1-2平面曲线运动

2 2 2 0
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由轨迹方程
1 gx y x tan 2 v cos
2 2 0
2
令 y = 0 ，得到抛物的射程：
2 v0 sin 2 S g
抛体到最高点时
v y v0 sin g t 0
1 2 y v0t sin g t 2
得最大射高为：
2 v0 sin 2 h 2g
§1.2
平面曲线运动
物体的轨迹在一个平面内的曲线运动称为平面曲线 运动. 一个平面曲线运动可视为较为简单的直线运动 的合成，这是研究曲线运动的基本方法.
一、抛体运动规律
y v0
θ O
x
v0 x v0 cos v0 y v0 sin
以抛射点为坐标 原点建立坐标系， 水平方向为x轴，竖 直方向为y轴。设抛 出 时 刻 t=0 的 速 率 为 v0，抛射角为 ，则 初速度分量分别为：
t+t
B
r O
0+
A
0
t

+
x
v r两边对时间求导：
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dv d at r r dt dt
v an r 2 r
2
质点作匀变速圆周运动时的角速度、角位移与角加 速度的关系式为：
2 θ θ0 ω0t αt / 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
ω ω0 αt
v v0 at
2 x x0 v0t at / 2 2 2 v v0 2a ( x x0 )
比较知：两者数学形式完全相同,说明用角量描述, 可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而把问 题简化.
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例2. 对于作匀速圆周运动的质点.（1）试用直角坐 标和单位矢量表示其位置，并由此导出速度和加速度 的矢量表示式。（2）试证明加速度方向指向轨道圆 周的中心. 解： （1）设任意时刻质点位于P点 y r xi yj rcos i rsin j P ( x, y ) r dx d v (rcos ) O dt dt x d rsin rsin
at an
an g
v2
an

g
g


2 v0 cos2 g
v v0 cos
2 v0 cos2 g
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四、圆周运动的角量描述
用位置矢量、速度、加速度描写圆周运动的方法， 称线量描述法；也可用角度来确定其位置，称角量描 述法。 y 质点在oxy平面内绕O点沿 B：t+t 半径为R的圆周运动，以Ox 轴为参考方向. A：t


O
x
平均角速度为
设 t 时刻质点在 A 处, 质点 的角位置为 ; t t 时刻质 点在B处. 在 t 时间内质点的角位 移为 , 规定逆时针为正.
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t
角速度 lim t 0
t
dθ dt 角量和线量的关系：
角加速度 d d2 2 dt dt 在t 时间内，质点的角 位移为 AB r Δθ v r Δt Δt r d v lim r r t 0 t dt
v a r
方向？
向心加速度
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三、切向加速度和法向加速度
1.变速圆周运动
A
A
r
O
vA
B
v a lim t 0 t vt v vn vt v A vB vB vB lim lim t 0 t t 0 t 变速圆周运动加速度可分为两部分： a a a
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二、匀速率圆周运动
A
r
O
vA
t . A点， t+Δ t . B点
v A vB v
vB
vA
v
v v AB v AB a a lim lim lim t 0 t t 0 r t r t 0 t
2
速度矢量图：v vB v A B v a lim ? t 0 t vB v 1 AB 1 v AB t v t r v r
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Hale Waihona Puke yv0yOv0
θ
v0 x v0 cos v0 y v0 sin 加速度恒定 a g
v0x
x
任意时刻的速度为：
v (v0 cosθ )i (v0 sin θ gt) j
将上式积分，得到运动方程的矢量形式为
t t r (v0 cosθ )i d t (v0 sin θ gt) j d t 0 0 1 2 v0 cosθ t i (v0 sin θ t gt ) j 2 即 x v0 cos t 1 gx 消去t y x tan 1 2 2 v cos y v0 sin t gt 轨迹方程 2
Q
vn
v vB vA vn vt v
A
沿切线方向的切向加速度 at
n
t
沿与切线方向垂直的法向方向的法向加速度 an
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例1 求抛体轨道顶点处的曲率半径 y 解：在自然坐标系中 v2 dv v an at v0 dt v0y 当质点在抛物线顶点时， g θ 加速度g沿法向， O v0x x
x
v rsin i rcos j
dt dy d vy (rsin ) dt dt d rcos rcos dt
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dvx ax r 2cos dt dv y ay r 2sin dt 2 2 a r cos i r sin j
2 （2） a (rcos i rsin j ) 2 ( x i y j ) 2 r a 与 r 反向，指向圆心.
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