D3_1导数概念

s(t0 )
s(t )
s t0 s t s t0 v lim lim t t0 t t t t0 t t0 0
t0
t
s
s(t0 ) ;
质量函数 m m l , 在点 l 处的线密度：
m l m l l m l l lim lim l 0 l 0 l l

故在原点 (0 , 0) 有垂直切线：
x 0;
1 1 1 1
1 得 x 1 , 对应 y 1 ; 令 3 3 x2 3 1 则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 y x 1 3
平行的切线方程分别为： 1 1 y 1 x 1 , y 1 x 1 , 3 3 即 x 3y 2 0 .
称为函数 f x 在点
f x0 ,
x0 处的导数 ， 记作： dy df x0 y x ;
0
dx
,
dx x x0
;
Lagrange（拉格朗日）
简称 f x 在点
Leibniz (莱布尼兹)
若 f x0 收敛, 则称函数 f x 在点 x0 处关于 (对) x 可导，
自由落体运动
v
而在
s t s t0
t t0
1 gt 2 s2
时刻的瞬时速度为：
v lim t t
0
s t s t0
t t0
o
s t0
s t
t0
机动 目录 上页
t
下页 返回
s
结束
2. 非均匀细棒的线密度（单位长度所含的质量）
设一非均匀细棒的质量函数为：
sin x k cos x sin x cos x k sin x k

x sin x k cos x 1 cos x k sin x lim
x 0
x 0
x
x
cos x k .
e x e x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例 6. 证明函数 f x x 在点 x = 0 处不可导. f 0 x f 0 x 1 , x 0 证: x x 1 , x 0
f x0 x f x0 x lim . 例 7. 设 f x0 收敛， 求极限 x0 2 x f x0 x f x0 f x0 f x0 x lim 解:原式 x0 2x f x0 x f x0 f x0 x f x0 1 lim x 0 2 x x f x0 x f x0 f x0 x f x0 1 lim f x0 . 2 x0 x x
x
的导数 。
f x x f x
lim
a x a x 1
x
lim
x
a
x x
x 0
x
x
1
a
x
x 0
x
a
x 0
a lim
x
a x ln a.
即：
a x a x ln a
特别地，当取 a = e 时得：
（当
切线 MT 的斜率：
时）
C
M
T
o x0
f x f x0
x x
k tan lim tan

割线 M N 的斜率 tan
k lim
f x f x0
x x0
x x0
x x0
f x0 x f x0 f x0 . lim x 0 x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
f 0 x f 0 lim x 0 x
发散 , 即
x
在点 x = 0 处不可导。
3. 1. 3 导 数 的 几 何 意 义
曲线 C : y f x 在点 M 处的切线 割线 M N 的极限位置 M T。
y
y f (x ) N
机动 目录 上页 下页 返回 结束
瞬时速度： 线密度： 两个问题的共性: 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 。 类似问题还有: 加速度： 是速度增量与时间增量之比的极限； 角速度： 是转角增量与时间增量之比的极限； 磁场强度：是磁通量的增量与时间增量之比的极限； 电流强度： 是电量增量与时间增量之比的极限； 变 化 率 问 题
df x ; dx
dy ; dx
在点 在点
y ;
x0 处的左导数； x0 处的右导数；
f x0 称为函数 f x0 lim x 0 x
若函数 则称函数 显然有：
在开区间 在闭区间
内可导，且 f b , f a 均收敛， 上可导。
即
例 1. 求函数 f x C (C 为常数) 的导数 ；
C 0
x x x f x x f x lim lim x 0 x 0 x x


f x x , ( x 0) 的导数； 例 2. 求幂函数

机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 1. 2 导 数 的 定 义
定 义:设函数
f x0 f x0 x f x0 lim lim f x0 x0 x 0 x x
f x0 f x0 x f x0 （函数的增量）
x x0
f x0 收敛 f x0 , f x0 均收敛，且 f x0 f x0 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
f x0 f x
;
运动质点的位置函数
在
s s t
o
t0 时刻的瞬时速度：
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3 例8. 问曲线 C : y x 在哪一点处有垂直切线 ？ 在 哪一点
1 处的切线与直线 y x 1 平行 ？ 并写出相应的切线方程。 3 1 1 1 1 2 1 y x 0 , 3 x x3 x 3 解: y 3 3 3 x2 3
m l .
说明: 在经济学中, 消费指数增长率；边际成本率；边际劳动
生产率和边际税率等从数学角度看都是相应函数的导数。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
f x x f x C C f x lim lim 解: 0 x 0 x 0 x x
第3章
3. 1. 2 导 数 的 定 义
3. 1. 3 导 数 的 几 何 意 义 3.1.4 可 导 性 与 连 续 性 的 关 系
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 1. 1 问 题 的 引 入
1. 变速直线运动的速度
设一作直线运动的质点， 其运动方程 ( 位置函数 ) 为： 则从 到 的平均速度为：
1
机动
目录
上页
下页
返回
结束
3. 1. 4 函 数 的 可 导 性 与 连 续 性 的 关 系
定 理：函数 f x 在点 x 处可导，则 f x 在点 x 处必连续。 证: 设 f x 在点 x 处可导, 即
x x
1 2

1x 2
1 1 2

1 1 x 2 1 ; 2 2 x
2
1 当 1 时， x 1 1 x

x
11
1 1 x 2 ; x
1 3 1 3 3 x 4 3 x 7 . 4 3 x 4 4 当 时， 4 x x 4
x x log a x lim
x 0
x
1 . x ln a
1 x ln a
即：
loga x
特别地，当取 a = e 时得：
1 ln x x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例 5. 求函数 f x a
lim 解: f x x0
取 k 0 得： 取 k
sin x cos x
cos x sin x
机动 目录 上页 下页 返回 结束

2
得：
例4. 求函数 f x loga x 的导数 。
log x x log x f x x f x a lim lim a 解: f x x0 x 0 x x
解:
x 1 xx lim x 0 x
即



1
x x 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n x n1 当 n, n N 时， x
n
说明：
x 1; 特别地：
1 当 时， 2

机动 目录 上页 下页 返回 结束
因曲线 C : y f x 在点 ( x0 , y0 ) 的切线斜率：
y
y f (x )
tan f x0
若 f x0 0,则函数 f x 在点
C
M
x0
T
x0 附近必上升;
若 f x0 0, 则函数 f x 在点 x0附近必下降; 若 f x0 0, 切线与 x 轴平行,
第3章 数学家 Fermat 在研究 一元函数的微分学极值问题中提出.
导数思想最早由法国
微积分 学的创 始人:
英国数学家 Newton
德国数学家 Leibniz
微分学
导数
微分
描述函数变化快慢
描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)
§3.1 导数概念
3. 1. 1 问 题 的 引 入
m m l , l 0, L.
在细棒上任取一点 l ，和任一长度 在长度为 上的质量是：
m m l l m l . 平均密度为：
m m l l m l . l l
当长度
无限趋向于零时
m m l l m l l lim lim . l 0 l l 0 l
x0 处可导；
在点
若 f x0 发散， 称函数
x0
处不可导；
机动 目录 上页 下页 返回 结束
若函数
在区间 I 里每一点(关于x )都可导， 称函数
在区间I 里可导，f x , 记作：
x I 称为
的导函数.，简称为导数,
f x ;
f x0
f x0 称为函数 lim x 0 x
o
y
x
x0称为函数的驻点;
o
y
若 f x0 , 切线与 x 轴垂直 .
若 f x0 收敛，则曲线过点 ( x0 , y0 ) 处有 切线方程:
( x0 , y0 )
x0
x
y y0 f x0 ( x x0 ) ;
o
x0
x
1 法线方程: y y0 ( x x0 ) . ( f x0 0) f x0

机动
目录
上页
下页
返回
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ结束
sin x x k sin x k f x x f x lim 解: f x lim0 x x 0 x x
lim
例 3. 求函数 f x sin x k 的导数（其中：k 为常数）.