44A 知识讲解椭圆的性质
椭圆的性质
3： a2 b2 c2
（1）范围
x2 a2
y2 b2
（ 1 a b 0）
由椭圆方程可知，椭圆上的点的坐标（x,y）都适合不等式
x2 a2
1,
y2 b2
1.
Y
即 x2 a2, y2 b2.
M
F1
O
F2
X
所以 x a, y b.
说明：椭圆位于直线 x a 和 y b所围成的矩形内
解：把已知方程按x,y分别配方化成标准方程：
（4 x 2）2 9( y 1)2 27
即 （x 2）2 ( y 1)2 1
27
3
4
得
a 3 3 , b 3, c 27 3 15 .
2
4
2
所以长轴长 2a 3 3, 短轴长2b 2 3, 中心为 (2,1)，
1
9
4
得 a 3,b 2,c 9 4 5.
1
01
x
0’
x’
所以长轴长2a 6, 短轴长2b 4,离心率e
5, 3
中心为 (1,1)，焦点为 (1 5,1), (1 5,1).
如果某个形如Ax2 By2 Dx Ey F 0(A, B 0)的方程经过配方能够
（ 1 a b 0）
Y
如图椭圆和x轴,y轴有四个交点,
B2
A1, A2 , B1, B2.
x轴,y轴为椭圆的对称轴.
A1 F1
O
B1
椭圆和它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点.
F2 A2 X
A1(a,0), A2 (a,0) B1(0,b), B2 (0,b)
椭圆知识点总结
椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b ac -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
椭圆的知识点总结
椭圆的知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一种特殊曲线，它的定义可以有多种方式。
在解析几何中，我们通常采用焦点－直线之和等于常数的定义来描述椭圆。
具体而言，椭圆定义为到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
这个常数被称为椭圆的长轴长度。
另外，椭圆还有一个短轴，它垂直于长轴且通过长轴的中点。
椭圆的长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。
二、椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
2. 直径性质：椭圆的直径是经过焦点的直线段，并且它恰好与椭圆相交于椭圆上的两点。
3. 周长性质：椭圆的周长可以用椭圆的半长轴和半短轴的长度来表示，即2πb+4aE(e)，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，E(e)为第二类椭圆积分。
4. 质心性质：椭圆的质心位于椭圆的中心，且与椭圆的几何中心重合。
椭圆的质心满足椭圆上所有点到该质心的距离之和等于椭圆的长轴长度。
5. 对称性质：椭圆具有关于长轴和短轴的对称性，且同时具有关于两个焦点的对称性。
6. 离心率性质：椭圆的离心率e是一个重要的参数，它刻画了椭圆的形状。
椭圆的离心率满足0<e<1，且e=√(1-b²/a²)。
7. 焦点和直角坐标系的关系：椭圆在直角坐标系中的方程形式可以用来描述椭圆的形状，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
三、椭圆的方程椭圆的方程通常以长轴和短轴的长度来表示，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
在给定长轴和短轴的情况下，可以通过椭圆的方程来确定椭圆的形状和位置。
四、椭圆的焦点椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴的两端。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特性，它们的位置决定了椭圆的形状和方向。
五、椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来描述。
椭圆的性质及知识点总结
椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。
1.2 椭圆的基本性质（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。
长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。
（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。
（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。
二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。
离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。
2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。
2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。
2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。
根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。
2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。
焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。
2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解，面积为πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
(完整版)椭圆的基本知识
椭圆的基本知识一、基本知识点知识点一：椭圆的定义：椭圆三定义，简称和比积1、定义1:（和）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距,定值为_______________________ .2、定义2：（比）到定点和定直线的距离之比是定值的点的轨迹叫做椭圆。
定点为焦点，定直线为准线，定值为。
3、定义3：（积）到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆.两定点是长轴端点,定值为m = e 2 —1（-1< m <0）.知识点二：椭圆的标准方程1、当焦点在％轴上时，椭圆的标准方程为，其中C2 = a2 -b2。
2、当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为，其中c 2 = a 2 - b 2.知识点三:椭圆的参数方程兰+2=1（a > b >0）的参数方程为___________________ 。
a2 b2知识点四：椭圆的一些重要性质（1）对称性：椭圆的标准方程是以％轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心就是椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线x = ±a和y= ±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足凶 < a,| y| < b。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点为椭圆的顶点；②椭圆土+二=1（a > b >0）与坐标轴的四个顶点分别为________________________________ 。
a2 b2③椭圆的长轴和短轴.2c c（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e = 一二—。
2a a②因为a>c>0,所以e的取值范围是0V e<1.（5）焦半径：椭圆上任一点P（x ,y）到焦点的连线段叫做焦半径.对于焦点在x轴上的椭圆，左焦半径00r - a + ex，右焦半径r = a - ex .10 20（6）准线方程：x二士一c（7）焦准距：焦点到准线的距离，用p表示，记作p二一。
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面与两个定点F i 、F 2的距离之和等于定长（大于 IRF 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点 F i 、F 2叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离 厅汀2|叫做椭圆的 焦距。
对椭圆定义的几点说明：（1） “在平面”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2） “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点” ，学习时注意区分；（3） 作为到这两个定点的距离的和的 “常数”，必须满足大于| F i F 2|这个条件。
若不然， 当这个“常数”等于| F i F 2|时，我们得到的是线段 F 1F 2；当这个“常数”小于| F i F 2|时，无 轨迹。
这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4） 下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个 对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A i , A 2, B i , B 2，于是我们易得| A i A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F i |、|B i F 2|+|B i F i |也等于那个“常数”。
同学们想一想 其中的道理。
（5）中心在原点、焦点分别在 x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：2 2 2 2i （a b 0）,77i （a b 0）,a ba b2 2 2相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0， a c b 。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同， 它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（一c , 0）和（c , 0）,第二个椭圆的焦点坐标为（0,— c ）和（0, c ）。
椭圆的 焦点在x 轴上 标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y 2项的分母较大。
（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标； 一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质，只2 2要X 2 每 i （a b 0）的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出 a b2 2^2 —2 i （a b 0）的有关性质。
第8讲：椭圆的简单几何性质
第8讲：椭圆的简单几何性质基本知识点1 椭圆的范围 以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．由标准方程可知，椭圆上点的坐标(,)x y 都适合不等式22221,1x y a b≤≤，即2222,x a y b ≤≤，所以||,||.x a y b ≤≤ 这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框内(如图2.2－8)．2 椭圆的对称性以椭圆与22221(0)x y a b a b+=>>为例． （1）．椭圆的对称轴：坐标轴．（2）．椭圆的对称中心：原点O (0，0)．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．通过观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．3 椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例． （1）．椭圆的顶点令0x =，得y b =±；令0y =，得x a =±.这说明12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点，12(0,),(0,)B b B b -是椭圆与y 轴的两个交点．因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点．（2）．椭圆的长轴、短轴线段A 1A 2叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长．线段B 1B 2叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长．4 椭圆的离心率（1）．定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作2.2c c e a a == （2）．范围：因为0a c >>．所以01,c a<<即(0,1)e ∈. 5 直线与椭圆的位置关系（1）．直线与椭圆的三种位置关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离．（2）．直线与椭圆的位置关系的判断：直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式△来判定：△0>⇔直线与椭圆相交；△0=⇔直线与椭圆相切；△0<⇔直线与椭圆相离．（3）．弦长公式一条直线被椭圆所截得的线段叫做椭圆的弦．若直线y kx b =+与椭圆相交于不同的两点1122(,),(,),A x y B x y 则直线被椭圆所截得的弦长公式为212||1||AB k x x =+-或 1221||1||AB y y k =+-.性质的应用应用点一 由方程求椭圆的几何性质例1. 求椭圆 22925225x y +=的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．应用点二 由椭圆的几何性质求方程例2（1）已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍。
椭圆的知识点总结笔记
椭圆的知识点总结笔记一、椭圆的定义椭圆可以有多种定义方式，其中最常见的一种是：设定一个固定点F1和F2，椭圆定义为平面上到这两个点F1和F2的距离之和等于一个常数2a的点的轨迹。
这两个点分别称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
另外一种定义方式是：设定一个固定点F和一条线段L，椭圆定义为平面上到这个点F距离的总和等于这条线段L的点的轨迹。
这个固定点称为椭圆的焦点，线段L称为椭圆的准线。
二、椭圆的性质1. 对称性：椭圆具有关于长轴和短轴的对称性，即椭圆关于长轴对称和关于短轴对称。
2. 离心率：椭圆的离心率e是一个常数，表示焦点F到椭圆上任意一点P的距离与点P 到准线的距离的比值。
离心率的取值范围为0到1，当e=0时，是一个圆，当e=1时，是一个双曲线。
3. 焦点：椭圆上到焦点的距离与到准线的距离相等。
4. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a和b是长轴和短轴的长度。
5. 参数表示：椭圆上的点可以用参数方程表示为x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，其中t为参数。
6. 周长和面积：椭圆的周长和面积公式分别为2πa(1-e^2)和πab。
三、椭圆的方程椭圆的一般方程为Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0，其中A、B、C、D、E为常数。
如果方程可以化为标准方程x^2/a^2+y^2/b^2=1，则表示这个方程描述的是一个椭圆。
四、椭圆的参数表示椭圆的参数表示是描述椭圆上的点的一种方式，参数方程为x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，其中t为参数。
参数t的取值范围通常是0到2π。
五、椭圆的焦点和直径1. 焦点：椭圆的焦点是椭圆的一个重要性质，它是椭圆上到焦点的距离与到准线的距离相等的点。
2. 直径：椭圆的直径是椭圆上的一个特殊直线段，它通过椭圆的中心并且与椭圆的两个端点相接。
六、椭圆的离心率椭圆的离心率e是描述椭圆形状的一个重要参数，它表示焦点到椭圆上任意一点的距离与这个点到准线的距离的比值。
知识讲解_椭圆的简单性质_提高
椭圆的简单性质【要点梳理】要点一：椭圆的简单几何性质我们根据椭圆22221x y a b+=(0)a b >>和它的图象（如图）来研究椭圆的简单几何性质．1． 对称性对于椭圆标准方程22221x y a b +=，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以椭圆22221x y a b +=是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心．2． 范围椭圆上所有的点都位于直线x =±a 和y=±b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x |≤a ，|y |≤b ． 3． 顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．②椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A 1（―a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，―b ），B 2（0，b ）．③线段A 1A 2，B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b ．a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4． 离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==． ②因为a ＞c ＞0，所以e 的取值范围是0＜e ＜1．e 越接近1，则c 就越接近a ，从而22b a c =-越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当a =b 时，c =0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x 2+y 2=a 2．要点诠释：椭圆22221x y a b+=的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）122PF PF a +=，1212||||||||PF PF e PM PM ==，2122||||a PM PM c+=； （2）12BF BF a ==，12OF OF c ==，2221A B A B a b ==+； （3）1122A F A F a c ==-，1221A F A F a c ==+，1a c PF a c -≤≤+； 要点二：椭圆标准方程中的三个量a 、b 、c 的几何意义椭圆标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a ＞b ＞0，a ＞c ＞0，且a 2=b 2+c 2．可借助下图帮助记忆：a 、b 、c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边，b 、c 为两条直角边．和a 、b 、c 有关的椭圆问题常与与焦点三角形12PF F ∆有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211sin 2PF F S PF PF F PF ∆=⋅∠相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF 、2PF 、12F F ，有关角12F PF ∠(1212F PF F BF ∠≤∠)结合起来，建立12PF PF +、12PF PF ⋅之间的关系．要点三：椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)x y a b b a+=>> 图形性质焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c 焦距2212||2()F F c c a b ==-2212||2()F F c c a b ==-范围 ||x a ≤，||y b ≤ ||x b ≤，||y a ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (,0)a ±，(0,)b ±(0,)a ±，(,0)b ±轴长轴长=2a ，短轴长=2b要点诠释：椭圆22221x y a b +=，22221y x a b+=（a ＞b ＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a ＞b＞0和(01)ce e a=<<，a 2=b 2+c 2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．要点四：直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M （x ，y ），若点M （x ，y ）在椭圆上，则有22221x y a b +=(0)a b >>；若点M （x ，y ）在椭圆内，则有22221x y a b +<(0)a b >>；若点M （x ，y ）在椭圆外，则有22221x y a b +>(0)a b >>．直线与椭圆的位置关系将直线的方程y kx b =+与椭圆的方程22221x y a b +=(0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ．①Δ＞0⇔直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0⇔直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0⇔直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦设直线y kx b =+交椭圆22221x y a b+=(0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP 12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -=，12||y y -【典型例题】类型一：椭圆的简单几何性质例1． 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程． 【解析】椭圆的长轴长为6，2cos 3OFA ∠=，所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF |=c ，||3AF a ===，233c =，所以c =2，b 2=32－22=5， 故椭圆的方程为22195x y +=或22159x y +=．【思路点拨】灵活运用椭圆的几何性质：①a 2=b 2+c 2；②长轴长2a ，短轴长2b ，进行求参数的值或求椭圆的方程．举一反三：【变式1】求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．【答案】长轴长210a =，短轴长28b =，离心率35e =，焦点12(3,0)(3,0)F F -，顶点是1(5,0)A -，2(5,0)A ，1(0,4)B -，2(0,4)B ．【变式2】长轴长等于20，离心率等于35，求椭圆的标准方程．【答案】22110064x y +=或22110064y x +=类型二：求椭圆的离心率或离心率的取值范围例2．（1 （2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率．【解析】（1）由题意得()()a c a c +-∶，即11e e +=-，解得5e =- （2）由题意得104a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得73a c =⎧⎨=⎩，故离心率37c e a ==．【思路点拨】（1）椭圆的离心率是椭圆几何性质的一个重要参数，求椭圆离心率的关键是由条件寻求a 、c 满足的关系式．（2）椭圆的离心率c b e a a ==，所以构造a 、b 、c 三者中任意两个的关系，均可求出椭圆离心率，而a 、b 、c 三者中任意两个的关系，可以通过几何图形直观观察，可构造方程或不等式得到三者关系．（3）求椭圆的离心率通常有两种方法：①若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2、b 2，求出a 、c 的值，利用公式ce a=直接求解； ②若椭圆的方程未知，则根据条件建立a 、b 、c 、e 满足的关系式，化为关于a 、c 的齐次方程，再将方程两边同除以a 的最高次幂，得到e 的方程，解方程求得e ．举一反三：【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）11..52A B C D 【答案】D【变式2】椭圆22221x y a b +=上一点到两焦点的距离分别为12d d 、，焦距为2c ，若122d c d 、、成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿【答案】12例3． 设M 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，若∠MF 1F 2=75°，∠MF 2F 1=15°，求椭圆的离心率．【解析】在△MF 1F 2中，由正弦定理得12122112||||2sin sin sin MF MF cF MF MF F MF F ==∠∠∠， 即12||||2sin90sin15sin75MF MF c==︒︒︒∴2|1||2|2sin90sin15sin75sin15sin75c MF MF a+==︒︒+︒︒+︒，∴1sin15sin 75c e a ===︒+︒ 【思路点拨】本题利用了椭圆的定义、正弦定理、等比定理、三角变换等多种知识，求出离心率e ． 举一反三：【变式1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿．1【变式2】已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA ，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为________．【解析】根据题意，|AB 2|=a 2+b 2，|BF |=a ，|AF |=a +c ，所以在Rt △ABF 中，有(a +c )2=a 2+b 2+a 2，化简得c 2+ac ―a 2=0，等式两边同除以a 2，得e 2+e ―1=0，解得e = 又∵0＜e ＜1，∴e =例4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使1223F PF π∠=，求其离心率e 的取值范围．【解析】△F 1PF 2中，已知1223F PF π∠=，|F 1F 2|=2c ，|PF 1|+|PF 2|=2a ， 由余弦定理：4c 2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cO s120° ① 又|PF 1|+|PF 2|=2a ②联立① ②得4c 2=4a 2-|PF 1||PF 2|，∴2212||||44PF PF a c =-2222222122||||()443402a PF PF a a c a a c ≤=⇒-≤⇒-≤1c e a ⇒≥≤< 【思路点拨】求离心率或离心率的范围，通常构造关于a ，b ，c 的齐次式，从而构造出关于e 的方程或不等式．举一反三：【变式】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，以a ，b ，c 为系数的关于x 的方程20ax bx c ++=无实根，求其离心率e 的取值范围．【答案】由已知，240b ac ∆=-<，所以22()40a c ac --<，即2240c ac a +->，不等式两边同除2a 可得2410e e +->，解不等式得2e <或2e ． 由椭圆的离心率(0,1)e ∈，所以所求椭圆离心率2,1)e ∈． 类型三：直线与椭圆的位置关系例6． 已知椭圆2212x y +=，求过点1122P ⎛⎫⎪⎝⎭，且被P 平分的弦所在的直线方程．【解析】解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为1122y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．代入椭圆方程，并整理得 ()()2222131222022k x kk x k k +--+-+=．由韦达定理得21222212k kx x k -+=+．∵P 是弦中点，∴121x x +=．故得12k =-．所以所求直线方程为2430x y +-=．解法二：设过1122P ⎛⎫⎪⎝⎭，的直线与椭圆交于()11A x y ，、()22B x y ，，则由题意得221122221212121211.x y x y x x y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪+=⎩①②③④，，， ①－②得2222121202x x y y -+-=． ⑤将③、④代入⑤得121212y y x x -=--，即直线的斜率为12-．所求直线方程为2430x y +-=．【思路点拨】（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．举一反三：【变式1】已知点P（4，2）是直线l被椭圆221369x y+=所截得线段的中点，求直线l的方程．【答案】x+2y－8=0【变式2】若直线1()y kx k R=+∈与椭圆2215x ym+=恒有公共点，求实数m的取值范围．【答案】15m m≥≠且。
椭圆知识点总结课件
椭圆知识点总结课件一、椭圆的定义1. 椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。
2. 椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a。
3. 椭圆是圆心在原点、长轴平行于x轴、短轴平行于y轴的椭圆。
二、椭圆的坐标方程1. 椭圆的标准方程为：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ，其中a为椭圆长轴的半径，b为椭圆短轴的半径。
2. 椭圆的焦点坐标为：F1(-c, 0)、F2(c, 0)，其中c为椭圆长轴上的焦距。
三、椭圆的性质1. 圆心：椭圆的圆心为坐标原点O(0,0)。
2. 长轴和短轴：椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
3. 焦距：椭圆的焦点之间的距离等于2a，焦距为2c。
4. 离心率：椭圆的离心率定义为e=c/a，即焦距与长轴的比值。
5. 光学性质：椭圆是一种特殊的抛物线，具有使入射平行光汇聚于一个焦点的性质。
四、椭圆的参数方程1. 椭圆的参数方程为：$x=a\cos \theta, y=b\sin \theta$ ，其中$\theta$为参数。
2. 由参数方程可得到椭圆的参数形式，可以更好地描述椭圆的轨迹。
五、椭圆的相关定理1. 椭圆上每一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
2. 椭圆的对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点具有对称性。
3. 椭圆的切线和法线：椭圆上每一点的切线与入射角的正弦值成正比。
六、椭圆的应用1. 几何应用：椭圆在几何中有着广泛的应用，如描述天体轨道、建筑设计等。
2. 工程应用：椭圆在工程中也有着重要的应用，如椭圆形的齿轮设计、水泵设计等。
3. 科学应用：椭圆在物理学、天文学等领域有着重要的应用，如描述天体运动轨迹等。
七、椭圆的历史及发展1. 椭圆的历史：椭圆的概念最早可以追溯至古希腊时代，由著名的数学家开普勒在17世纪首次提出。
2. 椭圆的发展：椭圆在历史上有着丰富的发展历程，成为了数学中的重要概念，并在科学和工程领域有着广泛的应用。
数学知识点：椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)
数学知识点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。
椭圆的性质：
1、顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。
2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。
3、焦点：F1（-c，0），F2（c，0）。
4、焦距：。
5、离心率：；
离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近0，从而b 就越大，椭圆就越圆；
6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。
利用椭圆的几何性质解题：
利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。
椭圆中求最值的方法：
求最值有两种方法：
(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理．此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。
(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．
椭圆中离心率的求法：
在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式,高考物理，从而求离心率或离心率的取值范围．。
椭圆的几何性质课件
13:20:35
21
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:20:35
22
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
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23
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
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24
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:20:35
3.椭圆中a,b,c的关系是:
13:20:34
c2 a2 b2
1
一、椭圆的范围
由
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
1
和
y2 b2
1
即 x a和 y b
y
y=b
-a≤x≤a , -b≤y≤b x =-a
由
x =a
o
x
y = -b
13:20:34
3
二、椭圆的对称性 y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点？ y
B2 (0,b)
A1
y2
2
b
=1
13:20:36
51
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13:20:36
52
y
· · F1
o F2
椭圆知识点性质大全
椭圆知识点性质大全椭圆是数学中的一个重要概念，具有丰富的性质和应用。
下面是关于椭圆的知识点性质的详细介绍：1.定义：椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，常数称为离心率。
2.基本元素：椭圆由两个焦点和连接两个焦点的线段组成。
以及连接焦点和椭圆上任意一点的线段，这条线段称为半径。
3.中心：椭圆的两个焦点的中点称为椭圆的中心，位于椭圆的对称轴上。
4.对称轴：椭圆上与两个焦点的连线垂直的直线称为椭圆的对称轴。
对称轴上的中心对称的两个点称为对称点。
5.长轴：椭圆的两个焦点所在的直线称为椭圆的长轴，长轴的长度称为椭圆的长轴长度。
6.短轴：椭圆的长轴的中垂线称为椭圆的短轴，短轴的长度称为椭圆的短轴长度。
7.半焦距：椭圆的长轴长度的一半称为椭圆的半焦距，半焦距与离心率之间存在关系。
8.离心率：椭圆的离心率是一个正实数，表示离心率与半焦距的比值。
离心率小于1时，椭圆为椭圆体；离心率等于1时，椭圆为抛物线；离心率大于1时，椭圆为双曲线。
9.焦点定理：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
10.顶点定理：椭圆上的任意一点到离它最近的直线的距离等于椭圆的离心率与该点到两个焦点的距离之差的绝对值。
11.弦的性质：椭圆上任意两个焦点之间的直线称为弦。
椭圆上任意一点到两个焦点的连线与该点的切线所围成的角等于椭圆上该点与焦点所在的主半径所围成的角。
12.切线的性质：椭圆上任意一点的切线与焦点连线的夹角等于椭圆上该点与焦点所在的主半径的夹角。
13.弦愈的结论：椭圆上通过两个焦点且长度相等的弦所对的两条弦是相等的。
14.垂线的性质：椭圆上任意一点的垂线与两个焦点所在直线的夹角等于该点与两个焦点所在的主半径的夹角。
15.渐屈线性质：椭圆上任意一点到两个焦点所连的线段与该点的切线所围成的角是一个常数，称为渐屈线角。
渐屈线角的大小与离心率有关。
16.椭圆的参数方程：椭圆的参数方程是描述椭圆上的点坐标的方程，通常用参数t表示角度。
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椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点 P 到两个定点 F 1、 F 2 的距离之和等于常数( PF 1 + PF 2 = 2a > F 1 F 2 ) ,这个动点 P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若 PF 1 + PF 2 = F 1 F 2 ，则动点 P 的轨迹为线段 F 1F 2 ；若 PF 1 + PF 2 < F 1F 2 ，则动点 P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的简单几何性质x 2 + y 2y 2 x 2椭圆： a 2 b 2 = 1 (a > b > 0) 与a 2 +b 2= 1 (a > b > 0) 的简单几何性质F 1F 2 = 2c F 1F 2 = 2c x ≤ a ， y ≤ bx ≤ b ， y ≤ aA 1 F 1 = A 2 F 2= a - c ； A 1 F 2 = A 2 F 1 = a + c ； a - c ≤ PF 1 ≤ a + c ；e = c(0 < e < 1)a离心率长轴长= 2a ，短轴长= 2b 长半轴长= a ，短半轴长= b （注意看清题目）轴长(0,±a ) ， (±b ,0)(±a ,0) ， (0,±b ) 顶点关于 x 轴、 y 轴和原点对称对称性 范围 焦距 F 1 (0,-c ) ， F 2 (0, c ) F 1 (-c ,0) ， F 2 (c ,0) 焦点性质图形(a > b > 0) 1 2 2+ = y x a 2 b2 1 (a > b > 0) x 2 + y 2 =a 2b 2标准方程注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等知识点三：椭圆相关计算1.椭圆标准方程中的三个量a, b, c 的几何意义a 2=b2+c 22. 通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长2b 2a焦点弦：椭圆过焦点的弦。
椭圆几何性质知识点总结
椭圆几何性质知识点总结1. 椭圆的定义椭圆的定义是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
即PF1+PF2=2a。
其中F1和F2称为焦点，2a称为长轴长度。
椭圆的对称轴是通过两个焦点的连接线，称为长轴。
椭圆的短轴是垂直于长轴，并且过椭圆中心的直线。
2. 椭圆的焦点和离心率椭圆的焦点是椭圆的特殊点，它决定了椭圆的形状和大小。
椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴长度a的比值。
离心率的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一个圆，当e=1时，椭圆退化为一条直线。
3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标。
一般来说，椭圆的参数方程可以写成x=acos(t)，y=bsin(t)。
其中(a,b)是椭圆的长短轴长度，t是参数。
4. 椭圆的直角坐标方程椭圆的直角坐标方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆的中心点坐标。
5. 椭圆的几何性质椭圆具有许多重要的几何性质，例如：a. 椭圆的焦点性质：任意点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
b. 椭圆的直径定理：椭圆的任意直径的长度都等于椭圆的长轴长度。
c. 椭圆的对称性：椭圆具有关于两个坐标轴的对称性。
d. 椭圆的切线性质：椭圆上的任意一点处的切线与两个焦点到该点的连线的夹角相等。
6. 椭圆的面积和周长椭圆的面积可以表示为S=πab，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
椭圆的周长可以表示为C=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分。
7. 椭圆的方程类型椭圆的方程可以分为标准方程和一般方程两种类型。
标准方程是指椭圆的中心点在坐标原点的方程形式，一般方程是指椭圆的中心点不在坐标原点的方程形式。
8. 椭圆的相关问题在实际问题中，椭圆经常出现在各种应用中，例如天体运动、工程设计等。
因此，研究椭圆的相关问题对于理论研究和应用都具有重要意义。
椭圆的性质
椭圆的性质1、定义：（1） 性质一：椭圆上任意一点P 到两焦点1F 、2F 的距离之和为定值a 2，即a PF PF 221=+.（2） 性质二：椭圆12222=+b y a x 上任意一点P 到右焦点)0,(c F 的距离与它到右准线ca x l 2:=的距离之比为定值ac e =；椭圆12222=+b y a x 上任意一点P 到左焦点)0,(c F -的距离与它到左准线c a x l 2:-=的距离之比为定值ac e =. （3） 性质三：已知A 、B 为椭圆12222=+by a x 的左右顶点，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，则1222-=-=⋅e ab k k PB PA . 2、焦点三角形：（1） 定义：以椭圆上一点P 和焦点21,F F 为顶点的三角形叫做椭圆的焦点三角形.（2） 周长：椭圆的焦点三角形的周长为c a 22+.（3） 面积：2tan sin 2122121θθb PF PF S F PF ==∆（21PF F ∠=θ）. 3、弦长公式： 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与直线b kx y +=相交于),(),,(2211y x B y x A 两点，则弦长212212)()(y y x x AB -+-=2122124)(1x x x x k -+⋅+=2122124)(11y y y y k-+⋅+=. 4、焦半径、焦点弦长公式：（1）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任意一点),(00y x P 到左焦点1F 的距离01ex a PF +=，到右焦点2F 的距离02ex a PF -=（左加右减）.过左焦点1F 的焦点弦长)(2B A x x e a AB ++=，过右焦点2F 的焦点弦长)(2B A x x e a AB +-=.椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 上任意一点),(00y x P 到下焦点1F 的距离01ex a PF +=，到上焦点2F 的距离02ex a PF -=（下加上减）.过下焦点1F 的焦点弦长)(2B A x x e a AB ++=，过上焦点2F 的焦点弦长)(2B A x x e a AB +-=.（2） 已知过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点1F ，且倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 交于B A ,两点（A 在x 轴上方），则① θcos 21c a b AF -=，θcos 21c a b BF +=， ② 焦点弦长θ2222cos 2c a ab AB -=， ③ 211211ba BF AF =+. （3）设P 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上任意一点，F 为一个焦点，θ=∠PFO ，则.cos 2θc a b PF -= 5、通径长公式：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做通经.椭圆的通经长为ab 22. 6、斜率积问题：① 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，B A ,为左右顶点，P 是椭圆上异于B A ,的任意一点，则1222-=-=⋅e ab k k PB PA . ② 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，AB 为椭圆经过原点的一条弦，P 是椭圆上异于B A ,的任意一点，若PA k 和PB k 都存在，则1222-=-=⋅e ab k k PB PA .③ 中点弦性质：已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，AB 为椭圆的一条不经过原点且不与坐标轴平行的弦，P 是弦AB 的中点，则1222-=-=⋅e ab k k OP AB . ④ 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，l 为椭圆的一条切线，P 为切点，若l k 和OP k 都存在，则1222-=-=⋅e ab k k OP l . 7、切线方程：（1）过椭圆12222=+b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+by y a x x . （2）过椭圆12222=+b y a x 外一点),(00y x P 做椭圆的两条切线，则切点弦所在直线方程为12020=+b y y a x x .。
(完整版)椭圆的性质及判定归纳
(完整版)椭圆的性质及判定归纳1. 背景介绍椭圆是几何学中的一种重要的二次曲线，具有独特的性质和形式。
在实际应用中，我们经常需要理解和判定一个曲线是否为椭圆，因此有必要深入了解椭圆的性质及其判定方法。
2. 椭圆的定义在平面解析几何中，椭圆是指到两个给定点的距离之和等于定值的所有点的集合。
这两个点称为椭圆的焦点，定值称为椭圆的长轴。
3. 椭圆的性质椭圆具有以下几个基本的性质：3.1 长轴和短轴椭圆的长轴是通过焦点且垂直于短轴的线段，是椭圆的最长直径。
而短轴是通过焦点且垂直于长轴的线段，是椭圆的最短直径。
3.2 焦点和准线椭圆的焦点是确定椭圆的两个点，修改这两个点的位置可以改变椭圆的形状和大小。
准线是垂直于长轴且通过焦点的直线。
3.3 离心率椭圆的离心率定义为焦点到准线的距离与长轴的比值。
离心率的值在0到1之间，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形。
3.4 对称性椭圆具有两种对称性：关于长轴的对称性和关于短轴的对称性。
通过这两种对称性，我们可以更好地理解和分析椭圆的性质。
4. 椭圆的判定方法在解决实际问题中，我们常常需要判断一个曲线是否为椭圆。
以下是几种常用的判定方法：4.1 椭圆方程椭圆方程是判定一个曲线是否为椭圆的主要方法之一。
一般而言，椭圆的方程形式为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中h、k为椭圆的中心坐标，a、b分别为长轴和短轴的长度。
通过将曲线的方程与椭圆方程进行对比，我们可以确定该曲线是否为椭圆。
4.2 轴积性质椭圆具有轴积性质，即椭圆的长轴与短轴的乘积等于焦点到准线的距离与长轴的乘积。
通过计算曲线的焦点到准线的距离与长轴的乘积，我们可以判断该曲线是否满足轴积性质，从而确定是否为椭圆。
4.3 椭圆的图形特征椭圆的图形特征也可以用来判定是否为椭圆。
椭圆具有规则的椭圆形状，不会存在异常的伸缩或扭曲情况。
通过观察图形特征，我们可以直观地判断一个曲线是否为椭圆。
椭圆的简单几何性质 课件
据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即 c＋ 3c＝所2以a，
c＝ 3－1. a
所以椭圆的离心率为 e＝ 3－1.
【方法技巧】求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a,c可直接利用 e 求c解.若已知a,b或b,c
a
可借助于a2=b2+c2求出c或a，再代入公式e c 求解.
的距离为 1 |OF1|，则椭圆的离心率为( )
2
A. 1
B. 3 1
C. 2
D. 2 1
3
2
(3)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直
线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心
率.
【解题探究】1.题(1)由条件 3DF1 DA能得2D到F2什么结 论？ 2.题(2)求解离心率的关键是什么？ 3.题(3)当椭圆中涉及其他平面几何图形时，一般要注意什 么？
所以|AF1|= 3c,
所以2a=|AF1|+|AF2|= 3 1 c,
所以 e 3 1.
(3)不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为 AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以 在Rt△AF1F2中，∠AF2F1=30°,令|AF1| =x,则|AF2|=2x, 所以 F1F2 AF2 2 AF1 2 3x 2c, 再由椭圆的定义，可知|AF1|+|AF2|=2a=3x, 所以 e 2c 3x 3 .
【探究提示】1.将向量的等量关系转化为坐标间的关系，取
D(0，b)得3(-c,-b)=(-a,-b)+2(c,-b). 2.由题意求a,c的值或构造a,c的关系式，求 的c 值.
a
3.当椭圆中涉及其他平面几何图形时，注意利用平面图形的几
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椭圆的性质【学习目标】1.掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质.2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题. 【要点梳理】要点一、椭圆的简单几何性质我们根据椭圆12222=+by a x )0(>>b a 来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a ，|y|≤b. 椭圆的对称性对于椭圆标准方程22221x y a b +=，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以椭圆22221x y a b+=是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A 1（―a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，―b ），B 2（0，b ）。
③线段A 1A 2，B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==。
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。
e越接近1，则c就越接近a，从而22b a c=-越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
要点诠释：椭圆12222=+byax的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）122PF PF a+=，1212||||||||PF PFePM PM==，2122||||aPM PMc+=；（2）12BF BF a==，12OF OF c==，2221A B A B a b==+；（3）1122A F A F a c==-,1221A F A F a c==+，caPFca+≤≤-1；要点二、椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下图帮助记忆：a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形21FPF∆有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211sin2PF FS PF PF F PF∆=⋅∠相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF、2PF、12F F，有关角21PFF∠(1212F PF F BF∠≤∠)结合起来，建立12PF PF+、12PF PF⋅之间的关系.要点三、椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)x y a b b a+=>> 图形性质焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c焦距 2212||2()F F c c a b ==-2212||2()F F c c a b ==-范围||x a ≤，||y b ≤||x b ≤，||y a ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (,0)a ±，(0,)b ± (0,)a ±，(,0)b ±轴长轴长=a 2，短轴长=2b离心率(01)ce e a=<<要点诠释：椭圆22221x y a b +=，22221y x a b+=（a ＞b ＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a ＞b ＞0和(01)ce e a=<<，a 2=b 2+c 2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
要点四、直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M （x,y ），若点M （x,y ）在椭圆上，则有22221x y a b+=(0)a b >>；若点M （x,y ）在椭圆内，则有22221x y a b +<(0)a b >>；若点M （x,y ）在椭圆外，则有22221x y a b+>(0)a b >>.直线与椭圆的位置关系将直线的方程y kx b =+与椭圆的方程22221x y a b+=(0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.①Δ＞0⇔直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0⇔直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0⇔直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦设直线y kx b =+交椭圆22221x y a b+=(0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -【典型例题】类型一：椭圆的简单几何性质例1.求椭圆221259x y +=的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆. 【解析】根据椭圆的标准方程221259x y +=，得5,3,4a b c ===因此，长轴长210a =，短轴长26b = ∴离心率40.85c e a ===， 焦点为F 1（―4，0）和F 2（4，0），顶点为A 1（―5，0），A 2（5，0），B 1（0，―3），B 2（0，3）。
将方程变形为23255y x =±-（―5≤x≤5），根据23255y x =-（－5≤x≤5）可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标（x ，y ），列表如下：x 0 1 2 3 4 5 y32.942.752.41.8先描点画出第一象限的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆（如图2-2-9）。
【总结升华】 由已知方程可确定椭圆在四条直线x=±5，y=±3所围成的矩形框内，以两坐标轴为对称轴，原点为对称中心，所以只需画出椭圆在第一象限的图形，就可画出椭圆。
举一反三：【变式1】椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离=____. 【答案】7【高清课堂：椭圆的性质 例1】【变式2】求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 【答案】椭圆的长轴和短轴长分别是210,28a b ==，离心率35e =，焦点12(3,0)(3,0)F F -，椭圆的四个顶点是1212(5,0),(5,0),(0,4),(0,4)A A B B --例2. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程。
【解析】 椭圆的长轴长为6，2cos 3OFA ∠=，所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|=c ，2222||||||3AF OA OF b c a =+=+==，233c =，所以c=2，b 2=32－22=5，故椭圆的方程为22195x y +=或22159x y +=。
【总结升华】 灵活运用椭圆的几何性质：①a 2=b 2+c 2；②长轴长2a ，短轴长2b ，进行求参数的值或求椭圆的方程.举一反三：【变式1】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为______【答案】221168x y +=。
【变式2】长轴长等于20，离心率等于35，求椭圆的标准方程。
【答案】22110064x y +=或22110064y x += 类型二：求椭圆的离心率或离心率的取值范围例3.（1 （2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。
【解析】 （1）由题意得()()a c a c +-=∶即11e e +=-解得5e =-。
（2）由题意得104a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得73a c =⎧⎨=⎩，故离心率37c e a ==。
【总结升华】 椭圆的离心率是椭圆几何性质的一个重要参数，求椭圆离心率的关键是由条件寻求a 、c 满足的关系式。
举一反三：【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）11..5432A B C D 【答案】D【变式2】椭圆22221x y a b+=上一点到两焦点的距离分别为12d d 、，焦距为2c ，若122d c d 、、成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿【答案】12例4. （2015 江西二模）椭圆22221(a b 0)x y a b+=>>的两顶点为A （a ,0），B(0,b ),且左焦点为F ，FAB∆是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为（ ）A.B. C. D. 【答案】C【思路点拨】先求出F 的坐标，然后求出直线AB 和BF 的斜率，由两直线垂直可知两斜率相乘得-1，进而求得a 和c 的关系式，进而求得e .【解析】依题意可知点F （-c,0）, 直线AB 斜率为00b b a a -=--，直线BF 的斜率为00b bc c-=-- 090FBA ∠=Q ，222()1b b b a c a c ac ac-∴-⋅=-=-=-整理得220,c ac a +-=即2()10,c ca a+-=即210e e +-=解得e =或e =01e <<Q12e ∴=，故选C 【总结升华】 本题利用了椭圆的性质、两直线垂直斜率之积等于-1等知识。
要特别注意的是椭圆的离心率小于1.举一反三：【变式】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿。