必修2平行垂直的判定和性质

平行1．直线与平面平行的判定(1)直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，我们就说这条直线与这个平面平行．(2)直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号表示为：．注意：这个定理是证明直线与平面平行最常用的一个定理，也就是说欲证明一条直线与一个平面平行，一是说明这条直线不在这个平面内，二是要证明已知平面内有一条直线与已知直线平行．2．两个平面平行的判定(1)两个平面平行的定义：两个平面没有公共点，则两个平面平行．(2)平面与平面的平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．符号表示为：．注意：这个定理的另外一种表达方式为“如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行”．(3)平行于同一平面的两个平面互相平行．即．3．直线与平面平行的性质(1) 直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号表示为：．注意：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的无数条直线平行，但不能误解为“如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线就和平面内的任意一条直线平行”．(2)直线与平面平行的性质：过平面内一点的直线与该平面平行的一条直线平行，则这条直线在这个平面内．符号表示为：若，点，且，则．4．平面与平面平行的性质(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面．此结论可以作为定理用，可用来判定线面平行．(2)两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等．垂直1．直线与平面垂直的判定(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直，其中直线叫作平面的垂线，平面叫作直线的垂面．注意：①定义中的“任意一条直线”和“所有直线”是同义语，不能改成“无穷多条直线”．②如果或，那么直线l不可能与平面内的任意一条直线都垂直．由此可知，当时，直线l和一定相交，它们唯一的交点叫做垂足．(2)直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直与这个平面．(3)关于垂直的存在唯一性命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直．命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．2．平面与平面垂直的判定(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直．(2)两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 符号表示为：．3．直线与平面垂直的性质如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 符号表示：． 作用：可作线线平行的判定定理． 4．平面与平面垂直的性质(1)两个平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 符号表示为：．(2)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面． (3)三个两两垂直的平面的交线两两垂直．(4)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．空间几何定理公理总结：1.平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理4 同平行于一条直线的两条直线互相平行。

2.等角定理及其推论定理:若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.3.平行关系（1）.线面平行的判定定理：（线线平行⇒线面平行）如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．（2）线面平行的性质定理：（线面平行⇒线线平行）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

推理模式：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒．（3）.两个平面平行的判定定理：（线面平行⇒面面平行）如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

定理的模式：//////a b a b P a b ββαβαα⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭(4).推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。

模式：,,,,,,//,////ab P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒(5).两个平面平行的性质（面面平行⇒线面平行、线线平行）（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

4．垂直关系(1)直线与平面垂直的判定定理：（线线垂直⇒线面垂直）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：ααα⊥⇒=⊂⊂⊥⊥a p l m l m m a l a ,,,, (2)直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

推理模式：b a b a ||,⇒⊥⊥αα(3)两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：βαβα⊥⇒⊂⊥a a ,(4)两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

推理模式：βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥a l a a l ,,,典型例题剖析例1．下列说法正确的是（ ）A ．若直线a 平行于面内的无数条直线，则B ．若直线a 在平面外，则C ．若直线a例4．如图所示，已知P 为所在平面外一点，分别是的重心．求证：平面 1）.已知直线a b 、和平面M N 、，则下列命题正确的是 ( )//,////a b a M b M A.若则//,a b a M b M ⊥⊥B.若则,,a b a M b N M N ⊥⊂⊂⊥C.若则 //,//,////a b a M b N M N D.若则11B CA（2）．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为（ ）A ．2π B ．6πC ．4πD ．3π （3）.设α表示平面，b a ,表示直线，给定下列四个命题：①αα⊥⇒⊥b b a a ,//；②αα⊥⇒⊥b a b a ,//; ③αα//,b b a a ⇒⊥⊥;④b a b a //,⇒⊥⊥αα. 其中正确命题的个数有( )个 个 个 个例9.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD ,E 为PC 的中点, PA ＝AD ＝AB ＝1.（1）证明: //EB PAD 平面; （2）证明: BE PDC ⊥平面; （3）求三棱锥B -PDC 的体积V .例10.已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥； (Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ；（Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．90=∠ABC ，例11.三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，12AB BC BB ===， ,M N 分别是AB ，1A C 的中点．（Ⅰ）求证：||MN 平面11B BCC ； （Ⅱ）求证：⊥MN 平面C B A 11； （Ⅲ）求三棱锥-M C B A 11的体积．在线测试1.下列命题正确的是（ ） A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 2.下列命题错误的是（ ）A.平面和平面相交，它们只有有限个公共点B.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面C.经过两条相交直线，有且只有一个平面D.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合 3下列命题中正确的个数是（ ）(1)若直线上有无数个点不在平面α内，则ααααα列命题中正确的是( ) ①如果a,b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面 ②如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行 ③如果直线a,b 和平面α满足a ∥α，b ∥α那么a ∥b④如果直线a,b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b α⊄，那么b ∥αA.①②B.②③C.④D.②③④ 8. 直线a ，b 异面直线， a 和平面α平行，则b 和平面α的位置关系是（ ） （A ）b α （B ）b ∥α （C ）b 与α相交 （D ）以上都有可能9.直线a 与b 垂直，b 又垂直于平面α，则a 与α的位置关系是（ ） A.a α⊥ B.//a α C.a α⊆ D.a α⊆或//a α10如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是一个正方形，PD 垂直于ABCD ，则这个四棱锥的五个面中，互相垂直的平面共有（ ） 对 对 对 对11.垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能①//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭；②//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭；④//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭ 个 个 个 个12已知直线是异面直线，直线分别与都相交，则直线的位置关系A.可能是平行直线B.一定是异面直线C.可能是相交直线D.平行、相交、异面直线都有可能 13．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： ① ② ③ ④其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 14. 已知m ，n 是两条不同直线， α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B.若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 15. 用、、表示三条不同的直线，α表示平面，给出下列命题： ①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；③若∥α，∥α，则∥；④若⊥α，⊥α，则∥. 正确的是（ ）A. ①②B. ②③C. ①④D.③④16．已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ）A ．βα//,n m ⊥且β⊥α，则n m ⊥B ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥C ．m n m ⊥=,βα 且βα⊥，则α⊥nD ．βα//,//n m 且βα//，则n m // 17．已知l n m ,,是直线，βα、是平面，下列命题中： ①若l 垂直于α内两条直线，则α⊥l ；②若l 平行于α，则α内可有无数条直线与l 平行；③若m ⊥n ，n ⊥l 则m ∥l ； ④若βαβα//,,且⊂⊂l m ，则l m //；正确的命题个数．．为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．418．已知m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题：①若βα⊥,α//m ,则β⊥m ；②若α⊥m ,β⊥n ,且n m ⊥,则βα⊥；③若β⊥m ,α//m ,则β⊥α； ④若α//m ,β//n ,且n m //,则βα//．其中正确命题的序号是( )A ．①④B ．②③C ．②④D ．①③19.设,a b 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出的是（ ） A ．，//b β，αβ⊥ B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，//b β，αβ⊥20.如图，已知六棱锥ABCDEF P -的底面是正六边形，AB PA ABC PA 2=⊥，平面则下列结论正确的是（ ）A. B.C. 直线∥D. 直线所成的角为45°21.【2015高考浙江】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m22．已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件中能推出α⊥β的是( ) A ．l α，m β，且l ⊥mB ．l α，m β，n β，且l ⊥m ，l ⊥nC ．m α，n β，m 其中正确的命题是( )A.①②B.②④C.①③D.②③ 24．已知直线，直线，给出下列命题： ①∥；②∥m ；③∥；④∥其中正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．②④25.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误．．的是（ ）A ．B ．平面C ．三棱锥的体积为定值D ．的面积与的面积相等26.下列四个命题中，正确命题的个数是( )个 ① 若平面//α平面β，直线//m 平面α，则//m β； ② 若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则//αβ； ③ 平面α⊥平面β，且l αβ=，点A α∈，A l ∉，若直线AB l ⊥，则AB β⊥；④ 直线m n 、为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m n ⊥，则αβ⊥.E B D 1B1C1DF CA1A（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ） 327. 如图, 在直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC ⊥,4,4,31===AA BC AC ，点D 是AB 的中点， （1）求证：1BC AC ⊥； （2）求证：11CDB //平面AC ；28.如图所示,在直四棱柱中, ,点是棱上一点. （1）求证：面； （2）求证：；29．如图，P 是所在平面外一点，，PA=PB=PC ，求证：平面PAC 平面ABC ．30.如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，o60ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，点M ，N 分别为BC ，PA 的中点，且2PA AB ==（I ） 证明：BC ⊥平面AMN ； （II ） 求三棱锥N AMC -的体积；（III ） 在线段PD 上是否存在一点E ，使得//NM 平面 ACE ；若存在，求出PE 的长，若不存在，说明 理由。