第1讲 合情推理和演绎推理

第十七章推理与证明★知识网络★第1讲合情推理和演绎推理★知识梳理★1.推理根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论.2、合情推理:根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。

简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

3.演绎推理:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。

★重难点突破★重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性问题1：<<；….对于任意正实数,a b 成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ．点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一直线与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（222||ab AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]=点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3★热点考点题型探析★考点1 合情推理题型1 用归纳推理发现规律[例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

23135sin 75sin 15sin 020202=++；23150sin 90sin 30sin 020202=++；23165sin 105sin 45sin 020202=++；23180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性”[解析]猜想：23)60(sin sin )60(sin 02202=+++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin)60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =23)cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）[例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则(4)f =_____;()f n =___________.【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式[解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系【新题导练】1. (2008佛山二模文、理)对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式： 2213=+ 23135=++ 241357=+++3235=+ 337911=++ 3413151719=+++根据上述分解规律，则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73，则m的值为___ .[解析]3m 的分解中，最小的数依次为3，7，13，…，12+-m m ，…，由7312=+-m m 得9=m2. (2008惠州调研二理)函数()f x 由下表定义： 若05a =，1()n n a f a +=，0,1,2,n = ，则2007a = 4 ．[解析]50=a ，21=a ，12=a ，43=a ， ,54=a ，n n a a =∴+4，432007==a a 点评：本题为循环型3. (2008深圳调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --= ．（答案用数字或n 的解析式表示）[解析])1(4)1()(,41)5(-=--=n n f n f f x2 53 14 ()f x 1 2 3 4 54. (2008揭阳一模)设010211()cos ,()'(),()'(),,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +==== ,,n N *∈则2008()f x =（ ）A. sin x -B. cos x -C. sin xD. cos x[解析]x x f cos )(0=，x x f sin )(1-=，x x f cos )(2-=，x x f sin )(3=，x x f cos )(4=，)()(4x f x f n n =+，2008()f x =x x f cos )(0=题型2 用类比推理猜想新的命题[例1 ] (2008韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.【解题思路】从方法的类比入手[解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=⇒⨯==，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=⇒⨯==即正四面体的内切球的半径是高41 【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等[例2 ] 在ABC ∆中,若090=∠C ,则1cos cos 22=+B A ,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想【解题思路】考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比到空间[解析]由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥ABC P -中，三个侧面PCA PBC PAB ,,两两垂直，且与底面所成的角分别为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα” 证明：设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记h PO =由PB PC PA PC ⊥⊥,得PAB PC 面⊥，从而PM PC ⊥，又α=∠PMC PC h PCO =∠=sin cos α，PA h =βcos ，PBh =γcos h PA PC PC PB PB PA PC PB PA V ABC P ⋅⋅+⋅+⋅=⋅⋅=-)cos 21cos 21cos 21(3161γβα 1)cos cos cos (=++∴h PB PA PC γβα即1cos cos cos 222=++γβα 【名师指引】（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等【新题导练】5. (2008深圳二模文)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ．[解析]解法的类比（特殊化），易得两个正方体重叠部分的体积为83a 6. (2008梅州一模)已知ABC ∆的三边长为cb a ,,，内切圆半径为r （用的面积表示ABC S ABC ∆∆），则ABC S ∆)(21c b a r ++=；类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的内切球半径为R ，则三棱锥体积=-BCD A V[解析] )1(3ABC ABD ACD BCD R S S S S ∆∆∆∆+++ 7. (2008届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题（二）)在平面直角坐标系中，直线一般方程为0=++C By Ax ，圆心在),(00y x 的圆的一般方程为22020)()(r y y x x =-+-；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在),,(000z y x 的球的一般方程为_______________________.[解析] 0Ax By Cz D +++=；2222000()()()x x y y z z r -+-+-=8. 对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数111,,c b a 和222,,c b a 都是非零实数，方程01121=++c x b x a 和02222=++c x b x a 在复数集上的解集分别是A 和B ，则“212121c c b b a a ==”是“B A =”的充分必要条件． 试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明． 解：（3）如果系数111,,c b a 和222,,c b a 都是非零实数，不等式01121>++c x b x a 和02222>++c x b x a 的解集分别是A 和B ，则“212121c c b b a a ==”是“B A =”的既不充分也不必要条件．可以举反例加以说明．9.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ； 已知数列{}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为____________．这个数列的前n 项和n S 的计算公式为_____________________________________．[解析]在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；318=a ；=n S ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-为偶数为奇数n n y n n ,25,215 考点2 演绎推理题型:利用“三段论”进行推理[例1 ] （07启东中学模拟）某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出a be d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母）【解题思路】从分式的性质中寻找S 值的变化规律[解析] 因e d c b a ,,,,都为正数，故分子越大或分母越小时， S 的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S 的值增长越多，a b e d c <<<<<0 ，所以c 增大1个单位会使得S 的值增加最多【名师指引】此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到[例2 ] （03上海）已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x+T )=T f (x )成立.（1）函数f (x )= x 是否属于集合M ？说明理由；（2）设函数f (x )=a x （a >0,且a ≠1）的图象与y=x 的图象有公共点，证明： f (x )=a x ∈M ；（3）若函数f (x )=sin kx ∈M ,求实数k 的取值范围.【解题思路】函数f (x )是否属于集合M ，要看f (x )是否满足集合M 的“定义”，[解]（1）对于非零常数T ，f (x +T)=x +T, T f (x )=T x . 因为对任意x ∈R ，x +T= T x 不能恒成立，所以f (x )=.M x ∉（2）因为函数f (x )=a x （a >0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点，所以方程组：⎩⎨⎧==xy a y x有解，消去y 得a x =x , 显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T.于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a a T x f x x T T x =⋅=⋅==++ 故f (x )=a x ∈M.（3）当k=0时，f (x )=0，显然f (x )=0∈M.当k ≠0时，因为f (x )=sin kx ∈M ，所以存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x +T)=T f (x )成立，即sin(kx +k T)=Tsin kx .因为k ≠0，且x ∈R ，所以kx ∈R ，kx +k T ∈R ，于是sin kx ∈[－1，1]，sin(kx +k T) ∈[－1，1]，故要使sin(kx +k T)=Tsin kx .成立，只有T=1±，当T=1时，sin(kx +k )=sin kx 成立，则k =2m π, m ∈Z .当T=－1时，sin(kx －k )=－sin kx 成立，即sin(kx －k +π)= sin kx 成立，则－k +π=2m π, m ∈Z ，即k =－2(m －1) π, m ∈Z .实数k 的取值范围是{k |k = m π, m ∈Z}【名师指引】学会紧扣“定义”解题【新题导练】10. (2008珠海质检理)定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度|*|||||sin ,a b a b θθ=⋅⋅ 其中为向量a 和b的夹角，若(2,0),(1,|*()|u u v u u v =-=+ 则= .[解析]=+*∴>=+<=+=|)(|21,sin ),3,3(),3,1(11. (2008深圳二模文)一个质点从A 出发依次沿图中线段到达B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、J 各点，最后又回到A （如图所示），其中：AB BC ⊥， ////////AB CD EF HG IJ ，////BC DE ////FG HI JA ．欲知此质点所走路程，至少需要测量n 条线段的长度，则n =（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．5[解析]只需测量GH BC AB ,,3条线段的长12. (2008惠州调研二)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文d c b a ,,,对应密文d d c c b b a 4,32,2,2+++，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接受方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）．A ． 4，6，1，7B ． 7，6，1，4C ． 6，4，1，7D ． 1，6，4，7[解析] 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=+16418327252d d c c b b a 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====7146d c b a ，选C13.对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,pqR ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=………（ ）A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,4)-解：由题意，⎩⎨⎧=+=-0252q p q p ，解得⎩⎨⎧-==211p ，所以正确答案为（B ）．点评：实际上，本题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘法与加法运算．我们可以把该题还原为：已知复数z 满足5)21(=+z i ，则=++z i )21(_____________．★抢分频道★基础巩固训练1、对于集合A,B,定义运算}|{B x A x x B A ∉∈=-且，则)(B A A --=（ ）A.BB.AC.B A ⋃D. B A ⋂[解析]D [用图示法]2、命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误[解析]大前提是特指命题，而小前提是全称命题，故选C3、（华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试（三））给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：①“若b a b a R b a =⇒=-∈0，则、”类比推出“b a b a C c a =⇒=-∈0,则、” ②“若d b c a di c bi a R d c b a ==⇒+=+∈,，则复数、、、”类比推出 “d b c a d c b a Q d c b a ==⇒+=+∈,22，则、、、”③“若b a b a R b a >⇒>-∈0，则、、”类比推出“若b a b a C b a >⇒>-∈0,则、”④“若111||<<-⇒<∈x x R x ，则”类比推出“若111||<<-⇒<∈z z C z ，则” 其中类比结论正确．．．．的个数有 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 类比结论正确的只有①4、如图第n 个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。