三向应力状态的广义胡克定律

i ay yP
2 z
az
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2 y
zP
1、中性轴不能将横截面分为两部分 2、截面核心的形状受截面外边界控制
3、中性轴和力的作用点分别在截面形心两侧
组 Q(x) 合 Q(x) 变 形 的 杆内总变形能: 变 2 2 2 N ( x ) T ( x ) M ( x ) 形U dx dx dx l 2 EA l 2GI l 2 EI P 能
在单元体上两个剪应力共同指定的象限 既为主应力1所在象限
1.应力圆的画法
y
y

R
c
B2 B1
x
x

D2 (y ,y)
D1 (x ,x)
o

x y
2 1.在—坐标系中， 该点的横纵坐标代表单元体以 量取横坐标OB1=x， x轴为外法线方向面上的应力 纵坐标B1D1=x得到D1点。 情况。同样方法得到D2点。

D
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
2 x tg 2 x y
x y x y 2 2 max( mix) ( ) x 2 2
2.连D1D2交轴于c点，即以c点为圆心，cd为半径作圆。

1 R 2

2 4 x y 2
R c

x y
2
应 力 圆
2
x y 2 2 ( ) 2
=
1 2 2 x y 4 x 2
圆轴发生扭转变形时，最大拉应力发生在（ 斜 ） 截面上，最大剪应力发生在（ 横 ）截面上。 m

塑性材料：
m
[ ] ＜ [ ]
材料被剪断，断口平齐
脆性材料： [ ]

＜ [ ]
材料被拉断，断口与轴线 450角
三向应力状态的广义胡克定律
2
1 1 1 2 3 E 1 2 2 3 1 E 1
3
U 卡氏第二定理： i P i
Q(x) Q(x)


li
li
U i P i M ( x)i M ( x)i dxi EI P
T ( x)i T ( x)i dx li GI p P i
N ( x)i N ( x)i dxi EAi P
2 2
2
2
1 r3 W
M T
2
2
r4
M 2 T 2 ( ) 3( ) W Wt
r4
1 W
M 0.75T
2
2
对于拉、弯、扭同时存在作用在圆形截面时:
N M 2 T 2 N M 2 T 2 r 3 ( ) ( ) r 4 ( ) 0.75( ) A W W A W W
三向应力状态的 广义胡克定律
轴向拉.压 剪 切
受力 内力
P P P P P P
扭 转
m P(kw) m 9549 n(r / min)
弯 曲
m m
变形特点
轴力 N
(截面法) N
P一侧
剪力 Q 挤压力 Pjy
扭矩 T
T IP
T m一侧 弯矩m Px一侧
My IZ
ymax
ymax
Pl 3 48 EI Z
5ql 4 384 EI Z
max
b
h
bh Iz 12
z
3
bh Wz 6
2
Iy
y d
hb 12
3
hb Wy 6
4
2
I z I y
z
4
d
64
Wz Wy
d
3
32
y
3 D D 4 IP (1 ) Wt= ( 1- 4 ) 32 16 d
QS Z IZb
M max WZ
Q P一侧 剪力
应力
N A
max
Q ＝ A jq
jy
Pjy A jy
强度 条件
N max Amin
jy

max Tmax max WP jy
max
轴向拉.压
扭
转
弯
曲
NL ＝ T L M EIf ( x ) L ＝ 变形 G IP EA Tmax 180 L f max f max 刚度条件 GI P L
x


虎克定律
E
G
超静定 问题
1、静平衡方程 2、变形协调方程
转 角
Ml max EI Pl 2 max 2 EI ql 3 max 6 EI Ml Ml 、 3EI 6 EI
max
Pl 2 16 EI Z ql 3 24 EI Z
挠 度
ymax Ml 2 2 EI
Pl 3 ymax 3EI4 ql ymax 8EI
2
2
危险点处于单相应力状态
双向弯曲（原形横截面）
M
2 2 MZ MY
2 2 MZ MY W
M W
max
FN Mz y Myz x I A I
M Z MY ( ) WZ WY

M 2 T 2 r 3 ( ) 4( ) W Wt
r 3 4 r 4 3 圆形截面：Wt 2W
1 3 3 1 2 E
主应力和主应变的方向重合。1 2 3
y
y z x
x
1 x x y E 1 y y x E

z

E

x
y


G
y
y z x

x
1 1 （ 2 3） 1 3
[ t ] 3 [ t ] 莫尔强度理论： 1 [ c ]

1 2 2 2 （ [ 1 2） 2 3 3 1 ] 2 r r


2 2
r 3 4
r 4 3