北师大版八年级数学上册总复习课件

9 25 2 2 解：∵ a ＝ ，b ＝ ，c ＝1， 16 16
2
∴a2＋c2＝b2， ∴三角形是直角三角形．
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第一章 |过关测试
2．在△ABC 中，AC＝2a， BC＝a2＋1， AB＝a2－1， 其中 a＞1， △ABC 是不是直角三角形？如果是，哪一个角是直角？ 2 2 2 4 2 4 2
图1－2
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第一章 |过关测试
[解析] 要判断公路 AB 段是否需要封锁，则需要比较点 C 到 AB 的距离与 250 m 的大小关系，可以借助勾股定理和三角形的面 积计算点 C 到 AB 的距离． 解：作 CD⊥AB 于 D，因为 BC＝400 m，AC＝300 m，∠ACB ＝90° ，根据勾股定理，得 AC2＋BC2＝AB2，即 3002＋4002＝AB2， 所以 AB＝500 m. 1 1 由三角形的面积可知： AB· CD ＝ BC· AC ，所以 500CD ＝ 2 2 400³300，所以 CD＝240 m. 因为 240＜250， 即点 C 到 AB 的距离小于 250 m， 所以有危险， 公路 AB 段需要暂时封锁．
图1－8 图1－9 [解析] 如图1－9，当∠A为直角时，满足面积为1的点是A1、 A2；当∠B为直角时，满足面积为1的点是B1、B2；当∠C为直角 时，满足面积为1的点是C、C1，所以满足条件的点共有6个．
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第一章 |过关测试 针对第7题训练
3 5 1． 已知三角形的三边为 a＝ ，b＝ ，c＝1，这个三角形是 4 4 直角三角形吗？
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第一章 |过关测试
方法技巧 转化思想是一种重要的数学思想，它的应用十分广泛 ，如通过作高可以将非直角三角形的问题转化为直角 三角形的问题来解决，通过建模可以将实际问题转化 为数学问题来解决等．
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第一章 |过关测试 例4 李老师让同学们讨论这样一个问题，如图1－3所示，有一 个长方体盒子，底面正方形的边长为2 cm，高为3 cm，在长方体 盒子下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面的F点处的食物 ，则怎样爬行路程最短？最短路程是多少？ 过了一会，李老师问同学们答案，甲生说：先由A点到B点，再 走对角线BF；乙生说：我认为应由A先走对角线AC，再走C到F点； 丙生说：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，利用勾 股定理求AF的长；丁生说：将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长 方形ABFG，利用勾股定理求AF的长．你认为哪位同学的说法正确 ？并说明理由．(参考数据：29≈5.392)
考查 意图
难易 度
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第一章 |过关测试 知 识 与 技 能 思想 方法 与勾股定理有关的计算 勾股定理的逆定理 勾股定理的实际应用 勾股定理在网格、折纸中的应用 数形结合 方程思想 转化思想 12,13,14,19 1,2,4,7, 18 3,5,9,10,11,16,17 ,20,21,22,24 6,8,15,23 6,13,14 20,21,23 16
北师大版八年级数学上册
总复习课件
第一章 过关测试 第二章 过关测试 阶段综合测试一（月考一） 第三章 过关测试 阶段综合测试二（期中） 第四章 过关测试 第五章 过关测试 阶段综合测试三（月考二） 第六章 过关测试 第七章 过关测试 阶段综合测试四（期末一） 阶段综合测试五（期末二）
第一章 过关测试
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第一章 |过关测试 按丁生的办法，将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG， 如图1－5所示： 则BF＝BC＋CF＝3＋2＝5(cm)，AB＝2 cm，连接AF，在Rt△ABF 中，AF2＝BF2＋AB2＝52＋22＝29≈5.392， ∴AF＝5.39 cm.连接AC， ∵AF<AC＋CF， ∴丁的方法比乙的好． 比较丙生与丁生的计算结果，知丙生的说法正确．
图1－3
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第一章 |过关测试 [解析] 要使蚂蚁爬行的路程最短，可直接连接AF，再求出AF ，但AF在盒子里面，不符合题目要求．甲生和乙生的方案类似 ，只是顺序不同，丙生和丁生的方法类似，只是长方形的长、 宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发 现丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需 要计算了． 解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长 方形AEFD，如图1－4所示： 则AE＝AB＋BE＝4(cm)，EF＝3 cm，连接AF，在Rt△AEF中， AF2＝AE2＋EF2＝42＋32＝25，∴AF＝5(cm)．连接BF， ∵AF<AB＋BF， ∴丙的方法比甲的好．
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第一章 |过关测试
易错警示 根据 a2＋b2＝c2，判别直角三角形时，容易出现计算一条 短边及最长边的平方和，导致错误．
考点三 勾股定理的实际应用 例3 如图1－2，在公路AB旁有一座山，现有一C处需要爆破，已 知点C与公路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上另一停靠站B的 距离为400 m，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围半径250 m 范围内不得进入．在进行爆破时，公路AB段是否因有危险而需要暂 时封锁？
图 1－10 A．25 2 m B．25 m 50 C. 3 m 3 D．25 3 m
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第一章 |过关测试
针对第13题训练 1．如图1－11，已知△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12， 81 以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是________ π ．
8
图1－11 2．如图1－12，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置 的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方 形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝ ________. 2.44 图1－12
[解析] 因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角 边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3,4为直角边． 而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边 ，也可能为直角边．
解：(1)当两直角边长分别为 3 和 4 时，第三边长的平方为 32＋42＝25； (2)当斜边为 4，一直角边为 3 时，第三边长的平方为 42－32＝7.
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第一章 ，易出现下列两种错误：(1)忽视勾股 定理成立的条件，在非直角三角形中使用 a2＋b2＝c2；(2)当题 目给出两条边长而没有给出图形时，可能考虑不周而漏解． 考点二 直角三角形的判别
例 2 如图 1－1，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 1 BC 上一点，且 EC＝ BC，请说明：AF⊥EF. 4
图1－6
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第一章 |过关测试
[解析] 观察图形会发现易证△ABC≌△C′D′A，得∠CAC′＝90° ，于是梯形 1 BCC′D′的面积既等于 (C′D′＋BC)· BD′， 又等于 S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′， 2 于是定理得证． 证明：由题意可知四边形 BCC′D′为直角梯形， 因为 Rt△ABC≌Rt△AB′C′， 所以∠BAC＝∠B′AC′， ∠CAC′＝∠CAB′＋∠B′AC′＝∠CAB′＋∠BAC＝90° . 所以 S 梯形 BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′， 1 1 1 1 2 (a＋b)(a＋b)＝ ab＋ ab＋ c ， 2 2 2 2 即 a2＋b2＝c2.
图 1－1
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第一章 |过关测试
[解析] 要说明 AF⊥EF，可说明△AEF 是直角三角 形，只要根据勾股定理的逆定理说明 AF2＋EF2＝AE2 就可以了．
a a 解：连接 AE，设正方形边长为 a，则 DF＝FC＝ ，EC＝ . 2 4 a2 a2 5 2 2 在 Rt△ECF 中，有 EF ＝ 2 ＋ 4 ＝ a . 16 a2 5 2 在 Rt△FDA 中，有 AF ＝ 2 ＋a2＝ a2. 4 1 3 在 Rt△ABE 中，有 BE＝a－ a＝ a， 4 4 3 2 25 2 2 2 ∵AE ＝a ＋ 4a ＝ a ， 16 ∴AF2＋EF2＝AE2. 根据勾股定理的逆定理，得∠AFE＝90° ， ∴AF⊥EF.
图1－4
图1－5
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第一章 |过关测试 方法技巧 最短路径问题是勾股定理在立体几何中的应用，一般做法 是把长方体(或其他几何体)侧面展开，将立体图形问题转化为 平面图形问题，再根据两点之间线段最短，用勾股定理求解． 考点四 验证勾股定理
例5 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股 定理的一种新的验证方法．如图1－6，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c ，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2＋b2＝c2.
a ＋b
2．勾股定理的逆定理 2 2 2 如果三角形的三边长 a、b、c 满足：a ＋b ＝c ，那么这个三角形是 直角三角形． 3．勾股数 满足 a2＋b2＝c2 的三个 正整数 ，称为勾股数．
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第一章 |过关测试
考点攻略
考点一 例1 应用勾股定理计算
已知直角三角形的两边长分别为3,4，求第三边长的平方．
证明：∵a2＋b2＝(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4＋2m2n2＋n4. c2＝(m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4， ∴a2＋b2＝c2. 所以根据勾股定理的逆定理得该三角形是直角三角形．
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第一章 |过关测试 针对第10题训练
B、C 是河岸边两点，A 为对岸岸上一点，测得∠ABC＝45° ， ∠ACB＝45° ，BC＝50 m，则河宽 AD 为( B )
A. 74
B. 75
C. 64
D．70 图1－7