的距离之比。
离心率大于1时，双曲线开口朝左右两侧；离心率等于1时，双曲线退化为两条互相对称的直线。
5. 双曲线的性质双曲线具有一些特殊的性质：- 双曲线关于x轴和y轴对称；- 双曲线的渐近线是与x轴和y轴平行的直线，方程分别为y = ±(b/a)x；- 双曲线具有两个分支，分别位于中心点的上下或左右两侧；- 双曲线的极点是位于两个分支上的最靠近中心点的点。
6. 双曲线的图像与应用双曲线广泛应用于物理、工程和经济学等领域。
它常用于描述两个交叉轴对称的曲线所表示的关系。
例如，在天体力学中，双曲线被用于描述彗星的轨迹；在无线通信中，双曲线被用于描述信号的传播路径。
总结：本文介绍了高三数学中的双曲线知识点，包括双曲线的定义、标准方程、焦点、准线以及离心率等重要概念。
双曲线具有许多特殊的性质和应用，对学生们理解和掌握这些知识点将有助于他们在数学学科中取得更好的成绩和理解能力。
高中数学双曲线知识点归纳总结
，
，
对称轴
轴 ， 轴；实轴长为 ,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标
焦点在实轴上， ；焦距：
顶点坐标
（ ,0） ( ,0)
(0, ,) (0， )
离心率
1)
准线方程
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
顶点到准线的距离
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点到准线的距离
8.
(
（2）过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .
（3）双曲线 与直线 相切的条件是 .
9. 直线与双曲线的位置关系
直线 ： 双曲线C： （ ＞0， ＞0）
1)当 ，即 时，直线 与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C相交于一点；
2)当b2-a2k2≠0，即 时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)
仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;
俯视大地时，什么都比你低，你会自负;
只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，
才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
工作好，才有好的生活！）
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~~~专业文档，VIP专享。更多精彩文档，尽在~~~3.双曲线的内外部
(1)点 在双曲线 的内部 .
(2)点 在双曲线 的外部 .
4. 形如 的方程可化为
当 ，双曲线的焦点在 轴上；
当 ，双曲线的焦点在 轴上；
5.求双曲线的标准方程，
应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
6.离心率与渐近线之间的关系
1） 2）
若2a=2 时，即 ,当 ，动点轨迹是以 为端点向右延伸的一条射线；当 时，动点轨迹是以 为端点向左延伸的一条射线；
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双曲线方程
1. 双曲线的第一定义：
⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.
⑵①i. 焦点在x轴上：
顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或
ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或.
②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)
“长加短减”原则：
构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)
⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.
例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?
解：令双曲线的方程为：，代入得.
⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.
⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m ︰n.
简证：=.
常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.。