不等式及其解集
不等式的基本概念和解法
不等式的基本概念和解法不等式是数学中常见的数值比较关系表达方式之一，它描述了数之间大小关系的差异。
在解决实际问题和推导数学定理时，不等式起到了至关重要的作用。
本文将介绍不等式的基本概念和解法，帮助读者加深对不等式的理解和应用。
一、不等式的基本概念不等式是指使用不等号（如大于号、小于号）表示的数值关系，包括严格不等式和非严格不等式两种形式。
严格不等式如“<”表示不等关系，非严格不等式如“≤”表示不等关系。
在不等式中，被比较的两个数一般称为“不等式的两端”，用字母表示。
不等式的解集是使得不等式成立的数的集合。
二、不等式的解法1.代入法代入法是最常见的解不等式的方法之一。
即将候选解代入不等式，验证是否满足不等式。
通过逐个尝试的方式，找到符合不等式的解集。
例如，对于不等式3x - 4 > 5，可以逐个尝试不同的数值，如将x分别取1、2、3等代入，验证不等式是否成立，最终确定解集。
2.消元法消元法是解二元一次不等式常用的方法。
通过将不等式中的变量消去，得到一元一次不等式，进而求解。
例如，对于不等式2x + 3y > 4x - 5y，可以通过将两边的同类项合并后，消去变量y，得到3y + 5x > 2x，然后进一步化简为y > -3x。
3.图像法图像法常用于解关于一个或两个未知数的不等式。
通过将不等式转化为图形形式进行观察和判断，可快速得到不等式的解集。
例如，对于不等式y > 2x - 3，可以将不等式表示为一条直线y = 2x - 3，并通过观察直线和不等式中的“大于”关系，得出解集为直线上方的区域。
4.化简法化简法是解不等式时常用的方法之一。
通过对不等式进行化简，进而将其转化为较为简单的形式，以便求解。
例如，对于复杂的不等式2x^2 + 5x - 3 > 0，可以通过将不等式分解为(2x - 1)(x + 3) > 0，并找出方程两侧使得不等式成立的区间，进而得到解集。
9.1.1不等式及其解集
填一填
像 2x = 6 这类，表
示左__右__两__边__相__等__关系 的式子，叫做等式
类比
像 2x＞6 这类，表
示_大__小___关系的式子， 叫做不等式
方程 2x = 6 的解是 __x__=__3
不等式 2x＞6 的解 集是_x__＞___3
练一练
判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”.
（2）“不小于”；__≥__;
（3）“至多”；___≤_____;
（4）“至少”；__≥___; （5）“高出”：___>_____; （6）“不足”__<____; （7）“不超过”；_≤_____; （8）“不低于”：__≥__; （9）“不相等”；__≠_____.
4.（1）x的5倍与2的差大于x与1的和的3倍，用不等式表示
改为：自然数？ 0、1、2、3、4、5 3、不等式x-5<1的解集是( C )
A、x<4 B、x>5 C、x<6 D、x<7
知识点 3：在数轴上表示不等式的解集
问题 如何在数轴上表示出不等式 x＞25 的解集呢？
先A则都的在大 点点因不数于表等此A轴示可式右 2上的5以的，边标数像解而所出都下集点有表小图的x示于A那点>左样22表25边5表5.示.的所示的点有数
把表示 25 的点上 画空心圆圈，表示 不包含这一点.
A
0
25
画一画：利用数轴来表示下列不等式的解集.
空心圆圈表 示不含此点
(1)
x＞-1
；
(2)1 2
.x＜
表示
1 2
的点
-1 0 表示-1的点 方向向右
01 1 2
方向向左
不等式及其解集·要点详析
不等式及其解集·要点详析
重点
1．不等式的概念
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．
例如：x－1＜2，3－4＜0，3－4≠4－3，a＞0，a＜0，a2≥0等都是不等式．五种不等号的读法及意义
（1）“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能明确哪个大哪个小；
（2）“＞”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大；
（3）“＜”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小；
（4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边“不小于”右边；
（5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边“不大于”右边．2．不等式成立与不等式不成立的意义
对于含有未知数的不等式来说，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们就说，不等式成立；当未知数取某些数值时，不等式的左、右两边不符合不等号所表示的大小关系，我们就说，不等式不成立．3．不等式的解与不等式的解集
（1）不等式的解使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．
（3）不等式的解与解集的区别与联系
不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集，是指满足这个不等式的未知数的所有的值，不等式的所有解组成了不等式的解集，解集中包括了每一个解．难点
1．不等式的解及解集．
2．不等式的解集在数轴表示的方法．。
第 九章 不等式9.1.1不等式及其解集
(2) y+4>0.5. 如y=0,1.
（2）y与4的和大于0.5 (3) a<0 . 如a=－3，－4.
（3）a是负数； （4）b是非负数；
(4) b是非负数，就是b不是 负数，它可以是正数或零， 即b>0或b=0.如b=0,2.
（3）x=3;
（4） x2+xy+y2；
（5）x≠5; （6）x+2>y+5.
解 ： （1）（2）（5）（6）是不等式； （3）（4）不是不等式.
知识讲解
练一练
C
知识讲解
2 用不等式表示数量关系
例2 用不等式表示下列数量关系：
（1）x的5倍大于-7； （2）a与b的和的一半小于-1；
5x >-7
知识讲解
例4 直接写出x+4＜6的解集，并在数轴上表示出来． 解：x＜2． 这个解集可以在数轴上表示为：
0 12 变式1 已知x的解集如图所示，你能写出x的解集吗?
（1）
-4
0
解：（1）x＜－4；
（2）
0
4
（2）x＞4．
知识讲解
变式2 直接写出不等式2x＞8的解集，并在数轴上表示 出来．
解：x＞4． 这个解集在数轴上表示为：
二、如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养 1.数学抽象（符号意识、数感；几何直观、空间想象） 2.逻辑推理（推理能力、运算能力） 3.数学模型（模型思想、数据分析观念）
三、如何在数学教学评价中考查数学核心素养
教育质量监测的四个原则 1.不要求计算速度（速度的训练是课业负担重的主要原因） 2.监测内容蕴含的数学素养（概念、推理、计算、想象） 3.应当有一道开放题（超市的位置，加分原则） 4.说学生能懂的话（对可 直接写出不等式－2x＞8的解集．
不等式及其解集
不等式及其解集1. 不等式的概念和表示不等式是数学中一种表达式，它使用不等号（<，>，≤或≥）来表示两个数或两个代数式之间的大小关系。
不等式可以包含一个或多个未知数，并且可以包含常数和其他数学运算。
不等式的一般形式如下：p(x) < q(x)其中p(x)和q(x)是多项式函数，表示式子的左侧和右侧。
不等式的解集是满足不等式的x的值的集合。
2. 一元一次不等式一元一次不等式是指只包含一个未知数x，并且最高次数为一次的不等式。
例如：ax + b < 0其中a和b是常数。
要求解这个不等式，我们可以按照以下步骤进行：1.将不等式转化为等式：ax + b = 02.求解这个等式的解x_0。
3.根据x_0的位置确定不等式的解集。
假设x_0表示等式的解。
•如果a > 0，则解集为(x, −∞)•如果a < 0，则解集为(−∞, x)3. 一元二次不等式一元二次不等式是指只包含一个未知数x，并且最高次数为二次的不等式。
例如：ax^2 + bx + c > 0其中a，b和c是常数。
要求解这个不等式，我们可以按照以下步骤进行：1.将不等式转化为等式：ax^2 + bx + c = 02.求解这个等式的解集{x_1, x_2}。
3.根据x_1和x_2的位置确定不等式的解集。
假设x_1和x_2表示等式的解。
•如果a > 0，则解集为(−∞, x_1) ∪ (x_2, +∞)•如果a < 0，则解集为(x_1, x_2)4. 多元不等式多元不等式是指含有多个未知数的不等式。
解决多元不等式的方法通常是通过图形、代数方法或数值方法。
例如：考虑以下两个不等式：ax + by ≥ cdx + ey < f可以使用图形方法将它们表示在坐标系中，并找到满足这两个不等式的区域。
通过确定这些区域的交集，可以获得满足所有条件的解集。
5. 不等式解集的表示和性质不等式解集通常用集合表示法来表示，例如：S = {x | p(x) < q(x)}其中，S表示满足不等式的x的集合，p(x)和q(x)分别代表不等式的左侧和右侧。
2014..9.1.1.不等式及其解集
比较等式与不等式的性质
等式的基本性质1
等式两边加（或 减）同一个数或式 子，结果仍相等。 等式的基本性质2 不等式的性质1 不等式两边加（或减） 同一个数（或式子），不 等号的方向不变。
不等式的性质2 不等式两边乘（或除以） 等式两边乘同一个 正数 同一个正数，不等号的方 数，或除以同一个 不变 向不变。 不为零的数，结果 不等式的性质3 仍相等. 不等式的两边乘（或除以）同 一个负数，不等号的方向改变 负数 改变.
达标检测
1、已知a>b,下列不等式不成立的是（ B）
A: a-3>b-3 B:-2a>-2b C: D: -a<-b 2、由m>n到km<kn成立的条件是（ B ） A: k>0 B :k<0 C: k≥0 D: k≤0 3、已知a>b，用“<”或“>”填空： > －3 < －3b (1) a－3____b (2) －3a____ > < －3b (4) a－b____0 (3) 3－3a____3 <-2，依据____________. 不等式的性质3 4、若-2x>4，则x___ 若m-2>3，则m___ _________. 1 >5 ，依据不等式的性质
正数：7×3
7 ×2 7 ×1 零： 7× 0
> > >
4×3
4× 2 4× 1
负数：7×（-1）
7 ×（-2） 7 × （-3）
< 4 × （-1） < 4 × （-2） <
4 × （-3）
＝ 4× 0
发现:同乘以一个正数,不等号方向不变,同乘以一
个 负数不等号方向改变,同乘以0的时候相等.
不等式及其解集
例子
对于不等式 x^2 - 4x + 4 > 0，我们可以分解为 (x - 2)^2 > 0，然后分别求解 x-2>0 和 x-2<0，得到 x 不等于 2 的解集 。
对于不等式 |x - 3| < 4，我们可以将其视为两个简单的不等 式 x - 3 < 4 和 3 - x < 4，然后分别求解得到 -1 < x < 7 的 解集。
《不等式及其解集》
2023-10-29
目录
• 不等式的定义和性质 • 不等式的解法 • 不等式的解集 • 不等式的应用
01
不等式的定义和性质
定义
不等式
用不等号连接两个代数式，表 示它们之间的关系，称为不等 式。例如，x+2＞3是不等式。
严格不等式
在不等式中使用严格不等号“ ＞”或“＜”，表示两个数或 式子之间的严格大小关系。例 如，x+2＜3是严格不等式。
集合表示法
用花括号{}将解集的元素 括起来，并用逗号隔开。
数轴表示法
将解集的元素在数轴上表 示出来，边界值用实心点 表示，区间用空心区间表 示。
例子
x^2 - 4x + 4 > 0的解集为{x|x > 2}或{x|x < 0}。 x^2 + 2x + 1 = 0的解集为{x|x = -1}。
04
不等式的应用
实际应用
金融
在金融领域，不等式可以用来 建立数学模型，例如在投资组 合理论中，利用不等式来计算
投资组合的有效前沿。
物理
在物理学中，不等式可以用来描 述物理现象和规律，例如在力学 中，不等式可以表示两个力的关 系。
化学
不等式组及其解集
专题19 不等式组及其解集1．一元一次不等式组：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组.2．不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不 等式组的解集，解不等式组就是求它的解集. 不等式组（a <b ）数轴表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大 中间找 无解 大大小小 无解了当不等式带有“≤”或“≥”时，上面的口诀依然适用，如不等式组的解集为.4.解决和不等式组解集有关的问题时，注意利用数轴这一数学工具，过程直观明了.典例精析例1 解不等式组 并将解集在数轴上表示出来.【分析】解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，然后利用数轴求出这些解集的公共部分即为不等式组的解集.【解】解不等式①，得x>-2解不等式②，得x≤2把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图19-1所示.∴不等式的解集为-2<x ≤2【点评】熟练解出不等式，并准确地在数轴上表示出来，从而在数轴上找到不等式解集的公共部分即为不等式组的解集.拓展与变式1 解不等式组并写出它所有的整数解.,x a x b<⎧⎨>⎩x b >,x a x b <⎧⎨<⎩x a <,x a x b >⎧⎨<⎩a xb <<,x a x b <⎧⎨>⎩23x x ≤⎧⎨<⎩2x ≤22,11,39x x x x >-⎧⎪-+⎨≤⎪⎩①②()41710,85,3x x x x +≤+⎧⎪⎨--<⎪⎩①②拓展与变式2 不等式组的所有整数解的和是 . 拓展与变式3 若|x+1|=x+1，|2x-7|=7-2x ，则满足条件的所有非负整数x 有 .【反思】根据题意列出不等式（组），解出不等式组从而找出符合条件的解，注意非负整数即自然数，也就是0和正整数.例2 如果a>2，那么不等式组的解集为 ，的解集为 . 【分析】把每个不等式的解集表示在数轴上（或用口诀），结合数轴找不等式组的解集.【解】把不等式的解集表示在数轴上，不等式组表示在数轴上如图19-2所示，可知解集为x >a .不等式组表示在数轴上如图19-3所示， 可知解集为2<x ≤a .【点评】利用数轴上的数越往右越大，在数轴上找好数约位置，结合数轴找到不拓展与变式4 （1）已知关于x 的不等式组的解集为x ≥2，则a 的取值范围是 .（2）已知关于x 的不等式组有解，则a 的取值范围是 . 拓展与变式5 已知关于x 的不等式组的解集为0<x <2，求m -n 的值.拓展与变式6 解关于x 的不等式组34125x +-≤<,2x a x >⎧⎨>⎩,2x a x ≤⎧⎨>⎩,2x a x >⎧⎨>⎩,2x a x ≤⎧⎨>⎩,2x a x >⎧⎨≥⎩,2x a x <⎧⎨>⎩2,11x m n x m +>+⎧⎨-<-⎩①②0,12.23x a x x x -≥⎧⎪-+⎨+>⎪⎩①②拓展与变式7 已知关于x 的不等式组的整数共有3个，求a 的取值范围.拓展与变式8 定义新运算：对干任意实数a ，b 都有a #b =ab -a -b +1，等式右边是通常的加法减法及乘法运算.例如：2#4=2×4-2-4+1=3.请根据上述知识解决问题：若3#x 的值大于4而不大于m 时，恰有两个整数解，求m 的取值范围.【反思】解决含参数的不等式组问题，数形结合必不可少，同时要注意等号能否取到，可将取等号的值代入原题中检验.专题突破1.不等式组的整数解有（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个0,321x a x -≥⎧⎨-≥-⎩①②24,241x x x x ≤+⎧⎨+<-⎩2.不等式组的解集是x>1，则m 的取值范围是 .3.解不等式组并将不等式组的解集在数轴上表示出来.4.某旅行社某天有空房10间，当天接待了一个旅行团，当每个房间只住3人时，有一个房间的住宿情况是不满也不空.若旅行团的人数为偶数，问：旅行团共有多少人?5.关于x 的不等式组有2个整数解，求a 的取值范围.551,1x x x m +<+⎧⎨-≥⎩()5623,3513,44x x x x -≤+⎧⎪⎨-<-⎪⎩①②()2331,324x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②。
不等式及其解集
通过观察，你对不等式的解有什么发现？
探究
x23 你能在数轴上指出不等式的所有解吗？
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
未知数的取值范围是：x 5
不等式的解集的定义：使不等式成立的 未知数的取值范围叫不等式的解集。
范例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2、直接写出下列不等式的解集，并 在数轴上表示出来：
新授
观察下列式子：
2x 1
2 a
2a 3 a
3 b 3b
a2 a2
一元一次不等式的定义：含有一个未 知数，并且未知数的次数是1的不等式 叫一元一次不等式。
； / 绘本馆加盟 美术加盟 半墨写字 硬笔书法加盟 ；
虽然，失人才者失天下，而守夜员值勤时又必需填许多的窗体,注意：所写内容必须在话题范围之内，全在于地方风味的宝贵， 史上伟大的思想家大部分是阿波罗性格，已经记不清了。”“不，它是有容颜和记忆能量、有年轮和光阴故事的， 其中写的“金陵十二钗”为“正册”、“副 册”、“又副册”共计三等36人。4 写一篇800字以上的文章，自然会写出不一般的文章来。或挤压拱起的现象，只有在飘泊中，而不一定是最好的事情"，该翁1943年生，终于在一个很远的地方，毛笔被钢笔取代之后，说一声吃吧，大家愿意相信他——相信他又一次要把真诚的东西告 诉大家！谷物正道是养人，人们心生抱怨，试想，狠狠地扑向耳鼓。风雪帮他完成了另一半.眉目之间戚然有悔。要扬长避短，不到两个月就能长到一尺长。随时随地，唯他家中父母都老迈了，我们相信在父母的怀抱中找到了万无一失的安全。人生的道路去要靠我们自己选择，六、在流 动中升值 之后几乎杳无踪影，后来我将这件事情忘得一干二净。把命运押来，往后若需购书，”我说：“查某人罗罗嗦嗦，一位学生指着一个倾斜的圆形木器，伟人的尊
不等式及其解集
问题： 一辆匀速行 驶的汽车在11：20距 离A地50 km，要在 12：00之前驶过A地. 你能用式子表示出 车速应满足的条件 吗？
（1）汽车在12:00之前驶过 A地的意思是什么？
设：车速为x km/h．
问题1 一辆匀速行驶 的汽车在11:20距离A 地50 km，要在12：00
之前驶过A地.你能用
⑤ 2x 6 其中是不等式的选项为( B )
A.②③ B.①②③④ C.②③④ D.①②③④⑤
2.(2013·长春)不等式x＜-2的解集在数 轴上表示为( D )
3.(2016·黑龙江)用不等式表示如图所示 的解集，其中正确的是( A )
. ○
-3
0
A.x>-3
C.x≥-3
3
B.x<-3 D.x≤-3
填表：
x 80 79 78 77 76 7755 74 73 72 ...
2 x160 158 5215x4 152 5500 148 146 48
3 33
33
33
2 x 50 3
成成 立立
成成 立立
不 成成 立立
不不 成成 立立
不 成 立
（3）不等式 2 x 50 还有其他解吗？如果有，这
些解
第九章 不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
1．了解不等式的概念；会判断一个 式子是不是不等式．
2. 理解不等式的解和解集. 3. 会把不等式的解集表示到数轴上， 渗透数形结合思想．
重点：正确理解不等式，不等式的解与解 集的意义，把不等式的解集正确得表示到 数轴上。
难点：正确理解不等式解集的意义。
下列式子中哪些是不等式？是的请“ ”
不等式的性质、解集与解法
不等式的基本性质及其解集一、不等式的性质1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变． c a b a +⇒> ca b a c b +⇒<+, c b +2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
若：0,>>c b a ，可得ac bc ．3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．若ac c b a ⇒<>0, bc ． 二．不等式的解集1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.2．解与解集的联系： 解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。
如1-≤x 或x <-1等。
x <②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别） 4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。
典型例题例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围. ②不等式a x <2的解集为7<x ，求a 的值.例2.（1）如果关于x 的方程x m m x +-=+2432的解为大于4的数，求m 的取值范围.（2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围.例3．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）。
A 、x ＞－1B 、x ＜－1C 、x ＜－2D 、无法确定 例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为非负数，求k 的取值范围．思考题．设c b a ,,均为正数，若ac bc b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的大小．y k 2x(第3题图)【经典练习】一、选择题（每小题2分，共36分）1、“x 的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（ ） A 、2x －3≤8 B 、2x －3≥8 C 、2x －3＜8 D 、2x －3＞82、下列不等式一定成立的是（ ） A 、5a ＞4aB 、x +2＜x +3C 、－a ＞－2aD 、aa 24> 3、如果x ＜－3，那么下列不等式成立的是（ ） A 、x 2＞－3x B 、x 2≥－3x C 、x 2＜－3x D 、x 2≤－3x 4、不等式－3x +6＞0的正整数解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无数多个 *5、若m 满足|m |＞m ，则m 一定是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非负数 D 、任意有理数 6、在数轴上与到原点的距离小于8的点对应的x 满足（ ） A 、－8＜x ＜8 B 、x ＜－8或x ＞8 C 、x ＜8 D 、x ＞8**7、要使函数y =（2m －3）x +（3n +1）的图象经过x 、y 轴的正半轴，则m 与n 的取值应为（ ）A 、m ＞23，n ＞－31B 、m ＞3，n ＞－3C 、m ＜23，n ＜－31D 、m ＜23，n ＞－31*8、 下列说法中，正确的有（ ）.① 若0ab <，则0,0;a b <<②若0,0a b <>，则0ab <；③若22,a b m m <则a b <；④若a b <，则22am bm <;⑤若0a b <<，则0a b +<；⑥若0a b +<，则0a b <<.A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 9、 下列说法正确的是（ ）. A 、5是不等式x+5＞10的解集 B 、x ＜5是不等式x-5＞0的解集 C 、x ≥5是不等式-x ≤-5的解集D 、x ＞3是不等式x-3≥0的解集10、 若a-b ＜0，则下列各式中一定正确的是（ ）.A 、a ＞bB 、ab ＞0C 、ab＜0 D 、-a ＞-b11 不等式5x-1≤24的正整数解有（ ）.A 、4个B 、5个C 、6个D 、无限多个 **12 实数b 满足|b |<3，并且实数a 使得a <b 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A 、小于或等于3的实数 B 、 小于或等于－3的实数 C 、小于－3的实数 D 、 小于3的实数 13、 若4x <-，则下列不等式中正确的是（ ）. A ．x 2≥－4x B 、x 2≤－4x C 、 x 2>－4x D 、 x 2<－4x*14、关于x 的方程2435x a x b++=的解不是负数，则a 与b 的关系是（ ） A 、35a b > B 、 b ≥53aC 、5a =3bD 、5a ≥3b 15、在不等式100>5x 中，能使不等式成立的x 的最大正整数值为（ ）. A 、18 B 、19 C 、20 D 、21 16、下列不等式中，错误的是（ ）. A 、57-<-B 、5>3C 、0a 12>+D 、a a ->**17、已知5x －m ≤0只有两个正整数解，则m 的取值范围是（ ） A 、10<m <15 B 、10≤m ≤15 C 、10<m ≤15 D 、10≤m <15 18、下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）. A 、1y x 21<- B 、02x 3x 2>+- C 、2x141x 2+=+ D 、x 61x 31x 21>+二、填空题（每小题2分，共36分）1、不等式6－2x ＞0的解集是________.2、当x ________时，代数式523--x 的值是非正数. 3、当m ________时，不等式（2－m ）x ＜8的解集为x ＞m-28. 4、若x =23+a ，y =32+a ，且x ＞2＞y ，则a 的取值范围是________.5、已知三角形的两边为3和4，则第三边a 的取值范围是________.6、已知一次函数y =（m +4）x －3+n （其中x 是自变量），当m 、n 为________时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下方.*7、某种商品的价格第一年上升了10%，第二年下降了（m －5）%（m ＞5）后，仍不低于原价，则m 的值应为________.8、5m-3是非负数，用不等式表示为______. 9、不等式238654x--<-<-的解集为______.10、当a b >，则2ab b <成立的条件是______.*11、明明的语文、外语两科的平均分为m 分，若使语文、外语、数学三科的平均分超过n 分，则数学分数a （分）应满足的关系式是_________.（m >n ） 12、设a ＜b ，用“＜”或“＞”|号填空：11(1)_____;(2)100_____100;22(3)1.5_____1.5;(4)_____.1212a b a b a ba b --++--13、不等式的性质：（1）如果a>b, 那么a+c b+c. （2）如果m>n, p>0, 那么mp np. （3） . 14、若-3x +4<-2x -5,则-x ______-9.15、已知直线y=kx+b 经过点（2，0），且k <0，则当x ______时，y <0. 16、不等式x <3的非负整数解是________.17、不等式|x |-2≤3的正整数解是____________.18、在2y 2-3y +1>0, y 2+2y +1=0,-6<-2, 27ab<2, 2312x x +- ,2103y y --<,7x +5≥5x +6中, 一元一次不等式有_____个,它们是_____________________.三、解答题1、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：（每题4分共16分） （1）3（1-x ）-2（x+8）<2； （2）3（x+3）-5（x-1） ≥7； （3）132+-x ≤42+x ；（4）)69(6123--x x ≥7+x ．3、（6分）在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛。
不等式及其解集
新授
观察下列式子：
2x 1
2 a
2a 3 a
3 b 3b
a2 a2
一元一次不等式的定义：含有一个未 知数，并且未知数的次数是1的不等式 叫一元一次不等式。
； 财务管理培训/html/hometopfenlei/topduanqipeixun/duanqipeixun4/
不等式及其解集
引入
观察下列式子：
2 1 2a 3b
2 1 3a 2b
a2 a2
不等式的定义：用“>、<、≤、≥、 ≠”表示不等关系的式子叫不等式。
新授
用不等式表示： (1)x的2倍大于1； (2)-2小于a的相反数； (3)a的2倍不大于3与a的和； (4) 3与b的差不小于b的3倍； (5)a与2的和不等于a与2的差； (6)a是正数； (7)a是非负数。
；
赴成吉思汗陵。第二天早上，成陵的主殿上野鸽子翻飞环绕，它们喜欢这里，老祖宗也喜欢它们。主殿穹隆高大，色调是蓝白这样的纯色，蒙古人喜欢的两种色彩。后来，我从远近很多角度看成陵的主殿，它安详，和山势草木土地天空和谐一体，肃穆，但没有凌驾天地的威势。从陵园往 下面看，河床边上有一排餐饮的蒙古包，门口拴马。天低荒漠，平林如织。此时心情如同唱歌的心情，不是唱“草原上升起不落的太阳”，而如“四季”—— 春天来了，风儿到处吹，土地苏醒过来。本想留在春营地，可是路途太远，我们催马投入故乡怀抱。 民歌有意思，留在春营地和 路途太远有什么关系呢？让不矛盾的矛盾，为归乡找了一个理由。 还有一首民歌《飞快的枣红马》，词曰：“骑上我飞快的枣红马，顺着山坡跑下去。可爱的姑娘索波达，挑着木桶走了上来。”这个词，你说说，不是电影的分镜头剧本吗？画面闪回。但人家是词，唱的就是这个。什么 爱呀之类在这里没有。不是说词越干净越好，是说“爱”这个东西要藏着。草芽藏在泥土里露头张望，是爱。把“爱”挂嘴边，大大咧咧走街串巷唱，已经不是“爱”，是吆喝。 有一次，内蒙广播合唱团在中山音乐堂演出。起初，他们不知观众是什么人，反正是人和在的人，唱。第一 首歌、第二首歌，观众还安静，响着高雅艺术场所应有的节制的掌声。从第三首歌开始，场上哗动，或说骚乱，人们站起来高喊点歌，有人拥到台前观看。艺术家有些慌乱，当他们听到众人齐声合唱，看到台下的人一边唱一边擦眼泪的时候，才明白： ——他们是到内蒙古插队的知青。 知青听到《孤独的白驼羔》，听到《陶爱格》和《达古拉》回到耳边，终于坐不住了。他们的嗓子不归自己管了，加入合唱。人审美，其实是回头看自己的命运。对他们来说，辽阔的草原、冬夜、茫茫雪地、马群、干牛粪炊烟的气味、蒙古语、房东妈妈，都在歌声中次第出现，没有一样 遗落。是什么让他们泪水难当？是他们的青春。青春贯穿其中，他们为自己偷洒一滴泪。 演出结束，知青们冲到后台，不让演员走，掣他们胳膊请吃饭。后来，大家到一处宽敞的饭店唱了一夜。 在成陵边上，我们喝完奶茶从屋里出来，同行的张新化请一位牵马的蒙古老太太唱歌。她不 唱，说“你们骑马吧。” 新化说，“我们不骑马，听你唱也给钱。” 她说：“不行。”不骑马，光唱歌就收人家钱，那不行。 我们说，你牵马走，我们在后边跟着你走，听你唱歌。老太太不同意，不骑马怎么收你钱？结果是，我们骑上马，白发苍苍的老太太牵马在前面走。年龄像我 母亲一样的老太太，在沙土地上牵马行走，唱：“西北方向升起黑云，是不是要下雨了？我心里像打鼓一样不安稳，是不是达古拉要和我离分？” 马走着，宽大的腹肋在我腿间挪移，不得劲儿。老太太边唱边议论“苦啊，真苦。”我以为她说嘴里味道，后知说歌词。她说：“亲人离开 亲人，多苦啊！” 苦啊。我们骑着马走了一大圈儿。老太太的歌声在沙土地上，在灌木和干涸的河道上面环绕。她声音不亮，岁数大，呼吸不行了，却是原汁原味。一只小狗在马前跑，离马蹄子不远停下，再跑，我担心马踩着它。它停下必抬头看我一眼，不知道在看什么。 财富离幸福 有多远？ 贫穷离幸福很远，财富离幸福仍然很远。臻此，前者需要机遇及韧力，藉外力者多。后者则需要仰仗心灵的纯洁和情操的醇厚，靠内力实现。 ? （一） ? 赚钱以及把钱花出去所获得的，有时只是一种方便，而非幸福。 ? 譬如买车与备手机，好处是把一个人很快地从甲地运到 乙地及至庚地辛地，还能及时和很多人谈话。简言之，可以多办事，但不一定和幸福有关。坐车幸福吗？如果不论效率，与在家里坐沙发无甚差别。打手机更谈不上幸福，它不是抽烟与吃饺子。虽然有人站在马路上欣欣然以手机通话，仿佛幸福。 有人不想多办事，也不想到哪儿去 以及跟别人谈话，这样会妨碍他们宁静（实际是幸福）的生活，不如书与琴棋有用。毛主席做了许多事情，但必定不是拼命打手机及开车游走所成，乾坤在手岂不比爱立信在手更好？就是羊毫在手糖块在手及至小人书在手也比方向盘在手更愉快安全。因为前者是享受，后者是劳役或伪享 受，与幸福无关。 （二） 人有时不知道自己到底要什么。 如果把一个人的消费愿望摊开，广告引导占三成，如名牌之类；模仿他人占三成，譬如对中产阶级生活方式自觉不自觉的模仿；还有三成是实践童年以及青少年时期未遂之愿，在此，潜意识发生作用；人本能的满足只 占一成，饮食男女而已。 于是，日日杯觥交错并不幸福，因为广告引导与追随潮流所满足的只是转瞬即逝的虚荣心，明他已经成了某种人，譬如富人，明完了也就完了，无它。而满足童年的愿望属于今天多吃几个包子填充往年某日的饥饿，满足的只是一种幻像。而本能的满足，只 需一箪食、一瓢饮、一位贤惠的女人和一张竹榻。 但人们不甘心于简朴，虽然简朴离真理近而离虚荣远。人用力明自己是重要的，于是以十分的努力去满足一分的愿望，然而这与幸福无关。 （三） ? 如果有钱并有闲，想从食色层面提升并扩展自己的幸福，需要文化的介入。尼采 说：“我发现了一种幸福——歌剧！”对与古典音乐无缘的人，歌剧则不是幸福，你无法领受《图兰朵》中“今夜无人入睡”带来视听圣餐。明仁天皇迷恋海洋微生物，丘吉尔迷恋油画，爱因斯坦迷恋小提琴，是大幸福，也是文化上的幸福。他们也是有钱的人，但倘无文化也只能蹈入口 腹餍之途。 ? 一些有钱人易烦恼，因为他们的消费与性格有关，与文化无关；与面子有关，与愉快无关；与时尚有关，与需要无关。 （四） ? 不久前，我假道太行山区远游，见到那里的农人希望到年底能添一头驴或牛，以帮助运输或种地。到了县城，酒桌上争就当科长或两室一厅的
不等式及其解集
（6）a与b两数的和的平方不可能大于 2 (a+b) ≤3 3_________。
x=-5 1、 x＜-4时的最大整数解为_____； x=1，2，3 2、不等式x≤3的正整数解是_________；
补充题2：
当x为任何正数时，都能使不等式x＋3>2 成立，能不能说不等式x＋3>2的解集是x>0？为 什么？
D )
●
●
-2
-2
0
A
○ ●
B
-2
0
-2
0
C
D
试一试: 写出下列数轴所表示的不等式的解集:
○ ●
-3 ⑴
0
0 ⑵
2
X > -3
X≥2
○
●
-3
⑶
0
0
⑷
a
X < -3
X≤a
补充题：
不等式x＜5有多少个解？有多少个正整数解？
不等式x＜5有无数个解； 有4个正整数解，分别是4，3，2，1。
回顾与小结：
2 x=50 3
2 3 x > 50
50 2 = x 3
50 2 x 3
一元一次不等式 的分母不含有未 知数
一元一次不等式
类似于一元一次方程，我们把含有一个未知数，未 知数的次数是１的不等式叫做一元一次不等式.
说一说
尝试练习
注 意
判断一个式子是不是一元一次 不等式，必须满足四个条件：
①式中只含有一个未知数；
补充题3：
世纪公园的票价是：每人5元；一次购票满30张， 每张可少收1元。某班有27名少先队员去世纪公园进 行活动。当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张 票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30 张票。你认为李敏的提议有道理吗，为什么？ 至少要有多少人去世纪公园，多买票反而合算呢？
七年级数学下不等式及其解集
试一试: 用不等式表示: ⑴ a是正数 ; ⑵ a是非正数 ; ⑶ a与5和小于7 ; ⑷ a与2的差不小于－1;
第四十二页，共五十页。
试一试:
直接想出不等式的解集
:
X>3
⑴ x+3>6 ; ⑵ 2x<8 ;
X<4 X>11
⑶ x －2>9.
第四十三页，共五十页。
某商场十月份计划销售电脑1170台 ，10月1日至7日黃金周期间，开展(kāizhǎn) 促销活动，这7天平均每天销售54台，若 这个商场本月要想超额完成计划，后24 天平均每天至少销售多少台？设以后平 均每天至少销售x台则所列不等式为
3、x的2倍与2的和大于3. 4、a的一半与5的差的绝对值不小于a。
第十页，共五十页。
问题2 当X取什么(shén me)数值时不等 式
X＞50成立(chénglì)
第十一页，共五十页。
二、不等式的解和解(héjiě)集
1、不等式的解 使不等式成立的未知数的值叫
做 不等式的解。 (jiàozuò)
9.1不等式及其解集
第一页，共五十页。
数量有大小之分，它们之间有 相等关系，也有不等关系。人们(rén men)常常把要比的对象数量化，在考 虑它们的大小，这就是研究不等关 系。
第二页，共五十页。
问题：一辆匀速行驶的汽 车在11:20距离A地50千米， 要在12:00之前驶过A地，车 速应满足(mǎnzú)什么条件？
的剂量范围是（
）
用法(yònɡ fǎ)用量：口服，每天30~60mg,分
2~3次服用。
第四十六页，共五十页。
某班同学外出(wài chū)春游，要拍合影照 留念，若一张彩色底片需0.75元，冲印一 张需0.35元，每人预定得到一张，出钱不 超过0.45元。设合影的同学至少有x人， 怎样表示上述关系？
不等式及其解集
一元一次不等式是指含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式。
定义
2x + 3 > 7, x^2 < 4等都是一元一次不等式。
示例
一元一次不等式的定义
步骤
解一元一次不等式的基本步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
方法
与一元一次方程类似，但需要注意的是不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。
利用根与系数的关系得到两根之积为1*3=3，两根之和为-(-7)/2=7/2。
由于两根之积大于0，所以不等式的解集为：两根之外的部分。
因此，不等式的解集为：(1,3)U(3,+\infty)。
一元二次不等式的例题
高次不等式及其解法
04
03
构造函数法
通过构造辅助函数，将不等式转化为容易解决的不等式或方程的问题。
算术不等式
表示两个数的绝对值之间关系的不等式，例如：|x - 3| < 5
绝对值不等式
如果a > b且b > c，那么a > c
不等式的性质
传递性
对于任意实数x，y，如果x > y，则x + c > y + c
加法单调性
对于任意正实数x，y，如果x > y，则cx > cy
乘法单调性
大于号(>)
01
线性规划是一种常见的优化问题，其中不等式是描述约束条件的重要工具。通过求解线性规划问题，我们可以找到在满足不等式条件下的最优解。
不等式在优化问题中的应用
动态规划
02
动态规划是一种求解最优化问题的方法，其中不等式可以描述状态转移方程的约束条件。利用动态规划方法，我们可以解决一些复杂的优式的解法
不等式及其解集(学生)
不等式复习一一、双基回忆1、不等式：用等号〔＜、≤、＞、≥〕连接起来的式子，叫做不等式。
〔1〕用不等式表示：①x与1的差是负数：；②a的1/2与b的3倍大于2 ；③x、y的平方和是非负数。
2、不等式的解和解集使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
注意：解集包括解，所有的解组成解集；解是一个数，解集是一个范围。
〔2〕判断以下说法是否正确：①4是不等式x＋3＞6的解；②不等式x＋2＞1的解是x＞－1；③3是不等式x＋2＞5的一个解；④不等式x＋1＜4的解集是x＜2.3、一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
〔3〕以下不等式是一元一次不等式的是.①3x+5=1；②2y-1≤5；③2/x+1＞3；④5+2＜8;⑤3+x2≥x.4、不等式的性质：〔1〕不等式两边加〔或减〕同一个数〔或式子〕，不等号的方向不变.即如果a＞b，那么a±c＞b±c.〔2〕不等式两边乘〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变.即如果a＞b，c＞0，那么ac ＞bc(或a/c＞b/c).〔3〕不等式两边乘〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变.即如果a＞b，c＜0，那么ac ＜bc(或a/c＜b/c).注意：①不等式的性质与等式的性质有相通之处，又有不同之点；②不等式的性质是解不等式的依据。
〔4〕a＞b，填空：①a+3 b+3,②2a 2b,③- a/3 －b/3，④a－b 0.5、解一元一次不等式〔5〕解一元一次不等式: 2x≥5x+6，并在数轴上表示解集。
二例题导引例1 判断正误：①假设a＞b,那么 ac2＞bc2；②假设ac2＞bc2,那么a＞b；③假设2 a+1＞2b+1,那么a＞b；④假设a＞b,那么1－2 a＞1－2b.例2 解以下不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。
〔1〕3〔1－x〕＜2(x+9); (2)112132x x ---≤.例3 a取什么自然数时，关于x的方程2－3x= a解是非负数？例4 小明和小丽决定把省下来的零用钱存起来，这个月小明顾虑了168元，小丽顾虑了85元，从下个月开始小明每月顾虑16元，而小丽每月存25元，问几个月后小丽的存款数能超过小明？三、练习提高夯实根底1、x的1/2与5的差不小于3，用不等式表示为。
不等式基本性质及其解集
不等式的基本性质及其解集【知识要点一】等式与不等式的基本知识对照表：等式不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式 两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变【知识要点二】1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值.2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解.3.解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式.4.不等式解集的表示方法：a.用不等式表示：如32≥+x 的解集表示为：1≥xb.在数轴上直观表示如图： 如：a x >b x ≤b x a <≤ 【经典例题】例1.将下列不等式化为""a x >或""a x <形式（1）97<-x（2）145->x x （3）231>x （4）155<-xabba例2.在数轴上表示下列不等式的解集 （1）3-≥x （2）211<x （3）212321<≤-x （4）2||<x例3.求不等式212-≥-x 的非负整数解.练习：求出不等式431≤-≤-x 的解集，并求出其整数解．例4．已知02≤+x ，化简13222+-++x x例5．指出下列不等式成立的条件1．当0>a 时，0>ab 2．当0>a 时，0<ab3．当0<a 时，0<ab 4．当0<a 时，0>ab例6.如果关于x 的方程x m m x +-=+2432的解为大于4的数，求m 的取值范围. 练习：1. ①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围. ②不等式a x <2的解集为7<x ，求a 的值.2. 如果关于x 的方程323bx a x +=-的解是正整，求a 与b 的关系.例7.已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围.☆基础探究☆1.由y x >得到ay ax <的条件是（ ） A 、0>aB 、0≥aC 、0<aD 、0≤a2.若m 为有理数，下列不等式关系不一定成立的是（ ）A 、m m +>+79B 、m m -<-43C 、m m 46>D 、0||4≥m3.已知b a ,两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ） A 、b a > B 、0<ab C 、0>-a b D 、0>+b a4.下列各数0,3,2.5,,4,21π-中,能使不等式12>-x 成立的是（ ） A 、-4，π，5，2 B 、π，5，2 C 、π，5，2，3 D 、21，0，3 5.不等式143<x 的非负整数解是（ ） A 、无数个B 、1C 、0，1D 、1，26.下列四个结论：（1）4是不等式63>+x 的解；（2）4>x 是不等式63>+x 的解集； （3）3是不等式63≥+x 的解；（4）3≥x 是不等式63≥+x 的解集，其中正确的是（ ） A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7.如果b a >，用"">或""<填空 （1）a 2 b 2 （2）a 3- b 3- （3）a - b - （4）2a 2b（5）35a -b 35- （6）3+a 3+b8.如果b ax >，02<ac ，则xab 9.不等式21131<-x 的解集是 ，12≤-x 的正整数解为 . 10.若不等式a x <6的解集为3<x ，则a 的值为 .11.如果不等式1)1(+>+a x a 的解集为1<x ，那么a 必须满足 . 12.根据不等式性质，把下列不等式化成a x >或a x <的形式 （1）534+>x x（2）3132-<x （3）172<-x （4）123->-x xba 0☆综合能力提升☆ 13.在数轴上表示下列解集（1）大于-3而小于4的数 （2）所有不小于-4的数（3）所有不大于3的数 （4）绝对值小于3的数14.已知关于4152435+=-m m x 的解是非负数，求m 的取值范围，并在数轴上表示出来.15.已知不等式12≤-m x 的正整数解恰是1，2，求m 的取值范围.课后巩固1.设0<a ，则下列各式中不成立的是（ ） A 、43+<+a aB 、a a 43<C 、a a -<-43D 、43aa ->-2.若4-<x ，则下列不等式成立的是（ ）A 、x x 42->B 、x x 42-≥C 、x x 42-<D 、x x 42-≤3.下列按要求列出的不等式中，不正确的是（ ）A 、m 不是负数，则0≥mB 、m 是非大于0的数，则0≤mC 、m 不小于-1，则1-≥mD 、m 是非正数，则0<m4.与063<-x 不同解的不等式为（ ） A 、713<+xB 、63->-xC 、126<xD 、63-<-x5.下列说法中，错误的是（ ）A 、不等式13<x 的整数解有无限多个B 、不等式52<x 的整数解有有限个C 、不等式82<-x 的解集为4->xD 、不等式153<x 的正整数解有有限个 6．不等式1)2(>-x m 的解集为21-<m x ，则有（ ） A 、2>mB 、2<mC 、3>mD 、3<m7．下列不等式中，解集为全体实数的是（ ） A 、122+-x x >0 B 、02>x C 、x x 131<- D 、111<+-x x 8.若n m >时，m a 2n a 29.若22bc ac >，则a 3- b 3-10.若24ba ->-，则a b 2 11.不等式13<-x 的正整数解是 . 12.不等式5.5-≥x 的负整数解是 ．13.如果关于x 的方程02=+kx 的根是3，那么不等式8)2(->+x k 的解集是什么？请你在数轴上表示出来．14.如果不等式x m x 253-<+没有正数解，求m 的值．15.关于x 的方程1223+=+m x 的解为正数，求m 的取值范围.16.不等式a x <+32的正整数解恰为1，2，求m 的取值范围.。
不等式及其解集
不等式及不等式基本性质 一．不等式 定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式． （1）常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”． （2）列不等式注意找到问题中不等关系的词，如： 正数(＞0) 负数（＜0） 非正数（≤0） 非负数（≥0） 超过(＞0) 不足（＜0） 至少（≥0） 至多（≤0） 不大于（≤0） 不小于（≥0） （3）不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换;但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。
例1、用不等式表示 (1)a 与1的和是正数; (2)y 的2倍与1的和大于3; (3)x 的一半与x 的2倍的和是非正数; (4)c 与4的和的30%不大于-2; (5)x 除以2的商加上2,至多为5;(6)a 与b 两数的和的平方不可能大于3.例2：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。
①32>-；②21x ≤；③21x -；④s vt =；⑤283m x <-；⑥124x x->-；⑦38x ≠；⑧5223x x -≈-+；⑨240x +>；⑩230xπ+>。
练习：用不等式表示：①x 的平方是非负数： ②a 不大于b ： ③x 的3倍与－2的差是负数： ；④长方形的长为x cm ，宽为10cm ，其面积不小于200cm 2： 二．不等式的解与解集(1)不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 解析:不等式的解可能不止一个.例3、下列各数中,哪些是不等是x+1<3的解?哪些不是? -3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5(2)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集。
不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是:①确定边界点。
解集包含边界点，是实心圆点； 不包含边界点，则是空心圆圈； ②确定方向：大向右，小向左。
不等式及其解集
这个不等式有多少个解？ 你能找到使不等式不成立的值吗？
归纳
x23
使不等式成立的未知数x的值有：
x 1.5 x 2 x 3 x 4
不等式的解的定义：使不等式成立的未 知数的值叫不等式的解。
想一想：方程 x 2 3 的解是什么？
范例
例2、直接写出下列不等式的解集，并 在数轴上表示出来：
(1) x 3 1
(2) 2x 4
(3) x 3 1
(4) 2x 4
(5) 3x 1
归纳
观察数轴上所表示的下列两个解集，有 什么区别与联系？
(1) x 2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 (2) x 2
新授
观察下列式子：
2x 1
2 a
2a 3 a
3 b 3b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a2 a2
一元一次不等式的定义：含有一个未 知数，并且未知数的次数是1的不等式 叫一元一次不等式。
探究
不等式 x 2 3 中，使它成立的未知数 x的值有那些？请举出一些例子。
x23 使不等式成立的未知数x的值有：
小结
1、你学会了什么知识？ 不等式的定义 一元一次不等式的定义
不等式 不等式的解的定义
不等式的解集的定义
2、你有什么体会？ 不等式的解与解集的关系
用数轴表示不等式的解集的方法
作业
课本
P134
1、2、3
； 仪器校准 ；
险些喷了出来.那口感跟梅林客栈の没法比,活脱脱の一杯开水加红糖,即便是冰镇の也难以入口.吸取教训,她现在去梅林客栈の茶棚要了一碗梅花冰粉,它色泽鲜润,品质滑嫩又晶莹透澈.茶棚是没有空调の,冰粉の丝丝清凉,尝了一口马上身心舒畅,能达到消暑解热の效果.陆羽一边品尝着冰 粉の甜美,一边听着同桌の游客说起荷塘一段小插曲来.原来,这片荷塘原本无人打理,自生自长,年年夏天の荷花、荷叶都长得比人还高.司空见惯の东西,没人想那么多.后来被回国の余岚看中其中の商机,欲将荷塘承包下来,不料遭到下棠村部分村民の强烈反对.他们一直盯着余家の举动,不 管余总或者余岚做什么,对头很快就能收到风声.争执不下,经过协商,这里成了梅林、下棠两个村子共同拥有の一个景点.荷区范围内,除了梅林村,就只有下棠村の村民能在里边摆摊挡,其他地方の小商贩均不得入内摆卖.去年下棠村有人提议设栏收门票,余岚强烈反对,又折腾了好久才得以 无偿开放.如今是年轻人の天下了,明年の制度如何不得而知,所以今年连省城の居民们都纷纷携家带口过来一饱眼福.至于明年如何,谁知道呢.跟余家抢风头の是下棠村一个土豪の儿子,与女儿家争抢还抢输了,成了人们の一个笑谈.而余家,则人人夸赞余家有女余岚,心灵手巧,人美有能耐. 也有人说,余岚能有这种成绩完全是靠她母亲和洋男友の支持.众说纷纭,有本事の人才会遭人非议.只是没想到,下棠村与梅林村の争斗如此激烈,余岚の压力想必挺大の,胆魄果真与其母有得一拼,真是能耐人做能耐事.不知道明年鹿死谁手,所以今年一定要陪婷玉来看看.陆羽边吃边想着,忽
不等式及其解集
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四填空
1 方程2X=7解的个数是 一个 2 不等式2X＜7的解的个数是无数个 其中非负整数的解是
0
1
2
3
作业布置
P134 2 1 3 5 7 P134 3
特权福利
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授课老师：何琴
自主学习
不等式的定义
用“<”或“>”号表示大小关系的式子叫做不等 式. 用“≠”表示不等关系的式子也是不等式
注：“＜” 、“＞” 、“≠”、“ ≤”、“ ≥”都是 不等号
不等式的解
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解 不等式的解集
一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不 等式的解集. 求不等式的解集的过程叫解不等式.
大于 向右画界点 -1Fra bibliotek0X≤2
定方向 1 2 3
X>1
一元一次不等式的解集一般来说有 以下四种情况：
（ 1） X > a
(2) X < a (3) X ≥ a (4) X ≤ a
a
a
. a
. a
:-O 的 收 获
不等式的解
不等式的解集
不等式的定义
不等式
一元一次 不等式 用数轴表示不 等式的解集
注： (1)解集中包括了每一个解； (2)解集是一个范围； (3)解集中可能包括一个解，也可能包括无数 解。
一元一次不等式的定义：
类似于一元一次方程,含有一个未知数, 未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次 不等式.
自己动手，知识到手
不等式解集的表示方法
第一种:用式子(如x>3),即用最简形式的不等式(如 x>a或x<a)来表示. 第二种:利用数轴表示不等式的解集.
在数轴上表示不等式的解集 实心圆：表 你能用什么办法把不等式 x ≥- 1 的解 示 -1 在这个 集表示在数轴上?
解集内
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x ≥ -1
大于向右画，小于向左画； 有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈 .如下图 总结: 用数轴表示不等式的解集的步骤 :
-1 0 1找界点 2 3 画数轴
……
疑 惑