2015-2016学年北师大版必修二 垂直关系的判定学案word版
高中数学学案北师大版必修2 垂直关系的判定 教案(1)
教学设计整体设计教学分析垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是平行关系的转化手段．可以说垂直关系是立体几何的核心内容之一，也是高考的热点内容．垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用．在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论垂直的性质定理及其应用时，要注意面面垂直是立体几何最难、最“高级”的定理，往往是一个复杂问题的开端，先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题．三维目标1．探究垂直的判定定理，培养学生的空间想象能力．2．掌握垂直的判定定理的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力．3．探究垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力．4．垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力．5．通过垂直的性质定理的学习，培养学生的转化思想．重点难点教学重点：①垂直关系的判定定理及其应用．②垂直的性质定理．教学难点：①应用判定定理解决问题．②性质定理的应用．课时安排2课时教学过程6．1垂直关系的判定导入新课思路1.(情境导入)日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象．在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直．也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的．思路2.(事例导入)如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？举例说明．如图1，直线AC1与直线BD，EF，GH等无数条直线垂直，但直线AC1与平面ABCD 不垂直．图1推进新课新知探究提出问题①探究直线与平面垂直的定义和画法.②探究直线与平面垂直的判定定理.③用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理.活动：问题①引导学生结合事例观察探究．问题②引导学生结合事例实验探究．问题③引导学生进行语言转换．讨论结果：①直线与平面垂直的定义和画法：教师演示实例并指出书脊(想象成一条直线)、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边(即与桌面接触的一边)垂直，得出书脊和桌面上所有直线都垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们直线和平面垂直的形象．从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫作平面的垂线，平面叫作直线的垂面．过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．平面的垂线和平面一定相交，交点叫作垂足．直线和平面垂直的画法及表示如下：如图2，表示方法为：a⊥α.图2图3②如图3，请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实验：过△ABC的顶点A 翻折纸片，得折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直？容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在的平面α垂直．如图4.图4所以，当折痕AD 垂直于平面内的一条直线时，折痕AD 与平面α不垂直，当折痕AD 垂直于平面内的两条相交直线时，折痕AD 与平面α垂直．③直线和平面垂直的判定定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为： ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αb ⊂αl ⊥a l ⊥b a ∩b ＝P ⇒l ⊥α. 直线和平面垂直的判定定理用图形语言表示为：如图5.图5提出问题①二面角的有关概念、画法及表示方法.②二面角的平面角的概念.③两个平面垂直的定义.④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明.⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？讨论结果：①二面角的有关概念．二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面．二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图6(教师和学生共同动手)．直立式： 平卧式：(1) (2)图6二面角的表示方法：如图7中，棱为AB，面为α，β的二面角，记作二面角αABβ.有时为了方便也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P ABQ.图7如果棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.②二面角的平面角的概念．如图8，在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.图8再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成∠A′O′B′.因为OA∥O′A′，OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同，即∠AOB＝∠A′O′B′.从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关．由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．图中的∠AOB，∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角．③直二面角的定义．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫作直二面角．教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角．两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．直二面角的画法：如图9.图9④两个平面垂直的判定定理．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．两个平面垂直的判定定理符号表述为： ⎭⎪⎬⎪⎫AB ⊥βAB ⊂α⇒α⊥β.⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线，即要证面面垂直转化为证线线垂直．应用示例思路1例1 如图10所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，P 为△ABC 所在平面外一点，P A ⊥平面ABC .问：四面体P ABC 中有几个直角三角形？图10解：因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥BC .所以△P AB ，△P AC 为直角三角形．又P A ⊥BC ，AB ⊥BC ，且P A ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面P AB .又PB 平面P AB ，于是BC ⊥PB ，所以△PBC 也为直角三角形．所以四面体P ABC 中的四个面都是直角三角形．点评：本题主要考查空间想象能力，线面垂直的判定.变式训练如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面． 解：已知：a ∥b ，a ⊥α.求证：b ⊥α.证明：如图11，在平面α内作两条相交直线m ，n ，设m ∩n ＝A .图11例2 如图12，AB为⊙O的直径，⊙O所在平面为α，P A⊥α于A，C为⊙O上一点．求证：平面P AC⊥平面PBC.图12证明：由AB为⊙O的直径，知BC⊥AC.又P A⊥α，BCα，所以P A⊥BC.而P A∩AC＝A，所以BC⊥平面P AC.又因为BC平面PBC，从而，平面P AC⊥平面PBC.点评：证明面面垂直转化为证明线面垂直.变式训练如图13，四边形ABCD是菱形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝2，∠BAD＝60°.图13求证：平面PBD⊥平面P AC.证明：设AC与BD交于点O，连接PO，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵P A⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC.又∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面P AC.思路2例1 如图14，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1A＝a，G为CC1的中点，O为底面ABCD 的中心．图14求证：A 1O ⊥平面GBD .证明： ⎭⎪⎬⎪⎫∵A 1A ⊥BD AC ⊥BD ⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫BD ⊥平面A 1AO A 1O ⊂面A 1AO ⇒BD ⊥A 1O .又∵A 1O 2＝A 1A 2＋AO 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝32a 2，OG 2＝OC 2＋CG 2＝⎝⎛⎭⎫22a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝34a 2， A 1G 2＝A 1C 21＋C 1G 2＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝94a 2，∴A 1O 2＋OG 2＝A 1G 2.∴A 1O ⊥OG .又BD ∩OG ＝O ，∴A 1O ⊥平面GBD .点评：判断线面垂直往往转化为线线垂直，勾股定理也是证明线线垂直的重要方法. 变式训练如图15，已知点P 为平面ABC 外一点，P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，求证：PB ⊥AC .图15证明：过P 作PO ⊥平面ABC 于O ，连接OA ，OB ，OC .∵PO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥BC .又∵P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AO .又∵OA ⊂平面P AO ，∴BC ⊥OA .同理，可证AB ⊥OC .∴O 是△ABC 的垂心．∴OB ⊥AC .可证PO ⊥AC .∴AC ⊥平面PBO .又PB ⊂平面PBO ，∴PB ⊥AC .点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直．用符号语言证明问题显得清晰、简洁.例2 如图16(1)，已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD ＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．(1) (2)图16求证：(1)直线MF∥平面ABCD；(2)平面AFC1⊥平面ACC1A1.证明：如图16(2)，(1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.又∵MF⊄平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD.(2)连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1，可知AA1⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形．故NA∥BD.∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.变式训练如图17，P A⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面P AD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若二面角PDCA ＝45°，求证：MN ⊥平面PDC .图17图18 证明：如图18所示，(1)取PD 的中点Q ，连接AQ ，NQ ，则QN12DC ，AM 12DC ， ∴QN AM . ∴四边形AMNQ 是平行四边形．∴MN ∥AQ .又∵MN ⊄平面P AD ，AQ ⊂平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD .又∵CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD .又∵AQ ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AQ .又∵AQ ∥MN ，∴MN ⊥CD .(3)由(2)知，CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥AD ，CD ⊥PD .∴∠PDA 是二面角PDCA 的平面角．∴∠PDA ＝45°.又∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD .∴AQ ⊥PD .又∵MN ∥AQ ，∴MN ⊥PD .又∵MN ⊥CD ，∴MN ⊥平面PDC .知能训练1．如图19所示，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧面SDC ⊥底面ABCD ，且AB ＝2，SC ＝SD ＝ 2.图19求证：平面SAD ⊥平面SBC .证明：在△SDC 中，∵SC ＝SD ＝2，CD ＝AB ＝2，∴∠DSC ＝90°，即DS ⊥SC .∵底面ABCD 是矩形，∴BC ⊥CD .又∵平面SDC ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥面SDC .∴DS ⊥BC .∴DS ⊥平面SBC .∵DS ⊂平面SAD ，∴平面SAD ⊥平面SBC .2．已知二面角αABβ等于45°，CD ⊂α，D ∈AB ，∠CDB ＝45°.求CD 与平面β所成的角．解：如图20，作CO ⊥β交β于点O ，连接DO ，则∠CDO 为DC 与β所成的角．图20过点O 作OE ⊥AB 于E ，连接CE ，则CE ⊥AB .∴∠CEO 为二面角αABβ的平面角，即∠CEO ＝45°.设CD ＝a ，则CE ＝22a . ∵CO ⊥OE ，OC ＝OE ，∴CO ＝12a .∵CO ⊥DO ，∴sin ∠CDO ＝CO CD ＝12. ∴∠CDO ＝30°，即DC 与β成30°角．点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C ，作另一个半平面β的垂线，垂足为O ，然后通过垂足O 作棱AB 的垂线，垂足为E ，连接CE ，则∠CEO 为二面角αABβ的平面角．这一过程要求学生熟记． 拓展提升如图21，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，N 是PB 中点，过A ，D ，N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点．图21(1)求证：EN ∥平面PCD ；(2)求证：平面PBC ⊥平面ADMN ；(3)求平面P AB 与平面ABCD 所成二面角的正切值．(1)证明：∵AD ∥BC ，BC ⊂面PBC ，AD ⊄面PBC ，∴AD ∥面PBC .又面ADN ∩面PBC ＝MN ，∴AD ∥MN .∴MN ∥BC .∴点M 为PC 的中点．∴MN 12BC . 又E 为AD 的中点，∴四边形DENM 为平行四边形．∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.(2)证明：连接PE，BE，∵四边形ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD，∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB.又∵P A＝AB且N为PB的中点，∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN.∴平面PBC⊥平面ADMN.(3)解：作EF⊥AB，连接PF，∵PE⊥平面ABCD，∴AB⊥PF.∴∠PFE就是平面P AB与平面ABCD所成二面角的平面角．又在Rt△AEB中，BE＝3，AE＝1，AB＝2，∴EF＝32.又∵PE＝3，∴tan∠PFE＝PEEF＝332＝2，即平面P AB与平面ABCD所成的二面角的正切值为2.课堂小结知识总结：利用垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题等．思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题．作业课本习题1—6A组第1,2,4题．设计感想本节教学设计体现了学生的主体地位，充分调动了学生的积极性．在实际应用时，尽量借助于信息技术．(设计者：国建群)。
北师大版高中数学必修二6.1垂直关系的判定.docx
6．1垂直关系的判定时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．给出下列命题：①过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行；②过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案：B解析：过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，而过这条直线可作无数个平面与已知直线平行，所以命题①错误；过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直，又过此点且在该平面内的直线有无数条，所以有无数条直线与已知直线垂直，命题②错误；易知命题③正确．2．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是()A．平面ABD⊥平面BDCB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BED答案：D解析：由已知条件得AC⊥DE，AC⊥BE，于是有AC⊥平面BED，又AC⊂平面ABC，所以有平面ABC⊥平面BED成立．3．如图所示，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EFG中必有()A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF答案：A解析：折叠后，有些线线的位置关系不发生变化，如SG⊥GF，SG⊥GE.所以SG⊥平面GEF.4．如图，点A∈α，点B∈α，点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内的轨迹是()A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．两条平行直线D．半圆，但要去掉两个点答案：B解析：连接BC，由于PC⊥AC，PB⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．5．在四面体P－ABC中，P A＝PB＝PC＝AB＝BC＝CA，D，E，F分别为AB，BC，CA 的中点，下列结论中不成立的是()A．BC∥PDFB．DF⊥面P AEC．BC⊥面P AED．AE⊥面APC答案：D解析：∵D，F分别为AB，AC的中点，∴DF∥BC，故BC∥面PDF，故A项正确，又AB＝AC，PB＝PC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC，∴BC⊥面P AE，又DF ∥BC，∴DF⊥面P AE，故B、C项正确，由于AE与AP不垂直，故AE与面APC不垂直．6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1内运动，并且总保持AP ⊥BD1，则动点P在()A．线段B1C上B．线段BC1上C．BB1中点与CC1中点的连线上D．B1C1中点与BC中点的连线上答案：A解析：易知BD1⊥平面AB1C，故P∈B1C.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．在三棱锥P－ABC中，最多有__________个直角三角形．答案：4解析：不妨设P A⊥AB，P A⊥AC，则△APB，△P AC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得P A⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知P A⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC⊥AB，∴BC⊥面P AB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个．8．已知四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，P A⊥平面ABCD，则平面PBD与平面P AC的位置关系是________．答案：平面PBD⊥平面P AC解析：因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC.又AC∩P A ＝A，所以BD⊥平面P AC.又BD平面PBD，所以平面PBD⊥平面P AC.9．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若aα，bβ，cβ，a⊥b，a⊥c，则α⊥β；③若a⊥α，bβ，a∥b，则α⊥β.其中正确的命题是________(填序号)．答案：③解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，平面ABB1A1为γ，显然①错误；②只有在直线b，c相交的情况下才成立；易知③正确．三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB ＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面SAB.证明：∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，∴底面ABCD为直角梯形，AD＝(2－1)2＋22＝ 5.∵侧面SAB为等边三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，∴SD⊥SA.连接BD，则BD＝22＋12＝5，∴BD2＝SD2＋SB2，∴SD⊥SB.又SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB.11．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．(1)求证：P A∥平面BDE；(2)求证：平面P AC⊥平面BDE.证明：(1)连接OE.因为O是AC的中点，E是PC的中点，所以OE∥P A.又OE平面BDE，P A⃘平面BDE，所以P A∥平面BDE.(2)因为PO⊥底面ABCD，BD平面ABCD，所以PO⊥BD.因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC.又PO∩AC＝O，所以BD⊥平面P AC.因为BD平面BDE，所以平面P AC⊥平面BDE.12.如图所示，已知三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB＝BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E.(1)求证：AP⊥平面BDE；(2)求证：平面BDE⊥平面BDF.证明：(1)∵PC⊥底面ABC，BD⊂平面ABC，∴PC⊥BD.由AB＝BC，D为AC的中点，得BD⊥AC.又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面P AC，又P A⊂平面P AC，∴BD⊥P A.由已知DE⊥P A，DE∩BD＝D，∴AP⊥平面BDE.(2)由BD⊥平面P AC，DE⊂平面P AC，得BD⊥DE.由D、F分别为AC、PC的中点，得DF∥AP.又由已知得，DE⊥AP，∴DE⊥DF BD∩DF＝D，∴DE⊥平面BDF.又DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF.。
北师大版必修2高中数学第1章《立体几何初步》垂直关系的判定导学案
1高中数学 第1章《立体几何初步》垂直关系的判定导学案北师大版必修2你的 疑惑3.（1）半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成 _________，其中的________都叫作半平面.（2）二面角：从一条直线出发的___________所组成的图形叫作二面角，___________叫做二面角的棱，______________叫作二面角的面.（3）二面角的记法：以直线AB 为棱，半平面α、β为面的二面角，记作________________.（如下图（1））（4）二面角的平面角：以二面角的棱上_________为端点，在两个半平面内分别作___________的两条射线，这两条射线所组成的角叫作二面角的平面角. 如下图（2）中的AOB ∠. ______________的二面角叫作直二面角.（5）两个平面相交，如果所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.4. 将一支铅笔垂直于桌面，再用一本书紧贴着铅笔转动，你能观察到书本和桌面的关系吗？再观察下图（1）（2）中的长方体，可以发现：平面α内的直线a 与平面β________，这时，α____β.抽象概括平面和平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条_______，那么这两个平面互相垂直.图形语言： 符号语言：若直线AB ____平面β，AB ______平面α，策略与反思 纠错与归纳【学习目标】 1. 理解直线和平面、平面和平面垂直的判定定理，并能进行简单应用. 2. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力. 3. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，体会数学和生活的紧密联系. 【重点难点】 重点：直线和平面、平面和平面垂直的判定定理及应用. 难点：对直线和平面、平面和平面垂直判定定理的理解. 【使用说明】 1. 认真阅读课本第35—37页的内容，独立完成自主学习内容. 2. 在自主学习的基础上，通过小组讨论，完成合作探究内容. 【自主学习】 1. 如右图，拿一块教学用的直角三角板，放在墙角，使三角板的 直角顶点C 与墙角重合，直角边AC 所在直线与墙角所在直线重合，将三角板绕AC 转动，在转动过程中，直角边CB 与地面紧贴，这就表示，AC 与地面垂直.抽象概括 直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的___________直线都_________，那么称这条直线和这个平面垂直. 2. 观察上图（1）的长方体，c b ,是平面α内的两条_______直线，直线a __b ，a __c ，这时，a __α. 观察上图（2）的长方体，平面α内的两条直线c b ,不相交，虽然直线a 与c b ,都______，但是a 与α_________. 抽象概括 直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的_______________都垂直，那么该直线与此平面垂直. 图形语言： 符号语言：若直线a ____平面α，直线b _____平面α， 直线l ____a ， 直线l ____b ，a ____A b =， 则α⊥l .天才在于积累 聪明在于勤奋。
数学必修二北师大版 1.6 垂直关系直线与平面垂直的判定教案
直线与平面垂直的判定教学设计一、本节主要内容本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面直的判定定理及其应用。
本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。
直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础。
二、目标和目标解析1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.观察和展示现实生活中的实例与图片，以直观感知直线与平面垂直的形象；准备三角形纸片，用于探究直线与平面垂直的判定定理；制作多媒体课件动态演示，以加深对直线与平面垂直定义及判定定理的感知与理解。
三、教学过程设计1.从实际背景中感知直线与平面垂直的形象问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？设计意图：此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”。
问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明。
设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义。
2.提炼直线与平面垂直的定义问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子的位置也会移动,而旗杆与影子所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？设计意图：第（1）与（2）两问旨在让学生发现旗杆所在直线始终与地面上任意一条过点B 的直线垂直，第（3）问进一步让学生发现旗杆所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。
高中数学 第一章 立体几何初步 6.1 垂直关系的判定学案 北师大版必修2
6．1 垂直关系的判定学习目标 1.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理.2.掌握平面与平面垂直的概念、判定定理.3.会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题．知识点一直线与平面垂直的定义思考在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？梳理线面垂直的概念知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．思考1 折痕AD与桌面一定垂直吗？思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？梳理判定定理l⊥a，l⊥b，aα，bα，a∩b＝A⇒l⊥α知识点三二面角思考1 观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？思考2 平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？梳理(1)定义：从一条直线出发的______________所组成的图形．(2)相关概念：①这条直线叫作二面角的________．②两个半平面叫作二面角的________．(3)二面角的记法以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作二面角α－AB－β.(4) 二面角的平面角：若有①O________l；②OA______α，OB________β；③OA________l，OB________l，则二面角α－l－β的平面角是________．知识点四平面与平面垂直思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？梳理(1)平面与平面垂直的概念①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是________________，就说这两个平面互相垂直．②画法：③记法：________.(2)判定定理类型一线面垂直的判定例1 如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：BC⊥平面PAC.引申探究若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.反思与感悟(1)使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．跟踪训练1 如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，作AF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面AEF.类型二面面垂直的判定例2 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA 的中点．求证：平面EBD ⊥平面ABCD .反思与感悟 (1)由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线．(2)证明面面垂直的常用方法：①面面垂直的判定定理；②所成二面角是直二面角． 跟踪训练 2 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB ＝90°，AC ＝12AA 1，D是棱AA 1的中点．证明：平面BDC 1⊥平面BDC .类型三与二面角有关的计算例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．反思与感悟(1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算．(2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等．跟踪训练3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA ＝AC，求二面角P－BC－A的大小．1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( ) ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．A．①③ B．②C．②④ D．①②④2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)，图中互相垂直的平面有( )A．1对B．2对C．3对D．5对3．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC 的关系是( )A．异面B．平行C．垂直D．不确定4．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝73，AB＝10，BC＝8，CA＝6，则二面角P－AC－B的大小为________．5. 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：平面EFC⊥平面BCD.1.直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．答案精析问题导学知识点一思考不变，90°.梳理任何一条l⊥α垂线垂面垂足知识点二思考1 不一定．思考2 当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．梳理两条相交直线知识点三思考1 二面角．思考2 二面角的平面角．梳理(1)两个半平面(2)棱面(4)∈⊥⊥∠AOB知识点四思考都是垂直．梳理(1)①直二面角③α⊥β(2)垂线lβ题型探究例1 证明∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.引申探究证明由例1知BC⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.跟踪训练1 证明由引申探究知AE⊥平面PBC.∵PB平面PBC，∴AE⊥PB，又AF⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.例2 证明连接AC，与BD交于O点，连接OE.∵O为AC的中点，E为SA的中点，∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又∵EO平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.跟踪训练2 证明由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.例3 解取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a，则OB1＝22a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝BB1OB1＝a22a＝2，所以二面角B－A1C1－B1的正切值为 2.跟踪训练3 解由已知PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.而PC平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由PA＝AC知，△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.当堂训练1．A 2.D 3.C4．60°解析由题意易得点P在平面ABC上的射影O是AB的中点．取AC的中点Q，连接OQ，则OQ∥BC.由题意可得△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠AQO＝90°，即OQ⊥AC.11 又∵PA ＝PC ，∴PQ ⊥AC ，∴∠PQO 即是二面角P －AC －B 的平面角．∵PA ＝73，AQ ＝12AC ＝3，∴PQ ＝8. 又∵OQ ＝12BC ＝4，∴cos∠PQO ＝OQ PQ ＝12，∴∠PQO ＝60°.5．证明 ∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD .∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD .又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC .∵BD 平面BCD ，∴平面EFC ⊥平面BCD .。
1.6.1垂直关系的判定 教案 (高中数学必修二北师大版)
§6垂直关系6．1垂直关系的判定(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解线面垂直的定义．(2)理解线面垂直的判定定理．(3)能运用判定定理证明线面垂直．2．过程与方法通过对垂直关系判定的理解，培养学生分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过垂直关系的判断，让学生体会从直观感知到数学定理的认识事物规律，培养探索精神和创新意识．●重点难点重点：垂直关系的判定定理．难点：垂直关系的判定定理的应用．直线与平面垂直的判定定理避免了用定义直接判定直线与平面垂直的麻烦，根据这一定理，只要在平面内选择两条相交直线，考虑它们是否与平面外的直线垂直即可，将原来判定直线和平面垂直的问题，通过判定直线和直线垂直来解决，在学习两个平面垂直时可引导学生类比平面与平面平行的判定定理的过程，即把面面关系化归为线面关系，从而突破重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议1．竖立课本，把书的底边放在桌面上，探究：(1)书脊和各书页与桌面的交线的位置如何？(2)书脊所在直线与桌面上所有直线的位置关系如何？(3)归纳出直线与平面垂直的定义，并试着用图形和符号表示出来．2．如图，请同学们准备一块三角形的纸片，做如下实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使AD与桌面所在平面α垂直？(3)探索直线与平面垂直的判定定理，并用三种语言描述出来．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何通过线线垂直判断线面垂直⇒类比线面、面面平行关系得出垂直关系，归纳出垂直关系的判定定理⇒通过例1及互动探究，使学生掌握线面垂直的证明方法⇒通过例2及变式训练，使学生掌握面面垂直的证明方法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握垂直关系的综合问题⇒归纳整理进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如：旗杆与地面的位置关系，把旗杆看成AB ，地面为α，BC 、BD 为不同时刻旗杆在地面上的影子(如图)．(1)旗杆所在直线AB 与影子BC 、BD 所在直线的位置关系是什么？(2)旗杆AB 与地面内任意一条不过旗杆底部B 的直线B 1C 1的位置关系是什么？ 【提示】 (1)相交垂直．(2)旗杆AB 与地面内不过B 的直线B 1C 1也垂直．1．定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足．2．画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图1－6－1.图1－6－13．判定定理⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥al ⊥ba αbαa ∩b ＝P ⇒l ⊥α【问题导思】打开的课本两书页有何特点？任何两页书页构成什么图形？【提示】 打开的书页可看作是一条直线(书棱)出发的两个半平面，构成有一定夹角的图形．1．半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．2．二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．3．二面角的记法如图1－6－2，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β.图1－6－24．二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．。
高中数学北师大版必修2 1.6 教学设计 《垂直关系的判定》(北师大版)
《垂直关系的判定》
垂直关系是立体几何的重要组成部分，是系统学习平行关系后的又一重要内容，也是后续研究线面角和空间距离的基础是培养学生抽象概括和空间想象能力的良好素材。
同时，也是高考中常考的热点之一。
【知识与能力目标】
1. 掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义；
2. 掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直、平面与平面垂直；
3. 了解二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小.
【过程与方法目标】
善于运用“转化”的思想解决垂直问题。
【情感态度价值观目标】
渗透“事物之间是相互联系的”辩证唯物主义观点。
【教学重点】
掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义。
【教学难点】
掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直、平面与平面垂直。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、探究新知
教材整理1 直线与平面垂直的概念及判定定理
阅读教材P 36～P 37“练习1”以上部分，完成下列问题。
1.定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。
2.画法：通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，如图161。
图161
3.直线与平面垂直的判定定理：
平面。
北师大版高中数学导学案必修2《垂直关系的判定》
课题北师大版数学必修2《垂直关系的判定》作者及工作单位指导思想与理论依据：本节课利用建构主义思想理论，引导学生学习直线与平面的定义，直线与平面垂直的判定定理。
教材分析：本节课是在学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用．本节学习内容蕴含转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“线线垂直与线面垂直互相转化”．直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础．学情分析：学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础．学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理．教学目标：1、借助对图片、实例的观察，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程，并能正确理解定义。
2、通过直观感知，操作确认，归纳出线面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
3、让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
并发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”数学思想.教学重点：了解感受直线与平面垂直的定义，探究判定直线与平面垂直的方法。
教学难点：了解感受直线与平面垂直的定义，探究判定直线与平面垂直的方法。
教学流程示意从直线与平面垂直的实际背景引入课题构建直线与平面垂直的概念探究直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直判定定理的应用课堂小结与作业教学环节教师活动设计意图教学过程1、定义形成部分教师多媒体展示实例图片，直观感知直线和平面垂直的位置关系旗杆与其影子的位置关系，教室中线面垂直的实物例子。
高中数学《垂直关系的判定》导学案 北师大版必修2
第10课时垂直关系的判定1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单问题.3.了解二面角及其平面角的概念.天安门广场上,伫立的旗杆、纪念碑给我们一种直线与平面垂直的形象.你能否用数学语言表述一下什么是直线与平面垂直?如果一条直线与平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线与这个平面一定垂直吗?问题1:如果直线l与平面α内的一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作,直线l叫作平面α的,平面α叫作直线l的,唯一的公共点叫作.问题2:直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理是怎样的?试用符号语言表示出来.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与平面垂直.符号语言表示:若l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,,则l⊥α.平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.符号语言表示:若l⊥α,,则α⊥β.问题3:直线与平面所成的角、平面与平面所成的角是如何定义的?范围分别是多少?平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,称为该直线与平面所成的角,范围是.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角,范围是.问题4:如何应用线面垂直、面面垂直的判定定理?面面垂直判定定理可简述为“,则面面垂直”.使用定理时两个条件缺一不可.该定理告诉我们证明两平面垂直的问题可以转化为证明直线与平面垂直的问题,进而转化为的问题,体现了“直线与平面垂直”与“平面与平面垂直”相互转化的数学思想.直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想,即要证线面垂直,只需证这条直线与平面内的两条垂直即可,至于这两条直线与已知直线是否有公共点是无关紧要的.定理使用时五个条件缺一不可.即l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a⊂α,b⊂α⇒.1.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是().A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以下结论不正确的是().A.AB⊥平面BCC1B1B.AC⊥平面CDD1C1C.AC⊥平面BDD1B1D.A1C⊥平面AB1D13.过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有个.4.已知在空间四边形ABCD中,AB=AC,DB=DC,点E为BC的中点,求证:BC⊥平面AED.直线与平面垂直的判定与证明如图所示,Rt△ABC所在的平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.面面垂直的判定与证明在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.求证:平面EFG⊥平面PDC.平面图形折叠后的垂直问题如图①,已知直角三角形ABC中,∠B=90°,E,F分别为AB,AC上的点,且EF∥BC,AE=2BE.现将△AEF沿EF边折叠到点A,并且点A在平面EBCF内的射影恰好是点B,如图②所示.(1)求证:平面AEF⊥平面ABE;(2)的值为何值时,EC⊥平面ABF.在四面体ABCD中,AC=BD,E,F分别为AD,BC的中点,且EF=AC,∠BDC=90°,求证:BD⊥平面ACD.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,BC的中点.求证:平面B1MN⊥平面BB1D1D.如图,矩形ABCD满足AB=3,AD=2,E,F分别是AB,DC上的点,且EF∥AD,AE=1,将四边形AEFD沿EF折起,形成了三棱柱ABE-DCF,若折起后的CD=.求证:(1)CF⊥平面AEFD;(2)平面AEC⊥平面DFB.1.二面角是指().A.两个相交平面构成的图形B.从一个平面的一条直线出发的一个平面与这个平面构成的图形C.从一条直线出发的两个半平面构成的图形D.过棱上一点,在两个面内分别作棱的垂线,这两条射线所成的角2.如图,正方形ABCD交正方形ABEF于AB,M、N在对角线AC、FB上,且MN∥平面BCE,则下列结论一定成立的是().A.MN∥CEB.AM=FNC.AM=CMD.BN=FN3.已知PA⊥矩形ABCD所在平面(如图),则图中互相垂直的平面有对.4.如图,在△ABC中,AD⊥BC,将△ABD折起构成了三棱锥B-ADC.求证:AD⊥平面BDC.(2013年·辽宁卷)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.考题变式(我来改编):第10课时垂直关系的判定知识体系梳理问题1:任意l⊥α垂线垂面垂足问题2:a∩b=A l⊂β问题3:[0°,90°][0°,180°]问题4:线面垂直线线垂直相交直线l⊥α基础学习交流1.C可以根据空间角的关系定理来想象这两个二面角的大小关系.2.B A正确,因为AB⊥BC且AB⊥BB1.所以AB⊥平面BCC1B1.C正确,因为BB1⊥平面ABCD,所以BB1⊥AC,又AC⊥BD,所以AC⊥平面BDD1B1.D正确,因为B1D1⊥平面A1ACC1,所以B1D1⊥A1C.同理,AB1⊥A1C.所以A1C⊥平面AB1D1.3.无数可以想象直立在课桌上的书本,书本的每一页纸都与桌面垂直.4.解:∵AB=AC,DB=DC,∴AE⊥BC,DE⊥BC,AE∩DE=E,∴BC⊥平面AED.重点难点探究探究一:【解析】(1)∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=DC=BD,∴△ADS≌△BDS,∴SD⊥BD.又∵AC∩BD=D,∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB=BC,D为AC的中点,∴BD⊥AC,由(1)可知,SD⊥平面ABC ,∴SD⊥BD.∵SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.【小结】证明线线垂直时,往往要利用平面几何中的有关方法,这是值得我们注意的地方.同时,线面垂直的定义给出了线面垂直的必备条件,但作为判定并不实用.不过直线和平面垂直时,可以得到直线和平面内的任意一条直线都垂直,给判定两直线垂直带来了方便.探究二:【解析】∵MA⊥平面ABCD,PD∥MA.∴PD⊥平面ABCD.又∵BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形,∴BC⊥DC,又PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC.在△PBC中,G、F分别为PB、PC的中点,∴GF∥BC,∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG,∴平面EFG⊥平面PDC.【小结】要证平面EFG⊥平面PDC,关键是利用线面垂直的判定定理得BC⊥平面PDC,再利用平行线的传递性可得所证的结论.探究三:【解析】 (1)由图①知:∠B=90°,EF∥BC ,所以EF⊥AB,EF⊥AE,又因为EF⊥BE,且AE∩BE=E,所以EF⊥平面ABE,又因为EF⊂平面AEF,所以平面AEF⊥平面ABE.(2)因为AB⊥平面BEFC,EC⊂平面BEFC,所以AB⊥EC,若EC⊥平面ABF,则只需EC⊥BF即可,当∠ECB=∠EBF时,EC⊥BF,因为从图①可知==,所以∠ECB=∠EBF时,tan∠ECB=tan∠EBF,即==,得=,所以=时,EC⊥平面ABF.【小结】观察折叠后的几何体与折叠前的平面图形间的联系,注意到不变的元素有哪些,注意已知条件在两种图形间的转化关系.思维拓展应用应用一:取CD的中点G,连接EG,FG,∵E,F分别为AD,BC的中点,∴EG AC,FG BD.又AC=BD,∴FG=AC,∴在△EFG中,EG2+FG2=AC2=EF2,∴EG⊥FG,∴BD⊥AC.又∠BDC=90°,即BD⊥CD,AC∩CD=C,∴BD⊥平面ACD.应用二:连接AC且AC∩BD=O,则AC⊥BD,又M,N分别是AB,BC的中点,∴MN∥AC,∴MN⊥BD.∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴BB1⊥平面ABCD.∵MN⊂平面ABCD,∴BB1⊥MN.∵BD∩BB1=B,∴MN⊥平面BB1D1D.∵MN⊂平面B1MN,∴平面B1MN⊥平面BB1D1D.应用三:(1)矩形ABCD中,因为EF∥AD,所以EF⊥CD,又因为DF=AE=1,FC=BE=2,所以在三棱柱ABE-DCF中,EF⊥FC,DC2=DF2+CF2,所以DF⊥FC,且EF∩DF=F,所以CF⊥平面AEFD.(2)由(1)知四边形BCFE是正方形,所以EC⊥FB,又因为DF⊥FC,DF⊥EF,EF∩FC=F,所以DF⊥平面BCFE,EC⊂平面BCFE,所以DF⊥EC,且DF∩FB=F,所以EC⊥平面DFB,且EC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面DFB.基础智能检测1.C注意二面角与二面角的平面角是不同的两个概念,前者指的是图形,后者指的是角度.2.B过M作MG∥BC交AB于G,连接NG,又MN∥平面BCE,所以平面MNG∥平面BCE,所以NG∥BE∥AF,所以==,正方形ABCD和正方形ABEF边长相等,所以AC=FB,所以AM=FN.3.5面PAD⊥面ABCD,面PAB⊥面ABCD,面PAB⊥面PBC,面PDC⊥面PAD,面PAD⊥面PAB.4.解:因为AD⊥BC,所以在三棱锥B-ADC中,AD⊥BD,AD⊥DC, BD∩DC=D,所以AD⊥平面BDC.全新视角拓展(1)由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.(2)连OG并延长交AC于M,连接QM,QO,由G为△AOC的重心,得M为AC中点.由Q为PA中点,得QM∥PC,又O为AB中点,得OM∥BC.因为QM∩MO=M,QM⊂平面QMO,MO⊂平面QMO,BC∩PC=C,BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC,所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO,所以QG∥平面PBC.思维导图构建锐角α⊥β90°。
高中数学北师大版必修2第一章《6.1垂直关系的判定》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学北师大版必修2第一章《6.1垂直关系的判定》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案【省级名师教案】1教学目标1、知识与技能:(1)使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理;(2)使学生掌握判定直线和平面垂直的方法;(3)培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法:(1)通过教学活动,使学生了解,感受直线和平面垂直的定义的形成过程;(2)探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情态与价值:培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
2学情分析(1)学生的起点能力分析学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象(学生的客观现实)和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构(学生的数学现实),这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。
学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义,感悟直线与平面垂直的意义;以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理。
(2)学习行为分析本节课安排在立体几何的初始阶段,是学生空间观念形成的关键时期,课堂上学生通过感知、观察、提炼直线与平面垂直的定义,进而通过辨析讨论,深化对定义的理解。
进一步,在一个具体的数学问题情境中猜想直线与平面垂直的判定定理,并在教师的指导下,通过动手操作、观察分析、自主探索等活动,切身感受直线与平面垂直判定定理的形成过程,体会蕴涵在其中的思想方法。
继而,通过课本例1的学习概括直线与平面垂直的几种常用判定方法。
再通过练习与课后小结,使学生进一步加深对直线与平面垂直的判定定理的理解。
3重点难点教学重点:对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解及其简单应用。
教学难点:探究、归纳直线与平面垂直的判定定理,体会定义和定理中所包含的转化思想.。
高中数学新北师大版精品学案《垂直关系的判定》4
垂直关系的判定【学习目标】通过直观感知､操作确认,归纳出以下判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直｡ 一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直｡通过直观感知､操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直｡ 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题｡【学习重难点】直线与直线､直线与平面､平面与平面垂直的性质和判定不光是确立垂直关系的重要依据,也是以后计算角和距离重要环节｡因此,垂直关系及其相互转化是整个立体几何部分的重点和关键｡【学习过程】一､高考分析及预策近年来,立体几何高考命题形式比较稳定,题目难易适中,常常立足于棱柱､棱锥和正方体,复习是要以多面体为依托,始终把直线与直线､直线与平面､平面与平面垂直的性质和判定作为考查重点｡在难度上也始终以中等偏难为主,在新课标教材中将立体几何要求进行了降低,重点放在对图形及几何体的认识上,实现平面到空间的转化,是知识深化和拓展的重点,因而在这部分知识点上命题,将是重中之重｡ 二､ 题组设计再现型题组1．给定空间中的直线及平面α,条件“直线与平面α内无数条直线都垂直”是“直线与平面α垂直”的 条件A 充要B 充分非必要C 必要非充分D 既非充分又非必要2．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,直线是异面直线AB 1 和A 1D 的公垂线,则直线与直线BD 1的关系为⊥BD 1 ∥BD 1 与BD 1 相交 D 不确定3．如图,在四面体ABCD 中,ABC AD 面⊥,3==AD AB ,45==BC AC ，, 1四面体ABCD 的各面中有几个直角三角形为什么 2四面体ABCD 的各面中有几组平面互相垂直为什么 3你能找出A 在面BCD 上的射影吗为什么巩固型题组4．如图1所示,ABCD 为正方形,SA ⊥平面ABCD ,过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，｡求证:AE SB ⊥,AG SD ⊥｡5如图2,在三棱锥A BCD -中,BC AC =,AD BD =,作BE CD ⊥,E 为垂足,作AH BE ⊥于H ｡求证:AH BCD ⊥平面｡6如图3,AB 是圆O 的直径,C 是圆周上一点,PA ⊥平面ABC ｡若AE PC ⊥ ,E 为垂足,F 是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC ｡提高型题组7如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90,AA1=2,D是A1B1中点｡1求证C1D⊥平面A1B ;2当点F在BB1上什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF并证明你的结论｡反馈型题组8如图,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H｡则以下命题中,错误．．的命题是是△A1BD的垂心垂直平面CB1D1的延长线经过点C1 1所成角为45°｡9α､β是两个不同的平面,m､n是平面α及β之外的两条不同直线｡给出四个论断:①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一．个．命题: ｡10 如图,△AB C 为正三角形,EC ⊥平面ABC ,BD ∥CE ,CE =CA =2 BD ,M 是EA 的中点,求证:1DE=DA ;2平面BDM ⊥平面ECA ;3平面DEA ⊥平面ECA11 求证:如果两个相交平面都与另一个平面垂直,则这两个平面的交线垂直于另一个平面再现型题组1 提示或答案C基础知识聚焦线面垂直定义:如果一条直线和一个平面α相交,并且和平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线和平面α互相垂直其中直线叫做平面的垂线,平面α叫做直线的垂面,直线与平面的交点叫做垂足｡直线与平面α垂直记作:⊥α｡2 提示或答案B基础知识聚焦直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面｡直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行｡3 提示或答案（1）四个;a)三组;3BD的中点E基础知识聚焦两个平面垂直的定义:相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面｡两平面垂直的判定定理:线面垂直⇒面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直｡两平面垂直的性质定理:面面垂直⇒线面垂直若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面｡巩固型题组⒋证明∵SA⊥平面ABCD, ∴SA BC⊥｡∵AB BC⊥｡⊥,∴BC⊥平面SAB｡又∵AE⊂平面SAB,∴BC AE∵SC⊥平面AEFG,∴SC AE⊥｡∴AE⊥平面SBC｡∴AE SB⊥｡⊥｡同理可证AG SD点评本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用,同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征,从而顺利实现证明所需要的转化｡判定空间两直线垂直的方法有:1由定义:若两条直线所成的角是直角,则它们互相垂直｡2平面几何中证明线线垂直的方法;3三垂线定理及其逆定理｡4线面垂直的性质:如果一条直线和一个平面互相垂直,则这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直｡5向量方法｡5 证明取AB的中点F,连结CF,DF｡∵AC BC⊥｡=,∴CF AB∵AD BD=,∴DF AB⊥｡又CF DF F=,∴AB⊥平面CDF｡∵CD⊂平面CDF,∴CD AB⊥｡又CD BE⊥,BE AB B=,∴CD⊥平面ABE,CD AH⊥｡∵AH CD⊥,AH BE⊥,CD BE E=,∴ AH⊥平面BCD｡点评本题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直;而证明线线垂直时,又转化为证明线面垂直｡如此反复,直到证得结论｡判定直线与平面垂直的方法有:1由定义:如果一条直线和一个平面相交,且和这个平面内的任意一条直线都垂直,则这条直线和这个平面互相垂直｡2线面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面｡3面面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面｡4向量方法｡6证明∵AB是圆O的直径,∴AC BC⊥｡∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA BC⊥｡∴BC⊥平面APC｡∵BC⊂平面PBC, ∴平面APC⊥平面PBC｡∵AE PC⊥,平面APC∩平面PBC=PC,∴AE⊥平面PBC｡∵AE⊂平面AEF,∴平面AEF⊥平面PBC｡点评证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线,即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系｡判定平面与平面垂直的方法有:1由定义:相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面｡2面面垂直的判定定理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直｡3向量方法｡提高型题组7解法1证明:如图,∵ ABC—A1B1C1是直三棱柱,∴ A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°｡又 D 是A1B1的中点,∴ C1D ⊥A1B1｡∵ AA1⊥平面A1B1C1,C1D ⊂平面A1B1C1,∴ AA1⊥C1D ,∴ C1D ⊥平面AA1B1B2解:作DE ⊥AB1交AB1于E ,延长DE 交BB1于F ,连结C1F ,则AB1⊥平面C1DF ,点F 即为所求｡事实上,∵ C1D ⊥平面AA1BB ,AB1⊂平面AA1B1B ,∴ C1D ⊥AB1｡又AB1⊥DF ,DF C1D =D ,∴ AB 1 ⊥平面C 1DF ｡点评 本题1的证明中,证得C 1D ⊥A 1B 1 后,由ABC —A 1B 1C 1 是直三棱柱知平面C 1A 1B 1 ⊥平面AA 1B 1B ,立得C 1D ⊥平面AA 1B 1B 2是开放性探索问题,注意采用逆向思维的方法分析问题｡课堂小结1证明空间线面垂直需注意以下几点:①由已知性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证题思路｡②立体几何论证题的解答中,利用题设条件的性质适当添加辅助线或面是解题的常用方法之一｡③明确何时应用判定定理,何时应用性质定理,用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论｡ 2 要有升降维”思想,熟练掌握各类垂直的相互转化:线线垂直线面垂直 面面垂直每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直最终达到目的｡例如:有两个平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直｡运用降维的方法把立体空间问题转化为平面或直线问题进行研究和解题,可以化难为易,化新为旧,化未知为已知,从而使问题得到解决｡运用升维的方法把平面或直线中的概念､定义或方法向空间推广,可以立易解难,温旧知新,从已知探索未知,是培养创新精神和能力,是“学会学习”的重要方法｡平面图形的翻折问题的分析与解决,就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程｡ 反馈型题组⊥α,n ⊥β,α⊥β⇒m ⊥n 或m ⊥n ,m ⊥α,n ⊥β⇒α⊥β｡点评本题主要考查线线､线面､面面之间关系的判定与性质｡但题型较新颖,主要表现在:题目中以立体几何知识为背景,给出了若干材料,要求学生能将其组装成具有一定逻辑关系的整体｡考查知识立足课本,对空间想象能力､分析问题的能力､操作能力和思维的灵活性等方面要求较高,体现了加强能力考查的方向｡10 1如图,取EC 中点F ,连结DF ｡∵ EC ⊥平面ABC ,BD ∥CE ,得DB ⊥平面ABC ｡ ∴ DB ⊥AB ,EC ⊥BC ∵ BD ∥CE ,BD =21CE =21FC ,则四边形FCBD 是矩形,DF ⊥EC 又BA =BC =DF ,∴ Rt △DEF ≌Rt △ABD ,所以DE =DA 2取AC 中点N ,连结MN ､N b , ∵ M 是EA 的中点,∴ MN21EC由BD 21EC ,且BD ⊥平面ABC ,可得四边形MN b D 是矩形,于是DM ⊥MN ｡∵ DE =DA ,M 是EA 的中点,∴ DM ⊥EA ｡又EA MN =M , ∴ DM ⊥平面ECA ,而DM ⊂平面BDM ,则平面ECA ⊥平面BDM ｡ 3∵ DM ⊥平面ECA ,DM ⊂平面DEA ,∴ 平面DEA ⊥平面ECA 11 已知:平面α､β､γ,γα⊥,γβ⊥且a =⋂βα｡求证:γ⊥a ｡方法一 设b =⋂γα,c =⋂γβ,在γ内作b MP ⊥,c MQ ⊥｡ 由平面与平面垂直的性质可得:α⊥MP ,因为 α⊂a ,所以 a MP ⊥｡ 同理 a MQ ⊥,故 γ⊥a ｡方法二 设b =⋂γα,c =⋂γβ,在α内作直线k b ⊥,在β内作直线c l ⊥ 由平面与平面垂直的性质得:γ⊥k ,γ⊥l ,故 k l //｡又因为 β⊂l ,β⊄k ,得β//k ,因为 a =⋂βα,α⊂k ,故 a k //,所以 γ⊥a ｡。
北师大版高中数学必修二垂直关系的性质学案
§1 垂直关系的性质（第三课时）班级组号姓名一、学习目标：1.掌握直线与平面及平面与平面垂直的性质定理，并会应用。
2.通过定理的学习，培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力，几何直观感知能力二．重点知识（课前自学完成）1.阅读课本P38-40完成下列问题。
2．何谓直线与平面垂直的性质定理：文字描述：图形呈现：baα符号表示：3.何谓平面与平面垂直的性质定理：图形呈现：βNMαBA符号表示：三、知识应用例1. 如图所示，ΔPAC为等腰三角形，AC为底边，平面PAC⊥平面ABC ，PD为ΔPAC 的顶角平分线，试判断PD与平面ABC是否垂直？并说明理由。
（A级）ABCDP例2.如图所示，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，E，M分别为BB1，A1C的中点，求证：（1）EM⊥平面A A1C1C（2）平面A1EC⊥平面AA1C1C；（B级）EMA1B1C1ABC四自测达标1.对于直线m, n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（A级）（）2.下列命题错误的是(B级) （）A．若α⊥β，那么α内的所有直线都垂直于βB. 若α⊥β，那么α内一定存在直线平行于βC. 若α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βD. 若α⊥β，那么α内有无数条直线都垂直于β3.若直线a//直线b，且a⊥平面α，则直线b与平面α的关系是（填“一定”或“不一定”）垂直（A级）4.已知三棱锥P-ABC，PA=PB，AC=BC，D为AB的中点，（1）求证：平面PAB⊥平面PCD（2）求证：若E为∆PCD的垂心，则CE⊥平面PAB（B级）EDCAP5. 有公共底边的两个等腰∆ABC和等腰∆BCD，已知AB=AC=13，BD=CD=6，BC=10，试求AD为何值时，平面BCD⊥平面ABC 。
（B级）DCB。
数学北师大版高中必修2垂直关系的判定(二)
课题：垂直关系的判定（二） 平面与平面垂直的判定学习目标1. 理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小；2. 理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；3. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化.学习过程 一、课前准备3638，找出疑惑之处）复习1：⑴若直线垂直于平面，则这条直线________平面内的任何直线；⑵直线与平面垂直的判定定理为_________________________________________ _____________________ 复习2：⑴什么是直线与平面所成的角?⑵直线与平面所成的角的范围为_______________. 二、新课导学 ※ 探索新知探究1：二面角的有关概念图11-1问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么?新知1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图11-2中的二面角可记作：二面角AB αβ--或l αβ--或P AB Q --.图11-2问题：二面角的大小怎么确定呢？新知2：如图11-3，在二面角l αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线,OA OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.图11-3反思：⑴两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系？⑵你觉的二面角的大小范围是多少？⑶二面角平面角的大小和O 点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？ 探究2：平面与平面垂直的判定问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？l新知3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图11-4，α垂直β，记作αβ⊥.图11-4问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？新知4：两个平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 反思：定理的实质是什么? ※ 典型例题例1 如图11-5，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC .图11-5 例2 如图11-6，在正方体中，求面A D CB ''与面 ABCD 所成二面角的大小（取锐角）. 图11-6小结：求二面角的关键是作出二面角的平面角. ※ 动手试试练. 如图11-7，在空间四边形SABC 中，ASC ∠ =90°，60ASB BSC ∠==°，SA SB SC ==， ⑴求证：平面ASC ⊥平面ABC .⑵求二面角S AB C --的平面角的正弦值.图11-7三、总结提升※ 学习小结 1. 二面角的有关概念，二面角的求法； 2. 两个平面垂直的判定定理及应用.B 'C 'A 'DC BA D ' S CBA※ 知识拓展二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面α内一点A ，作AB β⊥于点B ，再作BO l ⊥于O ，连接OA ，则AOB ∠即为所求平面角.(为什么?)学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 以下四个命题，正确的是（ ）. A.两个平面所成的二面角只有一个B.两个相交平面组成的图形叫做二面角C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关 2. 对于直线,m n ,平面,αβ,能得出αβ⊥的一个条件是（ ）. A.,//,//m n m n αβ⊥ B.,,m n m n αβα⊥=⊂ C.//,,m n n m βα⊥⊂ D.//,,m n m n αβ⊥⊥3. 在正方体1111ABCD A B C D -中，过,,A C D 的平面与过1,,D B B 的平面的位置关系是（ ）.A.相交不垂直B.相交成60°角C.互相垂直D.互相平行4. 二面角的大小范围是________________.5. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为_______. 课后作业1. 如图11-8，AC ⊥面BCD ，BD CD ⊥，设ABC ∠= 1θ，2CBD θ∠=，3ABD θ∠=，求证： 312cos cos cos θθθ=11-82. 如图11-8，在正方体中，,E F 是棱A B ''与D C ''的中点，求面EFCB 与面ABCD 所成二面角的正切值.（取锐角）图11-8。
数学北师大版高中必修2第4节垂直关系
第4节垂直关系【学习目标】1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．2．理解直线与平面所成角的定义、二面角及其平面角的定义，并能以几何体为载体，按找、作、证、求的逻辑顺序求角.【第1课时】一．预习案1.直线与平面垂直(1)定义：如果直线l 与平面α内的 直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 ．2.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫作二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角【基础自测】1. 若直线a 与平面α内无数条直线垂直，则直线a 与平面α的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．相交D ．不确定2．[2012·惠州调研]设α，β为不重合的平面，m ，n 为不重合的直线，则下列命题正确的是( )A. 若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥αB. 若m α，n β，m ⊥n ，则n ⊥αC. 若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥αD. 若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥β3．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，若AB ＝12，则A ′B ′等于( )A ．4B ．6C ．8D ．9二．探究、合作、展示1、已知矩形ABCD ，过A 作SA ⊥平面AC ，再过A 作AE ⊥SB 交SB 于E ，过E 作EF ⊥SC 交SC 于F .(1)求证：AF ⊥SC ；(2)若平面AEF 交SD 于G ，求证：AG ⊥SD .证明直线和平面垂直的常用方法：(1)利用判定定理．(2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)利用面面垂直的性质.当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直．[互动训练1] 如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2 2.(1)证明：PA∥平面BDE；(2)证明：AC⊥平面PDB；(3)求直线BC与平面PBD所成角的正切值．2、如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．1.证明平面与平面垂直的方法主要有：(1)利用定义证明．只需判定两平面所成的二面角为直二面角即可．(2)利用判定定理．在审题时，要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论．2．关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆．[互动训练2] 如图所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.三．当堂检测案1．下列命题中正确的是( )A．过平面外一点作此平面的垂面是唯一的B．过直线外一点作此直线的垂线是唯一的C．过平面的一条斜线作此平面的垂面是唯一的D．过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的2. 如图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是( )A. 平面ABC⊥平面ABDB. 平面ABD⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED. 平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE3. [2011·浙江卷]下列命题中错误的是( )A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，，α∩β＝l，那么l⊥平面γD. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β4．已知平面α，β和直线m，n，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m∥β；(2)当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)5、[2011·广东]如图，在锥体P－ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD＝2，PB＝2，E，F分别是BC，PC的中点．(1)证明：AD⊥平面DEF；(2)求二面角P－AD－B的余弦值．【第2课时】一．预习案1.平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内的直线与另一个平面垂直．2.直线和平面所成的角平面的一条斜线和所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角．当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为【基础自测】1. 如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是( )A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面2、矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则实数a的取值范围是__________．二．探究、合作、展示1、如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD；(3)求二面角A－PD－C的正弦值．1.求角的大致步骤：一作图，二证明，三求解.2．线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足.3．二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有：①定义法；②三垂线定理及其逆定理法；③垂面法．其中以三垂线定理及其逆定理法为最基本作法．[互动训练3] [2011·上海]已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点．(1)设AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角的大小为α，二面角A －B 1D 1－A 1的大小为β，求证：tan β＝2tan α；(2)若点C 到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高．三．当堂检测案1．已知正四面体A －BCD ，设异面直线AB 与CD 所成的角为α，侧棱AB 与底面BCD 所成的角为β，侧面ABC 与底面BCD 所成的角为γ，则( )A ．α>β>γB ．α>γ>βC ．β>α>γD ．γ>β>α2. m 、n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．下列命题中，①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ.正确的命题是( )A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④3. [2012·海淀模拟]如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成的集合是 ( )A. {2}B. {255}C. {t |2≤t ≤22}D. {t |255≤t ≤2} 4、如图，设平面α∩β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥α，垂足分别为B ，D ，若增加一个条件，就能推出BD ⊥EF .CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.那么上述几个条件中能成为增加条件的是______．5、[2011·全国]已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于__________．6、[2011·全国]如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值．7、如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABCABCD，O是BC的中点，AO交BD于点E.(1)试探求直线PA与BD的位置关系；(2)点M为直线PA上的一点，当点M在何位置时有PA⊥平面BDM?(3)判定平面PAD与平面PAB的位置关系．。
高中数学(垂直关系的性质)导学案 北师大版必修2 学案
第11课时垂直关系的性质1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理证明一些空间位置关系的简单问题.装修工人在安装门窗时,经常使用铅垂线对比门窗,测量门窗是否安装得竖直,这是应用了什么原理?装修工人判断的依据是什么?问题1:(1)上述情境中,装修工人应用了直线与平面垂直的性质定理,因为铅垂线受重力影响始终是与地面的,当装修工人把铅垂线与门的边线靠近时,观察上下铅垂线与门线间的间隔是否一致,当线上间隔不同时,说明门线与铅垂线,也就说明门安装得.(2)直线与平面垂直的性质定理及表示:垂直于同一个平面的两条直线平行.符号表示:.问题2:叙述平面与平面垂直的性质定理,并根据图形用符号语言写出这个定理.性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.符号表示:.问题3:空间中垂直关系是如何转化的?由线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理可知,线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化关系可用下图表示:由上图可以看出,几种垂直关系的转化就是线面和面面垂直的判定定理和性质定理的反复交替运用的结果.在线线垂直和线面垂直的转化中,平面在其中起到了至关重要的作用,应考虑线和线所在平面的特征,以找出需要证明的转化.如证线线垂直,可先证线面垂直,进而由性质定理得到线线垂直.因此,关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽.问题4:关于线面垂直、面面垂直,还有其他重要结论吗?直线和平面垂直的两个重要结论:①过一点有且平面和已知直线垂直.②过一点有且直线和已知平面垂直.平面和平面垂直的两个重要结论:①若两个平面垂直,则过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在平面内.②两个相交平面同时垂直第三个平面,则它们的交线于第三个平面.1.已知a、b为异面直线,b与c垂直,则().A.a⊥cB.b∥cC.b与c相交D.不确定2.下列说法中正确的个数为().①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直;②过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直;③一条直线和一个平面不垂直,那么这条直线和平面内的所有直线都不垂直;④垂直于同一平面的两条直线平行.A.1B.2C.3D.43.已知l,m是直线,α,β,γ是平面,给出下列说法:①若α⊥β,且β⊥γ,则α∥γ;②若α∩β=l,且l⊥γ,则α⊥γ且β⊥γ;③若l⊥α,α⊥β,则l∥β.其中正确的是.4.如图,四边形ABCD是平行四边形,直线SC⊥平面ABCD,E是SA的中点,求证:平面EDB⊥平面ABCD.线面垂直的性质定理的应用如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,EF与异面直线AC、A1D都垂直相交,求证:EF∥BD1.线面垂直的判定与性质的综合应用如图,已知α∩β=AB,EC⊥平面α,C为垂足,ED⊥平面β,D为垂足.求证:CD⊥AB.面面垂直的性质定理的应用如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD=4,M是AE的中点.求证:平面BDM⊥平面ECA.已知a、b为异面直线,AB与a、b都垂直相交,若a⊥α,b⊥β,且α∩β=c.求证:AB∥c.已知底面为正方形的四棱锥P—ABCD的侧棱PA⊥底面ABCD,过点A在侧面PAB内作AE⊥PB于E,过E作EF⊥PC于F.那么图中AF与PC的位置关系如何?如图,在△ABC中,∠BAC=60°,线段AD⊥平面ABC,E为CD上一点,且平面ABE⊥平面DBC.求证:点A在平面DBC内的射影不可能是△BCD的垂心.1.设a,b是两条异面直线,下列说法中正确的是().A.有一平面与a,b都垂直B.有且仅有一条直线与a,b都垂直C.过直线a有且仅有一平面与b平行D.过空间中任一点必可以作一直线与a,b都相交2.已知直线l⊥平面α:①若直线m⊥l,则m∥α;②若m⊥α,则m∥l;③若m∥α,则m⊥l;④若m∥l,则m⊥α,上述判断正确的是().A.①②③B.②③④C.①③④D.②④3.把Rt△ABC斜边上的高CD折成直二面角A-CD-B后,互相垂直的面有对.4.三棱锥P—ABC中,PB=PC,AB=AC,点D为BC中点,AH⊥PD于点H,连接BH,求证:平面ABH⊥平面PBC.(2013年·某某卷改编)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.证明:B1C1⊥CE.考题变式(我来改编):第11课时垂直关系的性质知识体系梳理问题1:(1)垂直不平行不竖直(2) a⊥α,b⊥α⇒a∥b问题2:α⊥β,α∩β=l, AB⊂β,且AB⊥l于B⇒AB⊥α问题3:线面垂直问题4:①只有一个②只有一条①第一个②垂直基础学习交流1.D因为b与c垂直,故b与c可能相交,也可能异面,于是,a与c的关系不确定.2.B①错误,无数条直线可能是平行直线,不能判断直线和平面垂直;②正确;③错误,与该直线在平面内的正投影垂直的所有直线,都与该直线垂直;④正确.3.②①错误,反例是墙角处三个平面两两垂直.②正确,因为如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.③错误,还可能l⊂β.4.解:连接AC交BD于点O,连接EO,因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点,且E是SA的中点,所以EO∥SC.因为SC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD,且EO⊂平面EDB,所以平面EDB⊥平面ABCD.重点难点探究探究一:【解析】连接AB1,B1C,BD,∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD,∴AC⊥平面BDD1B1,∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C,∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC,∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.【小结】当题目所给的条件垂直关系较多,但又需要证明平行关系时,往往要考虑垂直的性质定理,从而完成由垂直关系向平行关系的转化.探究二:【解析】∵EC⊥α,AB⊂α,∴EC⊥AB,同理ED⊥AB,即AB⊥EC,AB⊥ED,又EC∩ED=E,∴AB⊥面ECD,而CD⊂面ECD,∴AB⊥CD.【小结】本题是线线垂直、线面垂直的循环.证明线线垂直、则要先证明线面垂直,关键就是面的选择,选择过哪条直线的平面与另一条直线垂直.探究三:【解析】(1)取AC的中点F,连接MF、BF,则MF∥CE且MF=CE.又∵BD∥CE,BD=CE,∴MF∥BD,MF=BD,∴四边形MFBD是平行四边形,∴DM∥BF.∵EC⊥平面ABC,EC⊂平面ACE,∴平面ACE⊥平面ABC.又∵BF⊥AC,∴BF⊥平面ACE.又∵DM∥BF,∴DM⊥平面ACE.又∵DM⊂平面BDM,∴平面BDM⊥平面ECA.【小结】证明面面垂直的关键点和难点,就是在一个平面内确定另一个平面的垂线,一旦找错垂线,将给问题的解决带来很大麻烦,也是不可证明的.确定这条垂线的基本方法就是根据平面与平面垂直的性质,要着眼于平面内交线的垂线,若图形中没有现成的垂线,需要根据条件作出交线的垂线,再证明此直线垂直于另一个平面.思维拓展应用应用一:如图,过点B作BB1⊥α,则BB1∥a,∴AB⊥BB1.又∵AB⊥b,∴AB垂直于由b和BB1确定的平面.∵b⊥β,∴b⊥c,同理,BB1⊥c,∴c也垂直于由b和BB1确定的平面,∴AB∥c.应用二:∵F∈PC,∴AF与PC相交,只要进一步考察是否垂直.如果有AF⊥PC,由已知EF⊥PC,EF∩AF=F,得PC⊥面AEF,∴PC⊥AE.又已知AE⊥PB,PC∩PB=P,得AE⊥面PBC,∴AE⊥BC.而由PA⊥BC,AB⊥BC,知BC⊥面PAB,可知BC⊥AE成立.∴AF⊥PC成立.于是,图中AF与PC垂直相交.应用三:过点A作AH⊥BE,H为垂足.∵平面ABE⊥平面DBC,AH⊂平面ABE,平面ABE∩平面DBC=BE,∴AH⊥平面DBC,∴点H即为点A在平面DBC内的射影.假设H是△BCD的垂心,则BE⊥CD.∵AH⊥平面BCD,DC⊂平面DBC,∴AH⊥DC.又∵AH∩BE=H,∴CD⊥平面ABE.又∵AB⊂平面ABE,∴CD⊥AB.∵AD⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,∴AD⊥AB,又∵AD∩CD=D,∴AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC,这与已知中∠BAC=60°相矛盾,∴假设不成立,∴点A在平面DBC内的射影不可能是△BCD的垂心.基础智能检测1.CA中若有一平面与a,b都垂直,则a∥b,矛盾;B中将a,b平移到一个平面内,则与该平面垂直的直线与a,b都垂直;C正确;D中设过直线a且与b平行的平面为α,则在平面α内过直线a之外的点,不可能作一直线与a,b都相交.2.B①错,还有可能m⊂α;②正确;③正确;④正确.3.3平面BCD⊥平面ACD,平面ADB⊥平面BCD,平面ABD⊥平面ADC.4.解:∵PB=PC,AB=AC,BD=DC,∴BC⊥PD且BC⊥AD,∴BC⊥面PAD,∴面PAD⊥面PBC.∵AH⊥PD,面PAD∩面PBC=PD,∴AH⊥面PBC.又AH⊂面ABH,于是面AHB⊥面PBC.全新视角拓展因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E=,B1C1=,EC1=,从而B1E2=B1+E,所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,又CC1,C1E⊂平面CC1E,CC1∩C1E=C1,所以B1C1⊥平面CC1E,又CE⊂平面CC1E,故B1C1⊥CE.思维导图构建α∥βb⊥αl⊥β。
北师大版高中数学必修二6.1 垂直关系的判定(二).docx
6．1 垂直关系的判定(二)【课时目标】 1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．1．二面角：从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．__________________叫做二面角的面．2．平面与平面的垂直①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直． ②面面垂直的判定定理文字语言：如果一个平面经过另一个平面的________，那么这两个平面互相垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β ⇒α⊥β．一、选择题1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．③④D ．①②2．下列命题中正确的是( )A ．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β3．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是( )①若m ∥n ，n ⊥β，m α，则α⊥β；②若m ⊥n ，α∩β＝m ，n α，则α⊥β；③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．过两点与一个已知平面垂直的平面( )A ．有且只有一个B ．有无数个C ．有且只有一个或无数个D ．可能不存在 5．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( ) A ．13 B ．12 C ．223 D ．326．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面PAEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面PAE ⊥面ABC二、填空题7．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．8．如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．9．已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．三、解答题10．如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．求证：平面BEF ⊥平面BGD ．11．如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3．(1)证明：平面PBE ⊥平面PAB ；(2)求二面角A —BE —P 的大小．能力提升12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．(1)求证：BC⊥平面PAC．(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．6．1 垂直关系的判定(二) 答案知识梳理1．两个半平面 这条直线 这两个半平面2．①直二面角 ②垂线 a α作业设计1．B [①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面不是最小角．故选B ．]2．C3．B [②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．]4．C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]5．B [如图所示，由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角．∵DO ＝OB ＝BD ＝32，∴∠BOD＝60°．]6．C[如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF．∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE．∴DF⊥平面PAE．∴B正确．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴D正确．]7．45°解析可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．8．5解析由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角，∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，∴面PDC⊥面PDA．9．①③④⇒②(或②③④⇒①)10．证明∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD．又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．∵EF平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．11．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°．故二面角A—BE—P的大小是60°．12．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．因为EF 平面ABC．BC平面ABC．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．。
高中数学新北师大版精品学案《垂直关系的判定》1
垂直关系的判定【学习目标】,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭12EF BC ∥FO ∥;CDE 3,BC CD =EO ⊥1,2OM BC ∥1,2EF BC ∥.EF OM ∥FO ∴∥EM.FO ⊂EM ⊂FO ∴∥CDE ∆,CM DM =EM CD ⊥31.22EM CD BC EF ===EO FM⊥,,CD OM CD EM CD ⊥⊥∴⊥.CD EO ⊥,FM CD M =EO ⊥.CDF 21212121P ABCD -ABCDPA ⊥ABCD 4PA AD ==2AB =ABM ACM ACM AM PD ⊥PA AD=22AM =2223MC MD CD =+=1262ACMS AM MC ∆⋅=D ACM M ACDV V --=268h =263h =6sin 3h CD θ==6arcsin 3θ=PN PA PA PC =83=:5:9NC PC =595106927h =(0,0,0)A (0,0,4)P (2,0,0)B (2,4,0)C (0,4,0)D (0,2,2)M ACM (,,)n x y z =,n AC n AM ⊥⊥240220x y y z +=⎧⎨+=⎩(2,1,1)n =-6sin 3CD n CD nα⋅==6arcsin3AN NC ⊥Rt PAC ∆2PA PN PC =⋅83PN =103NC PC PN =-=59NC PC =C A M 59C A M 263AP n h n⋅==5106h 927=ABCD ABCD CD SA ⊥ABCD AD CD ⊥⊥CD ⊂AH AH CD ⊥⊥SC AEKH ⊂AH AEKH AH SC ⊥C CD SC = ⊥AH ⊂SD SDAH ⊥1111ABCD A B C D -CP m =11BDD B 1APD 11BDD B 11BDD B 11BDD B 212m 11BDD B 11BDD B a P αO AA B CD A 1B 1C 1D 1D CABEO F M O1GOCDC 1BAD 1A1B1P AB C D1A 1B 1C 1D N O DM CBP A yxzD MCBPANO23222==m GO OA ＝31。
1.6.2垂直关系的性质学案(北师大版必修2)
6.2 垂直关系的性质自主学习1．掌握并会应用直线与平面垂直的性质，理解平行与垂直之间的关系．2．掌握两个平面垂直的性质定理并能利用该定理作平面的垂线．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．1．直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号：________________．2．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内__________于它们________的直线垂直于另一个平面．符号：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒__________．3．两个重要结论(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．图形表示为：符号：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒________．(2)已知平面α⊥平面β，a α，a⊥β，那么________(a与α的位置关系)．对点讲练直线与平面垂直的性质定理的应用例1已知，如图所示，直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c．求证：AB∥c．点评判断线线、线面的平行或垂直关系，一般依赖于判定定理和性质定理，有时候也可以放到特殊几何体(如正方体，长方体，正棱柱等)中，判断它们的位置关系．变式训练1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥AC，EF⊥A1D，求证：EF∥BD1．面面垂直的性质定理的应用例2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB．点评证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．变式训练2如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为P A的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．例3平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：P A⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．点评证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．变式训练3在三棱锥P—ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理． 3．判定线面垂直的方法主要有以下五种： (1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)面面垂直的性质定理，另外，还有两个重要结论；(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β．课时作业一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β2．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．平面α⊥平面β，直线a ∥α，则( ) A ．a ⊥β B ．a ∥βC ．a 与β相交D ．以上都有可能 4．如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD 等于( )A ．aB ．22a C ．32a D ．52a 5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3二、填空题6．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是______________．(只填序号即可)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．7．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O 为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．8．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．三、解答题9．如图，α⊥β，α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，BC⊂β，DE⊂β，BC⊥DE．求证：AC⊥DE．10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．6．2垂直关系的性质答案自学导引1．a⊥α，b⊥α⇒a∥b2．垂直交线a⊥β3．(1)aα(2)a∥α对点讲练例1证明过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，因为a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′，又AB⊥b，a′∩b＝B，所以AB⊥γ．因为b⊥β，cβ，所以b⊥c．①因为a⊥α，cα，所以a⊥c．又a′∥a，所以a′⊥c．②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c．变式训练1证明连接AB1，B1C，B1D1，BD．∵B1B⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥B1B．又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BDD1B1．又∵BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1，同理可证B1C⊥BD1．∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C．∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C．又∵EF⊥AC且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，又BD1⊥平面AB1C，∴EF∥BD1．例2证明(1)由题知△P AD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面P AD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面P AD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB．变式训练2证明设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．又EO平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD．例3证明(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F．∵平面P AC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面P AC，P A平面P AC，∴DF⊥AP．作DG⊥AB于G．同理可证DG⊥AP．DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴P A⊥平面ABC．(2)连接BE并延长交PC于H．∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE．又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE．又∵AE∩BE＝E，∴PC⊥面ABE．∴PC⊥AB．又∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB．又PC∩P A＝P，∴AB⊥平面P AC．∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．变式训练3证明在平面P AB内，作AD ⊥PB 于D ．∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB ， ∴AD ⊥平面PBC ． 又BC平面PBC ，∴AD ⊥BC ．又∵P A ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB ． 又AB 平面P AB ，∴BC ⊥AB ． 课时作业1．D [∵m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，∴m ∥l ． ∵AB ∥l ，∴AB ∥m ．故A 一定正确．∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m ．从而B 一定正确． ∵A ∈α，AB ∥l ，l α，∴B ∈α．∴AB β，lβ．∴AB ∥β．故C 也正确．∵AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立．故D 不一定成立．]2．C [①②③正确，④中n 与面α可能有：n α或n ∥α或相交(包括n ⊥α)．] 3．D 4．A 5．A[如图：由已知得AA ′⊥面β，∠ABA ′＝π6，BB ′⊥面α，∠BAB ′＝π4，设AB ＝a ，则BA ′＝32a ，BB ′＝22a ，在Rt △BA ′B ′中，A ′B ′＝12a ，∴AB A ′B ′＝21．]6．①②③解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用， ②为面面平行的性质，③为公理4的应用． 7．6解析 由题意知CO ⊥AB ，∴CO ⊥面ABD ，∴CO ⊥OD ，∴直角三角形为△CAO ，△COB ，△ACB ，△AOD ，△BOD ，△COD ．8．若①③④，则②(或若②③④，则①)9．证明 ∵α⊥β，α∩β＝l ，AB ⊂α，AB ⊥l ，∴AB ⊥β． ∵DE ⊂β，∴AB ⊥DE ．∵BC ⊥DE ，AB ∩BC ＝B ，∴DE ⊥平面ABC ． ∵AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥DE ． 10．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM ． 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 6.1垂直关系的判定》3
北京师范大学出版社必修2 第一章立体几何初步垂直关系的判定第一课时直线与平面垂直的判定教材分析：本节课是垂直关系的判定的第一课时，主要学习的是线面垂直的定义、判定定理及其初步应用,是立体几何的核心内容之一。
其中线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法，而判定定理则体现了线线垂直与线面垂直的转化。
学好本节，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到立体空间图形的飞跃有非常重要的作用。
另外，直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况,它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带,因此线面垂直是空间垂直关系间转化的重心，在教材中起到了承上启下的作用。
学情分析：学生在初中几何中已学过线线垂直，并对线面垂直有直观的认识，而高中也已经学习了直线和平面、平面与平面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力。
教学目标：1.知识与技能：通过直观感知、操作确认,理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理，并能运用定义和定理进行简单应用。
2.过程与方法：通过线面垂直定义及定理的探究过程，让学生在合作探究中逐步构建知识结构，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。
3.情感、态度与价值观：通过让学生亲身经历线面垂直定义及定理的探究，让学生进一步认识到数学与生活的联系，体会数学原理的广泛应用，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
教学重点：直线与平面垂直的判定定理。
教学难点：直线与平面垂直判定定理的理解。
教学准备：多媒体课件，三角板，三角形纸片教师教法：本节课主要学习的是线面垂直的定义、判定定理及其初步应用，其中定义的教学是一个重构的过程，是一个意义赋予的过程，需要经历定义的引入，理解，运用三个阶段。
因此设计的教法为：呈现定义原型，构建定义，运用定义。
判定定理的教学策略是重视其发现过程，让学生在探索中感受、体验、成长。