重点中学2014届高三上学期周练数学试题(导数、三角)

高三（上）数学周练三(导数、三角函数) 姓名____________1．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝________.2.．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________． 3.一个匀速旋转的摩天轮每12 min 转一周，最低点距地面2 m ，最高点距地面18 m ，P 是摩 天轮轮周上一定点，从P 在最低点时开始计时，则16 min 后P 点距地面的高度是________ m.4．函数f (x )＝cos2x ＋2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4的值域为___________．5.函数f (x )＝sin2x ＋22cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋3的最大值为___________． 6.设点P (x 0，y 0)是函数y ＝tan x 与y ＝－x 的图象的一个交点，则(x 20＋1)(cos2x 0＋1)＝________.7.已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为___________． 8.若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于_______．9.已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是____________．10．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是______________．11.若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________．12．已知函数g (x )＝1sin θ·x＋ln x 在[1，＋∞)上为增函数，且θ∈(0，π)，则θ的值为________．13.已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f ⎝⎛⎭⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是________． 14.下列五个命题：①y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π2，k ∈Z ；③在同一坐标系中，y ＝sin x 的图象和y ＝x 的图象有三个公共点；④y＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是减函数；⑤把y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位得到y ＝3sin2x 的图象．其中真命题的序号是_______________．15．某港口水的深度y (m)是时间t (0≤t ≤24，单位：h)的函数，记作y ＝f (t )，下面是某日水深的数据：t 时0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 米10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经长期观察，y ＝f (t )的曲线可以近似地看成函数y ＝A sin ωx ＋b 的图象． (1)试根据以上数据，求出函数y ＝f (t )的近似表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底离海底的距离为5 m 或5 m 以上时是安全的,某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5 m ，如果某船希望在某一天内安全进出港，请求出安全进出港的时间(忽略进出港所需时间)?16．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2) 把f (x )的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？17.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。

（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；②设OP=x(km)，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短18．已知函数f (x )＝x ＋a ln x ，其中a 为常数，（e 是自然对数的底数） (1)求f (x )的单调区间(2)若a ≤－1，且f (x )≤e －1对任意x ∈[e ，e 2]恒成立，求实数a 的取值范围．19.（备用）已知函数(),()ln xxf x e axg x e x =+=（e 是自然对数的底数）. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线也是抛物线24(1)y x =-的切线，求a 的值； （2）若对于任意,()0x f x ∈>R 恒成立，试确定实数a 的取值范围；（3）当1a =-时，是否存在0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切 线斜率与()f x 在R 上的最小值相等？若存在，求符合条件的0x 的个数；若不存在，请说 明理由.BCD A O P参考答案1．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝________.[解析] cos α＝513，而α为第四象限角，∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1213.2.．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________． [解析] 根据三角函数定义可知sin θ＝cos 3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2－3π4＝sin 7π4，∵θ∈[0,2π]，∴θ＝7π4. 3.一个匀速旋转的摩天轮每12 min 转一周，最低点距地面2 m ，最高点距地面18 m ，P 是摩 天轮轮周上一定点，从P 在最低点时开始计时，则16 min 后P 点距地面的高度是________ m. [解析] 每12 min 转一周，故16 min 转一圈又三分之一周，又圆周半径为8，故此时点P 距离地面高度为2＋8＋8×sin30°＝14(m)． tmin 呢？108sin()62y x ππ=+- 4．函数f (x )＝cos2x ＋2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4的值域为________． [解析] 因f (x )＝cos2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4时，有sin x ∈⎝⎛⎭⎫22，1，故f (x )∈(1，2)． 5.函数f (x )＝sin2x ＋22cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋3的最大值为________．[解析] 原函数可化为f (x )＝sin2x ＋2(cos x －sin x )＋3，设cos x －sin x ＝t ，t ∈[－2，2]， 则sin2x ＝1－t 2，则f (x )＝－t 2＋2t ＋4＝－(t －1)2＋5，∴当t ＝1时，f (x )max ＝5.6.[2011·扬州模拟] 设点P (x 0，y 0)是函数y ＝tan x 与y ＝－x 的图象的一个交点，则(x 20＋1)(cos2x 0＋1)＝________.[解析] 因为tan x 0＝－x 0，故sin x 0＝－x 0cos x 0，即x 20cos 2x 0＋cos 2x 0＝1，故cos 2x 0(x 20＋1)＝1.故(x 20＋1)(cos2x 0＋1)＝2cos 2x 0(x 20＋1)＝2.（特殊法，令00x =） 7.已知a ≤1－x x＋ln x 对于x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为________． [解析] 设f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝－x ＋x －1x 2＋1x ＝x －1x2，当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，f ′(x )<0，故函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减；当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，故函数f (x )在(1,2]上单调递增，∴f (x )min＝f (1)＝0，∴a ≤0，即a 的最大值为0. 8.[2011·福建卷改编] 若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∵f (x )在x ＝1处有极值， ∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，化简得 a ＋b ＝6，∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，ab 有最大值，最大值为9. 9.[2011·镇江统考] 已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是[解析] 由f (x )＝ln x ＋2x ⇒f ′(x )＝1x＋2x ln2>0(x ∈(0，＋∞))，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x 2＋2)<f (3x )⇒0<x 2＋2<3x ⇒x ∈(1,2)． 10．[2012·苏北四市一调] 已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．[解析] 因为f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝3m －2n ＝－3，f (－1)＝－m ＋n ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，所以f ′(x )＝3x 2＋6x ， 得t ∈[－2，－1]．11.若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________． .⎣⎡⎭⎫13，＋∞ [解析] y ′＝3x 2＋2x ＋m ，因为函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，故Δ＝4－4×3m ≤0，从而m ≥13.12．[2011·南通模拟] 已知函数g (x )＝1sin θ·x＋ln x 在[1，＋∞)上为增函数，且θ∈(0，π)，则θ的值为________． [解析] 由题意，g ′(x )＝－1sin θ·x 2＋1x ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即sin θ·x －1sin θ·x 2≥0.∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0.故sin θ·x －1≥0在[1，＋∞)上恒成立，得θ＝π2. 13．[2011·海安检测] 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f ⎝⎛⎭⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是________． [解析] 令g (x )＝xf (x )，则由于f (x )是R 上的奇函数，所以g (x )为R 上的偶函数，又当x ∈(－∞，0)时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，即g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0，故当x ∈(－∞，0)时，g (x )单调递减，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又由于2>30.3>1，log π3∈(0,1)，log 319＝－2，所以g (－2)＝g (2)>g (30.3)>g (log π3)，即c >a >b .14.下列五个命题：①y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π2，k ∈Z ；③在同一坐标系中，y ＝sin x 的图象和y ＝x 的图象有三个公共点；④y＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是减函数；⑤把y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位得到y ＝3sin2x 的图象．其中真命题的序号是________．①⑤ [解析] y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x －cos 2x )(sin 2x ＋cos 2x )＝－cos2x ，故函数的最小正周期为π，从而①正确．终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而②不正确；因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin x ＜x ，故在同一坐标系中，y＝sin x 的图象和y ＝x 的图象有一个公共点，从而③不正确；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是增函数，从而④不正确；由于y ＝3sin2x ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6，故⑤正确． 15．某港口水的深度y (m)是时间t (0≤t ≤24，单位：h)的函数，记作y ＝f (t )，下面是某日水深的数据：t 时0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 米10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经长期观察，y ＝f (t )的曲线可以近似地看成函数y ＝A sin ωx ＋b 的图象． (1)试根据以上数据，求出函数y ＝f (t )的近似表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底离海底的距离为5 m 或5 m 以上时是安全的，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5 m ，如果某船希望在某一天内安全进出港，请求出安全进出港的时间(忽略进出港所需时间)?15．[解答] (1)由已知数据，易知函数y ＝f (t )的周期T ＝12，振幅A ＝3，b ＝10，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，∴y ＝3sin π6t ＋10.(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(m)， ∴3sin π6t ＋10≥11.5，∴sin π6t ≥12，解得2k π＋π6≤π6t ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，即12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )，在同一天内，取k ＝0或k ＝1，∴1≤t ≤5或13≤t ≤17. ∴该船可在凌晨1时进港，5时出港，或在13时进港，17时出港.16．[2012·温州模拟] 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如图K20－4所示．(1)求f (x )的解析式；(2) 把f (x )的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？16．[解答] (1)由图知A ＝3，34T ＝4π－π4＝15π4，∴T ＝5π，∴ω＝25，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋φ.∵f (x )的图象过点(4π，－3)，∴－3＝3sin ⎝⎛⎭⎫8π5＋φ，∴8π5＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－21π10(k ∈Z )，∵|φ|<π2，∴φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x －π10.(2)解法一：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x 5－π10＝3cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x 5－π10＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x 5－3π5＝3cos ⎣⎡⎦⎤25⎝⎛⎭⎫x －3π2，故至少需左移3π2个单位才能使所对应函数为偶函数．17.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。