河海大学《几何与代数》3-3.ppt
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河海大学《几何与代数》几何与代数 第一章
定理3： 设1, 2 ,3不共面，则，必存在唯一的一组实数 1，2，3，使得 11 2 2 33 平行六面体
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定义
设1 ， 2 ，…， n 是一组向量，
1、若 k1，k2，… ，kn是一组实数,称向量
=k11 + k22+ …+ kn n
( x1 , y1 , z1 )
加法 数乘
i i j j k k 1
( x2 , y2 , z2 )
距离
2.内积
i j j i i k k i j k k j 0
?
cos( , ) ?
|| ||2 ?
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例1：若，求 { [ （ ） ]} || ||4
例2：计算由向量 （3， 0， 1 ）， （3， 3， 0）， （ 1， 2， 3）
（30） 例3：已知Δ ABC的顶点A（1， 1，2），B（5， 6，2），
所张成的平行六面体的 体积。
z C O M B y
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x
A
2.定义（方向余弦） 在空间直角坐标系中，向量与三个坐标向量 i, j ,k
的夹角 , , (0 , , ) 称为向量的方向角；
方向角的余弦 cos , cos , cos 称为向量 的方向余弦。 注1：||||=？（勾股定理） 注2：单位向量的表示法 例：已知=（-3，6，2）,求的方向余弦和与平行的单位向量
( ) ?
?
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3.外积
i i j j k k i j k jk i k i j
注意： i, j, k 的顺序
河海大学高等数学PPT
则
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0 k 1
n
n
注意 2 (t ) 2 (t ) 连续
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0 k 1
因此
说明:
(1) sk 0, t k 0, 因此积分限必须满足 !
弧长元素(弧微分) :
ds (dx) 2 (d y ) 2
2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s
2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
弧长元素(弧微分) :
ds [ x( )]2 [ y ( )]2 d
r 2 ( ) r 2 ( ) d
因此所求弧长
s
r 2 ( ) r 2 ( ) d
第十章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分 二重积分 三重积分 曲线积分 曲面积分
积分域
区间域
取极限 W lim [ P ( i , i ) xi Q( i , i ) yi ]. 0
i 1
n
精确值
2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑
弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,
0
极限
L L
( 3) f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds.
L L1 L2
( L L1 L2 ).
( s 为曲线弧 L 的长度)
河海大学《几何与代数》课件
总结与展望
对《几何与代数》课件的总结
回顾了《几何与代数》课件的主要内容 总结了《几何与代数》课件中的重点和难点 分析了《几何与代数》课件的教学效果和影响 展望了《几何与代数》课件未来的发展方向和应用前景
对未来发展的展望
教学内容的更新与完善 教学方法的创新与改进 教学效果的评估与反馈 学科交叉与融合的发展趋势
结合实际，应用性强
结合实际案例：通过具体案例来解释几何与代数的概念和原理，帮助学生更好地理解和应用。
强调应用：注重几何与代数的实际应用，通过大量实例和练习题，培养学生的数学思维和应用 能力。
互动性强：课件中设置了许多互动环节，如问答、讨论等，鼓励学生积极参与，提高学习效果。
图文并茂：采用丰富的图表和图片来辅助讲解，使抽象的数学概念更加形象化、生动化。
掌握几何与代数的概念和基本原理
课件目标
培养学生的逻辑思维和数学素养
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
理解几何与代数在各个领域的应用
提高学生的解题能力和应试能力
适用对象
适用课程：《几 何与代数》
适用人群：河海 大学本科生、研 究生
适用学期：本科 一年级上学期
适用教学目标：掌 握几何与代数的基 本概念和原理
图文并茂，易于理解
图文并茂：通过丰富的图片和图表，帮助学生更好地理解抽象的概念和公式
易于理解：采用简洁明了的语言和生动的实例，降低学习难度，提高学生的学习兴趣
互动性强：设置互动环节，如问答、讨论等，鼓励学生积极参与，提高学习效果 内容丰富：涵盖了《几何与代数》的主要知识点，帮助学生系统地掌握学科知识
几何应用举例
微分几何在理论物理中的应用
添加标题
添加标题
几何与代数课件：lec1几何与代数绪论
三类方程组的根一定可以由原方程的系数，经过加、减、乘、 除及开平方这5种运算表示出来。
17
空间解析几何的基本思想 ——用代数方法研究几何问题
在三维空间中:
空间形式 — 点, 线, 面，二次曲面
数量关系 — 坐标,方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
几何与代数的关系： 三维→n维 18
“几何与代数”的基本思想方法 •解析几何的重要性
我想说
•课程的重要性 •大学与中学的区别 •“几何与代数”和“高等数学”的区别
•“几何与代数”的基本思想方法
•“几何与代数”的主要内容
•学什么？怎么学？
3
我想说
•课程的重要性
➢工科基础
电子工程与信息类专业有十多门课程要用矩阵建模和解题，比如电 路、数值计算方法、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、 系统动力学、自动控制原理、机械振动等。
❖问题式预习
❖引导式教学
❖自主性考试（期中占15%） ❖数学实验5%
❖学术性论文（考核占5%） ❖平时作业5%
❖演讲式展现
❖期末考试65%
8
武汉大学王林昌教授在谈到大一新生如何设计
自己的大学之路时说，上大学有四项任务，一
是要学会做人，二是要学会做事，三是要学会
学习，四是要学会处理人际关系。
9
我想说
几何与代数 绪论
课程中心：用户名：一卡通号 密码：问教务处初始密码
课程名称：几何与代数（B） 班级名称：关秀翠11-4-6
学生在获得选课码：MMVR-8261 之 后，只需在选课功能中直接输入选课 码即可成功的选上课程。
学ห้องสมุดไป่ตู้人数限制：270人
选课开始时间：2011-9-12
大学数学专业空间解析几何向量代数PPT课件
它 们 的 和 是 零 矢 量.
C
证 必 要 性 设 三 矢 量a，b，c可 以
构 成 三 角 形ABC， 即 有AB a, BC A
B
b,CA c， 那 么AB＋BC＋CA＝AA 0,即a b c 0
充 分 性 设a b c 0， 作AB a, BC b, 那 么AC
a b, 所 以AC c 0, 从 而c是 AC的反矢 量，因此c＝
叫 做 矢 量a1 , a2 ,, an的 线 性 组 合.
定理1.4.4 在n 2时，矢量a1, a2 ,, an线性相关的 充 要 条 件 是 其 中 有 一 个矢 量 是 其 余 矢 量 的 线 性组 合.
第34页/共137页
定理1.4.6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关.
定 义1.4.2 对 于n(n 1)个 矢 量a1, a2 ,, an， 如 果 存
r xe1 ye2 ze3 ,
(1.4 3)
并 且 其 中 系 数x, y, z被e1 , e2 , e3 , r唯 一 确 定.
这时e1, e2 , e3叫做空间矢量的基底.
第38页/共137页
定 理1.4.3 如 果 矢 量e1 , e2 , e3不 共 面 ， 那 么 空 间
任 意 矢 量r可 以 由 矢 量e1 , e2 , e3线 性 表 示 ， 或 说 空 间 任 意 矢 量r可 以 分 解 成 矢 量e1 , e2 , e3的 线 性 组 合 ， 即
A
Q M
B
P
CB
由条件可知: BC = 2BP, AC = 2AQ.
S
Q
T
P
C
设AS = AP, B2T = BQ,
2
3
河海大学《几何与代数》3-5
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
求 A 的一个最高阶子式 .
R( A) 3, 知A的最高阶非零子式为3阶 .
A 的 3 阶子式共有 C43 • C53 40 个 . 考察A的行阶梯形矩阵，
记A (a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ),则矩阵B (a1,a2 ,a4 )的行
阶梯形矩阵为 1
6
1
0 4 1
0 0 4 R(B) 3, 0 0 0
故 B 中必有 3 阶非零子式. 且共有 4 个. 计算B的前三行构成的子式
3 2 5 32 5 2 0 52 0 5 3 2 6 6 0 11
25
2
16 0.
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
0.
RA 2.
另解
对矩阵
A
1 0
3 2
2 1
2 3
做初等变换，
2 0 1 5
1 3 2 2 1 3 2 2 0 2 1 3 ~ 0 2 1 3,
2 0 1 5 0 0 0 0
显然，非零行的行数为2，
RA 2.
此方法简单！
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1
r2 r4
2 3
0 2
1 0
5 3 5 0
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
代数与几何(PPT课件)
1870年海涅(德, 1821-1881)定义了一致连续
19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出ε-δ语言 1875年达布(法, 1842-1917)提出了大和、小和
分析的严密化－－实数理论
• 1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)提出确界原理 • 1817年波尔查诺和19世纪60年代魏尔斯特拉斯 (德, 1815-1897)提出聚点定理 • 1821年柯西(法, 1789-1857)提出收敛准则 • 19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出单调有界原理 • 1872年海涅(德, 1821-1881)和1895年波莱尔 (法, 1871-1956)提出有限覆盖定理
几何－－射影几何
综合方法
1822年庞斯列(法, 1788-1867)的《论图 形的射影性质》
连 续 性 原 理
对 偶 原 理
几何－－射影几何
代数方法
1827年麦比乌斯(德, 1790-1868)的 《重心计算》 1829年普吕克(德, 1801-1868)的三线坐标
麦比乌斯(德, 1790-1868)
第七讲: §2.6－2.8
分析、代数与几何
分析的严密化 代数学的新生 几何学的变革
分析的严密化
分析：关于函数的无穷小分析 问题：第二次数学危机 核心：函数、无穷小
贡献：柯西(法, 1789-1857 )
魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)
分析的严密化－－函数
初等函数
1872年戴德金(德, 1831-1916)提出分割理论 1892年巴赫曼(德, 1837-1920)提出区间套原理
分析的严密化
波尔查诺 (捷克斯洛伐克，1981）
分析的严密化
高等代数与解析几何课件
•
b定义为一个
a • b | a || b | cos a,b .
量 讨论内积、向量的长度、两个向量的夹角的关系.
代
a
b
数
b0
第
命题6.3 向量a与b垂直的充分必要条件是 ：ab 0.
一 章 a,
b,
定理6.4 向量的内积有下列性质：对任意的向量
c以及实数k , 有 (IP1)对称性质a
要条件是：
a
b
c
0.
章
C
向
A
B
量
例1.2用向量方法证明：对角 线互相平分的四边形
代 是平行四边形 . D
O
C
数
A
B
第
向量的标量乘法
一
定义1.3 实数k与向量a的标量乘积ka是一个向量， 它的长度是a的长度的| k | 倍，当k 0时它的方向与a
章 向
相同，当k 0时方向与a相反.
（对M任1）意k的(m向a量 ) a(,kbm以)a及; 实数 k有：
（3）推广到有限个点 线性流形.
量
（4）线性流形的基本特征.
（5）单纯形的概念.
代
例2.2 证明线性流形LM（A1，A2，，An )中任意
数 两点M1，M 2一定包含在这个线性流形内.
第
思考题：线性流形的基本特征.
（1）“直”、“平”，（2）是否包含零向量.
一
例2.3 设a和b是两个非零向量.试证由它们的线性
数
第
问题：（1）讨论两个非零向量共线的性质；
一
（2）讨论三个点共线的条件； （3）讨论三个向量共面的性质；
章 （4）讨论四个点共面的条件.
（5）将以上问题推广或一般化.
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题三 几何与代数 第八章 第2课时 求空间角与距离
（1）求证:平面 ⊥平面.
证明在等腰梯形中, = 4, = = 2,则∠ = 60∘ ,
则 = 2 3,所以2 + 2 = 2 , ⊥ .又 = 4, = 2，由
2 + 2 = 16 = 2 ,得到 ⊥ .
.设直线和所成的角为
6
6
6
3
3
2 6
,则cos = |cos⟨,⟩| =
1
2
3
3
×
2
2
=
2
.
3
规律方法
用向量法求异面直线所成角的一般步骤
（1）选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
（2）确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量；
（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
用公式 cos⟨,⟩ =
得结论
⋅
π
2
利用sin = |cos⟨,⟩|,直线和平面所成角的范围是[0, ],即可得出直线和平面所
成的角
［对点训练3］如图,在四棱锥 − 中,底面四边形
满足 = = 2, = = 5,∠ = 90∘ ,棱上的点
= − = −
1
,
2
=
1
(
2
+ ).
设向量与的夹角为,则直线和所成角的余弦值等于 cos .
⋅ =
1
2
1
−
8
+
1
2
1
1
−
4
8
1
2
1
2
1
4
1
2
1
4
+ ⋅ ( − ) = 2 − ⋅ + ⋅ − ⋅ =
证明在等腰梯形中, = 4, = = 2,则∠ = 60∘ ,
则 = 2 3,所以2 + 2 = 2 , ⊥ .又 = 4, = 2，由
2 + 2 = 16 = 2 ,得到 ⊥ .
.设直线和所成的角为
6
6
6
3
3
2 6
,则cos = |cos⟨,⟩| =
1
2
3
3
×
2
2
=
2
.
3
规律方法
用向量法求异面直线所成角的一般步骤
（1）选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
（2）确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量；
（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
用公式 cos⟨,⟩ =
得结论
⋅
π
2
利用sin = |cos⟨,⟩|,直线和平面所成角的范围是[0, ],即可得出直线和平面所
成的角
［对点训练3］如图,在四棱锥 − 中,底面四边形
满足 = = 2, = = 5,∠ = 90∘ ,棱上的点
= − = −
1
,
2
=
1
(
2
+ ).
设向量与的夹角为,则直线和所成角的余弦值等于 cos .
⋅ =
1
2
1
−
8
+
1
2
1
1
−
4
8
1
2
1
2
1
4
1
2
1
4
+ ⋅ ( − ) = 2 − ⋅ + ⋅ − ⋅ =
几何与线性代数(第三章 行列式与矩阵)
n
n 2时 ，D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j j1
其中A1 j (1)1 j M1 j
a21 a2, j1
M1 j
a31
a3, j1
an1 an, j1
a2, j1 a2n a3, j1 a3n
an, j1 ann
( j 1,2,..,n)
ai1 j1 ai2 j1
aik j1
ai1 j2 ai2 j2
aik j2
ai1 jk ai2 jk
aik jk
非零子式
定义（秩）：非零矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩， 记为r(A)或R(A)。规定：零矩阵的秩为0
注：最高阶数，即指A存在r阶非零子式，但所有r+1阶子式 （如果存在）都等于0，则最高阶数为r。 注：r(A)=r(AT)
例：
1 4 2
A 3 5 1
2 1 6
性质2：
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ann
推论：
** * * 0 0 0 0 ** * *
性质3：
***
*** ***
k (5) A1 1
A
规定：当A可逆时，A0 E, Ak ( A1 )k k N，则当r, s Z时，有
Ar As Ars , ( Ar )s Ars
伴随矩阵
a11
A
a21
an1
a12 a22
an2
a1n
A11
a2n ann
A*
A12
A1n
A21 A22
| A|
| A|
n 2时 ，D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j j1
其中A1 j (1)1 j M1 j
a21 a2, j1
M1 j
a31
a3, j1
an1 an, j1
a2, j1 a2n a3, j1 a3n
an, j1 ann
( j 1,2,..,n)
ai1 j1 ai2 j1
aik j1
ai1 j2 ai2 j2
aik j2
ai1 jk ai2 jk
aik jk
非零子式
定义（秩）：非零矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩， 记为r(A)或R(A)。规定：零矩阵的秩为0
注：最高阶数，即指A存在r阶非零子式，但所有r+1阶子式 （如果存在）都等于0，则最高阶数为r。 注：r(A)=r(AT)
例：
1 4 2
A 3 5 1
2 1 6
性质2：
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ann
推论：
** * * 0 0 0 0 ** * *
性质3：
***
*** ***
k (5) A1 1
A
规定：当A可逆时，A0 E, Ak ( A1 )k k N，则当r, s Z时，有
Ar As Ars , ( Ar )s Ars
伴随矩阵
a11
A
a21
an1
a12 a22
an2
a1n
A11
a2n ann
A*
A12
A1n
A21 A22
| A|
| A|
几何与代数习题课
D3 D
.
（二）向量及其运算 仿射坐标系与直角坐标系
向量旳 线性运算
向量概念
向量旳积
向量旳 表达法
数量积
混合积
向量积
1、向量旳概念
定义:既有大小又有方向旳量称为向量. 主要概念: 向量旳模、单位向量、 零向量、 自由向量、 相等向量、 负向量、 平行向量、 向径.
2、向量旳线性运算
(1) 加法：
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
[2] 平面旳一般方程
Ax By Cz D 0
[3] 平面旳截距式方程 x yz 1 a bc
z
n
M0 M
o
y
x
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
n { A, B, C}
z c
o xa
by
[4] 平面旳夹角 1 : A1 x B1 y C1z D1 0
n1
n2
2
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
河海大学《几何与代数》3-2
x2 xn
x
2 2
xn2
( xi x j ). (1)
ni j1
x1n1
x
n1 2
xnn1
四 方阵的行列式
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 6
3 8
则A2 6
3 2.
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零．
D a21 a2i a2n a21 a2i a2n
an1 ani ann an1 an i ann
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以
同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变．
例如
a11 a1i a1 j a1n
例1 3 1 1 2 5 1 3 4
D 2 0 1 1 1 5 3 3
5 1 1 1
c1 2c3 11 1 3 1
c4 c3
0 010
5 5 3 0
5 11 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
解 将第 2,3,,n 都加到第一列得
a n 1b b b b
a n 1b a b b
D a n 1b b a b
几何与代数线性方程组.ppt
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
北京交通大学 几何与代数组
（2）若 x 1 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k1也是 Ax 0 的解．
证明 Ak1 kA1 k0 0.
证毕.
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax 0 的解空间．
解
B
3 0
1 2
2 1
1 2
3 6
2 23
北京交通大学 几何与代数组
方程组
x1 b11 xr1 b1,nr xn
x
r
br1 xr1
br ,nr xn
所以与都是此方程组的解 ,
1
c 1
r
由
r 1
r2
c r
r1
r2
1 c1 ,,r cr .
n
n
北京交通大学 几何与代数组
取
北京交通大学 几何与代数组
x2 1及 0, 则 x1 1及 1, x4 0 1 x3 0 2
即得对应的齐次线性方程组的基础解系
1
1
1 0
,
0
1
2
0 2
,
1
北京交通大学 几何与代数组
于是所求通解为
x1 1 1 1 2
x2
ห้องสมุดไป่ตู้
x3 x4
c1
1 0 0
c2
证明 A A A 0 b b,
所以x 是方程 Ax b的解.
证毕．
北京交通大学 几何与代数组
２．非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax=b的通解为
x k11 knrnr . 其中 k11 knrnr 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特
北京交通大学 几何与代数组
（2）若 x 1 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k1也是 Ax 0 的解．
证明 Ak1 kA1 k0 0.
证毕.
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax 0 的解空间．
解
B
3 0
1 2
2 1
1 2
3 6
2 23
北京交通大学 几何与代数组
方程组
x1 b11 xr1 b1,nr xn
x
r
br1 xr1
br ,nr xn
所以与都是此方程组的解 ,
1
c 1
r
由
r 1
r2
c r
r1
r2
1 c1 ,,r cr .
n
n
北京交通大学 几何与代数组
取
北京交通大学 几何与代数组
x2 1及 0, 则 x1 1及 1, x4 0 1 x3 0 2
即得对应的齐次线性方程组的基础解系
1
1
1 0
,
0
1
2
0 2
,
1
北京交通大学 几何与代数组
于是所求通解为
x1 1 1 1 2
x2
ห้องสมุดไป่ตู้
x3 x4
c1
1 0 0
c2
证明 A A A 0 b b,
所以x 是方程 Ax b的解.
证毕．
北京交通大学 几何与代数组
２．非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax=b的通解为
x k11 knrnr . 其中 k11 knrnr 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特
河海大学《几何与代数》3-3
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
例 设 A 2 1, 求A的逆阵. 1 0
解
设利用B待定 a系数b 法 c d
A12 3
3, 3
同理可得 A13 2, A21 6, A22 6, A23 2, A31 4, A32 5, A33 2,
2 6 4
得
A
3
6
5 ,
2 2 2
故
A1
1 A
A
1 2
2 3 2
6 6 2
4 5
2
1 3 1
2
3 3 1
2 5 2. 1
例2
已
知A
a c
b d
求A1
.其
中ad
bc
0
1 0 0 例3 已 知A 0 2 0 求A1 .
0 0 3
解 因 A 3! 0, 故A1存在.
由伴随矩阵法得 A1 A A ,
1 3!
23 0 0
0 13 0
0 0 1 2
1
0
0 1
0
0 .
2
0
0
1 3
例4
பைடு நூலகம்
设
1 A 2
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵. A的逆矩阵记作 A1. 例 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
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A1E A1
证毕
逆矩阵的运算性质
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且 AB 1 B1 A 1
证明 AB B1A1 A BB1 A1
AEA1 AA1 E,
AB1 B1 A1.
所以
A1 0 1. 1 2
定理1
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 A1 1 A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若 A 可逆，即有A1使AA1 E .
故 A A1 E 1, 所以 A 0. 当 A 0时,
当 A 0时,
AA
a11 a12
a21 a22 a11 A11
一、概念的引入
在数的运算中，当数a 0 时， 有
aa1 a1a 1,
其中 a1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）；
a
在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ，如果存在一个矩阵A1,
使得
AA1 A1 A E ,
则矩阵 A1称为 A 的可逆矩阵或逆阵.
A12 3
3, 3
同理可得 A13 2, A21 6, A22 6, A23 2, A31 4, A32 5, A33 2,
2 6 4
得
A
3
6
5 ,
2 2 2
故
A1
1 A
A
1 2
2 3 2
6 6 2
4 5
2
1 3 1
2
3 3 1
2 5 2. 1
4
且 A 2E 1 1 A 3E 3E A .
4
4
例6 设三阶矩阵A, B满足关系 :
o 1 2
A1BA 6A BA,且A
14
求B.
o
1 7
解 A1BA BA 6A
A1 E BA 6A A1 E B 6E
B
6
A1
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵. A的逆矩阵记作 A1. 例 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
1 1 1 2 1 2 AB BA E, B是A的一个逆矩阵.
a1n a2n
a12 A12
A11 A12
A21
A22 a1n A1n
An1 An2 A
aann11Ana1n2 an2 Aann2n A1n aAnn2nAnn AAnn
A
O
O
A
A
, A
AA
A A
AE
A A
A
A
E,
AA
按逆矩阵的定义得
A1 A . A
证毕
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A 0时, A称为奇异矩阵,当 A 0时, A称为 非奇异矩阵. 由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵.
推论 若AB E或BA E ,则B A1.
证明 A B E 1, 故 A 0,
因而A1存在, 于是
B EB A1A B A1AB
是
A
的逆矩阵,
则 AB 2 1 a b 1 0 1 0 c d 0 1
2a c 2b d 1 0 a b 0 1
2a c 1,
2b
d a
0, 0,
b 1,
又因为 AB
a 0,
b 1,
c
1,
d 2.
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0, 1 01 2 1 2 1 0 0 1
3
2 2 4
3 1 3
,
B
2 5
1 , 3
C
1 2 3
3 0, 1
求矩阵X使满足 AXB C.
123
解
A 2
2
1 2 0,
2 B
1 1 0,
53
343
A1, B1都存在.
且
A1
1 3
2
1
3 3 1
2 5 2, 1
B1 3 5
1, 2
又由 AXB C A1 AXBB1 A1CB1
推广 A1 A2 Am 1 Am1 A21 A1.1
4 若A可逆,则AT亦可逆 ,且 AT 1 A1 T. 证明 AT A1 T A1A T ET E,
AT 1 A1 T .
另外, 当 A 0时,定义
A0 E, Ak A1 k .
k为正整数
当 A 0, , 为整数时,有
证明
由A2 A 2E 0,
A1
得AA E 2E A A E E
2 A A E 1 A 0, 故A可逆.
2
A1 1 A E .
2
又由A2 A 2E 0
A 2E A 3E 4E 0
A
2E
1 4
A
3E
E
A
2E
1
A 2E 1 A 3E 1,
故A 2E可逆.
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
例 设 A 2 1, 求A的逆阵. 1 0
解
设利用B待定 a系数b 法 c d
例2
已
知A
a c
b d
求A1
.其
中ad
bc
0
1 0 0 例3 已 知A 0 2 0 求A1 .
0 0 3
解 因 A 3! 0, 故A1存在.
由伴随矩阵法得 A1 A A ,
1 3!
23 0 0
0 13 0
0 0 1 2
1
0
0 1
0
0 .
2
0
0
1 3
例4
设
1 A 2
E X A1CB1.
于是 X A1CB1
1 3 2
1
3 3 1
2 1 5 2 2 1 3
3 0 1
3 5
1 2
1 0
0
12 2
3 5
1 2
2 10 10
1 4. 4
例5 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
A A A ,
A A .
5 若A可逆,则有 A1 A 1 .
证明
AA1 E A A1 1
因此 A1 A 1 .
三、逆矩阵的求法
例1
求方阵
1 A 2
2 2
3 1
的逆矩阵.
3 4 3
123 解 A 2 2 1 2 0, A1存在.
343
21
A11 4
2, 3
21