第一讲椭圆的定义及其练习题(精)

中心在坐标原点的椭圆的标准方程和几何意义

一、

知识清单

1. 椭圆的定义：

（1）把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于定长（大于F 1F 2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。符号表示：

|PF 1|+|PF 2|=2a (2a >|F 1F 2|

a 2

(2平面内，到定点F(c,0的距离与到直线l ：x =

c

的动点的轨迹叫做椭圆。2. 椭圆的简单几何性质：

焦点在x 轴上

标准方程

的距离之比是常数

c

(a >c >0 a

焦点在y 轴上

x 2y 2

+2=12a b x 2y 2

+2=12b a

图形，

焦点坐标对称性顶点坐标范围长轴短轴离心率准线方程

F 1(−c , 0, F 2(c , 0 F 1(0, −c , F 2(0, c

关于x 、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称

椭圆点的焦距与长轴长的比e =

c

a

x 2y 2

3. 点P (x 0, y 0 和椭圆2+2=1的关系：

a b

(1 P (x 0, y 0 在椭圆内

⇔_______________________________________________________(2 P (x 0, y 0 在椭圆上⇔_______________________________________________________

(3 P (x 0, y 0 在椭圆外

⇔_______________________________________________________

二、例题讲解

例1. 求下列椭圆的离心率：

（1）已知一椭圆的短轴长与它的焦距相等，求椭圆的离心率；

（2）已知一方程为标准方程的椭圆上存在一个横坐标等于焦点横坐标，纵坐标等于短半轴长的

2

求该椭圆的离心率。的点，

3

x 2y 21

跟踪训练1：椭圆+=1离心率为，则k =_____________________.

k +892

例2.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，求该椭圆的离心率

三课堂练习

x 2y 2x 2y 2

1. 椭圆+=1与+=1(０＜ｋ＜９的关系为(

2599−k 25−k

A. 有相等的长、短轴2. 短轴长为5, 离心率e=的周长为(

A.3

B. 有相等的焦距

C. 有相同的焦点

D. 有相同的顶点

2

的椭圆的两焦点为F 1、F 2, 过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点, 则△ABF 23

B.6

C.12

D.24

x 2y 2

3. 椭圆+=1的焦点为F 1和F 2, 点P 在椭圆上, 如果线段PF 1的中点在y 轴上, 那么 |PF1|

123

是|PF2|的( A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍

4. 已知以椭圆短轴的一个端点和两个焦点为顶点的三角形为正三角形, 并且焦点到椭圆的最短距离为3, 求椭圆的标准方程.

x 2y 2

5.在椭圆+=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍

259

四、高考题试做

x 2y 2

1. （2008年江苏，12）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2+2=1(a >b >0 的焦距为

a b a 2

2c , 以定点O 为圆心，a 为半径做圆M 。若过点P (则, 0 所做圆M 的两条切线互相垂直，

c

该椭圆的离心率为___________.

x 2y 2

2. （2008天津改编，5）设椭圆2+2=1(m >0 上一点P 到其左焦点的距离为3，

m m −1

到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为__________.

（参考答案）二、课堂练习1.B 2.B 3.A 4. 当椭圆的焦点在x 轴上时,所求椭圆方程为

x 2y 2y 2x 2

+=1；当椭圆的焦点在y 轴上时,所求椭圆方程为+=1.5.P 点的坐标为129129

(

25, ±.四、高考题试做。1.1242

;2.22