三向应力状态的广义胡克定律
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2.连D1D2交轴于c点，即以c点为圆心，cd为半径作圆。
1 R 2
2 4 x y 2
R c
x y
2
应 力 圆
2
x y 2 2 ( ) 2
=
1 2 2 x y 4Байду номын сангаасx 2
圆轴发生扭转变形时，最大拉应力发生在（ 斜 ） 截面上，最大剪应力发生在（ 横 ）截面上。 m
在单元体上两个剪应力共同指定的象限 既为主应力1所在象限
1.应力圆的画法
y
y
R
c
B2 B1
x
x
D2 (y ,y)
D1 (x ,x)
o
x y
2 1.在—坐标系中， 该点的横纵坐标代表单元体以 量取横坐标OB1=x， x轴为外法线方向面上的应力 纵坐标B1D1=x得到D1点。 情况。同样方法得到D2点。
M ( x) M ( x)dx M C l EI EI
• M x ，M x 的图中一定有一个是线性的； • 当弯矩图较复杂时，采用叠加方法； • 当一个为曲线一个为折线时，则以折线的转 折点为界分段，对每部分使用图乘法，然后 求代数和； • 图乘法只适用于直杆，不适用于曲杆。
D
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
2 x tg 2 x y
x y x y 2 2 max( mix) ( ) x 2 2
_____
莫 尔 积 分 公 式
M x M x dx 弯曲: l EI n N i N i li 拉、压: EAi i 1 T x T x dx 扭转： l GI p 组合变形的圆截面杆
构件在求位移点处沿所求位移方向只有单位 力作用时，构件中产生的内力.
塑性材料：
m
[ ] ＜ [ ]
材料被剪断，断口平齐
脆性材料： [ ]
＜ [ ]
材料被拉断，断口与轴线 450角
三向应力状态的广义胡克定律
2
1 1 1 2 3 E 1 2 2 3 1 E 1
3
2
E cr 2 p
2
E P P
临界应力总图
粗短杆 中长杆 细长杆
Pcr cr nst nst P 稳定校核步骤:
(1) 根据压杆的实际尺寸及支承情况, 分别计算各自平面弯曲的柔度,得 出最大柔度max.
(2) 根据 max ,选择相应的临界应力 公式, 计算临界应力或临界力. (3) 进行稳定计算或利用稳定条件,进 行稳定校核.
1 3 3 1 2 E
主应力和主应变的方向重合。1 2 3
y
y z x
x
1 x x y E 1 y y x E
z
E
x
y
G
y
y z x
x
1 1 （ 2 3） 1 3
应力
N A
max
Q ＝ A jq
My IZ
QS Z IZb
jy
Pjy A jy
强度 条件
N max Amin
jy
max Tmax max WP jy
max
M max WZ
当对称结构上受反对称荷载作用时，在对称 截面上只有反对称内力，对称内力等于零。
1、构件作等加速度直线运动和匀速转动时的应力 计算(惯性力问题) 2、冲击
2h *重物从h高处自由落下： K d 1 1 st
对一个结构动荷系数只有一个，自由落体 垂直冲击动荷系数中的st是结构中受冲击点沿 冲击方向的静位移。 2 *水平冲击:
[ t ] 3 [ t ] 莫尔强度理论： 1 [ c ]
1 2 2 2 （ [ 1 2） 2 3 3 1 ] 2 r r
2 2
r 3 4
r 4 3
d Kd st
v g st
水平冲击中的 st 是假设冲击物重量沿水平 方向作用时，在冲击点沿冲击方向的静位移。
各种支承压杆临界载荷的通用公式：
EI min Pcr 2 （l）
2
一端自由，一端固定 一端铰支，一端固定 两端固定 两端铰支
＝2.0 ＝0.7 ＝0.5 ＝1.0
r 3 4 r 4 3 圆形截面：Wt 2W
2 2
2
2
1 r3 W
M T
2
2
r4
M 2 T 2 ( ) 3( ) W Wt
r4
1 W
M 0.75T
2
2
对于拉、弯、扭同时存在作用在圆形截面时:
N M 2 T 2 N M 2 T 2 r 3 ( ) ( ) r 4 ( ) 0.75( ) A W W A W W
2
2
危险点处于单相应力状态
双向弯曲（原形横截面）
M
2 2 MZ MY
2 2 MZ MY W
M W
max
M z F y M y z N x I A I
M Z MY ( ) WZ WY
M 2 T 2 r 3 ( ) 4( ) W Wt
ymax
ymax
Pl 3 48 EI Z
5ql 4 384 EI Z
max
b
h
bh Iz 12
z
3
bh Wz 6
2
Iy
y d
hb 12
3
hb Wy 6
4
2
I z I y
z
4
d
64
Wz Wy
d
3
32
y
3 D D 4 IP (1 ) Wt= ( 1- 4 ) 32 16 d
U 卡氏第二定理： i P i
Q(x) Q(x)
li
li
U i P i M ( x)i M ( x)i dxi EI P
T ( x)i T ( x)i dx li GI p P i
N ( x)i N ( x)i dxi EAi P
N ( x) N ( x)dx T x T x dx M ( x) M ( x)dx l l l EI GI p EI ※式中： N ( x)、 T ( x)、 M ( x) :
i ay yP
2 z
az
i
2 y
zP
1、中性轴不能将横截面分为两部分 2、截面核心的形状受截面外边界控制
3、中性轴和力的作用点分别在截面形心两侧
组 Q(x) 合 Q(x) 变 形 的 杆内总变形能: 变 2 2 2 N ( x ) T ( x ) M ( x ) 形U dx dx dx l 2 EA l 2GI l 2 EI P 能
轴向拉.压
扭
转
弯
曲
NL ＝ T L M EIf ( x ) L ＝ 变形 G IP EA Tmax 180 L f max f max 刚度条件 GI P L
x
虎克定律
E
G
超静定 问题
1、静平衡方程 2、变形协调方程
1 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 2 21 X 1 22 X 2 X 23 X 3 2 P 0 3 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3P 0
当对称结构上受对称荷载作用时,在对称截面 上,只有对称内力，反对称内力等于零。
三向应力状态的 广义胡克定律
轴向拉.压 剪 切
受力 内力
P P P P P P
扭 转
m P(kw) m 9549 n(r / min)
弯 曲
m m
变形特点
轴力 N
(截面法) N
P一侧
剪力 Q 挤压力 Pjy
T m一侧 弯矩m Px一侧
T IP
扭矩 T
Q P一侧 剪力
转 角
Ml max EI Pl 2 max 2 EI ql 3 max 6 EI Ml Ml 、 3EI 6 EI
max
Pl 2 16 EI Z ql 3 24 EI Z
挠 度
ymax Ml 2 2 EI
Pl 3 ymax 3EI4 ql ymax 8EI
1 R 2
2 4 x y 2
R c
x y
2
应 力 圆
2
x y 2 2 ( ) 2
=
1 2 2 x y 4Байду номын сангаасx 2
圆轴发生扭转变形时，最大拉应力发生在（ 斜 ） 截面上，最大剪应力发生在（ 横 ）截面上。 m
在单元体上两个剪应力共同指定的象限 既为主应力1所在象限
1.应力圆的画法
y
y
R
c
B2 B1
x
x
D2 (y ,y)
D1 (x ,x)
o
x y
2 1.在—坐标系中， 该点的横纵坐标代表单元体以 量取横坐标OB1=x， x轴为外法线方向面上的应力 纵坐标B1D1=x得到D1点。 情况。同样方法得到D2点。
M ( x) M ( x)dx M C l EI EI
• M x ，M x 的图中一定有一个是线性的； • 当弯矩图较复杂时，采用叠加方法； • 当一个为曲线一个为折线时，则以折线的转 折点为界分段，对每部分使用图乘法，然后 求代数和； • 图乘法只适用于直杆，不适用于曲杆。
D
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
2 x tg 2 x y
x y x y 2 2 max( mix) ( ) x 2 2
_____
莫 尔 积 分 公 式
M x M x dx 弯曲: l EI n N i N i li 拉、压: EAi i 1 T x T x dx 扭转： l GI p 组合变形的圆截面杆
构件在求位移点处沿所求位移方向只有单位 力作用时，构件中产生的内力.
塑性材料：
m
[ ] ＜ [ ]
材料被剪断，断口平齐
脆性材料： [ ]
＜ [ ]
材料被拉断，断口与轴线 450角
三向应力状态的广义胡克定律
2
1 1 1 2 3 E 1 2 2 3 1 E 1
3
2
E cr 2 p
2
E P P
临界应力总图
粗短杆 中长杆 细长杆
Pcr cr nst nst P 稳定校核步骤:
(1) 根据压杆的实际尺寸及支承情况, 分别计算各自平面弯曲的柔度,得 出最大柔度max.
(2) 根据 max ,选择相应的临界应力 公式, 计算临界应力或临界力. (3) 进行稳定计算或利用稳定条件,进 行稳定校核.
1 3 3 1 2 E
主应力和主应变的方向重合。1 2 3
y
y z x
x
1 x x y E 1 y y x E
z
E
x
y
G
y
y z x
x
1 1 （ 2 3） 1 3
应力
N A
max
Q ＝ A jq
My IZ
QS Z IZb
jy
Pjy A jy
强度 条件
N max Amin
jy
max Tmax max WP jy
max
M max WZ
当对称结构上受反对称荷载作用时，在对称 截面上只有反对称内力，对称内力等于零。
1、构件作等加速度直线运动和匀速转动时的应力 计算(惯性力问题) 2、冲击
2h *重物从h高处自由落下： K d 1 1 st
对一个结构动荷系数只有一个，自由落体 垂直冲击动荷系数中的st是结构中受冲击点沿 冲击方向的静位移。 2 *水平冲击:
[ t ] 3 [ t ] 莫尔强度理论： 1 [ c ]
1 2 2 2 （ [ 1 2） 2 3 3 1 ] 2 r r
2 2
r 3 4
r 4 3
d Kd st
v g st
水平冲击中的 st 是假设冲击物重量沿水平 方向作用时，在冲击点沿冲击方向的静位移。
各种支承压杆临界载荷的通用公式：
EI min Pcr 2 （l）
2
一端自由，一端固定 一端铰支，一端固定 两端固定 两端铰支
＝2.0 ＝0.7 ＝0.5 ＝1.0
r 3 4 r 4 3 圆形截面：Wt 2W
2 2
2
2
1 r3 W
M T
2
2
r4
M 2 T 2 ( ) 3( ) W Wt
r4
1 W
M 0.75T
2
2
对于拉、弯、扭同时存在作用在圆形截面时:
N M 2 T 2 N M 2 T 2 r 3 ( ) ( ) r 4 ( ) 0.75( ) A W W A W W
2
2
危险点处于单相应力状态
双向弯曲（原形横截面）
M
2 2 MZ MY
2 2 MZ MY W
M W
max
M z F y M y z N x I A I
M Z MY ( ) WZ WY
M 2 T 2 r 3 ( ) 4( ) W Wt
ymax
ymax
Pl 3 48 EI Z
5ql 4 384 EI Z
max
b
h
bh Iz 12
z
3
bh Wz 6
2
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y d
hb 12
3
hb Wy 6
4
2
I z I y
z
4
d
64
Wz Wy
d
3
32
y
3 D D 4 IP (1 ) Wt= ( 1- 4 ) 32 16 d
U 卡氏第二定理： i P i
Q(x) Q(x)
li
li
U i P i M ( x)i M ( x)i dxi EI P
T ( x)i T ( x)i dx li GI p P i
N ( x)i N ( x)i dxi EAi P
N ( x) N ( x)dx T x T x dx M ( x) M ( x)dx l l l EI GI p EI ※式中： N ( x)、 T ( x)、 M ( x) :
i ay yP
2 z
az
i
2 y
zP
1、中性轴不能将横截面分为两部分 2、截面核心的形状受截面外边界控制
3、中性轴和力的作用点分别在截面形心两侧
组 Q(x) 合 Q(x) 变 形 的 杆内总变形能: 变 2 2 2 N ( x ) T ( x ) M ( x ) 形U dx dx dx l 2 EA l 2GI l 2 EI P 能
轴向拉.压
扭
转
弯
曲
NL ＝ T L M EIf ( x ) L ＝ 变形 G IP EA Tmax 180 L f max f max 刚度条件 GI P L
x
虎克定律
E
G
超静定 问题
1、静平衡方程 2、变形协调方程
1 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 2 21 X 1 22 X 2 X 23 X 3 2 P 0 3 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3P 0
当对称结构上受对称荷载作用时,在对称截面 上,只有对称内力，反对称内力等于零。
三向应力状态的 广义胡克定律
轴向拉.压 剪 切
受力 内力
P P P P P P
扭 转
m P(kw) m 9549 n(r / min)
弯 曲
m m
变形特点
轴力 N
(截面法) N
P一侧
剪力 Q 挤压力 Pjy
T m一侧 弯矩m Px一侧
T IP
扭矩 T
Q P一侧 剪力
转 角
Ml max EI Pl 2 max 2 EI ql 3 max 6 EI Ml Ml 、 3EI 6 EI
max
Pl 2 16 EI Z ql 3 24 EI Z
挠 度
ymax Ml 2 2 EI
Pl 3 ymax 3EI4 ql ymax 8EI