南通市2010届高三数学附加题考前指导

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一．矩阵变换

1. 二阶行矩的乘法:一般地M N NM ≠，n

M MM M = ，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦e f g h ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ae bg af bh ce dg cf dh ++⎡⎤

⎢⎥++⎣⎦

2. 二阶行矩的乘法:一般地M N NM ≠，n

M MM M =

a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦e f g h ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ae bg af bh ce dg cf dh ++⎡⎤⎢⎥++⎣

⎦。cos sin sin cos A θθθθ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,n

A 表示几何意义是什么？

3.几种常见的平面变换 (1) 恒等变换阵（即单位矩阵）： (2) 伸压变换: (3) 反射变换：

（4）旋转变换：（5）投影变换： （6）切变换：

4.逆矩阵常见的方法：ＡＢ＝ＢＡ＝E

（1）用待定系数法求逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，ＡＢ＝ＢＡ＝E ； （2）公式法：a b

c d ＝ad bc -，记为：detA ，有1det det det det d

b A A A c

a A A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，当且仅当detA=ad bc -≠0；

（3）从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵； （4）(AB)－1＝B －1A －

1 。 5利用逆矩阵解方程组 ax b m cx dy n

+=⎧⎨

+=⎩可以表示成a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=m n ⎡⎤⎢⎥

⎣⎦，简写成AX B =,111

A AX A

B X A B ---=⇒= 6.求特征向量和特征值的步骤： （1）() -() ()a b f c d λλλ-=

--=0；（2）解()0

()0

a x by cx d y λλ--=⎧⎨-+-=⎩()0a x by λ⇔--=；（3）取1x

=或者1y =，写出相应的向量；

7．如何求n

M β的步骤： （1）求M αλα=，即M 的特征值λ和特征向量α；

（2）用特征向量12,αα线性表示向量x y β⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦，即12,,m n m n β

αα=+是常数，但一般不是12,λλ；

（3）代入12()M M m n β

αα=+=12mM nM αα+,因为111M αλα=222M αλα=，12mM nM αα+=

1122m n λαλα+，依此，n M β=1122n n

m n λαλα+；

例1.求矩阵M=⎢⎢⎣⎡251- ⎥⎥⎦⎤

32的特征值和特征向量

解：M=⎢⎢⎣⎡251- ⎥

⎥⎦⎤

32 有两个特征值λ1

=4，λ2

=-2，属于λ

1

=4的一个特征向量为⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡52，属于λ2

=-2的一个特征向量为

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡12-。

例2. 例18. 已知M=1 -23,-2 11α⎡⎤⎡⎤

=⎢

⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，试计算20M α 解：2020

20

2020113232(1)1132M α⎡⎤+⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣

⎦

二．参数方程、极坐标

1. 常见的曲线的极坐标方程

（1）直线过点M 00(,)ρθ,倾斜角为α常见的等量关系：

正弦定理

sin sin OP OM

OMP OPM

=

∠∠，0OMP παθ∠=-+OPM αθ∠=-； （2）圆心P 00(,)ρθ半径为R 的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理

2.参数方程化为直角坐标：消去参数

（1）圆222

()()x a x b r -+-=的参数方程：cos ,sin x a r x b r θθ-=-=

（2）椭圆22

221x y a b

+=的参数方程：cos ,sin x a x b θθ==

（3）直线过点M 00(,)x y ,倾斜角为α的参数方程：00tan y y x x α-=-即00

cos sin x x y y t θθ

--==，

即⎩⎨

⎧+=+=)(sin cos 00是参数t t y y t x x α

α注：0cos x x t θ-=

，0

sin y y t

θ-=根据锐角三角函数定义，T 的几何意义是有向线段MP 的数量； 3. 极坐标和直角坐标互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩

⎪

⎨⎧≠=+=)

0(tan 2

22x x y

y x θρ，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.

（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合.

（2）将点(,)ρθ变成直角坐标(cos ,sin )ρθρθ，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。

4．曲线的极坐标方程

(1)求曲线轨迹的方程步骤： （1）建立坐标系；（2）在曲线上取一点P (,)ρθ；（3）写出等式；（4）根据,ρθ几何意义用,ρθ表示上述等式，并化简（注意：,x y ρθ≠≠）；（5）验证。

注意：常见的技巧（1）直接法；（2）定义法；（3）坐标转移法（利用,ρθ几何意义） (2)求轨迹方程的常用方法：

⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成(,)0F x y =,是求轨迹最基本的方法. ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回方程 ⑶代入法(相关点法或转移法).

⑷定义法：如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义,则可由曲线定义直接写出方程.

⑸交轨法(参数法)：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程. 例1． 已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρ

θ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数

方程是：12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长． 解：直线l 与曲线C

相交所成的弦的弦长

例2. 已知圆C

的参数方程为2cos 2sin x y θθ

⎧=⎪

⎨

=⎪⎩ （θ为参数），若P 是圆C 与y 轴正半轴的交点，以圆心C 为极点，x 轴的正半轴为极轴

建立极坐标系，求过点P 的圆C 的切线的极坐标方程。

解：5cos()26

π

ρθ-=即为所求切线的极坐标方程． 三．定积分 1、基本的积分公式：

⎰

dx 0＝C ；⎰dx x m

＝111++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；⎰x

1dx ＝ln x ＋C ；⎰dx e x ＝x

e ＋C ；

⎰dx a x

＝a a x

ln ＋C ；⎰xdx cos ＝sin x ＋C ；⎰xdx sin ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）

。 （2）定积分的性质

①⎰⎰=b

a b

a

dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；

②⎰

⎰⎰±=±b

a b a

b

a

dx x g dx x f dx x g x f )()()()(；

③

⎰

⎰⎰+=b

a

c a

b

c

dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。

例1、如图，过点A (6，4)

作曲线()f x =l ． （1）求切线l 的方程；

（2）求切线l ，x 轴及曲线所围成的封闭图形的面积S ． 1

4(6)2

y x -=-，

即解：（1）

∵

()f x '=

，∴1

(6)2f '=，∴切线l 的方程为：

材

1

12

y x =+．