河南省洛阳市2015-2016学年高二上学期期中数学试题(理科) Word版含解析

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2015-2016第一学期高二期末考试理科数学试题及答案

2015-2016学年度高二年级期末教学质量检测理科数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3B ．3C D ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.下列各数中，最小的数是A ．75B ．)6(210 C ．)2(111111 D ．)9(8511．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A ． B C ．3 D ．512、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、 11 B 、12 C 、1 D 、15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a = 14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为。

河南省信阳市2015_2016学年高二数学上学期期中试题理含解析

2015-2016学年河南省信阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，只有一项是符合题目要求的。

1．下列给出的赋值语句中正确的是( )A．3=A B．M=﹣M C．B=A=2 D．x+y=02．设a∈R，则a＞1是＜1的( )A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知命题p：∃x∈R，使tanx=1，其中正确的是( )A．¬p：∃x∈R，使tanx≠1B．¬p：∃x∉R，使ta nx≠1C．¬p：∀x∈R，使tanx≠1D．¬p：∀x∉R，使tanx≠14．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A．恰有1个黑球与恰有2个黑球B．至少有一个黑球与都是黑球C．至少有一个黑球与至少有1个红球D．至多有一个黑球与都是黑球5．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法6．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为( )A．B．C．D．7．下图是把二进制的数11111（2）化成十进制数的﹣个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A．i≤4 B．i≤5 C．i＞4 D．i＞58．若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是( )A．k=﹣或﹣1＜k≤1B．k≥或k≤﹣ C．﹣＜k＜D．k=±9．已知函数f（x）=x6+1，当x=x0时，用秦九韶算法求f（x0）的值，需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为( )A．21，6，2 B．7，1，2 C．0，1，2 D．0，6，610．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角，则a，b的值分别为( )A．B．C．5，3 D．5，411．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈，在定义域内任取一点x0，使f（x0）＞0的概率是( ) A．B．C．D．12．从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是( )A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

《解析》河南省洛阳市2015-2016学年高二上学期期中数学试题(文科)Word版含解析

2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+B．当x时，sinx+的最小值为4C．当x＞0时，≥2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值3．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）A．7 B．15 C．30 D．314．已知△ABC满足：，，则BC的长是（）A．2 B．1 C．1或2 D．35．若等比数列{a n}的公比q＜0，前n项和为S n，则S8a9与S9a8的大小关系是（）A．S8a9＞S9a8B．S8a9＜S9a8C．S8a9=S9a8 D．不确定6．已知△ABC的两边长分别为2，3，这两边的夹角的余弦值为，则△ABC的外接圆的直径为（）A．B． C． D．87．若关于x的不等式x2﹣4x≥m对x∈（0，1]恒成立，则（）A．m≥﹣3 B．m≤﹣3 C．﹣3≤m＜0 D．m≥﹣48．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＜bcosA，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定9．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积S=a2﹣（b﹣c）2，则tan=（）A．B．C．D．10．若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．11．若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（）A．B．C．D．12．如果f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m＞2，n＞0）在[]上单调递减，则+的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则=．14．已知{a n}为等比数列，S n是它的前n项和．若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S6=．15．记不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y=a（x+1）与D没有公共点，则实数a的取值范围是．16．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b=a+c，则B的取值范围是．三、解答题17．（10分）（2015秋•洛阳期中）已知f（x）=﹣3x2+m（6﹣m）x+6（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＞n的解集为（﹣1，3），求实数m，n的值；（Ⅱ）解关于m的不等式f（1）＜0．18．（12分）（2015秋•洛阳期中）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2，B=2A．（1）求cosA的值；（2）求c的值．19．（12分）（2015秋•洛阳期中）已知等比数列{a n}的公比q＞1，前n项和为S n，并且满足a2+a3+a4=28，a3+2是a2和a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n log a n，S n=b1+b2+…+b n，求使S n＞254﹣n•2n+1成立的正整数n的最小值．20．（12分）（2015秋•洛阳期中）已知数列{a n}的前n项和S n=（）n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当b n=log（3a n+1）时，求数列{}的前n项和T n．21．（12分）（2015秋•洛阳期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且csinA=acosC．（1）求角C；（2）若c=，且sinC=3sin2A+sin（A﹣B），求△ABC的面积．22．（12分）（2015秋•洛阳期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，4a n a n﹣1+S n=S n﹣1+a n （n≥2，n∈N*）．﹣1（1）证明：数列{}是等差数列；（2）若+对任意整数n（n≥2）恒成立，求实数λ的取值范围．2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+B．当x时，sinx+的最小值为4C．当x＞0时，≥2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】对于A，考虑0＜x＜1即可判断；对于B，考虑等号成立的条件，即可判断；对于C，运用基本不等式即可判断；对于D，由函数的单调性，即可得到最大值．【解答】解：对于A，当0＜x＜1时，lgx＜0，不等式不成立；对于B，当xx时，sinx∈（0，1]，sinx+的最小值4取不到，由于sinx=2不成立；对于C，当x＞0时，≥2=2，当且仅当x=1等号成立；对于D，当0＜x≤2时，x﹣递增，当x=2时，取得最大值．综合可得C正确．故选：C．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题和易错题．3．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）A．7 B．15 C．30 D．31【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解（法二）利用迭代可得a5=2a4+1=2（a3+1）+1=…进行求解（法三）构造可得a n+1=2（a n﹣1+1），从而可得数列{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求a n+1，进而可求a n，把n=5代入可求【解答】解：（法一）∵a n=2a n﹣1+1，a1=1a2=2a1+1=3a3=2a2+1=7a4=2a3+1=15a5=2a4+1=31（法二）∵a n=2a n﹣1+1∴a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31（法三）∴a n+1=2（a n﹣1+1）∵a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列∴a n+1=2•2n﹣1=2n∴a n=2n﹣1∴a5=25﹣1=31故选：D【点评】本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项，注意本题解法中的一些常见的数列的通项的求解：迭代的方法即构造等比（等差）数列的方法求解，尤其注意解法三中的构造等比数列的方法的应用4．已知△ABC满足：，，则BC的长是（）A．2 B．1 C．1或2 D．3【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】利用余弦定理公式，根据题设中的条件建立等式整理后求得BC的值．【解答】解：由余弦定理可知cosB==，整理得BC2﹣3BC+2=0，求得BC=1或2，故选C．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．5．若等比数列{a n}的公比q＜0，前n项和为S n，则S8a9与S9a8的大小关系是（）A．S8a9＞S9a8B．S8a9＜S9a8C．S8a9=S9a8 D．不确定【考点】等比数列的前n项和．【专题】常规题型．【分析】首先对S8•a9﹣S9•a8两式作差，然后根据等比数列通项公式和前n项和公式，对其整理变形，进而判断符号可得答案．【解答】解：S8•a9﹣S9•a8=•a1q8﹣•a1q7===﹣a12q7．又q＜0，则S8•a9﹣S9•a8＞0，即S8•a9＞S9•a8．故选A．【点评】本题考查等比数列通项公式和前n项和公式，同时考查作差法比较大小．6．已知△ABC的两边长分别为2，3，这两边的夹角的余弦值为，则△ABC的外接圆的直径为（）A．B． C． D．8【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得三角形边长分别为2、3的夹角的正弦值为，由余弦定理可求第三边的长，根据正弦定理即可求得外接圆的直径．【解答】解：△ABC的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为，故其夹角的正弦值为，由余弦定理可得第三边的长为：=3，则利用正弦定理可得：△ABC的外接圆的直径为=．故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，三角形的面积公式，属于基础题．7．若关于x的不等式x2﹣4x≥m对x∈（0，1]恒成立，则（）A．m≥﹣3 B．m≤﹣3 C．﹣3≤m＜0 D．m≥﹣4【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题．【分析】构造函数f（x），将不等式恒成立问题转化为求函数f（x）的最小值问题，求出二次函数的对称轴，判断出其单调性，求出f（x）的最小值，令最小值大于等于m即得到m的取值范围．【解答】解：∵x2﹣4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立令f（x）=x2﹣4x，x∈[0，1]∵f（x）的对称轴为x=2∴f（x）在[0，1]上单调递减∴当x=1时取到最小值为﹣3∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]故选B．【点评】解决不等式恒成立问题常通过分离参数转化为求函数的最值问题；求二次函数的最值问题，常利用公式求出对称轴，据区间与对称轴的关系判断出其单调性，求出最值．8．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＜bcosA，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定【考点】三角形的形状判断．【专题】解三角形．【分析】依题意，可得sinC＜sinBcosA，利用两角和的正弦整理得sinAcosB＜0，从而可判断B为钝角．【解答】解：△ABC中，∵c＜bcosA，∴sinC＜sinBcosA，即sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA，∴sinAcosB＜0，sinA＞0，∴cosB＜0，B为钝角，∴△ABC为钝角三角形，故选：A．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与两角和的正弦，属于中档题．9．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积S=a2﹣（b﹣c）2，则tan=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由余弦定理及三角形面积公式化简已知等式可得bcsinA=2bc（1﹣cosA），整理可得=，利用二倍角公式，同角三角函数关系式即可求值．【解答】解：∵b2+c2﹣a2=2bccosA，S=bcsinA．又∵△ABC的面积S=a2﹣（b﹣c）2=﹣（b2+c2﹣a2）+2bc，∴bcsinA=2bc（1﹣cosA），即有=，又==tan=．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式，考查了二倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．10．若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（1，2）．令z=2x+y，化为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过B（1，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题．【分析】根据三角形为钝角三角形，得到三角形的最大角的余弦值也为负值，分别设出3和x 所对的角为α和β，利用余弦定理表示出两角的余弦，因为α和β都为钝角，得到其值小于0，则分别令余弦值即可列出关于x的两个不等式，根据三角形的边长大于0，转化为关于x的两个一元二次不等式，分别求出两不等式的解集，取两解集的交集即为x的取值范围．【解答】解：由题意，，∴x的取值范围是，故选D．【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，会求一元二次不等式组的解集，是一道综合题．学生在做题时应注意钝角三角形这个条件．12．如果f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m＞2，n＞0）在[]上单调递减，则+的最小值为（）A．B．C．D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求出二次函数的对称轴，由题意可得﹣≥2，即有（2m+n）≤1，可得+≥（2m+n）（+）=（3++），运用基本不等式即可得到最小值．【解答】解：f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1的对称轴为x=﹣，由f（x）在[]上单调递减，可得﹣≥2，即有2m+n≤12，即有（2m+n）≤1，可得+≥（2m+n）（+）=（3++）≥（3+2）=．当且仅当n=m取得最小值．故选C．【点评】本题考查函数的单调性的运用，考查函数的最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则=﹣．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列和等比数列的通项公式易得a2﹣a1和b2的值，易得答案．【解答】解：∵﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，∴a2﹣a1=（﹣1+9）=，∵，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，∴b22=﹣9×（﹣1），解得b2=±3，由b12=﹣9b2可得b2＜0，故b2=﹣3，∴=﹣故答案为：﹣【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，注意b2的取舍是解决问题的关键，属基础题和易错题．14．已知{a n}为等比数列，S n是它的前n项和．若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S6=．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由已知可得q=，a1=16，代入等比数列的求和公式可得．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则可得a1q•a1q2=2a1，即a4==2又a4与2a7的等差中项为，所以a4+2a7=，即2+2×2q3=，解之可得q=，故a1=16故S6==故答案为：【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属中档题．15．记不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y=a（x+1）与D没有公共点，则实数a的取值范围是（﹣∞，）∪（4，+∞）．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：∵y=a（x+1）过定点（﹣1，0），∴当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又∵直线y=a（x+1）与平面区域D没有公共点．∴a或a＞4．故答案为：（﹣∞，）∪（4，+∞）．【点评】在解决线性规划的问题时，常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，然后将坐标逐一代入目标函数，最后验证求出最优解，该题是中档题．16．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b=a+c，则B的取值范围是（0，]．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由已知等式变形表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将表示出的b代入并利用基本不等式变形求出cosB的范围，即可确定出B的范围．【解答】解：∵2b=a+c，即b=，∴cosB===≥=，则B的范围为（0，]．故答案为：（0，]【点评】此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．三、解答题17．（10分）（2015秋•洛阳期中）已知f（x）=﹣3x2+m（6﹣m）x+6（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＞n的解集为（﹣1，3），求实数m，n的值；（Ⅱ）解关于m的不等式f（1）＜0．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据二次函数和不等式的关系，得到方程组，解出即可；（2）由已知f（1）=﹣m2+6m+3，得不等式﹣m2+6m+3＜0，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＞n，∴3x2﹣m（6﹣m）x+n﹣6＜0，∴﹣1，3是方程3x2﹣m（6﹣m）x+n﹣6=0的两根，，∴；（Ⅱ）由已知f（1）=﹣m2+6m+3，∴﹣m2+6m+3＜0，∴m2﹣6m﹣3＞0，∴，∴不等式f（1）＜0的解集为：．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了不等式和二次函数的关系，是一道基础题．18．（12分）（2015秋•洛阳期中）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2，B=2A．（1）求cosA的值；（2）求c的值．【考点】余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（1）依题意，利用正弦定理=及二倍角的正弦即可求得cosA的值；（2）易求sinA=，sinB=，从而利用两角和的正弦可求得sin（A+B）=，在△ABC中，此即sinC的值，利用正弦定理可求得c的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，a=3，b=2，B=2A，∴由正弦定理得：=，即=，∴cosA=；（2）由（1）知cosA=，A∈（0，π），∴sinA=，又B=2A，∴cosB=cos2A=2cos2A﹣1=，B∈（0，π），∴sinB=，在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，∴c===5．【点评】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦与诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．19．（12分）（2015秋•洛阳期中）已知等比数列{a n}的公比q＞1，前n项和为S n，并且满足a2+a3+a4=28，a3+2是a2和a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n log a n，S n=b1+b2+…+b n，求使S n＞254﹣n•2n+1成立的正整数n的最小值．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）依题意有2（a3+2）=a2+a4，又a2+a3+a4=28，故a3=8．a2+a4=20．由此能够推导出a n=2n．（2）b n=a n log a n=2n•2n=﹣n•2n，由错位相减法可得S n，再由S n＞254﹣n•2n+1，解不等式即可得到n的最小值．【解答】解：（1）依题意有2（a3+2）=a2+a4，又a2+a3+a4=28，解得3=8．所以a2+a4=20．于是有，解得或，又{a n}是递增的，故a1=2，q=2．所以a n=2n．（2）b n=a n log a n=2n•2n=﹣n•2n，﹣S n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，﹣2S n=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，相减可得S n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1，由S n＞254﹣n•2n+1，可得2n+1＞256=28，即为n+1＞8，即n＞7，则n的最小值为8．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活地运用公式解答．20．（12分）（2015秋•洛阳期中）已知数列{a n}的前n项和S n=（）n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当b n=log（3a n+1）时，求数列{}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由S n=（）n﹣1．当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．（2）b n=log（3a n+1）=n，可得==．利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）∵S n=（）n﹣1．当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）n﹣1﹣=．∴a n=．（2）b n=log（3a n+1）=n，∴==．∴数列{}的前n项和T n=+…+=1﹣=．【点评】本题考查了递推关系应用、数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）（2015秋•洛阳期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且csinA=acosC．（1）求角C；（2）若c=，且sinC=3sin2A+sin（A﹣B），求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，由sinA≠0，可求tanC=，结合范围0＜C＜π，即可求得C的值．（2）由已知可得2cosAsinB=6sinAcosA，当cosA≠0时，解得b=3a，利用余弦定理可求a，b，根据三角形面积公式即可得解，当cosA=0时，可求A=90°，求得b=ctan30°的值，即可解得三角形面积．【解答】解：（1）∵csinA=acosC．由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，∵sinA≠0，∴tanC=，∵0＜C＜π，∴C=…4分（2）∵sinC=sin（π﹣A﹣B）=3sin2A+sin（A﹣B），∴2cosAsinB=6sinAcosA，当cosA≠0时，sinB=3sinA，∴b=3a，，∴a=，b=，S==，当cosA=0时，A=90°，b=ctan30°=，S=bc=…12分【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．22．（12分）（2015秋•洛阳期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，4a n a n﹣1+S n=S n﹣1+a n （n≥2，n∈N*）．﹣1（1）证明：数列{}是等差数列；（2）若+对任意整数n（n≥2）恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由a n=S n﹣S n﹣1，可得﹣=4（n≥2），由等差数列的定义即可得证；（2）运用等差数列的通项公式，可得a n=，由参数分离可得≤（n≥2），判断右边数列的单调性，可得最小值，进而得到实数λ的取值范围．【解答】解：（1）证明：4a n a n﹣1+S n=S n﹣1+a n﹣1（n≥2，n∈N*），可得4a n a n﹣1+a n﹣a n﹣1=0，即有﹣=4（n≥2），则数列{}是1为首项，4为公差的等差数列；（2）由（1）可得=1+4（n﹣1）=4n﹣3，即有a n=，由+可得•≤4n+1，即≤（n≥2），令c n=（n≥2），则c n+1﹣c n=＞0，即有数列{c n}为递增数列，当n=2时，取得最小值，且为，可得≤，解得λ＜0或λ≥．即实数λ的取值范围为（﹣∞，0）∪[，+∞）．【点评】本题考查数列的通项和求和的关系，考查等差数列的通项公式的运用，考查数列不等式恒成立问题的解法，注意运用数列的单调性，属于中档题．。

2015年河南省中考数学试题及答案(解析版)

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15，∴y2＜y1＜y3.
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方法二：解：设点 A、B、C 三点到抛物线对称轴的距离分别为 d1、d2、d3，∵y= （x 2) 2 1 ∴对称轴为直线 x=2，∴d1=2,d2=2- 2 ,d3=4∵2- 2 ＜2＜4，且 a=1＞0，∴y2＜y1＜y3. 方法三：解：∵y=
（ 2， 1）（ 2， 2）（ 3， 1）（ 3， 2）
[ 来源 : z ^ z s @ * t e p . c ~ o & m ]
或画树状图如解图：
第一次第二次 1 2
1 23 12
2 2
2
3
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3 1 2 23 1 2 2 3 第 13 题解图由列表或树状图可得所有等可能的情况有 16 种，其中两次抽出卡片所标数字不同
[ 中国教育 @ 出 ~ ^ 版 * 网 & ]
的情况有 10 种，则 P=
10 5 ． 16 8
B E
14. 如图，在扇形 AOB 中，∠AOB=90° ，点 C 为 OA 的中点， CE⊥OA 交 AB 于点 E，以点 O 为圆心，OC 的长为半径作 CD 交 OB 于点 D，若 OA=2，则阴影部分的面积为
（x 2)
2
1 ，∴对称轴为直线 x=2，∴点 A(4, y1)关于 x=2
的对称点是（0，y1）.∵-2＜0＜ 2 且 a=1＞0，∴y2＜y1＜y3.
13. 现有四张分别标有数字 1，2，3，4 的卡片，它们除数字外完

河南省洛阳市2016届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n}满足a2=2，a6=0，则数列{a n}的公差为（）A．B．2 C．﹣ D．﹣22．已知R是实数集，M==（）A．（﹣1，2）B．[一l，2]C．（0，2） D．[0，2]3．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（ +λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．24．已知α∈（﹣，0），且sin2α=﹣，则sinα+cosα=（）A．﹣ B．C．﹣ D．5．已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．在等比数列{a n}中，a2+a3+…+a8=8， ++…+=2，则a5的值（）A．±2 B．2 C．±3 D．37．已知函数f（x）=min，其中min（p，q}表示p，q两者中较小的一个，则满足f（x）＜1的x的集合为（）A．（0，）B．（0，）∪（4，+∞）C．（0，2） D．（0，2）∪（16，+∞）8．直线y=与曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则|等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π9．已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），则n≥2时，a12+a22+…+a n2=（）A．B．C． D．10．已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a 的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]11．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，若＞x，则下列不等关系成立的是（）A．f（2）＜2f（1）B．3f（2）＞2f（3）C．ef（e）＜f（e2）D．ef（e2）＞f（e3）12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=4f（x）．x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣2，0）对任意的t∈[1，2）都有f（x）≥成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[12，+∞）C．（﹣∞，6]D．[6，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．14．已知向量，满足||=2||≠0，且函数在f（x）=在R上有极值，则向量，的夹角的取值范围是．15．下列四个命题：①函数f（x）=cosxsinx的最大值为1；②命题“∀x∈R，x﹣2≤lgx”的否定是“∃x∈R，x﹣2＞lgx”；③若△ABC为锐角三角形，则有sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC；④“a≤0”是“函数f（x）=|x2﹣ax|在区间（0，+oo）内单调递增”的充分必要条件．其中所有正确命题的序号为．16．已知e为自然对数的底数，函数f（x）=e x﹣e﹣x+ln（+x）+1，f′（x）为其导函数，则f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n }满足：a 1=，a 2=2且3（a n +1﹣2a n +a n ﹣1）=2．（1）令b n =a n ﹣a n ﹣1，求证：{b n }是等差数列，并求{a n }的通项公式；（2）为使+++…+＞成立的最小的正整数n ．18．在用“五点法”画函数f （x ）=Asinx （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：（1）请将上表中①②③④处数据补充完整，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g （x ）的图象，求g （x ）在z ∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间．19．已知函数f （x ）=alnx ﹣bx 2图象上一点P （2，f （2））处的切线方程为y=﹣3x +2ln2+2．（1）求a ，b 的值；（2）若方程f （x ）+m=0在内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底）．20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成公差为1的等差数列，C=2A ．（1）求a ，b ，c 的值；（2）求方向上的投影．21．设函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣1（a ＞0）．（1）求函数f （x ）的最小值g （a ），并证明g （a ）≤0；（2）求证：∀n ∈N*，都有1n +1+2n +1+3n +1+…+n n +1＜成立．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-l：几何证明选讲】22．如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n}满足a2=2，a6=0，则数列{a n}的公差为（）A．B．2 C．﹣ D．﹣2【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的通项公式，列出方程求出公差d即可．【解答】解：等差数列{a n}中，a2=2，a6=0，∴a6﹣a2=4d=﹣2，解得d=﹣，∴数列{a n}的公差为﹣．故选：C．2．已知R是实数集，M==（）A．（﹣1，2）B．[一l，2]C．（0，2） D．[0，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先通过解不等式及函数的值域求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∵＜1，∴﹣1＜0，∴＞0，∴x（x﹣2）＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∴∁R M=[0，2]，∵y=x2﹣1≥﹣1，∴N=[﹣1，+∞），∴∁R M∩N=[0，2]，故选：D．3．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（ +λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出要用的+λ向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．∴=（1+λ，2）∵（+λ）∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴故选B．4．已知α∈（﹣，0），且sin2α=﹣，则sinα+cosα=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由题意易得2sinαcosα=﹣，由a∈（﹣，0），可得sinα+cosα=，代入即可求值得解．【解答】解：∵sin2α=﹣，∴2sinαcosα=﹣，∵a∈（﹣，0），∴cosα+sinα＞0，∴sinα+cosα===．故选：B．5．已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】数列与函数的综合．【分析】首先根据题意求出函数的导数为f′（x）=，再结合当x=b时函数取到极大值c，进而求出b与c的数值，再利用等比数列的性质得到答案．【解答】解：由题意可得：函数y=ln（x+2）﹣x，所以f′（x）=．因为当x=b时函数取到极大值c，所以有且ln（b+2）﹣b=c，解得：b=﹣1，c=1．即bc=﹣1．因为实数a，b，c，d成等比数列，所以ad=bc=﹣1．故选A．6．在等比数列{a n}中，a2+a3+…+a8=8， ++…+=2，则a5的值（）A．±2 B．2 C．±3 D．3【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的求和公式，可得=8，=2，两式相除，即可得出结论．【解答】解：设等比数列的公比为q，则∵a2+a3+…+a8=8， ++…+=2，∴=8，=2，∴，∴a5=±2．故选：A．7．已知函数f（x）=min，其中min（p，q}表示p，q两者中较小的一个，则满足f（x）＜1的x的集合为（）A．（0，）B．（0，）∪（4，+∞）C．（0，2） D．（0，2）∪（16，+∞）【考点】对数值大小的比较．【分析】先根据“设min{p，q}表示p，q两者中的较小的一个”求得函数f（x），再按分段函数用分类讨论解不等式．【解答】解：①当3﹣log2x＜log2x时，即x＞4时f（x）=3﹣log2x，②当3﹣log2x＞log2x时，即x＜4时f（x）=log2x，∴f（x）＜1；当x＞4时，f（x）=3﹣log2x＜1，此时：x＞16；当x＜4时f（x）=log2x＜1，此时：0＜x＜2；综上不等式的解集为：（0，2）∪（16，+∞）．故选：D．8．直线y=与曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则|等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知y=sin2x，依题意可求得M1，M2，M3，…M13的坐标，从而可求||的值．【解答】解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2cosxsinx=sin2x，∴由题意得：sin2x=，∴2x=2kπ+或2x=2kπ+，∴x=kπ+或x=kπ+，k∈Z，∵正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，∴得M1（，0），M2（，0），M3（π+），M4（π+），…M13（6π+，0），∴=（6π，0），∴||=6π．故选A．9．已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），则n≥2时，a12+a22+…+a n2=（）A．B．C． D．【考点】数列的求和．【分析】数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），当n=1时，a1=2．当n≥2时，a n=S n1，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．﹣S n﹣1【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，∴a n=，∴=．则n≥2时，a12+a22+…+=4+4×=．故选：B．10．已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a 的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]【考点】分段函数的应用．【分析】画出函数的图象，令y=2求出临界值，结合图象，即可得到a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=的图象如下图所示：∵函数f（x）的值域是[0，2]，∴1∈[0，a]，即a≥1，又由当y=2时，x3﹣3x=0，x=（0，﹣舍去），∴a∴a的取值范围是[1，]．故选：B．11．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，若＞x，则下列不等关系成立的是（）A．f（2）＜2f（1）B．3f（2）＞2f（3）C．ef（e）＜f（e2）D．ef（e2）＞f（e3）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=，求导g′（x）=，从而可判断函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，从而得到答案．【解答】解：令g（x）=，故g′（x）=，∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，∴f′（x）＜0，∵＞x，∴xf′（x）﹣f（x）＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故＞＞，＞＞，故2f（3）＞3f（2），f（2）＞2f（1），f（e3）＞ef（e2），ef（e）＜f（e2）；故选C．12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=4f（x）．x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣2，0）对任意的t∈[1，2）都有f（x）≥成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[12，+∞）C．（﹣∞，6]D．[6，+∞）【考点】抽象函数及其应用；分段函数的应用．【分析】求出x∈[﹣2，0），f（x）的最小值为﹣，则对任意的t∈[1，2）都有﹣≥成立，从而对任意的t∈[1，2）都有2a≥t3+4t2．求出右边的范围，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：设x∈[﹣2，0），则x+2∈[0，2），∵x∈[0，2）时，f（x）=的最小值为﹣，∴x∈[﹣2，0），f（x）的最小值为﹣，∴对任意的t∈[1，2）都有﹣≥成立，∴对任意的t∈[1，2）都有2a≥t3+4t2．令y=t3+4t2，则y′=3t2+8t＞0，∴y=t3+4t2在[1，2）上单调递增，∴5≤y＜24，∴2a≥24，∴a≥12，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．【考点】定积分．【分析】先由解的x的值，再利用定积分即可求得面积．【解答】解：由，解得x=0，1．∴曲线所围成图形的面积===．故答案是．14．已知向量，满足||=2||≠0，且函数在f （x ）=在R 上有极值，则向量，的夹角的取值范围是（，π）．【考点】利用导数研究函数的极值；平面向量数量积的运算．【分析】由已知条件得f′（x ）=x 2+||x +•=0成立，△=||2﹣4•＞0，由此能求出与的夹角的取值范围．【解答】解：∵关于x 的函数f （x ）=x 3+||x 2+•x 在R 上有极值， ∴f′（x ）=x 2+||x +•=0成立，方程有根， △=||2﹣4•＞0， ∴||2﹣4||•||cosθ＞0，由||=2||≠0，得cosθ，∴＜θ＜π故答案为：（，π）．15．下列四个命题：①函数f （x ）=cosxsinx 的最大值为1；②命题“∀x ∈R ，x ﹣2≤lgx”的否定是“∃x ∈R ，x ﹣2＞lgx”； ③若△ABC 为锐角三角形，则有sinA +sinB +sinC ＞cosA +cosB +cosC ；④“a ≤0”是“函数f （x ）=|x 2﹣ax |在区间（0，+oo ）内单调递增”的充分必要条件．其中所有正确命题的序号为 ②③④ ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①函数f （x ）=cosxsinx=sin2x 的最大值为，不正确； ②命题“∀x ∈R ，x ﹣2≤lgx”的否定是“∃x ∈R ，x ﹣2＞lgx”，正确；③∵△ABC 为锐角三角形，∴A +B ＞，∴A ＞﹣B ，∵y=sinx 在（0，）上是增函数，∴sinA ＞sin （﹣B ）=cosB 同理可得sinB ＞cosC ，sinC ＞cosA ，∴sinA +sinB +sinC ＞cosA +cosB +cosCsinA ，正确；④a ≤0，函数f （x ）=|x 2﹣ax |的零点是a ，0，结合二次函数的对称轴，可得函数f （x ）=|x 2﹣ax |在区间（0，+∞）内单调递增；若函数f （x ）=|x 2﹣ax |在区间（0，+∞）内单调递增，结合二次函数的对称轴，可得≤0，∴a ≤0，∴“a ≤0”是“函数f （x ）=|x 2﹣ax |在区间（0，+∞）内单调递增”的充分必要条件，正确．故答案为：②③④．16．已知e 为自然对数的底数，函数f （x ）=e x ﹣e ﹣x +ln （+x ）+1，f′（x ）为其导函数，则f （e ）+f′（e ）+f （﹣e ）﹣f′（﹣e ）= 2 ．【考点】导数的运算．【分析】由已知函数解析式，令函数g （x ）=f （x ）﹣1，可知函数g （x ）为奇函数，求导后判断g′（x ）=f′（x ）为偶函数，然后借助于函数奇偶性的性质可得f （e ）+f （﹣e ）=2，f′（e ）﹣f′（﹣e ）=0，由此求得f （e ）+f′（e ）+f （﹣e ）﹣f′（﹣e ）=2．【解答】解：f （x ）=e x ﹣e ﹣x +ln （+x ）+1，令g （x ）=f （x ）﹣1=e x ﹣e ﹣x +ln （+x ），则g （﹣x ）=f （﹣x ）﹣1=，g （x ）+g （﹣x ）=0，故g （x ）为奇函数，g′（x ）=f′（x ）==，由g′（x ）﹣g′（﹣x ）=﹣，可知g′（x ）=f′（x ）为偶函数，g （e ）+g （﹣e ）=f （e ）﹣1+f （﹣e ）﹣1=0，∴f （e ）+f （﹣e ）=2．又f′（e ）=f′（﹣e ）， ∴f′（e ）﹣f′（﹣e ）=0，∴f （e ）+f′（e ）+f （﹣e ）﹣f′（﹣e ）=2．故答案为：2．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n }满足：a 1=，a 2=2且3（a n +1﹣2a n +a n ﹣1）=2．（1）令b n =a n ﹣a n ﹣1，求证：{b n }是等差数列，并求{a n }的通项公式；（2）为使+++…+＞成立的最小的正整数n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由3（a n +1﹣2a n +a n ﹣1）=2，变形为：a n +1﹣a n =a n ﹣a n ﹣1+．可得b n +1﹣b n =，利用等差数列的定义即可证明．（2）由（1）可得：a n ﹣a n ﹣1=．利用“累加求和”可得：a n =a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）=，可得=3．利用“裂项求和”可得：+++…+=3=＞，解出即可．【解答】（1）证明：∵3（a n +1﹣2a n +a n ﹣1）=2，变形为：a n +1﹣a n =a n ﹣a n ﹣1+． ∵b n =a n ﹣a n ﹣1，∴b n +1﹣b n =，由a 2﹣a 1=a 1﹣a 0+，∴=b 1+，解得b 1=．∴{b n }是等差数列，首项为，公差为．∴b n ==．（2）解：由（1）可得：a n ﹣a n ﹣1=．∴a n =a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）=+×2++…+=，∴=3．∴+++…+=3+…+=3=＞成立，则n ＞5．因此为使+++…+＞成立的最小的正整数n=6．18．在用“五点法”画函数f （x ）=Asinx （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：（1）请将上表中①②③④处数据补充完整，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g （x ）的图象，求g （x ）在z ∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间．【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】（1）根据用五点法作函数f （x ）=Asinx （ωx +φ）的图象，求得表中①②③④处数据，并直接写出函数f （x ）的解析式．（2）由条件利用 y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，求得g （x ）=2sin （x +），再根据整弦函数的单调性求得g （x ）在z ∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间．【解答】解：（1）由表格可得A=2，再根据ω•2π+φ=，ω•5π+φ=，求得ω=，φ=﹣，令x ﹣=0，求得x=故①为．令x ﹣=π，求得x=，Asin0=0，故②为，④为0．令x ﹣=2π，求得x=，故③为．函数f （x ）的解析式为f （x ）=2sin （x ﹣），（2）将y=f （x ）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到y=2sin （x ﹣），再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g （x ）=2sin [（x +π）﹣]=2sin （x +）的图象．由2kπ﹣≤x +≤2kπ+，求得4kπ﹣≤x ≤4kπ+，k ∈Z ，故g （x ）在z ∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间为[﹣，]．19．已知函数f （x ）=alnx ﹣bx 2图象上一点P （2，f （2））处的切线方程为y=﹣3x +2ln2+2．（1）求a ，b 的值；（2）若方程f （x ）+m=0在内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底）．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】（1）对函数f （x ）进行求导，根据f'（2）=﹣3得到关于a 、b 的关系式，再将x=2代入切线方程得到f （2）的值从而求出答案．（2）由（1）确定函数f （x ）的解析式，进而表示出函数h （x ）后对其求导，根据单调性与其极值点确定关系式得到答案．【解答】解（1），，f （2）=aln2﹣4b ．∴，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2．解得a=2，b=1．（2）f （x ）=2lnx ﹣x 2，令h （x ）=f （x ）+m=2lnx ﹣x 2+m ，则，令h'（x ）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在内，当x∈时，h'（x）＞0，∴h（x）是增函数；当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，∴h（x）是减函数．则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是即1＜m≤．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．（1）求a，b，c的值；（2）求方向上的投影．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（1）由a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．可分别设为b﹣1，b，b+1，由正弦定理可得：．又由余弦定理可得：（b﹣1）2=（b+1）2+b2﹣2b（b+1）•，化为b2﹣5b=0，b＞1，解得b．即可得出．（2）由（1）可知：cosA=，可得cosC=cos2A=2cos2A﹣1．由于与的夹角为（π﹣C），可得方向上的投影=cos（π﹣C）．【解答】解：（1）∵a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．∴可分别设为b﹣1，b，b+1，由正弦定理可得：=，化为．又由余弦定理可得：（b﹣1）2=（b+1）2+b2﹣2b（b+1）•，化为b2﹣5b=0，b＞1，解得b=5．∴a，b，c的值分别为4，5，6．（2）由（1）可知：cosA=，∴cosC=cos2A=2cos2A﹣1=．∵与的夹角为（π﹣C），∴方向上的投影=cos （π﹣C ）=5×（﹣cosC=）=﹣．21．设函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣1（a ＞0）．（1）求函数f （x ）的最小值g （a ），并证明g （a ）≤0；（2）求证：∀n ∈N*，都有1n +1+2n +1+3n +1+…+n n +1＜成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求出函数f （x ）的单调区间，从而求出f （x ）的最小值g （a ）=a ﹣lna ﹣1，再求出g （a ）的单调区间，从而得到g （a ）≤0；（2）根据题意得到e x ＞x +1，从而可得（x +1）n +1＜（e x ）n +1=e （n +1）x ，给x 赋值，从而得到答案．【解答】解：（1）由a ＞0，及f′（x ）=e x ﹣a 可得：函数f （x ）在（﹣∞，lna ）递减，在（lna ，+∞）递增， ∴函数f （x ）的最小值g （a ）=f （lna ）=a ﹣alna ﹣1，则g′（a ）=﹣lna ，故a ∈（0，1）时，g′（a ）＞0，a ∈（1，+∞）时，g′（a ）＜0，从而g （a ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，且g （1）=0，故g （a ）≤0；（2）证明：由（Ⅱ）可知，当a=1时，总有f （x ）=e x ﹣x ﹣1≥0，当且仅当x=0时“=”成立，即x ＞0时，总有e x ＞x +1，于是可得（x +1）n +1＜（e x ）n +1=e （n +1）x ，令x +1=，即x=﹣，可得（）n +1＜e ﹣n ，令x +1=，即x=﹣，可得：（）n +1＜e 1﹣n ，令x +1=，即x=﹣，可得：（）n +1＜e 2﹣n ，…，令x +1=，即x=﹣，可得：（）n +1＜e ﹣1，对以上各等式求和可得：（）n +1+（）n +1+（）n +1+…+（）n +1＜e ﹣n +e 1﹣n +e 2﹣n +…+e ﹣1=＜＜，∴对任意的正整数n，都有（）n+1+（）n+1+（）n+1+…+（）n+1＜，∴1n+1+2n+1+3n+1+…+n n+1＜成立．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-l：几何证明选讲】22．如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线．【解答】证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．∴，得．∵G是AD的中点，即DG=AG．∴BF=EF．（2）连接AO，AB．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】对第（Ⅰ）问，根据“”直接写出l的参数方程，利用极坐标与直角坐标的转换关系式，可将曲线C的方程化为直角坐标方程；对第（Ⅱ）问，联立l的参数方程与曲线C的普通方程，消去x与y，得到关于t的一元二次方程，写出|PM|+|PN|关于t及α的表达式，利用韦达定理及α的范围，可探求|PM|+|PN|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l过定点P（4，2），且倾斜角为α，∴l的参数方程为（t为参数）．由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，将代入上式中，整理得曲线C的普通方程为x2+y2﹣4x=0．（Ⅱ）将l的参数方程代入x2+y2=4x中，得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，由题意有△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，得sinα•cosα＞0，∵0≤α＜π，∴sinα＞0，且cosα＞0，从而0＜α＜．设点M，N对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得t1+t2=﹣4（sinα+cosα）＜0，t1•t2=4＞0，∴t1＜0，且t2＜0，∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=﹣t1﹣t2=4（sinα+cosα）=．由0＜α＜，得，∴≤1，故|PM|+|PN|的取值范围是．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由m＞0，由f（x）的解析式利用绝对值三角不等式证得结论．（Ⅱ）分当＜2时和当≥2时两种情况，分别根据f（2）＞5，求得m的范围，再把所得m的范围取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）由m＞0，有f（x）=|x﹣|+|x+m|≥|﹣（x﹣）+x+m|=+m≥4，当且仅当=m，即m=2时取“=”，所以f（x）≥4成立．（Ⅱ）f（2）=|2﹣|+|2+m|．当＜2，即m＞2时，f（2）=m﹣+4，由f（2）＞5，求得m＞．当≥2，即0＜m≤2时，f（2）=+m，由f（2）＞5，求得0＜m＜1．综上，m的取值范围是（0，1）∪（，+∞）．2017年1月15日。

2015-2016年河南省洛阳市高二上学期数学期中试卷及参考答案（文科）

2015-2016年河南省洛阳市高二上学期数学期中试卷及参考答案（文科）2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．2．（5分）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+B．当x时，sinx+的最小值为4C．当x＞0时，≥2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值3．（5分）已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）A．7 B．15 C．30 D．314．（5分）已知△ABC满足：，，则BC的长是（）A．2 B．1 C．1或2 D．35．（5分）若等比数列{a n}的公比q＜0，前n项和为S n，则S8a9与S9a8的大小关系是（）A．S8a9＞S9a8B．S8a9＜S9a8C．S8a9=S9a8D．不确定6．（5分）已知△ABC的两边长分别为2，3，这两边的夹角的余弦值为，则△ABC的外接圆的直径为（）A．B．C．D．87．（5分）若关于x的不等式x2﹣4x≥m对x∈（0，1]恒成立，则（）A．m≥﹣3 B．m≤﹣3 C．﹣3≤m＜0 D．m≥﹣4 8．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＜bcosA，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定9．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积S=a2﹣（b ﹣c）2，则tan=（）A．B．C．D．10．（5分）若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．11．（5分）若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）如果f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m＞2，n＞0）在[]上单调递减，则+的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则=．14．（5分）已知{a n}为等比数列，S n是它的前n项和．若a2?a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S6=．15．（5分）记不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y=a （x+1）与D没有公共点，则实数a的取值范围是．16．（5分）在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b=a+c，则B的取值范围是．三、解答题17．（10分）已知f（x）=﹣3x2+m（6﹣m）x+6（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＞n的解集为（﹣1，3），求实数m，n的值；（Ⅱ）解关于m的不等式f（1）＜0．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=2，上一页下一页。

河南省洛阳市2015-2016学年高二数学下学期期中试题文

洛阳市2015——2016学年第二学期期中考试高二数学试卷（理A ）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数z 满足(3)(2)5(z i i --=为虚数单位），则z 为（） A ．2i -+ B ．2i - C ．5i + D ．5i -2、向量1OZ 对应的复数是54i -，向量2OZ 对应的复数是54i -+，则向量12Z Z对应的复数是（）A ．108i -+B ．108i -C ．810i -+D ．810i +-3、某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程ˆ8.57.5y=+，则表中的m 的值为（）A ．50B ．55C ．60D ．654、在对吸烟与患肺病转这两个分类变量的独立性减压中，下列说法真确的是：（） ①若2K 的观测值满足26.635K ≥，我们有99%的把握恩威吸烟与患肺病有关系； ②若2K 的观测值满足26.635K ≥，那么在100个吸烟的人中有99人患肺病；③动独立性检验可知，如果有99%的把握恩威吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病；④从统计量中得到由99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指与1%的可能性使判断出现错误。

A ．① B ．②③ C ．①④ D ．①②③④ 5、下面几种推理过程中是演绎推理的是（）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行线的同旁内角，则180A B ∠+∠=B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；C ．某校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人；D ．数列{}n a 中，111111,()(2)2n n n a a a n a --==+≥，由此归纳出{}n a 的通项公式。

河南省洛阳市2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求的..1 已知集合 A=｛X |X 2V 1｝，集合 B=｛x| v 1｝，则 A A B=（）A . (- 1 , 0)B . (0, 1)C . (1, +8)D . ?2.已知实数X , y 满足不等式组，则一的最大值为（）A . 0B . —C . 1D . 2223.抛物线y=4x 的准线方程为（)A . X = - 1B . y= - 1C . X = ---------------- :D . y= -------- r16 1624. 已知△ ABC 内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c , B=60 ° b =ac ,则A=( )A. 30° B . 45° C . 60° D . 90° 5. 方程-兰_=i 表示双曲线”是n >- 1”的( )2+n n+1A .充分不必要条件B .必要且不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.已知等差数列｛a n ｝中，前n 项和为S n, a i > 0, a ioo7+a io°8=O ，则当S n 取最大值时，n=（）A. 1007 B . 1008 C . 2014 D . 2015 7.双曲线CJ - =1 (a > 0, b > 0)与直线/ b 22 2=1与双曲线二-=1有共同的焦点F 1, F 2，两曲线的一个交点为m 5P ,则：；I -^1 -的值为（）A . 3B . 7C . 11D . 2111.已知△ ABC 内角A , B , C 的对边分别是a , b , c ,以下说法：y=x 交于不同的两点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ A . 9. A . )(1,. JU( '■, +8) B . C ', +m )已知 ABCD - A 1B 1C 1D 1为正方体，则二面角 _B .匚C .3 2 若命题“* € ( 1,(-8,- 2] B . C . (1 , ") D .( 一, B - A 1C 1-A 的余弦值为(-D -+ 8) , X 2 (-8, 2] VI2 ■ (2+a ) x+2+a > 0"为真命题，贝U 实数a 的取值范围是()C . [ - 2, 2]D .(-汽-2] U [2, +R )2 2 10.已知椭圆' +：C 2A 32①在厶ABC中，a, b, c成等差数列”是acos「+CCOS b"的充要条件;②命题在锐角三角形ABC中，sinA >cosB"的逆命题和逆否命题均为真命题；③命题対任意三角形ABC , sinA+sinB > sinC”为假命题.正确的个数为( )A . 0 B. 1 C. 2 D. 32212•如图，椭圆一匸< =1 (a>b>0)的左右顶点分别为A i, A2,上顶点为B，从椭圆上a2 b Z一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，且A2B // OP, | FA2| = r+ .二，过A2作x轴的垂线l，点M是I上任意一点，A i M交椭圆于点N，则|]? ■'=( )A. 10B. 5C. 15D .随点M在直线l上的位置变化而变化二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13. ____________________________________________________ 已知数列｛a n｝的前n项和为S n=2n-3n,则a6+a7+a8= ____________________________________ ./ 214. __________________________________________________ 已知实数x, y满足——+y =1，则x+2y的最大值为_________________________________________ .415. 四棱柱ABCD - A1B1C1D1 各棱长均为1,Z A[AB= / A1AD= / BAD=60 ° 则点B 与点D1两点间的距离为_______ .16. 已知p: 匸Z w 0”，q : “2- 2x+1 - m2v 0 ( m v 0) ”，命题若」p,则」q”为假命题，x+2若「q,则」p”为真命题，则实数m的取值范围是_________ .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤217. 已知f (x) =ax -( a+2) x+2.(1)若实数a v 0,求关于x的不等式f (x)> 0的解集；(2)若“ w x 是“ (x) +2x v 0”的充分条件，求正实数a的取值范围.2418. 已知等比数列｛a n｝的前n项和为S n,公比q > 1 , S2=6,(1 )求a n 和S n；] ] I（2）设bn=log2an，求Tn=「+「19. 已知△ ABC内角A , B , C的对边分别为a, b, c. (1 )若b是a与c的等比中项，求B的取值范围；7T(2)若B=..，求sinA+sinC的取值范围.且a2是a3与a3- 2的等差中项.20. 已知点A (- 了，0)和圆B: (x-匚)2+y2=16，点Q在圆B上，线段AQ 分线角BQ于点P.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)轨迹C上是否存在直线2x+y+仁0对称的两点，若存在，设这两个点分别为直线ST 的方程，若不存在，请说明理由.21. 如图，ABCD是边长为a的正方形，PA丄平面ABCD .(1 )若PA=AB，点E是PC的中点，求直线AE与平面PCD所成角的正弦值；(2)若BE丄PC且交点为E, BE=—2a, G为CD的中点，线段AB上是否存在点3EF //平面PAG ?若存在，求AF的长；若不存在，请说明理由.222•斜率为1的直线I经过抛物线E：y =2px ( p> 0)的焦点，且被抛物线所截得弦长为4.(1)求实数P的值；(2)点P是抛物线E上一点，线段CD在y轴上，△ PCD的内切方程为(x- 1) 求厶PCD面积的最小值.CbOD的垂直平S，T，求F，使得AB的2 2+y =1，2015-2016学年河南省洛阳市高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的..2 "1 已知集合A={x|x v 1}，集合B={x|—V 1}，则A H B=( )KA.(- 1 , 0)B. (0, 1)C. (1, +s)D. ?【考点】交集及其运算.【分析】求出A与B中不等式的解集，分别确定出A与B，找出两集合的交集即可.【解答】解：由A中不等式解得：-1V x v 1,即卩A= (- 1 , 1),当x v 0时，B中不等式变形得：x v 1,此时x v 0;当x>0时，B中不等式变形得：x> 1,此时x> 1,••• B= (-s, 0)U( 1 , +s),则 A AB= (- 1 , 0),故选：A.2•已知实数x, y满足不等式组y>!，则/的最大值为( )A. 0 B —C. 1 D. 2【考点】简单线性规划.【分析】作出可行域，目标函数表示可行域内的点与原点连线的斜率，数形结合可得【解答】解：作出不等式组勺y>l 所对应的可行域(如图△ABC及内部)，目标函数兰表示可行域内的点与原点连线的斜率，*数形结合可知当直线经过点 A (1 , 2)时，丄取最大值2,故选：D.3.抛物线y=4x 2的准线方程为( )【考点】抛物线的简单性质.【分析】由抛物线的准线方程的定义可求得.【解答】解：因为抛物线y=4x 2，可化为：x 2= ! y , 则抛物线的准线方程为 y=-—.16故选：D .24•已知△ ABC 内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c , B=60 ° b =ac ,则A=( )A . 30°B . 45°C . 60°D . 90° 【考点】余弦定理；正弦定理.【分析】利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出.2 2 2 2 2【解答】解：由余弦定理可得： b =a +c - 2accosB=a +c - ac=ac, 化为(a - c )2=0，解得 a=c . 又 B=60°,•••△ ABC 是等边三角形， ••• A=60 ° 故选：C .2 25.方程盘-話日表示双曲线”是厲>-心-)A .充分不必要条件B .必要且不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 2—=1表示双曲线？ ( 2+n ) (n+1 )> 0,解得n 即可得出.n+12 2【解答】解：方程’-'=1表示双曲线？ (2+n ) (n+1 )> 0,解得n >— 1或n v- 2. 2+nn+1A . x=-1 B . y= - 1 C . x=-. 16D . y =-【分析】方程旦2+n^2 (2)•••方程卫_-主_=1表示双曲线”是“ >-1”的必要不充分条件.2+n n+1故选：B.6.已知等差数列｛a n｝中，前n项和为S n, a〕〉0, ae o7+a ioo8=O，则当S n取最大值时，n=( )A. 1007B. 1008C. 2014 D . 2015【考点】等差数列的性质.【分析】由等差数列的性质和题意易得数列｛a n｝的前1007项为正，从第1008项开始为负，易得结论.【解答】解：•••等差数列｛a n｝中，前n项和为S n,纳> 0, a1007+a1008=0,•- a10o7> 0且a10o8v 0,即等差数列｛如｝的前1007项为正，从第1008项开始为负，•••当S n取最大值时，n=1007 .故选：A2 27•双曲线C：' -~r=1 (a> 0, b> 0)与直线y=x交于不同的两点，则双曲线C的离心』b2率的取值范围是( )A. (1, .一)U( : +R) B . ( 一，+R)C. (1 , 7) D . ( 一，2)【考点】双曲线的简单性质.【分析】将直线y=x代入双曲线的方程，由题意可得b2- a2>0，再由a, b, c的关系和离心率公式即可得到所求范围.2 2【解答】解：将直线y=x代入双曲线一L -二=1，可得：a b2(b2- a2) x2=a2b2,2 2由题意可得b - a > 0,即有c2- 2a2> 0,即为e2>2，即e>二.故选：B.&已知ABCD - A1B1C1D1为正方体，则二面角B- A1C1-A的余弦值为( )A .匚B .匚C.匚D."3 2 3 2【考点】二面角的平面角及求法.【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD 1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角B - A1C1- A的余弦值.【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD〔为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,则 A (1, 0, 0), A1 (1, 0, 1), B (1, 1 , 0) , C1 (0 , 1 , 1),A&广(-1, 1, 0), A]A = (0, o ,- 1), Aj B =(0,1，- 1)，设平面A 1C 1A 的法向量：=(x , y , z ),n* Ai C i = _ i+y=0则、丄，取 x=1，得 7 = (1,1, 0),口讪靜=-工二0设平面A 1C 1B 的法向量-■= (a , b , c ),"m-AiC t = - a+b=0则、丄,取 a=1，得;=(1 , 1, 1),- c 二0设二面角B - A 1C 1 - A 的平面角为0 ,面角B - A 1C1- A 的余弦值为故选：C .9.若命题？ x € (1 , +呵，x 2- (2+a ) x+2+a 》0"为真命题，贝U 实数a 的取值范围是( )A . ( - s , - 2]B . (- ^ , 2]C . [ - 2 , 2]D . ( - s , - 2] U [2 , +呵【考点】全称命题.【分析】根据不等式恒成立的关系转化为一元二次函数，讨论判别式△的取值，进行求解即可.【解答】解：判别式△ = ( 2+a ) 2 -4 (2+a ) = (a+2) ( a -2), 若判别式厶=(a+2) (a - 2)w 0 ,即-2w a w 2时，不等式恒成立，满足条件. 若判别式厶=(a+2) (a - 2)> 0即a >2或a v- 2时，2设 f (x ) =x -( 2+a ) x+2+a ,要使命题 ? x €( 1, +s), x 2-( 2+a ) x+2+a > 0"为真命题, 则满足*―2 F■/ a >2 或 a v - 2, /• a v- 2 , 综上，a w2 ,则cos故选：B .10•已知椭圆'+厂=1与双曲线二-厂=1有共同的焦点F i , F 2,两曲线的一个交点为25 16m 5P ，则「丨•？「丨的值为( )A . 3B . 7C . 11D . 21【考点】椭圆的简单性质.【分析】由题意可得m=4，联立椭圆方程和双曲线的方程可得第一象限的 P 的坐标，求出向量T -Fp ^1 .一,的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值.2 2 2 2I 解答】解：椭圆、=1与双曲线1」=1有共同焦点为(土 3，°)，即有m=4，联立椭圆方程和双曲线的方程可得第一象限的点-警),瓦=(3-乎故选：C .11. 已知△ ABC 内角A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,以下说法：2广 2 A %① 在△ ABC 中，a, b , c 成等差数列”是acof.+CC0S 2； = [ b”的充要条件; ② 命题在锐角三角形 ABC 中，sinA > cosB ”的逆命题和逆否命题均为真命题; ③ 命题对任意三角形 ABC , sinA+sinB > sinC”为假命题. 正确的个数为()A . 0B . 1C . 2D . 3【考点】命题的真假判断与应用.【分析】①根据等差数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断. ② 根据四种命题之间的关系进行判断即可. ③ 根据正弦定理进行判断即可.【解答】解：①若acos 2号+ccos 2£=£"b , 即 a (1 +cosC ) +c (1 +cosA ) =3b ,由正弦定理得：sinA+sinAcosC +sinC+cosAsinC=3sinB , 即 sinA+sinC+sin (A+C ) =3sinB , 可得 sinA+sinC=2sinB ,由正弦定理可得，整理得： a+c=2b ,故a , b , c 为等差数列；反之也成立，即，a , b , c 成等差数列”是acos 2^+ccos 2A^.b ”的充要条件；故 ①正确， —IT IT TV10 2^20)即有X •?〕・=(-3-[)(3 )80 +—-9100 80-9=11.②在锐角三角形ABC中，贝U A+B >——，于是——> A> B ———> 0,IT则sinA > Sin ( B - ) =cosB，即sinA >cosB成立，则原命题为真命题.则逆否命题也为2真命题，命题在锐角三角形ABC中，sinA > cosB"的逆命题为：若sinA > cosB，则三角形为锐角三角形，在三角形中，当B为钝角时，cosB v 0,此时满足sinA > cosB,则命题的逆否命题为假命题.故②错误，③在三角形中，由正弦定理得若対任意三角形ABC , sinA+sinB > sinC”则等价为对任意三角形ABC , a+b > c成立，即命题对任意三角形ABC , sinA+sinB >sinC”为真命题，故③错误，故正确的个数是1,故选：B2 212. 如图，椭圆一=+——=1 (a>b>0)的左右顶点分别为A i, A2,上顶点为B，从椭圆上『b2一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，且A2B // OP, | FA2| = •—+匚，过A2作x轴的垂线I，点M是I上任意一点，A1M交椭圆于点N，则'1? .■=( )A. 10B. 5C. 15D .随点M在直线l上的位置变化而变化【考点】椭圆的简单性质.【分析】由F的坐标，求得P的坐标，运用两直线平行的条件：斜率相等，可得b=c,再由条件可得a= T , b=c=.二，求得椭圆方程，设出M的坐标，设出直线MN的方程，联立椭圆方程，消去y,由韦达定理可得N的横坐标，进而得到N的纵坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值.2【解答】解：由F (- c, 0)，可得P (- c,卫一),aA2 (a, 0), B ( 0, b),即有k op= —,2可得-二一=-丄,即有b=c , a= -c ,ac a|FA 2|=a+c= —+ 二,解得 a= ； \ . ' , b = C=屮, 即有椭圆的方程为'+二=1 ,10 5设 M t ）, A i （—{Id 0）, :尸十（X+—），2 2X +2y =10,可得（20+t 2） x 2+2 7?t 2x+10t 2- 200=0,’ +t?牟 20+t 3 20+200+10t =亍=10.20+t 2故选：A .二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分.、共20分.13. 已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n =2n — 3n ,则a 6+a 7+a 8= 215 【考点】数列的求和. 【分析】利用a 6+a 7+a 8=S 8— S 5,代入计算即得结论. 【解答】解：T S n =2n — 3n , a 6+a 7+a 8=S 8 — S 5=(28- 3 X 8) — ( 25 - 3 X 5) =215,故答案为：215.14. 已知实数x , y 满足' +y 2=1，则x+2y 的最大值为一2「—.4【考点】椭圆的简单性质.【分析】利用椭圆的参数方程和三角函数的性质求解./ 2【解答】解：•••实数X , y 满足——+y 2=1,4I x=2cds 9. 口 ,Bv 2 n ,V^sin yjr x+2y=2cos (+2sin 9=2 sin (一.——),° J4••• x+2y 的最大值为 2 ~.故答案为：2 =即有直线A IM 代入椭圆方程（—.门）?X N =10宀 200 20+t 2可得X N =20+t 220t2， yN = g_（幼+下）=.15. 四棱柱ABCD - A i B i C i D i 各棱长均为1,/ A i AB= / A i AD= / BAD=60 ° 则点B 与点D i两点间的距离为_ ' _.【考点】棱柱的结构特征.【分析】由已知得；I =不+亦--帀打，由此能求出点B与点Di两点间的距离.【解答】解：•••四棱柱ABCD - A i B i C i D i各棱长均为i,/ A i AB= /A i AD= / BAD=60 °：=JPdTE -• f U' = ( mil - 111】：)2=江1借「+ 卩|? ；+2• —：一|+2 J • ：;!i+2j<- r iHl.=i+i+i+2 x i X i x cosi20°+2X i x i x cosi20°+2 x i X i X cos60°=2,•I 辽〕=二.•••点B与点D i两点间的距离为故答案为:暑匚.”一」2 2i6.已知p: “ , < 0”，q : x2- 2x+i - m2v 0 ( m v 0) ”，命题若「卩，则「q”为假命题, A w 若「口，则「p"为真命题，则实数m的取值范围是_____ (-汽-3]_ .【考点】复合命题的真假.【分析】分别求出p, q为真时的x的范围，根据p? q,而q推不出p,求出m的范围即可.Y - 2【解答】解：若p：“藍+2w 0”为真命题，则p：- 2v x w 2；若q：x2- 2x+1 - m2v 0 ( m v 0) ”为真命题，则1+m v x v 1 - m,命题若「p，则「q”为假命题，若「口，则「p”为真命题，即p? q，而q推不出p,-2>l+m/，解得：m v- 3,2<1 -m将m= - 3代入符合题意，故答案为：(-R,- 3].三、解答题：本大题共 6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤217.已知 f (x ) =ax -( a+2) x+2.(1)若实数a v 0,求关于x 的不等式f (x )> 0的解集；也 w x w §”2 4必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法.(1) : a(2 )若【考点】的两根为是“(x )+2x v 0”勺充分条件，求正实数 a 的取值范围. 2f (x ) =ax 2 -( a+2) x+2= (ax - 2) 2且• v 1,即可得出.a(x - 1), a v 0，可得 ax 2-( a+2) x+2=0(2) f ( x )2+2x v 0 化为：g (x ) =ax - ax+2v 0,“ w x w ”是 f'(x ) +2x v 0”的充分条2 4件，可得【解答】的两根为，又a > 0，解得a 范围.解：(1) f (x ) =ax 2 -(a+2) x+2= ( ax - 2) (x - 1),v a v 0,「. ax 2 -(a+2) x+2=0—,且—v 1. a a•关于x 的不等式f (x )> 0的解集为•.a(2) f (x ) +2x v 0 化为：g (x ) =ax 2- ax+2 v 0,••• fw x w ”是 f (x ) +2x v 0”的充分条件，2 4J 'I 又 a > 0,解得 a >..•••正实数a 的取值范围是 —■ < <18.已知等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,公比q > 1, S 2=6,且a 2是毛与毛-2的等差中项. (1 )求an 和 S n ；(2 )设【考点】【分析】论；] ] ]Tog^n,求 Tn=：； +： +••+；：.数列的求和；等比数列的通项公式.(1)联立a 1 (1+q ) =6及2a 1q=a 1+a 1孑-2,计算可知q=2、a 〔=2，进而计算可得结(2)通过(1)裂项可知一=丄(丄-丄)，进而并项相加即得结论.(2)通过(1)裂项可知【解答】解：(1)依题意，a i (1+q) =6,① 2 22a i q=a i+a i q - 2,即卩纳(q - 2q+1) =2,②①十②并化简得：3q2- 7q+2=0,解得：q=2或q=_ (舍)，3代入①并化简得：a i=2,则a n=2n, S n=?——匚丄=2n+1- 2;1-2(2 )由(1)可知b n=log 2a n= n,•••—-—= =■ (■ -■)^n^rH-2 n(n+2) 2 n n+2= ：；+「：,：1.111 1 1、2 (3 24 n n+271 一 1 1 1、2 ( 2 ^-1 n+2;二卫口2+jip=七7上吃19 .已知△ ABC内角A , B , C的对边分别为a, b, c.(1 )若b是a与c的等比中项，求B的取值范围；JT(2 )若B=..，求sinA+sinC的取值范围.3【考点】余弦定理；正弦定理.2丄2 t 2 7向广一曲广【分析】(1) b是a与c的等比中项，可得cosB=：' 汀.............. =.，即可得出2ac 2ac 2B的取值范围.(2) si nA+sinC=sinA+u」一_「=■-■ j 一，由于..A'-..—，可得1JT-'W 1 .即可得出.26【解答】解：(1)v b是a与c的等比中项，只2*厂?-卜2 2ac - ac 1••• cosB= •' > ==，当且仅当a=c时取等号，可W cosB v 1,2 sc 2QC2 2又O v B V n, • B的取值范围是(山冷-].(2) sinA+sinC=sinA +•••「二，•••」「「二1.•••¥< Id—; :i".:故sinA+sinC的取值范围是2 220. 已知点A (-二，0)和圆B: (x-二)+y =16，点Q在圆B上，线段AQ的垂直平分线角BQ于点P.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)轨迹C上是否存在直线2x+y+仁0对称的两点，若存在，设这两个点分别为S, T,求直线ST的方程，若不存在，请说明理由.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(1)直接由题意可得|PA|+| PB|| =4 > | AB | =2.二符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由b2=a2- c2求得b2,则点P的轨迹方程可求；(2)设S (X1, y1), T (X2, y2),由题意可设直线ST的方程为y=*x+m,与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用线段ST的中点(-〕m,〕m)在对称轴2x+y+1=0上,33即可得出结论.【解答】解：(1)由题意知|PQ|=|PA| ,•I PA|+| PB|| =4> | AB | =2 -由椭圆定义知P点的轨迹是以A, B为焦点椭圆，a=2, c= 7•- b= . ■,2 2•••点P的轨迹的方程是、一’=1;42(2)设存在直线ST的方程为y=,：x+m，与椭圆方程联立，化简可得3x2+4mx+4m2- 8=0 .S (X1, y1), T (X2 , y2),贝V X1+X2=-—, X1X2= ----- —广32 2•••线段ST的中点(-_m , ：_ m)在对称轴2x+y+1=0上，O O42m+ m+1=0 ,33•m=-=,满足△> 0,1 3•••存在直线ST的方程为y= 一x+.21. 如图，ABCD是边长为a的正方形，PA丄平面ABCD .(1 )若PA=AB ,点E是PC的中点，求直线AE与平面PCD所成角的正弦值;(2)若BE 丄PC 且交点为E , BE=』La , G 为CD 的中点，线段AB 上是否存在点F ,使得3求 AF 的长；若不存在，请说明理由.【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定. 【分析】(1 )以A 为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面 PCD 的法向量，即可求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值；确定E 的坐标，平面PAG 的法向量，利用EF //平面PAG ,；二? =0,即可得出结论. 【解答】解：(1)以A 为原点，建立如图所示的坐标系，则 A ( 0, 0, 0), B (a , 0, 0), 2•(- X ) +[ •/ BE 丄 PC ,2 2 2• X a -(1 - X a + ?c =0,2 1 - 2丸2②…c = 庄 a ,② 由①②解得,c=a ,2 2 1•••E (.一a , .： a ,a ), p (0, 0, a )C (a , a , 0),D (0, a , 0), P(0,0,a),E —i a ■'■ = (-,a a —■芳刃,DC =(a, 0，0), PE = (0，a ，- a ),设平面PCD 的法向量'(X , y , z ),则 *ax=O ay -az=O取■= (0, 1, 1)，则直线 AE 与平面PCD 所成角的正弦值为(2) G ( , a , 0)，设 P 设=入，则• = (- X a ,•/ BE= a3 ，E (( 1-入) (1 —入)a ,(0, 0, c ) (c > 0)，则 L -= (- a , - a , c ),a , (1 - X )a ,入c ), 比),若存在满足条件的点F，可设AF=l (0< l w a),则F (l, 0, 0),玮=(l - ] a,3a).ap=0设平面PAG的法向量为：=(s, t, p),则，i ,■2"as+at=0•- r= ((- 2, 1 , 0),•/ EF //平面PAG, •? =0,42• •—21+ a —a=0,3 3/. l^—a,3•••存在满足条件的点F, AF= ._a.222•斜率为1的直线I经过抛物线E：y =2px ( p> 0)的焦点，且被抛物线所截得弦AB的长为4.(1)求实数p的值；(2)点P是抛物线E上一点，线段CD在y轴上，△ PCD的内切方程为(x—1) 2+y2=l , 求厶PCD面积的最小值.【考点】抛物线的简单性质.【分析】(1)求出抛物线的焦点，设出直线l的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得p=1，进而得到抛物线方程；y0 - c (2)设P (x o, y°), C (0, c), D (0, d)不妨设c>d，直线PC 的方程为y-c= ——x, x0由直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，结合韦达定理，以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值.【解答】解：(1)抛物线的焦点为(,0),直线l的方程：y=x —一，与抛物线E: y2=2px联立消去y得(x - 一)2=2px ,a，2/. x2- 3px+ =0,4设 A (x i, y i), B (X2, y2),贝V x i+X2=3p,又|AB|=|AF|+| BF| =x1+x2+p=4 ,所以，3p+p=4, p=1 ;(2)设P (x o, y o), C (0, c), D (0, d)不妨设c>d,直线PC的方程为y - c= ------------ x,s0化简得(y o - c) x - x o y+x o c=0,又圆心(1 , 0)到直线PC的距离为1 ,1^0_ C+l0C l 2 2 2 2 2故----------- ； ----- =1 ,即(y o- c) +x o = (y o- c) +2x o c (y o- c) +x°c ,-1 -不难发现x o>2 ,上式又可化为(x o-2) c2+2y o c- x o=0 , 同理有(x o - 2) d2+2y o d - x o=0 ,2所以c , d可以看做关于t的一元二次方程(x o - 2) t +2y o t- x o=0的两个实数根,贝H c+d= - • ' , cd= ---------- |勺- 2 切- 2因为点P (x o , y o)是抛物线r上的动点，所以y°2=2x o ,4龙22 2 r *f|所以(c- d) 2= (c+d) 2- 4cd=—,(忙2厂2巧又x o>2 ,所以c- d= ------------1 Q所以S^PBC= - (c- d) x o=x o - 2+ —:― +4> 2 X 2+4=8 ,Z *0当且仅当x o=4时取等号，此时y o= ± 2 7 ,所以△ PBC面积的最小值为8,此时P (4, ± 2三).2016年9月16日。

河南省洛阳市2015-2016学年高二上学期期中数学试题(理科)

2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若a＜b＜0，则下列结论不正确的是（）A．＞B．＞0 C．a2＜b2D．a3＜b32．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+B．当x时，sinx+的最小值为4C．当x＞0时，≥2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°4．不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集为（）A．（﹣2，5）B．（﹣5，2）C．（3，5）D．（﹣2，0）∪（3，5）5．下列结论正确的是（）A．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n+1，则{a n}为的等差数列B．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n﹣2，则{a n}为等比数列C．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等差数列，则，，可能构成等差数列D．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等比数列，则，，一定构成等比数列6．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣37．设集合A={x丨﹣2≤x＜4}，B={x丨x2﹣ax﹣4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，2）C．[0，3）D．[0，3]8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1且a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0，S2m﹣1=39，则m 等于（）A．10 B．19 C．20 D．3910．设数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），通项公式是（）A．a n=B．a n= C．a n=D．a n=11．若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．设a n=++…+，则对任意正整数m，n（m＞n）都成立的是（）A．a m﹣a n＜B．a m﹣a n＞C．a m﹣a n＜D．a m﹣a n＞二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为．14．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n﹣1（n∈N*），则a n=．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA=，tanB=，且最长边的长为1，则△ABC最短边的长为．16．若x、y、z均为正实数，则的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2015秋•洛阳期中）（1）已知正数a，b满足a+4b=4，求+的最小值．（2）求函数f（k）=的最大值．18．（12分）（2015秋•洛阳期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2+c2=b2+ac．（1）若b=，sinC=2sinA，求c的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．19．（12分）（2015秋•洛阳期中）解关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）．20．（12分）（2014•余杭区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．21．（12分）（2011•佛山一模）设数列{a n}是首项为a1（a1＞0），公差为2的等差数列，其前n项和为S n，且成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n]的通项公式；（Ⅱ）记的前n项和为T n，求T n．22．（12分）（2015秋•洛阳期中）数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}中，b n=a1•a2•a3•…•a n，数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜2．2015-2016学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若a＜b＜0，则下列结论不正确的是（）A．＞B．＞0 C．a2＜b2D．a3＜b3【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式．【分析】根据幂函数的单调性即可判断．【解答】解：∵b＜a＜0，且y=x2在（﹣∞，0）上单调递增减，故a2＞b2，C错误；故选：C．【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时要注意幂函数单调性的合理运用．2．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+B．当x时，sinx+的最小值为4C．当x＞0时，≥2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】对于A，考虑0＜x＜1即可判断；对于B，考虑等号成立的条件，即可判断；对于C，运用基本不等式即可判断；对于D，由函数的单调性，即可得到最大值．【解答】解：对于A，当0＜x＜1时，lgx＜0，不等式不成立；对于B，当xx时，sinx∈（0，1]，sinx+的最小值4取不到，由于sinx=2不成立；对于C，当x＞0时，≥2=2，当且仅当x=1等号成立；对于D，当0＜x≤2时，x﹣递增，当x=2时，取得最大值．综合可得C正确．故选：C．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题和易错题．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由正弦定理可解得sinA==，利用大边对大角可得范围A∈（0，45°），从而解得A的值．【解答】解：∵a=1，b=，B=45°，∴由正弦定理可得：sinA===，∵a=1＜b=，由大边对大角可得：A∈（0，45°），∴解得：A=30°．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范围．4．不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集为（）A．（﹣2，5）B．（﹣5，2）C．（3，5）D．（﹣2，0）∪（3，5）【考点】指、对数不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用对数的定义、性质能求出不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集．【解答】解：∵lg（x2﹣3x）＜1，∴，解得﹣2＜x＜0或3＜x＜5，∴不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集为（﹣2，0）∪（3，5）．故选：D．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．5．下列结论正确的是（）A．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n+1，则{a n}为的等差数列B．若数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n﹣2，则{a n}为等比数列C．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等差数列，则，，可能构成等差数列D．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等比数列，则，，一定构成等比数列【考点】等比数列；等差数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】在A中，由，得到{a n}不为的等差数列；在B中，由a1=S1=2﹣2=0，得到{a n}不为等比数列；在C中，若，，构成等差数列，能推导出a=c，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，从而，，不可能构成等差数列；在在D中，若a，b，c成等比数列，则=，，，一定成等比数列．【解答】解：在A中，∵数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n+1，∴a1=S1=1+1+1=3，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n+1）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=2n，n=1时，a n=2≠a1，故{a n}不为的等差数列，故A错误；在B中，∵数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n﹣2，∴a1=S1=2﹣2=0，∴{a n}不为等比数列，故B错误；在C中，若，，构成等差数列，则==，∴b2=ac，∴ac=（）2=，∴a=c，继而a=c=b，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，∴，，不可能构成等差数列，故C错误；在D中，∵非零实数a，b，c不全相等，a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴=，∴，，一定成等比数列，故D正确．故选：D．【点评】本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质，公式的合理运用．6．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】等比关系的确定．【专题】计算题．【分析】由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列，即（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解方程即可求解【解答】解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择，解题时要注意对公比q=1，q≠1的分类讨论，体现了公式应用的全面性．7．设集合A={x丨﹣2≤x＜4}，B={x丨x2﹣ax﹣4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，2）C．[0，3）D．[0，3]【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】因为B⊆A，所以不等式x2﹣ax﹣4≤0的解集是集合A的子集，即函数f（x）=x2﹣ax ﹣4的两个零点在[﹣2，4）之间，结合二次函数的图象性质只需f（﹣2）≥0，f（4）＞0，列不等式组即可得a的取值范围．【解答】解：∵△=a2+16＞0∴设方程x2﹣ax﹣4=0的两个根为x1，x2，（x1＜x2）即函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点为x1，x2，（x1＜x2）则B=[x1，x2]若B⊆A，则函数f（x）=x2﹣ax﹣4的两个零点在[﹣2，4）之间注意到函数f（x）的图象过点（0，﹣4）∴只需，解得：0≤a＜3，故选：C．【点评】本题考查了集合之间的关系，一元二次不等式的解法，二次函数的图象和性质，函数方程不等式的思想．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2=，转化为1+cosA=+1，整理即可判断△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，∵cos2=，∴==+∴1+cosA=+1，∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=0，sinA≠0，∴cosC=0，∴C为直角．故选：B．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1且a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0，S2m﹣1=39，则m 等于（）A．10 B．19 C．20 D．39【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】利用等差数列的性质a m﹣1+a m+1=2a m，根据已知中a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0，我们易求出a m的值，再根据a m为等差数列{a n}的前2m﹣1项的中间项（平均项），可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列则a m﹣1+a m+1=2a m则a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0可化为2a m﹣a m2﹣1=0解得：a m=1，又∵S2m﹣1=（2m﹣1）a m=39则m=20故选C．【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中等差数列最重要的性质：当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q，是解答本题的关键．10．设数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），通项公式是（）A．a n=B．a n= C．a n=D．a n=【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】设{2n﹣1•a n}的前n项和为T n，由数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），知，故2n﹣1a n=T n﹣T n﹣1==，由此能求出通项公式．【解答】解：设{2n﹣1•a n}的前n项和为T n，∵数列{a n}满足…+2n﹣1a n=（n∈N*），∴，∴2n﹣1a n=T n﹣T n﹣1==，∴=，经验证，n=1时也成立，故．故选C．【点评】本题主要考查了数列递推式以及数列的求和，同时考查了利用错位相消法求数列的和，属于中档题．11．若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得m=1，故选C．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．12．设a n=++…+，则对任意正整数m，n（m＞n）都成立的是（）A．a m﹣a n＜B．a m﹣a n＞C．a m﹣a n＜D．a m﹣a n＞【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列；三角函数的求值．【分析】利用“放缩法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：a m﹣a n=++…+≤+…+=．故选：A．【点评】本题考查了“放缩法”、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】足约束条件的平面区域，求出可行域中各个角点的坐标，分析代入后即可得到答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知：当x=1，y=2时，2x+y取最大值4故答案为：4【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中根据约束条件，画出满足约束条件的可行域并求出各角点的坐标，是解答此类问题的关键．14．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+2n﹣1（n∈N*），则a n=n2﹣2n+2．【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知利用a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n+1=a n+2n﹣1（n∈N*），∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2n﹣3）+（2n﹣5）+…+1+1=+1=n2﹣2n+2．故答案为：n2﹣2n+2．【点评】本题考查了“累加求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanA=，tanB=，且最长边的长为1，则△ABC最短边的长为．【考点】解三角形．【专题】解三角形．【分析】由题意和两角和的正切公式易得tanC，可得c=1，b为最短边，由正弦定理可得．【解答】解：由题意可得tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣=﹣1，∴C=135°，c为最长边，故c=1，又∵0＜tanB=＜=tanA，∴B为最小角，b为最短边，∵tanB=，∴sinB=，由正弦定理可得b==，故答案为：．【点评】本题考查解三角形，涉及正弦定理和两角和的正切公式，属中档题．16．若x、y、z均为正实数，则的最大值为．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把要求的式子化为，利用基本不等式求得它的最大值．【解答】解：∵x2+≥xy，y2+z2≥yz，∴=≤=，当且仅当x=z=时，等号成立，故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2015秋•洛阳期中）（1）已知正数a，b满足a+4b=4，求+的最小值．（2）求函数f（k）=的最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）运用乘1法，可得+=（a+4b）（+）=（5++），再由基本不等式即可得到最小值；（2）令t=（t≥），则g（t）==，再由基本不等式即可得到最大值．【解答】解：（1）由a，b＞0，且a+4b=4，即有+=（a+4b）（+）=（5++）≥（5+2）=，当且仅当a=2b=时取得最小值，则+的最小值为；（2）令t=（t≥），则g（t）==≤=，当且仅当t=2，即k=时，取得等号，即有f（k）的最大值为．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和换元法的运用，以及满足的条件：一正二定三等，属于中档题．18．（12分）（2015秋•洛阳期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2+c2=b2+ac．（1）若b=，sinC=2sinA，求c的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理．【专题】解三角形；不等式的解法及应用．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得：c=2a，根据a2+c2=b2+ac．b=，即可解得a，c的值．（2）由余弦定理可求cosB，从而可求sinB，又b=2，a2+c2=b2+ac．解得ac≤4，利用三角形面积公式即可求得△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得：c=2a，又∵a2+c2=b2+ac．b=，∴a2+4a2=3+2a2，解得：a=1，c=2…6分（2）由余弦定理可得：cosB==，∴sinB=，又∵b=2，a2+c2=b2+ac．∴4+ac=a2+c2≥2ac，即ac≤4，∴S△ABC=，当且仅当a=c=2时等号成立．故△ABC面积的最大值为…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的综合应用，属于中档题．19．（12分）（2015秋•洛阳期中）解关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由﹣1＜a＜0，a=0，0＜a＜1，a≥1，进行分类讨论，由此利用分类讨论思想和一元二次方程的解法能求出原不等式的解集．【解答】解：（1）当a=0时，有﹣2x＜0，∴x＞0．（2）a＞0时，∵△=4﹣4a2．①当△＞0，即0＜a＜1．方程ax2﹣2x+a=0的两根为=，∴不等式的解集为{x|＜x＜}．②当△=0，即a=1时，有x2﹣2x+1＜0，∴x∈∅；③当△＜0，即a＞1时，方程ax2﹣2x+a=0无实数根，不等式ax2﹣2x+a＜0无解，∴x∈∅．（3）当﹣1＜a＜0时，△＞0，不等式ax2﹣2x+a＜0的解集为{x|x＜或x＞}．综上，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：当﹣1＜a＜0时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|x＜或x＞}；当a=0时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|x＞0}；当0＜a＜1时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：{x|＜x ＜}．当a≥1时，关于x的不等式ax2﹣2x﹣2﹣a＜0（a＞﹣1）的解集为：∅．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．20．（12分）（2014•余杭区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理化简已知表达式，通过两角和的正弦函数与三角形的内角和，求出的值；（Ⅱ）通过（Ⅰ）求出a与c的关系，利用B为钝角，b=10，推出关系求a的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（I）由正弦定理，设，则，所以．…（4分）即（cosA﹣3cosC）sinB=（3sinC﹣sinA）cosB，化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）．…（6分）又A+B+C=π，所以sinC=3sinA因此．…（8分）（II）由得c=3a．…（9分）由题意，…（12分）∴…（14分）【点评】本题考查正弦定理与两角和的正弦函数的应用，注意三角形的判断与应用，考查计算能力．21．（12分）（2011•佛山一模）设数列{a n}是首项为a1（a1＞0），公差为2的等差数列，其前n项和为S n，且成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n]的通项公式；（Ⅱ）记的前n项和为T n，求T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】（I）有数列{a n}是首项为a1（a1＞0），公差为2的等差数列且成等差数列，可以先求出数列的首项即可；（II）有（I）和，求出数列b n的通项，有通项求出前n项和为T n．【解答】解：（Ⅰ）∵S1=a1，S2=a1+a2=2a1+2，S3=a1+a2+a3=3a1+6，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1﹣1=0，当n=1时，，a1＞0，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为1．∴a n=1+（n﹣1）=n．（2）证明：b n=a1•a2•a3•…•a n=n!．∴数列{}的前n项和为T n=+…+≤1+++…+=1++…+ =2﹣＜2．【点评】本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。