【原创】高考数学复习第六节 指数与指数函数

第六节指数与指数函数

1．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：

a m n

＝n

a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． ②负分数指数幂：

a －m n ＝1a m

n ＝1n a m

(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋

s (a ＞0，r ，s ∈Q )；

②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 2．指数函数的图象与性质

[小题体验]

1．计算[(－2)6]1

2－(－1)0的结果为( )

A ．－9

B ．7

C ．－10

D ．9

解析：选B 原式＝26×1

2－1＝23－1＝7.

2．函数f (x )＝3x ＋1的值域为( ) A ．(－1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)

D ．[1，＋∞)

解析：选B ∵3x ＞0，∴3x ＋1＞1， 即函数f (x )＝3x ＋1的值域为(1，＋∞)．

3．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫2，1

3，则f (－1)＝________. 答案： 3

4．若指数函数f (x )＝(a －2)x 为减函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：∵f (x )＝(a －2)x 为减函数， ∴0＜a －2＜1，即2＜a ＜3. 答案：(2,3)

1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．

2．指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a ＞1或0＜a ＜1.

[小题纠偏]

1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)． (1)n a n ＝(n

a )n ＝a .( )

(2)分数指数幂a m n 可以理解为m

n 个a 相乘．( ) (3)(－1)24＝(－1)1

2＝－1.( )

答案：(1)× (2)× (3)×

2．若函数y ＝(a －1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 答案：(1,2)

考点一 指数幂的化简与求值(基础送分型考点——自主练透)

[题组练透]

1．化简与求值：

(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭

⎫214-1

2－(0.01)0.5； (2)56

a 1

3·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a -12

b －1÷⎝⎛⎭⎫4a 23·b －31

2. 解：(1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫11001

2

＝1＋14×23－110

＝1＋16－110

＝1615

. (2)原式＝－52

a -1

6b －3÷(4a 2

3·b －

3)1

2

＝－54a -1

6b －3÷(a 1

3b -3

2)＝－54

a -

1

2·b -3

2

＝－54·1

ab 3＝－5ab 4ab 2

.

2．若x 12＋x －1

2＝3，则x 32＋x －3

2＋2x 2＋x －2＋3的值为________．

解析：由x 12＋x －12＝3，得x ＋x －

1＋2＝9，

所以x ＋x －

1＝7，所以x 2＋x －

2＋2＝49，

所以x 2＋x －

2＝47.

因为x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)3－3(x 12＋x －1

2)＝27－9＝18，所以原式＝18＋247＋3＝25.

答案：25

[谨记通法]

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

考点二 指数函数的图象及应用(重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]

1．函数y ＝a x －a －

1(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )

解析：选D 函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1

a 个单位长度得到的，所以

A 项错误；当a ＞1时，0＜1a ＜1，平移距离小于1，所以

B 项错误；当0＜a ＜1时，1

a ＞1，

平移距离大于1，所以C 项错误．故选D.

2．已知a ＞0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．

解析：①当0＜a ＜1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图a.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x

－2|(0＜a ＜1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a ＜2，所以0＜a ＜2

3

.

②当a ＞1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图b ，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(a ＞1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a ＜2，此时无解．所以a 的取值范围是⎝⎛⎭

⎫0，23. 答案：⎝⎛⎭

⎫0，2

3 [由题悟法]

指数函数图象的画法及应用

(1)画指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1

a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．

(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．

[即时应用]

1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )

解析：选A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域