新北师大版九年级数学上第四章教案

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新北师大版九年级数学上第四章教案

新北师大版九年级数学上第四章教案教学目标1.理解函数的概念，了解常见函数类型及其特征。

2.能够绘制函数的图像，掌握函数图像的基本特征。

3.能够进行函数之间的简单变形和组合，掌握函数的基本变换规律。

4.能够应用函数概念和函数图像进行实际问题的求解。

教学重点1.函数的概念和特征。

2.函数图像的绘制和特征。

3.函数的变形和组合。

教学难点1.函数的变形和组合。

2.函数在实际问题中的应用。

教学方法课堂讲解、案例分析、演示、合作探究。

教学过程第一节：函数的基本概念和特征活动设计1.让学生参考实例，讨论出函数的基本概念是什么。

2.教师向学生介绍函数的具体定义，强调自变量和因变量的概念。

3.介绍一些常见的函数类型及其特征，如一次函数、二次函数、指数函数等。

4.让学生通过观察函数的表格、图像和公式特征，判断其函数类型。

教学要点1.函数的定义；2.自变量和因变量的概念；3.各种常见函数类型的特征。

第二节：函数图像活动设计1.让学生观察一些函数的图像，总结出函数图像的基本特征。

2.让学生利用公式和表格等信息，自己尝试绘制函数图像。

3.将学生的绘制结果进行对比和评价，帮助学生发现问题和改进方法。

教学要点1.函数图像的基本特征；2.利用公式和表格等信息绘制函数图像的方法。

第三节：函数的变形和组合活动设计1.介绍一些常见的函数变形和组合方式，如平移、翻转、缩放、复合等。

2.让学生通过观察和思考，掌握这些函数变形和组合的具体规律。

3.让学生通过练习和案例分析，应用函数变形和组合的知识，解决一些实际问题。

教学要点1.函数变形和组合的基本规律；2.应用函数变形和组合的方法。

课堂练习1.根据给出的函数，判断它的类型和基本特征：y=5x−12.根据给出的函数公式和表格，绘制函数图像：y=2x2+33.对于函数f(x)=x2+1，求f(2)和f(−3)的值。

课后作业1.总结本课所学的重点内容。

2.完成本节课的练习和作业。

3.了解更多的函数类型和应用场景，扩展思维和知识面。

北师大版九年级上册数学第四章复习第四章复习教案1(2)

第四章图形的相似【知识回顾】一、成比例线段1、比例线段的概念：在四条线α、b 、c 、d 中，如果其中两条线段的比例等于另外两条线段的比，即)::(d c b a dcb a ==或，那么这四条线段α、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。

2、线段的比例中项：在比例式cbb a =（或c b b a ::=）中，b 叫做α和c 的。

3、比例的性质①基本性质：。

bd bc ad d cb a 内项之积等于外项之积:)0(≠=⇒= ②合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=。

③等比性质：)0(≠+++=++++++⇒===n d b ba n db mc a n md c b a 。

4. 黄金分割如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.0215:≈-=AB AC二、相似三角形的判定与性质1、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．2、相似三角形的判定方法（1）相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。

当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。

全等三角形是相似三角形的特例。

（2）相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。

②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。

③三边对应成比例，两三角形相似。

（3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。

②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。

③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

三、位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。

北师大版九年级上册数学教案：4.1成比例线段

其次，在新课讲授环节，我尽量用简单明了的语言解释成比例线段的概念和性质，并通过案例分析和实例演示，帮助学生理解。从学生的反馈来看，这种方法效果还不错。但我也注意到，部分学生在理解比例的基本性质时仍存在困难。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，通过个别辅导和反复练习，帮助他们克服困难。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生能够将理论知识与实际操作相结合，加深了对成比例线段的理解。但我也发现，部分小组在讨论过程中存在依赖思想，个别成员不够积极参与。为了提高学生的参与度，我打算在下次活动中增加一些互动环节，鼓励每个学生都发表自己的观点。
-掌握比例的基本性质：包括比例的倒数性质（如果a:b=c:d，则b:a=d:c）、交叉相乘性质（如果a:b=c:d，则ad=bc）等。这些性质是解决比例问题的关键，需要在教学中反复强调，并通过练习题巩固。
-应用比例知识解决实际问题：培养学生将比例知识应用于实际情境中，如计算线段长度、解决比例分配问题等。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了成比例线段的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对成比例线段的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解成比例线段的基本概念。成比例线段指的是两条线段之间存在一个常数k，使得一条线段的长度是另一条线段长度的k倍。它在几何图形的相似性、比例尺的计算等方面具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设图中有两条线段AB和CD，已知AB的长度是CD的两倍，我们将通过这个案例来展示成比例线段在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。

北师大版九年级数学上第四章视图与投影全章教案新部编本

精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan教师学科教课设计[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校第四章视图与投影1．视图（一）叶县洪庄杨乡初级中学胡朋飞一、教课目标1.知识与技术：（1）经历由实物抽象出几何体的过程，进一步发展空间看法。

（2）会画圆柱、圆锥、球的三种视图，领会这几种几何体与其视图之间的相互转变。

2.过程与方法：联合详尽实例，初步领会视图在现实生活中的应用，感觉数学与现实生活的亲近联系，加强学生的数学应意图识。

3.感情态度与价值观：让学生在课堂活动中经过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力。

二、教课要点和难点1、要点：会画圆柱、圆锥、球的三种视图，领会这几种几何体与其视图之间的相互转化。

2、难点：画几何体的三视图。

三 . 教课方法：启示式和学生合作交流法。

四．教具准备几何体教课模具和幻灯片。

五、教课过程第一环节：情境问题引入活动内容：1还记得一个物体的主视图、左视图和俯视图吗？2你能自己也许与伙伴画出以下图的主视图、左视图和俯视图吗？附答案1、主视图：2、左视图：3、俯视图 :注意：画三种视图有必定的要求，主视图反响物体的长和高，俯视图反响物体的长和宽，左视图反响物体的高和宽。

所以在画三种视图时，主，俯视图要长对正，主，左视图要高平齐，左，俯视图要宽相等。

第二环节：活动研究（获守信息，领会特色）活动内容：课本 110 页议一议的图中物体的形状分别可以看作什么样的几何体？从正面、侧面、上边看这些几何体，他们的形状各是什么样的？活动目的：第一让学生经历将实物抽象成几何体的过程，培育学生的抽象能力和想象能力，并经过亲自体验归纳总结三种视图的不一样特色，及在现实生活中的实质意义。

第三环节：合作学习活动内容：（ 1）以下图中各物体的主视图是什么？（2）上图中各物体的左视图是什么？俯视图呢？与伙伴进行交流。

北师大版九上数学(教案)第四章：第五节：相似三角形判

北师大版九年级上第四章《图形的相似》《相似三角形判定定理的证明》教案【教学目标】1.知识与技能①了解相似三角形判定定理②会证明相似三角形判定定理2.过程与方法掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力3.情感态度和价值观经历自主探究、合作交流等学习方式的学习及激励评价，让学生在学习中锻炼能力.【教学重点】相似三角形判定定理【教学难点】掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力【教学方法】合作、探究【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、复习导入问题：相似三角形的判定方法有哪些？①两角对应相等，两三角形相似.②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.③三边对应成比例,两三角形相似.在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节课我们将对它们进行证明。

二、探究新知（1）判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．用数学符号表示：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'证明相似三角形的判定定理1已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'．分析：根据证明两三角形相似的定义，需要三个角对应相等，三边对应成比例的两三角形相似.证明：在 △ABC 的边 AB （或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D 作BC 的平行线，交 AC 于点E ，则∠1=∠B ，∠2 =∠C ，ACAEAB AD = 过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F, CB CFAB AD =∴CBCFAC AE =∴∵ DE ∥BC, DF ∥AC,∴ 四边形 DFCE 是平行四边形． ∴ DE = CF. CBDEAC AE =∴BCDEAC AE AB AD ==而 ∠ 1 = ∠ B ，∠ DAE = ∠ BAC ，∠ 2=∠ C ， ∴ △ADE ∽ △ABC.∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'， ∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ．∴ △ABC ∽△A'B'C.例1.已知:如图，ΔABC 中，∠ACB=90°，F 为AB 的中点，EF ⊥AB ．求证：ΔCDF ∽ΔECF ．证明∵F 是Rt △ABC 斜边的中点∴CF=AB 21=BF ∴∠B=∠BCF ∵∠ACB=90°∴∠ACF+∠BCF=90° ∵EF ⊥AB∴∠B+∠E=90° ∴∠DCF=∠E 又∠DFC=∠CFE∴△CDF ∽△ECF （两角对应相等,两三角形相似）练习：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于点E.求证：△ABD ∽△CBE.证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴AD ⊥BC. 又∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°. 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABD ∽△CBE （2）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．用数学符号表示：∵∠A=∠A' ,''''C A ACB A AB = ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'证明相似三角形的判定定理2如图，在△ABC 与△A ′B ′C ′中，已知∠A= ∠A ′,''''C A ACB A AB =,求证：△A ′B ′C ′∽△ABC.证明：在△A ′B ′C ′的边A ′B ′上截取点D,使A ′D=AB ．过点D 作DE ∥B ′C ′,交A ′C ′于点E.∵DE ∥B ′C ′,∴△A ′DE ∽△A ′B ′C ′..''''''∴C A E A B A D A =∵A ′D=AB ，''''CA ACB A AB = .''''''''∴C A AC C A E A B AD A ==∴A ′E=AC. 又∠A ′=∠A.∴△A ′DE ∽△ABC ， ∴△A ′B ′C ′∽△ABC.例2.如图，∠B=90°，AB=BE=EF=FC=1。

九年级数学上册第4章教案北师大版

第四章图形的相似1 成比例线段第1课时线段的比和比例的基本性质【知识与技能】1.通过简单实例了解两条线段的比的概念.2.了解比例的基本性质及应用.【过程与方法】经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题.【情感态度】通过现实情境，培养应用意识，了解数学、自然、社会的密切联系.【教学重点】成比例线段的基本性质.【教学难点】成比例线段的基本性质.一、情境导入，初步认识请写出线段AB和CD的比，并讨论线段的比有哪些地方是需要特别留意的？【教学说明】让学生初步了解线段的比就是线段长度的比.让学生在两个实例中理解线段的比要注意以下几点：1.线段的比是正数2.单位要统一3.线段的比与线段的长度无关二、思考探究，获取新知1.由下面的格点图可知，AB A B ''=_______，BC B C ''=_______，这样AB A B ''与BCB C ''之间有关系_______.【归纳结论】对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如a b =dc（或a ∶b ＝c ∶d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.【教学说明】从具体的事例中感受线段的成比例. 2.如果四条线段a 、b 、c 、d 成比例，即=a cb d.那么ad ＝bc 吗？如果ad ＝bc ，那么a 、b 、c 、d 成比例吗？【归纳结论】如果=a c b d ，那么ad=bc.如果ad=bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么=a c b d. 【教学说明】培养学生的自学能力及归纳能力. 三、运用新知，深化理解1.一条线段的长度是另一条线段的3倍，则这两条线段的比为3∶1.2.已知3x=4y ，则x y = 43. 3.已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？（1）a=16cm b=8cm c=5cm d=10cm; （2）a=8cm b=5cm c=6cm d=10cm. 分析：（1）a b =2，d c =2，则a b =dc，所以a 、b 、d 、c 成比例. （2）由已知得ab ≠cd ，ac ≠bd ，ad ≠bc ，所以a 、b 、c 、d 四条线段不成比例. 4.在比例尺为1∶200的地图上，测得A ，B 两地间的图上距离为4.5cm ，求A ，B 两地间的实际距离.分析：利用比例尺的定义即“=图上距离比例尺实际距离”列出等量关系式.解：设A 、B 两地间的实际距离为xcm ，则4.51200=x .解得x=900. ∴设A 、B 两地间的实际距离为900cm.5.已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，且a=3cm ，b=2cm ，c=6cm ，求线段d 的长. 分析：由a 、b 、c 、d 是成比例线段得=a cb d，代入计算求出线段d 的长. 解：∵a 、b 、c 、d 是成比例线段， ∴=a c b d ，即362=d. 解得d=4cm.6.已知三条线段的长分别为2、4、8，请你再添上一条线段，使它们成比例，求出所有符合条件的线段长.分析：解：设添加的线段长为x ，当x ≤2时，x ∶2=4∶8，x=1; 当2≤x ≤4时，2∶x=4∶8，x=4; 当4≤x ≤8时，2∶4=x ∶8，x=4; 当x ≥8时，2∶4=8∶x ，x=16.综上，符合条件的线段长可为：1，4，16.【教学说明】本题运用了分类讨论思想求解，解题的关键是找出各种可能的情况.先设要添加的线段长为x ，然后使这四个数各自成比例，再算出x 的值. 四、师生互动，课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你还存在哪些疑惑？【教学说明】让学生相互交流后，单独回答、提问.1.布置作业:教材“习题4.1”中第1 题.2.完成练习册中相应练习.本节的重点是线段的比和比例线段的概念以及比例的性质.虽然小学时已经接触过比例性质的一些知识，但内容比较简单，而本节涉及到的比例基本性质变式较多，容易混淆.所以应多加训练.第2课时等比性质【知识与技能】1.能用比例的基本性质推出等比性质.2.学会用设“k ”法解答比例的相关题目. 【过程与方法】经历等比性质的推导过程，掌握并灵活运用等比性质解决相关问题. 【情感态度】培养学生分析、解决问题的能力，增强数学应用意识，体会数学与现实的紧密联系. 【教学重点】理解并掌握等比性质. 【教学难点】等比性质的实际应用.一、情境导入，初步认识如图，已知2====AB BC CD AD HE EF FG HG ，你能求出++++++AB BC CD ADHE EF FG HG的值吗？由此你能得出什么结论？【教学说明】让学生以小组为单位进行思考、探讨和交流，教师采用巡视的方式参与到学生的交流活动中.教师巡视时可关注：①学生的研究方法，发现好的方法时，可在适当时间让其和同学们一起交流分享.②还有哪些小组的同学研究有困难，此时教师可抓住分分秒秒对其进行讲解，争取不让任何一个学生掉队. 二、思考探究，获取新知已知a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数，如果a c e mb d f n===⋯==k ，（b =d =f ≠0），那么a c e mb d f n+++⋯++++⋯+=k 成立吗？为什么？【归纳结论】如果a c e mb d f n ===⋯==k ，（b =d =f ≠0），那么ac e m bd f n+++⋯++++⋯+=k 【教学说明】理解比例的性质可以由等式的基本性质推出. 三、运用新知，深化理解1.已知25===a c e b d f （b +d +f ≠0），求++++a c eb d f的值. 分析：根据等比性质， ∵2,5===a c e b d f ∴25++=++a c e b d f .2.已知a b =c d =3，a b b-=c d d -成立吗？分析：由a b =c d =3，得a =3b ，c =3d .所以a b b-=3b bb -=2，cd d -=3d d d -=2，因此a b b-=c dd -.3.已知a ∶b ∶c =4∶3∶2，且a +3b -3c =14. （1）求a 、b 、c ；（2）求4a -3b +c 的值. 解：（1）设a =4k ，b =3k ，c =2k . ∵a +3b -3c =14， ∴4k +9k -6k =14，∴7k =14， ∴k =2，∴a =8，b =6，c =4. （2）4a -3b +c =32-18+4=18.4.已知a ∶b ∶c =3∶4∶5，求23-+a b ca的值. 解：方法一：由a ∶b ∶c =3∶4∶5，得345==a b c，所以2323345-==⨯-⨯a b c （），所以23233453-+=⨯-⨯+a b c a ，所以2313-+=-a b c a ，所以233131=-=-+-a b c a .方法二：由a ∶b ∶c =3∶4∶5，得345==a b c，设345==a b c=k ，则a =3k ，b =4k ，c =5k ，所以23233451333-+⨯-⨯=+--==a b c k k k k a k k .5.在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB =15c m ，AC =10c m ，且BD ∶DC =AB ∶AC ，BD -DC =2c m ，求BC .解：∵AB =15c m ，AC =10c m ， ∴153102===BD AB DC AC . 设BD =3k ，DC =2k ， ∵BD -DC =2c m ， ∴k =2c m.∴BC =3k +2k =5k =10c m.【教学说明】让学生清楚的理解比例的基本性质的应用，熟练掌握设“k ”法. 6.已知k =a b b c c ac a b+++==，求k 的值. 分析：解决这个问题时一定要注意分类讨论，不能只用等比性质，而把a +b +c =0这种情况漏掉.解：当a +b +c =0时，a +b =-c ，k =-cc=-1；当a+b+c≠0时，可以用等比性质k=2()++++a b ca b c（）=2；所以k=-1或k=2.【教学说明】在利用等比性质时，一定要注意等比性质成立的条件，千万不能忽视这一点.四、师生互动，课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你还存在哪些疑惑？【教学说明】让学生相互交流后，单独回答、提问.1.布置作业:教材“习题4.2”中第1、2题.2.完成练习册中相应练习.本节采用以问题为载体，以培养学生能力为目的的教学模式，教学从提出新的问题开始，引导学生获取知识、探索发现、积极创新，加深对问题的认识，采用讲练结合的方式，增加了教学的弹性.2平行线分线段成比例【知识与技能】在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边平行线的性质与判定定理，并会灵活应用.会作已知线段成已知比的作图题.【过程与方法】通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.【情感态度】通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美.【教学重点】定理的应用.【教学难点】定理的推导证明.一、情境导入,初步认识1.求出下列各式中的x∶y.（1）3x=5y；（2）x=23y；（3）3∶2=y∶x；（4）3∶x=5∶y.2.已知x/y=7/2，求x/（x+y）.3.已知x/2=y/3=z/4，求(x+y+z)/(2x+3y-z).【教学说明】其中第1题以学生口答、共同核对的方式进行；第2、3题以学生各自解答，指定2人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行.二、思考探究，获取新知..1.在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今天，在此基础上，我们来研究平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图（1）：∵AD∥BE∥CF ，且AB=BC ，则DE=EF.问题1：图（1）中若AD∥BE∥CF，则AB DEBC EF=成立吗？解：由于 AB=BC,DE=EF,故AB DEBC EF==1.问题2：如果将CF向下平移到如图（2）的位置，则AB/BC=DE/EF仍成立吗？解：若AD∥BE∥CF，则AB DEBC EF==2/3.【教学说明】学生之间相互交流，探讨得出结论.问题3：在一般情况下，如图，若AD∥BE∥CF，AB DEBC EF=这个结论吗？【教学说明】学生可以动手量一量，算一算.得出结论.【归纳总结】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.【教学说明】这里不要让学生死记硬背，要让学生会看图，达到根据图作出正确的比例即可.2.在如图所示的三个图形中，DE∥BC，以上得到的那些比例是否成立？说说你的理由.与上图对比，通过添加一组平行线，得到平行线分线段成比例定理的基本图形，从而得到比例线段.在图（1）中，因为平行于BC的直线DE与△ABC的两边AB、AC相交与D、E，在图（2）中，因为平行于BC的直线DE与△ABC的两边AB、AC的反向延长线相交于D、E，【归纳结论】平行于三角形一边的直线与三角形的两边或两边的延长线相交，所截得的对应线段成比例.【教学说明】引导学生初步总结出平行线分线段成比例定理及推论，然后师生共同归纳得出定理并板书定理.三、运用新知，深化理解2.如图，在△ABC中，若BD∶DC=CE∶EA=2∶1，AD和BE交于F，则AF∶FD=________.解答：过点D作DH∥BE交AC于H，∴EH BD HC DC==2∴EH=23CE∵BD∶DC=CE∶EA=2∶1∴AE=12CE=34EH∴34 AF AEFD EH==.3.如图，在△ABC中，D、E分别在BC、AC上，且DC∶BD=1∶3，AE∶EC=2∶1，AD与BE交于F，则AF∶FD=________.解答：过点D作DH∥BE交AC于H，∴EH BD HC DC==3∴EH=34CE∵AE∶EC=2∶1 ∴AE=2CE∴83 AF AEFD EH==.【教学说明】通过本题分析使学生进一步理解定理.四、师生互动，课堂小结今天我们学习了平行线分线段成比例定理，当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广.1、布置作业：教材“习题4.3”中第1、2 题.2、完成练习册中相应练习.对于本节课的学习，学生还是要以探索归纳，动手练习为主.既要复习知识点，更重要的是要在复习的过程中不断提高学生用数学解决问题的能力.3相似多边形【知识与技能】1.了解相似多边形的概念和性质.2.在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似.3.会用相似多边形的性质解决简单的几何问题.【过程与方法】理解相似多边形的概念和性质，并能熟练运用.【情感态度】激发学习兴趣，培养想象力，挖掘学生潜力.【教学重点】相似多边形的定义和性质.【教学难点】如何判断两个多边形是否相似.一、情境导入,初步认识如图：四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的图象.请分别求出这两个四边形的对应边的长度,并分别量出这两个四边形各个内角的度数.然后与你的同伴讨论：这两个四边形的对应角之间有什么关系？对应边之间有什么关系？【教学说明】培养学生从图片直观地获取信息的能力，并通过亲身体验归纳总结相似图形的共同特点.由此自然地引出课题——相似多边形.二、思考探究，获取新知1.相似多边形：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.对应顶点的字母写在对应的位置上，如四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD.相似多边形对应边的比叫做相似比.图中四边形A1B1C1D1与四边形ABCD的相似比为k=1/2.2.观察下面两个图，判断：它们形状相同吗？它们是相似图形吗？这两个五边形是_____________________________________，即_______________________________________.3.问题：如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？相似多边形的性质：____________________________________________.【教学说明】通过对各种相似图形特点的一个自然感知的过程，使学生都能用自己的语言归纳总结出相似多边形的特点.【归纳结论】相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似用“∽”表示，读作“相似于”.三、运用新知，深化理解1.下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？（1）正三角形ABC与正三角形DEF；（2）正方形ABCD与正方形EFGH.解：(1)由于正三角形每个角都等于60°，所以∠A=∠D=60°，∠B=∠E=60°，∠C=∠F= 60°.由于正三角形三边相等，所以AB∶DE=BC∶EF=CA∶FD；(2)由于正方形的每个角都是直角，所以∠A=∠E=90°，∠B=∠F=90°，∠C=∠G=90°，∠D=∠H=90°，由于正方形的四边相等，所以AB∶EF=BC∶FG=CD∶GH=DA∶HE.2.两个相似多边形，其中一个多边形的周长和面积分别是10和8，另一多边形的周长为25，则另一个多边形的面积是________.解答：两个相似多边形的周长的比等于相似比，因而相似比是10∶25=2∶5，而面积的比等于相似比的平方，设另一个多边形的面积是x，则8：x=（2∶5）2，解得：x=50，即另一个多边形的面积是50.3.两个相似的五边形，一个五边形的各边长分别为1，2，3，4，5，另一个的最大边长为10，则后一个五边形的最短边的长为________.分析：根据相似多边形的对应边的比相等可得.解：两个相似的五边形，最长的边是5，另一个最大边长为10，则相似比是5∶10=1∶2，根据相似五边形的对应边的比相等，设后一个五边形的最短边的长为x，则1∶x=1∶2，解得：x=2，即后一个五边形的最短边的长为2.4.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠1=_____，AD=_____.解析：根据相似多边形对应边之比相等，对应角相等可得.解答：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠1=∠B=70°，A D D C AD DC''''=.即21183244AD==，解得AD=28，∠1=70°.5.设四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，且A与A1、B与B1、C与C1是对应点，已知AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，则四边形A1B1C1D1的周长为________.解析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，就可求得A1B1C1D1的其它边的长，就可求得周长.解答：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，∴11111111AB BC CD DA A B B C C D D A===.又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，∴11111112181898B C C D D A===，∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6，∴四边形A1B1C1D1的周长=8+12+12+6=38.【教学说明】学生在应用中更深层次认识相似多边形的基本涵义；初步掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例的性质.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你有何收获？还有哪些疑问？【教学说明】鼓励学生结合本节课的学习过程，谈谈自己的收获与感想，让学生学会疏理、归纳和总结.1、布置作业:教材“习题4.4”中第1 、2 题.2、完成练习册中相应练习.本节课是在探索相似多边形的过程中,进一步发展学生归纳、类比、反思、交流、论证等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作用及直觉的不可靠性.4 探索三角形相似的条件第1课时相似三角形的判定（1）【知识与技能】1.经历三角形相似的判定定理1 的探索及证明过程.2.能应用判定定理1判定两个三角形相似，解决相关问题.【过程与方法】让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.【情感态度】通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造快乐.【教学重点】三角形相似的判定定理1及应用.【教学难点】三角形相似的判定定理1的证明.一、情境导入，初步认识现有一块三角形玻璃ABC，不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整.如果用这两个角去配制一张完全一样的玻璃，能成功吗？【教学说明】选择以旧孕新为切入点，创设问题情境，引入新课.二、思考探究，获取新知问题情景出现后，让学生充分发表自己的想法.1、动手实验：现在，已量出∠A=60°，∠B=45°，请同学们当一当工人师傅，在纸片上作∠A=60°，∠B=45°的△ABC，剪下与同桌所做的三角形比较，研究这两个三角形的关系.你有哪些发现？在小组内交流.【教学说明】学生动手操作，教师巡回指导，启发点拨.学生经过画一画、剪一剪、量一量、算一算、拼一拼，在小组合作基础上，讨论交流，可能得出下面结论：①这样的两个三角形不一定全等.②两个三角形三个角都对应相等.③通过度量后计算，得到三边对应成比例.④通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似.此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题：两角对应相等，两三角形相似.2.进而让学生画出图形，写出已知、求证.已知：如图△A ′B ′C ′和△ABC 中，∠A ′=∠A ，∠B ′=∠B.求证： △A ′B ′C ′∽△ABC.证明：在△ABC 的AB 上截取BD=B ′A ′，过D 作DE ∥AC ，交BC 于E. ∴ BE BD BC AB∴△ABC ∽△DBE∵∠BDE=∠A ，∠A=∠A ′∴∠BDE=∠A ′∵∠B=∠B ′，BD=B ′A ′∴△DBE ≌△A ′B ′C ′∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.【教学说明】如果学生还能从不同角度研究，或许还有新的方法进行证明，要大胆鼓励.【归纳结论】判定定理1：两角对应相等，两三角形相似.三、运用新知，深化理解1.求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原来的三角形相似.已知：如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高.求证：△ABC ∽△ACD ∽△CBD.证明：略.2.判断题：（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.（√）（2）所有的直角三角形都相似.（×）（3）有一个角相等的两个等腰三角形相似.（×）（4）顶角相等的两个等腰三角形相似.（√）3.已知：△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′=75°，∠C=50°，∠A′=55°，问：这两个三角形相似吗？为什么？解：相似.理由如下：在△ABC中，∵∠B=75°，∠C=50°，∴∠A=55°，∴∠B=∠B′，∠A=∠A′.∴△ABC∽△A′B′C′.4.已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD.分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得.借助于计算也是一种常用的方法.证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°，又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°.在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°，∴△ABC∽△BCD.5.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F，则△AGD ∽△EGC或△EAB .解析：关键在于找“角相等”，除已知条件中已明确给出的条件外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角.本例除公共角∠G外，由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC.又∠1=∠3（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB.6. 如图，D点是△ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在△ABC的边上，并且点D、点E和△ABC的一个顶点组成的小三角形与△ABC相似.并说明线段DE的画法.分析：画相似的三角形主要是作相等的角.所以需要画平行线.如：画法：略【教学说明】学生在独立思考的基础上，小组讨论交流，让学生随时展示自己的想法.从而得到提高.四、师生互动，课堂小结提问：“通过这节课的学习你有什么收获？”让学生相互畅谈自己的学习感受和体会，并请个别学生发言.1、布置作业：教材“习题4.5”中第3、4 题.2、完成练习册中相应练习.通过这节课的教学，绝大多数学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明；少数学生在探究两个三角形相似的定理时，还不太熟练，教师需加强针对训练.第2课时相似三角形的判定（2）【知识与技能】1.掌握相似三角形的判定定理，并能与性质定理、定义综合应用.2.理解并掌握判定定理与性质定理的区别与联系.【过程与方法】学会从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高分析问题、解决问题的能力.【情感态度】在合作、交流、探讨的学习氛围中，体验学习的快乐，树立学习的信心.【教学重点】掌握判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似.【教学难点】会准确的运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似.一、情境导入，初步认识问题：（1）相似三角形的定义是什么？三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似.（2）判断两个三角形相似，你有哪些方法？方法1：通过定义 (不常用)；方法2：通过平行线（条件特殊，使用起来有局限性）；方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似.【教学说明】引导学生复习学过的知识，承前启后，激发学生学习新知识的欲望.二、思考探究，获取新知1.完成教材P 91的做一做.【教学说明】老师引导学生分析、讨论得出结果，学生口述证明过程，老师板书.【归纳结论】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2.已知：==''''AB BC k A B B C ，∠B=∠B ′. 求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：过点B ′在B ′A ′上取线段AB 的长，同理过点B ′在B ′C ′上取线段BC 的长，连接AC.∵ ==''''AB BC k A B B C ，则AC//A ′C ′，∴∠BAC=∠B ′A ′C ′，∠BCA=∠B ′C ′A ′∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.【教学说明】用已学过的知识解题，并通过解题结论证明定理.三、运用新知，深化理解1.在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C=∠C ′=90°，AC=4，BC=5，A ′C ′=8，B ′C ′=10. 解：∵415182102====''''AC BC A C B C ，， ∴=''''AC BC A C B C ，又∵∠C=∠C ′=90°，故△ABC ∽△A ′B ′C ′.2.已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=172，求AD 的长.分析：由于已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明两三角形相似.再利用相似三角形的性质得出关于AD 的比例式，从而求出AD 的长. 解：由已知条件可以得出：AB BC CD AC =，又∠B=∠ACD ，根据判定定理2可得出：△ABC ∽△DCA ，∴AC BC AD AC=，又AC=5，BC=4， ∴2252544AC AD BC ===. 3.如图，已知△ABD ∽△ACE.求证：△ABC ∽△ADE.分析：由于△ABD ∽△ACE ，则∠BAD=∠CAE ，因此∠BAC=∠DAE ，再进一步证明=BA CA AD AE ，则问题得证.证明：∵△ABD ∽△ACE ，∴∠BAD=∠CAE.又∵∠BAC=∠BAD+∠DAC ，∠DAE=∠DAC+∠CAE ，∴∠BAC=∠DAE.∵△ABD ∽△ACE ，∴=AB AC AD AE.在△ABC 和△ADE 中，∵∠BAC=∠DAE ，=AB AC AD AE，∴△ABC ∽△ADE. 4.如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若AC=1.5m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）.分析：根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，△BCA 与△MNA 的相似关系就明确了.解：∵BC ⊥CA ，MN ⊥AN ，∠BAC=∠MAN ，所以△BCA∽△MNA.所以MN∶BC=AN∶AC，即MN∶1.6=20∶1.5.所以MN=1.6×20÷1.5≈21.3（m）.5.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD2=DC·AC.分析：有一个角是36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，∴∠CBD=36°，则可推出△ABC∽△BCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°.∴AD=BD=BC，且△ABC∽△BCD，∴BC∶AB=CD∶BC，∴BC2=AB·CD，即AD2=AC·CD.【教学说明】能够运用所学的判定方法解决简单问题.四、师生互动，课堂小结这节课你有哪些收获？1.布置作业：教材“习题4.6”中第1、2题.2.完成练习册中相应练习.本节课主要运用问题引入和与学生共同探究讨论的教学方法，激发学生的论证思维并提高学生分析问题.解决问题的能力.第3课时相似三角形的判定（3）【知识与技能】理解并掌握相似三角形的判定的表述及运用.【过程与方法】经历相似三角形判定定理的推导过程，掌握相似三角形的判定方法.【情感态度】在探索相似三角形判定方法的活动中，提出问题与思考问题，体会化归思想.【教学重点】导出相似三角形的判定定理并会运用.【教学难点】相似三角形判定定理的运用.一、情境导入，初步认识回想一下，我们已经学习过哪些判定两个三角形相似的方法？由此我们能否由全等的另一种方法（S.S.S）想到判定相似的新方法？【教学说明】学生猜测，并写出已知、求证.【归纳结论】三边对应成比例，两三角形相似.二、思考探究，获取新知证明：三边对应成比例，两三角形相似.【教学说明】在教师的指导下学生口述，教师板书，最后提示三个步骤：运动、预备定理、相似的传递性.三、运用新知，深化理解1.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5，乙三角形木框的三边长分别为5，5，10，则甲、乙两个三角形木框（A）A.一定相似B.一定不相似C.不一定相似D.无法判断2.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁4点中的（C）A.甲点B.乙点C.丙点D.丁点3.如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（B）A.（6，0）B.（6，3）C.（6，5）D.（4，2）4.在△ABC 和△A 1B 1C 1中，已知：AB=6cm ，BC=8cm ，AC=11cm ，A 1B 1=18cm ，B 1C 1=24cm ，A 1C 1=33cm.求证：△ABC ∽△A 1B 1C 1.分析：正确求得三条对应边的比，根据三条对应边的比相等证明两个三角形相似. 证明：∵AB=6cm ，BC=8cm ，AC=11cm ，A 1B 1=18cm ，B 1C 1=24cm ，A 1C 1=33cm ，∴111111 3.===A B B C AC AB BC AC∴△ABC ∽△A 1B 1C 1.【教学说明】判断两个三角形三边是否成比例的方法：（1）排：将三角形的边按长短顺序排列；（2）算：分别计算它们对应边的比；（3）判：由三个比值是否相等来判定两个三角形的三边是否成比例. 5.如图，已知==AB BC ACAD DE AE，∠BAD=20°，求∠CAE 的大小. 分析：根据三边对应成比例得△ABC 与△ADE 相似，再利用相似三角形的性质解答. 解：∵==AB BC ACAD DE AE， ∴△ABC ∽△ADE. ∴∠BAC=∠DAE. 又∠DAC 是公共角， ∴∠CAE=∠BAD=20°.6.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.解：相似.证明：∵AB=2，BC=22，AC=25，EF=2，DF=10，DE=2. ∴2===AB BC ACDE EF DF，∴△ABC ∽△DEF.7.如图为三个并列的边长相同的正方形，试说明：∠1+∠2+∠3=90°.分析：如图，运用勾股定理分别求出BE 、CE 、DE 的长度（用λ表示），求出△BEC 与△BDE 的三边之比，证明△BEC ∽△BDE ；借助三角形外角的性质即可解决问题.解：设每个小正方形的边长为λ，由勾股定理得：BE 2=λ2+λ2，CE 2=（2λ）2+λ2，DE 2=（3λ）2+λ2，∴BE=2λ，CE=5λ，DE=10λ；∴22==BE BD λ，同理可求：2222==BC EC BE ED ，， ∴==BE BC EC BD BE ED， ∴△BEC ∽△BDE ， ∴∠2=∠BED ；∵∠1=∠BED+∠3，且∠1=45°， ∴∠1+∠2+∠3=90°. 四、师生互动、课堂小结引导学生自主完成以上例题.1.布置作业：教材“习题4.7”中第1、2题.2.完成练习册中相应练习.在课堂教学中通过引导学生分析问题、解决问题，让学生体验到他们才是学习的主人，教师是他们平等的合作者.对于例题、练习，强调学生先独立思考，需要合作探索的内容让学生大胆动手操作.最后让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达的能力.第4课时黄金分割【知识与技能】1.理解黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点.2.会判断一点是否是线段的黄金分割点.【过程与方法】通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解能力和动手能力.【情感态度】理解黄金分割点的现实意义，动手制作相关图形，感受黄金分割的美，体会教学的应用价值.【教学重点】找一条线段的黄金分割点.【教学难点】黄金分割比的应用.一、情境导入，初步认识现实生活中存在许多优美的图画和建筑，例如古埃及金字塔、古希腊巴台农神庙，这些建筑的边长之间的比都接近某一个数，你知道这个数是多少吗？【教学说明】利用来源于生活中的美丽图象或建筑吸引学生的注意力，营造一个感受美、关注美、探究美的氛围，唤醒学生对美的感受.二、思考探究，获取新知动手量一量，五角星图案中，线段AC、BC的长度，然后计算ACAB与BCAC,它们的值相。

北师大版九上数学(教案)第四章：第六节：利用相似三角

北师大版九年级上第四章《图形的相似》《利用相似三角形测高》教案【教学目标】1.知识与技能（1）.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验.（2）.熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理.2.过程与方法（1）通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法.（2）提高综合运用知识的能力.3.情感态度和价值观在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣.【教学重点】测量旗杆高度的数学依据.【教学难点】（1）方法2中如何调节标杆,使眼睛、标杆顶端、旗杆顶部三点成一线.（2）方法3中镜子的适当调节.【教学方法】合作、探究【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、导入新课活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯杆）的高度。

活动方式：分组活动、全班交流研讨。

活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具。

二、探究新知方法1：利用阳光下的影子每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长。

讨论：如何在图中通过添加辅助线转化为相似三角形的问题？分析：可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高。

如图，△ABC和△DEF，已知AB//DE,AC⊥BC，DF⊥EF，，且测量出BC,EF,AC的长，求旗杆DF的长.根据同一时间,太阳光互相平行，得出△ABC ∽△DEF ，再根据相似三角形的对应边成比例，即EFBC DF AC =，根据测量的数据，可以求出旗杆DF 的长.测量方法一：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.物1高：物2高 = 影1长：影2长例1：某一中学生身高1.5m ，在阳光照射下影长为1m ，若此时测得旗杆的影长为4m ，则旗杆高为多少米？分析：设旗杆高度为L ，则415.1L =∴L=6即旗杆高6m.方法2：利用标杆每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆，观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观测者的脚到旗杆底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高.注意：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度.已知，如图，EF ⊥AC ，BC ⊥AC ，且测量出AF,AC,EF 的长，求旗杆BC 的长. 解：∵EF ⊥AC,BC ⊥AC∴EF//BCBC EF AC AF =∴由测量了的AF,AC,EF 的长，求出旗杆BC 的长.测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决. 例2：如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度，如果标杆BE=1.2m ，测得AB=1.6m ，BC=8.4m ，则楼CD 的高度是多少？解：∵EB ⊥AC ，DC ⊥AC ，∴EB ∥DC ，∴△ABE ∽△ACD ，CD BE AC AB =∴ ∵BE=1.2，AB=1.6，BC=8.4，∴AC=10，m ABBE AC CD 5.7=•=∴方法3：利用镜子的反射每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合.分析：光线的入射角等于反射角.已知，如图，DE ⊥AE,BC ⊥AC ，且∠DAE=∠BAC,测量数据DE 、AE 、AC ，你能求出旗杆BC 的高度吗？说明你的理由。

4用因式分解法求解一元二次方程-初中九年级上册数学(教案)(北师大版)

五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于因式分解法求解一元二次方程这一部分内容的学习有一定的难度。在讲授过程中，我尽量用简单的语言和具体的例子来解释这个概念，但感觉还是有一部分学生不太能跟上。我意识到可能需要更多的实际操作和练习来帮助他们理解。
课堂上，我尝试通过引入日常生活中的问题来激发学生的兴趣，这个方法似乎挺有效的，大部分学生都能积极参与进来。不过，我也注意到，当问题变得稍微复杂一些时，学生们在将实际问题抽象为一元二次方程时遇到了一些困难。这告诉我，在未来的教学中，我需要更多地强调和练习这种问题转换的能力。
2.教学难点
（1）如何将一元二次方程转化为因式分解的形式；
举例：难点在于如何找到合适的m、n使得x^2 - px + q = (x - m)(x - n)，需要引导学生掌握寻找m、n的方法。
（2）在因式分解过程中，如何处理二次项、一次项和常数项的系数；
举例：对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，解释如何将-5分解为两个数的和，使得这两个数乘积等于6。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握因式分解法求解一元二次方程的基本原理；
举例：重点讲解如何将一元二次方程x^2 - px + q = 0通过因式分解转化为(x - m)(x - n) = 0的形式，从而求解方程。

九年级数学上册第4章图形的相似教学设计 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中九年级上册数学教案

图形的相似通过对相似图形的认识，培养学生美的感受，激发学习兴趣．教学重难点及解决措施教学重点：相似图形的概念和成比例线段。

教学难点：比例线段的应用。

教学过程（可续行）学案中的环节及内容教师活动学生活动设计意图创设情境，引入新课大屏幕展示生活中相似物体的图片，引导学生观察特点2、教师提出问题：同学们能归纳出下列图形的特点吗？学生观察大屏幕并体会相似图形在生活中是广泛存在的，形状和大小有所变化。

2、学生思考生活中还有很多的相似图形，并对本节课的学习充满好奇心通过生活中的图片让学生体会到数学来源于生活，也服务于生活；第一节的题目中的问题可以引起学生的学习兴趣，集中学生的注意力识标：【学习目标】1、经历形成相似的概念的过程，理解相似图形的概念；理解相似图形，并能根据相似图形的特点举出很多例子【重难点】教师引导学生阅读学习目标，并板演知识框架学生阅读学习目标，并总结本节课将要学习的新知识和重难点学习新知识之前让学生先了解本节课的知识点、重点难点，使学生心中有目标，可相似图形和全等图形的区别以积极有效的开展学习活动新知探究活动1：相似图形的概念观察哈哈镜里面的不同镜像，他们相似吗？放大镜下的图形相似吗？哪些图形是与（1）（2）相似的？引导学生思考相似图形的特征，板演相似图形的定义。

2、讲解与三角形全等定义的区别。

学生发表自己的观点：相似图形形状相同。

在大小的问题上产生问题。

3、对于全等的定义加以复习。

通过展示生活中的例子，可以让学生有直观感受和感性经验，并较易体会出相似图形和全等图形的不同，总结出经验。

新知探究活动2：探索特殊图形的相似通过对特殊三角形的观察得出结论。

学生先观察和计算然后得出结论。

通过飞特殊图形的认识，有利于本节重点知识等边三角形经过放大后，前后的图形观察他们的对应角和对应边发生了什么变化？六边形呢？2、板演相似图形的对应角和对应边的关系。

学生交流讨论对应角和对应边的关系。

3、学生小组交流，一名同学展示。

新版北师大九年级数学上册第4章图形的相似全章教案

4.1成比例线段教学目标：1.知道两条线段的比的概念并且会计算两条线段的比..2.知道成比例线段的定义.3.熟记比例的性质并会应用. 教学重点：会求两条线段的比；成比例线段的定义. 比例的性质教学难点会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一；比例的基本性质教学方法自主探索法教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］同学们，大家见到过形状相同的图形吗？请举出例子来说明.［生］课本中两张图片；同一底片洗印出来的大小不同的照片；两个大小不同的正方形，等等.［师］对，大家举出的这些例子都是形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.本章我们就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们首先从线段的比开始学习. Ⅱ.新课讲解1.两条线段的比的概念［师］大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？［生］两个数相除又叫两个数的比，如a ÷b 记作ba；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小.［师］由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？［生］两条线段的比就是两条线段长度的比. ［师］对.比如：线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3∶6=1∶2,对吗？［生］对.［师］大家同意他的观点吗？［生］不同意，因为a 、b 的长度单位不一致，所以不对.［师］那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？［生］如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么这两条线段的比（ratio ）就是它们长度的比，即AB ∶CD =m ∶n ，或写成CD AB =nm，其中，线段AB 、CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，则CDAB =k ，或AB =k ·CD .两条线段的比实际上就是两个数的比.注意：在量线段时要选用同一个长度单位. 2.比例线段的概念四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段.3.比例的性质（1）如果dcb a =（b ,d 都不为0），那么ad =bc . 如果ad =bc （a,b,c,d 都不等于0），那么dcb a =.（2）如果d c b a ==…=nm （b +d +…+n ≠0）那么b an d b m c a =++++++例题（1）如图，已知d c b a ==3,求b b a +和ddc +;（2）如果dc b a ==k （k 为常数），那么d dc b b a +=+成立吗？为什么？ 4.想一想（1）如果dc b a =,那么d dc b b a -=-成立吗？为什么？（2）如果f e d c b a ==,那么baf d b e c a =++++成立吗？为什么？（3）如果dc b a =,那么d dc b b a ±=±成立吗？为什么. Ⅲ.课堂练习Ⅳ.课时小结掌握比例的性质，并能灵活运用. Ⅴ.课后作业完成习题4.1及习题4.2 Ⅵ.活动与探究1.已知：dc b a ==f e=2（b +d +f ≠0）求：（1）f d b e c a ++++;（2）f d b e c a +-+-;（3）f d b e c a 3232+-+-;（4）fb ea 55--.2.已知a ∶b ∶c =4∶3∶2,且a +3b －3c =14. （1）求a ,b ,c （2）求4a －3b +c 的值.4．2平行线分线段成比例一、教学目标1．知识目标：①了解平行线分线段成比例定理②会用平行线分线段成比例定理解决实际问题 2．能力目标：掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力二、教学过程分析1.复习提问（1）什么叫比例线段？（2）比例的基本性质？ 2.引入新课做一做在图3-6中，小方格的边长均为1，直线l 1 ∥ l 2∥ l 3，分别交直线m ，n 与格点A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3.图3-6（1）计算的值，你有什么发现？（2）将2l 向下平移到如图3-7的位置，直线m,n 与2l 的交点分别为21,B A 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将2l 平移到其它位置呢？（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？12122323B B B B A A A A 与3.分组讨论，得出结论平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.4.想一想（一）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？（二）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？得出结论：（推论）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例. 5. 例题学习例1如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。

北师大版九年级数学上册：第四章《图形的相似》教案

第四章图形的相似1成比例线段1．理解和掌握两条线段的比的概念，会计算两条线段的比．2．理解和掌握成比例线段的定义和性质．3．能应用比例的性质解决相关的问题．重点掌握成比例线段的定义和性质．难点会运用比例的基本性质解决问题．一、情境导入课件出示下图，提出问题：请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？学生：这些图片都是形状相同、大小不同的图形．它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同．二、探究新知1．两条线段的比的概念教师：请同学们回忆，什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两条线段的长短？学生：两个数相除又叫两个数的比，如a÷b记作a∶b；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的长短就是比较两条线段长度的大小．教师：由比较线段的长短就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？学生：两条线段的比就是两条线段长度的比．教师：线段a的长度为3 cm，线段b的长度为6 m，所以线段a，b的比为3∶6＝1∶2，对吗？请说明理由．学生：因为a，b的长度单位不一致，所以不对．教师：那么，应怎样定义两条线段的比，以及求线段的比时应注意什么问题呢？学生思考后举手回答，教师点评，并讲解：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n，或写成ABCD＝mn.其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把m n 表示成比值k ，则ABCD ＝k ，或AB ＝k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比．强调：在量线段时要选用同一个长度单位． 2．比例线段的概念课件出示教材第77页图4－3，提出问题：如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD 与四边形EFGH 的顶点都在格点上，那么AB ，AD ，EF ，EH 的长度分别是多少？分别计算AB EF ，AD EH ，AB AD ，EFEH 的值，你发现了什么？学生独立完成，教师引导学生得出比例线段的概念：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b ＝cd ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质教师：如果a ，b ，c ，d 四个数成比例，即a b ＝cd ，那么ad ＝bc 吗？反过来，如果ad ＝bc ，那么a ，b ，c ，d 四个数成比例吗？学生小组讨论交流得出比例的基本性质：如果a b ＝cd，那么ad ＝bc.如果ad ＝bc(a ，b ，c ，d 都不等于0)，那么a b ＝cd .4．等比性质 (1)课件出示：①如图，已知a b ＝cd ＝3，求a ＋b b 和c ＋d d；②如果a b ＝cd ＝k(k 为常数)，那么a ＋b b ＝c ＋d d成立吗？为什么？学生完成后给出答案，教师点评． (2)课件出示：①如果a b ＝cd ，那么a －b b ＝c －d d成立吗？为什么？②如果a b ＝c d ＝ef (b ＋d ＋f ≠0)，那么a ＋c ＋e b ＋d ＋f ＝a b 成立吗？为什么？③如果a b ＝c d ，那么a±b b ＝c±dd 成立吗？为什么？学生分小组讨论后举手回答，教师讲评．解：①如果a b ＝cd ，那么a －b b ＝c －d d.∵a b ＝c d ， ∴a b －1＝cd －1. ∴a －b b ＝c －dd. ②如果a b ＝c d ＝ef (b ＋d ＋f ≠0)，那么a ＋c ＋e b ＋d ＋f ＝a b .设a b ＝c d ＝ef ＝k ， ∴a ＝bk ，c ＝dk ，e ＝fk. ∴a ＋c ＋eb ＋d ＋f ＝bk ＋dk ＋fk b ＋d ＋f ＝k （b ＋d ＋f ）b ＋d ＋f＝k ＝ab .引导学生归纳：如果a b ＝c d ＝…＝mn (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b .③如果a b ＝c d ，那么a±b b ＝c±dd .∵a b ＝c d ， ∴a b ＋1＝cd ＋1. ∴a ＋b b ＝c ＋dd. 由①得a －b b ＝c －d d ，∴a±b b ＝c±d d. 三、举例分析例1 (课件出示教材第78页例1)学生独立完成后汇报答案，教师点评．例2 (课件出示教材第80页例2)学生独立完成后汇报答案，教师点评．四、练习巩固1．教材第79页“随堂练习”第1～3题． 2．教材第80页“随堂练习”．五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．比例线段的概念是什么？ 3．比例的性质有哪些？六、课外作业1．教材第79页习题4.1第1，2题． 2．教材第81页习题4.2第1，2题.本节课主要学习比例线段的概念及性质．成比例线段的概念，在后续学习中需要用到，是学生后续学习的基础，也是本节课研究比例性质的一个基础性概念．对学生而言，这个概念基于图形背景中，比较直观，学生比较容易理解．比例的性质，则是后续研究相似图形性质的基础，同时也可以为分式运算提供一些便捷，而且比例性质的寻求与说理过程中，蕴含着一些基本的数学方法，可以迁移运用到后续知识的学习中，是本节课重要的教学任务．2平行线分线段成比例1．理解和掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论．2．会用平行线分线段成比例解决问题．3．培养学生认识事物从一般到特殊的认知过程．重点掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论．难点灵活运用平行线分线段成比例解决问题．一、复习导入1．什么叫比例线段？学生：四条线段a，b，c，d 中，如果ab＝cd，那么这四条线段a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例线段有哪些性质？学生：如果ab＝cd，那么ad ＝bc.如果ad ＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么ab＝c d.如果ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)，那么a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝ab.二、探究新知1．平行线分线段成比例的基本事实课件出示教材第82页图4－6，图4－7及相关问题．学生分小组讨论，教师引导学生得出平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．2．平行线分线段成比例的推论课件出示：(1)如果把图①中l1, l2两条直线相交，交点A刚好落到l3上(如图②)所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？学生分小组讨论，教师引导学生得出平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．(2)如果把图①中l1, l2两条直线相交，交点A刚好落到l4上(如图②)，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？学生分小组讨论，教师引导学生得出结论：平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交，截得的对应线段成比例．三、举例分析例(课件出示教材第83页例题)学生独完成后给出答案，教师点评．四、练习巩固1．教材第84页“随堂练习”．2．如图，点D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC.求证：OD∶OA＝OE∶OB.五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．平行线分线段成比例的基本事实及其推论分别是什么？六、课外作业教材第84～85页习题4.3第1～4题．养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，提高学生的学习兴趣．3相似多边形1．了解相似多边形和相似比的定义，会根据相似多边形的定义判断两个多边形是否相似．2．能运用相似多边形的性质解决简单的几何问题．重点了解相似多边形的定义，判断两个多边形是否相似．难点能运用相似多边形的性质解决简单的几何问题．一、情境导入教师：在生活中，我们常会看到这样一些图片(课件出示下图)．观察下列各组图片，你发现了什么？你能得出什么结论？二、探究新知1．课件出示形状相同的正三角形ABC与正三角形A1B1C1，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1，正五边形ABCDE与正五边形A1B1C1D1E1，提出问题：(1)在每组图形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜测．(2)在每组图形中，夹相等内角的两边是否成比例？学生思考后给出答案，教师点评．2．课件出示形状相同的六边形ABCDEF和六边形A1B1C1D1E1F1，提出问题：(1)在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜测．(2)在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？学生分组讨论后给出答案，教师点评，并讲解：图中的六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的多边形，其中∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1分别相等，称为对应角；AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF与E1F1，FA与F1 A1的比都相等，称为对应边．教师：回忆一下，我们刚才探究过的每一组多边形，你能发现它们的共同特点吗？引导学生总结相似多边形的概念：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形．例如，在上图中六边形ABCDEF 与六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似，记作六边形ABCDEF ∽六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，“∽”读作“相似于”．相似多边形对应边的比叫做相似比．教师强调以下几点：(1)在记两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上．(2)相似多边形的定义既是最基本、最重要的判定两个多边形相似的方法，也是最本质、最重要的性质．(3)相似比有顺序性．例如，五边形ABCDE ∽五边形A 1B 1C 1D 1E 1，对应边的比为ABA 1B 1＝BC B 1C 1＝CD C 1D 1＝DE D 1E 1＝EA E 1A 1＝45.因此五边形ABCDE 与五边形A 1B 1C 1D 1E 1的相似比k 1＝45，五边形 A 1B 1C 1D 1E 1与五边形ABCDE 的相似比k 2＝54.(4)相似比为1的两个图形是全等形. 因此全等形是相似图形的特殊情况．三、举例分析例1 (1)观察下面两组图形，图①中的两个图形相似吗？ (2)图②中的两个图形相似吗？为什么？你从中得到什么启发？引导学生得出：如果两个多边形不相似，它们的对应角可能都相等；如果两个多边形不相似，对应边也可能成比例．但如果两个多边形不相似，那么它们不可能各角对应相等且各边对应成比例．例2 一块长3 m 、宽1.5 m 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm .边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？学生思考后给出答案，教师点评并提问：如果镶的纵向边框宽7.5 cm ，那么当镶的横向边框宽为多少时，边框的内外边缘所成的矩形相似？学生分组讨论后举手回答，教师点评．四、练习巩固1．教材第87～88页“随堂练习”第1，2题．2．如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，相似比是多少？五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．相似多边形的概念是什么？3．相似比的概念是什么？六、课外作业教材第88页习题4.4第1～4题．本节课在探索相似多边形定义的过程中，我刻意地回避了“两个图形的形状相同吗”的问题，而是直接明确指出两个图形相似，然后探索相似的本质特征．因为我认为形状相同没有一个明确的定义(实质就是相似)，只是一种感性的认识，这种认识会影响到黑板边框内外边缘是否相似的正确判断．从教学效果看这样处理减少了学生判断黑板边框问题的错误．4探索三角形相似的条件第1课时相似三角形和判定定理11．理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定定理1.2．初步掌握相似三角形判定定理1的应用．重点理解相似三角形的定义和相似三角形的判定定理1.难点相似三角形判定定理1的理解及应用．一、情境导入教师：请同学们都拿出文具盒中的三角板，观察它们与老师手中的木制三角板有什么关系？学生：它们对应角相等，对应边成比例．二、探究新知1．相似三角形的定义教师：根据上面的关系，以及相似多边形的定义，你能说出相似三角形的定义吗？引导学生得出：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．2．相似三角形的判定定理1教师：若给定两个三角形，你有什么办法来判定它们是否相似？能否类比两个三角形全等的条件，来寻找判定两个三角形相似的条件呢？如果可以，我们可以从哪些条件开始找呢？(1)教师：任意画一个△ABC，使∠ABC满足下面给定的条件之一．与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？①使∠ABC＝60°；②使∠ABC＝90°；③使∠ABC＝120°；④使∠ABC＝∠α.学生合作交流，引导得出结论：如果两个三角形只有一个角对应相等时，不能判定两个三角形相似．(2)教师：如果有两个角对应相等的两个三角形，能否判定这两个三角形相似？与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使△ABC和△A′B′C′满足下列条件之一．比较你们所画的三角形，∠C 与∠C′相等吗？对应边的比相等吗？三角形相似吗？①使得∠A，∠A′都等于30°，∠B 和∠B′都等于60°；②使得∠A，∠A′都等于30°，∠B 和∠B′都等于90°；③使得∠A，∠A′都等于30°，∠B 和∠B′都等于120°；④使得∠A，∠A′都等于α，∠B 和∠B′都等于β.引导学生得出相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．三、举例分析例1判断下列说法是否正确．(1)所有的等腰三角形都相似；(2)所有的等腰直角三角形都相似；(3)所有的等边三角形都相似；(4)所有的直角三角形都相似；(5)有一个角是120°的两个等腰三角形相似；(6)有一个角是60°的两个等腰三角形相似；学生举手回答，教师点评．例2(课件出示教材第89页例1)学生独立完成，指名汇报，教师点评．四、练习巩固1．教材第90页“随堂练习”第1，2题．2．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有()A．0个B．1个C．2个D．3个五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．什么是相似三角形？3．相似三角形的判定定理1的内容是什么？六、课外作业教材第90页习题4.5第1～3题．本节课是探索三角形相似的条件的第一课时——相似三角形和判定定理1，是初中数学学习的重点内容之一，对学生的能力培养与训练有着重要的地位．在课堂上，通过类比、观察等方式，让学生自行总结相似三角形的定义，再通过合作交流、画图等方式，让学生探讨出相似三角形的判定定理1，并且学会运用定理，培养学生分析观察能力和总结能力．在教学过程中，以学生为主体，教师引导学生自主探究，合作交流，认知新的知识，培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，提高学生的学习兴趣．第2课时相似三角形的判定定理2和31．掌握三角形相似的判定定理2和3.2．能利用相似三角形的判定定理2和3解决问题．重点掌握三角形相似的判定定理2和3. 难点相似三角形的判定定理2和3的应用．一、复习导入1.判定三角形相似目前有哪些方法？2．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，对角线BD ⊥DC. (1)△ABD 与△DCB 相似吗？请说明理由．(2)如果AD ＝4，BC ＝9，你能求出BD 的长吗？(学生认真读题，观察图形，运用学过的判定相似的方法以及相似性质，讨论得出结果) 分析：△ABD ∽△DCB.因为∠A ＝∠BDC ＝90°，∠ADB ＝∠DBC ，故而这两个三角形相似；由AD BD ＝BDBC，故BD ＝6.教师：现在我们已经有两种方法可以判定两个三角形相似，一种是定义，一种是判定定理1，除此之外，是否还有其他的方法来判定两个三角形相似？这一问题就是本节课我们需要研究的问题．二、探究新知1．相似三角形的判定定理2教师：我们知道，相似三角形的各边成比例，如果两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？与同伴交流．学生：两边成比例的两个三角形不一定相似．教师：如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？学生思考后给出答案，教师点评．教师：我们先来考虑增加一角相等的情况．课件出示：画△ABC 和△A′B′C′，使∠A ＝∠A′，AB A′B′和ACA′C′都等于给定的值k.设法比较∠B 与∠B′(或 ∠C 与∠C′)的大小．(1) △ABC 和△A′B′C′相似吗？ (2)改变k 值的大小，再试一试．学生完成后给出答案，教师点评，引导学生得出相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．教师：想一想，如果△ABC 和△A′B′C′两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？要求学生先画出图形，教师展示学生的图形，并提出问题：由此你能得到什么结论？2．相似三角形的判定定理3教师：如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？学生小组内讨论，教师巡视．课件出示：画△ABC 和△A′B′C′，使AB A′B′，BC B′C′和ACA′C′都等于给定的值k.设法比较∠A 与∠A′的大小．(1)△ABC 和△A′B′C′相似吗？说说你的理由． (2)改变k 值的大小，再试一试．学生分小组讨论并给出答案，教师点评，引导学生得出相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似． 3．总结教师：在这两节课中我们已经学完了三角形相似的判定方法，下面请大家总结判定三角形相似有几种方法？第一种：对应角相等，对边成比例的两个三角形相似．即定义法．第二种：两角对应相等的两个三角形相似．第三种：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．第四种：三边对应成比例的两个三角形相似．强调：从这四种方法中我们可以看出，第一种判定方法比较麻烦，需要研究三对角、三对边，而后面的几种方法最多只需要研究三对边或角，因此定义法一般不利用．如果已知条件只涉及角，就用第二种判定方法；如果既有角又有边，则可考虑用第三种方法判断；如果已知条件只涉及边，就用第四种判定方法．(教师最好用实例引导)三、举例分析例1 图①中是否有相似的三角形？图②中的两个三角形是否相似？学生思考后给出答案，教师点评．例2 (课件出示教材第91页例2) 例3 (课件出示教材第94页例3)学生独立完成后汇报答案，教师点评．四、练习巩固1．教材第92页“随堂练习”． 2．教材第94页“随堂练习”．五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．相似三角形的判定定理2和3分别是什么？六、课外作业1．教材第93页习题4.6第1，3题． 2．教材第95页习题4.7第1，2题．本节课是探索三角形相似的条件的第二课时——相似三角形的判定定理2和3，是初中数学学习的重点内容之一，对学生的能力培养与训练有着重要的地位．在课堂上，让学生动手实践，合作交流，总结出相似三角形的判定定理2和3，培养学生分析观察能力和总结能力．通过讲练结合，学会运用定理，加深学生对新知的认识．在教学过程中，以学生为主体，教师引导学生自主探究，合作交流，认知新的知识，培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，提高学生的学习兴趣．第3课时黄金分割1．理解和掌握黄金分割的定义．2．理解黄金比的含义，会找一条线段的黄金分割点． 3．会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．重点黄金分割的意义和简单应用．难点掌握寻找黄金分割点的方法．一、情境导入课件出示与“黄金分割”有关的图片，提出问题：(1)芭蕾舞演员做相同的动作，踮脚尖和不踮脚尖，哪个更美？(2)为什么身材苗条的模特还要穿高跟鞋？(3)为什么世界第三高塔的上海东方明珠塔那么璀璨壮观？学生小组讨论后给出答案，教师点评．教师：美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在这些问题中，我们对美的认同的确是比较一致的，为什么这些图形会给人以美的感觉呢？这些美的事物是否存在内在的规律呢？和我们的数学知识有没有联系呢？这就是我们今天要研究的“黄金分割”．二、探究新知1．黄金分割的定义课件出示一个五角星：教师：在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC ，BC 的长度，然后计算ACAB，BCAC，它们之间有什么关系？学生：AC AB ＝BC AC.引导学生得出：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BCAC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．2．计算黄金比教师：那么AC 与AB 的比是多少呢？学生计算后给出答案，教师点评并板书具体解题过程：由AC AB ＝BCAC，得AC 2＝AB·BC. 设AB ＝1，AC ＝x ，则BC ＝1－x. ∴x 2＝1×(1－x)，即x 2＋x －1＝0. 解这个方程，得x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52(不合题意，舍去)．所以，ACAB ＝5－12≈0.618.教师：AC 与AB 的比叫做黄金比．其中ACAB ≈0.618.3．找黄金分割点的方法(1)课件出示：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： ①经过点B 作BD ⊥AB ，使BD ＝12AB.②连接DA ，在DA 上截取DE ＝DB.③在AB 上截取AC ＝AE.则点C 为线段AB 的黄金分割点．教师：能说说其中的道理吗？教师：若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的两条线段AC ，BC 间需满足AC AB ＝BCAC .下面请大家进行验证．有困难时可以互相交流．为了计算方便，可设AB＝1.学生独立完成后给出答案，教师点评．(2)教师：采用如下的方法也可以得到黄金分割点． ①如图，设AB 是已知线段． ②以AB 为边作正方形ABCD. ③取AD 的中点E ，连接EB. ④延长DA 至点F ，使EF ＝EB.⑤以线段AF 为边作正方形AFGH. ⑥点H 就是AB 的黄金分割点．教师：你能说说这种作法的道理吗？学生分小组讨论后给出答案，教师讲解．解：设AB ＝1，那么在Rt △BAE 中， BE ＝AB 2＋AE 2＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52.EF ＝BE ＝52， AH ＝AF ＝BE －AE ＝52－12＝5－12. BH ＝AB －AH ＝1－5－12＝3－52. 因此AH AB ＝BHAH，点H 是AB 的黄金分割点．三、练习巩固当节目主持人站在舞台的黄金分割点时，观众看起来是最协调的．已知一舞台长为10 m ，节目主持人应站在距离舞台一端________处观众观看最协调．(精确到0.1 m )四、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．黄金分割点与黄金比的定义分别是什么？ 3．说一说找黄金分割点的方法．五、课外作业教材第98页习题4.8第1～3题．“黄金分割”作为《新课程标准》明确提出的内容，在进一步强化线段的比、成比例线段的基础上，注重体现数学的文化价值，有意识引导学生从文化角度把握“黄金分割”这一数学瑰宝，丰富了学生对数学发展的整体认识，对后续新课的学习有着激励作用．在教学过程中，学生要经历“观察”和“思维”两大基本层次来诱导学生认识客观世界的本质和规律．学生的求知欲被激发起来后，教师应及时将其引入理性认识的轨道．5 相似三角形判定定理的证明1．能够熟练地掌握证明相似三角形的判定定理．2．经历探索相似三角形判定定理的证明过程，培养学生的合情推理能力．重点相似三角形判定定理的证明．难点合理添加辅助线．一、复习导入教师：相似三角形的判定定理有哪些？学生：两角分别相等的两个三角形相似．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．三边成比例的两个三角形相似．教师：在前面，我们探索了三角形相似的条件，今天我们将对这些定理进行证明．二、探究新知1．证明三角形的判定定理1课件出示：如图，在 △ABC 和△A′B′C′ 中，∠A ＝ ∠A′，∠B ＝∠B′. 求证：△ABC ∽△A′B′C′.学生思考完成后，教师板书证明过程．证明：在 △ABC 的边 AB(或它的延长线)上截取AD ＝A′B′，过点D 作BC 的平行线，交 AC 于点E ，则∠1＝∠B ，∠2 ＝∠C ，AD AB ＝AE AC.过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F ，则 AD AB ＝CF CB . ∴AE AC ＝CF CB. ∵ DE ∥BC, DF ∥AC ，∴ 四边形 DFCE 是平行四边形． ∴ DE ＝ CF. ∴AE AC ＝DE CB . ∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC. 而∠1＝∠B ，∠DAE ＝∠BAC ，∠2＝∠C ， ∴△ADE ∽△ABC.∵∠A ＝∠A′，∠ADE ＝∠B ＝∠B′，AD ＝A′B′， ∴△ADE ≌△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. 2．证明三角形的判定定理2 课件出示：如图，在△ABC 和△A′B′C′中，∠A ＝∠A′，AB A′B′＝ACA′C′.求证：△ABC ∽△A′B′C′.指名学生到黑板写下证明过程，教师点评． 3．证明三角形的判定定理3 课件出示：如图，在△ABC 和△A′B′C′中，AB A′B′＝BC B′C′＝ACA′C′.求证：△ABC ∽△A ′B′C′.指名学生到黑板写下证明过程，教师点评．强调：证明两个三角形相似，可以通过画辅助线来帮助解决．三、举例分析例如图，∠ABD ＝∠C ，AD ＝2，AC ＝8，求AB 的长．学生分小组讨论后举手回答，教师点评并板书解答过程．解：∵∠A ＝∠A ，∠ABD ＝∠C ， ∴△ABD ∽△ACB. ∴AB ：AC ＝AD ：AB. ∴AB 2＝AD·AC. ∵AD ＝2，AC ＝8， ∴AB ＝4. 四、练习巩固如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠ACD ，AB ＝6，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝712，求AD的长．五、小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业教材第102页习题4.9第1～4题．本节课的内容是相似三角形判定定理的证明，是在学生对三角形之间的全等关系已有深度的认识，在学习了平行线分线段成比例、相似三角形的定义、探索相似三角形的条件等知识的基础上进行教学的．它既是对前面所学知识的综合应用，也是对这些知识的拓展与延伸．本节课要求学生了解和掌握相似三角形的判定定理，并且学会运用．课堂上，注重证明过程的书写，让学生更加规范证明过程与步骤，提高学生的综合语言能力和分析能力，培养学生分析问题的条理性．积极调动学生的学习气氛，提高学习兴趣．6 利用相似三角形测高1．在测量旗杆高度的具体问题情境中，通过构建数学模型，进一步理解相似三角形的概念．2．了解平行投影的意义和平行投影在生活中的运用，增强用数学的意识．重点综合运用相似三角形的有关知识求物体的高度．难点从实际问题中，建立数学模型．一、复习导入教师：判定三角形相似的定理有哪些呢？学生：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．教师：今天我们要做一节活动课，任务是利用三角形相似的有关知识，测量我校操场上旗杆的高度．二、探究新知 1．分析原理教师：请同学们自学教材第103～104页的内容，小组讨论交流三种测量方法的数学原理．甲组：利用阳光下的影子．出示下图：从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形(如图①)，即△EAD ∽△ABC ，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据EA AB ＝AD BC 可得BC ＝AB·AD EA，代入测量数据即可求出旗杆BC 的高度．乙组：利用标杆．出示下图：。

北师大版九年级上册数学4章《探索三角形相似的条件》教案

4.4探索三角形相似的条件第1课时两角分别相等的两个三角形相似【学习目标】1．掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似．2．掌握由两角对应相等判定两个三角形相似的方法，并会运用这种判定三角形相似的方法解决简单问题．【学习重点】三角形相似的判定定理1及应用．【学习难点】三角形相似的判定定理1的证明．一、情景导入生成问题1．各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．2．已知，如图两个四边形相似，则∠α的度数是(A)A．87°B．60°C．75°D．120°二、自学互研生成能力知识模块一探索三角形相似的判定定理1先阅读教材P89页的内容，然后完成下面的问题：1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，如△ABC 与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF，其中对应顶点要写在相同位置上，如A与D，B与E，C与F相对应．AB∶DE等于BC∶EF．2．两角对应相等的两个三角形相似．探究内容：现有一块三角形玻璃ABC，不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整．如果用这两个角去配制一张完全一样的玻璃，能成功吗？问题情景出现后，让学生充分发表自己的想法．1．动手实验：现在，已量出∠A＝60°，∠B＝45°，请同学们当一当工人师傅，在纸上作∠A ＝60°，∠B＝45°的△ABC，剪下与同桌所做的三角形比较，研究这两个三角形的关系．你有哪些发现？在小组内交流．学生经过画一画、剪一剪、量一量、算一算、拼一拼，在小组合作基础上，讨论交流，可能得出下面结论：①这样的两个三角形不一定全等；②两个三角形三个角都对应相等；③通过度量后计算，得到三边对应成比例；④通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似．此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题：猜想：两角对应相等，两三角形相似．归纳结论：两角分别相等的两个三角形相似．知识模块二相似三角形判定定理1的应用1．自学自研教材P89页的例1.2．完成教材P90页随堂练习．典例讲解：已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BDC.分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得．借助于计算也是一种常用的方法．证明：∵∠A＝36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝72°，又BD平分∠ABC，则∠DBC＝36°.在△ABC和△BDC中，∠C为公共角，∠A＝∠DBC＝36°，∴△ABC∽△BDC.对应练习：1．如图，E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F.若AB＝5，AD＝6，CF＝2，求线段CE的长．解：设CE＝x，证△ABE∽△FCE，由比例式求得CE＝4.2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D、E分别在线段BC，AC上运动，在运动过程中始终保持∠ADE＝60°，求证：△ABD∽△DCE.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∴∠BAD＋∠ADB＝120°.∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＋∠EDC＝120°.∴∠DAB＝∠EDC.∴△ABD∽△DCE.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索三角形相似的判定定理1知识模块二相似三角形判定定理1的应用四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：______________________________________________2．存在困惑：__________________________________________第2课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似【学习目标】1．理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”．2．会运用三角形相似的判定方法解决简单问题．【学习重点】掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．【学习难点】相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用．一、情景导入生成问题1．两角分别相等的两个三角形相似．2．下列说法中正确的个数是(C)①所有的等腰直角三角形都相似；②有一个角是80°的两个等腰三角形相似；③有一个角是100°的两个等腰三角形相似；④有一个角相等的两个等腰三角形相似．A．4B．3C．2D．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为(B)A.12B．2 C．3 D．4二、自学互研生成能力知识模块一探索三角形相似的判定定理2先阅读教材P91页的内容，然后解答下列问题：1．两角对应相等的两个三角形相似．2. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．3．如图，两个三角形中，其边长已在图上标注，那么这两个三角形是(选填“是”或“不是”)相似三角形．根据是有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．1．情境导入问题：(1)相似三角形的定义是什么？三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似．(2)判断两个三角形相似，你有哪些方法？方法1：通过定义(不常用)；方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似．2．思考探究完成教材P91页的做一做．归纳结论：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．知识模块二三角形相似判定定理2的应用1．自学自研教材P91页的例2.2．完成教材P92页的随堂练习．典例讲解：如图，已知△ABD∽△ACE.求证：△ABC∽△ADE.分析：由于△ABD∽△ACE，则∠BAD＝∠CAE，因此∠BAC＝∠DAE，再进一步证明BA AD＝CAAE，则问题得证．证明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE.又∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAE＝∠DAC＋∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE.∵△ABD∽△ACE，∴ABAD＝ACAE.在△ABC和△ADE中，∵∠BAC＝∠DAE，ABAD＝ACAE，∴△ABC∽△ADE.对应练习：1．下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是(C)A. AE AD ＝AC AB B ．∠B ＝∠ADE C. AE AC ＝DE BCD ．∠C ＝∠AED2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足AB 2＝DB·CE.求证：△ADB ∽△EAC.证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝DB·CE ，∴AB CE ＝DBAB ，即AB CE ＝DBAC ，∴△ADB ∽△EAC.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索三角形相似的判定定理2 知识模块二三角形相似判定定理2的应用四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：___________________________________________ 2．存在困惑：_______________________________________第3课时三边成比例的两个三角形相似【学习目标】1．掌握三边对应成比例判定两个三角形相似的方法． 2．会选择合适的三角形相似的判定方法解决简单问题．【学习重点】掌握相似三角形的判定定理：“三边成比例的两个三角形相似”．【学习难点】会准确运用三角形相似的判定定理来判断、证明及计算．一、情景导入生成问题1．两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．2．下列说法正确的是(C)A．有一个角相等的两个等腰三角形相似B．所有的直角三角形相似C．有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似D．所有的等腰三角形相似3．已知△ABC如图所示，则与△ABC相似的是图中的(C)A B C D二、自学互研生成能力知识模块一探索三边成比例的两个三角形相似师：我们上两节课学过什么定理？师生共同回忆，在上两节课的探索中，我们知道：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例及夹角相等的两个三角形相似．师：那么判定三角形相似还有没有其他条件呢？今天我们再次踏上探索之旅途．画△ABC与△A′B′C′，使ABA′B′、BCB′C′和CAC′A′都等于给定的值k.(1)设法比较∠A与∠A′的大小．(2)△ABC与△A′B′C′相似吗？说说你的理由．改变k值的大小，再试一试．生：按照上面的步骤进行，这里的k由自己定，为了节约时间，一个组取一个相同的k值，不同的组取不同的k值．内容：学生根据画出的相似三角形的图形及在画相似三角形中的“发现”进行相互交流，教师给予适当的帮助，后由学生展示、讲解画出来的相似三角形，展示自己探索的过程及自己得出的结论．师：经过大家的亲身参与体会，你们得出的结论是什么呢？生：结论为∠A＝∠A′，△ABC∽△A′B′C′，理由是：∠A＝∠A′，ABA′B′＝CAC′A′.根据“两边成比例及夹角相等的两个三角形相似”可知：△ABC∽△A′B′C′.师：其他组的同学的结论相同吗？生：相同．师：经过大家的探讨，我们又掌握了一种相似三角形的判定方法．师：(演示课件)判定定理3：三条边成比例的两个三角形相似．知识模块二判定定理3的应用1．自学自研教材P94页的例3.2．完成教材P94的随堂练习．师：幻灯片展示：如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？生：先独立思考，然后小组合作交流．解：△ABC∽△A′B′C′.判断方法有：1.三边成比例的两个三角形相似；2.两角分别相等的两个三角形相似；3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；4.定义法．目的：巩固对本节知识的理解；并让学生将上两节课：相似三角形的判定定理1、2，与本课知识：相似三角形的判定定理3的内容系统的掌握．对应练习：1．教材P95页习题4.7第1题．解：∵86＝43，107.5＝43，129＝43.∴86＝107.5＝129，∴这两个三角形相似．2．教材P95页习题4.7第2题．答：△ABC∽△EFG.利用判定定理3.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索三边成比例的两个三角形相似知识模块二判定定理3的应用四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_____________________________________________2．存在困惑：_________________________________________第4课时黄金分割【学习目标】1．知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．2．通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力．3．理解黄金分割的现实意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系．【学习重点】了解黄金分割的意义并能运用．【学习难点】找出黄金分割点和作黄金矩形．一、情景导入生成问题1．如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连接BF，则图中与△ABE一定相似的三角形是(B)A．△EFB B．△DEFC．△CFB D．△EFB和△DEF2．如图，在边长为1的正方形网格中有点P，A，B，C，则图中所形成的三角形中，相似三角形是△APB∽△CPA．二、自学互研生成能力知识模块黄金分割的有关概念先阅读教材P95－96页的内容，然后解答下列问题：1.黄金分割的意义：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB＝BCAC，那么称线段AB被点C黄金分割，其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，近似数为0.618．2．黄金分割点的作法：如图所示，已知线段AB.(1)过B 作BD ⊥AB 使BD ＝12AB ；(2)连接AD ，在DA 上截取DE ＝DB ；(3)在AB 上截取AC ＝AE ，则点C 即为线段AB 的黄金分割点．1．动手量一量，五角星图案中，线段AC 、BC 的长度，然后计算AC AB 与BCAC，它们的值相等吗？教学说明：学生亲自动手操作，得到黄金比并加深对黄金分割的理解．归纳结论：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BCAC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．2．计算黄金比：见教材P 96页例4. 3．探究教材P 96页“想一想”．内容：古希腊时的巴台农神庙，将图中的虚线表示的矩形画成如图中的矩形ABCD ，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD ，那么，我们可以惊奇的发现BC BE ＝ABBC .提出问题：点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 宽与长的比是黄金比吗？观看多媒体演示的内容，观察与思考、交流、讨论、解决问题．问题解决：由BC BE ＝AB BC ，可以得到BC AB ＝BE BC 即AE AB ＝BEAE .所以点E 是AB 的黄金分割点．对应练习：1．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列等式成立的是( C ) A ．AB 2＝AC·CB B ．CB 2＝AC·AB C ．AC 2＝CB·AB D ．AC 2＝2AB·BC2．如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BCAC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，AC 与AB 的比叫做黄金比，其比值是( A )A.5－12B.3－52C.5＋12D.3＋523．已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为(D)A.5－12B.3－52C.5＋12D.5－12或3－52三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块黄金分割的有关概念四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_________________________________________2．存在困惑：_____________________________________。

北师大版九年级上册数学第四章回顾与思考教学设计

第四章图形的相似回顾与思考一、学生知识状况分析学生已经学习了平行线的知识以及图形的全等，对两个图形之间的关系有了一定的理解和认识，并且大部分学生能够熟练运用学过的知识解决问题。

本章的学习，学生通过大量的现实情景，从“相似”这个角度认识了图形的另一种关系，丰富了学生对图形的直观体验，学生已经具备了一定的分析理解能力和逻辑推理能力。

二、教学任务分析本章是继图形的全等之后集中研究图形形状的内容，是对图形全等内容的进一步拓广和发展，有一定的难度。

在本章的学习中，学生已经学习了成比例线段以及相似图形的知识，本章的内容较多，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的目标是：（一）知识与技能1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。

2、对成比例线段、相似三角形的知识进行巩固提升。

（二）过程与方法体现研究图形问题的多种方法，培养学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关知识之间的联系和综合运用。

（三）情感与价值观要求培养学生对问题的观察、思考、交流、类比、归纳等过程，发展学生的探索精神，合作意识，增强应用数学意识，加深对数学的人文价值的理解和认识。

教学重点：1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。

2、掌握相似三角形的知识，并能灵活运用。

教学难点：培养学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关知识之间的联系和综合运用。

三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：课前准备，整理知识；第二环节：回顾交流、形成体系；第三环节：巩固提升；第四环节：课堂检测；第五环节：课堂小结，布置作业。

第一环节：课前准备，整理知识内容：学生提前把本章的知识内容进行整理，画出本章知识的思维导图。

目的：学生通过对本章的知识进行整理，进一步理解和掌握本章的知识体系。

新北师大版九年级数学上册第四章4.3相似多边形教学设计2

3 相似多边形教学目标1.知识技能：经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形的含义2.过程与方法：在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步发展学生观察、操作、归纳、类比等多方面的能力，提高学生的数学思维水平。

3.情感态度价值观：使学生体会团队合作精神，充分认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满探索与创造。

教学重点：了解相似多边形的含义教学难点：找对应边教学准备：多媒体课件教学过程：第一环节情境引入（获取信息，体会特点）活动内容：1、各小组派代表展示自己课前所收集得到的资料（可以是照片、资料、也可以是亲自仿制），并解说从从中获取的信息及对于现实生活的实际意义（选3—4个小组代表讲解）2、教师展示课件（播放动画）A 1B 1C 1D 1E 1F 1ABCDEF活动目的：培养学生从图片直观地获得信息的读图能力，并通过亲身体验归纳总结相似图形的共同特点。

而且由此自然引出课题：“相似多边形”活动内容：通过前面的展示和播放两个五边形的对应内角相等及图形的放大缩小动画，提出问题： (1)在上图两个多边形中,你认为有相等的内角吗?如果有，请你把他一一表示出来？(2)在上图两个多边形中, 你认为相等内角的两边是否成比例? 如果有，请你把他一一表示出来？（3）在上述两问题中，你如何描述这些你所列的角和边的关系？活动目的：根据生活经验和直观判断，以问答的形式引导学生逐步深入的思考多边形相似的条件。

问题的设置是帮助学生直观地寻找相似多边形特点；在前两个问题的铺设下，问题（3）的设置起到归纳总结的作用。

第二环节：例题讲解活动内容：例：下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？（1）正三角形ABC与正三角形DEF（2）正方形ABCD与正方形EFGH（一）例题讨论及讲解1．要求学生根据题目提出的问题结合所学的知识,画出图形、小组讨论,得出结果。

(组内互相交流协商、教师给予适当帮助)2．各小组派出代表将自己的结论进行相互比较，从而得出正确的结论。

2015-2016学年度第一学期北师大版九年级数学上第四章第四节第四课时《黄金分割》教案

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了黄金分割的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对黄金分割的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在新课讲授环节，我重点讲解了黄金分割的概念和比值，并配合具体案例进行分析。在这个过程中，我发现有些学生对黄金分割的计算和证明部分理解不够透彻，这也是我接下来需要重点关注的难点。在讲授过程中，我尽量使用简洁明了的语言和直观的图形演示，帮助学生理解。
实践活动环节，我将学生分成小组进行讨论和实验操作。这个环节的效果比我预期的要好，学生们积极参与，热烈讨论，展示出了很高的热情。通过这个环节，学生不仅加深了对黄金分割的理解，还培养了合作意识和解决问题的能力。
2.在讲解重点和难点时，要尽量使用简洁明了的语言和直观的演示，帮助学生理解。
3.实践活动和小组讨论对于提高学生的参与度和合作能力有很大帮助，今后可以多尝试这类教学方法。
4.及时进行教学反思，了解学生的学习情况，调整教学策略，以提高教学效果。
在今后的教学中，我会继续努力，针对学生的实际情况，调整教学方法，帮助他们更好地理解和掌握数学知识。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调黄金分割的概念和比值0.618这两个重点。对于难点部分，如黄金分割的计算和证明，我会通过举例和图形演示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与黄金分割相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过绘制图形，找出黄金分割点，并计算黄金分割比例。

北师大版九年级数学上册第四章-相似图形-教学案（PDF版含解析）

高效提分源于优学第13讲平行线分线段成比例温故知新一、比的意义和性质Ⅰ比的意义：两个数相除，又叫做两个数的比。

（1）比用比号“:”或“－”来表示。

例如：5比4可表示为5:4或54，读作五比四。

（2）比、除法和分数之间的对应关系，如：667677=÷=:。

Ⅱ比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为0的数，这个比的比值不变。

例如：14:21＝（14÷7）:（21÷7）＝2:3；2:5＝（2×3）:（5×3）＝6:15。

=8.0（）：（）=)(28=12÷（）=（）%二、比例的意义与性质：Ⅰ表示两个比相等的式子叫做比例。

Ⅱ在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。

Ⅲ解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。

课堂导入一、线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB ：CD=m ：n ，或写成AB CD =mn，其中AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项。

1.确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统一2.两条线段的比值是长度比，所以结果是正数，没有单位3.图上距离与实际长度的比值通常称为比例尺比例基本概念知识要点一高效提分源于优学二、成比例线段四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即ab＝cd，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．1.四条线段a，b，c，d成比例，只能记作ab＝cd或a：b=c：d，不能写成其他形式。

四条线段成比例时，一定要将这四条线段按顺序写出。

2.判断给定的四条线段是否成比例的方法（1）排：先将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好；（2）算：分别求出前两条线段的长度之比与后两条线段的长度之比；（3）判：若这两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是。

三、比例的性质1.基本性质：如果ab＝cd，那么ad＝bc；如果ab＝bc，那么b2=a c，b叫做a、c的比例中项2.合分比性质：如果ab＝cd，那么a±bb＝c±dd3.等比性质：如果ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)，那么a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝ab.典例分析例1、已知a＝0.2，b＝1.6，c＝4，d＝12，则下列各式中正确的是()A．a∶b＝c∶d B．a∶c＝d∶b C．a∶b＝d∶c D．b∶a＝d∶c【解答】C例2、2013版《中华人民共和国全图》在左下角特别配有一幅放大的钓鱼岛插图，比例尺为1∶1500000，已知钓鱼岛东西方长约3.5公里，则在地图上的东西方长约为()A．0.0023cm B．0.23cm C．4.29cm D．0.0429cm【解答】B例3、已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．（1）求线段a与线段b的比．（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．（3）b 是a 和c 的比例中项吗？为什么？【解答】解：（1）∵a=0.3m=30cm；b=60cm，∴a：b=30：60=1：2；（2）∵线段a、b、c、d 是成比例线段，∴=，∵c=12dm=120cm，∴=，∴d=240cm；（3）是，理由：∵b 2=3600，ac=30×120=3600，∴b 2=ac，∴b 是a 和c 的比例中项举一反三1、已知点P 是线段AB 上的点，且AP ∶PB ＝1∶2，则AP ∶AB ＝____．【解答】1∶32、已知a ，b ，c ，d 四条线段依次成比例，其中a ＝3cm ，b ＝(x －1)cm ，c ＝5cm ，d ＝(x ＋1)cm.求x 的值．【解答】依题意，得3x －1＝5x ＋1，解得x ＝4，经检验，x ＝4是原方程的解，∴x ＝43、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为____米．【解答】9.6学霸说确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统一赤裸裸的残酷的掠夺，激起了当地土著民族顽强的反抗。

北师大版九年级上册数学第四章复习第四章复习教案2

第四章图形的相似一、教与学目标：（1）了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过实例了解黄金分割.（2）通过实例认识图形的相似，了解相似图形的性质.知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方.（3）了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件.（4）了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小.（5）通过实例了解物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）.二、教与学重点难点：学习重点：相似图形的特征与识别，相似三角形的有关概念及相似的表示方法和相似比的概念.学习难点：准确判断出相似三角形的对应边和对应角.三、教与学方法：引导、探究、归纳与练习相结合四、教与学过程：（一）、回顾已学知识，形成体系：1、比例的基本性质线段的比成比例线段黄金分割.2、图形的相似图形的性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方.3、三角形相似两个三角形相似的条件：4、图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小.5、利用相似测量旗杆的高度）.（二）、典例精析：例1、如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.(1)试说明⊿ABD≌⊿BCE.(2)⊿AEF与⊿ABE相似吗?说说你的理由.(3)BD2=AD·DF吗?请说明理由.（三）、巩固训练，拓展提升认识：1、下列各种图形相似的是（）A.①③B.②③C.①②D.①④2、要做甲、乙两种形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50cm、60cm、80cm三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有（）A.1种B.2种C.3种D.4种3、分别根据下列已知条件，写出各组相似三角形的对应边的比例式：（1）如图①，△ADE∽△ABC（DE∥BC），则＝＝；（2）如图②，△OAB∽△OCD（DC∥AB），则＝＝；（3）如图③，△ABC∽△ACD，则＝＝；4、如图，两个矩形是否相似？为什么？5、AD为ΔABC的中线，E为AD的中点，若∠DAC＝∠B，CD＝CE。

新北师大版九年级数学上第四章教案