河海大学《几何与代数》3-3.ppt

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河海大学《几何与代数》5-3相似矩阵与对角化

证明假设存在可逆阵P,使P 1 AP 为对角阵,
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 , , pn .
由P1 AP ,得AP P,
1
即 A p1 , p2 , , pn p1 , p2 , , pn
2
n
1 p1 ,2 p2 , ,n pn .
A p1 , p2 , , pn Ap1 , Ap2 , , Apn 1 p1,p2 , ,pn
命题得证.
推论如果 n 阶矩阵 A 的 n个特征值互不相等，则 A与对角阵相似．
说明如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．
例1
设A
4 3
6 5
0 0
3 6 1
A能否对角化？若能对角化,则求出可逆矩阵P,
一、相似矩阵概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P, 使 P 1 AP B,
则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.
二、相似矩阵的性质
定理1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同. 证明 A与B相似
可逆阵P,使得P 1 AP B
使P 1 AP为对角阵.
解 4 6
E A 3 5

3.3代数学与三大几何作图难题

合作探究三大几何作图问题的解决
探究二倍立方体
活动1 瘟疫、祭坛与“倍立方体”史话
于是他们就带着这个问题去请教柏拉图，柏拉图告诉他们，先知发布这个谕示，并不是因为他想得到一个体积加倍的祭坛，而是因为他希望通过派给他们这项工作，来责罚希腊人对于数学的忽视和对几何学的轻视。
另一个故事说克里特王米诺斯为儿子修墓，命令将原来设计的体积加倍，但仍保持立方的形状。
直到1882年，德国数学家林德曼证明了π的超越性，从而证明了化圆为方的尺规作图之不可能性。所谓的超越性就是说π不可能是任何整系数代数方程的根，故化圆为方问题的不可能！
探究三化圆为方
活动3 尝试非严格尺规作图解决“化圆为方”
方法达芬奇做法达.芬奇发现，不受标尺的限制。用已知圆为底，r／
２为高的圆柱，在平面上滚动一周，所得的矩形，其面积
代数学与三大几何作图难题
大连市旅顺第二高级中学 2019年6月
动手实践回顾尺规作图
小组交流展示
尺规作图的由来
尺规作图的回顾
三大问题的提出
尺规作图，是指只使用无刻度的直尺和圆规，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.
尺规作图的由来
尺规作图起源于古希腊巧辩学派的数学课题，是指只使用无刻度的直尺和圆规，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。
探究二倍立方体

第3章几何学

x/ x Mox： / y y
(1.4)
j O i M/

x
第三章欧氏几何与二次曲线的度量性质及分类
以上各例均为平面到自身的变换，下面给出两个平面之间的对应。
例5．平行射影二平面、 / 交于直线，向量与二平面都不平行．对于上任意点M，过M作平行于的直线，交 /于M/，则将 M 映成 M/ 的点对应称为平面到平面 / 的平行射影，向量为投射方向．
T M M/ T (M)，
(1.2)
若在 T 之下，点 M (S ) 的对应元素是点M/ (S’)，则说 T 将
并称点 M/ 为点 M 在 T 之下的象，点M 为点M/ 在 T 之下的原象．特别地，当S 和 S’是同一个平面，且映射是双射时，此映射叫做平面的一个点变换。
第三章欧氏几何与二次曲线的度量性质及分类
第三章欧氏几何与二次曲线的度量性质及分类
例
x/ x 求镜射变换 / 的不动直线． y y
解：设直线经此镜射作用后的象为
/：Ax/ By/ C 0，
将变换式代入，得 Ax By C 0．
不动 (即与 / 重合) 的充要条件为
A/A B/( B) C/C，
1.2.3映射的乘积与逆
设点 M 先用 R作用得到 M/，再用 Ta 作用得到 M//，则由(1.3)和(1.2)可得 M 到 M// 的变换为：

河海大学《几何与代数》几何与代数第一章

z C O M B y
上页下页
x
A
2.定义（方向余弦）在空间直角坐标系中，向量与三个坐标向量 i, j ,k
的夹角 , , (0 , , ) 称为向量的方向角；
方向角的余弦 cos , cos , cos 称为向量的方向余弦。注1：||||=？（勾股定理）注2：单位向量的表示法例：已知=（-3，6，2）,求的方向余弦和与平行的单位向量
上页下页
例1：若，求 { [ （） ]} || ||4
例2：计算由向量（3， 0， 1 ），（3， 3， 0），（ 1， 2， 3）
（30）例3：已知Δ ABC的顶点A（1， 1，2），B（5， 6，2），
所张成的平行六面体的体积。
为向量组1 ， 2 ，…， n 的线性组合称可以由1， 2 ，…， n, 线性表示。 2、若存在不全为零的k1，k2，… ，kn ，满足 k11 + k22 + …+ knn = 0 则称向量组1 ， 2 ，…， n 线性相关，
否则，称它们线性无关。注：若1 ， 2 ，…， n 线性无关,则上页下页 k1 =k2 = … =k k11 + k22 + …+ knn = 0 n= 0
, , 为右手系 , , 为左手系
上页下页

几何与代数,资料重点

＋＋＋＋－－－－
20
关于坐标系的方向，通常采用右手仿射坐标系，简称右手系( right-handed system).
y
x
e2
e1
O
e3
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
7
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）1的数乘：1 a a
（2）结合律：
(
a
)
(
a
)
(
)a
（3）分配律：((ab)a)
a a
a b
8
三、向量的共线与共面
定义
如果向量与方向相同或方向相反，则称为共线(collinear)或平行( parallel)，记为 //
如果若干个向量平行于同一个平面，则称它们共面（complanar）。
注：零向量可以认为与任何向量共线或共面。
9
充定要理1条1件是设：向存量在a 唯 0一，的那实末数向量，b使平b行于a.a 的
证
充分性显然；
必要性
设 b‖
a
取
b a
,
当
b
与
a
同向时
取正值，
当
b
与
a
反向时
取负值，
一个与原向量同方向的单位向量.

大学国家级精品课程线性代数课程《线性代数与解析几何总复习》精品课件

初等矩阵: 由单位矩阵经过一次初等变换所得.
《几何与代数》复习要点
矩阵乘法的交换律和消去率
• 矩阵乘法交换率一般不成立
(AB)k Ak Bk (A+B)2 A2 + B2+2AB (A+B)(AB) A2B2
矩阵乘积可交换的情况： 1. 方阵 AkAl=AlAk
2. 对角矩阵 = 3. (a Em) Am×n = Am×n(a En) 4. AA* A*A A E 5. AA1 A1A E
解XA=BX= BA1
方阵的行列式
定义性质计算
应用
•
(1)N( j1 j2
|AT| = |A|.
•
a jn ) 1
|A|
j1ca2j2 s
ctanj|nA|.
•
ຫໍສະໝຸດ Baidu|A|cs
c t
|A|.
A1 As An A
1. 化为三角形行列式 2. 箭形行列式的计算
3. 行列式按行(列)展开 aik Ajk = |A|ij ,
方
阵
的反对称
特殊
矩阵
形
式
方阵
对称矩阵
对角矩阵
可逆矩阵
数量正交正定初等矩阵矩阵矩阵矩阵
零矩阵单位矩阵
《几何与代数》复习要点
特殊矩阵

几何代数第三章

一. 空间向量的线性运算
1. 向量的概念及其表示既有大小又有方向的量 AB , , , , a, b 1). 向量： 2). 向量的长度或模： AB , , a 3). 自由向量：只考虑向量的大小和方向不计较起点位置长度相等且方向相同 4). 相等向量：长度相等且方向相反 5). 负向量：或 0 长度为零，方向任意 6). 零向量： 7). 单位向量：长度为1 // 方向相同或相反 8). 平行(共线)向量：

B

D

A

AB AD DB （减数指向被减数）
DB AB AD
（后项减去前项）
运算性质: 三角不等式注: 当 , 平行时，等式成立。
第三章几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
3. 向量与数量的乘法（数乘）向量的伸缩 1). 定义： m // 与相同, 若m 0 方向：与相反, 若m 0 模： m m
第三章几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
定理3.2 若向量1,2不平行, 则向量3与1,2共面存在唯一的有序实数组(k, l), 使得3 = k1+l2. 3可由 1,2唯一的线性表示. 推论3.2 向量1, 2 , 3共面存在不全为零的实数k1,k2 ,k3, 使得 k11+k22+k33 =. 存在一个向量可由其余向量线性表示(.但不知是哪个向量)

《大学数学解析几何》PPT课件

向量与坐标
vector and coordinate
Contents
1
向量的概念
2
向量的加减法
3
数量乘向量
4 向量的线性关系与分解
5
标架与坐标
6 向量在轴上的射影
7
向量的数量积
8
向量的向量积
9
三向量的混合积
10 三向量双重向量积
《解析几何》
－Baidu Nhomakorabeahapter 1
§1 向量的概念
Contents
一、向量的概念二、几种特殊的向量
1.1向量的概念(小结)
一、向量的概念
1.向量 2.数量 3.向量的大小
向量的方向
4.向量的模
二、几种特殊的向量
1.单位向量 2.零向量 3.相等向量 4.自由向量 5.相反向量 6.共线向量 7.共面向量
作业：
pp.3-4 2, 4, 5
➢笛卡尔的《几何》虽然不像现在的解析几何那样，给读者展现出一个从建立坐标系和方程到研究方程的循序过程，但是他通过具体的实例，确定表达了他的新思想和新方法．这种思想和方法尽管在形式上没有现在的解析几何那样完整，但是在本质上它却是地道的解析几何．
➢笛卡尔的解析几何有两个基本思想：（１）用有序数对表示点的坐标；（２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一条曲线。

河海大学《几何与代数》课件

结合实际，应用性强
结合实际案例：通过具体案例来解释几何与代数的概念和原理，帮助学生更好地理解和应用。
强调应用：注重几何与代数的实际应用，通过大量实例和练习题，培养学生的数学思维和应用能力。
互动性强：课件中设置了许多互动环节，如问答、讨论等，鼓励学生积极参与，提高学习效果。
图文并茂：采用丰富的图表和图片来辅助讲解，使抽象的数学概念更加形象化、生动化。
推论3：分式的乘除法
代数应用举例
代数在数学中的应用
代数在物理中的应用
代数在计算机科学中的应用
代数在经济学中的应用
课件特色
内容丰富，结构清晰
内容涵盖面广，包括几何与代数的基本概念和原理结构清晰，按照知识点进行划分，便于学生理解和掌握注重理论与实践相结合，通过实例和练习题帮助学生加深理解课件设计精美，图文并茂，提高学生的学习兴趣和积极性
几何部分
几何基础知识
定义：几何是研究大小、形状、空间等概念的数学分支
分类：分为平面几何和立体几何
基本概念：点、线、面、角、距离等
性质：直线的基本性质、线段的基本性质、角的基本性质等
几何定理及推论
欧几里得几何定理
非欧几里得几何定理
平面几何定理的推论
空间几何定理的推论
欧式几何在平面图形中的应用
注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，鼓励学生多思考、多实践。

几何与代数第二章

an1 an 2 L ann
*
证明：当 | A |≠ 0时，A |=| A | |
nwk.baidu.com−1
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下页
六、克拉默（Cramer）法则克拉默（Cramer）
线性方程组简写→ Ax = b. 先假设A是n阶方阵，且 | A |≠ 0，由Ax = b两边左乘A−1可得x = A−1b,即 x1 A11 x A 2 = 1 12 M | A| xn A1n
a11 a21
a12 = a11a22 − a12 a21 a22
由求解三元一次线性方程组引入：
上页下页
定义2 三阶行列式（沙路法）三阶行列式（沙路法）定义
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
注意：第三个足码恰好是 P33 = 6 个排列。逆序数法
上页下页
上页下页
3 、对角矩阵 4、上三角矩阵 5、下三角矩阵例：证明两个n阶下三角矩阵的乘积仍是下三角矩阵。
上页
下页
二、矩阵的运算
1、加法（同型）定义：定义：
A = [aij ]m×n
B = [bij ]m×n
则C = A + B = [cij ]m×n = [aij + bij ]m×n
规律：规律： A+B=B+A A+O=O+A A+(-A)=O (A+B)+C=A+(B+C) (O---->零矩阵） (-A--->所有元素均为相反！）

线性代数与几何(上)全套课件(新)

其中 aij ( i , j =1, 2, 3 ) 表示第 i 行第 j 列上的元素. 三阶行列式的计算可如下图:
a11 a12 a13

a21 a 22 a 23 a31 a32 a33
+
+

+
第一章行列式
上一页
8
0 4
1 1 . 1
求三阶行列式
2
3 2
解
原式=32 + 4 + 0 12 (16) 0 =32 + 4 12 +16 = 40.
a1 1x1 a1 2x2 b1 , a2 1x1 a2 2x2 b2 ,
当 a11a22 a12 a21 0 时，得
(1.1)
其中 a11, a12, a21, a22, b1, b2 均为已知参数. 用中学的消元法解此方程组.
x1
a2 2b1 a1 2b2 , a1 1a2 2 a1 2a2 1
VII
x VIII V
1 2 1 0 3 1 . y VI 6 0 3
( 2)=a12 1+ a22 ( n)=a1n 1+ a2n
课件
2+ 2+
… a n1 n ,
… an2n ,
……………

几何与代数-二次型二次曲面

f(或A)的正惯性指数 f(或A)的负惯性指数
第六章二次型与二次曲面
§6.1 二次型
实对称阵A或二次型xTAx的正负惯性指数 = A的正负特征值的个数
正负惯性指数之和 = 正负特征值的个数之和 =秩
第六章二次型与二次曲面
§6.1 二次型
推论6.1. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn中
交
-4 0 0 换
0
00
第一
003 三
行
003
交换
0
00
第一
-4 0 0 三
列
300 000
0 0 -4
300 0 -4 0
000
300 P(2,3)P(1,3)AP(1,3) P(2,3) = 0 -4 0
000
1/ 3 0 0
1/ 3 0 0
0 1/2 0 P(2,3)P(1,3)AP(1,3) P(2,3) 0 1/2 0
推论 6.4. 设 A 是正定矩阵, 则 |A|>0 .
A与单位矩阵E合同可逆阵P使得A = PTP A正定
§6.1 二次型
第六章二次型与二次曲面
§6.1 二次型
定理6.4. 设A为n阶实对称阵, 则下列条件等价:
(1) Ann正定 (即x xTAx > 0)
(2) A的正惯性指数 = n

几何与代数-二次型

第六章二次型与二次曲面
§6.1 二次型
“求x=Py, 使 xTAx 化为标准形 yTy”
“求可逆阵P, 使PTAP = 对角阵”
“将实对称矩阵A进行合同对角化”
如何进行？
正交合同对角化 (正交相似对角化)
配方法
第六章二次型与二次曲面
§6.1 二次型
定理6.1. n阶实对称矩阵A与对角阵合同.
第5章二次型与二次曲面
第1节二次型
§6.1 二次型
一. 二次型及其矩阵表示
二次曲线ax2+bxy+cy2 =1
源自文库
m(x')2+n(y')2=1
x x cos y sin
y
x sin
y cos
xy = 1 y
= /4
y
y
x2 y2 1
22
x
O x
O x
第六章二次型与二次曲面
13x2 -10xy + 13y2 = 72
就是A的对应的n个单位正交特征向量.
正交变换下的标准形
第六章二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例2. 求二次型f = 3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3 在条件x12+x22+x32 = 1下的最大, 最小值.

空间解析几何与向量代数 ppt课件

M2
零向量: 模为 0 的向量, 记 0 ，或作 0 . M 1
ppt课件
3
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
第8章
空间解析几何与向量代数
第一部分向量代数第二部分空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组）
基本方法 —ppt课坐件标法; 向量法
1
第一节
第8章
向量及其线性运算
一、向量的概念
二、向量的线性运算
三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算
五、向量的模、方向角、投影
而a 0,故 0,即.
ppt课件
9
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“ ” 已知 b＝ a , 则
当0时, b＝0
当0时, a , b 同向
a∥b
当0时, a , b 反向
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点, ABa,ADb,
试 a 与 b 用表 M ,示 M A ,M B ,M C . D
z O M O N M O O A O BC C

三阶行列式与线性方程组图文

THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
后续学习建议
01
深入学习三阶行列式的计算方法和性质，掌握更多求解线性方程组的技巧和方法。
02
03
04
学习更高阶的行列式和矩阵知识，了解它们在实际问题中的应用。
多做练习题，加深对知识点的理解和记忆，提高解题能力和思维水平。
参考相关教材和资料，扩展知识面和视野，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
或电压。
力学系统
对于三个物体组成的力学系统，在平衡状态下，各个力之间的关系可以通过三阶行列式表示，进而求解未知力。
经济模型
在经济学中，三阶行列式可用于表示三个经济变量之间的相互影响，帮助分析经济现象。
拓展到更高阶情况
高阶行列式
三阶行列式可以拓展到更高阶的行列式，用于解决更多变量的线性方程组。高阶行列式的计算复杂度增加，但基本原理与三阶行
构造每个未知数的Cramer行列式Di（i表示第i个未知数），并计算其值。
注意：以上内容仅供参考，具体求解过程可能因实际问题而异。同时，Cramer法则在求解大规模线性方程组时可能效率较低，因此在实际应用中需要综合考虑计算效率和精度等因素。
05 图文解析三阶行列式与线性方程组
Hale Waihona Puke Baidu
具体实例展示

几何与线性代数(第三章行列式与矩阵)

An1 b1 An2 b2 Ann bn
b1
1
xj
| A|
A1 j
A2 j
Anj
b2
bn
1 | A|
bk Akj
Dj D
( j 1,2,...,n)
其中D=|A|, Dj是b代替|A|中第j列所得的行列式
定理（Cramer)
当D | A | 0时，线性方程组Ax b存在唯一解， x j Dj / D ( j 1,2,..,n)
n阶矩阵的行列式运算性质
性质： A, B为两个n阶矩阵，则 (1) AT A; (2) kA k n A (3) | AB || A || B |
第三节逆矩阵
引：数：a 1 1 1 a
a
a
矩阵：A A1 E A1 A
一、逆矩阵的概念和性质
定义: 对An，如果存在Bn，使得AB BA E,则称A是可逆矩阵。B为A的逆矩阵，记作A1,即A1 B
定理： A可逆|A|0, r(A)=n
问题:如何计算A的秩？？？
二、秩的计算
1）定义法例：运用定义法
求下列矩阵的秩
A
2 1
23 ,
B
2 1
4 2
,
C
a c
b d
2）矩阵的初等变换
目标：阶梯形矩阵的秩=其非零行数定义（矩阵的初等变换）