三向应力状态的广义胡克定律
材料学 胡克定律
l
b=50mm h=100mm
解: 梁为拉伸与弯曲的组合变形. A点有拉伸引起的正应力和弯曲 引起的切应力.
（拉伸） （负）
（1）A点处的主应变1， 2 ， 3
A
x = 20
x = 30
（2）A点处的线应变 x , y , z
例题14 简支梁由18号工字钢制成. 其上作用有力F= 15kN, 已知
2.三向等值应力单元体的体积应变（The volumetric strain of triaxial-equal stress element body）
三个主应力为
m
单元体的体积应变
m
m
这两个单元体的体积应变相同 单元体的三个主应变为
2
1
dy
3
dz dx
m
m
m
如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应 变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例. 所以在三向
因此,该圆筒变形后的厚度并无变化,仍然为 d =10mm .
例题13 已知矩形外伸梁受力F1,F2作用. 弹性模量E=200GPa,泊
松比m= 0.3, F1=100KN,F2=100KN. 求:（1）A点处的主应变 1,2 , 3 （2）A点处的线应变 x , y , z
F1
b
F2 A
F2 z
a
例题10 边长 a = 0.1m 的铜立方块,无间隙地放入体积较大,变形
可略去不计的钢凹槽中,如图所示. 已知铜的弹性模量E=100GPa,
泊松比μ=0.34,当受到F=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主
应力,体积应变以及最大切应力.
解:铜块横截面上的压应力
Fa
应力与应变间的关系
22
例题7-7 边长 a = 0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入体积较
大, 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图 所示。 已知铜的弹 性模量 E=100GPa, 泊松比 =0.34, 当受到P=300kN 的均布 压力作用时, 求该铜块的主应力. 体积应变以及最大剪应力。
P a
y
z
x
23
y
解：铜块上截面上的压应力为
9
3、 特例
（1）平面应力状态下(假设 Z = 0 )
x
1 E
(
x
y)
y
1 E
(
y
x)
z E ( x y)
xy
xy
G
10
（2） 广义胡克定律用主应力和主应变表示时 三向应力状态下：
1
1
E [ 1
(
2
3)]
2
1 E
[
2
(
3
1)]
3
1 E
[
3
( 1
2)]
(7-7-6)
11
平面应力状态下 设 3 = 0, 则
x y z x y y z z x
y
σy
上面
x y z x y y z z x
1、各向同性材料的广义胡克定律 （1）符号规定
τ yx
τ τ yz
xy
τ τ zy xz
τ zx
右侧面
σx
(a)三个正应力分量：拉应力为正
σz
x
o
压应力为负。 z
前面
3
(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴
dxdydz
dxdydz(1 1 2 3) dxdydz
dxdydz
广义胡克定律
§空间应力状态及广义胡克定律一、空间应力状态简介当单元体上三个主应力均不为零时的应力状态称为空间应力状态，也称为三向应力状态。
本节只讨论在已知主应力σ1、σ2、σ3的条件下，单元体的最大正应力和最大剪应力。
先研究一个与σ1平行的斜截面上的应力情况，如图10-16(a)所示。
该斜面上的应力σ、τ与σ1无关，只由主应力σ2、σ3决定。
于是，可由σ2、σ3确定的应力圆周上的点来表示平行于σ1某个斜面上的正应力和剪应力。
同理，在平行于σ2或σ3的斜面上的应力σ、τ，也可分别由（σ1、σ3）或（σ1、σ2）确定的应力圆来表示。
这样作出的3个应力圆称作三向应力圆，如图10-16（d）所示。
当与三个主应力均不平行的任意斜面上的正应力和剪应力必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内的某一点D。
D点的纵横坐标值即为该斜面上的正应力和剪应力。
由于D点的确定比较复杂且不常用，在此不作进一步介绍。
图10-16 空间应力状态及其应力圆二、最大、最小正应力和最大剪应力从图10-16(d)看出，在三个应力圆中，由σ1、σ3所确定的应力圆是三个应力圆中最大的应力圆，又称极限应力圆。
画阴影线的部分内，横坐标的极大值为Al 点，而极小值为B1点，因此，单元体正应力的极值为：σmax =σ1，σmin =σ3单元体中任意斜面上的应力一定在σ1和σ3之间。
而最大剪应力则等于最大应力圆上Gl 点的纵坐标，即等于该应力圆半径：13max 2σστ-=Gl 点在由σ1和σ3所确定的圆周上，此圆周上各点的纵横坐标就是与σ2轴平行的一组斜截面上的应力，所以单元体的最大剪应力所在的平面与σ2轴平行，且与σ1和σ3主平面交450。
三、广义胡克定律在研究单向拉伸与压缩时，已经知道了在线弹性范围内，应力与应变成线性关系，满足胡克定律 E σε= （a ）此外，轴向变形还将引起横向尺寸的变化，横向线应变根据材料的泊松比可得出：'E σεμεμ=-=- （b ）在纯剪切的情况下，根据实验结果，在剪应力不超过剪切比例极限时，剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律，即G τγ= 或 G τγ= （c ）对于复杂受力情况，描述物体一点的应力状态，通常需要9个应力分量，如图所示。
应力状态广义胡克定律
低碳钢拉伸
TSINGHUA UNIVERSITY
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
两种材料的扭转试验
低碳钢扭转
铸铁扭转
TSINGHUA UNIVERSITY
为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
TSINGHUA UNIVERSITY
为什么要研究应力状态 试件的破坏不只在横截面，
有时也沿斜截面发生破坏；
90
2
sin 2(
90 )
cos2
பைடு நூலகம்
2
sin 2
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3 提取扭转变形杆件危险点的应力状态
T
Wt
纯剪切应力状态
TSINGHUA UNIVERSITY
4 提取横力弯曲变形杆件下边缘一点的应力状态
M
Wz
单向应力状态
5 提取横力弯曲变形杆件任意一点的应力状态
应力的点的概念与面的概念
应力
哪一个面上？ 哪一点？
指明
哪一点？ 哪个方向面？
应力状态:
——过同一点不同方向面上应力的集合，称 为这一点的应力状态；
TSINGHUA UNIVERSITY
二、为什么要研究应力状态？
请看下列实验现象：
低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验
两种材料的拉伸试验
三
平
向
面
应
应
力
力
状 特例 状
态
态
单向应力状态
特例
纯剪应力状态
常用术语 主单元体 主平面
x1
x1
TSINGHUA UNIVERSITY
主应力 单元体的某个面上切应力等于零时的正应力;
材料力学：第八章-应力应变状态分析
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
应力状态分析3广义胡克定律与强度理论土
应力状态分析有助于了解结构的承载能力和稳定性， 为工程设计和安全评估提供依据。
应力状态分类
01
02
03
平面应力状态
物体受力作用在两个相互 垂直的平面上，且这两个 平面上的应力分量不相等。
平面应变状态
物体受力作用在两个相互 垂直的平面上，且这两个 平面上的应变分量不相等。
三向应力状态
物体在三个相互垂直的方 向上均受到应力作用，且 三个方向的应力分量都不 相等。
地基承载力特征值的确定需要考虑地质勘查报告、建筑物类型、基础形式等多种因素。
地基变形分析
地基变形分析是指对建筑物地基在不同荷载作用下的变形情况进行评估和分析，以确保建筑物在使用过程中不会发生过大的 沉降、倾斜或裂缝等不良现象。
地基变形分析的方法包括：沉降观测、倾斜测量、裂缝监测等。
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有限元法
有限元法是一种数值分析方法，通过 将土体离散化为有限个单元体，建立 数学模型并求解，可以更准确地模拟 土坡的应力分布和变形情况。
有限元法的优点在于能够考虑土体的 非线性特性和复杂的边界条件，适用 于大型复杂土坡的稳定性分析。
地基承载力特征值
地基承载力特征值是指地基在垂直荷载作用下所能承受的极限压力，是评估建筑物地基稳定性的重要 指标。
在有限元分析中，强度理论用于模拟和分析复杂应力状态 下结构的响应和行为，为工程实践提供更精确和可靠的计 算结果。
04
土的特性与力学行为
土的分类与性质
土的分类
根据土的成因、粒径、物质组成等， 可以将土分为多种类型，如碎石土、 砂土、粘性土等。
土的性质
土的性质包括物理性质和力学性质。 物理性质包括密度、含水量、孔隙比 等；力学性质包括抗剪强度、压缩性、 抗拔能力等。
三向应力状态的广义胡克定律
• 图乘法只适用于直杆，不适用于曲杆。
1 11X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 2 21X1 22 X 2 X 23X 3 2P 0 3 31X1 32 X 2 33X 3 3P 0
B1
x y
1.在—坐标系中，
2
该点的横纵坐标代表单元体以
量取横坐标OB1=x， x轴为外法线方向面上的应力
纵坐标B1D1=x得到D1点。情况。同样方法得到D2点。
2.连D1D2交轴于c点，即以c点为圆心，cd为半径作圆。
R 1 2
x y 2 4 2
R c
x y
2
应
力
圆
(
x
2
T
IP
My
IZ
QS Z
IZb
强度 条件
max
N max Amin
jy jy
max
Tmax WP
max
M max WZ
max
轴向拉.压 扭 转
弯曲
变形
L＝ NL EA
＝ T L
G IP
EIf (x) M x
刚度条件 L L
Tmax 180
dxi
li
T (x)i GI p
T (x)i P
dxi
li
N ( x)i EAi
N (x)i P
dxi
莫 弯曲: 尔
l
M
x
M
EI
x
dx
积 拉、压:
分 公
扭转：
n N i N i li
i 1
EAi
l
T
x
三向应力
z
s z s 30 s 120 ) （
我们应该把X，Y，Z理解 成任意三个垂直的方向
特例（主单元体）
s
2
s3
s1
s
2
s1
1 2 3
1 E 1 E 1 E (s 1 s 2 ) (s s 1 )
s1
1 2 3
1 E 1 E 1 E (s 1 0 )
xy
2 xy
x y
例： 已知一点在某一平面内的 1、 2、 3、方向上的应变 1、
2、 3，三个线应变，求该面内的主应变。
解：由
x cos i y sin i
2 2
i
xy
sin i cos i
i =1,2,3这三个方程求出 x， y， x y；然后在求主应变。
2
co s 2
xy
2
sin 2
x y
2
sin 2
y
xy
2
co s 2
2 s x s t
2
s
s x s
s x s
2
y
cos 2 t xy sin 2
y
sin 2 t xy cos 2
二、应变分析图解法——应变圆（ Strain Circle）
1） x1 方 向 的 线 应 变 ； .沿 2）x1 y 1角 的 剪 应 变 。 .
dx
f ( x , y , z , xy , ) g ( x , y , z , xy , )
y1
y
x1
dy
三向应力状态简介
变形比能： 1 u 2
2
1 1 1 u 1 1 2 2 3 3 2 2 2
1 3
变形比能： 1 1 1 u 1 1 2 2 3 3 2 2 2
1 2 2 1 2 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E 1
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力
（应力单位为MPa）。
解： 1 50MPa
2 50MPa 3 50MPa max 1 3
2 50MPa
CL10TU33
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力
（应力单位为MPa）。
CL10TU34
解：
120 40 2 2
3(1 2 ) 2 1 2 2 m ( 1 2 3 ) uv 2E 6E
u f u uv
12 2 2 2 m ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 6E
m
1 2 3
3
3 ( 1 2 ) 1 2 3 m 变形比能 = 体积改变比能 + 形状改变比能 E 3 K u = u + u
v
f CL10TU41
1 2 2 u 1 2 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E
1 式中：
E 1 体积弹性模量 K 3 (12 2 ) 2 （ 3 1 ） E 1 2 3 m 1 3 3 （ 1 2 ） 3 E 当 05 . 时， 0
2
3 1
1 3
§7-4各向同性材料的应力、应变关系一、广义胡克定律
σy
解： （1）求应变εx, εy ,εz 根据广义胡克定律：
σx
O
= ε x
1 E
(σ
x
−
µσ
y
)
=
1 200 ×
109
(160
×
106
+
0.25
×
40
×
106
)
=
8.5 ×10−4
εy
=1 E
(σ
y
−
µσ x )
= 200
1 ×
109
(−40 × 106
−
0.25×160×106 )
=−4 × 10−4
例: 刚性块D=5.001cm凹座，内放d=5cm刚性
圆柱体，F=300kN, E=200GPa, µ = 0.3,无摩擦，
求圆柱体主应力。
解：
σ3
=− F A
=− π30×05×012043
=−153MPa
F
设圆柱体胀满凹座
ε2 = (5.001− 5) 5= 0.0002
由对称性，可设 σ1 = σ2 = −q
(2) 坐标系转动30o，求 ε γ 30, 30/120
解：（ii）由应力转轴公式
σ= 30
σx
+σ y
2
+
σx
−σ
2
y
cos 2 × 30
−τ x
sin 2 × 30
= 160 − 40 + 160 + 40 cos 60 = 110MPa
2
2
（应力单位：MPa）
τ 30
σ
x
−σ
2
y
三向应力状态简介4广义胡克定律5
三、应力状态的研究方法
取单元体 1、单元体特征 单元体的尺寸无限小，
2
1 3 2
3 1
每个面上应力均匀分布
任意一对平行平面上的应力相等 2、主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体
3、主平面 4、主应力 说明:
切应力为零的截面 主平面上的正应力
重要结论：
(1) 同一面上不同点的应力各不相同;
(2) 同一点不同方向面上的应力也是各不相同
一点的应力状态
过一点不同方位面上应力的总和，称为这一点的应力 状态。
二、研究应力状态的目的
1. 解决复杂应力状态下的强度计算问题 2. 有助于理解和解释某些破坏现象 例如
为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？
(2)当x<y 时 ， 0 是x与min之间的夹角
3. 最大切应力
令
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2 x sin 2
sin 2 x cos 2
x y d 2[ cos 2 x sin 2 ] 0 d 2
F
t
0
dA ( x dAcos )cos
( x dA cos )sin ( y dA sin )sin ( y dA sin )cos 0
化简以上两个平衡方程最后得
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2 x sin 2
sin 2 x cos 2
不难看出
90 x y
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
总结材料力学、弹性力学、有限元三门课程解决问题的思路和步骤,指出其异同点
总结材料力学、弹性力学、有限元三门课程解决问题的思路和步骤，指出其异同点航天航空学院1334班艾松学号：4113006012线性关系，这类问题称为几何非线性问题。
③物理非线性问题。
在这类问题中，材料内的变形和内力之间〔如应变和应力之间〕不满足线性关系，即材料不服从胡克定律。
在几何非线性问题和物理非线性问题中，叠加原理失效。
解决这类问题可利用卡氏第一定理、克罗蒂－恩盖塞定理或采用单位载荷法等。
在许多工程构造中，杆件往往在复杂载荷的作用或复杂环境的影响下发生破坏。
例如，杆件在交变载荷作用下发生疲劳破坏,在高温恒载条件下因蠕变而破坏,或受高速动载荷的冲击而破坏等。
这些破坏是使机械和工程构造丧失工作能力的主要原因。
所以，材料力学还研究材料的疲劳性能、蠕变性能和冲击性能。
材料力学根本公式〔解决问题方法〕： 一、应力与强度条件 拉压：[]σσ≤=maxmax AN平衡微分方程〔1〕几何方程〔2〕物理方程〔3〕成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于构造力学，后来随着计算机的开展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个剪切：[]ττ≤=AQ max挤压：[]挤压挤压挤压σσ≤=AP圆轴扭转：[]ττ≤=W tTmax 平面弯曲： ①[]σσ≤=maxzmax W M②[]max t max t maxmax σσ≤=y I M z t max c max maxy I Mzc =σ[]cnax σ≤ ③[]ττ≤⋅=bI S Q z *max z max max斜弯曲：[]σσ≤+=maxyyz z max W M W M拉〔压〕弯组合：[]σσ≤+=maxmax zW MA N[]t max t z max t σσ≤+=y I M A N z []c max c z z max c σσ≤-=ANy I M 圆轴弯扭组合： ① 第三强度理论[]στσσ≤+=+=z2n2w2n 2w r34W M M(1)式中的σx 、σy 、σz 、τyz=τzy 、τxz=τzx 、τxy=τyx 为应力分量，X 、Y 、Z 为单位体积的体力在三个坐标方向的分量；(2)式中的u 、v 、w 为位移矢量的三个分量〔简称位移分量〕，εx 、εy 、εz 、γyz 、γxz 、γxy 为应变分量；(3)式中的E 和v 分别表示杨氏弹性模量和泊松比。
胡克定律
E
• 简单应力状态的胡克定律和横向效应：
广义胡克定律
• 把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则 可得到广义胡克定律。胡克定律为弹性力学的发 展奠定了基础。 • 对用主单元体表示的三向应力状态，有σx, σy, σz 三个主应力，可以把它们看做是三组单向应力的 组合，如图所示：
• 在纯剪切的情况下，在剪应力不超过剪切 比例极限时，剪应力和剪应变之间的关系 服从剪切胡克定律，即 G 或 G
• 单向拉伸与压缩时，在线弹性范围内，应 力与应变成线性关系，满足胡克定律
E
• 此外，轴向变形还将引起横向尺寸的变化， 横向线应变根据材料的泊松比可得出：
• 在正应力σx单独作用时(图(b))，单元体在x方向的线应变
xx x E
• 在σy单独作用时(图(c))，单元体在x方向的线应变为 用时(图(d))，单元体在x方向的线应变为 xz E
• 在σx、σy、σz共同作用下，单元体在x方向的线应变为
• 由于应力张量、应变张量和弹性系数张量存在对 称性（应力张量的对称性就是材料力学中的剪应 力互等定理），81个弹性常数中对于最一般的材 料也只有21个是独立的。
1 z z ( x y ) E
• 对于剪应变与剪应力之间，由于剪应变只与剪应 力有关，并且剪应力只能引起与其相对应的剪应 变分量的改变，而不会影响其它方向上的剪应变。 在xy、yz、zx三个面内的剪应变分别是
xy
1 2(1 ) xy xy G E
主要内容
1. 胡克定律 2. 广义胡克定律
胡克定律
• 胡克定律（Hooke‘s law）：
在弹性极限内，弹性体的应力与应变成正比， 其关系式为σ=Εε 满足胡克定律的材料称为线弹性或胡克型材料。
胡克定律的定义
胡克定律的定义胡克定律的别称是弹性定律，适用的领域范围是现实世界中复杂的非线性现象。
下面是店铺给大家整理的胡克定律的定义，供大家参阅!胡克定律的定义与表达式胡克定律(Hooke's law)，又译为虎克定律，是力学弹性理论中的一条基本定律，表述为：固体材料受力之后，材料中的应力与应变(单位变形量)之间成线性关系。
满足胡克定律的材料称为线弹性或胡克型(英文Hookean)材料。
从物理的角度看，胡克定律源于多数固体(或孤立分子)内部的原子在无外载作用下处于稳定平衡的状态。
许多实际材料，如一根长度为L、横截面积A的棱柱形棒，在力学上都可以用胡克定律来模拟——其单位伸长(或缩减)量(应变)在常系数E(称为弹性模量)下，与拉(或压)应力σ成正比例，即：F=-k·x或△F=-k·Δx。
其中为总伸长(或缩减)量。
胡克定律用17世纪英国物理学家罗伯特·胡克的名字命名。
胡克提出该定律的过程颇有趣味，他于1676年发表了一句拉丁语字谜，谜面是：ceiiinosssttuv。
两年后他公布了谜底是：ut tensio sic vis，意思是“力如伸长(那样变化)”，这正是胡克定律的中心内容。
胡克定律的表达式为F=k·x或△F=k·Δx，其中 k是常数，是物体的劲度(倔强)系数。
在国际单位制中， F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量(弹性形变)，k的单位是牛/米。
劲度系数在数值上等于弹簧伸长(或缩短)单位长度时的弹力。
弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。
在现代，仍然是物理学的重要基本理论。
胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量(或压缩量)x成正比，即F= -k·x 。
k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长(或压缩)的方向相反。
为了证实这一定律，胡克还做了大量实验，制作了各种材料构成的各种形状的弹性体。
总结材料力学、弹性力学、有限元三门课程解决问题的思路和步骤,指出其异同点
总结材料力学、弹性力学、有限元三门课程解决问题的思路和步骤，指出其异同点航天航空学院1334班艾松学号：4113006012杆件在多种外力共同作用下的变形(或力)，可先分别求出各外力单独作用下杆件的变形(或力)，然后将这些变形（或力）叠加，从而得到最终结果。
②几何非线性问题。
若杆件变形较大，就不能在原有几何形状的基础上分析力的平衡，而应在变形后的几何形状的基础上进行分析。
这样，力和变形之间就会出现非线性关系，这类问题称为几何非线性问题。
③物理非线性问题。
在这类问题中，材料的变形和力之间（如应变和应力之间）不满足线性关系，即材料不服从胡克定律。
在几何非线性问题和物理非线性问题中，叠加原理失效。
解决这类问题可利用卡氏第一定理、克罗蒂－恩盖塞定理或采用单位载荷法解。
直角坐标系下的弹性力学的基本方程为：平衡微分方程（1）几何方程（2）物理方程（3）(1)式中的σx、σy、σz、τyz=τzy、τxz=τzx、τxy=τyx为应力分量，X、Y、函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单二、变形及刚度条件 拉压：∑⎰===∆LEAxx N EAL N EANLL d )(ii 扭转：()⎰=∑==Φpp i i p GI dx x T GI L T GI TLπφ0180⋅=Φ=p GI T L弯曲：(1)积分法：)()(''x M x EIy =C x x M x EI x EIy +==⎰d )()()('θD Cx x x x M x EIy ++=⎰⎰d ]d )([)((2)叠加法：()21,P P f …=()()21P f P f ++…()21,P P θ=()()++21P P θθ…三、应力状态与强度理论 二向应力状态斜截面应力：ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=二向应力状态极值正应力及所在截面方位角：到。
材料力学常用基本公式
材料力学常用基本公式1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速）2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正）4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）6.纵向线应变和横向线应变7.泊松比8.胡克定律9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式11.轴向拉压杆的强度计算公式12.许用应力，脆性材料，塑性材料13.延伸率14.截面收缩率15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式20.扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆21.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0/10 ，R为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GHp的关系式23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或24.等直圆轴强度条件25.塑性材料；脆性材料26.扭转圆轴的刚度条件? 或27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,28.平面应力状态下斜截面应力的一般公式,29.平面应力状态的三个主应力,,30.主平面方位的计算公式31.面内最大切应力32.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，33.三向应力状态最大与最小正应力,34.三向应力状态最大切应力35.广义胡克定律36.四种强度理论的相当应力37.一种常见的应力状态的强度条件，38.组合图形的形心坐标计算公式，39.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式40.截面图形对轴z和轴y的惯性半径?,41.平行移轴公式（形心轴z c与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）42.纯弯曲梁的正应力计算公式43.横力弯曲最大正应力计算公式44.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数?，，45.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z 的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）46.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处47.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式48.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式49.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处50.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处51.弯曲正应力强度条件52.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件53.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，54.梁的挠曲线近似微分方程55.梁的转角方程56.梁的挠曲线方程?57.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式58.偏心拉伸（压缩）59.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，60.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为61.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式62.63.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式64.剪切实用计算的强度条件65.挤压实用计算的强度条件66.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式67.压杆的约束条件：（a）两端铰支μ=l（b）一端固定、一端自由μ=2（c）一端固定、一端铰支μ=0.7（d）两端固定μ=0.5 68.压杆的长细比或柔度计算公式，69.细长压杆临界应力的欧拉公式70.欧拉公式的适用范围71.压杆稳定性计算的安全系数法72.压杆稳定性计算的折减系数法73.关系需查表求得3 截面的几何参数4 应力和应变5 应力状态分析6 内力和内力图7 强度计算））8 刚度校核9 压杆稳定性校核10 动荷载11 能量法和简单超静定问题材料力学公式汇总一、应力与强度条件 1、 拉压 []σσ≤=maxmax AN2、 剪切 []ττ≤=AQmax 挤压 []挤压挤压挤压σσ≤=AP3、 圆轴扭转 []ττ≤=W tTmax 4、平面弯曲 ①[]σσ≤=maxz max W M②[]max t max t max max σσ≤=y I M ztmax c max max y I Mzc =σ[]cnax σ≤③[]ττ≤⋅=bI S Q z *max z max max5、斜弯曲 []σσ≤+=maxyyz z max W M W M6、拉（压）弯组合 []σσ≤+=maxmax zW M A N[]t max t zmax t σσ≤+=y I M A N z[]c max c z z max c σσ≤-=A N y I M 注意：“5”与“6”两式仅供参考7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论 []στσσ≤+=+=z2n2w 2n2wr34W M M②第四强度理论[]στσσ≤+=+=z2n2w 2n2wr475.03W M M二、变形及刚度条件１、 拉压 ∑⎰===∆LEAxx N EALN EANL L d )(ii２、 扭转 ()⎰=∑==Φpp i i p GI dxx T GI LT GI TL πφ0180⋅=Φ=p GI T L （m / ）３、 弯曲(1)积分法:)()(''x M x EIy = C x x M x EI x EIy +==⎰d )()()('θ D Cx x x x M x EIy ++=⎰⎰d ]d )([)((2)叠加法:()21,P P f …=()()21P f P f ++…， ()21,P P θ=()()++21P P θθ…(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)EI ML B =θ EI PL B 22=θ EIqL B 63=θEIML f B 22=EI PL f B 33= EI qL f B 84=EIML B3=θ,EI MLA 6=θEIPL A B 162==θθEIqL A B 243==θθEIML f c 162=EIPL f c 483=EIqLf c 3844=(4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出)EIL M U 22==ii i EI L M 22∑=()⎰EIdx x M 22 (5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)=∂∂=∆i i P U ()()⎰∂∂∑dx P x M EI x M i三、应力状态与强度理论 １、 二向应力状态斜截面应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=２、 二向应力状态极值正应力及所在截面方位角PAB MAB A BqL LLLL22min max )2(2xyy x y x τσσσσσσ+-±+=yx xyσστα--=22tg 0３、 二向应力状态的极值剪应力22max )2(xyyx τσστ+-=注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为450４、 三向应力状态的主应力：321σσσ≥≥最大剪应力：231max σστ-=5、二向应力状态的广义胡克定律（1）、表达形式之一（用应力表示应变）)(1y x x Eμσσε-= )(1x y y Eμσσε-= )(y x zEσσμε+-= Gxyxy τγ=（2）、表达形式之二（用应变表示应力）)(12y x x E μεεμσ+-= )(12x y y Eμεεμσ+-= 0=z σ xy xy G γτ=6、三向应力状态的广义胡克定律()[]z y x x Eσσμσε+-=1()z y x ,,Gxyxy τγ=()zx yz xy ,,7、强度理论 （1）[]111σσσ≤=r ()3212σσμσσ+-=r []σ≤[]bb n σσ=（2）[]σσσσ≤-=313r()()()[]213232221421σσσσσσσ-+-+-=r []σ≤ []ss n σσ=8、平面应力状态下的应变分析 （1）αγαεεεεεα2sin 22cos 22⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++=xyyx y x+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-αεεγα2sin 22yx αγ2cos 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy （2）22min max 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=xy y x y x γεεεεεεyx xyεεγα-=02tg四、压杆稳定1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）①细长受压杆 p λλ≥ ()2min 2cr L EI P μπ= 22cr λπσE=②中长受压杆 s p λλλ≥≥ λσb a -=cr③短粗受压杆s λλ≤ “cr σ”=s σ或 b σ2、关于柔度的几个公式 i Lμλ= p2p σπλE=ba s s σλ-=3、惯性半径公式AI i z= （圆截面4di z =，矩形截面12min b i =（b 为短边长度））五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式） 能量方程 U V T ∆=∆+∆冲击系数 std 211∆++=hK （自由落体冲击）st20d ∆=g v K （水平冲击）六、截面几何性质1、 惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）⎰=dA I P 2ρ=324d π ()44132απ-D Dd =α ⎰==6442d dA y I z π ()44164απ-D 123bh123hb 323maxd y I W zz π==()43132απ-D62bh62hb2、惯性矩平移轴公式A a I I 2zc z +=。
应力状态-广义虎克定律
F A E 0 A 785 KN
（3）计算外力偶m.
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1 u 45 45 45 z 400 10 6 E
45
2
z 0,
2
2
2
cos 2 ( 45 ) sin 2 ( 45 )
TSINGHUA UNIVERSITY
M2
A B
M1
6、大体积刚块上有一圆孔，孔的直径为D＝5.001厘
米。孔内放一直径为ｄ＝5厘米的圆柱，圆柱上承 受P＝300KN的压力，圆柱材料的弹性模量为E＝ 200GPａ，泊松比μ＝0.3。求圆柱内的三个主应力。
P
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7、薄壁圆筒的内径为D＝60毫米，壁厚ｔ＝1.5毫
0 0
45
2
cos 2 45 sin 2 45
0 0
2
1 E
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400 10
6
34.6 106 N / m 2
m
16
D 3 6.79 KN m
1、60毫米×90毫米的矩形截面外伸梁，竖放。材 料的弹性模量为E＝200GPa，泊松比为u=0.3。 测得A点处ε-45＝200×10-6。若已知P1＝80KN， 求P2＝？
P2 A B
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D
C
P1
3、材料的弹性模量E，泊松比μ 已知，则最大 线应变ε 1=?
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三向应力
2
x y
2
x y
2
s in 2
xy
c o s 2
2
x y
2
s in 2
至此，完成了应变规律的研究，即：
2
c o s 2
xy
s in 2
(A) (B)
2
x y
2
xy
c o s 2
2
2
x y
2
x y
*
*
xy
sin
2
显 然 ， ( )即 为 直 角 x 1 y 1角 度 改 变 ， 而 这 一 角 度 改 变 也 就 是 剪 应 变 。 所 以
*
2 ( x y ) c o s s in
xy
s in
2
将上式略作改变便可以写为
1 2 3
y
(s 1 s 3 )
3
30
E
s 3
(s
2
s 1 )
30
1 E
s 30 s 120 s z ) （
30
x
120
1 E
1 E
s 120 s 30 s z ) （
z
微分线段的线应变为
d (l ) ds
xy
d x s in
x d x co s
ds
y d y sin
材料力学常用基本公式
1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速）2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正）4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）6.纵向线应变和横向线应变7.泊松比8.胡克定律9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式11.轴向拉压杆的强度计算公式12.许用应力，脆性材料，塑性材料13.延伸率14.截面收缩率15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式20.扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆21.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或24.等直圆轴强度条件25.塑性材料；脆性材料26.扭转圆轴的刚度条件? 或27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,28.平面应力状态下斜截面应力的一般公式,29.平面应力状态的三个主应力,,30.主平面方位的计算公式31.面内最大切应力32.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，33.三向应力状态最大与最小正应力 ,34.三向应力状态最大切应力35.广义胡克定律36.四种强度理论的相当应力37.一种常见的应力状态的强度条件，38.组合图形的形心坐标计算公式，39.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式40.截面图形对轴z和轴y的惯性半径? ,41.平行移轴公式（形心轴z c与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）42.纯弯曲梁的正应力计算公式43.横力弯曲最大正应力计算公式44.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数? ，，45.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）46.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处47.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式48.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式49.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处50.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处51.弯曲正应力强度条件52.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件53.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，54.梁的挠曲线近似微分方程55.梁的转角方程56.梁的挠曲线方程?57.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式58.偏心拉伸（压缩）59.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，60.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为61.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式62.63.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式64.剪切实用计算的强度条件65.挤压实用计算的强度条件66.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式67.压杆的约束条件：（a）两端铰支μ=l（b）一端固定、一端自由μ=2（c）一端固定、一端铰支μ=0.7（d）两端固定μ=0.568.压杆的长细比或柔度计算公式，69.细长压杆临界应力的欧拉公式70.欧拉公式的适用范围71.压杆稳定性计算的安全系数法72.压杆稳定性计算的折减系数法73.关系需查表求得3 截面的几何参数4 应力和应变5 应力状态分析6 内力和内力图7 强度计算8 刚度校核9 压杆稳定性校核10 动荷载11 能量法和简单超静定问题材料力学公式汇总一、应力与强度条件 1、 拉压 []σσ≤=maxmax AN2、 剪切 []ττ≤=AQmax 挤压 []挤压挤压挤压σσ≤=AP3、 圆轴扭转 []ττ≤=W tTmax 4、平面弯曲 ①[]σσ≤=maxz max W M②[]max t max t max max σσ≤=y I M z tmax c max max y I Mzc =σ[]cnax σ≤③[]ττ≤⋅=bI S Q z *max z max max5、斜弯曲 []σσ≤+=maxyyz z max W M W M6、拉（压）弯组合 []σσ≤+=maxmax zW M A N[]t max t zmax t σσ≤+=y I M A N z[]c max c z z max c σσ≤-=A N y I M 注意：“5”与“6”两式仅供参考 7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论 []στσσ≤+=+=z2n2w 2n 2w r34W M M②第四强度理论[]στσσ≤+=+=z2n2w 2n2wr475.03W M M二、变形及刚度条件１、 拉压 ∑⎰===∆LEAx x N EAL N EA NL L d )(ii２、 扭转 ()⎰=∑==Φpp i i p GI dxx T GI L T GI TL πφ0180⋅=Φ=p GI T L （m / ）３、 弯曲(1)积分法:)()(''x M x EIy = C x x M x EI x EIy +==⎰d )()()('θ D Cx x x x M x EIy ++=⎰⎰d ]d )([)((2)叠加法:()21,P P f …=()()21P f P f ++…， ()21,P P θ=()()++21P P θθ…(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)EI ML B =θ EI PL B 22=θ EIqL B 63=θEIML f B 22=EI PL f B 33= EI qL f B 84=EIML B3=θ,EI MLA 6=θEIPL A B 162==θθEIqL A B 243==θθEIML f c 162=EIPL f c 483=EIqL f c 3844=(4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出)EIL M U 22==ii i EI L M 22∑=()⎰EIdx x M 22 (5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)PAB MAB A BqL LLLL=∂∂=∆ii P U()()⎰∂∂∑dx P x M EI x M i 三、应力状态与强度理论 １、 二向应力状态斜截面应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2c o s 2s i n 2xy yx +-=２、 二向应力状态极值正应力及所在截面方位角22min max )2(2xyy x y x τσσσσσσ+-±+=yx xyσστα--=22tg 0３、 二向应力状态的极值剪应力22max )2(xyyx τσστ+-=注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为450 ４、 三向应力状态的主应力：321σσσ≥≥最大剪应力：231max σστ-=5、二向应力状态的广义胡克定律（1）、表达形式之一（用应力表示应变）)(1y x x Eμσσε-= )(1x y y Eμσσε-= )(y x z Eσσμε+-= Gxy xy τγ=（2）、表达形式之二（用应变表示应力）)(12y x x E μεεμσ+-= )(12x y y Eμεεμσ+-= 0=z σ xy xy G γτ=6、三向应力状态的广义胡克定律()[]z y x x Eσσμσε+-=1()z y x ,, Gxy xy τγ= ()zx yz xy ,,7、强度理论 （1）[]111σσσ≤=r ()3212σσμσσ+-=r []σ≤[]bb n σσ=（2）[]σσσσ≤-=313r()()()[]213232221421σσσσσσσ-+-+-=r []σ≤ []ss n σσ=8、平面应力状态下的应变分析 （1）αγαεεεεεα2sin 22cos 22⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++=xyyx y x+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-αεεγα2s i n 22yx αγ2c o s 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy （2）22min max 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=xy y x y x γεεεεεεyx xyεεγα-=02tg 四、压杆稳定1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）①细长受压杆 p λλ≥ ()2min 2cr L EI P μπ= 22cr λπσE= ②中长受压杆 s p λλλ≥≥ λσb a -=cr③短粗受压杆s λλ≤ “cr σ”=s σ或 b σ2、关于柔度的几个公式 i Lμλ= p2p σπλE=ba s s σλ-=3、惯性半径公式AI i z= （圆截面4di z =，矩形截面12min b i =（b 为短边长度））五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式） 能量方程 U V T ∆=∆+∆冲击系数 std 211∆++=hK （自由落体冲击）st20d ∆=g v K （水平冲击）六、截面几何性质1、 惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）⎰=dA I P 2ρ=324d π ()44132απ-D Dd =α ⎰==6442d dA y I z π ()44164απ-D 123bh123hb 323maxd y I W zz π==()43132απ-D62bh62hb2、惯性矩平移轴公式A a I I 2zc z +=。
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转 角
Ml max EI Pl 2 max 2 EI ql 3 max 6 EI Ml Ml 、 3EI 6 EI
max
Pl 2 16 EI Z ql 3 24 EI Z
挠 度
ymax Ml 2 2 EI
Pl 3 ymax 3EI4 ql ymax 8EI
2
E cr 2 p
2
E P P
临界应力总图
粗短杆 中长杆 细长杆
Pcr cr nst nst P 稳定校核步骤:
(1) 根据压杆的实际尺寸及支承情况, 分别计算各自平面弯曲的柔度,得 出最大柔度max.
(2) 根据 max ,选择相应的临界应力 公式, 计算临界应力或临界力. (3) 进行稳定计算或利用稳定条件,进 行稳定校核.
M ( x) M ( x)dx M C l EI EI
• M x ，M x 的图中一定有一个是线性的； • 当弯矩图较复杂时，采用叠加方法； • 当一个为曲线一个为折线时，则以折线的转 折点为界分段，对每部分使用图乘法，然后 求代数和； • 图乘法只适用于直杆，不适用于曲杆。
在单元体上两个剪应力共同指定的象限 既为主应力1所在象限
1.应力圆的画法
y
y
R
c
B2 B1
x
x
D2 (y ,y)
D1 (x ,x)
o
x y
2 1.在—坐标系中， 该点的横纵坐标代表单元体以 量取横坐标OB1=x， x轴为外法线方向面上的应力 纵坐标B1D1=x得到D1点。 情况。同样方法得到D2点。
当对称结构上受反对称荷载作用时，在对称 截面上只有反对称内力，对称内力等于零。
1、构件作等加速度直线运动和匀速转动时的应力 计算(惯性力问题) 2、冲击
2h *重物从h高处自由落下： K d 1 1 st
对一个结构动荷系数只有一个，自由落体 垂直冲击动荷系数中的st是结构中受冲击点沿 冲击方向的静位移。 2 *水平冲击:
r 3 4 r 4 3 圆形截面：Wt 2W
2 2
2
2
1 r3 W
M T
2
2
r4
M 2 T 2 ( ) 3( ) W Wt
r4
1 W
M 0.75T
2
2
对于拉、弯、扭同时存在作用在圆形截面时:
N M 2 T 2 N M 2 T 2 r 3 ( ) ( ) r 4 ( ) 0.75( ) A W W A W W
塑性材料：
m
[ ] ＜ [ ]
材料被剪断，断口平齐
脆性材料： [ ]
＜ [ ]
材料被拉断，断口与轴线 450角
三向应力状态的广义胡克定律
2
1 1 1 2 3 E 1 2 2 3 1 E 1
3
2
2
危险点处于单相应力状态
双向弯曲（原形横截面）
M
2 2 MZ MY
2 2 MZ MY W
M W
max
M z F y M y z N x I A I
M Z MY ( ) WZ WY
M 2 T 2 r 3 ( ) 4( ) W Wt
D
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
2 x tg 2 x y
x y x y 2 2 max( mix) ( ) x 2 2
U 卡氏第二定理： i P i
Q(x) Q(x)
li
li
U i P i M ( x)i M ( x)i dxi EI P
T ( x)i T ( x)i dx li GI p P i
N ( x)i N ( x)i dxi EAi P
N ( x) N ( x)dx T x T x dx M ( x) M ( x)dx l l l EI GI p EI ※式中： N ( x)、 T ( x)、 M ( x) :
轴向拉.压
扭
转
弯
曲
NL ＝ T L M EIf ( x ) L ＝ 变形 G IP EA Tmax 180 L f max f max 刚度条件 GI P L
x
虎克定律
E
G
超静定 问题
1、静平衡方程 2、变形协调方程
[ t ] 3 [ t ] 莫尔强度理论： 1 [ c ]
1 2 2 2 （ [ 1 2） 2 3 3 1 ] 2 r r
2 x
ymax
Pl 3 48 EI Z
5ql 4 384 EI Z
max
b
h
bh Iz 12
z
3
bh Wz 6
2
Iy
y d
hb 12
3
hb Wy 6
4
2
I z I y
z
4
d
64
Wz Wy
d
3
32
y
3 D D 4 IP (1 ) Wt= ( 1- 4 ) 32 16 d
d Kd st
v g st
水平冲击中的 st 是假设冲击物重量沿水平 方向作用时，在冲击点沿冲击方向的静位移。
各种支承压杆临界载荷的通用公式：
EI min Pcr 2 （l）
2
一端自由，一端固定 一端铰支，一端固定 两端固定 两端铰支
＝2.0 ＝0.7 ＝0.5 ＝1.0
_____
莫 尔 积 分 公 式
M x M x dx 弯曲: l EI n N i N i li 拉、压: EAi i 1 T x T x dx 扭转： l GI p 组合变形的圆截面杆
构件在求位移点处沿所求位移方向只有单位 力作用时，构件中产生的内力.
1 3 3 1 2 E
主应力和主应变的方向重合。1 2 3
y
y z x
x
1 x x y E 1 y y x E
z
E
x
y
G
y
y z x
x
1 1 （ 2 3） 1 3
三向应力状态的 广义胡克定律
轴向拉.压 剪 切
受力 内力
P P P P P P
扭 转
m P(kw) m 9549 n(r / min)
弯 曲
m m
变形特点
轴力 N
(截面法) N
P一侧
剪力 Q 挤压力 Pjy
T m一侧 弯矩m Px一侧
T IP
扭矩 T
Q P一侧 剪力
应力
N A
max
Q ＝ A jq
My IZ
QS Z IZb
jy
Pjy A jy
强度 条件
N max Amin
jy
max Tmax max WP jy
max
M max WZ
1 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 2 21 X 1 22 X 2 X 23 X 3 2 P 0 3 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3P 0
当对称结构上受对称荷载作用时,在对称截面 上,只有对称内力，反对称内力等于零。
2.连D1D2交轴于c点，即以c点为圆心，cd为半径作圆。
1 R 2
2 4 x y 2
R c
x y
2
应 力 圆
2
x y 2 2 ( ) 2
=
1 2 2 x y 4 x 2
圆轴发生扭转变形时，最大拉应力发生在（ 斜 ） 截面上，最大剪应力发生在（ 横 ）截面上。 m
i ay yP
2 z
az
i
2 y
zP
1、中性轴不能将横截面分为两部分 2、截面核心的形状受截面外边界控制
3、中性轴和力的作用点分别在截面形心两侧
组 Q(x) 合 Q(x) 变 形 的 杆内总变形能: 变 2 2 2 N ( x ) T ( x ) M ( x ) 形U dx dx dx l 2 EA l 2GI l 2 EI P 能