2019届四川省成都石室中学高三12月一诊模拟数学(文)试题(解析版)
2019年四川省成都市高三一诊模拟考试(文科)数学试题及答案
高考数学精品复习资料2019.5四川省成都市高三一诊模拟考试文科数学试题（考试时间： 12月27日 总分：150分）一、选择题（每小题5分，共50分） 1．不等式223x x -≤+的解集是（ ） A (,8](3,)-∞-⋃-+∞ B (,8][3,)-∞-⋃-+∞ C ．[3,2]- D (3,2]-2．若复数（，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A -2B 4C 6D -63．公差不为零的等差数列第2，3，6项构成等比数列，则这三项的公比为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．已知平面向量a ，b 满足||1,||2a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则“m=1”是“()a mb a -⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．关于命题p ：A φφ⋂=，命题q ：A A φ=，则下列说法正确的是（ ） A ．()p q ⌝∨为假B ．()()p q ⌝∧⌝为真C ．()()p q ⌝∨⌝为假D ．()p q ⌝∧为真6．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为 （ ）A ．周期函数，最小正周期为23π B ．周期函数，最小正周期为3π C ．周期函数，最小正周期为π2D ．非周期函数7．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：( )①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d”；③“若a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”． 其中类比得到的结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 8．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1BB 与平面11AB C 所成的角为（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π9．设集合11[0,),[,1]22A B ==，函数1,()()22(1),()x x A f x x x B ⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩00[()]x A f f x A ∈∈且，则0x 的取值范围是（ ） A ．(10,4] B ．(11,42] C ．(11,42) D ．[0，38] 10．定义在(1,1)-上的函数()()()1x yf x f y f xy--=-；当(1,0)()0x f x ∈->时，若111()(),(),(0),,,5112P f f Q f R f P Q R =+==则的大小关系为（ ）A ．R Q P >> B. R P Q >> C. P R Q >> D.Q P R >> 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．若24log 3,(22)x x x -=-=则12.某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的i 值为 13．在正方体!111D C B A ABCD -中,Q P N M 、、、分别是1111CC D C AA AB 、、、的中点,给出以下四个结论:①1AC MN ⊥； ②1AC //平面MNPQ ； ③1AC 与PM 相交； ④1NC 与PM 异面其中正确结论的序号是 .14已知函数()321f x x x =---，则其最大值为 。
四川省成都石室中学2019届高三12月一诊模拟数学文试卷(PDF版,含解析)
成都石室中学高2019届十二月份一诊模拟试卷数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A B C．23D．32【答案】A【解析】由题意2,3c b e a ===；【解析】由题意2,3cb e a===；【答案】A【解析】分析知()f x 周期为4，(13)(1)(1)f f f ==--，(7)=(1)f f -，因为(13)2(7)1f f =+所以(1)=2(1)1f f ---+，从而1(1)3f -=-，当(2,0)x ∈-时，2()log (3)f x x a =++，【解析】如图所示，可以将三棱柱补体为长方体1111ABCD A B C D -，易得11//B D AC ,所以异面直线1B A 与1A C 所成角为1DB A ∠，因为115,B D B A AD ===所以22211111cos 2B D B A AD DB A B D B A +-∠==⋅. 10.已知函数()3cos f x x x =+，且()f x 分别在1x ，2x 处取得最大值和最小值，则12x x +的最小值为A.3π B.23π C.π D.43π【答案】B 【解析】()23sin()3f x x π=+分别在1x ，2x 处取得最大值和最小值，111232x k k πππ∴+=+∈Z （）即11126=x k k ππ+∈Z （） 222232x k k πππ+=-∈Z （）即222526=x k k ππ-∈Z （） 则121222()3x x k k ππ+=+-12,k k ∈Z （）当120k k +=时，12x x +取得最小值23π. 故答案选B. 11. 已知抛物线2:C y ax =的焦点坐标为(0,1)，点(0,3)P ，过点P 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，过,A B 分别作抛物线C 的切线，两切线交于点Q ，且两切线分别交x 轴于,M N 两点，则QMN ∆面积的最小值为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】抛物线2:4,C x y =221212(,),(,),44x x A x B x 由AB 过（0，3），过211(,)4x A x 的切线方程为：21124x x x y =-；过B 的切线方程为：22224x x x y =-,两切线交点：1212(,)24x x x x Q +，将直线AB : 3y kx =+与抛物线联立：122212344120124y kx x x k x kx x x x y=++=⎧⎧⇒--=⇒⎨⎨=-=⎩⎩，(2,3)Q k -， 又因为12,0,(,0)22x x M N ⎛⎫⎪⎝⎭，1211322QMN S x x ∆=⋅-⋅=（当AB 斜率为0时取得最值）；选C【解析】可行区域如图所示，当直线5y x z =-+过图中点(2,2)A 时，z 最大为12；14. 执行如图所示的程序框图，若输入12x =，则输出y 的值为______. 【答案】98-【解析】当12x =时，5y =，此时||7y x -=；当5x =时，32y =，此时7||2y x -=； 当32x =时，14y =-，此时7||4y x -=；【解析】由121n n a a +=-可得112(1)n n a a +-=-，111a -=，{1}n a ∴-是公比为2，首项为1的等比数列，121n n a -∴=+，21n n S n =-+，232nn k -≥，令232n n n b -=， 则11252n n n n b b ++-+-=，{}nb ∴前3项递增，从第3项起单调递减，n b ∴最大值为38， k ∴的最小值为38.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17.（本题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知6C π=，2a =，ABC ∆F 为边AC 上一点. （1）求c ； （2）若CF =，求sin BFC ∠.【答案】（1）2c =（2）sin 4BFC ∠=【解析】（1）11sin 2sin 226S ab C b π==⨯⨯⨯=b ∴=···········3分2222cos 41222cos46c a b ab C π=+-=+-⨯⨯=，2c ∴= ···········6分（2）由（1）得2a c ==，6A C π∴==, 23ABC A C ππ∠=--=···········7分 在BCF ∆中由正弦定理sin sin CF BFCBF BCF=∠∠得sin6sin CF CBF BFπ⋅∠=2CF =sin 2CBF ∴∠=···········9分 23CBF π∠≤4CBF π∴∠= ···········10分 ()sin sin sin 464BFC CBF BCF ππ⎛⎫∴∠=∠+∠=+=⎪⎝⎭···········12分18. （本题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面为菱形,已知60DAB BAE ∠=∠=︒，2AD AE ==，DE =2AB =.（1）求证：平面ABE ⊥平面ABCD ；（2）求点B 到平面AED 的距离． 【答案】（1）略；（2）5【解析】（1）如图，过D 作DO AB ⊥，连接EO60,2,DAB EAB AD AE AO AO ∠=∠=︒===DAO EAO ∴∆≅∆ ···········2分90,DOA EOA DO EO ∴∠=∠=︒==6DE =222DO EO DE ∴+=由勾股定理逆定理得90DOE ∠=︒，即DO EO ⊥ ···········4分,,DO AB AB EO O AB ABE EO ABE ⊥⋂=⊂⊂面，面，DO ABE ∴⊥面DO ABCD ⊂面，∴平面ABE ⊥平面ABCD ···········6分（2）设B 到AED 的距离为d ，由（1）可知AEB OD OE S ∆===在等腰AED ∆中，2,AE AD DE ===2AED S ∆=···········8分 由等体积法可得B AED D AEB V V --= ···········9分1133AED AEB d S OD S ∆∆∴⨯⨯=⨯⨯， 5d ∴=，故B 到AED 的距离为5. ···········12分 19．（本题满分12分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：（1）请用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系； （2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2018年12月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A ，B 两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，分别以这100辆单车所产生的平均利润作为决策，如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，其中【答案】（1）略；（2）ˆ29y x =+，市场占有率为23%；（3）应选择B 款车型．【解析】（1所以两变量之间具有较强的线性相关关系，···········3分 故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．（2···········4分···········5分∴回归直线方程为ˆ29y x =+．···········6分2018年12月的月份代码7x =，∴27923y =⨯+=， 所以估计2018年12月的市场占有率为23%．···········7分答案：（3）用频率估计概率，这100辆A 款单车的平均利润为：1(5001003050040100020)350100-⨯+⨯+⨯+⨯=（元）···········9分 这100辆B 款单车每辆的平均利润为：1(300152004070035120010)400100-⨯+⨯+⨯+⨯=（元）···········11分 以每辆单车产生的平均利润为决策依据，故应选择B 款车型．········12分20. （本题满分12分）已知点P 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上一点， 1F 、2F 分别是椭圆的左右焦点，且120PF PF ⋅=.（1）求曲线E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+（不与坐标轴重合）与曲线E 交于,M N 两点，O 为坐标原点，设直线OM 、ON 的斜率分别为1k 、2k ，对任意的斜率k ，若存在实数λ，使得12()0k k k λ++=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）22162x y +=；（2【解析】（1）设12(,0),(,0)F c F c -，212(1)(1)40,2PF PF c c c c ⋅=--⋅-=-==， ……………………2分； 由2222223116,24a b a ba b ⎧+=⎪⇒==⎨⎪-=⎩， 曲线E 的方程为：22162x y +=；……………………5分； （2）设,M N 两点坐标为：1122(,),(,),x y x y ,M N 两点满足：12222222212222631136(13)6360623112(26)0km x x k x y m k x kmx m x x k y kx m m k -⎧+=⎪+⎪⎧+=-⎪⎪⇒+++-=⇒=⎨⎨+⎪⎪=+⎩⎪∆=-+>⎪⎩……………………………………………………………………………………………………………………………………………7分；121212)))1212(((0y y kx m kx m k k k k k x x x x λλλ++++=⨯++=⨯++=，1212()[2]0m x x k k x x λ+⨯++=， ①当0k =时，R λ∈②当0k ≠时，23612m λ-= ……………………10分由2212(26)0m k ∆=-+>对任意k 恒成立，则2222602m k m <+⇒≤<，(标注：对于任意的k ，直线:l y kx m =+均与椭圆相交，直接得到点(0,)m 位于椭圆内部，也可得202m ≤<)102λ⇒-≤< 综上：1[,0)2λ∈-………………………12分 21.（本题满分12分） 已知函数()=ln 1f x a x -，其中0a ≠，()2=1g x x -，()()()h x f x g x =+. （1）若23y x =-是()f x 的一条切线，求a 的值；（2）在（1）问的前提下，若存在正实数12,x x 使得()1212()h x h x x x +=+，求12x x +的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）[3+)∞，．【解析】（1）设23y x =-与()f x 相切于点00(,)x y ，则1分 所以000ln 10x x x -+= （*） ………………2分令()ln 1F x x x x =-+，()ln F x x '=，当(0,1)x ∈时，()0F x '<， 当(1,+)x ∈∞时，()0F x '>，所以()F x 在=1x 时取得最小值(1)=0F ，所以（*）式有唯一解01x = ………………4分 所以2a = ………………5分（注：如果未讨论解的唯一性，直接猜出答案，扣2分）（2）由题知()1212()h x h x x x +=+，即221212122ln 4x x x x x x ++-=+， 212121212()()422ln x x x x x x x x +-+-=- ………………7分设12=0x x t >，令()22ln m t t t =-， 当(0,1)t ∈时，()0m t '<，当(1,+)t ∈∞时，()0m t '>，所以()(1)2m t m ≥=，……………10分 21212()()42x x x x +-+-≥，解得123x x +≥或122x x +≤-（舍去） …………11分 当且仅当12==1x x t 时，12=3x x +等号成立. 综上，12x x +的取值范围是[3+)∞， …………12分 (注：未验证等号成立条件，扣1分.)（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22. 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为:2cos (1sin x t t y t αα=+⎧⎨=-+⎩为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为：=6cos 8sin ρθθ-，直线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，（1）求曲线2C 的普通方程及AB 的最小值；（2）若点(2,1)P -，求22PA PB +的最大值.【答案】（1）22(3)(4)25x y -++=；（2）70；【解析】（1）222=6cos 8sin =6cos 8sin +=68x y x y ρθθρρθρθ-⇒-⇒-曲线2C 的普通方程为：22+=68x y x y -（或22(3)(4)25x y -++=）………………...2分；AB AB 最小为=分；（2）法1：设直线1C 上点,A B 对应参数方程:2cos (1sin x t t t y αα=+⎧⎨=-+⎩为参数）的参数分别为12,,t t 将直线1C 与曲线2C 方程联立方程组：222(1)(3)252cos sin cos 6sin 150t t t t t αααα+--++=⇒=-………………...6分；12co 6in 2s s t t αα⇒+=-，1215,t t =-2222212(cos 26sin )30PA PB t t αα⇒+=+=-+ ……………………………8分； 22cos 36sin 24sin cos 3003416(1cos 2)12sin 24αααααα=+-+=+--435020sin(2)70,(sin ,cos )(sin(2)=-1)55αϕϕϕαϕ=-+≤==+当时取得最大值 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………10分； 法2：由数形结合，圆相关问题往圆心转化，过圆心2C 作2C H AB ⊥于H ,设圆心距2||C H d =，2222(||||)(||||)PA PB HA PH HA PH +=-++ 222222222(||||||||)C A C H C P C H =-+-22(2510)82d ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-⋯⋯⋯+分；270270d =-≤（当1C 过圆心为直径时，取得最大值）………………………………………10分；23. 选修4-5：不等式选讲（1）当2a =时，解不等式()2f x x +<；（2的解集非空，求b 的取值范围.【答案】（1（2【解析】（1）当2a =时，所以1221x x x -<+<-，解得………4分（2 ，解集非空等价于max ()b g x ≤,…………6分分所以b的取值范围分.。
2019届 四川省成都石室中学 高三适应性考试(二)数学(文)试题(解析版)
2020届四川省成都石室中学高三适应性考试（二）数学（文）试题一、单选题 1．已知复数112a iz i -=++()a ∈R 的实部为1，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】B【解析】化简复数112a i z i -=++，可得1122a az i ++=-，因为复数z 的实部为1，可得112a +=，解得1a =，即可求得答案. 【详解】Q 1(1)11222a i a i iz i ---=+=++ 1(1)2a a i+-+=1122a a i ++=-Q 复数z 的实部为1 ∴112a +=，解得1a = ∴虚部112a+-=- 故选：B. 【点睛】本题解题关键是掌握复数的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 2．设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A B U ⊆⊆，则下列各式中错误的是（ ） A ．()U C A B U =U B ．()()U U U C A C B C B =I C ．()U A C B ⋂=∅ D ．()()U U C A C B U =U【答案】D【解析】做出韦恩图，根据图形结合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可得出结论. 【详解】A B U ⊆⊆，如下图所示，则U U C B C A ⊆，()U C A B U =U ，选项A 正确， ()()U U U C A C B C B =I ，选项B 正确， ()U A C B ⋂=∅，选项C 正确，()()U U U C A C B C A U =≠U ，所以选项D 错误.故选:D.【点睛】本题考查集合交、并、补计算，利用韦恩图是解题的关键，属于基础题. 3．数列{}n a 前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则72019a S +的值为（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．1-【答案】A【解析】根据21n n S a =+，求出1a ，2a ，3a ，4a ，⋯⋯，寻找规律，即可求得答案. 【详解】Q 21n n S a =+当1n =，1121a a =+，解得：11a = 当2n =，122221a a a +=+，解得：21a =- 当3n =，32132221a a a a ++=+，解得：31a = 当4n =，4321422221a a a a a +++=+，解得：41a =-⋯⋯当n 奇数时，1n a = 当n 偶数时，1n a =-∴71a =，20191S =故720192a S +=故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.4．已知a ，b ，R c ∈，且a b >，0a b ⋅≠，则下列不等式正确的是（ ） A ．22a b > B ．a b b a> C ．2211a bc c >++ D ．||||a c b c >【答案】C【解析】根据不等式的性质，逐项判断，即可求出结论. 【详解】选项A ，取1,2a b ==-，满足a b >， 但是22a b <，所以错误；选项B ，取1,2a b =-=-，满足a b >，但是122a bb a=<=，所以错误； 选项C ，22210,,111a ba b c c c >>∴>+++， 所以正确；选项D ，若0c =，则||||a c b c =， 所以错误. 故选:C. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键，属于基础题. 5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()31f x f x +=-，且当()2,0x ∈-时，2()log (3)f x x =+，则()13f =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】()()31f x f x +=-可得()f x 是周期为4的周期函数，(13)(1)f f =，由函数的奇偶性结合已知解析式，即可求出结论. 【详解】()()31,(4)()f x f x f x f x +=-∴+=Q ，2(13)(1)(1)log (13)1f f f ==--=--+=-.故选:B. 【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性以及解析式的应用，属于基础题.6．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53B ．103C ．56D ．116【答案】A【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d关系式，即可求出结论. 【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.7．已知空间中的两条直线l ，m ，三个平面α，β，γ，则下列说法中： ①平面α，β，γ最多可将平面分为7个部分； ②已知m αγ=I ，l γ⊂．若//l α，则//l m ； ③已知αβ⊥，m αβ=I ，若l m ⊥，则l β⊥； ④已知m γ⊂，l αβ=I ，若αγ⊥，βγ⊥，则l m ⊥．一定正确的为（ ） A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④【答案】D【解析】根据线面关系，逐项判断，即可求得答案. 【详解】对于①，平面α，β，γ最多可将平面分为8个部分，故①错误； 对于②，Q m αγ=I ，l γ⊂． 又Q //l α∴//l m ，故②正确；对于③，当αβ⊥，m αβ=I ，若l m ⊥l 可能与β平行，故③错误；对于④，Q m γ⊂，l αβ=I当αγ⊥，βγ⊥，可得l m ⊥，故④正确； 综上所述，正确的是②④ 故选：D. 【点睛】本题主要考查了判断线面位置关系，解题关键是掌握线面关系基础知识，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题. 8．函数2()6cos 3sin 32xf x x ωω=+-(0)>ω在一个周期内的图象如图所示，点P 是图象的最高点，M ，N 是该图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，则ω的值为（ ）A ．4πB ．2π C 43D 23【答案】C【解析】化简2()6cos 32xf x x ωω=+-，可得()3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据点P 是图象的最高点，M ，N 是该图象与x 轴的交点，0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，可得PMN V 是以P 为顶点的等腰直角三角形，即可求得答案. 【详解】Q 2()6cos 32xf x x ωω=-3cos 3x xx ωωπω=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q 点P 是图象的最高点，M ，N 是该图象与x 轴的交点，0PM PN ⋅=u u u u r u u u r∴PMN V 是以P 为顶点的等腰直角三角形 Q ()f x的最大值为：∴PMN V的高为可得：MN =∴函数()f x的周期2T =⨯=即2πω=ω=故选：C. 【点睛】本题主要考查了求三角函数最小正周期，解题关键是掌握正弦型三角函数周期公式和其图象特征，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9．下图程序框图的功能是求11616166+++的值，则框图中①、②两处应分别填写（ ）A ．2i ≥，aB ．2i ≥，6a -C ． 2i >，aD ．2i >，6a -【答案】D【解析】根据流程图所表示的算法功能，从而应该利用累加的表达式，以及数是逐一增加的，可得处理框应填结果，即可求得答案. 【详解】Q 程序框图的功能是求11616166+++的值根据流程图所表示的算法功能∴利用累加，则第一个处理框应为2i >，然后计算i 是增加1个，1i i =+，第二空输出结果6a -． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了补全流程图，解题关键是根据流程图功能结合流程基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.10．在ABC ∆中，5AB =，6AC =，D 是BC 的中点，H 是ABC ∆的重心，则DH BC ⋅=u u u u r u u u r（ ）A ．11-B ．116-C ．11D ．116【答案】B【解析】根据重心性质可得13DH AD =-u u u u r u u ur ，以,AB AC u u u r u u u r 为基底表示,AD BC u u u r u u u r ，由数量积定义，即可求出结论. 【详解】D 是BC 的中点，H 是ABC ∆的重心， 11()36DH AD AC AB =-=-+u u u u r u u u r u u ur u u u r ，1()()6D A H B AC B AC AB C ⋅-=+⋅-u u ur u u u r u u u r u u u u r u u u u u u r r221111()(3625)666AC AB =--=--=-u u u r u u u r .故选:B. 【点睛】本题考查向量的线性关系、向量基本定理、向量数量积，注意三角形重心性质的应用，属于基础题.11．已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，焦距为2c ，直线:bc l y a =与其渐近线交于P ，Q 两点，若24PF Q π∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC ．2D ．5【答案】A【解析】因为双曲线2222:1x y C a b-=，故渐近线方程为：b y x a =±，因为直线:bc l y a =与其渐近线交于P ，Q 两点，求得P ，Q 两点坐标，可得2F PQ △是以Q 为顶点的等腰直角三角形，画出图形，即可求得答案. 【详解】Q 双曲线2222:1x y C a b-= ∴渐近线方程为：b y x a=± Q 直线:bcl y a=与其渐近线交于P ，Q 两点， 可得bc y ab y x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩可得,bc a P c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,Q c bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭根据题意画出图象,如图：Q ,Q c bc a ⎛⎫⎪⎝⎭,(),0F c ,24PF Q π∠= ∴2F PQ △是以Q 为顶点的等腰直角三角形故2PQ QF =∴2=bc c a ，解题：2ba= 由215c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭∴双曲线C 5故选：A. 【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，解题掌握双曲线基础知识和离心率的求法，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．已知定义在R 上的奇函数()g x ，导函数为()g x '，且当0x ≥时，()1g x '>，若关于x 的不等式11(ln )ln g x g a x a x x ⎛⎫⎛⎫--≥-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1 B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(],1-∞【答案】D【解析】将不等式化为11(ln )ln g x x g a a x x ⎛⎫⎛⎫-≥--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()()f x g x x =-，可得1(ln )()f x f a x ≥-恒成立，根据已知可得()f x 在R 上为增函数，转化为1ln x a x+≥恒成立，设1()ln h x x x=+，求出min min (),()h x a h x ≤，即为所求. 【详解】设()()f x g x x =-， 当0x ≥时，()1g x '>，()()10f x g x ''=->，所以()f x 在[0,)+∞上是增函数，()g x 是在R 上的奇函数，所以()f x 是在R 上的奇函数，()f x 在(,0)-∞上是增函数，且()f x 在0x =处连续，所以()f x 在R 上为增函数，11(ln )ln g x g a x a x x ⎛⎫⎛⎫--≥-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，11(ln )ln g x x g a a x x ⎛⎫⎛⎫-≥--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1(ln )()f x f a x ≥-恒成立，即1ln x a x +≥恒成立，设221111()ln ,()x h x x h x x x x x-'=+=-=， 当(0,1)x ∈时，()0,()h x h x '<单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0,()h x h x '>单调递增， 所以1x =时，()h x 取得极小值1，也是最小值， 所以实数a 的取值范围是1a ≤. 故选:D. 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的应用，构造函数是解题的关键，属于较难题.二、填空题13．若约束条件为20101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则该约束条件所表示的平面区域的面积为_________．【答案】94【解析】做出满足条件的可行域，确定出平面区域，即可求解. 【详解】做出满足20101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩的可行域，如下图所示，阴影部分为ABC ∆，直线,AC AB 的斜率分别为1,1-，,,(1,0),(1,3),||34AC AB ABC B C BC π∴⊥∠=∴=Q ，ABC ∆∴为等腰直角三角形，且斜边为3，19224ABC BC S BC ∆∴=⋅=. 故答案为:94.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，并求其面积，考查数形结合思想，属于基础题.14．边长为1的正方形内有一不规则图形，现用随机模拟方法近似估计该不规则图形的面积，先产生两组区间[]0,1上的均匀随机数1x ，2x ，L ，n x 和1y ，2y ，L ，n y ，此得到n 个点对(),i i x y ，(1,2,,)i n =L 再统计出落在该不规则图形内的点数m ，则此不规则图形的面积约为______． 【答案】mn【解析】边长为1的正方形，故其面积为1S =,设不规则图形的面积约为S ',随机产生n 个点对(),i i x y ，(1,2,,)i n =L ，落在该不规则图形内的点数m ，可得：S m S n'≈，即可求得答案.【详解】Q 边长为1的正方形，故其面积为1S =设不规则图形的面积约为S '随机产生n 个点对(),i i x y ，(1,2,,)i n =L ，落在该不规则图形内的点数m可得：S m S n '≈ ∴mS n'≈故答案为：mn.【点睛】本题主要考查了随机模拟方法近似估计该不规则图形的面积，解题关键是掌握随机模拟方法解题方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA AB ⊥，PA AC ⊥，60BAC ∠=︒，2PA =，2AB =，3AC =，则球O 的表面积为____________．【答案】403π【解析】,由已知可得PA ⊥平面ABC ，设ABC ∆外接圆的圆心为M ，根据球的性质，球心O 在过M 垂直于平面ABC 的垂线上，即在过点M 与直线PA 平行的直线上，OP OA =，取PA 中点N ，可证ON MA =，在ABC ∆中由余弦定理求出BC ，再由正弦定理求出ABC ∆外接圆半径MA ，求出球O 的半径OA ，即可得出结论.【详解】,,,P B A AB PA AC A AC A PA ⊥=⊥⊥I 平面ABC ，60,2,3BAC AB AC =︒==∠，由余弦定理得，2222cos 7BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=，BC ∴=，设ABC ∆的外接圆圆心为M ，由正弦定理得2,sin BC MA MA BAC ===∴=∠过点M 做//MD PA ，则MD ⊥平面ABC ，则球心O 在直线MD 上， 且OP OA =，取PA 中点N ，连ON ，则ON PA ⊥，PA ⊥Q 平面,ABC MA ⊂平面,,//ABC PA MA OM PA ∴⊥， 73ON MA ∴==，在Rt OAN ∆中， 222710133OA AN ON =+=+=， 球O 的表面积为24043OA ππ⋅=.故答案为:403π.【点睛】本题考查多面体与球的 “接”“切”问题，应用球的性质，确定球心位置是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.16．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的焦距为2c ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为C 上一动点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线l 的垂线，垂足为Q ，若||2OQ =（O 为坐标原点），则bc 的最大值为_______． 【答案】1【解析】设直线2F Q 与线段1F P 的延长线交于点R ，因为P 为C 上一动点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线l 的垂线，可得22||,||F Q QR PR F P ==，故Q 为线段2F R 的中点，所以在12F RF V 中，1112||||222F R F P PR F P PF OQ ++===，即可求得答案. 【详解】设直线2F Q 与线段1F P 的延长线交于点R ，Q P 为C 上一动点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线l 的垂线∴22||,||F Q QR PR F P ==，故Q 为线段2F R 的中点，∴在12F RF V 中，1112||||222F R F P PR F P PF OQ ++===， Q P 为椭圆上的点，∴122F P PF a +=，则122||222F P PF aOQ a +====，∴222(0,0)b c b c +=>>根据均值不等式可得：222b c bc +≥1bc ∴≤（当且仅当1b c ==取等号）∴bc 的最大值为1故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了掌握椭圆的基础知识和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.三、解答题17．第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议（简称两会）将分别于2019年3月5日和3月15日在北京开幕．全国两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，网约车安全问题是百姓最为关心的热点之一，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人赠送礼品，求抽取的2人中至少有1人年龄在第1组的概率；（Ⅱ）把年龄在第1，2，3组的人称为青少年组，年龄在第4，5组的人称为中老年组，若选出的200人中不关注网约车安全问题的人中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++ 【答案】（Ⅰ）710；（Ⅱ）没有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关. 【解析】（Ⅰ）按第1组和第2组的人数，求出抽取5人中从第1组和第2组分别抽取的人数，并按组对抽出的5人进行编号，列出从5人中抽取2人的所有情况，确定2人都在第2组的方法个数，按古典概型概率公式和对立事件的概率关系，即可求解； （Ⅱ）不关注网约车安全问题的人中老年人有10人，则青年人有30人，列出列联表，根据公式求出2K 的观测值，即可求出结论. 【详解】（Ⅰ）由频率直方图可得第1组和第2组的频率分别为0.1,0.15， 所以第1，2组的人数分别为20，30， 从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人， 则第1，2组抽取的人数分别为2，3．抽取的第1，2组中5人记为1A ，2A ，1B ，2B ，3B ， 所有可能情况为：()12,A A ，()11,A B ，()12,AB ，()13,A B ， ()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，全部都在第2组的情况有：()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ， 记从5人中随机抽取2人，至少有1人年龄在第1组为事件A ， 则37()11010P A =-=． （Ⅱ）由题意得22⨯列联表如下：22200(90107030)75 4.6875 6.635160408012016K ⨯⨯-⨯===<⨯⨯⨯所以没有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关． 【点睛】本题考查古典概型的概率、独立性检验，考查计算求解能力，属于基础题.18．已知点P 在直径2AB =的半圆上移动（点P 不与A ，B 重合），过P 作圆的切线l ，点T 在l 上，且||PT =，PAB α∠=． （Ⅰ）当60α=︒时，求BT 的值；（Ⅱ）当α为何值时，四边形ABTP 面积最大？ 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）512πα=时，四边形ABTP 取得最大值. 【解析】（Ⅰ）由切线性质可得60BPT BAP α∠=∠==︒，在Rt PAB ∆中，求出||BP ，在PBT ∆中，由余弦定理即可求出||BT ；（Ⅱ）BPT BAP α∠=∠=，在Rt PAB ∆中，求出||,||AP BP ，而ABTP BTP ABP S S S ∆∆=+，求出四边形ABTP 面积关于α的函数，利用二倍角、降幂公式、辅助角公式，将ABTP S 化为正弦型函数，即可求出最值. 【详解】（Ⅰ）由题意作图如下：由弦切角定理有60BPT BAP α∠=∠==︒在PAB ∆中有||||sin PB AB α== 在PBT ∆中由余弦定理有222||||||2||||cos BT PB PT PB PT α=+-31269=+-=，||3BT ∴=（Ⅱ）由弦切角定理有BPT BAP α∠=∠= 在PAB ∆中有||2sin PB α=，||2cos PA α= 因为ABTP BTP ABP S S S ∆∆=+所以22sin cos 23sin ABTP y S ααα==+sin 23(1cos 2)2sin 233πααα⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭当232ππα-=时，即512πα=时，四边形ABTP 取得最大值．【点睛】本题考查余弦定理、面积公式、三角恒等变换在平面几何中的应用，考查计算求解能力，属于中档题.19．如图空间几何体ABCDE 中，ABC ∆与ACD ∆，EBC ∆均为边长为2的等边三角形，平面ACD ⊥平面ABC ，平面ABC ⊥平面EBC ．（Ⅰ）求线段DE 的长度．（Ⅱ）试在平面ABC 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与D 的连线DF 均与平面EBC 平行，并给出详细证明；【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）取AB 中点H ，连接PH ，直线PH 是所求直线，证明详见解析.【解析】（Ⅰ）分别取,AC BC 中点,P Q ，连接,,DP EQ PQ ，可得DP AC ⊥，结合已知可证DP ⊥平面ABC ，同理EQ ⊥平面ABC ，可证四边形DEQP 是平行四边形，即可求出结论；（Ⅱ）根据题意只需过D 做一平面与平面EBC 平行，该平面与平面ABC 的交线即为所求，由（1）得，//DP 面EBC ，取AB 中点H ，连接PH ，DH ，可证//PH 面EBC ，进而有平面//BCE 平面DPH ，则PH 为所求.【详解】（Ⅰ）分别取,AC BC 中点,P Q ，连接,,DP EQ PQ ， 由平面ACD ⊥平面ABC 且交于AC ，DP ⊂面ACD ，DP AC ⊥，DP ∴⊥平面ABC由平面BCE ⊥平面ABC 且交于BC ，EQ ⊂面BCE ，EQ BC ⊥，EQ ∴⊥平面ABC//EQ DP ，且EQ DP ==所以四边形DEQP 是平行四边形，1DE PQ ∴==；（Ⅱ）取AB 中点H ，连接PH ，DH 由AP PC =，AHHB =，//PH BC ，BC ⊂平面EBC ，PH ⊄平面EBC ，所以//PH 面EBC ，又因为//,DP EQ EQ ⊂平面EBC ，DP ⊄平面EBC ，所以//DP 平面EBC ，DP PH P ⋂=，所以平面//BCE 平面DPH ，当F 在直线PH 上运动时，//DF 平面BCE 所以直线PH 是所求直线．【点睛】本题考查面面垂直和线面垂直的应用，注意空间中垂直的相互转化，考查面面平行的判定和应用，属于中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，两条动直线1l ，2l 分别过定点()2,1，()2,1-，其斜率分别为1k ，2k ，记1l ，2l 的交点M 形成的轨迹为曲线C ． （1）当121k k -=时，求曲线C 的轨迹方程；（2）在（1）的条件下，过曲线C 外一点P 作曲线C 的两条切线，切点记为A ，B ，当直线AB 与直线OP 的斜率之积为12-时，直线AB 是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）24x y =(1)y ≠（2）是，()0,1 【解析】（1）设(,)M x y (1)y ≠，则112y k x -=-，212y k x -=+，所以11122y y x x ---=-+，即可求得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，因为24x y =即214y x =，所以12y x '=，所以112PA k x =，所以()1111:2PA y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，即可求得答案.【详解】（1）设(,)M x y (1)y ≠，则112y k x -=-，212y k x -=+ ∴11122y y x x ---=-+，化简得24x y =(1)y ≠ （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x yQ 24x y =即214y x =， ∴12y x '=，所以112PA k x =∴()1111:2PA y y x x x -=- 即2111124y x x x =-——① 同理22211:24PB y x x x =-——② 由①②解得：1202x x x +=，1204x xy =又Q 2112214AB y y x x k x x -+==-，()0120122OP y x x k x x x ==+ ∴12182AB OP x x k k ⋅==-， ∴124x x =-．设:AB y kx m =+联立24y kx m x y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2440x kx m --=，∴1244x x m =-=-，解得1m =，∴直线AB 过定点()0,1【点睛】本题主要考查了求抛物线方程和抛物线与直线位置关系问题，解题关键是掌握抛物线的基础知识和求圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起直线的斜率与交点横坐标的关系式．21．已知函数3211()32a f x x x ax +=-+，a ∈R ． （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的极小值； （Ⅱ）若函数31()()ln 3h x f x x x =-+有且只有一个零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）23；（Ⅱ）(,1){1}-∞-U . 【解析】（Ⅰ）当2a =时，求()f x '，求出()0,()0f x f x ''><的解，进而求出单调区间，即可求出极值； （Ⅱ）求出[(1)1](1)()a x x h x x++-+'=，若10a +≥，()h x 的极小值(1)0h =满足条件，当10a +<，讨论1,11a -+的大小，求出单调区间，极值的正负，结合零点存在性定理，即可求出结论.【详解】（Ⅰ）2()(21)2(2)(1)f x x x x x '=-++=--，()0,(,1)(2,),()0,(1,2)f x x f x x ''>∈-∞+∞<∈U所以()f x 单调递增区间是()(),2,1,+∞-∞，单调递减区间是()1,2，所以()f x 的极小值为3221212(2)222323f +=⨯-⨯+=． （Ⅱ）21()ln 2a h x x ax x +=-++，0x >， 21(1)1[(1)1](1)()(1)a x ax a x x h x a x a x x x-+++++-+'=-+++== 1︒当10a +≥时，()h x 在()0,1）单调递增，()1,+∞单调递减，()h x 极大值为()112a h -=， 当10a -=时，即1a =时，()h x 有一个零点；2︒当111a ->+时，即12a ->>-时， ()h x 在()0,1单调递增，11,1a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭单调递减， 1,1a ⎛⎫-+∞ ⎪+⎝⎭单调递增，由1(1)02a h -=<， 当x →+∞时，()h x →+∞，所以()h x 有一个零点；3︒当111a -=+时，即2a =-时， ()h x 在()0,∞+单调递增，由1(1)02a h -=<， 当x →+∞时，()h x →+∞，所以()h x 有一个零点；4︒当1011a <-<+时，即2a <-时， ()h x 在10,1a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭单调递增，1,11a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭单调递减， ()1,+∞单调递增，由1(1)02a h -=<， 111ln 12(1)11a h a a a a ⎛⎫⎛⎫-=--+- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭121ln 02(1)1a a a =+⎛⎫-+-< ⎪++⎝⎭， 当x →+∞时，()h x →+∞，所以()h x 有一个零点；综上，()h x 有一个零点时，a 的取值范围为：(,1){1}-∞-U【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值、零点，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若直线1C 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B 求22||||OA OB +的最大值．【答案】（1）22cos 2sin 10ρρθρθ--+=（2）最大值为6【解析】（1）由已知曲线2C 的普通方程为222210x y x y +--+=，利用极坐标化直角坐标的公式:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ，即可求得答案； （2）因为直线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）所以直线1C 的极坐标方程为θα=()R ρ∈．设()1,A ρα，()2,B ρα所以1ρ，2ρ为方程2(2cos 2sin )10ρααρ-++=的两个根，即可求得答案.【详解】（1）由已知曲线2C 的普通方程为222210x y x y +--+=∴曲线2C 的极坐标方程为：22cos 2sin 10ρρθρθ--+=（2）Q 直线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数） ∴直线1C 的极坐标方程为θα=()R ρ∈．设()1,A ρα，()2,B ρα∴1ρ，2ρ为方程2(2cos 2sin )10ρααρ-++=的两个根根据韦达定理：122cos 2sin ρραα+=+，121ρρ=∴()22222121212||||2OA OB ρρρρρρ+=+=+- 22(2cos 2sin )28sin 24πααα⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭ ∴当2sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，最大值为6． 【点睛】本题解题关键是掌握极坐标化直角坐标的公式和极坐标的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.23．已知函数()|||2|f x x m x m =--+的最大值为3，其中0m >．（1）求实数m 的值并在图中画出()y f x =的图象；（2）若a ，b R ∈，且满足0ab >，222a b m +=，求证：331a b b a +≥． 【答案】（1）1m =；见解析（2）见解析【解析】（1）当0m >时，3,()22,23,2m x m f x x m x m x m m x m m x m -≥⎧⎪=--+=---<<⎨⎪≤-⎩，可得max ()33f x m ==，则1m =，即可求得答案；（2）由（1）得221a b +=，()222223344212a b a b a b a b ab b a ab ab ab+-++===-，结合2212a b ab +=≥，即可求得答案.【详解】（1）当0m >时，3,()22,23,2m x m f x x m x mx m m x m m x m -≥⎧⎪=--+=---<<⎨⎪≤-⎩∴max ()33f x m ==，则1m =；图象如图所示：（2）由（1）得221a b +=，()222223344212a b a b a b a b ab b a ab ab ab +-++===-Q 2212a b ab +=≥，当且仅当a b =时等号成立，∴102ab <≤， 令1()2h t t t =-，知()h t 在()0,∞+上单减，故121ab ab-≥， 即证331a b b a+≥． 【点睛】本题主要考查了根据带有绝对值函数的最值求参数和证明不等式，解题关键是掌握处理带有绝对值函数的方法和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.。
成都石室中学2019届12月份一诊模拟试卷数学(文科解析)
成都石室中学高2019届十二月份一诊模拟试卷数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R U =，集合{|A x y ==，集合12{|,0}B y y x x ==>，那么集合()U C A B =A ．∅B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(1,)+∞【答案】C【解析】解ln 0x ≥得1x ≥，[1,),(0,)A B ∴=+∞=+∞，(,1)U C A ∴=-∞，(0,1)U C A B ∴=，故选：C2．若向量,a b 是非零向量，则“||||a b a b +=-”是“,a b 夹角为2π”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由||||a b a b +=-⇔22||||2||||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，整理得0a b ⋅=， 因为向量,a b 是非零向量，所以等价于a b ⊥，故选：C 3. 已知等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足7235S S -=，则9S = A ．54B ．63C ．72D ．81【答案】B【解析】由等差数列的性质可得：346557535a a a a a a ++++==，∴57a =，则19959()9632a a S a +===，故选B ． 4. 已知双曲线C ：2221(0)9y x b b-=>，其焦点F 到C 的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为A B C ．23 D ．32【答案】A【解析】由题意2,3c b e a ===；【解析】由题意2,3c b e a ===； 5. 下列结论正确的是A ．当0x >且1x ≠时，1ln 2ln x x+≥ B ．当0x >时，ln x x ≥ C ．当2x ≥时，1x x-无最小值 D ．当2x ≥时，12x x +≥【答案】B【解析】A 答案中01ln 0x x <<<时，，不等式不成立；C 答案函数在x ≥2时单调递增，在2x =处取得最小值；D 答案函数在2x ≥时单调递增，最小值为52；B 答案中-1ln x x ≥恒成立或直接构造函数求导即可判定。
成都石室中学2019届12月份一诊模拟试卷数学(文科)
第1页成都石室中学高2019届十二月份一诊模拟试卷数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R U =，集合{|A x y ==，集合12{|,0}B y y x x ==>，那么集合()U C A B =A ．∅B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(1,)+∞2．若向量,a b 是非零向量，则“||||a b a b +=-”是“,a b 夹角为2π”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3. 已知等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足7235S S -=，则9S = A ．54B ．63C ．72D ．814. 已知双曲线C ：2221(0)9y x b b-=>，其焦点F 到C 的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为 ABC ．23D ．325. 下列结论正确的是 A ．当0x >且1x ≠时，1ln 2ln x x+≥ B ．当0x >时，ln x x ≥ C ．当2x ≥时，1x x-无最小值 D ．当2x ≥时，12x x +≥6. 已知口袋里放有四个大小以及质地完全一样的小球，小球内分别标有数字1,3,5,7，约定林涛先从口袋中随机摸出一个小球，打开后记下数字为a ，放回后韩梅从口袋中也随机摸出一个小球，打开后记下数字为b ，则a b ≥的概率为 A ．516 B ．38 C ．916 D ． 587. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)=(2)f x f x +-，且当(2,0)x ∈-时，2()log (3)f x x a =++，若(13)2(7)1f f =+，则a =A ．43-B ．34-C ．43D ．34第2页8．已知()cos22,cos68AB =，()2cos52,2cos38AC =，则ABC △的面积为A ．12B．2 CD ．19. 如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱111ABC A B C ，其三视图如图所示，则异面直线1B A 与1A C 所成角的余弦值为A.45 B.C.25D.10.已知函数()3cos f x x x =+，且()f x 分别在1x ，2x 处取得最大值和最小值，则12x x +的最小值为 A.3π B.23π C.π D.43π11. 已知抛物线2:C y ax =的焦点坐标为(0,1)，点(0,3)P ，过点P 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，过,A B 分别作抛物线C 的切线，两切线交于点Q ，且两切线分别交x 轴于,M N 两点，则QMN ∆面积的最小值为A． B． C． D．12. 已知函数21()24(0)2f x ax bx a a =+->的两个零点为12,x x ，且10e x -<<，241()xx x g x e ++=，则方程[()]0f g x =的实数根的个数为A ．6B ．5C ．4D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若,x y 满足约束条件1040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =+的最大值为 .14. 执行如图所示的程序框图，若输入12x =，则输出y 的值为______.第3页15. 在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =， E 为DC 边上的中点，P 为线段AE 上的动点，设向量AP DB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 .16. 已知数列{}n a 中，121n n a a +=-，12a =，设其前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，(1)23n S n k n +-≥-恒成立，则k 的最小值为________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17.（本题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知6C π=，2a =，ABC ∆，F 为边AC 上一点. （1）求c ；（2）若CF =，求sin BFC ∠.18. （本题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面为菱形,已知60DAB BAE ∠=∠=︒，2AD AE ==，DE =，2AB =.（1）求证：平面ABE ⊥平面ABCD ； （2）求点B 到平面AED 的距离．第4页19．（本题满分12分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：（1）请用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系； （2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2018年12月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A ，B 两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，分别以这100辆单车所产生的平均利润作为决策，如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，其中第5页20. （本题满分12分）已知点P 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上一点， 1F 、2F 分别是椭圆的左右焦点，且120PF PF ⋅=.（1）求曲线E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+（不与坐标轴重合）与曲线E 交于,M N 两点，O 为坐标原点，设直线OM 、ON 的斜率分别为1k 、2k ，对任意的斜率k ，若存在实数λ，使得12()0k k k λ++=，求实数λ的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()=ln 1f x a x -，其中0a ≠，()2=1g x x -，()()()h x f x g x =+.（1）若23y x =-是()f x 的一条切线，求a 的值；（2）在（1）问的前提下，若存在正实数12,x x 使得()1212()h x h x x x +=+，求12x x +的取值范围.第6页（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22. 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为:2cos (1sin x t t y t αα=+⎧⎨=-+⎩为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为：=6cos 8sin ρθθ-，直线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，（1）求曲线2C 的普通方程及AB 的最小值； （2）若点(2,1)P -，求22PA PB +的最大值.23. 选修4-5：不等式选讲（1）当2a =时，解不等式()2f x x +<；（2的解集非空，求b 的取值范围.。
成都石室中学12月份一诊模拟试卷数学(文科参考答案)
成都石室中学高2019届十二月份一诊模拟试卷数学参考答案（文科）一、选择题： 1-5 CCBAB 6-10 DAADB 11-12 CD二、填空题： 13. 12； 14. 98-； 15. 2； 16. 38； 三、解答题：17. 【答案】（1）2c =（2）sin BFC ∠= 【解析】（1）11sin 2sin226S ab C b π==⨯⨯⨯=b ∴=···········3分 2222cos 41222cos 46c a b ab C π=+-=+-⨯⨯=，2c ∴= ···········6分 （2）由（1）得2a c ==，6A C π∴==, 23ABC A C ππ∠=--=···········7分 在BCF ∆中由正弦定理sin sin CF BF CBF BCF=∠∠得sin 6sin CF CBF BFπ⋅∠= 2CF =sin CBF ∴∠= ···········9分 23CBF π∠≤4CBF π∴∠= ···········10分 ()sin sin sin 46BFC CBF BCF ππ⎛⎫∴∠=∠+∠=+= ⎪⎝⎭···········12分 18. 【答案】（1）略；（2）5【解析】（1）如图，过D 作DO AB ⊥，连接EO60,2,DAB EAB AD AE AO AO ∠=∠=︒===DAO EAO ∴∆≅∆···········2分90,DOA EOA DO EO ∴∠=∠=︒==6DE =222DO EO DE ∴+=由勾股定理逆定理得90DOE ∠=︒，即DO EO ⊥ ···········4分,,DO AB AB EO O AB ABE EO ABE ⊥⋂=⊂⊂面，面，DO ABE ∴⊥面DO ABCD ⊂面，∴平面ABE ⊥平面ABCD ···········6分 （2）设B 到AED 的距离为d ，由（1）可知AEB OD OE S ∆===在等腰AED ∆中，2,AE AD DE ===AED S ∆∴= ···········8分 由等体积法可得B AED D AEB V V --= ···········9分1133AED AEB d S OD S ∆∆∴⨯⨯=⨯⨯，d ∴=，故B 到AED··········12分19． 【答案】（1）略；（2）ˆ29y x =+，市场占有率为23%；（3）应选择B 款车型．【解析】（1所以两变量之间具有较强的线性相关关系，···········3分故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．（2···········4分 ···········5分 ∴回归直线方程为ˆ29y x =+．···········6分2018年12月的月份代码7x =，∴27923y =⨯+=，所以估计2018年12月的市场占有率为23%．···········7分答案：（3）用频率估计概率，这100辆A 款单车的平均利润为：1(5001003050040100020)350100-⨯+⨯+⨯+⨯= ···········9分这100辆B 款单车每辆的平均利润为：1(300152004070035120010)400100-⨯+⨯+⨯+⨯= ···········11分 以每辆单车产生的平均利润为决策依据，故应选择B 款车型．········12分20. 【答案】（1）22162x y +=；（2【解析】（1）设12(,0),(,0)F c F c -，212(1)(1)40,2PF PF c c c c ⋅=--⋅-=-==， ……………………2分； 由2222223116,24a b a b a b ⎧+=⎪⇒==⎨⎪-=⎩， 曲线E 的方程为：22162x y +=；……………………5分； （2）设,M N 两点坐标为：1122(,),(,),x y x y ,M N 两点满足：12222222212222631136(13)6360623112(26)0km x x k x y m k x kmx m x x k y kx m m k -⎧+=⎪+⎪⎧+=-⎪⎪⇒+++-=⇒=⎨⎨+⎪⎪=+⎩⎪=-+>⎪⎩……………………………………………………………………………………………………………………………………………7分；121212)))1212(((0y y kx m kx m k k k k k x x x x λλλ++++=⨯++=⨯++=， 1212()[2]0m x x k k x x λ+⨯++=， ①当0k =时，R λ∈②当0k ≠时，23612m λ-= ……………………10分由2212(26)0m k ∆=-+>对任意k 恒成立，则2222602m k m <+⇒≤<，(标注：对于任意的k ，直线:l y kx m =+均与椭圆相交，直接得到点(0,)m 位于椭圆内部，也可得202m ≤<)102λ⇒-≤< 综上：1[,0)2λ∈-………………………12分21.【答案】（1）2a =；（2）[3+)∞，．【解析】（1）设23y x =-与()f x 相切于点00(,)x y ，则1分 所以000ln 10x x x -+= （*） ………………2分令()ln 1F x x x x =-+，()ln F x x '=，当(0,1)x ∈时，()0F x '<， 当(1,+)x ∈∞时，()0F x '>，所以()F x 在=1x 时取得最小值(1)=0F ，所以（*）式有唯一解01x = ………………4分 所以2a = ………………5分（注：如果未讨论解的唯一性，直接猜出答案，扣2分）（2）由题知()1212()h x h x x x +=+，即221212122ln 4x x x x x x ++-=+， 212121212()()422ln x x x x x x x x +-+-=- ………………7分 设12=0x x t >，令()22ln m t t t =-， 当(0,1)t ∈时，()0m t '<，当(1,+)t ∈∞时，()0m t '>，所以()(1)2m t m ≥=，……………10分 21212()()42x x x x +-+-≥，解得123x x +≥或122x x +≤-（舍去） …………11分 当且仅当12==1x x t 时，12=3x x +等号成立. 综上，12x x +的取值范围是[3+)∞， …………12分 (注：未验证等号成立条件，扣1分.)22. 【答案】（1）22(3)(4)25x y -++=；（2）70；【解析】（1）222=6cos 8sin =6cos 8sin +=68x y x y ρθθρρθρθ-⇒-⇒-曲线2C 的普通方程为：22+=68x y x y -（或22(3)(4)25x y -++=）………………...2分； AB，AB最小为=分；（2）法1：设直线1C 上点,A B 对应参数方程:2cos (1sin x t t t y αα=+⎧⎨=-+⎩为参数）的参数分别为12,,t t 将直线1C 与曲线2C 方程联立方程组：222(1)(3)252cos sin cos 6sin 150t t t t t αααα+--++=⇒=-………………...6分； 12co 6in 2s s t t αα⇒+=-，1215,t t =-2222212(cos 26sin )30PA PB t t αα⇒+=+=-+ ……………………………8分； 22cos 36sin 24sin cos 3003416(1cos 2)12sin 24αααααα=+-+=+--435020sin(2)70,(sin ,cos )(sin(2)=-1)55αϕϕϕαϕ=-+≤==+当时取得最大值 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………10分； 法2：由数形结合，圆相关问题往圆心转化，过圆心2C 作2C H AB ⊥于H ,设圆心距2||C H d =，2222(||||)(||||)PA PB HA PH HA PH +=-++ 222222222(||||||||)C A C H C P C H =-+-22(2510)82d ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-⋯⋯⋯+分；270270d =-≤（当1C 过圆心为直径时，取得最大值）………………………………………10分；23. 【答案】（1（2【解析】（1）当2a =时，所以1221x x x -<+<-，解得………4分（2 ，解集非空等价于max ()b g x ≤,…………6分分所以b的取值范围分.。
四川成都石室中学2019高三一诊重点试题-数学(文)
四川成都石室中学2019高三一诊重点试题-数学（文）文科数学〔第一卷〕【一】选择题：只有唯一正确答案，每题5分，共50分 1、集合{1,2}P =，{|}Q x x 2=<，那么集合P Q 为 〔 〕〔A 〕{1,2} 〔B 〕{1} 〔C 〕{2} 〔D 〕{0,1} 2、复数212i i-+的虚部是〔 〕〔A 〕0 〔B 〕5i 〔C 〕 〔D 〕 3、sin cos θθ+=，那么7cos(2)2πθ-的值为〔 〕 〔A 〕49 〔B 〕29〔C 〕29- 〔D 〕49- 4、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，那么输出S 的值为〔 〕〔A 〕8 〔B 〕18 〔C 〕26 〔D 〕80〔A 〕假设a ⊥b ，a ⊥α，那么b ∥α〔B 〕假设a ∥α，α⊥β，那么a ⊥β〔C 〕假设a ⊥β，α⊥β，那么a ∥α〔D 〕假设a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，那么α⊥β 6、函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如下图，那么此函数的解析式为〔〕〔A 〕()2sin()33f x x ππ=-〔B 〕()2sin(1)6f x x π=-〔C 〕()2sin()3f x x π=-〔D 〕()2sin()66f x x ππ=-7、对一切实数x ，不等式01||2≥++x a x 恒成立，那么实数a(A))2,(--∞(B)),2[+∞-(C)]2,2[-(D)),0[+∞8、定义运算()()a ab a b b a b ⎧≤⊗=⎨>⎩，那么函数1()(0)f x x x x=⊗>的图象大致为〔〕 9、O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，假设(2)OB OC OA +-⋅()0OB OC -=，那么∆ABC 是〔〕〔A 〕以AB 为底边的等腰三角形 〔B 〕以BC 为底边的等腰三角形 〔C 〕以AB 为斜边的直角三角形 〔D 〕以BC 为斜边的直角三角形10、关于x 的方程220x bx c -++=，假设{}0123b,c ∈，，，，记“该方程有实数根1x ，2x 且满足1212x x -≤≤≤”为事件A ，那么事件A 发生的概率为()〔A 〕14〔B 〕34〔C 〕78〔D 〕1516【二】填空题：每题5分，共25分11、数列{}na 的前n 项和332n n S =-⨯，那么n a =、 12、某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果从高一学生中抽取的人数为7， 那么从高三学生中抽取的人数应为、13、如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为、 14、设向量a 与b 的夹角为θ，)1,2(=，)54(2，=+，那么θcos 等于、15、设m 是一个正整数，对两个正整数a 、b ，假设(,0)a b km k Z k -=∈≠，我们称a 、b 模m 同余，用符号(Mod )a b m =表示；在6(Mod )b m =中，当b N m∈，且1m >时，b 的所有可取值为、 石室中学高2018级“一诊模拟”考试〔一〕试题文科数学〔第二卷〕11、12、13、14、15、 【三】解答题：总分75分16、〔此题总分值12分〕ABC ∆的面积S满足36S AB BC ≤≤⋅=且，AB BC 与的夹角为θ、〔Ⅰ〕求θ的取值范围；〔Ⅱ〕求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的最大值、17、〔此题总分值12分〕三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，90ACB ∠=︒，主视图侧视图俯视图2AC CB ==、〔Ⅰ〕求证：平面PAB ⊥平面ABC ；〔Ⅱ〕当60PCB ∠=︒时，求三棱锥A PCB -的体积、18、〔此题总分值12分〕设函数()x f y =满足：对任意的实数,R x ∈有().sin x f〔Ⅰ〕求()x f 的解析式； 〔Ⅱ〕假设方程()212-=x a x f 有解，求实数a 的取值范围.19、〔此题总分值12分〕某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件，需要另投入2.7万元.设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且22110.8,01030()1081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩.〔Ｉ〕写出年利润W 〔万元〕关于年产量x 〔千件〕的函数关系式；〔Ⅱ〕年生产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？20、〔此题总分值13分〕 设数列{}n a 为单调递增的等差数列，11a =，且1263,,a a a 依次成等比数列.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式n a ；〔Ⅱ〕假设2n a n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ；〔Ⅲ〕假设()222322nnn a n a a c =+⋅+，求数列{}n c 的前n 项和nT 、21、〔本小题总分值14分〕函数xx x x f 3231)(23+-=〔R x ∈〕的图象为曲线C 、 〔Ⅰ〕求曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；〔Ⅱ〕假设曲线C 上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围；〔Ⅲ〕试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；假设不存在，说明理由、AB石室中学高2018级一诊模拟试题文科数学参考答案【一】选择题：1、B2、C3、A4、C5、D6、A7、B8、D9、B10、C 【二】填空题：11、132n --⨯〔*n N ∈〕12、101314、4515、2,3,4【三】解答题： 16、解：〔I 〕由题意知.6cos ||||==⋅θ…………1分11||||sin()||||sin 2211||||cos tan 6tan 3tan .422333tan 1tan [0,],[,].643S AB BC AB BC AB BC S πθθθθθθθθππθπθ=-===⨯=≤≤≤≤∴≤≤∈∴∈分即又分〔II 〕θθθθθθθ222cos 22sin 1cos 3cos sin 2sin )(++=++=f).42sin(222cos 2sin 2πθθθ++=++=…………9分311[,],2[,].4344232,,(), 3.12444f πππππθθπππθθθ∈∴+∈∴+==当即时最大最大值为分17、证明：〔Ⅰ〕作PO ⊥平面ABC 于点O ，∵PA PB PC ==， ∴OA OB OC ==，即O 为ABC ∆的外心 又∵ABC ∆中，90ACB ∠=︒ 故O 为AB 边的中点 所以PO ⊂平面PAB即证：平面PAB ⊥平面ABC 、、、、、、、、6分〔Ⅱ〕∵PA PB PC ==，60PCB ∠=︒，∴PCB ∆为正三角形∵2AC CB ==，∴2PA PB PC === ∴OA=PO =∴三棱锥A PCB -的体积13A PCB P ACBABC V V S PO --∆==⋅11113232AC BC PO =⨯⋅⋅=⨯⨯=.12分 18、解：⑴()3sin 2sin 3sin 2sin 11sin 2sin 222-+=-+-+-=x x x x x x f所以()().11322≤≤--+=x x x x f …………………5分⑵①当21=x 时，.021≠⎪⎭⎫⎝⎛f 不成立. ②当211<≤-x 时，,021<-x 令,21x t -=那么,21t x -=.230≤<t ,34732122122--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=tt t t t a 因为函数()347--=t t t h 在⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0上单增，所以.3438232-≤⇒-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤a h a ③当121≤<x 时，,021>-x 令,21-=x t 那么,21t x +=.210≤<t ,34732122122+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=tt t t t a因为函数()347+-=t t t h 在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0上单增，所以.00212≤⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤a h a 综上，实数a 的取值范围是(].0,∞-……………………12分 19、解：〔Ｉ〕当010x <≤时，3()(10 2.7)8.11030x W xR x x x =-+=--； 当10x >时，1000()(10 2.7)98 2.73W xR x x xx=-+=--、∴年利润W 〔万元〕关于年产量x 〔千件〕的函数关系式为38.110,010,30100098 2.7,10.3x x x W x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩…………………6分〔Ⅱ〕当010x <≤时，由28.100910x W x '=->⇒<<， 即年利润W 在(0,9)上单增，在(9,10)上单减∴当9x =时，W 取得最大值，且max 38.6W =〔万元〕、当10x >时，100098( 2.7)98383W x x =-+≤-=，仅当1009x =时取“=”综上可知，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为38.6万元、…………………12分 20、解：(Ⅰ)()..121251.2363661236612n a d d d dd a a a a a a a a n =∴=⇒+=+⇒==--==…….4分〔Ⅱ〕∵22n a n n n b a n =⋅=⋅∴231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅相减，得23122222n n n S n +-=++++-⋅2(12)12n -=-12n n +-⋅11222n n n ++=--⋅ ∴1(1)22n n S n +=-⋅+、…………………….13分〔Ⅲ〕()()()()()121122211.2121212221212322nn n n n n n n n n n nc ---====-+++++++⨯+那么0112111111111.212121212121221n n n n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………13分 21、解：〔Ⅰ〕34)(2+-='x x x f ，那么11)2()(2-≥--='x x f ，即曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[)+∞-,1；------------3分 〔Ⅱ〕由〔1〕可知，⎪⎩⎪⎨⎧-≥--≥111kk ---------------------------------------------------------5分解得01<≤-k 或1≥k ，由03412<+-≤-x x 或1342≥+-x x 得：(][)+∞+-∞-∈,22)3,1(22, x ；-------------------------------7分〔Ⅲ〕设存在过点A ),(11y x 的切线曲线C 同时切于两点，另一切点为B ),(22y x ，21x x ≠，那么切线方程是：))(34()3231(112112131x x x x x x x y -+-=+--， 化简得：)232()34(2131121x x x x x y +-++-=， 而过B ),(22y x 的切线方程是)232()34(2232222x x x x x y +-++-=， 由于两切线是同一直线， 那么有：3434222121+-=+-x x x x ，得421=+x x ，----------------------11分又由22322131232232x x x x +-=+-， 即0))((2))((32212122212121=+-+++--x x x x x x x x x x 04)(31222121=+++-x x x x ，即012)(22211=-++x x x x即0124)4(222=-+⨯-x x ，044222=+-x x得22=x ，但当22=x 时，由421=+x x 得21=x ，这与21x x ≠矛盾。
2019届四川省成都石室中学高三适应性考试(一)数学理科试题(解析版)
成都石室中学高2019届高考适应性考试(一)数学试卷(文科)一、选择题1.已知集合{}021,0,1,2|{}Ax x B -≤≤＝,＝，则A B ⋂＝（ ） A. []0,2 B. {}0,1,2C. ()1,2－D. {}1,0,1－【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义，即可求解.【详解】因为{}{|},021,0,1,2A x x B =≤≤=-，则{}0,1,2A B =I ， 故选:B .【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2.设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.3.计算2543log sin cos ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于( )A. 32-B.32C. 23-D.23【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】原式2222221log cos 2log cos log 232322πππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦3223log 22-==-. 故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.4.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】根据四个列联表中的等高条形图可知，图中D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大， 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D ．5.在长方体1111ABCD A B C D -中，1123AB AD AA ==，，1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（ ） A.32B.33C.155D.105【答案】C 【解析】 【分析】在长方体中11//AB C D ， 得1DD 与平面1ABC 交于1D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，可证DO ⊥平面11ABC D ，可得1DD A ∠为所求解的角，解1Rt ADD ∆，即可求出结论. 【详解】在长方体中11//AB C D ，平面1ABC 即为平面11ABC D ， 过D 做1DO AD ⊥于O ，AB ⊥Q 平面11AA D D ，DO ⊂平面111,,AA D D AB DO AB AD D ∴⊥=I ，DO ∴⊥平面11ABC D ，1DD A ∴∠为1DD 与平面1ABC 所成角，在1111,3,2,5Rt ADD DD AAAD AD ∆===∴=， 111315cos 5DD DD A AD ∴∠===， ∴直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为15.故选:C.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.6.执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A. 5i ≤B. 6i ≤C. 7i ≤D. 8i ≤【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图，逐步执行，直到S 的值为63，结束循环，即可得出判断条件. 【详解】执行框图如下： 初始值：0,1S i ==，第一步：011,112S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第二步：123,213S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第三步：347,314S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第四步：7815,415S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第五步：151631,516S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第六步：313263,617S i =+==+=，此时要输出，结束循环； 故，判断条件为6i ≤. 故选B【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.7.已知平面向量a b r r，满足21a b a r r r ＝，＝,与b r 夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥r r r r+－，则实数λ的值为（ ）A. 7-B. 3-C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得()()20a b a b λ+-=⋅r r r r，结合向量数量积的运算律，建立λ方程，求解即可.【详解】依题意得22113a b cos π⋅=⨯⨯=-r r 由()()20a b a b λ+-=⋅r r r r ，得()222210a b a b λλ-+-⋅=r r r r即390λ-+=，解得3λ=. 故选:D .【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题. 8.已知三棱柱1116.34ABC AB C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )A.B. C.132D. 【答案】C 【解析】因为直三棱柱中，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝13，即R ＝1329.若函数()222y sin x ϕϕπ⎛⎫<⎪⎝+⎭=的图象经过点012π⎛⎫⎪⎝⎭，，则函数()()()22f x sin x cos x ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( ) A. 24x π=-B. 3724x π=C. 1724x π=D. 1324x π=-【答案】B 【解析】【分析】由点012π⎛⎫⎪⎝⎭，求得ϕ的值，化简()f x 解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得()f x 的对称轴，由此确定正确选项.【详解】由题可知220,122sin ππϕϕ⎛⎫⨯+=< ⎪⎝⎭.6πϕ=-所以()2cos 266f x sin x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5226412x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令52,122x k k Z πππ+=+∈， 得,242k x k Z ππ=+∈ 令3k =，得3724x π=故选：B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.10.已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A. 12B. 10C. 9D. 8【答案】C 【解析】 【分析】求得A 点坐标，由此求得直线AF 的方程，联立直线AF 的方程和抛物线的方程，求得B 点坐标，进而求得AB【详解】抛物线焦点为()2,0F ，令1x =，28y =，解得y =±(A ，则直线AF 的方程为))22y x x =-=--，由)228y x y x⎧=--⎪⎨=⎪⎩，解得((,4,A B -，所以9AB ==.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.11.过点P 的直线l 与曲线y =交于A B ，两点，若25PA AB =u u u r u u u r，则直线l 的斜率为( )A. 2B. 2C. 2+或2D. 21【答案】A 【解析】 【分析】利用切割线定理求得,PA AB ，利用勾股定理求得圆心到弦AB 的距离，从而求得30APO ∠=︒，结合45POx ∠=o ，求得直线l 的倾斜角为15o ，进而求得l 的斜率.【详解】曲线y =2213x y +=的上半部分，圆心为()0,0设PQ 与曲线y =相切于点Q ， 则()2PQ PA PB PA PA AB =⋅=⋅+2225375PA PO OQ -=== 所以5,2PA AB ==，O 到弦AB =1sin 2APO ===∠，所以30APO ∠=︒，由于45POx ∠=o ，所以直线l 的倾斜角为453015-=o o o ，斜率为()tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 30-=-==+⨯o ooooo o故选：A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12.若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( )A. 510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 510,23⎛⎫⎪⎝⎭C. 102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 102,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】求得()f x 的导函数()'fx ，由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-，根据题意可知()g x 在(12)，上有变号零点.由此令()0g x =，利用分离常数法结合换元法，求得m 的取值范围.【详解】()()2'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦，设()()222g x x m x m =+-+-，要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，即()g x 在(12)，上有变号零点，令()0g x =， 则()2221x x m x ++=+，令()12,3t x =+∈，则问题即1m t t =+在()2,3t ∈上有零点，由于1t t+在()2,3上递增，所以m 的取值范围是510,23⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13.在()()6411 x y ++的展开式中，23x y 的系数为________．【答案】60 【解析】 【分析】根据二项展开式定理，求出6(1)x +含2x 的系数和4(1)y +含3y 的系数，相乘即可. 【详解】()()6411 x y ++的展开式中， 所求项为：2233232364654602C x C y x y x y ⨯=⨯=， 23x y 的系数为60.故答案为:60.【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.14.已知矩形 ABCD ，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且 过 C, D 两点的双曲线的离心率为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据,A B 为焦点，得2c =；又2AC BC a -=求得a ，从而得到离心率. 【详解】,A B 为焦点 24c ⇒= 2c ⇒=C 在双曲线上，则2AC BC a -=又5AC == 22a ⇒= 1a ⇒=2ce a∴== 本题正确结果：2【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题. 15.已知函数()1xxf x e e-=--，则关于x 的不等式(2)(1)2f x f x ++>-的解集为_______．【答案】1(,)3-+∞ 【解析】 【分析】判断()()1g x f x =+的奇偶性和单调性，原不等式转化为()()()2?11g x g x g x -+=--＞，运用单调性，可得到所求解集．【详解】令()()1g x f x =+，易知函数()g x 为奇函数，在R 上单调递增，()()()()21221110f x f x f x f x ++>-⇔++++＞，即()()210g x g x ++＞，∴()()()2?11g x g x g x -+=--＞ ∴21x x ＞--，即x ＞13- 故答案为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 16.已知数列{}n a 满足1211,3a a ==对任意2,*n n N ≥∈，若()111123n n n n n a a a a a -+-++=，则数列{}n a 的通项公式n a =________．【答案】121n - 【解析】 【分析】由()111123n n n n n a a a a a -+-++=可得1111112()n n n n a a a a +--=-，利用等比数列的通项公式可得1112n n na a +-=，再利用累加法求和与等比数列的求和公式，即可得出结论. 【详解】由()111123n n n n n a a a a a -+-++=，得1111112()n n n n a a a a +--=- 21112a a -=，数列111{}n n a a +-是等比数列，首项为2，公比为2，1112n n na a +∴-=，11112,2n n n n a a --≥-=， 11221111111111()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+L 121222212112nn n n ---=++++==--L ， 111,1n a ==，满足上式，121n n a =-. 故答案为:121n -. 【点睛】本题考查数列的通项公式，递推公式转化为等比数列是解题的关键，利用累加法求通项公式，属于中档题.三、解答题17.在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示:已知变量,x y 且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲$453y x =+； 乙$4105y x =-+；丙$ 4.6104y x =-+，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的. （1）试判断谁的计算结果正确？（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数X 的分布列和数学期望.【答案】（1）乙同学正确（2）分布列见解析， ()32E X =【解析】【分析】（1）由已知可得甲不正确，求出样本中心点(,)x y 代入验证，即可得出结论；（2）根据（1）中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数X 的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.【详解】（1）已知变量,x y 具有线性负相关关系，故甲不正确，6.5,79x y ==Q ，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：$4105y x =-+（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：“理想数据”有3个，故“理想数据”的个数X 的取值为:0,1,2,3. ()0333361020C C P X C ===，()1233369120C C P X C === ()2133369220C C P X C ===，()3033361120C C P X C === 于是“理想数据”的个数X 的分布列()199130123202020202E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，以及离散型随机变量的分布列和期望，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.18.已知在平面四边形ABCD 中，3,,1,4ABC AB AD AB ABC π∠=⊥=V 的面积为12. （1）求AC 的长；（2）已知CD =ADC ∠为锐角，求tan ADC ∠.【答案】（1（2）4.【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式求得BC ，利用余弦定理求得AC .（2）利用余弦定理求得cos CAB ∠，由此求得sin DAC ∠，进而求得sin ADC ∠，利用同角三角函数的基本关系式求得tan ADC ∠.【详解】（1）在 ABC V 中，由面积公式：11sin 242ABC S AB BC ABC BC =⨯⨯⨯∠==VBC ∴=在 ABC V 中，由余弦定理可得：22225AC AB BC AB BC cos ABC +⋅∠-⋅==AC ∴=（2）在 ABC V 中，由余弦定理可得：2222AB AC BCcos CAB AB BC +-∠==⋅ ()2sin DAC sin DAB CAB sin CAB π⎛⎫∠=∠-∠=-∠ ⎪⎝⎭5sin DAC cos CAB ∴∠=∠= 在 ADC V 中，由正弦定理可得:sin sin AC CD ADC DAC =∠∠，sin ADC ∴∠= ADC ∠Q 为锐角cos ADC ∴∠==. tan 4ADC ∴∠=【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.19.如图，在四面体DABC 中，AB BC DA DC DB ⊥==，.（1）求证:平面ABC ⊥平面ACD ；（2）若30CAD ∠=︒，二面角 C AB D --为60o ，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（23【解析】【分析】（1）取AC 中点,F 连接,FD FB ，得,DF AC ⊥AB BC ⊥，可得FA FB FC ==，可证DFA DFB V V ≌，可得DF FB ⊥，进而DF ⊥平面ABC ，即可证明结论；（2）设,,E G H 分别为边,,AB CD BD 的中点，连,,,,DE EF GF FH HG ，可得//GF AD ，//,//GH BC EF BC ，可得FGH ∠（或补角）是异面直线AD 与BC 所成的角，BC AB ⊥，可得EF AB ⊥，DEF ∠为二面角 C AB D --的平面角，即60DEF ∠=o ，设AD a =，求解FGH ∆，即可得出结论.【详解】（1）证明:取AC 中点,F 连接,FD FB ，由,DA DC =则,DF AC ⊥AB BC ⊥Q ，则FA FB FC ==，故DFA DFB V V ≌，2DFB DFA π∠=∠=，,,DF AC DF FB AC FB F ⊥⊥⋂=QDF ⊥∴平面ABC ，又DF ⊂平面ACD ，故平面ABC ⊥平面ACD（2）解法一:设,G H 分别为边,CD BD 的中点，则//,//FG AD GH BC ，FGH ∠（或补角）是异面直线AD 与BC 所成的角.设E 为边AB 的中点，则//EF BC ，由,AB BC ⊥知EF AB ⊥.又由（1）有DF ⊥平面,ABC DF AB ∴⊥，,EF DF F AB =⊥I 平面.,D F B E E D A ∴⊥，所以DEF ∠为二面角C AB D --的平面角，60DEF ∴∠=o ，设,DA DC DB a ===则2a DF AD CAD =⋅∠= 在Rt DEF △中，332a EF a =⋅= 从而1326GH BC EF a === 在Rt BDF V 中，122a FH BD ==， 又122a FG AD ==， 从而在FGH V 中，因FG FH =，132GH cos FGH FG ∴∠==， 因此，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为3.解法二:过点F 作FM AC ⊥交AB 于点,M由（1）易知,,FC FD FM 两两垂直，以F 为原点，射线,,FM FC FD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系F xyz -.不妨设2AD =，由30CD AD CAD =∠=︒,，易知点,,A C D的坐标分别为()0,,()(), 0,0,1A C D则 (0)AD =u u u r显然向量()0,0,1k =r 是平面ABC 的法向量已知二面角 C AB D --为60︒，设(),,0B m n，则223,,()m n AB m n +==+u u u r设平面ABD 的法向量为(),,n x y z =r ，则(0000z AD n AB n mx n y +=⎧⋅=⇒⎨⋅=++=⎩⎪⎩u u u v v u u u v v 令1y =，则n n m ⎛+=- ⎝r由||1,2k n cos k n k n ⋅<>===u u r r r r r r由上式整理得29210n +-=，解之得n =舍)或9n =B ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭CB ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，2,AD CB cos AD CB AD CB ⋅<>===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r因此，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为3.【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系，证明平面与平面垂直，考查空间角，涉及到二面角、异面直线所成的角，做出空间角对应的平面角是解题的关键，或用空间向量法求角，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20.已知1F ，2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=＞＞的左，右焦点，点2(P -在椭圆E 上，且抛物线24y x =的焦点是椭圆E 的一个焦点．（1）求a ,b 的值：（2）过点2F 作不与x 轴重合的直线l ，设l 与圆2222x y a b +=+相交于A ，B 两点，且与椭圆E 相交于C ，D 两点，当111F A F B ⋅=u u u v u u u v 时，求△1F CD 的面积． 【答案】（1）2,1a b ==；（246. 【解析】【分析】（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出a ，b ；（2）设直线l 方程为1x ty =+，联立直线与圆的方程可以求出2t ，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积．【详解】（1）24y x ＝焦点为F （1，0），则F 1（1，0），F 2（1，0）， 122P F +P F 22a ＝＝2a =c ＝1，b ＝1，（Ⅱ）由已知，可设直线l 方程为1x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y联立2213x ty x y =+⎧⎨+=⎩得22(1)220t y ty ++-=，易知△＞0，则1221222t t +12t +1y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩11 F A F B ⋅u u u v u u u v ＝1122(1)(1)x x y y +++＝1212(ty +2)(ty +2)+y y ＝22121222-2t t +1y y +2t y +y +4t +1（）（）＝ 因为111F A F B =⋅u u u r u u u r ，所以222-2t t +1＝1，解得21t 3＝ 联立22112x ty x y +⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝ ，得22t +2y +2ty-10（）＝，△＝82t +1（）＞0 设3344C ,),(,)x y B x y （，则3423422t y +y t +21y y 2t -⎧⎪⎪⎨⎪-⎪+⎩＝＝1F CD 12341S F F y -y 23∆⋅＝ 【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题． 意在考查学生的数学运算能力．21.已知函数()2, 2.718282a f x xlnx x x a R e =--∈≈⋅⋅⋅,是自然对数的底数. （1）若a e =-，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，求a 的取值范围，并证明:1212x x x x >+.【答案】（1）减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明见解析. 【解析】【分析】（1）当a e =-时，求得函数()f x 的导函数()'f x 以及二阶导函数()''f x ，由此求得()f x 的单调区间.（2）令()'0f x =求得ln x a x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数求得()g x 的单调区间、极值和最值，结合()f x 有两个极值点，求得a 的取值范围.将12,x x 代入()f x lnx ax '=-列方程组，由()()1212212212ln ln ln x x x x x a x x x x x +<==++证得1212x x x x >+. 【详解】（1）()'f x lnx ax lnx ex =-=+Q ，10e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭'∴=， 又()1"0f x e x=+>，所以()'f x 在(0)+∞，单增， 从而当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0, f x f x <递减， 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 递增.（2）()f x lnx ax '=-.令()ln '0x f x a x =⇒=， 令()ln x g x x =，则()21ln x g x x-'= 故()g x 在()0,e 递增，在(,)e +∞递减，所以()()max 1g x g e e==.注意到当1x >时()0g x >， 所以当0a <时，()f x 有一个极值点， 当10a e <<时，()f x 有两个极值点， 当1a e≥时，()f x 没有极值点， 综上10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为12,x x 是()f x 的两个极值点，所以11112222ln 0ln ln 0ln x ax x ax x ax x ax -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ 不妨设12x x <，得121x e x <<<，因为()g x 在(,)e +∞递减，且122x x x +>，所以()()1212212212ln ln ln x x x x x a x x x x x ++<⇒<++ 又()()12121212ln ln ln x x x x a x x a x x +=+⇒=+ 所以()()121212121212ln ln x x x x x x x x x x x x +<⇒>+++ 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30°，且经过点()2,1A ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足12OM ON ⋅=，记点N 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求出直线1l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求AP AQ⋅的值． 【答案】（Ⅰ）22112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，()22400.x x y x -+=≠；（Ⅱ）3.【解析】【分析】（Ⅰ）直接由已知写出直线l 1的参数方程，设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得1112ρρθθ=⎧⎨=⎩，即ρ＝4cos θ，然后化为普通方程；（Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得到关于t 的一元二次方程，再由参数t 的几何意义可得|AP |•|AQ |的值．【详解】（Ⅰ）直线l 1的参数方程为x 2tcos30y 1tsin30=+⎧⎪=+⎨⎪⎩o o ，（t 为参数）即2112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0）， 则1ρρ121θθ=⎧=⎨⎩，即3ρ12cos θ⋅=，即ρ=4cosθ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-4x+y 2=0（x ≠0）.（Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得221(2t)42(1t)02⎛⎫+-+++= ⎪ ⎪⎝⎭，即2t t 30-=，t 1，t 2为方程的两个根， ∴t 1t 2=-3，∴|AP|•|AQ|=|t 1t 2|=|-3|=3．【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．23.已知函数()|2||4|f x x x =++-.(1)求不等式()3f x x ≤的解集；(2)若()|1|f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围.【答案】(1)[)2,+∞；(2)(],2-∞.【解析】【分析】（1）通过讨论x 的范围，分为4x >，2x <-，24x -≤≤三种情形，分别求出不等式的解集即可； （2）通过分离参数思想问题转化为331111k x x ≤++---，根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到k 的范围.【详解】(1)当4x >时，原不等式等价于243x x x ++-≤，解得2x ≥-，所以4x >，当2x <-时，原不等式等价于243x x x ---+≤，解得25x ≥，所以此时不等式无解， 当24x -≤≤时，原不等式等价于243x x x +-+≤，解得2x ≥，所以24x ≤≤综上所述，不等式解集为[)2,+∞.(2)由()1f x k x ≥-，得241x x k x ++-≥-，当1x =时，60≥恒成立，所以R k ∈；当1x ≠时，24131333111111x x x x k x x x x ++--++--≤==++-----. 因为3333111121111x x x x ⎛⎫⎛⎫++-≥++-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当且仅当3311011x x ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭即4x ≥或2x -≤时，等号成立， 所以k 2≤；综上k 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题.。
2019届四川省成都石室中学高三适应性考试(一)数学(文)试题(解析版)
2019届四川省成都石室中学高三适应性考试（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2=|20A x x x -≤，{}1,0,1,2B =-，则A B I 等于（ ）A ．[]0,2B ．{}0,1,2C ．()1,2-D ．{}1,0,1-【答案】B【解析】Q 220x x -≤，02x ∴≤≤，{}0,1,2A ⋂=，选B 2．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 3．计算2543log sin cosππ⎛⎫⎪⎝⎭等于( ) A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A【解析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值. 【详解】 原式2221log cos 2log cos log 332πππ⎤⎤⎤⎛⎫⎛⎫=-==⎥⎥⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦3223log 22-==-. 故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.4．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 根据四个列联表中的等高条形图可知， 图中D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大， 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D ． 5．设 2.71828...e ≈为自然对数的底数，函数()1xxf x e e-=--，若()1f a =，则()f a -=( )A ．1-B ．1C ．3D ．3-【答案】D【解析】利用()f a 与()f a -的关系，求得()f a -的值. 【详解】依题意()11,2aaa a f a e ee e --=--=-=，所以()()11213aa a a f a e e e e ---=--=---=--=-故选：D 【点睛】本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.6．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤【答案】B【解析】根据程序框图，逐步执行，直到S 的值为63，结束循环，即可得出判断条件. 【详解】 执行框图如下： 初始值：0,1S i ==，第一步：011,112S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第二步：123,213S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第三步：347,314S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第四步：7815,415S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第五步：151631,516S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第六步：313263,617S i =+==+=，此时要输出，结束循环； 故，判断条件为6i ≤. 故选B 【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.7．已知平面向量,a b v v 满足2,1,a b a ==v v v 与b v 的夹角为120°，且()()2a b a b λ+⊥-v v v v ，则实数λ的值为（） A ．7- B ．3-C ．2D ．3【答案】D【解析】由题意可得：21cos1201a b ⋅=⨯⨯=-o v v ，利用平面向量垂直的充要条件可得：()()222220a b a b a a b a b b λλλ+⋅-=+⋅-⋅-=v v v v v v v v v v ，即：()()222221110λλ⨯-⨯----⨯=，求解关于实数λ的方程可得：3λ=. 本题选择D 选项.点睛：(1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明a ⊥b ，则只需证明a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b ＝0. (3)数量积的运算a·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a·b ＝0，但不能说a ⊥b .8．已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )A ．B ．C ．132D ．【答案】C【解析】因为直三棱柱中，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝13，即R ＝1329．若函数()222y sin x ϕϕπ⎛⎫<⎪⎝+⎭=的图象经过点012π⎛⎫⎪⎝⎭，，则函数()()()22f x sin x cos x ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( )A ．24x π=-B ．3724x π=C ．1724x π=D ．1324x π=-【答案】B 【解析】由点012π⎛⎫⎪⎝⎭，求得ϕ的值，化简()f x 解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得()f x 的对称轴，由此确定正确选项. 【详解】 由题可知220,122sin ππϕϕ⎛⎫⨯+=< ⎪⎝⎭.6πϕ=- 所以()2cos 266f x sin x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5226412x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令52,122x k k Z πππ+=+∈， 得,242k x k Z ππ=+∈ 令3k =，得3724x π= 故选：B 【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.10．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( ) A ．12 B ．10 C ．9 D ．8【答案】C【解析】求得A 点坐标，由此求得直线AF 的方程，联立直线AF 的方程和抛物线的方程，求得B 点坐标，进而求得AB 【详解】抛物线焦点为()2,0F ，令1x =，28y =，解得y =±(A ，则直线AF 的方程为))2212y x x =-=---，由)228y x y x⎧=--⎪⎨=⎪⎩，解得((,4,A B -，所以9AB ==.故选：C 【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.11．过点P 的直线l 与曲线y =交于A B ，两点，若25PA AB =u u u r u u u r，则直线l 的斜率为( )A ．2B ．2C ．2或2D ．2-1【答案】A【解析】利用切割线定理求得,PA AB ，利用勾股定理求得圆心到弦AB 的距离，从而求得30APO ∠=︒，结合45POx ∠=o ，求得直线l 的倾斜角为15o ，进而求得l 的斜率. 【详解】曲线y =2213x y +=的上半部分，圆心为()0,0设PQ 与曲线y =相切于点Q ， 则()2PQ PA PB PA PA AB =⋅=⋅+2225375PA PO OQ -=== 所以5,2PA AB ==，O 到弦AB =1sin2OP APO ===∠，所以30APO ∠=︒，由于45POx ∠=o ，所以直线l 的倾斜角为453015-=o o o ，斜率为()tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 30-=-==-+⨯o ooooo o故选：A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 12．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】求得()f x 的导函数()'fx ，由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-，根据题意可知()g x 在(12)，上有变号零点.由此令()0g x =，利用分离常数法结合换元法，求得m 的取值范围. 【详解】()()2'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦，设()()222g x x m x m =+-+-，要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，即()g x 在(12)，上有变号零点，令()0g x =， 则()2221x x m x ++=+，令()12,3t x =+∈，则问题即1m t t =+在()2,3t ∈上有零点，由于1t t+在()2,3上递增，所以m 的取值范围是510,23⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．双曲线2213y x -=的离心率为_________．【答案】2【解析】1,2,2ca b c e a======Q 14．直线2y ex b =+是曲线()0y lnx x =>的一条切线 2.7182(8e =⋅⋅⋅为自然对数的底数)，则实数b =__________. 【答案】1-【解析】根据切线的斜率为e ，利用导数列方程，由此求得切点的坐标，进而求得切线方程，通过对比系数求得b 的值. 【详解】1y e x '==，则1x e =，所以切点为1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故切线为11y e x e ⎛⎫ ⎪⎝+-⎭=，即2y ex =-，故1b =-. 故答案为：1- 【点睛】本小题主要考查利用导数求解曲线的切线方程有关问题，属于基础题. 15．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥面,4,,,ABCD PA AB E F H ==分别是棱,,PB BC PD 的中点，过,,E F H 的平面交棱CD 于点G ，则四边形EFGH 面积为__________.【答案】 【解析】【详解】设G 是CD 中点，由于,,E F H 分别是棱,,PB BC PD 的中点，所以11//,,//,22EF PC EF PC HG PC HG PC ==，所以//,EF HG EF HG =，所以四边形EFGH 是平行四边形.由于PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥，而BD AC ⊥，PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ，所以BD PC ⊥.由于//FG BD ，所以BG PC ⊥，也即FG EF ⊥，所以四边形AFGH 是矩形.而1123,2222EF PC FG BD ====. 从而232246EFGH S =⨯=. 故答案为：46.【点睛】本小题主要考查空间平面图形面积的计算，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.16．已知数列{}n a 满足11,a =对任意2N*n n ≥∈,，11112n n n a a ---=，则数列{}n a 的通项公式n a =__________.【答案】121n - 【解析】利用累加法求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由此求得{}n a 的通项公式. 【详解】由题，11221111111111n n n n n a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21122221n n -=+++⋅⋅⋅+=-所以121n na =-故答案为：121n- 【点睛】本小题主要考查累加法求数列的通项公式，属于基础题.三、解答题17．在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示:已知变量,x y 且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲453y x =+； 乙4105y x =-+；丙 4.6104y x =-+，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的. （1）试判断谁的计算结果正确？（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数为2的概率. 【答案】（1）乙同学正确；（2）920. 【解析】（1）根据变量,x y 且有线性负相关关系判断甲不正确.根据回归直线方程过样本中心点(),x y ，判断出乙正确.（2）由线性回归方程得到的估计数据，计算出误差，求得“理想数据”的个数，由此利用古典概型概率计算公式，求得所求概率. 【详解】（1）已知变量,x y 具有线性负相关关系，故甲不正确，6.5,79x y ==Q ，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：4105y x =-+（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：由上表可知，“理想数据”的个数为3.用列举法可知，从6个不同数据里抽出3个不同数据的方法有20种.从符合条件的3个不同数据中抽出2个，还要在不符合条件的3个不同数据中抽出1个的方法有339⨯=种. 故所求概率为920P = 【点睛】本小题主要考查回归直线方程的判断，考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于中档题.18．已知在平面四边形ABCD 中，3,,1,4ABC AB AD AB ABC π∠=⊥=V 的面积为12.（1）求AC 的长；（2）已知CD =ADC ∠为锐角，求tan ADC ∠.【答案】（1（2）4.【解析】（1）利用三角形的面积公式求得BC ，利用余弦定理求得AC .（2）利用余弦定理求得cos CAB ∠，由此求得sin DAC ∠，进而求得sin ADC ∠，利用同角三角函数的基本关系式求得tan ADC ∠. 【详解】（1）在 ABC V 中，由面积公式：11sin 242ABC S AB BC ABC BC =⨯⨯⨯∠==VBC ∴=在 ABC V 中，由余弦定理可得：22225AC AB BC AB BC cos ABC +⋅∠-⋅==5AC ∴=（2）在 ABC V 中，由余弦定理可得：222252AB AC BCcos CAB AB BC+-∠==⋅ ()2sin DAC sin DAB CAB sin CAB π⎛⎫∠=∠-∠=-∠ ⎪⎝⎭255sin DAC cos CAB ∴∠=∠=在 ADC V 中，由正弦定理可得:sin sin AC CD ADC DAC =∠∠，417sin ADC ∴∠= ADC ∠Q 为锐角217cos 1sin 17ADC ADC ∴∠=-∠=. tan 4ADC ∴∠=【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.19．如图，在四面体DABC 中，AB BC DA DC DB ⊥==，.（1）求证:平面ABC ⊥平面ACD ；（2）若22 30AD AB BC CAD ==∠=︒，，，求四面体ABCD 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）45. 【解析】（1）取AC 中点F ，连接,FD FB ，根据等腰三角形的性质得到DF AC ⊥，利用全等三角形证得DF FB ⊥，由此证得DF ⊥平面ABC ，进而证得平面ABC ⊥平面ACD .（2）由（1）知DF ⊥平面ABC ，即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高，结合锥体体积公式，求得四面体ABCD 的体积. 【详解】（1）证明:如图，取AC 中点F ，连接,FD FB ，由,DA DC =则,DF AC ⊥AB BC ⊥Q ，则FA FB FC ==，故DFA DFB DFC V V V ≌≌ 故2DFB DFA π∠=∠=，,,DF AC DF FB AC FB F ⊥⊥⋂=QDF ⊥∴平面ABC .又DF ⊂平面ACD ， 故平面ABC ⊥平面ACD（2）由（1）知DF ⊥平面ABC ， 即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高， 且301,303DF ADsin AF ADcos =︒==︒=在Rt ABC V 中，2232AC AF AB BC ===,，由勾股定理易知2151555BC AB ==故四面体ABCD 的体积111415215413325ABC V S DF =⋅=⨯=V【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．已知1F ，2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=＞＞的左，右焦点，点2()P -在椭圆E 上，且抛物线24y x =的焦点是椭圆E 的一个焦点． （1）求a ,b 的值：（2）过点2F 作不与x 轴重合的直线l ，设l 与圆2222x y a b +=+相交于A ，B 两点，且与椭圆E 相交于C ，D 两点，当111F A F B ⋅=u u u v u u u v时，求△1F CD 的面积． 【答案】（1）1a b ==；（2. 【解析】（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出a ，b ；（2）设直线l 方程为1x ty =+，联立直线与圆的方程可以求出2t ，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积． 【详解】（1）24y x ＝焦点为F （1，0），则F 1（1，0），F 2（1，0），122P F +P F a ＝＝，解得a =c ＝1，b ＝1，（Ⅱ）由已知，可设直线l 方程为1x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y联立2213x ty x y =+⎧⎨+=⎩得22(1)220t y ty ++-=，易知△＞0，则1221222t t +12t +1y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩11 F A F B ⋅u u u v u u u v＝1122(1)(1)x x y y +++＝1212(ty +2)(ty +2)+y y＝22121222-2t t +1y y +2t y +y +4t +1（）（）＝ 因为111F A F B =⋅u u u r u u u r ，所以222-2t t +1＝1，解得21t 3＝ 联立22112x ty x y +⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝ ，得22t +2y +2ty-10（）＝，△＝82t +1（）＞0 设3344C ,),(,)x y B x y （，则3423422t y +y t +21y y 2t -⎧⎪⎪⎨⎪-⎪+⎩＝＝1F CD12341S F F y-y23∆⋅＝＝【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题．意在考查学生的数学运算能力．21．已知函数()2, 2.718282af x xlnx x x a R e=--∈≈⋅⋅⋅,是自然对数的底数.（1）若a e=-，讨论()f x的单调性；（2）若()f x有两个极值点12,x x，求a的取值范围，并证明:1212x x x x>+.【答案】（1）减区间是10,e⎛⎫⎪⎝⎭，增区间是1,e⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）10,e⎛⎫⎪⎝⎭，证明见解析.【解析】（1）当a e=-时，求得函数()f x的导函数()'f x以及二阶导函数()''f x，由此求得()f x的单调区间.（2）令()'0f x=求得ln xax=，构造函数()ln xg xx=，利用导数求得()g x的单调区间、极值和最值，结合()f x有两个极值点，求得a的取值范围.将12,x x代入()f x lnx ax'=-列方程组，由()()1212212212ln lnlnx x x xxax x x x x+<==++证得1212x x x x>+. 【详解】（1）()'f x lnx ax lnx ex=-=+Q，1ef⎛⎫⎪⎝⎭'∴=，又()1"0f x ex=+>，所以()'f x在(0)+∞，单增，从而当10,ex⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x<递减，当1,xe⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()f x递增.（2）()f x lnx ax'=-.令()ln'0xf x ax=⇒=，令()ln x g x x =，则()21ln xg x x-'= 故()g x 在()0,e 递增，在(,)e +∞递减， 所以()()max 1g x g e e==.注意到当1x >时()0g x >， 所以当0a <时，()f x 有一个极值点， 当10a e<<时，()f x 有两个极值点， 当1a e≥时，()f x 没有极值点， 综上10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为12,x x 是()f x 的两个极值点，所以11112222ln 0ln ln 0ln x ax x ax x ax x ax -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ 不妨设12x x <，得121x e x <<<，因为()g x 在(,)e +∞递减，且122x x x +>，所以()()1212212212ln ln ln x x x x x a x x x x x ++<⇒<++ 又()()12121212ln ln ln x x x x a x x a x x +=+⇒=+所以()()121212121212ln ln x x x x x x x x x x x x +<⇒>+++ 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30°，且经过点()2,1A ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足12OM ON ⋅=，记点N 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求出直线1l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求AP AQ ⋅的值．【答案】（Ⅰ）2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，()22400.x x y x -+=≠；（Ⅱ）3. 【解析】（Ⅰ）直接由已知写出直线l 1的参数方程，设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得1112ρρθθ=⎧⎨=⎩，即ρ＝4cosθ，然后化为普通方程；（Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得到关于t 的一元二次方程，再由参数t 的几何意义可得|AP |•|AQ |的值． 【详解】（Ⅰ）直线l 1的参数方程为x 2tcos30y 1tsin30=+⎧⎪=+⎨⎪⎩oo，（t 为参数）即2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0）， 则1ρρ121θθ=⎧=⎨⎩，即3ρ12cos θ⋅=，即ρ=4cosθ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-4x+y 2=0（x≠0）. （Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得221(242(1t)02⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭，即2t t 30+-=，t 1，t 2为方程的两个根， ∴t 1t 2=-3，∴|AP|•|AQ|=|t 1t 2|=|-3|=3． 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题． 23．已知函数()|2||4|f x x x =++-. (1)求不等式()3f x x ≤的解集；(2)若()|1|f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围.【答案】(1)[)2,+∞；(2)(],2-∞.【解析】（1）通过讨论x 的范围，分为4x >，2x <-，24x -≤≤三种情形，分别求出不等式的解集即可；（2）通过分离参数思想问题转化为331111k x x ≤++---，根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到k 的范围. 【详解】(1)当4x >时，原不等式等价于243x x x ++-≤，解得2x ≥-，所以4x >， 当2x <-时，原不等式等价于243x x x ---+≤，解得25x ≥，所以此时不等式无解，当24x -≤≤时，原不等式等价于243x x x +-+≤，解得2x ≥，所以24x ≤≤ 综上所述，不等式解集为[)2,+∞. (2)由()1f x k x ≥-，得241x x k x ++-≥-，当1x =时，60≥恒成立，所以R k ∈； 当1x ≠时，24131333111111x x x x k x x x x ++--++--≤==++-----.因为3333111121111x x x x ⎛⎫⎛⎫++-≥++-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当且仅当3311011x x ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭即4x ≥或2x -≤时，等号成立，所以k 2≤；综上k 的取值范围是(],2-∞. 【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题.。
2019届四川省成都石室中学高三适应性考试(二)数学(文)试题(解析版)
2019届四川省成都石室中学高三适应性考试（二）数学（文）试题一、单选题 1．已知复数112a iz i -=++()a ∈R 的实部为1，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -【答案】B【解析】化简复数112a i z i -=++，可得1122a az i ++=-，因为复数z 的实部为1，可得112a +=，解得1a =，即可求得答案. 【详解】Q 1(1)11222a i a i i z i ---=+=++ 1(1)2a a i +-+=1122a a i ++=-Q 复数z 的实部为1 ∴112a +=，解得1a = ∴虚部112a+-=- 故选：B. 【点睛】本题解题关键是掌握复数的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 2．设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A B U ⊆⊆，则下列各式中错误的是（ ） A ．()U C A B U =U B ．()()U U U C A C B C B =I C ．()U A C B ⋂=∅ D ．()()U U C A C B U =U【答案】D【解析】做出韦恩图，根据图形结合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可得出结论. 【详解】A B U ⊆⊆，如下图所示，则U U C B C A ⊆，()U C A B U =U ，选项A 正确， ()()U U U C A C B C B =I ，选项B 正确， ()U A C B ⋂=∅，选项C 正确，()()U U U C A C B C A U =≠U ，所以选项D 错误.故选:D.【点睛】本题考查集合交、并、补计算，利用韦恩图是解题的关键，属于基础题. 3．数列{}n a 前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则72019a S +的值为（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．1-【答案】A【解析】根据21n n S a =+，求出1a ，2a ，3a ，4a ，⋯⋯，寻找规律，即可求得答案. 【详解】Q 21n n S a =+当1n =，1121a a =+，解得：11a = 当2n =，122221a a a +=+，解得：21a =- 当3n =，32132221a a a a ++=+，解得：31a = 当4n =，4321422221a a a a a +++=+，解得：41a =-⋯⋯当n 奇数时，1n a = 当n 偶数时，1n a =-∴71a =，20191S =故720192a S +=故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.4．已知a ，b ，R c ∈，且a b >，0a b ⋅≠，则下列不等式正确的是（ ） A ．22a b > B ．a b b a> C ．2211a bc c >++ D ．||||a c b c >【答案】C【解析】根据不等式的性质，逐项判断，即可求出结论. 【详解】选项A ，取1,2a b ==-，满足a b >， 但是22a b <，所以错误；选项B ，取1,2a b =-=-，满足a b >，但是122a bb a=<=，所以错误； 选项C ，22210,,111a ba b c c c >>∴>+++， 所以正确；选项D ，若0c =，则||||a c b c =， 所以错误. 故选:C. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键，属于基础题. 5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()31f x f x +=-，且当()2,0x ∈-时，2()log (3)f x x =+，则()13f =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】()()31f x f x +=-可得()f x 是周期为4的周期函数，(13)(1)f f =，由函数的奇偶性结合已知解析式，即可求出结论. 【详解】()()31,(4)()f x f x f x f x +=-∴+=Q ，2(13)(1)(1)log (13)1f f f ==--=--+=-.故选:B. 【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性以及解析式的应用，属于基础题.6．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53B ．103C ．56D ．116【答案】A【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d关系式，即可求出结论. 【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.7．已知空间中的两条直线l ，m ，三个平面α，β，γ，则下列说法中： ①平面α，β，γ最多可将平面分为7个部分； ②已知m αγ=I ，l γ⊂．若//l α，则//l m ； ③已知αβ⊥，m αβ=I ，若l m ⊥，则l β⊥；④已知m γ⊂，l αβ=I ，若αγ⊥，βγ⊥，则l m ⊥． 一定正确的为（ ） A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④【答案】D【解析】根据线面关系，逐项判断，即可求得答案. 【详解】对于①，平面α，β，γ最多可将平面分为8个部分，故①错误； 对于②，Q m αγ=I ，l γ⊂． 又Q //l α∴//l m ，故②正确；对于③，当αβ⊥，m αβ=I ，若l m ⊥l 可能与β平行，故③错误；对于④，Q m γ⊂，l αβ=I当αγ⊥，βγ⊥，可得l m ⊥，故④正确； 综上所述，正确的是②④ 故选：D. 【点睛】本题主要考查了判断线面位置关系，解题关键是掌握线面关系基础知识，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题. 8．函数2()6cos3sin 32xf x x ωω=+-(0)>ω在一个周期内的图象如图所示，点P是图象的最高点，M ，N 是该图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，则ω的值为（ ）A ．4πB ．2πCD【答案】C【解析】化简2()6cos32xf x x ωω=+-，可得()3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据点P 是图象的最高点，M ，N 是该图象与x 轴的交点，0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，可得PMNV 是以P 为顶点的等腰直角三角形，即可求得答案. 【详解】Q 2()6cos 32xf x x ωω=-3cos 3x xx ωωπω=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q 点P 是图象的最高点，M ，N 是该图象与x 轴的交点，0PM PN ⋅=u u u u r u u u r∴PMN V 是以P 为顶点的等腰直角三角形 Q ()f x的最大值为：∴PMN V的高为可得：MN =∴函数()f x的周期2T =⨯=即2πω=ω=故选：C. 【点睛】本题主要考查了求三角函数最小正周期，解题关键是掌握正弦型三角函数周期公式和其图象特征，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9．下图程序框图的功能是求11616166+++的值，则框图中①、②两处应分别填写（ ）A ．2i ≥，aB ．2i ≥，6a -C ． 2i >，aD ．2i >，6a -【答案】D【解析】根据流程图所表示的算法功能，从而应该利用累加的表达式，以及数是逐一增加的，可得处理框应填结果，即可求得答案. 【详解】Q 程序框图的功能是求11616166+++的值根据流程图所表示的算法功能∴利用累加，则第一个处理框应为2i >，然后计算i 是增加1个，1i i =+，第二空输出结果6a -． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了补全流程图，解题关键是根据流程图功能结合流程基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.10．在ABC ∆中，5AB =，6AC =，D 是BC 的中点，H 是ABC ∆的重心，则DH BC ⋅=u u u u r u u u r（ ）A ．11-B ．116-C ．11D ．116【答案】B【解析】根据重心性质可得13DH AD =-u u u u r u u ur ，以,AB AC u u u r u u u r 为基底表示,AD BC u u u r u u u r ，由数量积定义，即可求出结论.【详解】D 是BC 的中点，H 是ABC ∆的重心， 11()36DH AD AC AB =-=-+u u u u r u u u r u u ur u u u r ，1()()6D A H B AC B AC AB C ⋅-=+⋅-u u ur u u u r u u u r u u u u r u u u u u u r r221111()(3625)666AC AB =--=--=-u u u r u u u r .故选:B. 【点睛】本题考查向量的线性关系、向量基本定理、向量数量积，注意三角形重心性质的应用，属于基础题.11．已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，焦距为2c ，直线:bc l y a =与其渐近线交于P ，Q 两点，若24PF Q π∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A．BC ．2D ．5【答案】A【解析】因为双曲线2222:1x y C a b-=，故渐近线方程为：b y x a =±，因为直线:bc l y a =与其渐近线交于P ，Q 两点，求得P ，Q 两点坐标，可得2F PQ △是以Q 为顶点的等腰直角三角形，画出图形，即可求得答案. 【详解】Q 双曲线2222:1x y C a b-= ∴渐近线方程为：b y x a=± Q 直线:bcl y a=与其渐近线交于P ，Q 两点， 可得bc y ab y x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩可得,bc a P c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,Q c bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭根据题意画出图象,如图：Q ,Q c bc a ⎛⎫⎪⎝⎭,(),0F c ,24PF Q π∠= ∴2F PQ △是以Q 为顶点的等腰直角三角形故2PQ QF =∴2=bc c a ，解题：2ba= 由215c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭∴双曲线C 5故选：A. 【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，解题掌握双曲线基础知识和离心率的求法，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．已知定义在R 上的奇函数()g x ，导函数为()g x '，且当0x ≥时，()1g x '>，若关于x 的不等式11(ln )ln g x g a x a x x ⎛⎫⎛⎫--≥-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1 B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(],1-∞【答案】D【解析】将不等式化为11(ln )ln g x x g a a x x ⎛⎫⎛⎫-≥--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()()f x g x x =-，可得1(ln )()f x f a x ≥-恒成立，根据已知可得()f x 在R 上为增函数，转化为1ln x a x+≥恒成立，设1()ln h x x x=+，求出min min (),()h x a h x ≤，即为所求. 【详解】设()()f x g x x =-， 当0x ≥时，()1g x '>，()()10f x g x ''=->，所以()f x 在[0,)+∞上是增函数，()g x 是在R 上的奇函数，所以()f x 是在R 上的奇函数，()f x 在(,0)-∞上是增函数，且()f x 在0x =处连续，所以()f x 在R 上为增函数，11(ln )ln g x g a x a x x ⎛⎫⎛⎫--≥-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，11(ln )ln g x x g a a x x ⎛⎫⎛⎫-≥--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1(ln )()f x f a x ≥-恒成立，即1ln x a x +≥恒成立，设221111()ln ,()x h x x h x x x x x-'=+=-=， 当(0,1)x ∈时，()0,()h x h x '<单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0,()h x h x '>单调递增， 所以1x =时，()h x 取得极小值1，也是最小值， 所以实数a 的取值范围是1a ≤. 故选:D. 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的应用，构造函数是解题的关键，属于较难题.二、填空题13．若约束条件为20101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则该约束条件所表示的平面区域的面积为_________．【答案】94【解析】做出满足条件的可行域，确定出平面区域，即可求解. 【详解】做出满足20101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩的可行域，如下图所示，阴影部分为ABC ∆，直线,AC AB 的斜率分别为1,1-，,,(1,0),(1,3),||34AC AB ABC B C BC π∴⊥∠=∴=Q ，ABC ∆∴为等腰直角三角形，且斜边为3，19224ABC BC S BC ∆∴=⋅=. 故答案为:94.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，并求其面积，考查数形结合思想，属于基础题.14．边长为1的正方形内有一不规则图形，现用随机模拟方法近似估计该不规则图形的面积，先产生两组区间[]0,1上的均匀随机数1x ，2x ，L ，n x 和1y ，2y ，L ，n y ，此得到n 个点对(),i i x y ，(1,2,,)i n =L 再统计出落在该不规则图形内的点数m ，则此不规则图形的面积约为______． 【答案】mn【解析】边长为1的正方形，故其面积为1S =,设不规则图形的面积约为S ',随机产生n 个点对(),i i x y ，(1,2,,)i n =L ，落在该不规则图形内的点数m ，可得：S m S n'≈，即可求得答案. 【详解】Q 边长为1的正方形，故其面积为1S =设不规则图形的面积约为S '随机产生n 个点对(),i i x y ，(1,2,,)i n =L ，落在该不规则图形内的点数m可得：S m S n '≈ ∴mS n'≈故答案为：mn.【点睛】本题主要考查了随机模拟方法近似估计该不规则图形的面积，解题关键是掌握随机模拟方法解题方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA AB ⊥，PA AC ⊥，60BAC ∠=︒，2PA =，2AB =，3AC =，则球O 的表面积为____________．【答案】403π【解析】,由已知可得PA ⊥平面ABC ，设ABC ∆外接圆的圆心为M ，根据球的性质，球心O 在过M 垂直于平面ABC 的垂线上，即在过点M 与直线PA 平行的直线上，OP OA =，取PA 中点N ，可证ON MA =，在ABC ∆中由余弦定理求出BC ，再由正弦定理求出ABC ∆外接圆半径MA ，求出球O 的半径OA ，即可得出结论.【详解】,,,P B A AB PA AC A AC A PA ⊥=⊥⊥I 平面ABC ，60,2,3BAC AB AC =︒==∠，由余弦定理得，2222cos 7BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=，BC ∴=，设ABC ∆的外接圆圆心为M ，由正弦定理得2,sin BC MA MA BAC ===∴=∠过点M 做//MD PA ，则MD ⊥平面ABC ，则球心O 在直线MD 上， 且OP OA =，取PA 中点N ，连ON ，则ON PA ⊥，PA ⊥Q 平面,ABC MA ⊂平面,,//ABC PA MA OM PA ∴⊥，73ON MA ∴==，在Rt OAN ∆中， 222710133OA AN ON =+=+=， 球O 的表面积为24043OA ππ⋅=. 故答案为:403π.【点睛】本题考查多面体与球的 “接”“切”问题，应用球的性质，确定球心位置是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.16．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的焦距为2c ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为C 上一动点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线l 的垂线，垂足为Q ，若||2OQ =（O 为坐标原点），则bc 的最大值为_______． 【答案】1【解析】设直线2F Q 与线段1F P 的延长线交于点R ，因为P 为C 上一动点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线l 的垂线，可得22||,||F Q QR PR F P ==，故Q 为线段2F R 的中点，所以在12F RF V 中，1112||||222F R F P PR F P PF OQ ++===，即可求得答案. 【详解】设直线2F Q 与线段1F P 的延长线交于点R ，Q P 为C 上一动点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线l 的垂线∴22||,||F Q QR PR F P ==，故Q 为线段2F R 的中点，∴在12F RF V 中，1112||||222F R F P PR F P PF OQ ++===， Q P 为椭圆上的点，∴122F P PF a +=，则122||222F P PF aOQ a +====，∴222(0,0)b c b c +=>>根据均值不等式可得：222b c bc +≥1bc ∴≤（当且仅当1b c ==取等号）∴bc 的最大值为1故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了掌握椭圆的基础知识和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.三、解答题17．第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议（简称两会）将分别于2019年3月5日和3月15日在北京开幕．全国两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，网约车安全问题是百姓最为关心的热点之一，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人赠送礼品，求抽取的2人中至少有1人年龄在第1组的概率；（Ⅱ）把年龄在第1，2，3组的人称为青少年组，年龄在第4，5组的人称为中老年组，若选出的200人中不关注网约车安全问题的人中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++【答案】（Ⅰ）710；（Ⅱ）没有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关. 【解析】（Ⅰ）按第1组和第2组的人数，求出抽取5人中从第1组和第2组分别抽取的人数，并按组对抽出的5人进行编号，列出从5人中抽取2人的所有情况，确定2人都在第2组的方法个数，按古典概型概率公式和对立事件的概率关系，即可求解； （Ⅱ）不关注网约车安全问题的人中老年人有10人，则青年人有30人，列出列联表，根据公式求出2K 的观测值，即可求出结论. 【详解】（Ⅰ）由频率直方图可得第1组和第2组的频率分别为0.1,0.15， 所以第1，2组的人数分别为20，30， 从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人， 则第1，2组抽取的人数分别为2，3．抽取的第1，2组中5人记为1A ，2A ，1B ，2B ，3B ， 所有可能情况为：()12,A A ，()11,A B ，()12,AB ，()13,A B ， ()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，全部都在第2组的情况有：()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ， 记从5人中随机抽取2人，至少有1人年龄在第1组为事件A ， 则37()11010P A =-=． （Ⅱ）由题意得22⨯列联表如下：22200(90107030)75 4.6875 6.635160408012016K ⨯⨯-⨯===<⨯⨯⨯所以没有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关． 【点睛】本题考查古典概型的概率、独立性检验，考查计算求解能力，属于基础题.18．已知点P 在直径2AB =的半圆上移动（点P 不与A ，B 重合），过P 作圆的切线l ，点T 在l 上，且||PT =，PAB α∠=． （Ⅰ）当60α=︒时，求BT 的值；（Ⅱ）当α为何值时，四边形ABTP 面积最大？ 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）512πα=时，四边形ABTP 取得最大值. 【解析】（Ⅰ）由切线性质可得60BPT BAP α∠=∠==︒，在Rt PAB ∆中，求出||BP ，在PBT ∆中，由余弦定理即可求出||BT ；（Ⅱ）BPT BAP α∠=∠=，在Rt PAB ∆中，求出||,||AP BP ，而ABTP BTP ABP S S S ∆∆=+，求出四边形ABTP 面积关于α的函数，利用二倍角、降幂公式、辅助角公式，将ABTP S 化为正弦型函数，即可求出最值. 【详解】（Ⅰ）由题意作图如下：由弦切角定理有60BPT BAP α∠=∠==︒在PAB ∆中有||||sin PB AB α== 在PBT ∆中由余弦定理有222||||||2||||cos BT PB PT PB PT α=+-31269=+-=，||3BT ∴=（Ⅱ）由弦切角定理有BPT BAP α∠=∠= 在PAB ∆中有||2sin PB α=，||2cos PA α= 因为ABTP BTP ABP S S S ∆∆=+所以22sin cos 23sin ABTP y S ααα==+sin 23(1cos 2)2sin 233πααα⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭当232ππα-=时，即512πα=时，四边形ABTP 取得最大值．【点睛】本题考查余弦定理、面积公式、三角恒等变换在平面几何中的应用，考查计算求解能力，属于中档题.19．如图空间几何体ABCDE 中，ABC ∆与ACD ∆，EBC ∆均为边长为2的等边三角形，平面ACD ⊥平面ABC ，平面ABC ⊥平面EBC ．（Ⅰ）求线段DE 的长度．（Ⅱ）试在平面ABC 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与D 的连线DF 均与平面EBC 平行，并给出详细证明；【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）取AB 中点H ，连接PH ，直线PH 是所求直线，证明详见解析.【解析】（Ⅰ）分别取,AC BC 中点,P Q ，连接,,DP EQ PQ ，可得DP AC ⊥，结合已知可证DP ⊥平面ABC ，同理EQ ⊥平面ABC ，可证四边形DEQP 是平行四边形，即可求出结论；（Ⅱ）根据题意只需过D 做一平面与平面EBC 平行，该平面与平面ABC 的交线即为所求，由（1）得，//DP 面EBC ，取AB 中点H ，连接PH ，DH ，可证//PH 面EBC ，进而有平面//BCE 平面DPH ，则PH 为所求.【详解】（Ⅰ）分别取,AC BC 中点,P Q ，连接,,DP EQ PQ ， 由平面ACD ⊥平面ABC 且交于AC ，DP ⊂面ACD ，DP AC ⊥，DP ∴⊥平面ABC由平面BCE ⊥平面ABC 且交于BC ，EQ ⊂面BCE ，EQ BC ⊥，EQ ∴⊥平面ABC //EQ DP ，且3EQ DP ==，所以四边形DEQP 是平行四边形，1DE PQ ∴==；（Ⅱ）取AB 中点H ，连接PH ，DH 由AP PC =，AHHB =，//PH BC ，BC ⊂平面EBC ，PH ⊄平面EBC ，所以//PH 面EBC ，又因为//,DP EQ EQ ⊂平面EBC ，DP ⊄平面EBC ，所以//DP 平面EBC ，DP PH P ⋂=，所以平面//BCE 平面DPH ，当F 在直线PH 上运动时，//DF 平面BCE 所以直线PH 是所求直线．【点睛】本题考查面面垂直和线面垂直的应用，注意空间中垂直的相互转化，考查面面平行的判定和应用，属于中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，两条动直线1l ，2l 分别过定点()2,1，()2,1-，其斜率分别为1k ，2k ，记1l ，2l 的交点M 形成的轨迹为曲线C ． （1）当121k k -=时，求曲线C 的轨迹方程；（2）在（1）的条件下，过曲线C 外一点P 作曲线C 的两条切线，切点记为A ，B ，当直线AB 与直线OP 的斜率之积为12-时，直线AB 是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）24x y =(1)y ≠（2）是，()0,1【解析】（1）设(,)M x y (1)y ≠，则112y k x -=-，212y k x -=+，所以11122y y x x ---=-+，即可求得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，因为24x y =即214y x =，所以12y x '=，所以112PA k x =，所以()1111:2PA y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，即可求得答案.【详解】（1）设(,)M x y (1)y ≠，则112y k x -=-，212y k x -=+ ∴11122y y x x ---=-+，化简得24x y =(1)y ≠ （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x yQ 24x y =即214y x =， ∴12y x '=，所以112PA k x =∴()1111:2PA y y x x x -=- 即2111124y x x x =-——① 同理22211:24PB y x x x =-——② 由①②解得：1202x x x +=，1204x xy =又Q 2112214AB y y x x k x x -+==-，()0120122OPy x x k x x x ==+ ∴12182AB OP x x k k ⋅==-， ∴124x x =-．设:AB y kx m =+ 联立24y kx mx y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2440x kx m --=，∴1244x x m =-=-，解得1m =，∴直线AB 过定点()0,1【点睛】本题主要考查了求抛物线方程和抛物线与直线位置关系问题，解题关键是掌握抛物线的基础知识和求圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起直线的斜率与交点横坐标的关系式．21．已知函数3211()32a f x x x ax +=-+，a ∈R ． （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的极小值； （Ⅱ）若函数31()()ln 3h x f x x x =-+有且只有一个零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）23；（Ⅱ）(,1){1}-∞-U . 【解析】（Ⅰ）当2a =时，求()f x '，求出()0,()0f x f x ''><的解，进而求出单调区间，即可求出极值；（Ⅱ）求出[(1)1](1)()a x x h x x++-+'=，若10a +≥，()h x 的极小值(1)0h =满足条件，当10a +<，讨论1,11a -+的大小，求出单调区间，极值的正负，结合零点存在性定理，即可求出结论.【详解】（Ⅰ）2()(21)2(2)(1)f x x x x x '=-++=--，()0,(,1)(2,),()0,(1,2)f x x f x x ''>∈-∞+∞<∈U所以()f x 单调递增区间是()(),2,1,+∞-∞，单调递减区间是()1,2，所以()f x 的极小值为3221212(2)222323f +=⨯-⨯+=． （Ⅱ）21()ln 2a h x x ax x +=-++，0x >， 21(1)1[(1)1](1)()(1)a x ax a x x h x a x a x x x-+++++-+'=-+++== 1︒当10a +≥时，()h x 在()0,1）单调递增，()1,+∞单调递减，()h x 极大值为()112a h -=，当10a -=时，即1a =时，()h x 有一个零点；2︒当111a ->+时，即12a ->>-时， ()h x 在()0,1单调递增，11,1a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭单调递减， 1,1a ⎛⎫-+∞ ⎪+⎝⎭单调递增，由1(1)02a h -=<， 当x →+∞时，()h x →+∞，所以()h x 有一个零点；3︒当111a -=+时，即2a =-时， ()h x 在()0,∞+单调递增，由1(1)02a h -=<， 当x →+∞时，()h x →+∞，所以()h x 有一个零点；4︒当1011a <-<+时，即2a <-时， ()h x 在10,1a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭单调递增，1,11a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭单调递减， ()1,+∞单调递增，由1(1)02a h -=<， 111ln 12(1)11a h a a a a ⎛⎫⎛⎫-=--+- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 121ln 02(1)1a a a =+⎛⎫-+-< ⎪++⎝⎭， 当x →+∞时，()h x →+∞，所以()h x 有一个零点；综上，()h x 有一个零点时，a 的取值范围为：(,1){1}-∞-U【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值、零点，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线2C的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若直线1C 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B 求22||||OA OB +的最大值．【答案】（1）22cos 2sin 10ρρθρθ--+=（2）最大值为6【解析】（1）由已知曲线2C 的普通方程为222210x y x y +--+=，利用极坐标化直角坐标的公式:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，即可求得答案； （2）因为直线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）所以直线1C 的极坐标方程为θα=()R ρ∈．设()1,A ρα，()2,B ρα所以1ρ，2ρ为方程2(2cos 2sin )10ρααρ-++=的两个根，即可求得答案.【详解】（1）由已知曲线2C 的普通方程为222210x y x y +--+=∴曲线2C 的极坐标方程为：22cos 2sin 10ρρθρθ--+=（2）Q 直线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数） ∴直线1C 的极坐标方程为θα=()R ρ∈．设()1,A ρα，()2,B ρα∴1ρ，2ρ为方程2(2cos 2sin )10ρααρ-++=的两个根根据韦达定理：122cos 2sin ρραα+=+，121ρρ=∴()22222121212||||2OA OB ρρρρρρ+=+=+- 22(2cos 2sin )28sin 24πααα⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭ ∴当2sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，最大值为6． 【点睛】本题解题关键是掌握极坐标化直角坐标的公式和极坐标的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.23．已知函数()|||2|f x x m x m =--+的最大值为3，其中0m >．（1）求实数m 的值并在图中画出()y f x =的图象；（2）若a ，b R ∈，且满足0ab >，222a b m +=，求证：331a b b a +≥． 【答案】（1）1m =；见解析（2）见解析【解析】（1）当0m >时，3,()22,23,2m x m f x x m x m x m m x m m x m -≥⎧⎪=--+=---<<⎨⎪≤-⎩，可得max ()33f x m ==，则1m =，即可求得答案；（2）由（1）得221a b +=，()222223344212a b a b a b a b ab b a ab ab ab +-++===-，结合2212a b ab +=≥，即可求得答案.【详解】（1）当0m >时，3,()22,23,2m x m f x x m x m x m m x m m x m -≥⎧⎪=--+=---<<⎨⎪≤-⎩∴max ()33f x m ==，则1m =；图象如图所示：（2）由（1）得221a b +=，()222223344212a b a b a b a b ab b a ab ab ab+-++===-Q 2212a b ab +=≥，当且仅当a b =时等号成立， ∴102ab <≤， 令1()2h t t t =-，知()h t 在()0,∞+上单减，故121ab ab-≥， 即证331a b b a+≥． 【点睛】本题主要考查了根据带有绝对值函数的最值求参数和证明不等式，解题关键是掌握处理带有绝对值函数的方法和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.。
四川省成都石室中学高2019届高考适应性考试(一)数学文科试卷(PDF版,解析版)
为 B，则|AB|＝
A．12
B．10
C． 9
D．8
答案：C；
解析：易得 xA ⋅ xB =
p2 4
=
4 ，由于 xA = 1 ， xB = 4 ，故 | AB |=
xA + xB + p = 9 ，故选 C．
11．过点 P(2 6, 2 6) 的直线 l 与曲线=y 13 − x2 交于 A，B 两点，若 2PA = 5AB ，则直线
由上表可知，“理想数据”的个数为 3 ·······················································（7 分） 用列举法可知，从 6 个不同数据里抽出 3 个不同数据的方法有 20 种············ （9 分） 从符合条件的 3 个不同数据中抽出 2 个，还要在不符合条件的 3 个不同数据中抽出
所以 f(x)＝sin2x＋6π＋cos2x＋6π＝ 2sin2x＋6π＋4π＝ 2sin2x＋152π，
令 2x＋51π2＝π2＋kπ，k∈Z，得 x＝2π4＋k2π，k∈Z，
令 k＝3，得 x＝3274π，故选 B．
10．已知 F 为抛物线 C： y2 = 8x 的焦点，点 A(1, m) 在 C 上，若直线 AF 与 C 的另一个交点
在△ ABC 中，由正弦定理可得：
适应性考试一文答 第 1 页
答案：D；
解析：根据四个等高条形图可知,图中 D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大,它最
能体现共享经济对该部门的发展有显著效果,故选 D．
5．设 e≈2.71828…为自然对数的底数，函数 f (x) =ex − e−x −1 ，若 f(a)＝1，则 f(－a)＝
2019届四川省成都石室中学高三上学期入学考试数学(文)试题(解析版)
2019届四川省成都石室中学高三上学期入学考试数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设复数z 满足z+i=3﹣i ，则A ．﹣1+2iB ． 1﹣2iC ． 3+2iD ． 3﹣2i2．已知全集，集合A={x|x ＜﹣1或x ＞1}，则A ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1]∪ [1，+∞）C ．（﹣1，1）D ． [﹣1，1]3．命题“，”的否定是A ．，B ．，C ．，D ．，4．在如图的程序框图中，若输入，则输出的的值是A ． 3B ． 7C ． 11D ． 33 5．在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m （m ＞0）的概率为，则m 的值等于 A ． B ． 3 C ． 4 D ．﹣2 6．已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=6，a 4+a 5=48，则数列{a n }前8项的和S 8为 A ． 510 B ． 126 C ． 256 D ． 512 7．已知函数是定义域为的奇函数，，且当时，，则下列结论正确的是 A ． B ． C ． D ． 8．已知，实数x ，y 满足，若z=3x+y 最小值为1,则a 的值为 A ． B ． C ． D ．或 9．已知抛物线的一条弦经过焦点为坐标原点，点在线段上，且，点在射线上，且，过向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,则的最小值为 A ． 4 B ． 6 C ． 8 D ． 10 10．向量满足：，，，则的最大值是 A ． 24 B ． C ． D ．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号的最大值为A．4 B．5 C．3 D．2二、填空题12．《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为A．2 B．C．1 D．13．_________.14．直线过双曲线的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C的离心率为_____________．15．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若则球O的直径为________．16．函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为_______.三、解答题17．迈入2018年后，直播答题突然就火了.在1月6号的一场活动中，最终仅有23人平分100万，这23人可以说是“学霸”级的大神.随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如下表：(1)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？(2)已知在参与调查的1000人中，有20%曾参加答题游戏瓜分过奖金，而男性被调查者有15%曾参加游戏瓜分过奖金，求女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率.参考公式：．临界值表：18．如图，在中，内角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若，边上的中线的长为，求的面积．19．某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成频率分布直方图如下：（1）若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50件的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50件的天数；（2）若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1200元，每售出一件利润为50元，求该门市一天获利不低于800元的概率；（3）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到0.01）．20．已知椭圆C 的两个顶点分别为，焦点在 x 轴上，离心率为.（1）求椭圆C的方程（2）设为C的左、右焦点，Q为C上的一个动点，且Q在x轴的上方，过作直线，记l与C的交点为P、R ，求三角形面积的最大值.21．已知函数，，其中（1）若，求的单调区间；（2）若的两根为，且，证明：.22．在平面直角坐标系中，曲线，曲线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；（2）射线分别交于两点，求的最大值．23．已知函数．（1）解不等式；（2）设函数的最小值为c，实数a，b 满足，求证：．2019届四川省成都石室中学高三上学期入学考试数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】复数z满足z+i=3-i,故答案为C。
四川省成都石室中学2019届高三12月一诊模拟数学文试卷(精品解析)
四川省成都石室中学2019届高三12月一诊模拟数学文试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，集合，那么集合A. . [0,1）B.C.D.【答案】C【解析】解：解得，；；；；；；．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．考查对数函数和幂函数的单调性，描述法、区间的定义，以及交集和补集的运算．2.若向量，是非零向量，则“”是“，夹角为”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：，向量，是非零向量，，夹角为“”是“，夹角为”的充要条件．故选：C．根据充分条件和必要条件的定义结合向量的运算进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的运算是解决本题的关键．3.已知等差数列中，前n项和，满足，则A. 54B. 63C. 72D. 81【答案】B【解析】解：等差数列中，前n项和，满足，，，．故选：B．利用等差数列前n项和公式得，求出，再由，能求出结果．本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知双曲线C：，其焦点F到C的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：双曲线C：，其焦点到C的一条渐近线的距离为2，可得，可得，，所以，所以双曲线的离心率为：．故选：A．求出双曲线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，然后利用已知条件求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程以及离心率求法，考查计算能力．5.下列结论正确的是A. 当且时，B. 当时，C. 当时，无最小值D. 当时，【答案】B【解析】解：当时，，可得；当时，，，故A错误；由的导数为，当时，函数y递增；当时，函数y递减，可得函数y的最小值为1，即，即，故B正确；当时，递增，可得时，取得最小值，故C错误；当时，递增，可得最小值为，故D错误．故选：B．讨论，，结合对数的性质，以及基本不等式可判断A；由的导数，判断单调性和最小值，可判断B；由当时，递增，可判断C；由当时，递增，可判断D．本题考查函数的最值求法，注意运用基本不等式和导数判断单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．6.已知口袋里放有四个大小以及质地完全一样的小球，小球内分别标有数字1，3，5，7，约定林涛先从口袋中随机摸出一个小球，打开后记下数字为a，放回后韩梅从口袋中也随机摸出一个小球，打开后记下数字为b，则的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：口袋里放有四个大小以及质地完全一样的小球，小球内分别标有数字1，3，5，7，约定林涛先从口袋中随机摸出一个小球，打开后记下数字为a，放回后韩梅从口袋中也随机摸出一个小球，打开后记下数字为b，基本事件总数，包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共10种，的概率．故选：D．基本事件总数，利用列举法求出包含的基本事件有10种，由此能求出的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，若，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，函数满足，则有，即函数的周期为4，故，，若，则有，又由函数为奇函数，则有，变形可得，又由当时，，则有，解可得；故选：A．根据题意，分析可得函数的周期为4，进而可得，，据此可得，则有，结合函数的周期性可得，结合函数的解析式可得答案．本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．8.已知，则的面积为A. B. C. D. 1【答案】A【解析】解：根据题意，，，有，，则可得，则则故选：A．根据向量数量积和面积公式可求得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．9.如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱，其三视图如图所示，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图所示，可以将四三棱柱补形为长方体，可得，则异面直线与所成角为，由三视图可知，，．即异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．由题意，可以将四三棱柱补形为长方体，得到异面直线与所成角，再由余弦定理求解．本题考查空间几何体的三视图，考查异面直线所成角的求法，关键是找出异面直线所成角，是中档题．10.已知函数，且分别在，处取得最大值和最小值，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，即，即当时，取得最小值．故选：B．首先把函数转化为，得，，得取得最小值．本题考查的性质，把函数转化为的形式是关键．11.已知抛物线C：的焦点坐标为，点，过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，且两切线分别交x轴于M，N两点，则面积的最小值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：物线C：的焦点坐标为，，，抛物线C：，设，，，，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为，则两切线的交点为，由AB过点，设直线方程为，由，消y可得，，，，又，，，当时，此时面积最小，最小值为，故选：C．先求出抛物线的方程，再分别表示出两个切线方程，联立可求得Q的坐标表示出点Q到直线AB的距离，设直线AB的方程，抛物线联立求，根据韦达定理和求出MN，利用三角形面积公式表示出三角形面积，即可求出面积的最大值本题主要考查了抛物线与直线的位置关系，点到直线距离公式的应用考查了学生分析推理和运算的能力，属于中档题12.已知函数的两个零点为，，且，，则方程的实数根的个数为A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D【解析】解：设，则，由题意知有两个根，，且，由题意不妨设，则，，当或时，，当时，，则在时，取得极大值，在处取得极小值，当，，，，则由图象知，当，时，方程，有3个不同的解，即方程的实数根的个数为3，故选：D．利用换元法设，则，结合t的范围，以及，的根的个数，利用数形结合进行判断即可本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数图象交点个数，结合数形结合是解决本题的关键综合性较强．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则的最大值______．【答案】12【解析】解：x，y满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数过点时z取得最大值，，故答案为：12．先画出x，y满足约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最小值．在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解．14.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出y的值为______．【答案】【解析】解：模拟程序的运行，可得当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；故输出的y的值为：．故答案为：．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15.在矩形ABCD中，，，E为DC边上的中点，P为线段AE上的动点，设向量，则的最大值为______．【答案】2【解析】解：以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则，，，设，，，，，，，，，，故答案为：2．以A为原点，AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，易得各点坐标，设P点坐标为，，根据所给等式建立坐标之间的关系，易得，得解．此题考查了平面向量基本定理，难度适中．16.已知数列中，，，设其前n项和为，若对任意的，恒成立，则k的最小值为______．【答案】【解析】解：由，变形为：，，数列是公比为2，首项为1的等比数列．．．对任意的，恒成立，．令，则时，．时，．，数列的前3项单调递增，从第3项开始单调递减．时，数列取得最大值，．故答案为：．由，变形为：，，利用等比数列的通项公式可得，利用求和公式可得代入，化简，通过作差利用数列的单调性即可得出最小值．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、转化法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，F为边AC上一点．求c；若，求．【答案】本题满分为12分解：，，的面积为，解得：，分由余弦定理可得：，分由可得，，，分在中，由正弦定理，可得：，，，分，，分分【解析】由已知利用三角形的面积公式可求b的值，根据余弦定理可得c的值；由可得，可求，，由已知根据正弦定理，由，可求，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解的值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.如图，在四棱锥中，底面为菱形，已知，，，．求证：平面平面ABCD；求点B到面AED的距离．【答案】证明：如图，过D作，连结EO，，，，≌，，，，，，，，面ABE，面ABCD，平面平面ABCD．解：设B到AED的距离为d，由可知，，在等腰中，，，，，，解得，点B到面AED的距离为．【解析】过D作，连结EO，推导出≌，，，从而面ABE，由此能证明平面平面ABCD．设B到AED的距离为d，由，能求出点B到面AED的距离．本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系；求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元辆和800元辆的A，B两款车型报废年限各不相同考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，．参考公式：相关系数，回归直线方程为其中：，．【答案】解：散点图如图所示，，，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．，又，，回归直线方程为，2018年2月的月份代码，，所以估计2018年2月的市场占有率为．用频率估计概率，A款单车的利润X的分布列为：元．B款单车的利润Y的分布列为：元以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B款车型．【解析】画出散点图，求出相关系数，判断线性相关性即可；求出回归方程的系数，求出回归方程，代入函数值检验即可；求出分布列，求出数学期望比较即可判断．本题考查了散点图，考查回归方程以及分布列和数学期望，是一道中档题．20.已知点是椭圆E：上一点，、分别是椭圆的左右焦点，且．求曲线E的方程；若直线l：不与坐标轴重合与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为、，对任意的斜率k，若存在实数，使得，求实数的取值范围．【答案】解：设，，，由，，曲线E的方程为：设，，当时，；当时，，由对任意k恒成立，则综上【解析】根据点P在椭圆上以及，列方程组可解出，，从而可得曲线E的方程；联立直线l与曲线E，根据韦达定理以及判别式和斜率公式，不等式恒成立可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．21.已知函数，其中，，．若是的一条切线，求a的值；在间的前提下，若存在正实数，使得，求的取值范围．【答案】解：的导数为，设与相切于，可得，，化为，设，导数为，当时，递增；时，递减，可得处取得最小值0，则，；，可得，即，设，令，，时，递减；时，递增，可得，即有，解得或舍去，当且仅当时，恒成立，综上可得的范围为．【解析】求得的导数，设出切点，可得切线的斜率，可得a，m的方程，解得m，a；由题意可得，即，设，令，求得导数和单调性，可得最小值，解不等式可得所求范围．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查构造函数法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．22.在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为：为参数，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为：，直线与曲线交于A，B两点，求曲线的普通方程及的最小值；若点，求的最大值．【答案】解：曲线的极坐标方程为：，，曲线的普通方程为，即．直线的参数方程为：为参数，直线与曲线交于A，B两点，最小时，圆心距最大为，的最小值为：．设直线上点A，B对应参数方程为参数的参数分别为，，将直线与方程联立方程，得：，，，，，当时，取最大值70．【解析】由曲线的极坐标方程，能求出曲线的普通方程由最小时，圆心距最大为，能求出的最小值．将直线与方程联立方程，得，从而，，进而，由此能求出的最大值．本题考查曲线的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查两线段平方和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知函数，当时，解不等式；若存在，使得不等式的解集非空，求b的取值范围．【答案】解：当时，函数，解不等式化为，即，，解得，不等式的解集为；由，得，设，则不等式的解集非空，等价于；由，；由题意知存在，使得上式成立；而函数在上的最大值为，；即b的取值范围是【解析】时不等式化为，根据绝对值的定义求出解集即可；由不等式得，构造函数，不等式的解集非空等价于，利用绝对值不等式求出在上的最大值即可．本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数在某一区间上的最值问题，是中档题．。
成都石室中学2019届高三12月一诊模拟数学文试卷(含答案)
四川省成都石室中学2019届高三12月一诊模拟数学文试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，集合，那么集合A. . [0,1）B.C.D.【答案】C【解析】解：解得，；；；；；；．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．考查对数函数和幂函数的单调性，描述法、区间的定义，以及交集和补集的运算．2.若向量，是非零向量，则“”是“，夹角为”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：，向量，是非零向量，，夹角为“”是“，夹角为”的充要条件．故选：C．根据充分条件和必要条件的定义结合向量的运算进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的运算是解决本题的关键．3.已知等差数列中，前n项和，满足，则A. 54B. 63C. 72D. 81【答案】B【解析】解：等差数列中，前n项和，满足，，，．故选：B．利用等差数列前n项和公式得，求出，再由，能求出结果．本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知双曲线C：，其焦点F到C的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：双曲线C：，其焦点到C的一条渐近线的距离为2，可得，可得，，所以，所以双曲线的离心率为：．故选：A．求出双曲线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，然后利用已知条件求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程以及离心率求法，考查计算能力．5.下列结论正确的是A. 当且时，B. 当时，C. 当时，无最小值D. 当时，【答案】B【解析】解：当时，，可得；当时，，，故A错误；由的导数为，当时，函数y递增；当时，函数y递减，可得函数y的最小值为1，即，即，故B正确；当时，递增，可得时，取得最小值，故C错误；当时，递增，可得最小值为，故D错误．故选：B．讨论，，结合对数的性质，以及基本不等式可判断A；由的导数，判断单调性和最小值，可判断B；由当时，递增，可判断C；由当时，递增，可判断D．本题考查函数的最值求法，注意运用基本不等式和导数判断单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．6.已知口袋里放有四个大小以及质地完全一样的小球，小球内分别标有数字1，3，5，7，约定林涛先从口袋中随机摸出一个小球，打开后记下数字为a，放回后韩梅从口袋中也随机摸出一个小球，打开后记下数字为b，则的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：口袋里放有四个大小以及质地完全一样的小球，小球内分别标有数字1，3，5，7，约定林涛先从口袋中随机摸出一个小球，打开后记下数字为a，放回后韩梅从口袋中也随机摸出一个小球，打开后记下数字为b，基本事件总数，包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共10种，的概率．故选：D．基本事件总数，利用列举法求出包含的基本事件有10种，由此能求出的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，若，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，函数满足，则有，即函数的周期为4，故，，若，则有，又由函数为奇函数，则有，变形可得，又由当时，，则有，解可得；故选：A．根据题意，分析可得函数的周期为4，进而可得，，据此可得，则有，结合函数的周期性可得，结合函数的解析式可得答案．本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．8.已知，则的面积为A. B. C. D. 1【答案】A【解析】解：根据题意，，，有，，则可得，则则故选：A．根据向量数量积和面积公式可求得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．9.如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱，其三视图如图所示，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图所示，可以将四三棱柱补形为长方体，可得，则异面直线与所成角为，由三视图可知，，．即异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．由题意，可以将四三棱柱补形为长方体，得到异面直线与所成角，再由余弦定理求解．本题考查空间几何体的三视图，考查异面直线所成角的求法，关键是找出异面直线所成角，是中档题．10.已知函数，且分别在，处取得最大值和最小值，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，即，即当时，取得最小值．故选：B．首先把函数转化为，得，，得取得最小值．本题考查的性质，把函数转化为的形式是关键．11.已知抛物线C：的焦点坐标为，点，过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，且两切线分别交x轴于M，N两点，则面积的最小值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：物线C：的焦点坐标为，，，抛物线C：，设，，，，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为，则两切线的交点为，由AB过点，设直线方程为，由，消y可得，，，，又，，，当时，此时面积最小，最小值为，故选：C．先求出抛物线的方程，再分别表示出两个切线方程，联立可求得Q的坐标表示出点Q到直线AB的距离，设直线AB的方程，抛物线联立求，根据韦达定理和求出MN，利用三角形面积公式表示出三角形面积，即可求出面积的最大值本题主要考查了抛物线与直线的位置关系，点到直线距离公式的应用考查了学生分析推理和运算的能力，属于中档题12.已知函数的两个零点为，，且，，则方程的实数根的个数为A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D【解析】解：设，则，由题意知有两个根，，且，由题意不妨设，则，，当或时，，当时，，则在时，取得极大值，在处取得极小值，当，，，，则由图象知，当，时，方程，有3个不同的解，即方程的实数根的个数为3，故选：D．利用换元法设，则，结合t的范围，以及，的根的个数，利用数形结合进行判断即可本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数图象交点个数，结合数形结合是解决本题的关键综合性较强．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则的最大值______．【答案】12【解析】解：x，y满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数过点时z取得最大值，，故答案为：12．先画出x，y满足约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最小值．在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解．14.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出y的值为______．【答案】【解析】解：模拟程序的运行，可得当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；故输出的y的值为：．故答案为：．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15.在矩形ABCD中，，，E为DC边上的中点，P为线段AE上的动点，设向量，则的最大值为______．【答案】2【解析】解：以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则，，，设，，，，，，，，，，故答案为：2．以A为原点，AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，易得各点坐标，设P点坐标为，，根据所给等式建立坐标之间的关系，易得，得解．此题考查了平面向量基本定理，难度适中．16.已知数列中，，，设其前n项和为，若对任意的，恒成立，则k的最小值为______．【答案】【解析】解：由，变形为：，，数列是公比为2，首项为1的等比数列．．．对任意的，恒成立，．令，则时，．时，．，数列的前3项单调递增，从第3项开始单调递减．时，数列取得最大值，．故答案为：．由，变形为：，，利用等比数列的通项公式可得，利用求和公式可得代入，化简，通过作差利用数列的单调性即可得出最小值．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、转化法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，F为边AC上一点．求c；若，求．【答案】本题满分为12分解：，，的面积为，解得：，分由余弦定理可得：，分由可得，，，分在中，由正弦定理，可得：，，，分，，分分【解析】由已知利用三角形的面积公式可求b的值，根据余弦定理可得c的值；由可得，可求，，由已知根据正弦定理，由，可求，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解的值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.如图，在四棱锥中，底面为菱形，已知，，，．求证：平面平面ABCD；求点B到面AED的距离．【答案】证明：如图，过D作，连结EO，，，，≌，，，，，，，，面ABE，面ABCD，平面平面ABCD．解：设B到AED的距离为d，由可知，，在等腰中，，，，，，解得，点B到面AED的距离为．【解析】过D作，连结EO，推导出≌，，，从而面ABE，由此能证明平面平面ABCD．设B到AED的距离为d，由，能求出点B到面AED的距离．本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系；求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元辆和800元辆的A，B两款车型报废年限各不相同考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，．参考公式：相关系数回归直线方程为其中：，．【答案】解：散点图如图所示，，，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．，又，，回归直线方程为，2018年2月的月份代码，，所以估计2018年2月的市场占有率为．用频率估计概率，A款单车的利润X的分布列为：元．B款单车的利润Y的分布列为：元以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B款车型．【解析】画出散点图，求出相关系数，判断线性相关性即可；求出回归方程的系数，求出回归方程，代入函数值检验即可；求出分布列，求出数学期望比较即可判断．本题考查了散点图，考查回归方程以及分布列和数学期望，是一道中档题．20.已知点是椭圆E：上一点，、分别是椭圆的左右焦点，且．求曲线E的方程；若直线l：不与坐标轴重合与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON 的斜率分别为、，对任意的斜率k，若存在实数，使得，求实数的取值范围．【答案】解：设，，，由，，曲线E的方程为：设，，当时，；当时，，由对任意k恒成立，则综上【解析】根据点P在椭圆上以及，列方程组可解出，，从而可得曲线E的方程；联立直线l与曲线E，根据韦达定理以及判别式和斜率公式，不等式恒成立可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．21.已知函数，其中，，．若是的一条切线，求a的值；在间的前提下，若存在正实数，使得，求的取值范围．【答案】解：的导数为，设与相切于，可得，，化为，设，导数为，当时，递增；时，递减，可得处取得最小值0，则，；，可得，即，设，令，，时，递减；时，递增，可得，即有，解得或舍去，当且仅当时，恒成立，综上可得的范围为．【解析】求得的导数，设出切点，可得切线的斜率，可得a，m的方程，解得m，a；由题意可得，即，设，令，求得导数和单调性，可得最小值，解不等式可得所求范围．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查构造函数法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．22.在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为：为参数，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为：，直线与曲线交于A，B两点，求曲线的普通方程及的最小值；若点，求的最大值．【答案】解：曲线的极坐标方程为：，，曲线的普通方程为，即．直线的参数方程为：为参数，直线与曲线交于A，B两点，最小时，圆心距最大为，的最小值为：．设直线上点A，B对应参数方程为参数的参数分别为，，将直线与方程联立方程，得：，，，，，当时，取最大值70．【解析】由曲线的极坐标方程，能求出曲线的普通方程由最小时，圆心距最大为，能求出的最小值．将直线与方程联立方程，得，从而，，进而，由此能求出的最大值．本题考查曲线的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查两线段平方和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知函数，当时，解不等式；若存在，使得不等式的解集非空，求b的取值范围．【答案】解：当时，函数，解不等式化为，即，，解得，不等式的解集为；由，得，设，则不等式的解集非空，等价于；由，；由题意知存在，使得上式成立；而函数在上的最大值为，；即b的取值范围是【解析】时不等式化为，根据绝对值的定义求出解集即可；由不等式得，构造函数，不等式的解集非空等价于，利用绝对值不等式求出在上的最大值即可．本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数在某一区间上的最值问题，是中档题．。
四川省成都市2019届高三第一次诊断性检测数学(文)试题(附解析)
2019届高三第一次诊断性检测数学（文）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为,,所以，根据集合并集的定义可得，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.复数为虚数单位)在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内对应点的坐标即可得结果.【详解】,复数在复平面内对应的点的坐标为,位于第四象限，故选D .【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（）A. 4B. 8C. 16D. 24【答案】B【解析】【分析】根据三视图知，三棱锥的一条长为6的侧棱与底面垂直，底面是直角边为2、4的直角三角形，利用棱锥的体积公式计算即可.【详解】由三视图知三棱锥的侧棱与底垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，，棱锥的体积，故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4.设实数满足约束条件,则的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】作出实数满足约束条件表示的平面区域（如图所示：阴影部分），由得，由得，平移，直线过点时，直线在轴上截距最小，，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.执行如图所示的程序框图,则输出的值是（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值. 【详解】执行程序框图，时，；时，；时，；时，，，满足循环终止条件，退出循环，输出的值是9，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.设为等差数列的前项和,且,则（）A. 28B. 14C. 7D. 2【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质求得，利用等差数列的前项和公式结合等差的性质可得结果.【详解】因为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前项和公式，属于中档题.求解等差数列有关问题时，要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.7.下列判断正确的是（）A. “”是“”的充分不必要条件B. 函数的最小值为2C. 当时，命题“若,则”的逆否命题为真命题D. 命题“,”的否定是“,”【答案】C【解析】【分析】利用特殊值判断；利用基本不等式的条件“一正二定三相等”判断，利用原命题与逆否命题的等价性判断；利用全称命题的否定判断.【详解】当时，成立，不成立，所以不正确；对，当，即时等号成立，而，所以,即的最小值不为2，所以不正确；由三角函数的性质得“若,则”正确，故其逆否命题为真命题，所以正确；命题“,”的否定是“,”，所以不正确，故选C.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要考查充分条件与必要条件、基本不等式的性质、原命题与逆否命题的等价性、全称命题的否定，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己掌握熟练的知识点入手、结合特殊值的应用，最后集中精力突破较难的命题.8.已知函数,若,,,则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数,由导函数的符号可得在上为增函数，由，利用单调性可得结果. 【详解】因为函数，所以导数函数，可得在上恒成立，所以在上为增函数，又因为，所以，故选D.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及利用单调性比较函数值的大小.函数的单调性常用判断方法有定义法，求导法，基本函数的单调性法，复合函数的单调性法，图象法等.9.在各棱长均相等的直三棱柱中,已知M是棱的中点,是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的正切值．【详解】解：各棱长均相等的直三棱柱中,棱长为 2,以为原点,为轴,为轴,建立空间直角坐标系，则，，，，,，,设异面直线与所成角为，则，．异面直线与所成角的正切值为．故选：．【点睛】本题考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面,面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题．10.齐王有上等,中等,下等马各一匹；田忌也有上等,中等,下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,若有优势的马一定获胜,则齐王的马获胜的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,利用列举法求出基本事件有9种，齐王的马获胜包含的基本事件有6种，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率.【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为，田忌上等、中等、下等马分别为，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,基本事件有：，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：，共 6种,齐王的马获胜的概率为，故选C.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.11.已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且当时,.过点作曲线的两条切线，若这两条切线相互垂直，则函数的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据两条切线垂直可知，其中一条切线的倾斜角为，斜率为.对函数求导后，利用斜率和切线方程，求得的值，再根据单调性求得函数的最小值. 【详解】由于函数关于直线对称，且过点的函数切线相互垂直，根据对称性可知，一条切线的倾斜角为，斜率为.设切点为，，故，故切线方程为.依题意可知，斜率①，将代入切线方程得②，联立①②解得.故函数为，导数为，函数在时单调递增，且函数关于对称，故在处取得最小值为.故选B.【点睛】本小题主要考查利用切线方程求函数的解析式，考查利用导数求函数的最小值，属于中档题.12.设椭圆：的左，右顶点为，.是椭圆上不同于 ，的一点，设直线，的斜率分别为，，则当 取得最小值时，椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】设出的坐标,得到(用,表示,求出，令，则． 利用导数求得使取最小值的，可得，则椭圆离心率可求 ．【详解】解：，，设，，则，则，，，，令，则．，当时， 函数取得最小值（2）．．，故选：．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线的右焦点为,则点到双曲线的一条渐近线的距离为_____.【答案】1【解析】【分析】由可得焦点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得结果.【详解】双曲线的，所以,设双曲线的一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为，故答案为1 .【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程，以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题. 若双曲线方程为，则渐近线方程为.14.已知函数是奇函数,则实数的值为_____.【答案】2【解析】【分析】由函数是奇函数可得，求出的值，再验证所求函数的奇偶性即可.【详解】的定义域为，且是奇函数，，，此时，是奇函数，符合题意，故答案为2.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.15.设为数列的前项和,且,,则_____.【答案】32【解析】【分析】由可得，，两式相减可化为，可得 (首项不符合通项），从而可得结果.【详解】为数列的前项和，且,，①则当时，,②-②得 ,所以 (常数），则数列是从第二项起，公比2的等比数列，求得，(），故，当时，，故答案为32.【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等差数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意验证的情况.16.已知为△的重心，过点的直线与边分别相交于点.若,则与的面积之比为________.【答案】【解析】【分析】根据，求得的比值，然后利用三角形的面积公式，求得两个三角形面积的比值.【详解】设，，由于三点共线，故.由于与有公共角，由三角形面积公式得. 【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查三角形的面积公式，考查三角形重心的性质，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.在中,内角所对的边分别为，已知,.（1）求的值；（2）若,求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，利用余弦定理可得,结合可得结果；（2）由正弦定理，, 利用三角形内角和定理可得，由三角形面积公式可得结果.【详解】（1）由题意，得.∵.∴,∵，∴ .（2）∵，由正弦定理，可得.∵a>b，∴,∴.∴.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 18.如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形,,平面,点是棱的中点.（1）证明：平面；（2）当时,求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，则，分别为，中点，由三角形中位线定理可得 ,从而可得结论；（2）取线段的中点，先证明垂直于平面，则点到平面的距离即为的长度. 结合A，可得点到平面的距离即为的长度. 由为的中点，可得点到平面的距离即为的长度，利用即可得结果.【详解】（1）如图，连接AC交BD于点O，连接MO.∵M，O分别为PC，AC中点，∴PA∥MO ,∵PA不在平面BMD内，MO平面BMD.∴PA∥平面BMD.（2）如图，取线段BC的中点H，连结AH.∵ABCD是菱形，，∴AH⊥AD.∵PA⊥平面ABCD，∴AH⊥PA.又PA∩AD=A，PA，AD平面PAD.AH⊥平面PAD.∴点H到平面PAD的距离即为AH的长度.∴BC∥AD，∴点C到平面PAD的距离即为AH的长度.∵M为PC的中点，∴点M到平面PAD的距离即为AH的长度..【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、棱锥的体积，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.19.在2018年俄罗斯世界杯期间,莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾,这些小龙虾标有等级代码.为得到小龙虾等级代码数值与销售单价之间的关系,经统计得到如下数据：等级代码数值销售单价元（1）已知销售单价与等级代码数值之间存在线性相关关系,求关于的线性回归方程(系数精确到0.1)；（2）若莫斯科某餐厅销售的中国小龙虾的等级代码数值为98，请估计该等级的中国小龙虾销售单价为多少元？参考公式：对一组数据,，····,其回归直线的斜率和截距最小二乘估计分别为：,.参考数据：,.【答案】（1）；（2）28.5.【解析】【分析】(1)根据所给的数据，做出变量的平均数，根据最小二乘法所需要的数据做出线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，可得线性回归方程； (2)根据上一问做出的线性回归方程,将代入线性回归方程求出对应的的值，即可估计该等级的中国小龙虾销售单价.【详解】（1）由题意得，，，，.所以回归方程为；（2）由（1）知当时，，故估计该等级的中国小龙虾销售单价为元.【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.已知点和,且,动点满足，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设不经过点的直线与曲线相交于两点,若直线与的斜率之和为1,求实数的值. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，由，可得，代入，整理即可得结果；（2）设.联立，可得，根据直线与的斜率之和为1,利用斜率公式，结合韦达定理可得，从而可得结果.【详解】（1）设.∵，∴,即∴.∵,∴∴曲线的方程（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）.联立，消去y，得.由，可得.又直线y=2x+t不经过点H（0，1），且直线HM与HN的斜率存在，，则且，，由，解得，的值为3.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解方法，以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.21.已知函数.（1）当时,讨论函数的单调性；（2）当时,若不等式在时恒成立,求实数的取值范围.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】【分析】（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）当时，不等式在时恒成立,等价于在(1，+∞)上恒成立，令，先证明当时，不合题意，再分两种情况讨论即可筛选出符合题意的实数的取值范围.【详解】（1）由题意，知,∵当a<0，x>0时，有.∴x>1时，；当0<x<1时，.∴函数f(x)在(0，1)上单调递增，在（1，+∞）上单调递减.（2）由题意，当a=1时，不等式在x∈(1，+∞)时恒成立.整理，得在(1，+∞)上恒成立.令.易知，当b≤0时，，不合题意.∴b>0又，.①当b≥时，.又在[1，+∞)上单调递减.∴在[1，+∞)上恒成立，则h(x)在[1，+∞)上单调递减.所以,符合题意；②时，,,又在[1，+∞)上单调递减,∴存在唯一x0∈(1，+∞)，使得.∴当h(x)在(1，x0)上单调递增，在(x0，+∞)上单调递减.又h(x)在x=1处连续，h(1)=0，∴h(x)>0在(1，x0)上恒成立，不合题意.综上所述，实数b的取值范围为[，+∞ ).【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间与最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线的极坐标方程是.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点.若直与曲线相交于两点,求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以，利用，即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果.【详解】（1）将直线l的参数方程消去参数t并化简，得直线l的普通方程为.将曲线C的极坐标方程化为.即.∴x2+y2=2y+2x.故曲线C的直角坐标方程为.（2）将直线l的参数方程代入中，得.化简，得.∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.由根与系数的关系，得，，即t1，t2同正.由直线方程参数的几何意义知,.【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于x的方程无实数解,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）由（1）知函数的最小值为为，若关于的方程无实数解，解不等式，即可得结果.【详解】（1）由题意，知，由f(x)-3<0，可得，或，或.解得，或.∴不等式的解集为 .（2）由（1）知函数f(x)的值域为[，+∞）.若关于x的方程无实数解，则m2+2m<0，解得-2<m<0，∴实数m的取值范围为(-2，0).【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
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2019届四川省成都石室中学高三12月一诊模拟数学（文）试题一、单选题1．已知全集，集合，集合，那么集合（）A．[0,1）B．C．D．【答案】C【解析】可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】解得，；；；；；；．故选：C．【点睛】考查对数函数和幂函数的单调性，描述法、区间的定义，以及交集和补集的运算．2．若向量，是非零向量，则“”是“，夹角为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合向量的运算进行判断即可．【详解】，向量，是非零向量，，夹角为“”是“，夹角为”的充要条件．故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的运算是解决本题的关键．3．已知等差数列中，前n项和，满足，则（）A．54 B．63 C．72 D．81【答案】B【解析】利用等差数列前n项和公式得，求出，再由，能求出结果．【详解】等差数列中，前n项和，满足，，，．故选：B．【点睛】本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4．已知双曲线C：，其焦点F到C的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为（）【答案】A【解析】求出双曲线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，然后利用已知条件求解即可．【详解】双曲线C：，其焦点到C的一条渐近线的距离为2，可得，可得，，所以，所以双曲线的离心率为：．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程以及离心率求法，考查计算能力．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．5．下列结论正确的是（）A．当且时，B．当时，C．当时，无最小值D．当时，【答案】B【解析】讨论，，结合对数的性质，以及基本不等式可判断A；由的导数，判断单调性和最小值，可判断B；由当时，递增，可判断C；由当时，递增，可判断D．【详解】当时，，可得；当时，，，故A错误；由的导数为，当时，函数y递增；当时，函数y递减，可得函数y的最小值为1，即，即，故B正确；当时，递增，可得时，取得最小值，故C错误；当时，递增，可得最小值为，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用基本不等式和导数判断单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．6．已知口袋里放有四个大小以及质地完全一样的小球，小球内分别标有数字1，3，5，7，约定林涛先从口袋中随机摸出一个小球，打开后记下数字为a，放回后韩梅从口袋中也随机摸出一个小球，打开后记下数字为b，则的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】基本事件总数，利用列举法求出包含的基本事件有10种，由此能求出的概率．【详解】口袋里放有四个大小以及质地完全一样的小球，小球内分别标有数字1，3，5，7，约定林涛先从口袋中随机摸出一个小球，打开后记下数字为，放回后韩梅从口袋中也随机摸出一个小球，打开后记下数字为，基本事件总数，包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共10种，∴的概率，故选D．本题主要考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，分析可得函数的周期为4，进而可得，，据此可得，则有，结合函数的周期性可得，结合函数的解析式可得答案．【详解】根据题意，函数满足，则有，即函数的周期为4，故，，若，则有，又由函数为奇函数，则有，变形可得，又由当时，，则有，解可得；故选：A．【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．8．已知，则的面积为（）A．B．C．D．1【答案】A根据题意，，，有，，则可得，则则故选：A．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.9．如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱，其三视图如图所示，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，可以将四三棱柱补形为长方体，得到异面直线与所成角，再由余弦定理求解．【详解】可得，则异面直线与所成角为，由三视图可知，，．即异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．【点睛】本题考查空间几何体的三视图，考查异面直线所成角的求法，关键是找出异面直线所成角，是中档题．异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.10．已知函数，且分别在，处取得最大值和最小值，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】首先把函数转化为，得，，得取得最小值．【详解】∴，即，即∴当时，取得最小值．故选B.【点睛】本题考查的性质，把函数转化为的形式是关键，属于中档题.11．已知抛物线C：的焦点坐标为，点，过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，且两切线分别交x轴于M，N两点，则面积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求出抛物线的方程，再分别表示出两个切线方程，联立可求得的坐标表示出点到直线的距离，设直线的方程，与抛物线联立，根据韦达定理和求出，利用三角形面积公式表示出三角形面积，即可求出面积的最大值【详解】物线C：的焦点坐标为，∴，∴，抛物线C：，设，，过点A的切线方程为，令，得，过点B的切线方程为，令，得则两切线的交点为，由AB过点，设直线方程为，由，消y可得，∴，，∴，∴，当时，此时面积最小，最小值为，故选C．【点睛】本题主要考查了抛物线与直线的位置关系，点到直线距离公式的应用考查了学生分析推理和运算的能力，属于中档题12．已知函数的两个零点为，，且，，则方程的实数根的个数为( )A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】利用换元法设，则，结合的范围，以及的根的个数，利用数形结合进行判断即可.【详解】设，则，由题意知有两个根，，由题意不妨设，则，，当或时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，则在时，取得极大值，在处取得极小值，当，，，，则由图象知，当，时，方程，有3个不同的解，即方程的实数根的个数为3，故选D．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数图象交点个数，结合数形结合是解决本题的关键，综合性较强．二、填空题13．若x，y满足约束条件，则的最大值______．【答案】12标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最小值．【详解】x，y满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数过点时z取得最大值，，故答案为：12．【点睛】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解．14．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出y的值为______．【答案】-【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；故输出的y的值为：．故答案为：．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15．在矩形ABCD中，，，E为DC边上的中点，P为线段AE上的动点，设向量，则的最大值为____．【答案】2【解析】以A为原点，AB，AD为，轴建立平面直角坐标系，易得各点坐标，设点坐标为，，根据所给等式建立坐标之间的关系，易得，得解．【详解】以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则，，，设，，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理，向量的坐标运算，建立适当的坐标系是解题的关键，属于中档题.．16．已知数列中，，，设其前n项和为，若对任意的，恒成立，则k的最小值为____．【答案】【解析】由，变形为：，，利用等比数列的通项公式可得，利用求和公式可得代入，化简，通过作差利用数列的单调性即可得出最小值．【详解】由，变形为：，，数列是公比为2，首项为1的等比数列．．．对任意的，恒成立，．令，则时，．时，．，数列的前3项单调递增，从第3项开始单调递减．时，数列取得最大值，．故答案为：．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、转化法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数值最值的求解方法如下：1．邻项比较法，求数列的最大值，可通过解不等式组求得的取值范围；求数列的最小值，可通过解不等式组求得的取值范围；2．数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式对应函数的特点，借助函数的图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过差值的正负确定数列的单调性．三、解答题17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，F为边AC上一点．求c；若，求．【答案】（1）c=2（2）【解析】由已知利用三角形的面积公式可求b 的值，根据余弦定理可得c 的值；由可得，可求，，由已知根据正弦定理，由，可求，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解的值．【详解】，，的面积为，解得：，由余弦定理可得：，由可得，，，在中，由正弦定理，可得：，，，，，【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18．如图，在四棱锥中，底面为菱形，已知，，，．求证：平面平面ABCD；求点B到面AED的距离．【答案】(1)见证明；(2)【解析】过D作，连结EO，推导出≌，，，从而面ABE，由此能证明平面平面ABCD；设B到AED的距离为d，由，能求出点B到面AED的距离．【详解】如图，过D作，连结EO∵，，，∴≌，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴面ABE，∵面ABCD，∴平面平面ABCD．设到的距离为，由可知，，在等腰中，，，∴，∵，∴，解得，∴点B到面的距离为．【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，考查利用等体积法求点到平面的距离，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在考查运算求解能力，是中档题．19．基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系；求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元辆和800元辆的A，B两款车型报废年限各不相同考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，．参考公式：相关系数，回归直线方程为其中：，．【答案】（1）见解析；（2），估计2018年2月的市场占有率为．（3）见解析【解析】(1)画出散点图，求出相关系数，判断线性相关性即可；(2)求出回归方程的系数，求出回归方程，代入函数值检验即可；(3)求出分布列，求出数学期望比较即可判断．【详解】散点图如图所示，，，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．，又，，回归直线方程为，2018年2月的月份代码，，所以估计2018年2月的市场占有率为．用频率估计概率，A款单车的利润X的分布列为：元．B款单车的利润Y的分布列为：元以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B款车型．【点睛】本题考查了散点图，考查回归方程以及分布列和数学期望，是一道中档题．在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.20．已知点是椭圆E：上一点，、分别是椭圆的左右焦点，且．求曲线E的方程；若直线l：不与坐标轴重合与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为、，对任意的斜率k，若存在实数，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】根据点P在椭圆上以及，列方程组可解出，，从而可得曲线的方程；联立直线与曲线，根据韦达定理以和斜率计算公式可得，结合判别式可得的取值范围.【详解】设，，，由，，曲线E的方程为：设，，∴∴，即，当时，；当时，，由对任意恒成立，则综上【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质及其运算，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，属中档题．21．已知函数，其中，，．若是的一条切线，求a的值；在间的前提下，若存在正实数，使得，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】求得的导数，设出切点，可得切线的斜率，可得，的方程，解得，；由题意可得，即，设，令，求得导数和单调性，可得最小值，解不等式可得所求范围．【详解】(1)的导数为，设与相切于，可得，，化为，设，导数为，当时，递增；时，递减，可得处取得最小值0，则，；，可得，即，设，令，，时，递减；时，递增，可得，即有，解得或舍去，当且仅当时，恒成立，综上可得的范围为．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查构造函数法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为：为参数，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为：，直线与曲线交于A，B两点，求曲线的普通方程及的最小值；若点，求的最大值．【答案】（1）曲线的普通方程为．的最小值为．（2）最大值70【解析】由曲线的极坐标方程，能求出曲线的普通方程由最小时，圆心距最大为，能求出的最小值;将直线与方程联立方程，得，从而，，进而，由此能求出的最大值．【详解】曲线的极坐标方程为：，，曲线的普通方程为，即．直线的参数方程为：为参数，直线与曲线交于A，B两点，最小时，圆心距最大为，的最小值为：．设直线上点A，B对应参数方程为参数的参数分别为，，将直线与方程联立方程，得：，，，，，当时，取最大值70．【点睛】本题考查曲线的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查两线段平方和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23．已知函数，当时，解不等式；若存在，使得不等式的解集非空，求b的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】时不等式化为，根据绝对值的定义求出解集即可；由不等式得，构造函数，不等式的解集非空等价于，利用绝对值不等式求出在上的最大值即可．【详解】当时，函数，解不等式化为，即，，解得，不等式的解集为；由，得，设，则不等式的解集非空，等价于；由，；由题意知存在，使得上式成立；而函数在上的最大值为，；即b的取值范围是【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数在某一区间上的最值问题，是中档题．。