高斯定理
高斯定理和环路定理
高斯定理和环路定理高斯定理和环路定理是电磁学中两个重要的基本定律。
它们描述了电场和磁场的分布和变化规律，是理解电磁现象的基础。
本文将对高斯定理和环路定理进行详细介绍。
一、高斯定理高斯定理又称为高斯电场定理，它是描述电场分布的基本原理之一。
高斯定理表明，电场通过一个闭合曲面的通量等于该曲面内部电荷的代数和与真空介电常数的乘积。
具体来说，如果一个闭合曲面内部有正电荷和负电荷，那么通过这个曲面的电场通量将等于正电荷和负电荷的代数和除以真空介电常数。
高斯定理的数学表达式为：∮E·dA = Q/ε0其中，∮E·dA表示曲面上的电场通量，Q表示曲面内部的电荷总量，ε0为真空介电常数。
高斯定理的应用非常广泛。
例如，在计算电场分布时，可以通过选择适当的高斯曲面来简化计算。
通过高斯定理，可以快速得到电场在各个位置的大小和方向。
高斯定理也被用于推导其他电场分布的公式，如电偶极子和球壳电场的公式。
二、环路定理环路定理又称为安培环路定理，它是描述磁场分布的基本原理之一。
环路定理表明，磁场沿着一个闭合回路的线积分等于该回路内部电流的代数和乘以真空磁导率。
具体来说，如果一个闭合回路内部有电流通过，那么沿着这个回路的磁场线积分将等于电流的代数和除以真空磁导率。
环路定理的数学表达式为：∮B·dl = μ0I其中，∮B·dl表示回路上的磁场线积分，μ0为真空磁导率，I表示回路内部的电流。
环路定理的应用也非常广泛。
例如，在计算磁场分布时，可以通过选择适当的环路来简化计算。
通过环路定理，可以快速得到磁场在各个位置的大小和方向。
环路定理也被用于推导其他磁场分布的公式，如长直导线和环形线圈的磁场公式。
三、高斯定理与环路定理的关系高斯定理和环路定理是电磁学中两个基本定理，它们描述了电场和磁场的分布与变化规律。
虽然它们描述的是不同的物理量，但在某些情况下，它们是相互关联的。
例如，在静电场中，高斯定理可以推导出库仑定律，即电荷间的相互作用力与它们之间的距离成反比。
高斯定理
电场强度E 在任意面积上的面积分
高斯定理
称为电场强度对该面积的通量。根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和，即
高斯定理
, (1)
这就是高斯定理。它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。当存在介质时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。
高斯定理
பைடு நூலகம்， (3)
在研究电介质中的静电场时，这两种形式的高斯定理特别重要。
高斯定理的微分形式为
高斯定理
。
即电位移的散度等于该点自由电荷的体密度。在均匀线性介质区内，则为
高斯定理
。
静电场的高斯定理可以推广到非静态场中去，不论对于随时间变化的电场还是静态电场，高斯定理都是成立的，它是麦克斯韦方程组的组成部分。
高斯定理反映了静电场是有源场这一特性。凡是有正电荷的地方，必有电力线发出；凡是有负电荷的地方，必有电力线会聚。正电荷是电力线的源头，负电荷是电力线的尾闾。
高斯定理是从库仑定律直接导出的，它完全依赖于电荷间作用力的二次方反比律。把高斯定理应用于处在静电平衡条件下的金属导体，就得到导体内部无净电荷的结论，因而测定导体内部是否有净电荷是检验库仑定律的重要方法。
矢量分析的重要定理之一。穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比。换一种说法：电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理
高斯定理
高斯定理陈述报告班级：电气121班姓名：徐鹏学号：2012230106 姓名：邵辉学号：2012230158 姓名：王天宇学号：2012230102高斯定理高斯定律（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系由曲面向外定义为其方向，为闭合曲面内的电荷，为真空电容率，为此处电介质的介电常数（如果是真空的话，其数值为1）。
其微分形式；其中，为电荷密度(单位 C/m3)。
在线性材料中，等式变为。
其中为材料的电容率。
基本定义：高斯定理（Gauss Law）也称为高斯公式（Gauss Formula），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。
设空间有界闭合区域Ω，其边界∂Ω为分片光滑闭曲面。
函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)及其一阶偏导数在Ω上连续，那么[1]：图一（高数上的高斯公式）（由于百科不支持很多格式及字符，故本词条使用一些截图，本公式请见右侧图一）（如图一）其中∂Ω的正侧为外侧，cos α、cos β、cos γ为∂Ω的外法向量的方向余弦。
高斯投影称向量场的散度(divergence)。
[1]即矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分。
它给出了闭曲面积分和相应体积分的积分变换关系，是矢量分析中的重要恒等式，也是研究场的重要公式之一。
其他高斯定理：高斯定理2定理：凡有理整方程至少有一个根。
推论：一元n次方程有且只有n个根（包括虚根和重根）。
高斯定理3正整数n可被表示为两整数平方和的充要条件为n的一切形如4k+3形状的质因子的幂次均为偶数。
适用条件：任何电场静电场（见电场）的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在封闭曲面内的总电量之间的关系。
根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和，即公式这就是高斯定理。
高斯定理(电磁学)
证明方法
高斯定理的证明通常基于库仑定律、电场线性质和微积分等 基本原理。通过选择适当的闭合曲面和运用微积分中的高斯 公式，可以推导出高斯定理。
推导过程
首先，根据库仑定律，电场线从正电荷发出，终止于负电荷 或无穷远处。然后，通过选取适当的闭合曲面，将电荷包围 在其中，运用高斯公式和高斯定理的推导过程，最终得到高 斯定理的数学表述。
要点一
总结词
高斯定理在其他领域也有广泛的应用，如电场、量子力学 、光学等。
要点二
详细描述
高斯定理在电场中可以用来计算电场的分布和强度，以及 电通量的计算等问题。在量子力学中，高斯定理可以用来 研究波函数的性质和演化。在光学中，高斯定理可以用来 研究光场的分布和强度，以及光通量的计算等问题。
05
高斯定理的扩展和深化
磁场中的应用
总结词
高斯定理在磁场中也有广泛的应用，它可以 帮助我们理解和计算磁场的分布和强度。
详细描述
在磁场中，高斯定理可以用来计算球形区域 内磁场的分布和强度，通过球面上的磁场强 度的积分可以得到球内的磁场。此外，高斯 定理还可以用来研究磁场线的闭合性质，以 及磁通量的计算等问题。
其他领域的应用
引力场中的应用
总结词
高斯定理在引力场中也有重要的应用，它可以帮助我们理解和计算引力场的分布和强度。
详细描述
在引力场中，高斯定理可以用来计算球形区域内物质的质量分布，通过球面上的引力场强度的积分可以得到球内 的质量。此外，高斯定理还可以用来研究引力场的空间分布，通过球面上的引力场强度的分布，可以推导出球内 引力场的分布情况。
高斯定理的应用条件
适用范围
高斯定理适用于任何线性、非自相互作用、电荷连续分布的电场。对于非线性、 自相互作用或离散分布的电荷，高斯定理可能不适用。
高斯定理解析
b E r0 3 0
高斯定理—练习
讨论：
空腔处的电场强度为
特征：
b E r0 3 0
b O R 恒值
O' P
大小 方向
b E 3 0 r0
匀强电场
同向
s
0
高斯定理
说明
qi E dS
s
0
1、等式左边是电通量的定义，其中E为参考面dS上合场 强（空间 所有电荷对dS面的贡献）。 2、等式右边是高斯定理的结果，其中qi为高斯面内所
包围的净电荷。
3、静电场为有源场。 其穿过闭合曲面的电通量只与参考面内所包围的电荷有关。 其曲面上各点的电场强度只与参考面内所包围的电荷有关。
0
高斯定理
对称性分析
1、利用Gauss定理为求电场强度，首先要做对称性分析， 寻找合适的高斯面。 2、下面以均匀带电球体为例： 1）球外（一）： 合场强方向沿径向
高斯定理 2、下面以均匀带电球体为例： 1）球外（二）： 合场强方向沿径向
（1） 在球外，空间各点电场强度方向沿径向方向 （2） 在球外，距离球心相等距离处，电场强度大小相等。
b
O'
O
R
P
高斯定理—练习
解： 利用补偿法 将带空腔的带电球看作： -
+ O' r b O R O' P
O R
r1ห้องสมุดไป่ตู้
P
+
2
P
e
e
E dS 4r
q/
s
0 3 1
2 1
E1
4 r / 3 0
E1 OP 3 0 同理： E2 PO 3 0
【电磁学】高斯定理
【电磁学】高斯定理在高中物竞以及高考物理中经常出现高斯定理（高考物理中一般可以用对称法，填补法等等解出），建议阅读时间：7分钟一、高斯定理简介高斯定理（Gauss' law）也称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。
在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。
高斯定律（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
在麦克斯韦方程组中也有麦克斯韦方程组对麦克斯韦方程组有兴趣的同学可以看看这篇文章，不过以后我也会讲的给一个百度百科的解释[1]好，我们开始了二、电场线电场线密度：经过电场中任一点，作一面积元 dS 并使它与该点的场强垂直，若通过 dS 面的电场线条数为 dN ,则电场线密度为 E=\frac{dN}{dS}可见，电场线密集处电场强度大，电场线稀疏处电场强度小电场强度通量：在电场中穿过任意曲面的电场线的总条数称为穿过该面的电通量，用 \phi_{c} 表示.匀强电场： \phi_{e}=EScos\theta ;非匀强电场：d\phi_{e}=EdS \Rightarrow \phi_{e}=\int_{S}^{}E·dS（哈哈，打不来矢量，看着有点恼火）3.电通量的正负在电磁学中是这样规定:1.对于不闭合的曲面(平面)S,可以任意选取电场线穿进S产生的电通量为正或为负，也就是说完全取决于 dS 与 E 的夹角.\theta<\frac{π}{2}时， \phi_{e}>0 ；\theta>\frac{π}{2}时， \phi_{e}<02.对于闭合的曲面(如球面),规定选取电场线穿出时的电通量为正.\phi_{e}=\iint_{S}EdS三、高斯定理内容穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的du电荷量成正比。
高斯定理
2)作半径为 )
E(r)
S + +
r 的高斯球面 (R ≤ r < ∞)
q q
+ + +
依高斯定理: 依高斯定理:
r+ +
S
+
+
+ +
∫ E dS = ε ∑q
S 0 S内
1
i
∫ E cos0 dS = ε ∑q
0 S内
1
i
E4πr =
2
1
ε0
q
q
2
E∫ dS =
S
1
ε0
q
q
E(r) =
4πε0r
O+ + + S1 +σ E= + 1
X
ε0
S内
ε0
例3)求一无限长,单位长度带电λ的直圆柱带电 )求一无限长,单位长度带电λ 体的电场. 已知: 体的电场. 已知:λ,R 求:E(r) 结论:电场以 结论: + + 对称性分析: 解:对称性分析: 中心轴线为对 +++ + + + +++ + + 称. +++ + + + + +++ + + + + ++ E + + + + +++ + + + + +++ + + + +++ + + + +++ + + +++ + + + + + ++++ ++ ++ + ++++ + ++ +++ + ++ + +
高斯定理
高斯定理
Gauss theorem
矢量分析的重要定理之一。
它给出，矢量场通过任意闭合曲面的通量（面积分）等于该矢量场的散度在闭合曲面所包围体积内的积分（体积分）。
如果通量恒为零，则矢量场是无源场亦称无散场；如果通量可以不为零，则矢量场是有源场亦称有散场。
高斯定理是比较、区别各种矢量场特征的重要手段之一。
电场的高斯定理高斯定理是静电场的基本方程之一。
它给出，通过任一闭合曲面的电通量正比于该闭合曲面内电荷的代数和，即
式中V是S包围的体积；在真空中，是V内自由电荷的代数和，在有电介质时，是
V内自由电荷和极化电荷的代数和。
有电介质时，由于极化电荷未知，可利用电位移D把静电场的高斯定理表为
对于线性各向同性电介质，D＝ε0εr E，εr是相对电容率，上式又可写成
式中是V内自由电荷的代数和。
静电场的高斯定理由库仑定律和场强叠加原理（见电场强度）证明。
它揭示了静电场是有源场这一特性，正电荷是发出电力线的源头，负电荷是会聚电力线的尾闾。
另外，高斯定理还提供了计算某些对称分布静电场场强的方法，如均匀带电球、无限大均匀带电面以及无限长均匀带电圆柱的电场等。
由变化磁场产生的有旋电场E旋的高斯定理为
它表明有旋电场是无源的，与静电场不同。
静电场的高斯定理还适用于随时间变化的情形，把推广后的结果和有旋电场的高斯定理合并，得出
式中E是静电场与有旋电场之和的总电场的场强，上式是麦克斯韦方程组的组成部分。
磁场的高斯定理电流产生的磁场或变化电场产生的磁场或两者之和的总磁场都遵循同样的高斯定理，
它表明磁场是无源的，上式也是麦克斯韦方程组的组成部分。
高斯定理
1
4π0
q r3
rdS
e
S de
q
q
dS
S 4π0r 2
4π0r 2
dS q
S
0
Φe 与r 无关q ，也就是说，无论高斯面多大，总 电通量都为 0 ，即通过各球面的电力线总条数相 等。 说明点电荷的电力线可以延伸到无限远处。 9
2. 点电荷在任意封闭曲面内
穿过球面S1和S2的电场线，必定也穿 过闭合曲面S。所以穿过任意闭合曲
e ES cos 或 e E S
S cos
(3) 非均匀电场强度电通量
de E dS
通过任一曲面S 的电通量：
e de EdS
S
S
5
思考题：电场线与电通量的区别
(4) 任意闭合曲面的电通量：
e d e E dS
S
S
一个闭合曲面把整个空间分割成两部分： 内部空间和外部空间
外法线矢量：指向曲面外部空间的法线矢量 内法线矢量：指向曲面内部空间的法线矢量
S2
S
E
面 S的电通量必然为q/ 0 ，即
q S1
Φe
s
Ev dSv
q
0
• 点电荷为-q时，通过任意闭合曲面的电通量
Φe
S
Ev
dSv
q
0
电场线是穿入闭合曲面的。
10
3. 任意闭合曲面S包围多个点电荷q1、q2、…、qn 根据电通量的定义和电场强度的叠加原理，其电通
量可以表示为
Φe
E
S
dS
(E1
其实高斯定理不仅适用于静电场，还可用于变化的电 场，比库仑定律更广泛，是Maxwell方程组之一
16
高斯定理的内容及公式
高斯定理的内容及公式高斯定理高斯定理（也称为散度定理）是微积分中重要的定理之一，它描述了向外流过封闭曲面的矢量场的总流量与该矢量场在曲面内部的散度之间的关系。
高斯定理在物理学、工程学和数学中具有广泛的应用。
定理表述高斯定理可以用数学公式来表示如下：∮F S ⋅n dA=∭∇V⋅F dV其中， - ∮S表示对封闭曲面S进行的积分； - F表示矢量场；- n表示曲面元素dA的外向单位法向量； - dA表示曲面S上的面积元素； - ∭V表示对体积V进行的积分； - ∇⋅F表示矢量场F的散度； - dV表示空间中的体积元素。
该定理表述了一个关键的观察结果：向外流过曲面S的总流量等于该矢量场在曲面内部的散度的体积积分。
例子解释下面通过一个例子来解释高斯定理的应用。
假设有一个电场E，我们想计算通过一个封闭曲面S的电场流量。
根据高斯定理，电场流量可以通过计算电场的散度来得到。
假设电场在空间中的散度为∇⋅E=ρ，其中ρ是电荷密度。
根据高斯定理，我们可以得到以下等式：∮E S ⋅n dA=∭∇V⋅E dV左边表示通过封闭曲面S的电场流量，右边表示电场散度的体积积分。
假设曲面S是一个球面，且电场在球内是均匀的。
此时，由于电场的散度是常数，我们可以简化上述公式为：E⋅4πr2=ρ⋅43πr3其中E表示电场强度，r表示球面的半径。
通过这个例子，我们可以看到高斯定理的应用。
它提供了一种计算封闭曲面内部矢量场的性质（如流量、散度等）的方法，从而使我们能够更好地理解和分析物理现象和数学问题。
总结高斯定理是微积分中的重要定理，它描述了向外流过封闭曲面的矢量场的总流量与该矢量场在曲面内部的散度之间的关系。
通过高斯定理，我们能够更好地理解和计算各种物理场的性质。
其应用范围广泛，包括物理学、工程学和数学等领域。
公式的推导高斯定理的推导过程如下：首先，我们考虑一个封闭曲面S，并给曲面上每一个点选取一个面积元素dA，它的法向量记为n。
我们将n⋅dA称为面积元素dA的矢量，它是法向量乘以面积元素的结果。
电磁学高斯定理
电磁学高斯定理
高斯定理（也称高斯定律）是电磁学中的一个重要定理，它描述了电场和电荷密度之间的关系。
高斯定理可以表示为：
\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q}{\epsilon_0}
其中，\vec{E} 是电场强度，d\vec{S} 是闭合曲面S 上的微小面积元素，Q 是在闭合曲面S 内任意一点的总电荷量，\epsilon_0 是真空中的电常数。
式子的意义是：在闭合曲面S 上对电场进行积分，得到的结果等于该曲面内的总电荷量除以\epsilon_0。
高斯定理的图解意义是：假设球形曲面S 包围着一些电荷，电场线在球面上的密度与电荷的大小成正比。
将球面分为无数小面元，每个面元上的电场线密度相同，电场线穿过球面的一小段面元可以看作是平行放置的棒状体。
这些面元的单位面积处的电场强度是相同的，因此此处电场线条数与电荷量成正比。
当电荷密度不均匀时，可以将球面分为更小的部分，每个小部分使用相同的方法即可，最终可以通过积分得到整个曲面内的电场强度。
高斯定理在电场分析中非常有用，常用于计算具有对称性的电荷分布所产生的电场，如点电荷、电偶极子等。
电介质的高斯定理
电介质的高斯定理
高斯定理又称为电通量定理，是描述电场分布的一条基本定理，它是高斯定律的一部分。
高斯定理是指在电介质中，通过一个闭合曲面的电通量与该曲面所包围电荷的代数和成正比。
具体而言，电介质的高斯定理可以用如下公式表示：
∮E·dA = Q/ε
其中，∮E·dA表示通过闭合曲面的电场E与面元dA的点积之和，Q表示该闭合曲面所包围的电荷量，ε表示电介质的介电常数。
高斯定理表明，电场通过一个闭合曲面的总电通量与这个曲面所包围的总电荷成正比关系。
通过这个定理，可以方便地计算电场分布及电荷分布之间的关系。
在应用高斯定理时，需要注意以下几点：
1. 选择合适的闭合曲面：闭合曲面可以是球面、柱面、平面等等，具体的选择要根据实际情况来确定。
一般来说，如果电
荷分布比较对称，选择球面作为闭合曲面较为方便。
2. 计算电场通量：通过选择的闭合曲面计算电场与面元的点积之和，即计算∮E·dA。
这一步需要根据具体的电场分布来进行计算，可以利用库仑定律等来求解。
3. 计算电荷量：根据实际情况确定闭合曲面所包围的电荷量Q。
如果已知电荷分布，可以直接计算；如果未知，则需要根据已知的电场分布来进行推导。
4. 确定介电常数：介电常数ε是电介质的一个属性，它反映了电场在电介质中的传播速度和电荷分布的影响程度。
不同的介电常数对应不同的电介质材料，可以通过实验测量或者查找资料获得。
通过以上步骤，可以利用高斯定理计算电场的分布以及与电荷之间的关系。
高斯定理不仅适用于电介质，还可以用于真空中的电场分布计算，只是在真空中介电常数ε的值为真空介电常数ε0。
高斯定理
dE
以 O 为中心，r 为半径的球面 S 上各点彼此等价
E 大小相等
以 O 为中心的球面 S 上各点
E
方向沿径向
确定高斯面
R dq
以半径 r 的同心球 S q
o
dq
面 S为高斯面
r
P
dE ' dE dE'
dE
通过S的电通量： E dS E cos0dS E 4r2
s
s
由高斯定理：
E E1
r
o
1
0
q内
L 0
r
E 2 0 r
讨论：
R
oo
E o
1. 无限长均匀带电柱面的电场分布
对称性分析：视
为无限长均匀带
电直线的集合；
选高斯面；同轴
圆柱面
rr
P
dE
P
dE '
dE
dE '
由高斯定理计算
r R: E0 r R:
Rr
E
2 0r
讨论：
2.求无限长、 均匀带电柱体的电场分布时，高斯面如 何选取？
电场相互抵消： E 0
NP
L o L x
NP
x L : 选如图高斯面
E
S
L o x L xq内源自dVLx
ax Sdx
aS 1 (L2 x2 ) 2
E dS 左 E dS 右 E dS 侧E dS E S
E0
cos 0 穿入
由高斯定理：
1
E dS
高
高
r
斯 面
r
斯 面
l
l
3.当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时，
高 斯 定 理
1.3 高斯定理
静电场是由电荷所激发的，通过电场空间某一给定闭合 曲面的电通量与激发电场的场源电荷必定有确定的关系。德 国科学家高斯通过缜密运算论证了这个关系，并提出了著名 的高斯定理。该定理给出了通过任何曲面S的电通量φe与闭 合曲面内部所包围的电荷之间的关系。下面就以点电荷为例 来讨论。
（3）利用高斯定理解出场强E。
【例7-4】求点电荷Q的电场强度的分布情况。
S
0
由此可见，通过此球面的电通量等于球面内的电荷量q除以 真空电容率ε0 ，与球面半径无关。
（2）一个正点电荷q，被任意闭合曲 面S′和球面S同时包围，如下图所示。根 据电力线的连续性可知，凡是通过球面S 的电力线都一定通过曲面S′。所以通过闭 合曲面S′的电通量等于通过球面S的电通 量，均为 q/ε0 。
物理学
高斯定理
1.1 电场线
电场线是空间中一系列假想的曲线，主要反映电场的特
征，描述电场中各点场强E的大小和方向。为此，对电场线作
如下规定：
（1）电场线上每一点的切线方向与该点场强E的方向一
致。这样，电场线的方向就反映了场强方向的分布情况。
（2）在任一场点，使通过垂直于场强E的单位面积的电
场线数目（称为电场线密度），正比于该点处场强E的大小。
2．非均匀电场的电通量
在非均匀电场中，为了求出通过任意曲面S的电通量φe， 可以把曲面S分成无限多个面元dS，如下图所示。此时，面元 dS可以近似看成一个平面，并且在面元的范围内电场强度可 以近似看成大小相等、方向相同的匀强电场。
[数学]高斯定理
![[数学]高斯定理](https://img.taocdn.com/s3/m/5574c5f584254b35eefd349b.png)
r
R
1 2 r
o
r
21
讨论： 1. 求均匀带电球面（ R , q）的电场分布，并画出
E ~ r 曲线.
高斯面：半径 r 的同心球面
E
qr 40 r 3
0
(r R) (r R )
E
1 r2
o R r
22
2. 如何理解带电球面 r R 处 E 值突变？ 计算带电球层（ R1 , R2 , ）
s
（球对称、轴对称、面对称三种类型，后两种情 况通常具有无限长，无限大的特征）
1 3.由高斯定理 E dS
s
0
q
内
求出电场的大小，
34
并说明其方向.
•典型带电体 E 分布：
点电荷电场
E
qr 4 0 r 3
E 2 0 r 垂直于带电直线 qxi E 40 ( x 2 R 2 )3 2
1
0
q
内
只有 S 内的电荷对穿过 S 的电场强度通量有贡献13
三 .高斯定理 静电场中，通过任意封闭曲面（高斯面）的电电场 强度通量等于该封闭曲面所包围的电量代数和的1 0 倍：
1 E d S q 内
s
0
14
关于高斯定理的讨论：
1 E dS q内
dS
1）通过面元的电通量
E
de EdS E( dScos ) E dS
2
dS
S
2
2
2）通过曲面 S 的电通量 e sd e s E dS 3）通过封闭曲面的电通量 e E dS 8
高斯定理
高斯定理 (空间只有一个点电荷)
E dS
S
S
q 0 r dS 2 4 0 r
1
q
q 4 0 q 4 0 q 4 0 q
S
r 0 dS r2 dS r2 q 4
0
S S
d 4
0
高斯定理 (空间只有一个点电荷)
场叠加原理的应用
P
O
rop
roo'
ro' p
rO rO ' E 3 0 3 0 E (rO rO ' ) rOO ' 3 0 3 0
场叠加原理的应用
空腔内是匀强场
O
O'
O
O'
roo '
从高斯定理看电场线的性质
1. 出发于 正电荷( 无穷远处) 终止于 负电荷( 无穷远处) 电力线不闭合 电力线不相交 电力线不会在无电荷 处中断 可简单理解：
n
S
E
n
dS
E
一个曲面上的电通量
E
dS
n
S
d E dS
E dS
S
闭合曲面上的电通量
E
n
电通量 物理意义： (通过电力线的条数)
穿入的地方通量为正 穿出的地方通量为负
n
S
图示通量为0
闭合曲面上的电通量
电通量 物理意义： (通过电力线的条数)
q
不规则带电体电量q 电通量？
E dS
S
E dS
S
高斯定理
λ
∑q
r
∑ q = λh
φ = ∫∫S EdS cosθ =
φ左底 = φ右底 = 0
φ = φ左底 + φ侧 + φ右底
ε0
h
Q E⊥dS , cosθ = 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
φ = φ侧 = ∫∫侧 EdS cosθ
侧面上各点的场强 E 大小相等，方向 大小相等， 与法线相同。 与法线相同。
E = E+ − E− = 0
+σ
−σ
E+ E− E+
极板右侧
E = E+ − E− = 0
E+
E−
E−
两极板间
σ σ σ + = E = E+ + E− = 2ε 0 2ε 0 ε 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
E
n
r
λ
φ = E ∫∫侧 dS
= E 2πrh =
∑q
ε0
λh = ε0
λ E= 2πε 0r
h
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
例3：无限大带电平面，面电荷密度为 σ， ：无限大带电平面， 求平面附近某点的电场强度。 求平面附近某点的电场强度。 解：作底面积为 S ， 高为 h 的闭合圆柱面， 的闭合圆柱面， σ
S
r
ε0 σS 2ES = ε0 σ E= 2ε 0
§4.高斯定理 / 五、解题方法及应用举例 高斯定理
φ=
∑q
例4：两无限大带电平面（平行板电容 ：两无限大带电平面（ 器），面电荷密度分别为 +σ 和 −σ ， ），面电荷密度分别为 电容器内、外的电场强度。 求：电容器内、外的电场强度。 解：极板左侧
高斯定理
同 学 们 好§8-3 高斯定理德国数学家和物理学家。
长期从事于数学并将数学应用 于物理学、天文学和大地测量 学等领域的研究.著述丰富，成 就甚多。
他一生中共发表323篇 （种）著作，提出404项科学创 见。
在CGS电磁系单位制中磁感应强 高斯（德 ） 度的单位定为高斯，便是为了 （ 1777-1855） 纪念高斯在电磁学上的卓越贡 献。
一.电场强度通量 通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通 过该面的电通量。
1.匀强电场，规则面积下的电通量Sθ ESΨe = ES⊥SSΨe = ES⊥ = ES cosθ2.非匀强电场或不规则面积下的通量 r v 面积元矢量： dS = dS e n r 面积元范围内 E 视为均匀 微元分析法：以平代曲； 以不变代变。
dSr dSθr ES（1）通过面元的电通量：r r dΨe = EdS⊥ = E (dS cosθ ) = E ⋅ dS（1） 通过面元的电通量：πr r dΨe = EdS⊥ = E(dS cosθ ) = E ⋅ dSθ < θ > θ = π π2 2 2 dΨe > 0 dΨe < 0 dΨe = 0r dSθdSr ESr r （2）通过曲面 S 的电通量 Ψe = ∫s d Ψe = ∫s E ⋅ d S(3) 通过封闭曲面的电通 量r r Ψe = ∫ E ⋅ dSs通过封闭曲面的电通量r r Ψe = ∫ E ⋅ dSsr n规定：封闭曲面外法向为正 穿入的电场线 穿出的电场线r n rEΨe < 0 Ψe > 0r nS二、 高斯定理 高斯定理的导出 库仑定律 高斯 定理电场强度叠加原理 1.点电荷电场中电通量与电荷的关系 （1）曲面为以电荷为中心的球面E=Sq 4 π ε 0rS2r2v dSv v Ψe = ∫ E ⋅ dS = ∫qΨe =q4 πε 0 rdS+ε0(2)曲面为包围电荷的任意封闭曲面dΨe =q 4 πε 0 r2dS cos θq dS＇ = 2 4π ε0 r其中立体角dS＇ = dΩ 2 r q q Ψe = ∫ dΨ = ε 0 4 πε 0v v dS＇ dS+rθv dS＇v dS（3）曲面为不包围电荷的任意封闭曲面r v d Ψ1 = E 1 ⋅ d S 1 > 0v v dΨ2 = E 2 ⋅ dS 2 < 0v E2qv dS 2v dS 1 vE1d Ψ1 + d Ψ 2 = 0 v v ∫ E ⋅ dS = 0S2.点电荷系电场中通量 与电荷的关系v v Ψe = ∫ E ⋅ dS = ∫Sv v v E = E1 + E2 + LS iq1q2v EvdSv v ∑ Ei ⋅ dSsSqi=i (内）∑∫eSv v Ei ⋅ dS +i （外）∑ ∫v Eiv v Ei ⋅ dSQ∴ Ψ =i （外）∑∫Sv ⋅ d S = 01i （内）∑ ∫Sv v E i ⋅dS =ε0i ( 内）∑qi曲面上各点处电场强度：nE E E E r L r r r +++=21(包括S 内、S 外，所有电荷的贡献)只有S 内的电荷对穿过S 的电通量有贡献。
高斯定理数学
高斯定理数学高斯定理，又称为高斯-奥斯特罗格雷定理（Gauss-Ostrogradsky theorem），是描述向量场通过曲面的流量密度与该曲面边界上环绕该曲面沿法向量方向的一圈线积分之间的关系的定理，是矢量分析的重要内容之一，也是工程中常用的理论。
$$\oint_S \textbf{F} \cdot \textbf{n} dS = \iiint_V \nabla \cdot \textbf{F} dV$$$\textbf{F}$ 表示某个向量场，$S$ 表示一个逐片光顺的曲面，$V$ 为该曲面所包围的立体。
$\textbf{n}$ 表示曲面上某一点的法向量，$\nabla \cdot \textbf{F}$ 为向量场 $\textbf{F}$ 的散度。
该式中左边表示 $\textbf{F}$ 向外通过曲面 $S$ 的流量密度。
左侧积分的意思是，对于曲面 $S$ 的每一点，对由该点到曲面外侧的垂直方向的投影所围成的小面积$dS$ 进行积分，得到整个曲面通过的总流量密度。
右边表示 $\textbf{F}$ 在立体$V$ 中的散度。
右侧积分的意思是，对于立体 $V$ 中的每一点，计算该点的散度，然后对整个立体进行积分，得到散度在整个立体中的总量。
高斯定理适用于任意的向量场，包括电场、磁场等。
它可以用来推导一些物理方程，并在基础数学领域中起到重要作用。
对于电场，高斯定理可以用来计算电通量，即电场向外通过一个立体的总电量。
对于静电场和恒定电场来说，高斯定理可以推导出库仑定律。
对于磁场，高斯定理可以用来推导出安培环路定理。
高斯定理在物理学和工程学中有非常广泛的应用，是理解和解决问题的重要工具之一。
高斯定理的证明可以通过追踪微小体积元素上的向外流量来完成。
假设该体积元素为$\Delta V$，体积元素表面上带有一小片面积为 $\Delta S$，该片面积的法向量表示为$\textbf{n}$。
向量场 $\textbf{F}$ 在该面积上的流量为 $\textbf{F} \cdot\textbf{n} \Delta S$，如果对所有该体积元素上的面积进行累计，则构成了整个曲面的流量，并得到了高斯定理的左侧积分：$$\oint_S \textbf{F} \cdot \textbf{n} dS$$接下来，可以通过施加散度定理来将该定理转化为该向量场的散度在这个立方体中的积分：证明中还需要使用到一些高等数学的知识，如积分中值定理等，具体证明过程相对复杂。
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S S S
=
注意： 注意：
ε0 ε0
q1
+
q2
+L+
ε0
qn
=
1
ε0
∑q
i
闭合面外的电荷对通过闭合面的电场强度通量没 闭合面外的电荷对通过闭合面的电场强度通量 通量没 有贡献，但是对闭合面上各点的电场强度 电场强度是有贡献 有贡献，但是对闭合面上各点的电场强度是有贡献 闭合面上各点的电场强度是由闭合面内、 的，即，闭合面上各点的电场强度是由闭合面内、 外所有电荷共同激发的。 外所有电荷共同激发的。 高斯定理将静电场与场源电荷联系了起来，揭示 高斯定理将静电场与场源电荷联系了起来， 了静电场是有源场这一普遍性质。 了静电场是有源场这一普遍性质。
0
ρd
讨论
+λ
λ +λ
Φ= 0 λ λ E= 2πε0R 2πε0 3R
方向向左
P.
R
2R
.
R
R
Φ' =0 λ λ E= 2πε0R 2πε0 3R λ + 方向向左 2πε0 5R
1
2
3
讨论
r 利用高斯定理解 E的条件
∫∫s E . dS = ∫∫sE dS cosθ
法线
E
侧视图
讨论
r 利用高斯定理解E 的条件
六 、高斯定理
真空中的高斯定理：
在真空中， 在真空中，通过任一闭合曲面的 电场强度通量等于该曲面所包围的 所有电荷的代数和的1/ε 所有电荷的代数和的 εo倍。
v v 1 Φe = ∫ E dS =
S
εo
∑q
i=1
n
i
∑q
i=1
n
i
表示高斯面内电荷的代数和。 表示高斯面内电荷的代数和。
验证高斯定理：
（1）、均匀电场中通过平面S的电通量 ）、均匀电场中通过平面S 均匀电场中通过平面
v n
v E
Φe = ES
θ θ S
v E
v v Φe = ES cosθ = E S
（2）、非均匀电场的电通量 ）、非均匀电场的电通量
v v dΦ = E cosθ dS = E dS v v Φe = ∫ E cosθ dθ = ∫ E dS
v v ∫ E dS = Φ1 + ∫ EdS + Φ3
S S2
εo
r
h
Φ1 = Φ3 = 0
∫ E dS = E 2π rh
S2
λh E 2π rh = εo
λ E= 2πεor
计算无限大均匀带电平面的场强分布。 例9. 计算无限大均匀带电平面的场强分布。 （电荷密度为σ） 解：
v v σS ∫ E dS =
1、点电荷在球形高斯面的圆 、 心处 E
dS
E=
q 4πεo R
2
+
q dS dΦe = E cos 0°dS = 2 4πεo R
qdS q q 2 Φe = ∫ = 4π R = 2 2 S4 πεo R 4πεo R εo
2、点电荷在任意形状的高斯面内
通过球面S的电场线也 通过球面 的电场线也 必通过任意曲面S 必通过任意曲面 ‘ ，即它 们的电通量相等， 们的电通量相等，为q/εo ε
S′
+r
v v q Φe = ∫ E dS =
S′
S
εo
3、电荷q 在闭合曲面以外
穿进曲面的电场线 条数等于穿出曲面的电 场线条数。 场线条数。
+
S
v v Φe = ∫ E dS = 0
S
+q
对于点电荷系， 对于点电荷系，有：
v v v v E = E1 + E2 +L+ En
v v v v v v v v Φe = ∫ E dS = ∫ E1 dS + ∫ E2 dS +L+ ∫ En dS
S
σ
E E
v v ∫ E dS = 2Φ底 + Φ侧
S
εo
Φ侧 = 0 Φ底 = 2ES
σS 2ES = εo
σ E= 2εo
一层厚度为d 例 一层厚度为 =0.5cm的无限大平 的无限大平 均匀带电， 板，均匀带电，电荷体密度为ρ =1.0×10-4 C/m3 。求: （1）这薄层中央的电场强度； ）这薄层中央的电场强度； （2）薄层内与其表面相距 ）薄层内与其表面相距0.1cm处的电 处的电 场强度； 场强度； （3）薄层外的电场强度。 ）薄层外的电场强度。
v v q ∫ E dS =
S
εo
4 q = ρ π R3 3
2
ρ
R
r
E∫ dS = E 4π r =
S
q
εo
2
E=
q 4πεor
2
=
ρ R3
3r
(r≥R)
（2）求球体内一点的场强 ）
v v ∑qi ∫ E dS =
S
εo
ρ
R
r
q 4 3 E∫ dS = πr 3 S εo 4π R 3 3
利用高斯定理请静电场的分布
高斯定理的一个重要应用就是计算电场强度。 高斯定理的一个重要应用就是计算电场强度。 高斯定理计算场强的条件： 高斯定理计算场强的条件： 带电体的电场强度分布要具有高度的对称性。 带电体的电场强度分布要具有高度的对称性。 高斯面上的电场强度大小处处相等； ⑴ 高斯面上的电场强度大小处处相等； 高斯面上E=0或E=常数 高斯面上E=0或E=常数 E=0 面积元dS的法线方向与该处的电场强度的方 ⑵ 面积元 的法线方向与该处的电场强度的方 向一致或垂直。 向一致或垂直。
一 对 等 量 异 号 电 荷 的 电 场
∫∫s E . dS = ∫∫sE dS cosθ
+
利用高斯定理求解静电场的分布时要求
r r r r 2,在高斯面上E=0或E=常数 垂直 n 或 E平行 n 在高斯面上E=0 常数； 2,在高斯面上E=0或E=常数；E
常见的电量分布的对称性： 常见的电量分布的对称性： 球对称 球体 球面 (点电荷) 点电荷) 柱对称
五、电场线和电通量
1 电场线
电场线：描述电场分布情况的曲线。 电场线：描述电场分布情况的曲线。
1、v 曲线上每一点的切线方向表示该点处电场强 的方向。 度 E的方向。 2、垂直通过单位面积的电场线条 数，在数值上就等于该点处电场 v 的大小。 强度 E的大小。即：曲线的疏密 表示该点处电场强度的大小。 表示该点处电场强度的大小。
r r r r E ⊥ n, E n
v v ∑qi Φe = ∫ E dS =
S
εo
EdS cos 0o = ∫
S
∑qi
εo
r r r r E ⊥ n, E n
E∫ dS =
S
∑qi
εo
高斯面上E=0或E=常数 高斯面上E=0或E=常数 E=0E=来自∑qi∫ dSS
求均匀带电球体的场强分布。（ 。（已知球体半径 例1. 求均匀带电球体的场强分布。（已知球体半径 为R，带电量为 ，电荷密度为ρ） ，带电量为q， 解： （1）球外某点的场强 ）
S S
对闭合曲面的电通量： 对闭合曲面的电通量：
v v Φe = ∫ E dS
S
规定： 规定：外法线方向为正
当θ < 90°时Φe > 0 ：电场线穿出闭合曲面。 电场线穿出闭合曲面。 ° 当θ > 90°时Φe < 0 ：电场线穿进闭合曲面。 电场线穿进闭合曲面。 ° 当θ = 90°时Φe = 0 ：电场线与曲面相切。 90° 电场线与曲面相切。
（无限长） 无限长） （无限大） 无限大）
1,电量的分布具有某种对称性 1,电量的分布具有某种对称性
面对称
柱体 柱面 带电线
平板 平面
dN E= dS⊥
几种常见的电场线：
静电场中电场线的特点：
1、电场线起始于正电荷，终止于负电荷。 电场线起始于正电荷，终止于负电荷。 2、电场线不闭合，不相交。 电场线不闭合，不相交。 3、电场线密集处电场强，电场线稀疏处电场弱。 电场线密集处电场强，电场线稀疏处电场弱。
2 电通量
电场强度通量（电通量）Φe： 通过电场中任一曲面的电场线条数。 通过电场中任一曲面的电场线条数。
1
E
E
o r
qr E 4π r = 3 εoR
2
3
R
ρr qr = E= （r < R） 3 4πεo R 3εo
r
例8.求无限长带电直线的场强分布。（已知线电荷密 8.求无限长带电直线的场强分布。（已知线电荷密 求无限长带电直线的场强分布。（ 度为λ） 解：
v v ∑qi ∫ E dS =
S
ρ d
解：
E2 d1 d
S
1、 2、
ρ
E1 =0
根据叠加原理
E2S + E2 S =
ρd 1S
E2
ε
0
ρd 1 1.0×10-4×0.3×10-2 E2 = -12 2 ε=
2×8.85×10 =1.69×104 V/m
0
E3 d S d
ρ
E3
3、
E3S + E3 S =
ρd S
ε
0
1.0×10-4×0.5×10-2 E3 = = 2 ε 2×8.85×10-12 =2.83×104 V/m