2019高考数学大二轮复习专题9概率与统计第1讲基础小题部分真题押题精练理
2019高考数学大二轮复习专题9概率与统计第1讲基础小题部分课件文
{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}．
3 其中，满足输入的三个数中有 5 的基本事件有 6 个，故所求概率为 .故选 C. 5 答案：C
3．(互斥与对应)(2018· 高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 ( A．0.3 C．0.6 答案：B B．0.4 D．0.7 )
答案：B
3．(折线图)根据国家旅游局数据中心综合测算，2017年国庆、中秋双节期间，全国
共接待国内游客7.05亿人次，实现国内旅游收入5 836亿元，按可比口径前7天与
2016年同比计算，分别增长11.9%和13.9%.某旅游城市为提高旅游服务质量，收 集并整理了2015年1月至2017年9月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制 了下面的折线图(如图所示)．
答案：D
1．随机数表的应用
应用随机数表法的两个关键点：一是确定以表中的哪个数(哪行哪列)为起点，以 哪个方向为读数的方向；二是读数时注意结合编号特点进行读取，若编号为两位 数字，则两位两位地读取，若编号为三位数字，则三位三位地读取．
2．系统抽样 解决系统抽样题的关键：一是“编号码”，给总体中的N个个体进行编号；二是“
答案：C
4．(角度测度)(2018· 福州调研)如图所示，在等腰△ABC 中，∠ ACB ＝120° ，DA＝DC，过顶点 C 在∠ACB 内部作一条射线 CM，与 3 线段 AB 交于点 M，则 AM< AC 的概率为 3 1 A. 3 3 C. 2 3 B. 4 1 D. 4 ( )
解析：在等腰△ABC中，∠ACB＝120°， 则∠CAD＝30°，因为DA＝DC， 1 AC 2 3 所以 DA＝DC＝ ＝ AC， cos 30° 3
2019年高考必备必考-统计与概率大题汇总_(理科解答含答案)
一对一个性化辅导教学设计任课老师：关sir统计与概率解答题好比数学题中阅读理解，文字多，需要有一定的文字理解能力和结合实际进行数据分析的能力。
文档题目分三档，A 组是必须要掌握题目，因为这道题目在高考大题中是处于基础性的地位，所以要多做，争取拿满分。
A组1、（本小题满分12分）（F37，2017全国2卷理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对求新养殖法产量的中位数的估计值（精确到0.01）. 附：（1）0.4092；（2）有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）52.352、（本小题满分12分）（B06理）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征. 教育部考试中心确定了2017年普通高考部分更注重传统文化考核. 某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为E D C B A ,,,,五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率.（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B 的人数； （2）若等级E D C B A ,,,,分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为B A ,的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A 的人数X 的分布列与数学期望.（1）150（2）59，未达标（3）9/7随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；4、（本小题满分12分）（F32，2015全国2卷理科）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，根据用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）（1）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立。
历年(2019-2023)高考数学真题专项(概率与统计解答题)汇编(附答案)
历年（2019-2023）高考数学真题专项（概率与统计解答题）汇编考点01：统计案例及应用1 (2021年全国高考乙卷文科)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：122S ．(1)求x ，y ，21S ，22S ；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y x -≥则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．2 (2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级．加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表等级 ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级 ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?3 (2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据实验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70． (1)求乙离子残留百分比直方图中的a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用改组区间的中点值为代表)．4 (2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数 2 24 53 147 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)8.602≈.5．(2022新高考全国II 卷·)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0．0001)．考点02相关关系与回归分析1．(2022年高考全国乙卷(文)·)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：2m )和材积量(单位：3m )，得到如下数据：样本号ｉ 12345678910总和根部横截面积i x0．04 0．06 0．04 0．08 0．08 0050050．07 0．07 0．06 0．6材积0．25 0．40 0．22 0．54 0．51 0．34 0．36 0．46 0．42 0．40 3．9..量i y并计算得10101022i i i ii=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474x y x y===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0．01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数i i(1.377)()nx x y yr--=≈∑．2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科·)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i，y i)(i=1，2，…，20)，其中x i和y i分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160iix==∑，2011200iiy==∑，202180iixx=-=∑（，2021)9000iiy y=-=∑（，201)800iiix yx y=--=∑（（．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i，y i)(i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r)ni ix yx y--∑（（≈1．414．考点03 独立性检验1．(2022年全国高考甲卷(文)·)甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有0090的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k …0．100 0．050 0．010 k2．7063．8416．6352．(2020年新高考I 卷(山东卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表： 2SOPM2.5[0,50](50,150] (150,475][0,35]32 18 4 (35,75]6 8 12 (75,115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表： 2SOPM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k3．841 6．63510．8283 ．(2020新高考II 卷(海南卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？的附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，4．(2021年高考全国甲卷文科·)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥ 0．050 0．0100．001k 3．841 6．635 10．8285．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科·)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)： 锻炼人次 空气质量等级 [0，200](200，400](400，600]1(优) 2 16 25 2(良)51012的3(轻度污染) 67 84(中度污染) 72 0(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，P(K2≥k)0．050 0．010 0．001k 3．841 6．635 10．8286．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科·)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客40 10女顾客30 20(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．2()P K k…0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828参考答案考点01：统计案例及应用1 (2021年全国高考乙卷文科)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：122S ．(1)求x ，y ，21S ，22S ；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y x -≥则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．【答案】(1)221210,10.3,0.036,0.04x yS S ====；(2)新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高． 【答案解析】：(1)9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==，10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==，22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610S +++++++++==，222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410S +++++++++==(2)依题意，0.320.15y x -==⨯==，=y x -≥，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．2 (2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级．加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲.分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数 4020 20 20乙分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数 2817 34 21(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?【答案】(1)甲分厂加工出来的A级品的概率为0.4，乙分厂加工出来的A级品的概率为0.28；(2)选甲分厂，理由见答案解析．【答案解析】(1)由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为400.4100=，乙厂加工出来的一件产品为A级品的概率为280.28 100=；(2)甲分厂加工100件产品总利润为()()()()4090252050252020252050251500⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加工100件产品的总利润为()()()()2890201750203420202150201000⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．3 (2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据实验数据分别得到如下直方图：的记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70． (1)求乙离子残留百分比直方图中的a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用改组区间的中点值为代表)． 【答案】【答案解析】：(1)C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”， 根据直方图得到P (C )的估计值为0.70． 则由频率分布直方图得： 0.200.150.70.050.1510.7a b ++=⎧⎨++=-⎩， 解得乙离子残留百分比直方图中0.35a =，0.10b =． (2)估计甲离子残留百分比的平均值为：20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲．乙离子残留百分比的平均值为：30.0540.150.1560.3570.280.156x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙．4 (2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数 2 24 53 147 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)8.602≈. 【答案】【答案解析】：(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100+=.产值负增长的企业频率为20.02100=. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()52211100i i i s n y y ==-∑222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100⎡⎤=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦ =0.0296，0.020.17s ==≈，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.5．(2022新高考全国II 卷·)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0．0001)． 【答案】(1)47.9岁； (2)0.89； (3)0.0014．【答案解析】：(1)平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 550.020650.017750.006850.002)1047.9+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(岁)． (2)设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=．(3)设{B =任选一人年龄位于区间}[40,50)，{C =任选一人患这种疾病}， 则由条件概率公式可得 ()0.1%0.023100.0010.23(|)0.00143750.0014()16%0.16P BC P C B P B ⨯⨯⨯====≈．考点02相关关系与回归分析1．(2022年高考全国乙卷(文)·)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：2m )和材积量(单位：3m )，得到如下数据： 样本号ｉ 12345678910总和根部横截面积i x0．04 0．06 0．04 0．08 0．08 0050050．07 0．07 0．06 0．6材积量i y0．25 0．40 0．22 0．54 0．51 0．34 0．36 0．46 0．42 0．40 3．9并计算得10101022ii i i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0．01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数ii( 1.377)()nx x y y r --=≈∑．【答案】(1)20.06m ；30.39m (2)0.97..(3)31209m【答案解析】：【小问1详解】样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x == 样本中10棵这种树木的材积量的平均值 3.90.3910y == 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m ， 平均一棵的材积量为30.39m 【小问2详解】()()1010iii i10x x y y x y xyr ---==∑∑0.01340.970.01377==≈≈则0.97r ≈ 【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为3m Y ， 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 可得0.06186=0.39Y，解之得3=1209m Y ． 则该林区这种树木总材积量估计为31209m2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科·)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，202180i ix x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201)800i i i x y x y =--=∑（（．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．的附：相关系数r)niix y x y --∑（（≈1．414．【答案】(1)12000；(2)0.94；(3)详见答案解析【答案解析】(1)样区野生动物平均数为201111200602020ii y ==⨯=∑， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯= (2)样本(,)i i x y (i =1，2，…，20)的相关系数为20()()0.943iix x y y r --===≈∑(3)由(2)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性， 从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题．考点03 独立性检验1．(2022年全国高考甲卷(文)·)甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有0090的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k …0．100 0．050 0．010 k2．7063．8416．635【答案】(1)A ，B 两家公司长途客车准点的概率分别为1213，78(2)有 【答案解析】根据表中数据，A 共有班次260次，准点班次有240次， 设A 家公司长途客车准点事件为M ，则24012()26013P M ==； B 共有班次240次，准点班次有210次， 设B 家公司长途客车准点事件为N ， 则210()28074P N ==． A 家公司长途客车准点的概率为1213； B 家公司长途客车准点的概率为78． (2)列联表准点班次数未准点班次数 合计A 240 20 260B 210 30 240 合计4505050022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关． 2．(2020年新高考I 卷(山东卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表： 2SOPM2.5[0,50](50,150] (150,475][0,35]32 18 4 (35,75]6812(75,115]3 7 10(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表： 2SOPM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k3．841 6．63510．828【答案】(1)0.64；(2)答案见答案解析；(3)有．【答案解析】：(1)由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； (2)由所给数据，可得22⨯列联表为：2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,7564 16 80 (]75,11510 10 20 合计 7426100(3)根据22⨯列联表中的数据可得的222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>， 因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关． 3 ．(2020新高考II 卷(海南卷)·)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度(单位：3μg/m )，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】(1)0.64；(2)答案见答案解析；(3)有．【答案解析】：(1)由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=； (2)由所给数据，可得22⨯列联表为：2SO2.5PM[]0,150(]150,475合计[]0,7564 16 80 (]75,11510 10 20 合计 7426100(3)根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>， 因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关． 【题目栏目】统计\相关关系、回归分析与独立性检验\独立性检验4．(2021年高考全国甲卷文科·)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥ 0．050 0．0100．001k 3．841 6．635 10．828【答案】(1)75%；60%；的(2)能．答案解析：(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075% 200=,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060% 200=．(2)()22400150801205040010 6.63527013020020039K⨯-⨯==>>⨯⨯⨯,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科·)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400] (400，600]1(优) 216 252(良) 510 123(轻度污染) 67 84(中度污染) 72 0(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，P(K2≥k)0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828【答案】(1)该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；(2)350；(3)有，理由见答案解析．【答案解析】(1)由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；(2)由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=(3)22⨯列联表如下：人次400≤人次400>空气质量不好 3337 空气质量好 228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．6．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科·)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．2()P K k …0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【答案】【答案解析】(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．(2)22100(40203010)4.76250507030K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.。
概率与统计(押题专练)-2019年高考理数二轮复习精品资料+Word版含解析
4．在 1， 2， 3，4， 5， 6， 7， 8 这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字
5 是取出的五个不同数的中
位数的概率为 ( )
9
9
9
5
A. 56 B. 28 C.14 D. 9
【答案】 B 【解析】要满足题意，则抽取的除
求概率
P＝
C24·C23 C58
＝
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9 28.
5 以外的四个数字中，有两个比 5 小，有两个比 5 大，故所
3 种情况， ∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率
P＝ 39＝ 13，故选 A.
2．在区间 [ － 2， 3]上随机选取一个数 X，则 X≤１的概率为 ( ) 4321
A. 5 B. 5 C.5 D.5 【答案】 B 这是一个几何概型问题， 测度是长度， 此问题的总体长度为 5，使得 “X≤1”的长度为 3，故 P(X≤1)
P(2
＜
ξ≤
4＝)
P
(ξ＝
3)
＋
P(
ξ＝
4)＝
213＋
214＝
3 16.
14．已知随机变量 X＋ η＝8，若 X～ B(10， 0.6)，则 E(η)和 D(η)分别是 ( )
A ． 6 和 2.4 B ． 2 和 2.4
C． 2 和 5.6 D． 6 和 5.6 【答案】 B 【解析】若两个随机变量
m、n，本次期末考试两级部数学平均分分别是
a、b，则这两个级
部的数学平均分为
na m
＋
mnb；
④某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体
800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查，现将 800 名
学生从 1 到 800 进行编号．已知从 497～ 513 这 16 个数中取得的学生编号是 503，则初始在第 1 小组 1～ 16
2019届高三数学(理)二轮复习精品同步：第1部分 基础送分题：教师用书：题型专题(4) 不等式(通用版)
题型专题(四) 不等式(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．[题组练透]1．(2019·河北五校联考)如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x －3x <0，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(0，1]解析：选D 由题意可知A ＝{x |1<x <2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <32，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0<x ≤1}，故选D.2．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－32，12C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－12，32 解析：选A 由f (x )>0，得ax 2＋(ab －1)x －b >0，又其解集是(－1，3)， ∴a <0，且⎩⎨⎧1－aba ＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或13(舍去)，∴a ＝－1，b ＝－3， ∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，得4x 2＋4x －3>0， 解得x >12或x <－32，故选A.3．(2019·泉州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1），x ≥0，－x 3，x <0，则使得f (x )≤1成立的x 的取值范围是________．解析：由⎩⎨⎧x ≥0，lg （x ＋1）≤1得0≤x ≤9，由⎩⎨⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x ＜0，故f (x )≤1的解集为[－1，9]．答案：[－1，9] [技法融会]1．求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．2．(易错提醒)解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.基本不等式：a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．[题组练透]1．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.52解析：选B 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22（x －a ）·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.2．(2019·湖北七市联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( )A ．9 B.92 C ．4 D.52解析：选B 将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，∴a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a ＝2b＝3时等号成立，即ab 的最大值是92，故选B.3．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：选C 设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2 x ·4x＝160⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号. 所以该容器的最低总造价为160元．4．(2019·江西两市联考)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92解析：选C 由x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，得5＝x ＋y ＋x ＋y xy ，∵x >0，y >0，∴5≥x ＋y ＋x ＋y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝x＋y ＋4x ＋y，∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，解得1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值是4.[技法融会]1．利用不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．2．(易错提醒)利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可.解决线性规划问题的一般步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l .(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要对目标函数l 和可行域边界的斜率的大小进行比较．(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． [题组练透]1．(2019·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选B 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l可知，当直线l 经过A 时，z ＝x －y 取得最小值－1，联立⎩⎨⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，∴m ＝5，故选B.2．(2019·福建质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1 B.92C ．5D ．9解析：选B 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P (－2， －3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92，故选B.3．(2019·全国甲卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．解析：不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3，4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.答案：－54．(2019·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是________．解析：画出不等式组所表示的可行域，如图所示，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1，1)连线的斜率，∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12.答案：－125．(2019·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产产品A x 件，产品B y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N . 目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点B 时，z 取得最大值，联立⎩⎨⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60，100)． 则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000 [技法融会]1．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．2．(易错提醒)解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．1．不等式的可乘性(1)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (2)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .2．不等式的性质在近几年高考中未单独考查，但在一些题的某一点可能考查，在今后复习中应引起关注．[题组练透]1．(2019·河南六市联考)若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D 由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.2．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b解析：选C 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．[技法融会]1．判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．2．利用不等式性质解决问题的注意事项(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．一、选择题1．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2，故选B. 2．(2019·北京高考)已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8解析：选C 作出线段AB ，如图所示．作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B(4，1)时，2x －y 取最大值为2×4－1＝7. 3．(2019·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )A.12B.32C ．1D ．2 解析：选C 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C. 4．已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{ x | x >2或x <－2}B ．{ x |－2< x <2}C ．{ x | x <0或x >4}D ．{ x |0< x <4}解析：选C 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)·(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)( x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C. 5．(2019·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ； ②若a > b ，c>d ，则a ＋c >b ＋d ； ③若a > b ，c> d ，则ac >bd ； ④若a > b ，则1a >1b .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ①ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③需满足a ，b ，c ，d 均为正数才成立；④错误，比如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1>－2，但1－1<1－2.故选B.6．(2019·安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2，2] B.⎣⎡⎦⎤－12，2 C ．[－1，2] D.⎣⎡⎦⎤－12，1 解析：选B 作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1，3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2 x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.7．(2019·河北五校联考)若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax 恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x ≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.故选C.8．(2019·河南八市联考)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝3x ＋2y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C.34D ．1 解析：选B 根据约束条件作出可行域(如图中阴影部分所示)，把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线，当直线z ＝3x ＋2y 经过点B 时，截距z2最小，即z 最小，又B 点坐标为(1，－2a )，代入3x ＋2y ＝1，得3－4a ＝1，得a ＝12，故选B.9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B ．C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元， 则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线3x ＋4y －z ＝0过点B (2，3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．故选D.10．(2019·湖北七市联考)设向量a ＝(1，k )，b ＝(x ，y )，记a 与b 的夹角为θ.若对所有满足不等式|x －2|≤y ≤1的x ，y ，都有θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则实数k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－1，0)∪(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)解析：选D 首先画出不等式|x －2|≤y ≤1所表示的区域，如图中阴影部分所示，令z ＝a ·b ＝x ＋ky ，∴问题等价于当可行域为△ABC 时，z >0恒成立，且a 与b 方向不相同，将△ABC 的三个端点值代入，即⎩⎨⎧k ＋1>0，k ＋3>0，2＋0·k >0，解得k >－1，当a 与b 方向相同时，1·y ＝x ·k ，则k ＝y x∈[0，1]，∴实数k 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)，故选D. 11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4，1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy ＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y 4≥xy ≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( ) A.6＋2 B.6－2C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝⎛⎭⎫c a －12⎝⎛⎭⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t 2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2(当且仅当t ＝62时等号成立)，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.二、填空题13．(2019·湖北华师一附中联考)若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________．解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ，所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：214．(2019·河北三市联考)如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝y x ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：115．(2019·江西两市联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2（y ＋1）x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1，5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3，11]．答案：[3，11]16．(2019·湖南东部六校联考)对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2，1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2，1)．参考上述解法，若关于x 的不等式k x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．解析：不等式kxax＋1＋bx＋1cx＋1<0，可化为ka＋1x＋b＋1xc＋1x<0，故得－1<1x<－13或12<1x<1，解得－3<x<－1或1<x<2，故kxax＋1＋bx＋1cx＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1，2)．答案：(－3，－1)∪(1，2)。
2019年高考真题概率统计专题整理 小题+大题 详细答案解析
2019年高考数学真题——概率统计专题整理1.（2019年全国卷1,文数6题,满分5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A .8号学生B .200号学生C .616号学生D .815号学生【答案】C .【解析】依题意可知组距间隔为100010100d ==，各组间被抽到号码的绝对值差应为间隔d 的倍数，即能被10整除.只有C 项：616465710-=能被10整除，故选C .2.（2019年全国卷1,理数6题,满分5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516B .1132C .2132D .1116【答案】A .【解析】易知出现阳爻的概率服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴每卦6爻中恰好有3个阳爻的概率333611512216P C ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选A .3.（2019年全国卷2,文数4题,满分5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A .23B .35C .25D .15【答案】B .【解析】“恰有2只测量过该指标”指的是事件“两只通过指标且另外一只没有通过指标”，∴21323535C C P C ==，故选B .4.（2019年全国卷2,文数14、理数13题,满分5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.【答案】0.98.【解析】依题意共有10201040++=个车次，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为1020100.970.980.990.98404040⨯+⨯+⨯=.5.（2019年全国卷2,理数5题,满分5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A .【解析】根据一组数据中中位数的找法可知，极端值变化不改变整组数据的中位数，故选A .6.（2019年全国卷3,文数3题,满分5分）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D .【解析】把两名女同学“捆绑”在一起看成一个特殊的同学有222A =种方法，再与剩下的两名男同学全排列共有336A =种方法，而两男两女四名同学所有的排列方法有4424A =种，故两位女同学相邻的概率23234412A A P A ⋅==，故选D .7.（2019年全国卷3,文数4、理数3题,满分5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C .【解析】阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，而阅读过《红楼梦》的学生共有80位，由此可知只阅读过红楼梦的学生有20人。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题19概率与统计热点难点突破理含解析
率与统计1．在新一轮的素质教育要求下，各地高中陆陆续续开展了选课走班的活动，已知某高中学校提供了3门选修课供该校学生选择，现有5名同学参加该校选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则这5名同学选课的种数为( ) A ．120 B ．150 C ．240 D ．540答案 B解析 因为将5个人分成3组有两种情形， 5＝3＋1＋1,5＝2＋2＋1，所以这5名同学选课的种数为⎝ ⎛⎭⎪⎫C 35C 12C 11A 22＋C 15C 24C 22A 22·A 33＝150，故选B. 2．某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．243．将A ，B ，C ，D ，E 这5名同学从左至右排成一排，则A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有一名同学的排法有( ) A ．18种 B ．20种 C ．21种 D ．22种 答案 B解析 当A ，C 之间为B 时，看成一个整体进行排列，共有A 22·A 33＝12(种)，当A ，C 之间不是B 时，先在A ，C 之间插入D ，E 中的任意一个，然后B 在A 之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个进行排列，共有C 12·A 22·A 22＝8(种)，所以共有20种不同的排法．4． ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x 3的展开式中的常数项为( )A ．－6B ．6C ．12D ．18 答案 D解析 由二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x 3的通项公式为T ＋1＝C k 33·3－2， 当3－2＝1时，解得＝1，当3－2＝－1时，解得＝2，所以展开式中的常数项为－C 13·31＋C 23·32＝－9＋27＝18.5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2项的系数是( )A ．－462B ．462C ．792D ．－7926．二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 40的展开式中，其中是有理项的共有( ) A ．4项 B ．7项 C ．5项 D ．6项 答案 B解析 二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 40的展开式中， 通项公式为T ＋1＝C k 40·()x 40－·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x＝C k 40·5206kx -，0≤≤40，∴当＝0,6,12,18,24,30,36 时满足题意，共7个．7．《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有( ) A ．144种 B ．288种 C ．360种 D ．720种 答案 A解析 《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词进行全排列共有A 44种排法，满足《将进酒》排在《望岳》的前面的排法共有A 44A 22种，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在4个空里(最后一个空不排)，有A 24种排法．《将进酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有A 44A 22×A 24＝144(种)． 8．已知m ＝ʃπ03cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2d ，则(－2y ＋3)m 的展开式中含m －2y 项的系数等于( )A ．180B ．－180C ．－90D ．15 答案 B解析 由于m ＝ʃπ03cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2d ＝ʃπ03sin d＝(－3cos )|π0＝6，所以(－2y ＋3)m ＝(－2y ＋3)6＝[(－2y )＋3]6，其展开式的通项为C k 6(－2y )6－(3)，当＝1时，展开式中才能含有4y 项，这时(－2y )5的展开式的通项为C S 5·5－S (－2y )S ， 当s ＝1时，含有4y 项，系数为－10， 故(－2y ＋3)6的展开式中含4y 项的系数为C 16·(－10)×3＝－180.9．为迎接中国共产党十九大的到，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生中不同的朗诵顺序的种数为( ) A ．720 B ．768 C ．810 D ．816答案 B解析 由题意知结果有三种情况．(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有C 14A 44＝96(种)情况，其中甲、乙相邻的有C 14A 22A 33＝48(种)情况，所以当甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻的有96－48＝48(种)情况；(2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有C 34C 13A 44＝288(种)情况；(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有C 24C 23A 44＝432(种)情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有288＋432＋48＝768(种)情况，故选B.10．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为( ) A.35 B.59 C.25 D.110 答案 B解析 设“第一次摸出新球”为事件A ，“第二次摸出新球”为事件B ，则P (A )＝C 16C 19C 110C 19＝35，P (AB )＝C 16C 15C 110C 19＝13， P (B |A )＝P AB P A ＝59.11.某游戏中一个珠子从图中的通道(图中实线表示通道)由上至下滑下，从最下面的六个出口(如图所示1,2,3,4,5,6)出，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从3号出口出，那么你取胜的概率为( )A.516B.532C.16 D ．以上都不对 答案 A解析 我们把从A 到3的路线图(图略)单独画出：分析可得，从A 到3共有C 25＝10(种)走法，每一种走法的概率都是⎝ ⎛⎭⎪⎫125，所以珠子从出口3出的概率是C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516.12．我校高三8个学生参加数学竞赛的得分用茎叶图表示，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是( )A ．91,9.5B ．91,9C ．92,8.5D ．92,8 答案 A解析 由题意，根据茎叶图，可得平均数x ＝18(2×80＋6×90＋8＋5＋1＋5＋4＋2＋0＋3)＝91，方差s 2＝18[(88－91)2＋(85－91)2＋…＋(93－91)2]＝18×76＝9.5.13．A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率：先利用计算器产生0～9之间整数值的随机数，并用0,1,2,3,4,5,6表示没有强浓雾，用7,8,9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402 978 191 925 273 842 812 479 569 683 231 357 394 027 506 588 730 113 537 779 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似值为( ) A.14 B.25 C.710 D.15 答案 D解析 由随机数表可知，满足题意的数据为978,479,588,779，据此可知，这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为P ＝420＝15.14．在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中，下列说法正确的是( )A ．若2的观测值＝6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺癌B ．由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺癌C ．若从随机变量中求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，是指有1%的可能性使得判断出现错误D ．以上三种说法都不正确15．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是( )A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值答案 D解析根据走势图可知，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不呈周期性变化，A错；这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度增减不确定，B错；从网民对该关键词的搜索指数看，去年10月份的搜索指数的稳定性小于11 月份的搜索指数的稳定性，所以去年10月份的方差大于11 月份的方差，C错；从网民对该关键词的搜索指数看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，D正确．16．下列说法中正确的是( )①相关系数r用衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|越接近于1，相关性越弱；②回归直线y^＝b^＋a^一定经过样本点的中心(x，y)；③随机误差e满足E(e)＝0，其方差D(e)的大小用衡量预报的精度；④相关指数R2用刻画回归的效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好．A．①②B．③④C．①④D．②③答案 D解析 ①线性相关系数r 是衡量两个变量之间线性关系强弱的量，|r |越接近于1，这两个变量线性相关关系越强，|r |越接近于0，线性相关关系越弱，①错误；②回归直线y ^＝b ^＋a ^一定通过样本点的中心⎝⎛⎭⎫x ，y ，②正确；③随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足E (e )＝0，③正确；④相关指数R 2用刻画回归的效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好，④不正确，故选D.的分布列为所以E ()＝0×0.1＋1×0.6＋2×0.3＝1.2. (2)由已知可得，2×2列联表为2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝406×8－12×14220×20×18×22＝4011≈3.636<3.841， 所以不能在误差不超过0.05的情况下，认为B 机器生产的产品比A 机器生产的产品好． (3)A 机器每生产10万件的利润为10×(12×0.1＋10×0.2＋5×0.7)－20＝47(万元)，B 机器每生产10万件的利润为10×(12×0.15＋10×0.45＋5×0.4)－30＝53(万元)，所以53－47＝6>5，所以该工厂不会仍然保留原的两台机器，应该会卖掉A 机器，同时购买一台B 机器．。
2019高考数学专项讲练测专题09概率统计(理)(可编辑修改word版)
2019 高考数学专项讲练测专题 09 概率统计（理）【考纲解读】1.了解随机事件发生旳不确定性和频率旳稳定性，了解概率旳意义，了解频率与概率旳区别；了解两个互斥事件旳概率加法公式．2.理解古典概型及其概率计算公式；会计算一些随机事件所含旳基本事件数及事件发生旳概率．3.了解随机数旳意义，能运用模拟方法估计概率;了解几何概型旳意义．4.理解取有限个值旳离散型随机变量及其分布列旳概念，了解分布列对于刻画随机现象旳重要性．5.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单旳应用．6.了解条件概率和两个事件相互独立旳概念，理解n 次独立重复试验旳模型及二项分布，并能解决一些简单旳实际问题．7.理解取有限个值旳离散型随机变量均值、方差旳概念，能计算简单离散型随机变量旳均值、方差，并能解决一些实际问题．8.利用实际问题旳直方图，了解正态分布曲线旳特点及曲线所表示旳意义．9.了解下列一些常见旳统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题．10.了解独立性检验（只要求2×2列联表）旳基本思想、方法及其简单应用．11.了解假设检验旳基本思想、方法及其简单应用;了解回归旳基本思想、方法及其简单应用．【考点预测】本章知识旳高考命题热点有以下两个方面：1.概率统计是历年高考旳热点内容之一，考查方式多样，选择题、填空题、解答题中都可能出现，数量各 1 道，难度中等,主要考查概率与统计旳基本概念、公式以及基本技能、方法，以及分析问题、解决问题旳能力，通常以实际问题旳应用为载体，以排列和概率统计知识为工具，考察概率旳计算、随机变量旳概率分布、均值、方差、抽样方法、样本频率估计等内容.二项式定理主要以选择填空旳形式出现，难度中等.随机变量旳分布列、期望、方差相结合旳试题2.样本抽取识别与计算也常在选择、填空题中出现，条件概率、随机变量与服从几何分布及服从超几何分布旳概率计算问题;独立性检验等新课标中新增内容页会有不同程度旳考察.3.预计在 2013 年高考中，概率统计部分旳试题仍会以实际问题为背景,概率与统计相结合命题.【要点梳理】1.概率（1）主要包括古典概型、几何概型、互斥条件旳概率、条件概率、相互独立事件同时发生旳概率、n 次独立重复试验等.（2）互斥事件旳概率加法公式：P( A ⋃B) =P( A) +P(B) , 若A 与B 为对立事件,则P( A) +P(B) =1.（3）求古典概型旳概率旳基本步骤:算出所有基本事件旳个数;求出事件 A 包含旳基本事件个数;代入公式,求出P( A) ；(4)理解几何概型与古典概型旳区别，几何概型旳概率是几何度量之比,主要使用面积之比与长度之比.2.抽样方法抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样.分层抽样三种，正确区分这三种抽样.3.频率分布直方图频率分布直方图中每一个小矩形旳面积等于数据落在相应区间上旳频率，所有小矩形旳面积之和等于 1.4.平均数和方差：方差越小，说明数据越稳定.5.两个变量间旳相关关系：能做出散点图，了解最小二乘法旳思想，能根据给出旳线性回归方程系数公式建立线性回归方程.6.离散型随机变量旳分布列熟练掌握几个常见分布：1、两点分布；2、超几何分布；3、二项分布7.离散型随机变量旳均值和方差：是当前高考旳热点内容.8.正态分布是一种常见分布.考点一概率例1.(2012年高考广东卷理科7)从个位数与十位数之和为奇数旳两位数种任取一个，其个位数为0 旳概率是（）A. 49 B. 13C. 29D. 19【答案】D【解析】从个位数与十位数之和为奇数旳两位数种任取一个，所有旳取法共有C1 ⋅C1 +5 54 5 ⎨⎨C 1 ⋅ C 1 = 45 种, 其个位数为0 旳数有10,30,50,70,90,共5 个数,所以其个位数为0 旳概率是5 = 1 ,故选 D. 45 9【名师点睛】本题考查古典概型旳概率问题，求解此类问题要求能够准确旳确定基本事件空间旳基本事件个数，和所求事件所含旳基本事件个数.【备考提示】概率部分主要包括古典概型、几何概型、互斥条件旳概率、条件概率、相互独立事件同时发生旳概率等，这些都是高考考查旳重点内容,必须熟练掌握.练习 1: (2012 年高考北京卷理科 2)设不等式组⎧0 ≤ x ≤ 2, ，表示平面区域为 D ，在区域 D⎩0 ≤ y ≤ 2内随机取一个点，则此点到坐标原点旳距离大于 2 旳概率是（）（A ） （B ） - 2 （C ） （D ） 4 -42 64【答案】D【解析】题目中⎧0 ≤ x ≤ 2 表示旳区域如图正方形所示，而动点 D 可以存在旳位置为正方形⎩0 ≤ y ≤ 2面积减去四分之一圆旳面积部分，因此2 ⨯ 2 - 1⋅ 22 P = 4 =4 - ，故选 D.考点二统计2 ⨯ 2 4例 2. (2012 年高考山东卷理科 4)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为 此将他们随机编号为 1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样旳方法抽到旳号码为 9.抽到旳 32 人中，编号落入区间[1,450]旳人做问卷 A ，编号落入区间[451,750]旳人做问卷 B ，其余旳人做问卷 C.则抽到旳人中，做问卷 B 旳人数为（ ） （A ）7 （B ） 9 （C ） 10 （D ）15【名师点睛】本题考查统计中抽样方法中旳系统抽样.【备考提示】统计知识是高考旳重点内容之一，特别是新课标新增内容,它们是与大学知识旳衔接，所以必须熟练.练习 2：(2012 年高考北京卷理科 8)某棵果树前 n 前旳总产量 S 与 n 之间旳关系如图所示. 从目前记录旳结果看，前m 年旳年平均产量最高.m 值为（）A.5B.7C.9D.11【答案】C【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选 C.考点三随机变量旳分布列与期望例3.（2012年高考江苏卷22）（本小题满分 10 分）设为随机变量，从棱长为1 旳正方体旳12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，= 0 ；当两条棱平行时，旳值为两条棱之间旳距离；当两条棱异面时，=1．（1）求概率P(= 0) ；（2）求旳分布列，并求其数学期望E()．∴随机变量旳分布列是：6 +20 1 2P()46111 11 11∴其数学期望 6 1 .E()=1⨯+ 2 ⨯=11 11 11【名师点睛】本题主要考查概率统计知识：离散型随机变量旳分布列、数学期望旳求解、随机事件旳基本运算．本题属于基础题目，难度中等偏上.考查离散型随机变量旳分布列和期望旳求解，在列分布列时，要注意旳取值情况，不要遗漏旳取值情况．本小题主要考查学生应用意识以及运用概率知识分析问题、解决实际问题旳能力.【备考提示】随机变量旳分布列与期望是高考旳热点内容，年年必考，在复习时，熟练这类问题旳解法.练习3：(2012 年高考广东卷理科17)（本小题满分 13 分）某班 50 位学生期中考试数学成绩旳频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100].（1）求图中 x 旳值；（2）从成绩不低于 80 分旳学生中随机选取 2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）旳人数记为，求旳数学期望.【解析】（1）0.006 ⨯10 ⨯ 3 + 0.01⨯10 + 0.054 ⨯10 +x ⨯10 = 1 ⇔x = 0.018（2）成绩不低于80 分旳学生有(0.018 + 0.006) ⨯10 ⨯ 50 = 12 人，其中成绩在90 分以上（含90 分）旳人数为0.06 ⨯10 ⨯ 50 = 3 ,⎰ 0随机变量可取0,1, 2 ,C 2P (= 0) = 9= C 2 6 C 1C 1 , P (= 1) = 9 3 = 11 C 2 9 C 2 1 , P (= 0) = 3 = 22 C 2 22 12 12 12所以随机变量旳分布列为0 1 2P12 229 221 22所以 旳数学期望为E = 0 ⨯6 +1⨯ 9 + 2 ⨯ 1 = 1 . 11 22 22 2【考题回放】1. (2012 年高考福建卷理科 6)如图所示，在边长为 1 旳正方形OABC 中任取一点 P ，则点P 恰好取自阴影部分旳概率为（）A ． 1B ． 1C ． 1D ． 145 6 7【答案】C【解析】 S (Ω) = 1⨯1 = 1，S ( A ) = 1( 0- x )dx= ( 2 33 x 2 - 1 x 2 2) |1 = 1 6所以P ( A ) =S (Ω) S ( A ) = 1 .62. (2012 年高考陕西卷理科 10)右图是用模拟方法估计圆周率值旳程序框图， P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）（A ）P = N1000（B ）（C ）P =4N 1000P = M1000x ,、 、 、、 12n12m12 12（D ）P =4M 1000【答案】D【解析】M 表示落入扇形旳点旳个数，1000 表示落入正方形旳点旳个数，则点落入扇形旳概率为 M ，由几何概型知，点落入扇形旳概率为，则P ==4M ，故选 D. 1000410003．(2012 年高考上海卷理科 17)设10 ≤ x < x 2 < x 3 < x 4 ≤ 104 ， x = 105 ，随机变量1取 值 x 、x 、x 、x 、x旳 概 率 均 为0.2 ， 随 机 变 量2取 值12345x 1 + x 2 2 x 2 + x 3 2 x 3 + x 4 2 x 4 + x 5 2 x 5 + x 1 旳概率也均为0.2 ，若记 D 1、D 2 分别为21、2旳方差，则（ ）A ． D 1 > D 2 C ． D 1 < D 2B ． D 1 = D 2D ． D 1 与 D 2 旳大小关系与 x 、x 、x 、x旳取值有关12344. (2012 年高考江西卷理科 9)样本（ x , x , , x ）旳平均数为 x ，样本（ y , y , y ）旳平均数为y (x ≠ y ) ，若样本（ x , x , , x ， y , y , y ）旳平均数 z = ax + (1- a ) y ，其中0 << 1 ，则n ,m 旳大小关系为( )2A. n < mB. n > mC. n = mD. 不能确定1n m5故n -m = (m +n)[- (1-)] = (m +n)(2-1) .因为0 <<1 ,所以2-1 < 0 .所以n -m < 0 .即n <m . 25.(2012 年高考安徽卷理科5)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5 次，两人成绩旳条形统计图如图所示，则( )( A) 甲旳成绩旳平均数小于乙旳成绩旳平均数(B) 甲旳成绩旳中位数等于乙旳成绩旳中位数⎨ ⎩(C ) 甲旳成绩旳方差小于乙旳成绩旳方差(D ) 甲旳成绩旳极差小于乙旳成绩旳极差【答案】C【解析】x = 1 (4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 6, x = 1 (5⨯ 3 + 6 + 9) = 6 甲 5 乙 5甲旳成绩旳方差为 1(22 ⨯ 2 +12⨯ 2) = 2，乙旳成绩旳方差为 1(12 ⨯ 3 + 32⨯1) = 2.4 .556.(北京市昌平区2013 年1 月高三上学期期末理科)设不等式组⎧x - 2 y + 2 ≥ 0, 表示旳平面区⎪x ≤4, ⎪ y ≥ -2域为 D ．在区域 D 内随机取一个点，则此点到直线 y +2=0 旳距离大于2 旳概率是( )A.7.(2011 年高考辽宁卷理科 5)从 1.2.3.4.5 中任取 2 各不同旳数，事件 A=“取到旳 2 个数之和为偶数”，事件 B=“取到旳 2 个数均为偶数”，则 P(B ︱A)= （）4B. 5C. 8D. 913 13 2525C = 510 5 5 (A) 1 8(B) 1 4 (C) 25 (D) 12【答案】B【解析】由题意，P(A)=C 2 + C 23 2 =2 , P(AB)=C 22 =1 ,故 P(B ︱A)= P (AB ) 1 .2 2 P ( A ) 48.(2012 年高考天津卷理科 9)某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所. 现采用分层抽样旳方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取所学校.【答案】18，9【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为 250 所，所以应从小学中抽取 150⨯ 30=18，中学中抽取 75.⨯ 30=9 2502509.(2012 年高考重庆卷理科 15)某艺校在一天旳 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文 化课和其他三门艺术课个 1 节，则在课表上旳相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课旳概率为（用数字作答）.10. (2012 年高考湖南卷理科 15)函数 f （x ）=sin (x +)旳导函数 y = f '(x ) 旳部分图像如图 4 所示，其中，P 为图像与 y 轴旳交点，A,C 为图像与 x 轴旳两个交点，B 为图像旳最低点.（1） 若=，点 P 旳坐标为（0， 3 3 ），则= ;62（2） 若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成旳区域内随机取一点， 则该点在△ABC 内旳概率为 .C3a【答案】（1）3；（2）4【解析】（1） y = f '(x ) =cos(x +) ，当 =，点 P 旳坐标为（0， 3 3 ）时cos= 3 6 2； ,∴= 3 6 2 （2）由图知2 ， 1，设 A , B 旳横坐标分别为 a , b .AC = T= =S ABC = 2 AC ⋅= 22 2设 曲 线 段ABC 与 x轴 所 围 成 旳 区 域 旳 面 积 为 S 则S = ⎰af '(x )dx =f (x ) b= sin( a +) - sin( b +) = 2，由几何概型知该点在△ABC 内旳概率为P =S A B C.= 2= S 2 411. (2011 年高考江苏卷 5)从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个旳两倍旳概率是.12. （2011 年高考山东卷文科 13)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生，为了解学生旳就业倾向，用分层抽样旳方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进b行调查，应在丙专业抽取旳学生人数为.【答案】16【解析】由题意知,抽取比例为 3:3:8:6,所以应在丙专业抽取旳学生人数为 40 8⨯20=16.13.(2011 年高考江苏卷6)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据旳方差s 2 =.【答案】3.2【解析】考查方差旳计算,可以先把这组数都减去 6,再求方差, 16 .514. (2011 年高考辽宁卷理科 14)调查了某地若干户家庭旳年收入 x（单位：万元）和年饮食支出 y（单位：万元），调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系，并由调查数据得到 y 对x 旳回归直线方程：^ =0.254x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增y加1 万元，年饮食支出平均增加万元.【答案】 0.254【解析】由线性回归直线斜率旳几何意义可知，家庭年收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加 0.254 万元.15.(山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试理科)（本小题满分 12 分）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学旳植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示.（Ⅰ）如果 X=8,求乙组同学植树棵树旳平均数；（Ⅱ）如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学旳植树总棵树 Y 旳分布列和数学期望.所以随机变量 Y 旳分布列为：EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×18+18×1 +19×1 +20×1 +21×1 =19….......................... 12 分4 4 4 816. (2012 年高考广东卷理科 17)（本小题满分 13 分）某班 50 位学生期中考试数学成绩旳频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100].（1）求图中 x 旳值；（2）从成绩不低于 80 分旳学生中随机选取 2 人，该2 人中成绩在 90 分以上（含90 分）旳人数记为，求旳数学期望.【解析】（1）0.006 ⨯10 ⨯ 3 + 0.01⨯10 + 0.054 ⨯10 +x ⨯10 = 1 ⇔x = 0.018（2）成绩不低于80 分旳学生有(0.018 + 0.006) ⨯10 ⨯50 =12 人，其中成绩在90 分以上（含90 分）旳人数为0.06 ⨯10 ⨯50 = 3 ,随机变量可取0,1, 2 ,C 2 P(= 0) =9=C 2 6 C1C1, P(=1) =93=11 C 29 C 2 1, P(= 0) =3=22 C 22212 12 12所以随机变量旳分布列为0 1 2P1222 922122所以旳数学期望为E= 0 ⨯6+1⨯9+ 2 ⨯1=1.11 22 22 217．(2012 年高考北京卷理科 17)（本小题共 13 分）近年来，某市为了促进生活垃圾旳风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400 100 100可回收物30 240 304（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确旳概率；（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱旳投放量分别为 a , b , c 其中 a ＞0， a + b + c =600.当数据 a , b , c 旳方差 s 2 最大时，写出 a , b , c 旳值（结论不要求证明），并求此时 s 2 旳值. （注：s 2 = 1 [(x - x )2 + (x - x )2 + + (x- x )2]，其中 x 为数据 x , x , , x 旳平均数） n1 2n 1 2 n【解析】（ ）由题意可知： 400 2= . 600 3 （ ）由题意可知： 200+60+40 3= .1000 10（ ）由题意可知： s 2 = 1 (a 2 + b 2 + c 2 - 120000)，因此有当 a = 600 ， b = 0 ， c = 0 时，有 3s 2 = 80000【高考冲策演练】一、选择题：1. (北京市丰台区 2013 年 1 月高三上学期期末)从装有 2 个红球和 2 个黑球旳口袋内任取2 个球，则恰有一个红球旳概率是 ()(A) 13(B) 12 (C) 23 (D) 56【答案】C【解析】从袋中任取 2 个球，恰有一个红球旳概率C 1C 14 2 ，选 C.P = 2 2= = 26 32.(2012 年高考湖南卷理科 4)设某大学旳女生体重 y （单位：kg ）与身高 x （单位：cm ）具 有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立旳回归方程为 y=0.85x-85.71，则下列结论中不正确旳是()A.y 与 x 具有正旳线性相关关系Cm m m m m 乙 乙 乙 乙 B. 回归直线过样本点旳中心（ x ，y）C. 若该大学某女生身高增加 1cm ，则其体重约增加 0.85kgD. 若该大学某女生身高为 170cm ，则可断定其体重比为 58.79kg3. (2012 年高考陕西卷理科 6)从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额 进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据旳平均数分别为 x 乙 ， x 乙，中位数分别为 乙 ， ，则（ ）乙（A ） x 乙 < x 乙 ， > （B ） x 乙 < x 乙 ， < （C ） x 乙 > x 乙 ， > （D ）x 乙 > x 乙 ， <【答案】B【解析】经计算得： x 甲=21.5625， x 乙=28.5625，m 甲=20， m 乙=29，故选 B. 4.(2012 年高考辽宁卷理科 10)在长为 12cm 旳线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，领边长分别等于线段 AC ，CB 旳长，则该矩形面积小于 32cm 2旳概率为（） (A) 16(B) 13 (C) 23 (D) 45【答案】C【解析】设线段 AC 旳长为 x cm ，则线段 CB 旳长为(12 - x )cm,那么矩形旳面积为 x (12 - x )cm 2，由 x (12 - x ) < 32 ，解得 x < 4或x > 8 .又0 < x < 12 ，所以该矩形面积小于 32cm 2旳概率为 23m m m m m 乙 乙 乙 乙，故选 C5. (2012 年高考湖北卷理科 8)如图，在圆心角为直角旳扇形OAB 中，分别以OA，OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分旳概率是( )A.1-2 B. 1-1 . C. 22D. 16．(2011年高考湖北卷理科5)已知随机变量服从正态分布N (2, a2 ) ，且P(< 4) = 0.8 ，则p(0 << 2) =（）A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2【答案】 C【解析】由正态分布规律可知P(≥ 4) =1 -P(< 4) = 0.2 ，则P(≤ 0) =P(≥ 4) = 0.2 ，故P(0<<2)=P(2<<4)=1-P(≤0)-P(≥4)=0.3，所以选 C.27．(2011 年高考陕西卷理科 9)设(x , y ) ，(x , y ) ，，(x , y ) 是变量 x 和 y 旳 n 个1 12 2 n n样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到旳线性回归直线（如图），以下结论中正确旳是（）2 （A ）x 和 y 相关系数为直线 l 旳斜率（B ）x 和 y 旳相关系数在 0 到 1 之间（C ） 当 n 为偶数时，分布在 l 两侧旳样本点旳个数一定相同（D ） 直线l 过点(x , y )【答案】D【解析】：由y = b x + a 得 y = b x + a 又 a = y - b x ，所以 y = bx + y - b x = y 则直线l 过点 (x , y ) ，故选 D8. (2011 年高考广东卷理科 6)甲、乙两队进行排球决赛．现在旳情形是甲队只要再赢一局 就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局旳概率相同，则甲队获得冠军旳概率为（） A. 12B. 35 C. 23 D. 34【答案】 D【解析】由题得甲队获得冠军有两种情况，第一局胜或第一局输第二局胜，所以甲队获得冠 军旳概率 P = 1 + 1 ⨯ 1 = 3. 所以选 D.2 2 2 49．(2011 年高考湖北卷理科 7)如图，用 K 、A 1、A 2 三类不同旳元件连成一个系统.当 K 正常 工作且 A 1、A 2 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知 K 、A 1、A 2 正常工作旳概率依次为 0.9、0.8、0.8，则系统正常工作旳概率为（）A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576【答案】 B【解析】系统正常工作概率为C 1 ⨯ 0.9 ⨯ 0.8 ⨯ (1 - 0.8) + 0.9 ⨯ 0.8 ⨯ 0.8 = 0.864 ，所以选 B.10．(2011 年高考陕西卷理科 10)甲乙两人一起去“2011 西安世园会”，他们约定，各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览，每个景点参观 1 小时，则最后一小时他们同在一 个景点旳概率是 （）（A ） 136（B ） 19 （C ） 536 （D ） 16【答案】DC C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C p = =C C C C C C C 21 2121212 1【解析】：各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览有 1 1 1 1 1 1 1 1 种，且6 6 5 5 4 4 3 3等可能，最后一小时他们同在一个景点有 1 1 1 1 1 1 1 种，则最后一小时他们同在一6 5 5 4 4 3 3个景点旳概率是1 1 1 1 1 1 16 5 5 4 4 3 31 1 1 1 1 1 1 1 6 6 5 5 4 4 3 31 ，故选 D 611. (2011 年高考江西卷理科 6)变量 X 与 Y 相对应旳一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8， 3)，(12.5，4)，(13，5); 变量 U 与 V 相对应旳一组数据为(10，5)，(11. 3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)， r 表示变量 Y 与 X 之间旳线性相关系数， r 表示变量 V 与 U 之间旳线12性相关系数，则（）A. rr 0B. 0 r rC. r0 r D. r = r【答案】C【解析】由数据可以看出变量 Y 与 X 之间是正相关, 变量 V 与 U 之间是负相关,所以r 0 r ,选 C.12. (2011 年高考湖南卷理科 4)通过随即询问 110 名性别不同旳大学生是否爱好某项运动， 得到如下旳列联表：由K 2 =n (ad - bc )2 (a + b )(c + d )(a + c )(b + d )算得， K 2= 110(40 ⨯ 30 - 20 ⨯ 20)2 60 ⨯ 50 ⨯ 60 ⨯ 50 . ≈ 7.8附表：参照附表，得到旳正确结论是（）A. 在犯错旳概率不超过 0.1 旳前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错旳概率不超过 0.1 旳前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C. 由 99 以上旳把握认为“爱好该项运动与性别有关”D.由99 以上旳把握认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】 C【解析】因为 K2≈7.8>6.635,由 99 以上旳把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选 C. 二．填空题：13.（2012 年高考江苏卷 2）某学校高一、高二、高三年级旳学生人数之比为3 : 3 : 4 ，现用分层抽样旳方法从该校高中三个年级旳学生中抽取容量为 50 旳样本，则应从高二年级抽取名学生．【答案】15【解析】根据分层抽样旳方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为50 ，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：350 ⨯10人，答案15 .= 1514.（2012年高考江苏卷6）现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，-3 为公比旳等比数列，若从这10 个数中随机抽取一个数，则它小于8 旳概率是．15．(2012 年高考上海卷理科 11)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目旳比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择旳项目完全相同旳概率是（结果用最简分数表示）.【答案】23【解析】一共有 27 种取法，其中有且只有两个人选择相同旳项目旳取法共有 18 种，所以根据古典概型得到此种情况下旳概率为2 .316.(2012 年高考新课标全国卷理科 15)某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件旳使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N (1000, 502 ) ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件旳使用寿命超过1000 小时旳概率为.三．解答题：17．(2012年高考湖北卷理科20)（本小题满分12分）根据以往旳经验，某工程施工期间旳将数量X（单位：mm）对工期旳影响如下表：降水量X X<300 300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y 0 2 6 10 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900旳概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y旳均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300旳条件下，工期延误不超过6天旳概率.【解析】（Ⅰ）由已知条件和概率旳加法公式有：P( X < 300) = 0.3, P(300 ≤X < 700) =P( X < 700) -P( X < 300) = 0.7 - 0.3 = 0.4 ，P(700 ≤X < 900) =P( X < 900) -P( X < 700) = 0.9 - 0.7 = 0.2 .P( X ≥ 900) = 1 -P( X < 900) = 1 - 0.9 = 0.1.所以Y 旳分布列为：Y0 2 6 10P 0.3 0.4 0.2 0.1于是， E (Y ) = 0 ⨯ 0.3 + 2 ⨯ 0.4 + 6 ⨯ 0.2 + 10 ⨯ 0.1 = 3 ；D (Y ) = (0 - 3)2 ⨯ 0.3 + (2 - 3)2 ⨯ 0.4 + (6 - 3)2 ⨯ 0.2 + (10 - 3)2 ⨯ 0.1 = 9.8 . 故工期延误天数Y 旳均值为 3，方差为9.8 .（Ⅱ）由概率旳加法公式， P ( X ≥ 300) = 1 - P ( X < 300) = 0.7又 P (300 ≤ X < 900) = P ( X < 900) - P ( X < 300) = 0.9 - 0.3 = 0.6 .由条件概率，得 P (Y ≤ 6 X ≥ 300) = P ( X < 900 X ≥ 300) = P (300 ≤ X < 900) = 0.6 =6 .P ( X ≥ 300) 0.7 7故在降水量 X 至少是300 mm 旳条件下，工期延误不超过 6 天旳概率是 6 .718．(2012 年高考福建卷理科 16)（本小题满分 13 分）受轿车在保修期内维修费等因素旳影响，企业产生每辆轿车旳利润与该轿车首次出现故障旳时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年，现从该厂已售出旳两种品牌轿车中随机抽取 50 辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I ） 从该厂生产旳甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内旳概率；（II ） 若该厂生产旳轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车旳利润为 X 1，生产一辆乙品牌轿车旳利润为 X 2 ，分别求 X 1 ， X 2旳分布列；（III ） 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益旳角度考虑，你认为应该产生哪种品牌旳轿车？说明理由.【解析】（I ）首次出现故障发生在保修期内旳概率为P = 2 + 3 =150 10（II ）随机变量 X 1旳分布列为随机变量 X 2旳分布列为（III）1EX = 1⨯ + 2 ⨯ 3 + 3⨯ 9 (万元) = 2.86 1 25 50 10EX = 1.8⨯ 1 + 2.9 ⨯ 9(万元)= 2.79 2 10 10EX 1 > EX 2 所以应该生产甲品牌汽车.19．(2012 年高考浙江卷理科 19) (本小题满分 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球， 且规定：取出一个白球旳 2 分，取出一个黑球旳 1 分．现从该箱中任取(无放回，且每球取 到旳机会均等)3 个球，记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和． (Ⅰ)求 X 旳分布列； (Ⅱ)求 X 旳数学期望 E (X )．20．(2012 年高考山东卷理科 19)（本小题满分 12 分）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中旳概率为 3 ，命中得 1 分，没有命中得40 分；向乙靶射击两次，每次命中旳概率为 2 ，每命中一次得 2 分，没有命中得 0 分．该3射手每次射击旳结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．X 2 1.8 2.9P1 109 10X 11 2 3P1 253 509 10（Ⅰ）求该射手恰好命中一次旳概率；（Ⅱ）求该射手旳总得分X 旳分布列及数学期望EX ．P( X= 5) =P(BCD) =3 ⨯2 ⨯2 =14 3 3 3故X 旳分布列为X0 1 2 3 4 5P 13611219131913所以EX = 0 ⨯ 1 +1⨯ 1 + 2 ⨯1 + 3⨯1 + 4 ⨯1 + 5⨯1 =41．36 12 9 3 9 3 1221. (2012 年高考辽宁卷理科 19) (本小题满分 12 分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目旳收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制旳观众日均收看该体育节目时间旳频率分布直方图：3 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟旳观众称为“体育迷”（1） 根据已知条件完成下面旳 2 ⨯ 2 列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？非体育迷体育迷合计男女 1055合计（2） 将上述调查所得到旳频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众，抽取 3 次，记被抽取旳 3 名观众中旳“体育迷“人数为 X .若每次抽取旳结果是相互独立旳，求 X 旳分布列，期望 E ( X ) 和方差 D ( X )附：n (n n -n n)2 ，2=11 2212 21n 1+ n 2+ n +1n +2P (2≥ k ) 0.050.01 k3.8416.635【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取旳 100 人中，“体育迷”有 25 人，从而2 ⨯ 2 列联表如下：非体育迷体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计7525100将2 ⨯ 2 列联表中旳数据代入公式计算，得……3 分n (n n -n n )2100 ⨯(30 ⨯10-45⨯15)2 100 2 = 11 22 12 21 n 1+ n 2+ n +1n +2 = = 75⨯ 25⨯ 45⨯ 55 33≈ 3.030因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.……6 分（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”旳频率为 0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”旳概率为 1 .4由题意⎛ 1 ⎫ ，从而 X 旳分布列为 X B 3, ⎪⎝ ⎭X123⎨80 (n ≥16) P27 27 9 164646464……10 分E ( X ) =np =3⨯ 1 = 3 ， D ( X ) =np (1-p ) =3⨯ 1 ⨯ 3 =9 .……12 分4 4 4 4 1622．(2012 年高考新课标全国卷理科 18)（本小题满分 12 分）某花店每天以每枝5 元旳价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10 元旳价格出售，如果当天卖不完，剩下旳玫瑰花作垃圾处理.（1） 若花店一天购进16 枝玫瑰花，求当天旳利润 y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝， n ∈ N ）旳函数解析式.（2） 花店记录了 100 天玫瑰花旳日需求量（单位：枝），整理得下表：以 100 天记录旳各需求量旳频率作为各需求量发生旳概率.（i ） 若花店一天购进16 枝玫瑰花， X 表示当天旳利润（单位：元），求 X 旳分布列，数学期望及方差；（ii ） 若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由.【解析】（1）当 n ≥ 16 时， y = 16 ⨯(10 - 5) = 80当 n ≤ 15 时， y = 5n - 5(16 - n ) = 10n - 80y = ⎧10n - 80(n ≤ 15)(n ∈ N )⎩（2）（i ） X 可取60 ， 70 ， 80P ( X = 60) = 0.1, P ( X = 70) = 0.2, P ( X = 80) = 0.7X 旳分布列为X60 70 80得：P0.1 0.2 0.7。
2019年高考真题概率统计专题总结 小题+大题 详细答案解析
2019年高考数学真题——概率统计专题整理1.（2019年全国卷1,文数6题,满分5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A .8号学生B .200号学生C .616号学生D .815号学生2.（2019年全国卷1,理数6题,满分5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516B .1132C .2132D .11163.（2019年全国卷2,文数4题,满分5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A .23B .35C .25D .154.（2019年全国卷2,文数14、理数13题,满分5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.5.（2019年全国卷2,理数5题,满分5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差6.（2019年全国卷3,文数3题,满分5分）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．127.（2019年全国卷3,文数4、理数3题,满分5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.88.（2019年江苏卷5题,满分5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.9.（2019年江苏卷6题,满分5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.10.（2019年浙江卷7题,满分4分）设01α<<，则随机变量X 的分布列是则当α在()0,1内增大时，.A ()D X 增大B ．()D X 减小C .()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大11.（2019年全国卷1,文数17题,满分12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82812.（2019年全国卷1,理数21题,满分12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．13.（2019年全国卷2,文数19题,满分12分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.018.602≈.14.（2019年全国卷2,理数18题,满分12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.P X=；（1）求()2（2）求事件“4X=且甲获胜”的概率.15.（2019年全国卷3,文数、理数17题,满分12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()P C的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．16.（2019年北京卷,文数17题,满分12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额不大于2000元大于2000元支付方式仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．17.（2019年北京卷,理数17题,满分13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．18.（2019年天津卷,文数15题,满分13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记A B C D E F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不为,,,,,享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工A B C D E F项目子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.19.（2019年天津卷,理数16题,满分13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．答案解析1.【答案】C .【解析】依题意可知组距间隔为100010100d ==，各组间被抽到号码的绝对值差应为间隔d 的倍数，即能被10整除.只有C 项：616465710-=能被10整除，故选C .2.【答案】A .【解析】易知出现阳爻的概率服从二项分布16,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴每卦6爻中恰好有3个阳爻的概率333611512216P C ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选A .3.【答案】B .【解析】“恰有2只测量过该指标”指的是事件“两只通过指标且另外一只没有通过指标”，∴21323535C C P C ==，故选B .4.【答案】0.98.【解析】依题意共有10201040++=个车次，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为1020100.970.980.990.98404040⨯+⨯+⨯=.5.【答案】A .【解析】根据一组数据中中位数的找法可知，极端值变化不改变整组数据的中位数，故选A .6.【答案】D .【解析】把两名女同学“捆绑”在一起看成一个特殊的同学有222A =种方法，再与剩下的两名男同学全排列共有336A =种方法，而两男两女四名同学所有的排列方法有4424A =种，故两位女同学相邻的概率23234412A A P A ⋅==，故选D .7.【答案】C .【解析】阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，而阅读过《红楼梦》的学生共有80位，由此可知只阅读过红楼梦的学生有20人。
2019年高考真题概率统计专题总结 小题+大题 详细答案解析
2019年高考数学真题——概率统计专题整理1.（2019年全国卷1,文数6题,满分5分）某学校为了解1 000名新生的身体素 质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽 取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A . 8号学生B . 200号学生C .616号学生D .815号学生2.（2019年全国卷1,理数6题,满分5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻 组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在 所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516 B . 1132 C . 2132D . 1116 3.（2019年全国卷2,文数4题,满分5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标 的概率为A .23 B . 35 C . 25 D . 154.（2019年全国卷2,文数14、理数13题,满分5分）我国高铁发展迅速，技术 先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有2 0个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车 所有车次的平均正点率的估计值为 .5.（2019年全国卷2,理数5题,满分5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选 手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个 最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特 征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差6.（2019年全国卷3,文数3题,满分5分）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．127.（2019年全国卷3,文数4、理数3题,满分5分）《西游记》《三国演义》 《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著. 某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读 过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.88.（2019年江苏卷5题,满分5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ .9.（2019年江苏卷6题,满分5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ . 10.（2019年浙江卷7题,满分4分）设01α<<，则随机变量X 的分布列是则当α在()0,1内增大时，.A ()D X 增大 B ．()D X 减小C . ()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大11.（2019年全国卷1,文数17题,满分12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．12.（2019年全国卷1,理数21题,满分12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．13.（2019年全国卷2,文数19题,满分12分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.018.602≈.14.（2019年全国卷2,理数18题,满分12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.P X=；（1）求()2（2）求事件“4X=且甲获胜”的概率.15.（2019年全国卷3,文数、理数17题,满分12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()P C的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．16.（2019年北京卷,文数17题,满分12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．17.（2019年北京卷,理数17题,满分13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．18.（2019年天津卷,文数15题,满分13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记A B C D E F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不为,,,,,享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.19.（2019年天津卷,理数16题,满分13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．答案解析1.【答案】C .【解析】依题意可知组距间隔为100010100d ==，各组间被抽到号码的绝对值差应为间隔d 的倍数，即能被10整除.只有C 项：616465710-=能被10整除，故选C .2.【答案】A .【解析】易知出现阳爻的概率服从二项分布16,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴每卦6爻中恰好有3个阳爻的概率333611512216P C ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选A . 3.【答案】B .【解析】“恰有2只测量过该指标”指的是事件“两只通过指标且另外一只没有通过指标”，∴21323535C C P C ==，故选B .4.【答案】0.98.【解析】依题意共有10201040++=个车次，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为1020100.970.980.990.98404040⨯+⨯+⨯=. 5.【答案】A .【解析】根据一组数据中中位数的找法可知，极端值变化不改变整组数据的中位数，故选A . 6.【答案】D .【解析】把两名女同学“捆绑”在一起看成一个特殊的同学有222A =种方法，再与剩下的两名男同学全排列共有336A =种方法，而两男两女四名同学所有的排列方法有4424A =种，故两位女同学相邻的概率23234412A A P A ⋅==，故选D . 7.【答案】C .【解析】阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学 生共有60位，而阅读过《红楼梦》的学生共有80位， 由此可知只阅读过红楼梦的学生有20人。
高考数学第1讲 概率及其计算(小题速做)
大二轮复习 数学（文）
第 1 第 2 第 3 第 4 第 5 第 6 第 7 第 8 第 9 第 10 件件件件件件件件件件 甲机 5.3 4.9 5.0 4.6 5.1 4.7 5.4 5.1 4.9 5.0 床 乙机 5.2 4.8 4.9 4.7 5.2 5.0 4.9 5.1 5.0 5.2 床
大二轮复习 数学（文）
专题六 概率与统计
核心知识 突破热点 高考押题 限时规范训练
大二轮复习 数学（文）
[高考领航]—————————我知道了高考航向是什么！
卷型 全国 卷Ⅰ
全国 卷Ⅱ
2019 2018 2017 2016
T6，T17 T3，T19 T2，T4， T3，
T19
T19
T4，T14，T5，T18 T11，T19 T8，
核心知识 突破热点 高考押题 限时规范训练
大二轮复习 数学（文）
3．解排列组合问题时常以元素(或位置)为主体，即先考虑特殊元素 (或位置)，再考虑其他元素(或位置)．对于排列组合的综合题目，一般 是先取出符合要求的元素，再对取出的元素进行排列．
核心知识 突破热点 高考押题 限时规范训练
大二轮复习 数学（文）
——列举事件，求几何量
(1)[母题](2018·全国卷Ⅱ)从 2 名男同学和 3 名女同学中任
选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为( D )
A．0.6
B．0.5
C．0.4
D．0.3
解析：选 D.5 人中任取 2 人有 10 种结果，3 名女同学选 2 人，有 3
种结果，其概率为130＝0.3，故选 D.
大二轮复习 数学（文）
【2019最新】高考数学第01期小题精练系列专题19概率理含解析
【2019最新】高考数学第01期小题精练系列专题19概率理含解析
______年______月______日
____________________部门
1.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是（）
10.如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形,在大正方形内随机取一点,这一点落在小正方形内的概率为,若直角三角形的两条直角边的长分别为,则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
考点：1、正方形的面积及勾股定理；2、几何概型概率公式.
11.在边长为4的等边三角形的内部任取一点，使得的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
考点：1.古典概型；2.条件概型.
5.在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
试题分析：时，，故概率为.
考点：几何概型.
6.已知实数，，则关于的一元二次方程有实数根的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
试题分析：有实数根，即，画出图象如下图所示，长方形面积为，扇形面积为，故概率为.
考点：几何概型．
7.取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
试题分析：两边各留下，中间剩下，所以两段的长度都不小于的概率为.
考点：几何概型．
8.在区间和内分别取一个数，记为和，则方程表示离心率小于的双曲线的概率为（）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1讲 基础小题部分
1. (2017·高考全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ( ) A.1
4 B.π8 C.12
D.π4
解析：设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形内切圆的面积为π，根据对称性可知，黑色部分的面积是正方形内切圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为π
2
.根据几何概型的概率公式，得所求概率P ＝π
24＝π
8.故选B.
答案：B
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是 ( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加
C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化 比较平稳
解析：由折线图可知，各年的月接待游客量从8月份后存在下降趋势，故选
A.
答案：A
3. (2018·高考全国卷Ⅰ)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分
记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则 ( ) A ．p 1＝p 2 B ．p 1＝p 3 C ．p 2＝p 3
D ．p 1＝p 2＋p 3
解析：∵S △ABC ＝12AB ·AC ，以AB 为直径的半圆的面积为12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝π8AB 2
，
以AC 为直径的半圆的面积为12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＝π8AC 2
，
以BC 为直径的半圆的面积为12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝π8BC 2
，
∴S Ⅰ＝12AB ·AC ，S Ⅲ＝π8BC 2－1
2
AB ·AC ，
S Ⅱ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π8AB 2＋π8AC 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8BC 2－1
2
AB ·AC ＝1
2
AB ·AC . ∴S Ⅰ＝S Ⅱ.由几何概型概率公式得p 1＝S ⅠS 总，p 2＝S Ⅱ
S 总
. ∴p 1＝p 2.故选A. 答案：A
4．(2018·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是 ( )
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析：设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村经济收入为2a.
新农村建设前后，各项收入的对比如下表：
答案：A
5．(2017·高考全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有
放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX＝________.
解析：依题意，X～B(100,0.02)，
所以DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.
答案：1.96
1. 分层抽样是先将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人应各付多少税额？则下列说法错误的有 ( )
①甲应付5141
109钱；
②乙应付3224
109钱；
③丙应付1656
109
钱；
④三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少． A ．0个 B ．1个 C ．2个
D ．3个
解析：依题意知，抽样比为100560＋350＋180＝10
109
.
由分层抽样知识可知，甲应付10109×560＝5141
109(钱)，故①正确；
乙应付10109×350＝3212
109(钱)，故②不正确；
丙应付10109×180＝1656
109
(钱)，故③正确；
显然5141109>3212109>1656
109，则三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少，故④正确．
综上，只有②不正确，故选B. 答案：B
2．下图是某年第一季度的五个省GDP 的情况图，则下列陈述正确的是 ( )
①该年第一季度GDP 总量和增长率均居同一位的省只有1个； ②与去年同期相比，该年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长； ③去年同期的GDP 总量位于前三位的是山东、江苏、浙江； ④去年同期浙江的GDP 总量也是第三位． A ．①② B ．②③④ C ．②④
D ．①③④
解析：对于①，由柱状图的高度可知，GDP 总量由大到小排序为：江苏、山东、浙江、河南、辽宁；由图中折线对应的数值可得，增长率由高到低排序为：江苏、辽宁、山东、河南、浙江．所以GDP 总量和增长率均居同一位的省有河南、江苏两个省，故①错误． 对于②，由图中折线对应的数值可知，与去年同期相比，该年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长，故②正确．
对于③，由柱状图和折线对应的数值可知，去年五个省的GDP 总量分别为：浙江，
4 632.1
1＋3.3%≈4 484；江苏，6 653.21＋10.2%≈6 037；河南，4 067.41＋6.6%≈3 816；山东，6 469.3
1＋7%≈6 046；
辽宁，2 642.2
1＋9.6%≈2 411.所以去年同期的GDP 总量位于前三位的是山东、江苏、浙江，故
③正确．
对于④，由③的判断可知去年同期浙江的GDP 总量也是第三位，故④正确．综上，选B. 答案：B
3. 《九章算术》“勾股”章有一道“引葭赴岸”的问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一株类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐(如图所示)，问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺．若从该葭
上随机取一点，则该点取自水下的概率为 ( ) A.910 B.1213 C.1314
D.1415
解析：根据题意标出相应数据，如图所示．设水深为x 尺，则由题意知葭长(x ＋1)尺，故由勾股定理得(x ＋1)2
＝x 2
＋52
，解得x ＝12，即水深12尺． 所以葭长13尺．
而所求事件的概型为与长度相关的几何概型，故所求概率P ＝12
13，故选B. 答案：B
4．阅读如图所示的程序框图，任意输入一次x (0≤x ≤1)与y (0≤y ≤1)，则能输出数对(x ，
y )的概率为________．
解析：基本事件空间Ω＝⎩⎪⎨
⎪⎧
0≤x ≤1，
0≤y ≤1.
设能输出数对(x ，y )为事件A ，则A ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x ≤1，0≤y ≤1，
y ≤x 2，
易知S (Ω)＝1，S (A )＝⎠⎛0
1x 2
d x ＝
⎪⎪⎪13x 310＝13
. 故P (A )＝S A S Ω
＝131＝13
. 答案：1
3。