2017年中考“事件的概率”专题解题分析

２０１８年第３期　【总第１８３期）　中国数学教育　

ｚＨＯＮＧＧｕＯ　ＳＨＵ×ＵＥ　Ｊ｜ＡＯＹＵ　№３。２０１８　

Ｇｅｎｅｒａ１．№１８３　

２０　１　７年中考“事件的概率’’专题解题分析　张仁华，陈莉红　（江西省赣州市赣州中学；江西省教育厅教学教材研究室）　

摘要：事件的概率作为初中数学最基本的内容之一，是中考中对基础知识和基本技能进行考查　的一项内容．现结合《义务教育数学课程标准（２０１１年版）》的目标和内容要求，筛选２０１７年全国各　地区中考试题中涉及事件的概率内容的典型题目，对其进行归类，并进行考点与解法分析、点评，最　后列举了部分试题的典型解法，以期抛砖引玉．　关键词：中考试题；简单随机事件；事件的概率；随机意识　

概率是研究随机现象的科学．概率在Ｅｌ常生活和　生产中有着广泛的应用．通过学习概率，可以加深学　生对随机现象的认识，形成数据分析观念，学会做出　合理决策，并且提高数学分析问题和解决问题的能　力，以及数学的应用意识．历年的中考试题都比较重　视对事件概率基础知识和基本模型的考查，以达到评　价学生对随机现象的理解和认识水平．试题的呈现形　式比较新颖，题型设计涉及填空题、选择题和解答题　等常见题型，难度多以容易题目或中等难度题目为　主，对于绝大多数学生来说，这部分内容是得高分的　板块之一．正因如此，研究事件的概率部分的试题特　点与解题方法十分有必要．　

一、

内容要求分析　

《义务教育数学课程标准（２０１　１年版）》（以下简称　《标准》）中明确规定了对事件概率的考查目标与内容　要求：（１）考查学生对概率的意义的理解；（２）考查　学生运用列举法或者树状图法求解概率问题的能力，　并在这个过程中隐性地考查学生对等可能性的理解；　

（３）考查学生对频率与概率之间关系的理解和运用能力　二、典型试题分析　综观２０１７年全国各地区中考试题，其依然重视对　事件的概率知识的有关概念，计算简单事件的概率等　核心知识的理解和应用的考查，大部分试题都呈现出　下述相对集中的内在特点．　１．重视基础，考查学生对概率基础和本质的理解　与掌握　例１　（湖北·随州卷）“抛掷一枚质地均匀的硬　币，正面向上”是——事件（从“必然”“随　机”“不可能”中选一个）．　答案：随机．　例２（新疆·生产建设兵团卷）下列事件中，是　必然事件的是（　）．　（Ａ）购买一张彩票，中奖　（Ｂ）通常温度降Ｎｏ％以下，纯净的水结冰　（Ｃ）明天一定是晴天　（Ｄ）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯　答案：Ｂ．　

收稿日期：２０１７一ｌｌ一＿０９　基金项目：江西省教育厅课题基地办课题——中学数学互联网＋教学研修探索与实践（ＳＺＳＸ２０１６—００２）．　作者简介：张仁华（１９７５一），男，中学高级教师，主要从事课堂教学与中考命题研究．　

·５０·　中国数学教育２０１８年第３期（总第１８３期）　例３（甘肃·天水卷）下列说法正确的是（　（Ａ）不可能事件发生的概率为０　（Ｂ）随机事件发生的概率为　（Ｃ）概率很小的事件不可能发生　

）·　因此，红红和娜娜两人出相同手势的概率为　，　

（Ｄ）投掷一枚质地均匀的硬币ｌ　０００次，正面朝上　的次数一定是５００次　答案：Ａ．　【评析】以上三道例题都是结合实际问题考查学生　对必然事件、不可能事件、随机事件概念的掌握情　况，在教学过程中，这些概念虽然不要求学生死记硬　背，但是需要学生准确理解；解决以上例题需要正确　理解上述各类事件的概念，并能够结合具体的情境理　解概率的本质与意义，这样的试题能够直接考查学生　对概率基本概念的理解水平．　例４（浙江·舟山卷）红红和娜娜按如图１所示　的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列命题中　错误的是（　）．　游戏规则：若一人出“剪刀”，另一人　出“布”，则出“剪刀”者胜；若一人出　“锤子”，另一人出“剪刀”，则出“锤子”　者胜；若一人出“布”，另一人出“锤　子”，则出“布”者胜．若两人出相同的手　势，则两人平局．　

口　一霞　

＿　图ｌ　（Ａ）红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为去　

（Ｂ）红红胜或娜娜胜的概率相等　（ｃ）两人出相同手势的概率为　（Ｄ）娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样　解：红红和娜娜玩“锤子、剪刀、布”游戏，所　有可能出现的结果如表１所示．　表１　＼红红　＼　锤子　剪刀　布　娜娜＼＼　

锤子　（锤子，锤子）　（锤子，剪刀）　（锤子，布）　剪刀　（剪刀，锤子）　（剪刀，剪刀）　（剪刀，布）　布　（布，锤子）　（布，剪刀）　（布，布）　由表１可知，共有９种等可能情况．其中平局的有　３种：（锤子，锤子）、（剪刀，剪刀）、（布，布）．　

两人获胜的概率都为　，故选项Ａ为错误的命题，故　Ｊ　选Ａ．　

【评析】此题的最大特点在于紧扣简单随机事件的　概率计算这个基础知识，考查学生对概率问题本质的　理解，在解题时要注意以下两个问题：一是审题要清　楚，要准确地从图表中获取正确的信息．例如，第二　次出的手势可能与第一次相同．否则会造成错误；二　是列表要仔细有耐心，把所有可能结果通过列表或画　树状图的方式列举出来，最后再把符合题意的结果求　出，从而求出相关事件的概率．考查了学生对基础知　识的掌握情况．　例５（江苏·盐城卷）为了编撰祖国的优秀传统　文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时　参加，其中，有一道必答题是：从如图２所示的九宫格　中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑　无路”．　（１）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”　还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小　明回答正确的概率是——；　（２）小丽回答该问题时，对第　二个字是选“重”还是选“穷”、第　四个字是选“富”还是选“复”都　难以抉择，若分别随机选择，试用　列表或画树状图的方法求小丽回答　正确的概率．　

水　重　复　山　疑　路　无　复　穷　图２　

解：（１）因为小明对第二个字是选“重”还是选　“穷”难以抉择，　所以若随机选择其中一个正确的概率为　．　（２）画树状图如图３所示．　开始　／／＼　

重　穷　／＾＼　／＾＼　富　复　富　复　图３　

因为共有４种等可能结果，其中正确的有１种，　

所以小丽回答正确的概率为　．　

·　Ｓｌ　·　中国数学教育２０１８年第３期（总第１８３期）　【评析】此题的特点也是紧扣简单随机事件的概率　计算这个基础知识，考查学生对概率本质的理解．与　例４的区别在于此题中第二次试验的结果与第一次试验　结果不会重复，即第二次选到的字与第一次选到的字　不会重复，所以画树状图时第一次与第二次的结果不　能重复出现相同的字，这是一个易错点，此题要求学　生正确地用列表法或画树状图法列举出所有可能出现　的结果，考查学生对概率的计算的理解水平．　２．重视技能，考查学生对概率背景与模型的联系　与转化　例６（湖南·郴州卷）从１，一１，０＝－个数中任取　两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概　率是——．　解：列出如表２所示的表格．　表２　＼＼　一ｌ　ｌ　Ｏ　

一１　＼　（一１。１）　（一１，０）　

１　（１，一１）　＼　（１，０）　０　（０，－１）　（０，１）　＼　

由表２可知，所有等可能的情况有６种，其中该点　刚好在坐标轴上的情况有４种，　所以该点在坐标轴上的概率为　＝鲁．　Ｕ　Ｊ　例７（四川·达州卷）从一１，２，３，一６这四个数　

中任选两数，分别记作ｍ，ｎ，那么点（ｍ，ｎ１在函数　ｙ＝旦图象上的概率是——．　

解：画树状图如图４所示．　

／ｌ＼／Ｉ＼／Ｉ＼／ｌ＼　ｎ一１　３—６　２　３—６　２—１—６　２—１　３　图４　

因为共有ｌ２种等可能的结果，点（ｍ，ｎ）恰好在反　

比例函数ｙ＝　图象上的情况有（２，３），（一１，一６），　（３，２），（一６，一１），　所以点（ｍ，ｎ）在函数　＝鲁图象上的概率　

为　；　．　·　Ｓ２　·　

例８（山东·聊城卷）如果任意选择一对有序整　数（ｍ，ｎ），其中ｌｍｌ≤１，Ｉｎｌ≤３，每一对这样的有序　整数被选择的可能性是相等的，那么关于　的方程　＋　眦＋ｍ＝０有两个相等实数根的概率是——．　解：由题意可得ｍ的可能取值为０，±ｌ，ｎ的可能　取值为０，±１，±２，±３．　所以有序整数（ｍ，ｎ）的选取方法共有３　Ｘ　７＝　２１（种）．　因为方程Ｘ　＋　＋ｍ＝０有两个相等实数根，　所以需△＝ｎ　一４ｍ＝０，　即有（０，０），（１，２），（１，一２）三种可能．　所以关于　的方程　＋麟＋ｍ：０有两个相等实数根　的概率是　＝告．　二１　，　ｆｉｔＪ９　（山东·日照卷）若ｒｔ是一个两位正整数，　

且／＇ｔ的个位数字大于十位数字，则称ｎ为“两位递增　数”（如１３，３５，５６等）．在某次数学趣味活动中，每　位参加者需从由数字ｌ，２，３，４，５，６构成的所有的　“两位递增数”中随机抽取１个数，且只能抽取一次．　（１）写出所有个位数字是５的“两位递增数”；　（２）用列表法或树状图，求抽取的“两位递增　数”的个位数字与十位数字之积能被ｌ０整除的概率．　解：（１）根据题意所有个位数字是５的“两位递增　数”是１５，２５，３５，４５；　（２）画树状图如图５所示．　十位数　１　２　３　４　５　爪／Ａ＼　

个位数２　３　４　５　６　３　４　５　６　４　５　６　５　６　６　图５　

因为共有１５种等可能的结果数，其中个位数字与　十位数字之积能被１０整除的结果数为３，　所以个位数字与十位数字之积能被１０整除的概　率素　吉·　

例１０（内蒙古·赤峰卷）小明向如图６所示的正　方形ＡＢＣＤ区域内投掷飞镖，点Ｅ是以ＡＢ为直径的半圆　与对角线ＡＣ的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖　落在阴影部分的概率为（　）．　（Ａ’　１　（Ｂ）