北师大2011课标版初中数学九年级上册第二章2.2 用配方法求解一元二次方程(共16张PPT)
北师大课标版初中数学九年级上册第二章2
2.2配方法解一元二次方程学案教学目标: １、会用开方法解形如n+2)()0mx=n的方程，理解配方法，会用配方(≥法解二次项系数为1的一元二次方程；2、体会转化的数学思想方法；3、能根据具体问题中的实际意义检验结果的合理性。
教学重点：用配方法解一元二次方程的步骤教学难点：探究用配方法解一元二次方程的步骤第一环节：复习回顾，想一想1 (1)、如果x2=a,那么x就叫做a的_____(2)、如果x2=64,那么x=_____（3）、如果x2=a,那么x=____(４).正数有___个平方根，它们__________;0的平方根是＿＿；负数＿＿＿. 第二环节：自主探究学习新知一、直接开平方法1、解下列方程，并说明你用的方法，与同伴交流呢。
（1） x2=4 (2) x2=0 (3) x2+1=02、如果我们把这些方程变形为χ2=a呢？方程解的情况与a的取值有什么关系？3、练一练利用直接开平方法解下列方程(1) x2-6=0 (2) (x+3)2=54、说一说：能利用直接开平方法求解的一元二次方程具有什么特征?二、配方法1、做一做：填上适当的数，使下列等式成立。
2、解方程 015122=-+x x第三环节：问题解决1、解方程：x 2+5x-9=0.2、及时小结、整理思路.用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？第四环节：课堂检测1.解下列方程(1)x 2 －14x － 8=0 (2)x 2 ＋ 3x =12.（拓展提高）用配方法说明：不论k 取何实数，多项式k 2－4k ＋5的值必定大于零.。
北师版九年级上册2.2配方法求解一元二次方程
例题讲解
例题2. 用配方法解下列方程 2x2+8x-5=0
5 解： x 4x 2 5 2 x 4x 4 4 2
2
练习2. 用配方法解下 列方程 1. 5x2+2x-5=0 2. 3y2-y-2=0 3. 3y2-2y-1=0 4. 2x2-x-1=0
自我 测 试
9. 用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－3k＋5的值必定大于零. 10.证明:代数式x2+4x+ 5的值不小于1.
11.用配方法解下列方程： （1）x2 -3x-1=0 （2）x2 –1/2x-1/2=0 （3）(x-1)(x+2)=1
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 x a ,x a 1 2 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方 法.
2、利用直接开平方法解下列方程：
（1）（χ+1）2－4=0
（2） 12（2－χ）2－9=0
1.直接开平方法的理论根据是
平方根的定义
2.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或 （χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。
3.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ=
a
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ=
2
填 一 填
5 5 (3)x² +5x+ 2 =(x+ 2 )² 2 1 1 2 (4)x² - x+ 3 =(x- 3 )² 3
(5)4x² +4x+1² =(2x+ 1 )²
2 想一想如何解方程 x 6 x x 4 6x 4 0 ?
九年级数学上册第二章一元二次方程2用配方法求解一元二次方程解一元二次方程课标要求素材北师大版
解一元二次方程课标要求
包括配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对解一元二次方程一节相关内容提出的要求如下。
1．理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．
2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．
3．了解一元二次方程的根与系数的关系．
尊敬的读者：
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数学北师大版九年级上册2.2用配方法求解一元二次方程.2用配方法求解一元二次方程1
2.2 用配方法求解一元二次方程
第1课时 用配方法求解简单的一元二次方程
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的方程.（重点）
2.理解配方法的基本思路.（难点）
3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.（重点）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一填：
2
课堂小结
用配方法解一元二次方程
1.直接开平方法：形如（x + m）2 = n (n≥0) 的方程
2.解二次项系数为1的一元二次方程
基本思路： 将方程转化为（x + m）2 = n (n≥0)
的形式，再用直接开平方法，直接 求根.
步骤： 1.移项
2.配方
3.直接开平方求解
a0 一般地，对于形如 x2 a 的方程，根据平方根的 定义，
可解得 x ,x . 这种解一元二次方程的 方法叫做 1 a 2 a 直接开平方法。
例1：用直接开平方法解下面一元二次方程. （1）x2 = 5; （2）2x2 + 3 = 5 .
2 2 练习： 1 2 x 8 0 的根是
新课导入
;若一个数
1.如果 x2 = a,那么 x= a . 2.若一个数的平方等于9,则这个数是 的平方等于7,则这个数是 7 ±3
.
3.完全平方式:式子a2 ± 2ab +b2叫完全平方式,且a2 ± 2ab +b2
= (a±b)2 .
新课讲授
一 用直接开平方法解一元二次方程
直接开平方法
2 5x 10 的解是 5 6 3 3x2 2 的解是 3
北师大版初三数学上册§2.2.2用配方法求解一元二次方程.2.2用配方法求解一元二次方程
白银市三中导学案学科：数学 年级：九 主备人：吴正峰 教研组长： 教务处： 上课时间： 年 月 日 学生姓名：课题 §2.2.2用配方法求解一元二次方程 课时2课型导学二、合作交流利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？⑴3x 2－6x + 4 = 0； ⑵2x 2+1=3x ⑶(2x -1)(x +3)=5 ．【归纳】利用配方法解方程时应该遵循的步骤： （1）把方程化为一般形式 ； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的 ； （3）方程两边同时除以 ；（4）方程两边同时加上 ；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．练习 解下列方程：（1）02932=+-x x ； （2） x x 7622=+； （3）03842=--x x 。
学 习 目 标 1、会用配方法解数字系数的一元二次方程。
2、掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。
3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能重 难 点重点：掌握配方法解一元二次方程。
难点：把一元二次方程转化为形如（x -a ）2=b 的过程。
一、自主预习1、（1）x 2+8x +__=（x +_ ）2；（2）x 2-4x +___=（x -__）2；（3）x 2-6x + =（x - ）2．由上面等式的左边可知，完全平方式中常数项和一次项系数的关系是： 。
2、用直接开平方法解方程：x 2+6x+9=23.自学教材，回答以下问题。
（1）通过配成 来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
（2）配方是为了降次．．，把一个一元二次方程化为两个 方程来解。
（3）方程的二次项系数不是1时，可以让方程的各项 二次项系数，将方程的二次项系数化为1。
（4）用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是：① ：把常数项移到方程右边；② ：在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；③利用直接开平方法解之。
北师大课标版初中数学九年级上册第二章2.2 用配方法求解一元二次方程
北师大课标版初中数学九年级上册第二章 2.2 用配方法求解一元二次方程《用配方法推导一元二次方程的求根公式》教学设计一、教学内容解析1.具体内容：《用配方法推导一元二次方程的求根公式》这个内容在北师大版教材中对应的是九年级上册第二章第三节《用公式法求解一元二次方程》.本节主要研究一元二次方程的公式解法，一元二次方程的求根公式是用配方法得到的，可以说，公式法是配方法的一般化和程式化，利用求根公式可以更为便捷地解一元二次方程.本节课的主要内容包括以下三个方面：①承接上节内容，提出用配方法求解方程ax2+bx+c=0(a≠0)的问题，进而推导求根公式；②用公式法求解一元二次方程，同时体会用公式法求解一元二次方程本质是将解一元二次方程转化为一个代数式求值的过程；③通过对b2-4ac的讨论，得出根的判别式与方程根的情况之间的关系.《课标》中对本节课的要求是能用公式法解数字系数的一元二次方程，会用一元二次方程个根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等.2.教育价值：在思想方法上，求根公式的推导运用了配方法，其基本思想是降次，通过配方法转化为可直接开方的形式，推导过程中还涉及分类讨论的思想.数学思想方法凝聚着数学的精髓和灵魂，尽管学生走上社会后，数学二、教学目标1.经历一元二次方程的求根公式的推导过程，领悟其基本思想（降次化归）与基本方法（配方法）；2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况，能够运用公式法求解一元二次方程（数字系数）；3.通过推导求根公式，加强推理技能训练，发展逻辑思维能力和善于发现问题的思维素质.三、学生学情分析学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；学生原有的认知结构中已有的知识是直接开平方法解一元一次方程以及用配方法解数字系数的一元二次方程，学生通过直接开平方法、配方法解一元二次方程的学习，对于降次化归的理论依据（开平方）以及基本思路（将一元二次方程转化为两个一元一次方程）已比较熟悉.这节课可以借助学生已有的配方经验，从具体到抽象，得到一元二次方程一般形式的解，即求根公式.但是九年级学生的思维水平处于具体形象思维向抽象思维过渡阶段，对于一般形式的一元二次方程求解过程以及公式法求解一元二次方程本质的理解仍然存在一定的困难.具体体现在以下几个方面：1.学生独自运用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的过程会遇到困难.2.在用配方法进行公式推导时，忽视对b 2-4ac 取值的讨论是学生的易错点，也是难点，此讨论又是分类思想的渗透，判别式的应用也在此得以体现.3.对2244a ac b a b x -±=+ 的化简也会存在问题，有些学生会对由2244a ac b a b x -±=+到a ac b a b x 242-±=+的变化不理解. 4.用公式法求解一元二次方程本质是将解一元二次方程转化为一个代数式求值的过程，只要确定系数a 、b 、c 的值，代入公式就能求出方程的根，学生对这个本质的理解会存在困难.四、教学策略分析策略1——课前通过用配方法解数字系数的一元二次方程，回忆用配方法解一元二次方程的一般步骤，为本节课中的用配方法推导一元二次方程的求根公式奠定理论基础，同时为了降低学生解字母系数的一元二次方程的难度，将推导的过程分为两个环节，第一环节以填空题的形式，让学生明确二次项系数化为1、移项、配方等过程，掌握每一步的具体做法以及变形的依据.第二环节则采用小组讨论和全班共同探索的方式进行，这样就解决了学生独立推导求根公式所面临着种种困难的问题.策略2——当推导到22a4ac 4-b ）a 2b （=+2x 这一步时，通过设计问题串引发学生的思考，逐步意识到只有当配方的结果是一个非负数时才能进行开方运算，于是针对22a 4ac4-b 展开进一步的探讨，渗透分类讨论的数学思想，此环节采用小组交流的方式进行，避免了学生独立思考时思维的局限性.策略3——对2244a ac b a b x -±=+ 进行化简时可能会出现两种情况，一部分学生会误认为2244a ac b -的化简结果就是a 2ac4-b 2，没有考虑到4a 2开方的结果是a 2，缺少分类讨论的思想；还有一部分是对aac b a b x 2422-±=+不会化简，为了突破这个难点，在教学设计时采用采用多媒体课件及板书的结合，以填空的形式引发学生的思考， ∵a ≠0，当a ＞0时2a 4ac b a b x 2-±=+ ，当a ＜0时2a 4ac b 2a -4ac b a bx 22-=-±=+ ∴无论a ＞0还是a ＜0 ，都有aac b a b x 242-±=+ ，这样也就解决了学生在推导公式过程中的又一个难题.策略4——为了强化学生对用公式法求解一元二次方程本质的理解，在教学活动中不是直接告诉学生这个过程就是代数式求值的过程，而是通过具体的例题展示和练习让学生自己经历先确定系数a 、b 、c ，再判断b 2-4ac ，最后代入公式求解一元二次方程的过程，亲身感受到用公式法求解一元二次方程本质就是一个代数式求值的过程.另外，为了便于学生理解，教学环节中又设计了一个程序图来表示用公式法解一元二次方程的步骤，更能直观形象地反映这一本质，同时揭示了“神器”的奥秘，引申出高中阶段要学习的算法知识，体现了知识的前后联系.五、教学过程第一环节 情境引入活动内容：数学竞赛，比一比看谁做的又快又准.用配方法解下列方程：(1)2x 2-7x +3=0 (2)2x 2+5x +4=0找男生代表和女生代表到前面板演，其余同学在题单上运算.设计意图：与本节课有实质性联系的内容是前一节的配方法，以此为新知识的生长点呈现练习题：用配方法解两个上述方程，即激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验，又巩固了配方法.使学生认识到每一个数字系数的一元二次方程都可以用配方法来求解，同时体验到配方法的局限性.由此产生疑难和困惑，感悟到具体的配方法已经不够了.思考：（1）回忆用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？体现了哪种数学思想？设计意图：通过提问，一方面加深对学生数学思想方法的渗透，另一方面，与本节课公式法解一元二次方程的本质形成对比，增强学生对知识的理解和掌握.（2）用配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些？设计意图：复习用配方法解一元二次方程的步骤为后面用配方法推导一元二次方程的求根公式做铺垫.（3）所有的一元二次方程都能用配方法求解吗？你喜欢配方法吗？为什么？（4）能否有更简便和更一般的方法求一元二次方程的根呢？出示“计算神器”，指出只要知道a、b、c就能很快判断出方程根的情况，并且很快计算出方程的根.用“计算神器”计算上面两个一元二次方程，并让学生随机说出一个一元二次方程，进行求解.设计意图：借助“计算神器”，一方面激发学生学习数学的兴趣，调动积极性；另一方面，使学生初步感受到一元二次方程的根的情况就是由系数a 、b 、c 决定的.特别是计算神器的原理又是高中阶段的算法的程序图，这样处理体现知识的前后联系.第二环节 新知探究活动1：推导求根公式.用配方法解一元二次方程：ax 2+bx +c =0(a ≠0)学生阅读题单上小亮同学的用配方法解方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）时的一部分过程，请将横线上的部分补充完整，并指出每一步的依据.解：∵a ≠0∴方程两边都除以a 得0a c x a b x 2=++ ，得 a c x a b x 2-=+ 配方，得 222ac x a b x ) () (+-=++ 即: 2x ）____（+= 思考：（1）按照配方法的步骤，下一步应该做什么呢？（2）现在能直接两边开平方吗？如果能开平方，写出开平方后的结果，如果不能，说明理由.（学生小组内讨论）（3）什么情况下 04422≥-aac b？ 引导学生分析∵ a ≠0∴ 4a 2>0 要使04422≥-aac b 只要 b 2-4ac ≥0即可.当b 2-4ac ≥0时，两边开平方取“±” 得：（4）如何对2244a ac b ab x -±=+进行化简呢？ （学生先独立思考再小组交流讨论）PPT 呈现：对2244a ac b a b x -±=+化简结果进行分析 ∵a ≠0当a ＞0时2a 4ac b a bx 2-±=+ 当a ＜0时2a4ac b 2a -4ac b a bx 22-=-±=+ ∴无论a ＞0还是a ＜0 ，都有aac b a b x 242-±=+ 最后得出aac b b x 242-±-=设计意图：由于用配方法推导求根公式是本节课的一个难点，为了突破这个难点，于是将公式的推导过程分为两个部分，第一部分，只要学生知道配方法的步骤及每一步对应的依据就能很快完成推导过程，但是后一部分对开方的条件的判断以及对2244a ac b ab x -±=+的化简结果的讨论都是本节课上学生的困难所在，于是采用多媒体课件及板书的结合，以填空的形式引发学生的思考，大大降低了推导公式的难度，达到让学生跳一跳就能摘到桃子的效果.（5）如果b 2-4ac <0时，会出现什么问题？ 归纳：我们把a ac b b x 242-±-=称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.设计意图：理解一元二次方程求根公式中各字母代表的意义及条件，理解公式的结构特征，突出数学问题的本质.活动2：典例示范.例：用公式法解方程：2x 2-7x +3=0板书示范 解：这里 a =2, b =-7, c =3∵b 2-4ac =(-7)2-4×2×3=25>0即31=x ，212=x 思考：例题与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？ 设计意图：回到情境中的练习，运用求根公式解方程2x 2-7x +3=0，使学生体会到求根公式的优越性，感悟从特殊到一般、发现提出问题的方法.请模仿例题完成下面的做一做做一做：用公式法解下列方程（1）4x 2+1= 4x （2）2x ²+5x +4=0思考：（1）第（2）题与第一环节中的第（2）题对比，哪种解法更简捷？（2）通过例题与练习题的学习，请思考用公式法求解一元二次方程的一般步骤有哪些？（3）观察这三道题，你还有什么发现？归纳：对于一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0），当b 2-4ac ＞0时，一元二次方程 实数根；当b 2-4ac =0时，一元二次方程 实数根；当b2-4ac＜0时，一元二次方程实数根.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况由b2-4ac来判定，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母Δ来表示.设计意图：通过解方程使学生进一步体会求根公式的实质是代数式求值的过程，并归纳用求根公式解一元二次方程的基本思路.使学生运用求根公式解方程的同时，体验判别式与根的个数的关系，特别是判别式小于0时直接得到无实数根而不用代入求根公式，概括出在用求根公式解一元二次方程时可以先确定判别式的值代入求根公式，从而丰富和优化学生的认知结构.第三环节巩固应用1.判断下列方程根的情况：（1）4x2+4x+5=0 （2）3x²+7x=0（3）9x2=6x－1 （4）2x（x-1）=-32.上述方程如果有解，求出方程的解.设计意图：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度.第四环节感悟收获谈谈本节课的收获和体会？你还有哪些问题？学生发言，互相补充，教师点评完善. 既要关注知识的整理与归纳，更要关注本节课研究问题的过程以及运用的数学思想方法.设计意图：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，引导学生建立知识之间的内在联系，概括本节课的核心知识及运用的数学思想和研究方法，旨在使学生生成组织良好的数学认知结构网络.另外，用程序图表示用公式法解一元二次方程的步骤，揭开神器的秘密，学生的好奇心得到满足.第五环节 当堂检测1.一元二次方程y 2＋3y －4=0的根的情况为（ ）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.不能确定2.已知关于x 的一元二次方程x ²+2x +a =0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ） A. 1 B. -1 C. 41 D. 41 3.用公式法解方程 4x 2+9=12x设计意图：紧扣目标点设计达标测评题，全面了解学生学习水平，及时发现学生认识中存在的问题，给予有效指导，保证当堂落实.第六环节 布置作业必做题：习题2.5 知识技能 第1、2、3题选做题：尝试用不同种方法解一元二次方程2x ²－3x +1=0，通过解答过程谈一谈每种解法的优势与不足.六、教学反思本节课的设计目标明确，重点突出，课前以数学竞赛（用配方法解一元二次方程）引入，调动了学生学习数学的积极性，同时激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验，又巩固了配方法.公式的推导过程本来是本节课的难点所在，课前设计的各种为了突破难点的策略都发挥了极大的作用，学生在问题的引导下，同伴的互助下很顺利地推导出了一元二次方程的求根公式.公式的训练、落实有效，对判别式的归纳从特殊到一般思路很清晰，归纳也条理.在整个课堂教学活动中，不仅关注数学知识与能力的发展，同时也重视数学思想方法的渗透；不仅有学生独立思考解决问题的环节，同时也关注了学生之间的合作交流，培养了学生之间的合作精神，不仅注重了对学生基础知识和基本技能的评价，同时又注重了对学生情感态度的评价.。
北师大版九年级上册数学2章《用配方法求解一元二次方程》教案
2.2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程【学习目标】1．会用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．2．理解一元二次方程的解法——配方法．3．会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．【学习重点】会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．【学习难点】用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤．一、情景导入生成问题1．如果一个数的平方等于4，则这个数是±2．2．已知x2＝9，则x＝±3．3．填上适当的数，使下列等式成立．(1)x2＋12x＋36＝(x＋6)2；x2－6x＋9＝(x－3)2.二、自学互研生成能力知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法先阅读教材P36“议一议”的内容．然后完成下列问题：1．一元二次方程x2＝5的解是x1＝5，x2＝－5．2．一元二次方程2x2＋3＝5的解是x1＝1，x2＝－1．3．一元二次方程x2＋2x＋1＝5，左边配方后得(x＋1)2＝5，此方程两边开平方，得x＋1＝±5，方程的两个根为x1＝－1＋5，x2＝－1－5．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程x2－2x－3＝0为例) 1．移项：将常数项移到右边，得：x2－2x＝3；2．配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，得：x2－2x＋12＝3＋12，再将左边化为完全平方形式，得：(x－1)2＝4；3．开平方：当方程右边为正数时，两边开平方，得：x－1＝±2(注意：当方程右边为负数时，则原方程无解)；4．化为一元一次方程：将原方程化为两个一元一次方程，得：x－1＝2或x－1＝－2；5．解一元一次方程，写出原方程的解：x1＝__3__，x2＝－1．归纳结论：通过配成完全平方式的方法，将一元二次方程转化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，进而得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程解答下列各题：1．填上适当的数，使等式成立．(1)x2＋4x＋4＝(x＋2)2；(2)x2－10x＋25＝(x－5)2.2．用配方法解方程：x2＋2x－1＝0.解：①移项，得x2＋2x＝1；②配方，得x2＋2x＋1＝1＋1，即(x＋1)2＝2；③开平方，得x＋1＝±2，即x＋1＝2或x＋1＝－2；④所以x1＝－1＋2；x2＝－1－2．典例讲解：解方程：x2＋8x－9＝0.解：可以把常数项移到方程的右边，得：x2＋8x＝9.两边都加42(一次项系数8的一半的平方)，得：即x2＋8x＋42＝9＋42，即(x＋4)2＝25.两边开平方，得：x＋4＝±5，即x＋4＝5，或x＋4＝－5.所以x1＝1，x2＝－9.对应练习：1．解下列方程：(1)x2－10x＋25＝7；(2)x2－14x＝8；(3)x2＋3x＝1; (4)x2＋2x＋2＝8x＋4.2．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后得的方程为(D)A．(x＋1)2＝0B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2D．(x－1)2＝23．方程(x－2)2＝9的解是(A)A．x1＝5，x2＝－1 B．x1＝－5，x2＝1C．x1＝11，x2＝－7 D．x1＝－11，x2＝7三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_________________________________________2．存在困惑：_____________________________________第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程【学习目标】1．理解配方法的意义，会用配方法解一般一元二次方程．2．通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．3．学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣． 【学习重点】 用配方法解一般一元二次方程． 【学习难点】 用配方法解一元二次方程的一般步骤． 一、情景导入 生成问题1．用配方法解一元二次方程x 2－3x ＝5，应把方程两边同时( B ) A ．加上32 B ．加上94 C ．减去32 D ．减去942．解方程(x －3)2＝8，得方程的根是( D )A ．x ＝3＋2 2B ．x ＝3－2 2C ．x ＝－3±2 2D ．x ＝3±2 23．方程x 2－3x －4＝0的两个根是x 1＝4，x 2＝－1．二、自学互研 生成能力知识模块一 探索用配方法解一般一元二次方程的方法先阅读教材P 38例2，然后完成下面的填空：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程2x 2－6x ＋1＝0为例)①系数化1：把二次项系数化为1，得x 2－3x ＋12＝0；②移项：将常数项移到右边，得x 2－3x＝－12；③配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，得：x 2－3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－12＋94．再将左边化为完全平方形式，得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝74；；④开平方：当方程右边为正数时，两边开平方，得：x －32＝±72(注意：当方程右边为负数时，则原方程无解)；⑤解一次方程：得x ＝32±72，∴x 1＝32＋72，x 2＝32－72．用配方法求解一般一元二次方程的步骤是什么？师生共同归纳结论：(1)把二次项系数化为1，方程的两边同时除以二次项系数；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x ＋h)2＝k 的形式；(4)用直接开平方法解变形后的方程．知识模块二 应用配方法解一般一元二次方程解答下列各题：1．用配方法解方程3x 2－9x －32＝0，先把方程化为x 2＋bx ＋c ＝0的形式，则下列变形正确的是( D )A ．x 2－9x －32＝0B ．x 2－3x －32＝0C ．x 2－9x －12＝0D ．x 2－3x －12＝02．方程2x 2－4x －6＝0的两个根是x 1＝3，x 2＝－1．典例讲解：1．解方程3x 2－6x ＋4＝0.解：移项，得3x 2－6x ＝－4；二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43；配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12；(x －1)2＝－13.因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，(x －1)2都是非负数，上式不成立，即原方程无实数根．2．做一做：一小球以15m /s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m )与时间t(s )满足关系：h ＝15t －5t 2，小球何时能达到10米的高度？解：根据题意得15t －5t 2＝10；方程两边都除以－5，得t 2－3t ＝－2；配方，得t 2－3t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322；⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＝14；t －32＝±12；t ＝2，t 2＝1；答：当t ＝2s 或t ＝1s 时，小球达到10米的高度． 对应练习：1．解下列方程：(1)3x 2－9x ＋2＝0； (2)2x 2＋6＝7x ； (3)4x 2－8x －3＝0.2．方程3x 2－1＝2x 的两个根是x 1＝－13，x 2＝1．3．方程2x 2－4x ＋8＝0的解是无实数解．三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索用配方法解一般一元二次方程的方法知识模块二 应用配方法解一般一元二次方程四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________2．存在困惑：____________________________________________。
北师大版九年级上册第二章2.2.2 用配方法求解一元二次方程(教案)
北师大版九年级上册第二章2.2.2 用配方法求解一元二次方程（教案）方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得x -6x+32=40+32即 （x-3）=49开平方，得x-3 =±7即x-3=7或x-3=-7所以学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤：通过对这个方程基本步骤地熟悉学生们顺畅的理清思路，掌握了每一步的理论依据，增强了解题的信心，达到预期的目的。
配方法的两节课连贯性强，作为一种新的方法，学生在新授期间应多接触，熟练掌握基本的步骤，掌握每一步的原理，这样会增强学生对这个知识点的驾驭能力。
一般的一元二次方程配方解法的步骤（移项，配方，开平方，求解）及注意事项。
移项的目的是将二次项和一次项调整到等号的左边，常数项调整到右边；配方是将方程的两边添加一个常数项（一次项系数一半的平方）原理是根据公式a ＋2ab ＋b ＝（a ＋b ）进行的；开平方的原理是平方根的定义，需要注意一个正数有两个平方根，它们是互为相反数；求解的过程是解两个一元一次方程，要注意符号的变化。
22.4,1021-==x x二、情境引入活动内容：（1）.将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答.1.x +2x+________=(x+______)2.x -4x+________=(x-______)3.x +________+36=(x+______)4.x +10x+________=(x+______)5. x -x+________=(x-______)（2）.请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别1.x +6x+8=02.3x +18x+24=0探讨方程2的应如何去解呢？活动目的：通过对第一部分的五个口答练习题的训练，熟悉完全平方式的三项与平方形式的联系，第二部分的两个习题之间的区别是方程2的二次项系数为3，不符合上节课解题的基本形式，联系是当方程两边同时除以3以后，这两个方程式同解方程。
北师大数学九年级上册第二章用配方法求解一元二次方程
2.2用配方法求解一元二次方程（解析）知识精讲直接开平方法 若()20x a a =≥，则x a =± 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法（1）21(51)303x --=()2519x -= 513x -=± （2）2269(52)x x x -+=- ()352x x -=±-常见类型1．2(0)x a a =≥ 解为：x a =±2．2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a b +=± 3．2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b c +=± 4．22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+易错点：直接开平方法解一元二次方程时一般都有两个解，不要漏解，如果是两个相等的解，也要写成12x x a ==的形式三点剖析一．考点：直接开平方法．二．重难点：直接开平方法．三．易错点：直接开平方法解一元二次方程时注意一般都有两个解，不要漏解，如果是两个相等的解，也要写成12x x a ==的形式．直接开平方法例题1、 方程（x+2）（x ﹣3）=x+2的解是__________． 【答案】 x 1=﹣2，x 2=4． 【解析】 原式可化为（x+2）（x ﹣3）﹣（x+2）=0， 提取公因式得，（x+2）（x ﹣4）=0，故x+2=0或x ﹣4=0，解得x 1=﹣2，x 2=4．例题2、 (2012初二上期中中关村中学)求下面各式中x 的值：（1）249x =；（2）()2125x -=．【答案】 （1）32±（2）4-和6【解析】 该题考查利用平方根解一元二次方程．（1）294x =，得，32x =±（2）15x -=±，∴6x =或4- 例题3、 求x 的值： 21(51)303x --= 【答案】 45x =或25-【解析】 ()215133x -=，()2519x -=，513x -=±，因此45x =或25-随练1、 解下列方程：（1）2280x -= （2）225160x -= （3）()2190x --= 【答案】 （1）2x =±；（2）54x =±；（3）14x =，22x =-【解析】 （1）228x =，24x =，2x =±（2）21625x =，22516x =，54x =±（3）()219x -=，13x -=±，14x =，22x =-随练2、 解关于x 的方程：2269(52)x x x -+=-【答案】 12x =，283x =【解析】 ()()22352x x -=-，()352x x -=±-，解得12x =，283x =随练3、 若方程()224x a -=-有实数根，则a 的取值范围是________.【答案】 4a ≥【解析】 该题考查的是一元二次方程．()220x -≥40a -≥解得4a ≥随练4、 解关于x 的方程：22(31)85x +=【答案】 125x -±【解析】 ()23120x +=，3125x +=±，125x -±配方法知识精讲配方法 把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解方法()()20x a b b x b a+==±-≥一般步骤（1）二次项系数化1 （2）常数项右移（3）配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）（4）化成2()x m n +=的形式 （5）若n ≥0，直接开平方得方程的解22220 (0)()0 ()()022ax bx c a ba x x c ab ba x a c a a ++=≠++=+-+=22222()244()24b b a x ca ab b ac x a a +=--+=22640(3)13x x x --=⇒-= ()222810229x x x +-=⇒+=易错点：()()20x a b b x b a +==±-≥()()20x a b b +=＜ 原方程无实数解二．最值问题求最值试用配方法说明223x x -+的值恒大于0()22231220x x x -+=-+≥＞已知x 、y 为实数，求代数式22247x y x y ++-+的最小值()()222222247=(21)(44)21222x y x y x x y y x y ++-++++-++=++-+≥三点剖析一．考点：配方法．二．重难点：配方法解一元二次方程，配方法求解最值或取值范围．三．易错点：在化成直接开平方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的，如果是则利用直接开平方法求解即可，如果不是，原方程就没有实数解．配方法例题1、 用配方法解一元二次方程2+210x x -=，配方后得到的方程是（ ） A.2(1)2x -= B.2(+1)2x =C.2(+2)2x =D.2(2)2x -=【答案】 B【解析】 把方程2+210x x -=的常数项移到等号的右边，得到2+21x x =，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到2+2111x x +=+ ，配方得2(+2)2x = 例题2、 用配方法解方程：2640x x --= 【答案】 12313x =±，【解析】 2640x x --=，2(3)13x -=，12313x =±，例题3、 用配方法解下列方程： （1）22810x x +-= （2）2420x x ++=（3）211063x x +-=（4）2313y y +=【答案】 （1）1,23222x =-（2）122x =，222x =--；（3）112x =，223x =-；（4）123y y =【解析】 （1）()2229x +=，322x =-（2）()222x +=，122x =，222x =- （3）214912144x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得112x =，223x =-（4）)2310-=，123y y ==例题4、 用配方法解关于x 的方程20x px q ++=（p q ，为已知常数）【答案】 当240p q -≥时，24p p qx -±-=；当240p q -<时，原方程无实数根【解析】 22()024p p x q ++-=；224()24p p q x -+=∴当240p q -≥时，242p q p x -+= 即24p p qx -±-=；当240p q -<时，原方程无实数根例题5、 已知2246130x y x y ++-+=，x 、y 为实数，求y x 的值【答案】 8-【解析】 通过配方，原式可化为()()22230x y ++-=，由()220x +≥，()230y -≥可得2x =-，3y =，故()328y x =-=-随练1、 用配方法解方程：22310x x ++=【答案】 11x =-，212x =-【解析】 231022x x ++=，231()416x +=，11x =-，212x =-随练2、 若把代数式257x x ++化为()2x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则k m -=．【答案】 134【解析】 该题考查的是配方法．257x x ++22255527222x x ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2525724x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭25324x ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴52m =-，34k =，∴35351342424k m ⎛⎫-=--=+= ⎪⎝⎭．随练3、 已知a ，b ，c 均为实数，且4a b +=，224310c ab c -=-，求ab 的值． 【答案】 4【解析】 由条件得222443100c b b c -+-+=，配方得(()222320c b +-=，故2b =，3c =，2a =，所以4ab =．最值问题例题1、 试用配方法说明223x x -+的值恒大于0 【答案】 见解析【解析】 ()22231220x x x -+=-+≥>例题2、 已知x 、y 为实数，求代数式22247x y x y ++-+的最小值【答案】 2【解析】 原式=()()2222(21)(44)2122x x y y x y +++-++=++-+，因为()210x +≥，()220y -≥，所以()()221222x y ++-+≥，故原式的最小值是2例题3、 已知a ，b ，c 是整数，且24a b -=，210ab c +-=，求a b c ++的值 【答案】 a b c ++的取值为3，3-，5，1-【解析】 把24a b =+代入210ab c +-=，配方得()22213b c ++=，因为a ，b ，c 是整数，所以()211b +=，21c =，所以b 的值为0或2-，c 的值为1±，故a b c ++的取值为3，3-，5，1-随练1、 用配方法说明21074x x -+-的值恒小于0 【答案】 见解析【解析】 原式= 0401114011120710-4-x 107-x 10-22<-≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛x 随练2、 已知x ，y 为实数，求代数式2254824x y xy x +-++的最小值．【答案】 3【解析】 原式=()22414513555x y y ⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭，当1y =-，1x =-时，原式有最小值3．课后练习1、 若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ） A.﹣2 B.2 C.4 D.﹣3【答案】 A【解析】 设一元二次方程的另一根为x 1， 则根据一元二次方程根与系数的关系， 得﹣1+x 1=﹣3， 解得：x 1=﹣2． 故选A ．2、 关于x 的一元二次方程()22240m x x m -++-=有一根为0，则m 的值为_______.【答案】 2-【解析】 该题考查的是解方程． 把00x =代入原方程，得： 240m -=，解得2m =±．又∵原方程为一元二次方程， ∴20m -≠，2m ≠．∴2m =-3、 解方程：()2316x +=【答案】 21x =【解析】 ()212x +=，12x +=21x =± 4、 解关于x 23(1)27x -=【答案】 121313x x =+= 【解析】 ()227133x -==，13x -=121313x x =+=5、 用直接开平方法解下列一元二次方程 （1）29160x -=（2）()25160x +-= （3）()()22531x x -=+ （4）()()22425931x x -=-【答案】 （1）43x =±（2）121,9x x =-=-（3）123,1=-=x x （4）1271,5x x ==-【解析】 （1）2916x =，2169x =，43x =±（2）()2516x +=，54x +=±，11x =-，29x =- （3）()531x x -=±+，解得123,1=-=x x（4）()()225331x x -=±-，解得1271,5x x ==-6、 用配方法解方程：22310x x ++=【答案】 11x =-，212x =-【解析】 231022x x ++=，231()416x +=，11x =-，212x =-7、 用配方法解方程2x 2﹣x=4，配方后方程可化为（x ﹣14）2= ．【答案】 3316【解析】 由原方程，得x 2﹣12x=2，配方，得x 2﹣12x+（14）2=2+（14）2，即（x ﹣14）2=3316．故答案是：3316．8、 已知方程260x x q -+=可以配方成()27x p -=的形式，那么262x x q -+=可以配成下列的（ ）A.()25x p -= B.()29x p -= C.()229x p -+= D.()225x p -+=【答案】 B 【解析】 配方。
北师大版数学九年级上册 2.2用配方法求解一元二次方程
配方法的应用
引例：一个小球从地面上以 15 m/s 的速度竖直向上弹 出，它在空中的高度 h (m) 与时间 t (s) 满足关系：
h = 15t - 5t2. 小球何时能达到 10 m 高？
两边都加上 9
二次项系数为 1 的完全 平方式，常数项等于一
次项系数一半的平方
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
问题2 为什么在方程 x2 + 6x = -4 的两边加上 9？加 其他数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方， 方程左边才能变成完全平方式 x2 + 2mx + m2 的形式.
C.
解方程
4(x
-
1)2
=
9，得
4(x
-
1)
=±3，x1
=
1 4
，x2
=
7 4
D. 解方程 (2x + 3)2 = 25，得 2x + 3 =±5，x1 = 1， x2 = -4
2.填空: (1)方程 x2 = 0.25 的根是 x1＝0.5，x2＝-0.5 .
(2)方程 2x2 = 18 的根是 x1＝3，x2＝-3 . (3)方程 (2x - 1)2 = 9 的根是 x1＝2，x2＝-1 .
开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解．
例3 解方程 x2 + 8x - 9 = 0
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 8x = 9 ，
两边都加 42（一次项系数 8 的一半的平方），得
x2 + 8x + 42 = 9 + 42，
即
(x + 4)2 = 25 .
北师大版九年级数学上册第2章教学课件：2.2用配方法求解一元二次方程
四、强化训练
易错点1:用配方法解一元二次方程时,二次项系数不 是1时易出错.
例如:用配方法解方程
2x2 4x 8 0
错解1:移项,得 2x2 4x 8
两边同除以2,得 x2 2x 8
配方,得 x2 2x 1 8 1
x 12 9, x 1 3, x1 4, x2 2
四、强化训练
（1）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；
2 用配方法求解一元二次方程（2）
aa 所以化二次三项式系数为1时方程与代数式的方法不能
混淆.
五、布置作业
一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：
（3）用直接开平方法求出方程的根.
（1）把二次项系数化为1；
一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：
2.2 用配方法求解 一元二次方程（2）
一、新课引入
我们上一节课学习了如何用配方法求解二次项系 数为1的一元二次方程，那么对于二次项系数不为 1的一元二次方程，我们还能不能用配方法求解呢？
一、新课引入
用配方法解系数为1的一元二次方程的步骤：
（1）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一 边为常数项； （2）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （3）用直接开平方法求出方程的根.
关系： （4）用直接开平方法求出方程的根.
例如:用配方法解方程
所得二次三项式
与原式值不同，
（4）用直接开平方法求出方程的根.
h=15 t―5t2
小球何时能达到10 m高？ 答案：当t=1或t=2时，小球能达到10 m高.
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 用配方法解一元二次方程的步骤：
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方 程2.2用配方法求解一元
第2课时 用配方法解复杂的一元二次方程知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二 次方程1．解：6x 2－x －1＝0 ――→两边同时除以6第一步x 2－16x －16＝0 ――→移项第二步x 2－16x ＝16 ――→配方第三步(x －19)2＝16＋19 ――→两边开方第四步x －19＝±518――→移项第五步x 1＝19＋106，x 2＝19－106. 上述步骤中，发生第一次错误是在( )A ．第一步B ．第二步C ．第三步D ．第四步2．用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为( )A ．(x －3)2＝13B ．3(x －1)2＝13C ．(x －1)2＝23D ．(3x －1)2＝13．方程2x 2＋3＝7x ，经配方后得(x －74)2＝________．4．将2x 2－12x －12＝0变形为(x －m)2＝n 的形式，则m ＋n ＝________． 5．当x ＝________时，代数式3x 2＋2x ＋5的值是6. 6．用配方法解下列方程： (1)3x 2＋4x －4＝0；(2)2x 2＋1＝4x.7．如果一个一元二次方程的二次项是2x 2，经过配方整理得(x ＋12)2＝1，那么它的一次项和常数项分别是( )A ．x ，－34B ．2x ，－12C ．2x ，－32D ．x ，－328．2016·贵阳期末已知等腰三角形两边a ，b 满足a 2＋b 2－4a －10b ＋29＝0，则此等腰三角形的周长为( )A ．9B ．10C ．12D ．9或129．把方程3x 2＋4x －1＝0配方后得(x ＋m)2＝k ，则m ＝________，k ＝________． 10．已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，且满足a 2＋2b 2－2ab －2bc ＋c 2＝0，则该三角形是________三角形．11．证明：关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，不论a 为何值，该方程都是一元二次方程．12．已知代数式A＝2m2＋3m＋7，代数式B＝m2＋5m＋5，试比较代数式A与B的大小．13．已知x＝4满足方程x2－32mx＝m2，试求出所有满足该方程的x和m的值．14．教材习题2.4第3题变式题如图2－2－2所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．(1)经过几秒钟，△PBQ的面积为8 cm2?(2)经过几秒钟，P，Q两点间的距离为53 cm?图2－2－215．请你参考黑板中老师的讲解，完成下列解答：图2－2－3(1)通过上面例题的讲解可知，当x＝________时，代数式x2＋2x＋3有最小值，且最小值是________．(2)对于代数式x4－2x2＋5，先用配方法说明不论x为何实数，这个代数式的值总是正数；再求出当x为何实数时，这个代数式的值最小，最小值是多少．(3)设一个边长为a(a＞3)的正方形的面积为S1，另一个矩形的面积为S2.若矩形的一边长比该正方形的边长小3，另一边长为4，试比较S1和S2的大小，并说明理由．详解1．C [解析] 开始错误的步骤是第三步：(x －19)2＝16＋19，等号左边括号内19应为112，等号右边的19应为1144.故选C.2．C 3.25164.185．－1或13 [解析] 解方程3x 2＋2x ＋5＝6即可．6．解：(1)方程的各项都除以3， 得x 2＋43x －43＝0.移项，得x 2＋43x ＝43.配方，得x 2＋43x ＋(23)2＝43＋(23)2，即(x ＋23)2＝169.直接开平方，得x ＋23＝±43，∴x 1＝23，x 2＝－2.(2)移项，得2x 2－4x ＝－1，方程的各项都除以2，得x 2－2x ＝－12，配方，得x 2－2x ＋1＝1－12，即(x －1)2＝12，直接开平方，得x －1＝±22，∴x 1＝2＋22，x 2＝2－22.7．C [解析] 将(x ＋12)2＝1展开，得x 2＋x ＋14＝1.化为一般形式，得x 2＋x －34＝0.方程x 2＋x －34＝0两边同乘2，得2x 2＋2x －32＝0.故选C.8．C [解析] ∵a 2＋b 2－4a －10b ＋29＝0， ∴(a 2－4a ＋4)＋(b 2－10b ＋25)＝0， ∴(a －2)2＋(b －5)2＝0， ∴a ＝2，b ＝5，∴当腰为5时，等腰三角形的周长为5＋5＋2＝12； 当腰为2时，2＋2＜5，构不成三角形． 故选C. 9.23 79 10．等边11．证明：因为a 2－8a ＋20＝a 2－8a ＋16＋4＝(a －4)2＋4≥4，所以不论a 为何值，a 2－8a ＋20的值都不可能等于0，由一元二次方程的定义可知，关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0必为一元二次方程．12．解：∵A －B ＝2m 2＋3m ＋7－(m 2＋5m ＋5)＝m 2－2m ＋2＝(m －1)2＋1>0，∴A >B .13．解：把x ＝4代入已知方程，得16－6m ＝m 2， 整理，得m 2＋6m ＝16，配方，得()m ＋32＝25， 解得m 1＝－8，m 2＝2.当m ＝－8时，方程为x 2＋12x ＝64，解得x ＝4或x ＝－16； 当m ＝2时，方程为x 2－3x ＝4，解得x ＝4或x ＝－1.14．解：(1)设经过x s ，△PBQ 的面积为8 cm 2. 由题意，得12(6－x )×2x ＝8，解得x 1＝2，x 2＝4.所以经过2 s 或4 s ，△PBQ 的面积为8 cm 2. (2)设经过y s ，P ，Q 两点间的距离为53 cm. 由题意得AP ＝y cm ，BQ ＝2y cm ，BP ＝(6－y )cm. 由勾股定理得(6－y )2＋(2y )2＝(53)2， 解得y 1＝3.4，y 2＝－1(不合题意，舍去)． 所以经过3.4 s ，P ，Q 两点间的距离为53 cm. 15．解：(1)∵x 2＋2x ＋3＝x 2＋2x ＋1＋2＝(x ＋1)2＋2， ∴当x ＝－1时，代数式x 2＋2x ＋3有最小值，且最小值是2. 故答案为：－1，2. (2)x 4－2x 2＋5 ＝x 4－2x 2＋1＋4 ＝(x 2－1)2＋4， ∵(x 2－1)2≥0， ∴(x 2－1)2＋4＞0，∴代数式x 4－2x 2＋5的值一定是正数．当x ＝±1时，这个代数式的值最小，最小值是4.(3)S 1＞S 2.理由如下：由题意，得S 1＝a 2，S 2＝4(a －3)＝4a －12， 则S 1－S 2＝a 2－(4a －12)＝a 2－4a ＋12＝(a －2)2＋8. ∵(a －2)2＞0，∴(a －2)2＋8＞0， ∴S 1－S 2＞0，∴S 1＞S 2.。
北师大课标版初中数学九年级上册第二章2.2 用配方法求解一元二次方程(共17张PPT)
x2=9，那么x叫做9的 平方根 。
3. 你会求解一元二次方程 x2=9 吗？
挑战自我
解下列一元二次方程： 1. x2=25 2. 4x2=25 3. (x-1)2=16
解：⑴方程两边直接开平方，得：x=±5 ∴ x1=-5， x2=5
⑵方程两边同除以4，得：
x2-2x+1=16 转化 (x-1)2=16
直接开 平方
转 化
x2-2x-15=0 转化 x2-2x=15
例题：
解方程：x2+8x-9=0
像这样，通过配方，把方程左边化成一个完全平方 式，然后两边直接开平方，得到一元二次方程的根，
这种求解一元二次方程的方法叫配方法。
想一想：
用配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些？
像这样，利用平方根的定义，在方程两边同 时开平方，求解一元二次方程的方法，叫做
直接开平方法。
思考：用直接开平方法可以求解哪些
类型的一元二次方程？
你会解方程x2-2x+1=16吗？ x2-2x-15=0呢？
做一做：填上适当的数，使下列等式成立
1.x2+12x+ 2.x2-6x+ 3.x2-4x+ 4.x2+8x+
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月31日星期二2021/8/312021/8/312021/8/31 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/312021/8/31August 31, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8得：x
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它们之间有什么关系?
总结归律:
x
2
p 2 p ( ) 2 px ____ ( x ____) 2 2
2
对于x +px,再添上一次项系数一 半的平方,就能配出一个含未知数的 一次式的完全平方式.
试一试
解方程: x +12x-15=0
1.你能将方程转化成（x+a)2=b(b ≥ 0)的形式 吗?
1m
7m
72＋(X＋6)2＝102
6m
xm
化简得：x2+12x-15=0
平方根 1.如果x2=a,那么x就叫做a的_____
2.如果 ，则 x = 8 x2 64 。
3.如果
x2 a(a 0)， 则 x = a
。
互为相反数 两个个平方根，它们__________; 4.正数有_____ 0 没有平方根 0的平方根是＿＿；负数＿＿＿＿＿．
因为负数没有平方根 所以方程没有实数根
一般的，对于方程
的实数根 ： x1 a
的 实数根：
χ2=a
（1）当a>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等
x
2
2
a
（2）当a=0 时，根据平方根的意义，方程有两个相等
x x
1
0
（3）当a<0 时，因为负数没有平方根，
所以方程没有实数根.
练一练
1.利用直接开平方法解下列方程 (1) x -6=0 (2) (x+3) =5 2.能利用直接开平方法求解的一 元二次方程具有什么特征?
2 2
自主探究二 填一填
9 3 (1) x 6 x _____ ( x ___)
2 2 2
(2) x 8 x _____ 4 16 ( x ___) 5 25 2 2 (3) y 5 y _____ ( y ___) 2 4 2 2 1 1 1 (4) y y ____ ( y ___) 2 16 4
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)或(x+a)2=b(b≥0)的方
程, 可用直接开平方法求解.
2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用 开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方 法. 注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方.
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一 半的平方,将方程左边配成完全平方式 开方:根据平方根意义,方程两边开平 方 ; 求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.
练一练
1：用配方法解下列方程
2 (1)x
2 (2)x
－14x－ 8=0
＋ 3x =1
2.用配方法说明：不论k取何实 数，多项式k2－4k＋5的值必定 大于零.
自主探究一：做一做
解一元二次方程：x 解：两边开平方，得
2
5
直接开方 定解
x 5
∴ x1 5 ；x2 5
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
解下列方程
(1).
2 χ =4
X1=2
x2=-2
(2). χ2=0
X1=x2=0
(3). χ2+1=0
如果我们把这些方 程变形为χ2=a呢？ 方程解的情况与a的 取值有什么关系？
2.2 配方法 解一元二次方程
复习回顾
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的 垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动 多少米？ 解：由勾股定理可知， 滑动前梯子底端距墙 6 m. 如果设梯子底端滑动 X m，那么滑动后梯子 底端距墙 X＋6m; 根据题意，可得方程： 数学化 8m
2
2.观察方程x2+12x=15
x2+12x+36=51
(x+6)2=51之间有什么关系？
把一元二次方程的左边配成一 个完全平方式,然后用直接开平方法 求解,这种解一元二次方程的方法叫 做配方法.
配方时, 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方.
做一做
解方程：
2 x +5x-9=0
用配方法解一元二次方程的步骤: