第九篇 第4讲 椭圆

第4讲 椭 圆A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )．A.72B.32C. 3D ．4解析 a 2＝4，b 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝3，不妨设F 1为左焦点，P 在x 轴上方，则F 1(－3，0)，设P (－3，m )(m >0)，则(－3)24＋m 2＝1，解得m ＝12，所以|PF 1|＝12，根据椭圆定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2×2－12＝72. 答案 A2．(2012·江西)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )． A.14B.55C.12D.5－2解析 因为A ，B 为左、右顶点，F 1，F 2为左、右焦点，所以|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c .又因为|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列， 所以(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2.所以离心率e ＝c a ＝55，故选B. 答案 B3．(2013·榆林模拟)已知椭圆x 2＋my 2＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数m 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 解析 椭圆标准方程为x 2＋y 21m ＝1.当m >1时，e 2＝1－1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，解得m >43；当0<m <1时，e 2＝1m －11m ＝1－m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，解得0<m <34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 答案 C4．(2012·温州测试)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心为O ，左焦点为F ，A 是椭圆上的一点.OA →·AF →＝0且OA →·OF→＝12OF →2，则该椭圆的离心率是 ( )．A.10－22B.10＋22C ．3－ 5D ．3＋ 5解析 因为OA →·AF →＝0，且OA →·AF →＝OA →·(OF →－OA →)，所以OA →·OF →＝OA →2，所以|OA →|＝22|OF →|＝22c ，所以|AF →|＝22c ，且∠AOF ＝45°，设椭圆的右焦点是F ′，在△AOF ′中，由余弦定理可得AF ′＝52c ，由椭圆定义可得AF ＋AF ′＝ 12c ＋52c ＝2a ，即(1＋5)c ＝22a ，故离心率e ＝c a ＝221＋5＝10－22.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·青岛模拟)设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________．解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴m 2－n 2＝4①，e ＝12＝2m ，∴m ＝4，代入①得，n 2＝12，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.答案 x 216＋y 212＝16．(2013·佛山模拟)在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝11，a 2＋a 3＋a 4＝21，则椭圆C ：x 2a 6＋y 2a 5＝1的离心率为________．解析 由题意，得a 4＝10，设公差为d ，则a 3＋a 2＝(10－d )＋(10－2d )＝20－3d ＝11，∴d ＝3，∴a 5＝a 4＋d ＝13，a 6＝a 4＋2d ＝16>a 5，∴e ＝16－134＝34.答案 34 三、解答题(共25分)7．(12分)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，AF 2→·F 1F 2→＝0，若椭圆的离心率等于22. (1)求直线AO 的方程(O 为坐标原点)；(2)直线AO 交椭圆于点B ，若三角形ABF 2的面积等于42，求椭圆的方程． 解 (1)由AF 2→·F 1F 2→＝0，知AF 2⊥F 1F 2，∵椭圆的离心率等于22，∴c ＝22a ，可得b 2＝12a 2. 设椭圆方程为x 2＋2y 2＝a 2.设A (x 0，y 0)，由AF 2→·F 1F 2→＝0，知x 0＝c ，∴A (c ，y 0)，代入椭圆方程可得y 0＝12a ， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，12a ，故直线AO 的斜率k ＝22，直线AO 的方程为y ＝22x . (2)连接AF 1，BF 1，AF 2，BF 2，由椭圆的对称性可知，S △ABF 2＝S △ABF 1＝S △AF 1F 2， ∴12·2c ·12a ＝4 2.又由c ＝22a ，解得a 2＝16，b 2＝16－8＝8. 故椭圆方程为x 216＋y 28＝1.8．(13分)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3. (1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．解 (1)设椭圆C 的焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF 2→＝2F 2B →及l 的倾斜角为60°，知y 1<0，y 2>0， 直线l 的方程为y ＝3(x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)，x 2a 2＋y 2b2＝1消去x ，整理得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0. 解得y 1＝－3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2.因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2，即3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2，解得a ＝3.而a 2－b 2＝4，所以b 2＝5. 故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1. (2013·厦门质检)已知F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 32＋y 2＝b 29相切于点Q ，且PQ →＝2Q F →，则椭圆C 的离心率等于( )．A.53B.23C.22D.12解析 记椭圆的左焦点为F ′，圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 32＋y 2＝b29的圆心为E ，连接PF ′，QE .∵|EF |＝|OF |－|OE |＝c －c 3＝2c 3，PQ →＝2Q F →， ∴|EF ||F ′F |＝13＝|QF ||PF |，∴PF ′∥QE ， ∴|QE ||PF ′|＝13，且PF ′⊥PF . 又∵|QE |＝b3(圆的半径长)，∴|PF ′|＝b .据椭圆的定义知：|PF ′|＋|PF |＝2a ，∴|PF |＝2a －b . ∵PF ′⊥PF ，∴|PF ′|2＋|PF |2＝|F ′F |2，∴b 2＋(2a －b )2＝(2c )2，∴2(a 2－c 2)＋b 2＝2ab ， ∴3b 2＝2ab ，∴b ＝2a3，c ＝a 2－b 2＝53a ，c a ＝53，∴椭圆的离心率为53. 答案 A2．(2012·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )．A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1解析 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2012·泰安一模)F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，A ，B 分别为双曲线的左、右顶点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且满足∠MAB ＝30°，则该双曲线的离心率为________． 解析 如图，以F 1F 2为直径的圆为x 2＋y 2＝c 2，双曲线的渐近线为y ＝ba x .由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝b a x ，得M (a ，b )，∴△MAB 为直角三角形．∴在Rt △MAB 中，tan 30°＝|MB ||AB |＝b 2a ＝33. ∴b a ＝233.∴e ＝ 1＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213. 答案2134.如图，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为________．解析 设标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由题可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ，∴|BF |＝a ， ∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2b . S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3，∴b 2＝2，∴b ＝2，∴a ＝22，∴椭圆的方程为x 28＋y22＝1.答案 x 28＋y 22＝1 三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·南京二模) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上． (1)解 由题意知，b ＝22＝ 2. 因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12. 所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明 由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)， 则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②法一 联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，即T ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3.由x 208＋y 202＝1，可得x 20＝8－4y 20.因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋4(3y 0－4)28(2y 0－3)2＝8－4y 20＋4(3y 0－4)28(2y 0－3)2＝32y 20－96y 0＋728(2y 0－3)2＝8(2y 0－3)28(2y 0－3)2＝1，所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 法二 设T (x ，y )，联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为x 208＋y 22＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1. 整理得x 28＋(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1. 所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 6．(13分)(2012·重庆) 如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程． 解 (1) 如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)． 因△AB 1B 2是直角三角形， 又|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角， 因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2. 结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5. 在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根， 因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5，又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0， 即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.。