第5节隐函数求导64963共34页
《高等数学》课件5第五节 隐函数的求导公式 ppt
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx
隐函数的求导公式63412精品
u y u v
22
隐函数的求导公式
特别
如果方程组
F ( x, G( x,
y, u, v ) y, u, v )
0 0
为
F ( x,u,v) G( x,u,v)
00时, 它可能确定两个 一元函数,
现假定它确定 u u( x),v v( x),且两个函数都
F ( x, f ( x)) 0
Fx
(
x
,
y
)
Fy
(
x,
y
)
dy dx
0
由于Fy ( x, y)连续，且Fy ( x0 , y0 ) 0，所以存在
( x0 , y0 )的一个邻域, 在这个邻域内Fy ( x, y) 0,
于是得
dy Fx ( x, y) 或简写: dy Fx .
F( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0 G( x, y, u( x, y),v( x, y)) 0
求 u , u , v , v . x y x y
同理,
两边关于y求偏导,得
F y G y
F u G u
u y u y
请看课本第34页, 隐函数存在定理3.
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隐函数的求导公式
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
求 u , u , v , v . x y x y
将恒等式
F ( x, G( x,
y, u( x, y, u( x,
y),v( x, y),v( x,
fv ( xy
xz y), z
整理得
y
第五节隐函数的求导公式
第五节隐函数的求导公式隐函数是指在一些方程中以一个变量表示另一个变量的函数，其中一个变量通常被称为自变量，另一个变量被称为因变量。
求解隐函数的导数是微积分中的重要内容，因为它可以帮助我们找到函数的变化率和切线方程等信息。
本文将介绍隐函数的求导公式。
隐函数求导的关键在于使用链式法则。
链式法则是微积分中的一个基本原理，它描述了复合函数的导数与原函数导数的关系。
在隐函数的情况下，我们可以将因变量视为自变量的函数，并运用链式法则进行导数的计算。
设有一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中y是x的函数。
我们希望求解dy/dx，即隐函数的导数。
首先我们将隐函数方程两边对x求导，得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0由于我们求解的是dy/dx，我们可以将这个方程改写为：dy/dx = -dF/dx / dF/dy这就是隐函数的求导公式，它告诉我们如何通过对隐函数方程进行求导来获得隐函数的导数。
这个求导公式的推导并不复杂，但需要注意一些细节。
首先，我们要确保F(x, y)在求导过程中对x和y都是可导的。
换句话说，F(x, y)的偏导数存在且连续。
其次，我们要注意分母dF/dy不能为零，否则求导公式将无法成立。
以下是几个例子，以帮助理解隐函数的求导公式：例子1：设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们希望求解dy/dx。
首先对这个方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -2x / (2y) = -x / y这个例子告诉我们，对于圆的方程，求得的导数是-x/y。
例子2：设有一个隐函数方程e^x + ln(y) = 1，我们希望求解dy/dx。
e^x + 1/y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -e^x / (1/y) = -y * e^x这个例子告诉我们，对于指数和对数的方程，求得的导数是-y*e^x。
例子3：设有一个隐函数方程x^3 + 2y^2 = 5，我们希望求解dy/dx。
高等数学--隐函数的求导法则
高等数学--隐函数的求导法则第五节隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数,00(,)0F x y =,00(,)0y F x y ≠,则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =,它满足条件00()y f x =,并有d d x yF y x F =-. 说明:1)定理证明略,现仅给出求导公式的推导:将()y f x =代入(,)0F x y =,得恒等式(,())0F x f x ≡,等式两边对x 求导得d 0d F F y x y x∂∂+=∂∂, 由于0y F ≠于是得d d x yF y x F =-. 2) 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x∂∂=-+-⋅∂∂ 22()x x y y x xx y y y y x x y y yF F F F F F F F F F F F --=--- 2232x x y x y x y y y x y F F F F F F F F -+=-.例1 验证方程sin e 10x y xy +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =,并求22d d ,00d d y yx x x x ==. 解设(,)sin e 1x F x y y xy =+--,则 1) e x x F y =-,cos y F y x =-连续; 2)(0,0)0F =; 3) (0,0)10y F =≠.因此由定理1可知,方程sin e 10x y xy +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =.d 0d y x x =0x y F x F =-=e 10,0cos x yx y y x -=-=-==-, 22d 0d y x x =d e ()0,0,1d cos x yx y y x y x -=-'===-- 0201(e )(cos )(e )(sin 1)(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----⋅-=--3=-.隐函数存在定理还可以推广到多元函数.一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数,而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数,且000(,,)0F x y z =,000(,,)0z F x y z ≠,则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =,它满足条件000(,)z f x y =,并有x z F z x F ∂=-∂,y zF zy F ∂=-∂. 说明:定理证明略,现仅给出求导公式的推导:将(,)z f x y =代入(,,)0F x y z =,得(,,(,))0F x y f x y ≡,将上式两端分别对x 和y 求导,得0=∂∂⋅+xz F F z x ,0=∂∂⋅+y zF F z y .因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠,于是得x z F z x F ∂=-∂,y zF zy F ∂=-∂. 例2设22240x y z z ++-=,求22zx∂∂.解设222(,,)4F x y z x y z z =++-,则2x F x =,24z F z =-, 2242x z F z x xx F z z∂=-=-=∂--, 2222223(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)z xx xx x zx x x z xz z z ∂-+-+∂-+∂-===∂---.二、方程组的情形在一定条件下,由方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩可以确定一对二元函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩, 例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数2 2y x yu +=,22y x xv +=. 事实上, 0xu yv -=⇒u y x v =⇒1=⋅+u y xx yu ⇒22yx y u +=,2222yx x y x yy x v +=+⋅=. 下面讨论如何由组求u ,v 的导数.隐函数存在定理 3 设(,,,)F x y u v ,(,,,)G x y u v 点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数,又0000(,,,)0F x y u v =,0000(,,,)0G x y u v =,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi )行列式)(,)(,)FF FG u v J G G u v uv∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂在点0000(,,,)P x y u v 不等于零,则方程组(,,,)0F x y u v =,(,,,)0G x y u v =,在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩,.它们满足条件000(,)u u x y =,000(,)v v x y =,且有1(,)(,)x v x v u v uvF FG G u F G F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂,1(,)(,)u x u xu v uvF FG G v F G F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂, 1(,) (,)yv y vu v uv F F G G u F G F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂,1(,)(,)uy u y u v uvF FG G v F G F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂.说明:方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组各方程两边求偏导数,然后解关于各偏导数的方程组,其偏导数xu ∂∂,x v ∂∂由方程组0,0x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩确定;偏导数y u ∂∂,yv ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y vG y u G G yv F y u F F v u y v u y 确定.例3设0xu yv -=,1yu xv +=,求u x ∂∂,v x ∂∂,uy∂∂和v y ∂∂. 解两个方程两边分别对x 求偏导,得关于u x ∂∂和vx∂∂的方程组 00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩,. 当220x y +≠时,解之得22u xu yvx x y ∂+=-∂+,22v yu xv x x y ∂-=∂+. 两个方程两边分别对y 求偏导,得关于u y ∂∂和vy∂∂的方程组 00uv x v y y y u v u y x y y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩,. 当220x y +≠时,解之得22u xv yu y x y ∂-=∂+,22v xu yvy x y ∂+=-∂+. 另解将两个方程的两边微分得d d d d 0d d d d 0u x x u v y y v u y y u v x x v +--=⎧⎨+++=⎩,,即d d d d d d d d x u y v v y u x y u x v u y v x -=-⎧⎨+=--⎩,. 解之得2222d d d xu yv xv yu u x y x y x y +-=-+++,2222d d d yu xv xu yvv x y x y x y-+=-++. 于是22u xu yv x x y ∂+=-∂+,22u xv yu y x y ∂-=∂+,22v yu xv x x y ∂-=∂+,22v xu yvy x y ∂+=-∂+. 例4设函数(,),(,)x x u v y y u v ==在点(,)u v 的某一领域内连续且有连续偏导数,又(,)0(,)x y u v ∂≠∂. 1) 证明方程组(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩在点(,,,)x y u v (的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==.2)求反函数(,),(,)u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数. 解1)将方程组改写成下面的形式 (,,,)(,)0(,,,)(,)0F x y u v x x u v G x y u v y y u v ≡-=⎧⎨≡-=⎩,,则按假设(,)(,)0(,)(,)F G x y J u v u v ∂∂==≠∂∂, 由隐函数存在定理3,即得所要证的结论.2)将方程组所确定的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==代入原方程组,即得[(,),(,)][(,),(,)].x x u x y v x y y y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩, 将上述恒等式两边分别对x 求偏导数,得10.x u x v u x v x y u y v u x v x ∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪⎪∂∂∂∂⎨∂∂∂∂⎪=⋅+⋅⎪∂∂∂∂⎩, 由于0J ≠,故可解得1u y x J v ∂∂=∂∂,1v y x J u∂∂=-∂∂. 同理,可得1u x y J v ∂∂=-∂∂,1v x y J u ∂∂=∂∂.。
隐函数的求导公式
导数
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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3
设 yf(x)为方 F(x,程 y)0所确定,的 则 隐 F (x,f(x) )0
两边对 x 求导
FFdy 0 x y dx
在(x0 , y0)的某邻域内 Fy 0 d y Fx dx Fy
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4
例1 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
例2 设 x2y2z24z0,求
解法1 利用隐函数求导
2
x
z
2
.
2x2zz4z0 x x
再对 x 求导
2 2( z ) 2 x
2
z
2
x
z
2
4
2
x
z
2
0
2z x2
1 (z)2 x
2z
(2 z)2 x2 (2 z)3
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10
解法2 设 则
利用公式
两边对 x 求偏导
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但也可按照推导公式（6）的方法来求解.
下面用后一种方法求解.
解：将所给方程两边对 x 求导，并移项，得
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在J 1 2u
u x
v x
1,
1
2
u
u x
2v
v x
2 x.
2(v u) 0 的条件下，解得
2v
1 1 u 2x 2v x v x 1 1 v u
2u 2v
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
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2
一、一个方程的情形
定理1 设函数 F(x,y)在点
(完整)第五节 隐函数的求导公式
第五节 隐函数的求导公式要求：会求隐函数（包括方程组确定的隐函数）的偏导数。
重点：隐函数（组）的求导公式与求导法。
难点：理解隐函数（组）的存在定理，隐函数组的求导法. 作业：习题8－5（43P ）**1)3)2,4,7,8,10,11一．一个方程的情形在一元函数微分中，曾引进了隐函数的概念，并介绍了不经过显化直接由确定隐函数的方程0),(=y x F ，求它所确定y 是x 的隐函数的导数的方法．下面可利用多元复合函数的求导法则来推出隐函数的求导数公式．例如，方程y e xy e +=确定隐函数的偏导数为y Fdy yx F dx e xy∂∂=-=-∂+∂．如果0≠∂∂yF，则方程0))(,(=x f x F 两边对x 求导，有0=∂∂+∂∂=dx dyy F x F dx dF ，从中解出 yF x F dxdy ∂∂∂∂-=． 1．隐函数存在定理1 设函数),(y x F 满足条件(1）在点000(,)P x y 的某一邻域内具有连续的偏导数； （2）0),(00=y x F ； (3）0),(00≠y x F y ,则方程0),(=y x F 在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续，且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有导数公式yx F F dx dy-=． 说明：求偏导数x F 时，将函数),(y x F 中y 视为常数，对x 求偏导数； 求偏导数y F 时，将函数),(y x F 中x 视为常数,对y 求偏导数．例1．验证方程1+=yxe y 在点)1,0(的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数)(x f y =，当0=x 时1=y ，并求这函数的一阶与二阶导数在0=x 的导数值．解 设函数1),(+-=y xe y x F y,则 yx e F =，1-=yy xe F ，显然偏导数连续，且0)1,0(=F ，又01)1,0(≠-=y F ,因此由定理1可知方程1+=yxe y 在点)1,0(的邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数)(x f y =，当0=x 时，1=y ．有导数12y yx yy F dy e e dx F xe y =-==--，e dxdy x ==0| 二阶导数为 222223(2)'(3)(3)'(2)(2)(2)y y y y d y e y y e y e y e y y dx y y y '-+--===--- 222023(31)|2(21)x d y e e dx =-==-． 如果函数),(y x F 的二阶偏导数连续，可求出二阶导数公式dx dy F F y F F x dxy d y x y x )()(22-∂∂+-∂∂=)(22yxyxyy y xy yxyx y xx F F F F F F F F F F F F -----= 3222yxyy y x xy y xx F F F F F F F F +--=．2．隐函数存在定理2 设函数),,(z y x F 满足条件（1）在点0000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数； (2）0),,(000=z y x F ； （3）0),,(000≠z y x F z ，则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续,且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件),(000y x f z =，并有偏导数公式z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂． 公式的推导：由于0),,(=z y x F 确定二元函数),(y x f z =，将其代入方程0),,(=z y x F 中,得0)),(,,(=y x f y x F ,方程两边分别对x 和y 求偏导数得0=∂∂+xzF F zx ，0=∂∂+y z F F zy ， 由上面两式分别解出偏导数z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂． 说明：求偏导数x F 时，将函数(,,)F x y z 中,y z 视为常数，对x 求偏导数; 求偏导数y F 时，将函数(,,)F x y z 中,x z 视为常数，对y 求偏导数;求偏导数z F 时，将函数(,,)F x y z 中,x y 视为常数,对z 求偏导数．例2．设方程04222=-++z z y x ，求,z zx y ∂∂∂∂，yx z ∂∂∂2．解 方法1：设函数z z y x z y x F 4),,(222-++=．则x F x 2= ，42-=z F z ,y F y 2= 于是 z xz x x z -=--=∂∂2422，z y z y yz -=--=∂∂2422． 上式2z xx z∂=∂-再对y 求偏导数，得 2223()2(2)(2)(2)z yxx z xy y x x y z z z ∂∂∂-===∂∂---． 方法2：方程04222=-++z z y x 两边对x 求偏导，得 2240z z x z x x ∂∂+-=∂∂,解得zxz x x z -=--=∂∂2422， 通理得zy z y y z -=--=∂∂2422练习：设方程ln xz y z=+，求y x z ∂∂∂2．(用两种方法求一阶导(1)z z x x z ∂=∂+，1z z y z ∂=∂+）例3．设方程0),(=zyz x G 确定函数),(y x z z =，且),(v u G 偏导数存在,求y z x z ∂∂∂∂,．解 令(,,)(,)(,)x y F x y z G G u v z z ==，其中,x yu v z z==，z G F x 11⋅=，z G F y 12⋅= ，)()(2221z y G z x G F z -+-=)(1212yG xG z+-=，则2112121)(11yG xG zG yG xG z G z F F x z z x +=+=-=∂∂． 2122122)(11yG xG zG yG xG z G z F F y z z y +=+=-=∂∂． 也可以用方法2求偏导数．练习题 设方程(,,)0G xy y z xz +=确定函数),(y x z z =，而(,,)G u v w 偏导数存在,且230G xG +≠,求yz x z ∂∂∂∂,． 二．方程组的情况1．方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ⑴这是两个方程四个变量的方程组，一般只能有两个变量独立变化，所以方程组⑴可确定两个二元函数),(),,(y x v v y x u u ==,将其代入⑴中，得(,,(,),(,))0(,,(,),(,))0F x y u x y v x y G x y u x y v x y ==，将上式两边分别对x 求偏导数，得00x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩,这是关于x v x u ∂∂∂∂,的线性方程组，可以从中解出x vx u ∂∂∂∂,，也可用行列式求解．见下面定理3． 隐含数存在定理3设函数),,,(v u y x F ，),,,(v u y x G 满足下列条件（1）在点00000(,,,)P x y u v 的某邻域内具有对各个变量的连续偏导数； （2）0),,,(0000=v u y x F ,0),,,(0000=v u y x G ；（3）函数v u G F ,,对的偏导数所组成的函数行列式（或雅可比行列式)0),(),(≠=∂∂=vu vuG G F F v u G F J ,在点00000(,,,)P x y u v 则方程组0),,,(=v u y x F ,0),,,(=v u y x G 在点0P 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(),,(y x v v y x u u ==,满足条件),(000y x u u =，),(000y x v v = 并有偏导数公式),(),(1v x G F J x u ∂∂-=∂∂ ,),(),(1x u G F J x v ∂∂-=∂∂),(),(1v y G F J y u ∂∂-=∂∂ ， ),(),(1y u G F J x v ∂∂-=∂∂．例4．设方程0=-yv xu ，1=+xv yu ，求偏导数yvx v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,． 解 将所给方程的两边对x 求偏导数并移项,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂v x u x x u y u xu y x ux在022≠+=-=y x xyy x F 条件下，2222y x yv xu y x x v yu x u ++-=+---=∂∂;2222y x xvyu y x v y ux x v +--=+--=∂∂． 同理,方程的两边对y 求偏导数，解方程组得22y x yu xv y u +-=∂∂， 22yx yvxu y v ++-=∂∂． 2．由方程组0),,(=z y x F ,0),,(=z y x G 可确定两个一元函数)(),(x z z x y y ==， 的导数公式．方程 0))(),(,(=x z x y x F ，0))(),(,(=x z x y x G 两边对x 求导,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++x z y x z y z y x z y x G dx dz G dxdy G F dxdz F dx dyF dx dzG dx dy G G dx dz F dx dy F F 00，从中解出zyz y z xz xG G F F G G F F dxdy-= ，zyz y x y x y G G F F G G F F dxdz -=．例5．设0=++z y x ,1222=++z y x ,求dxdz dx dy ,． 解 方程0=++z y x ，1222=++z y x 两边对x 求导,得102220dy dz dx dx dy dz x y z dx dx ⎧++=⎪⎪⇒⎨⎪++=⎪⎩ 1dy dz dx dxdy dz y z xdxdx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩， 因为011≠-==y z zy J ， 于是z y x z y z zx dx dy --=---=11 ， zy yx y z xy dx dz --=---=11． 例6．若函数)(u F z =可微，又12sin ()x yu u t dt ϕ+=+⎰，ϕ为连续函数,求xz∂∂． 解 因为x u u F x z ∂∂'=∂∂)(, 又)(cos 2y x x u u x u ++∂∂=∂∂ϕ， 所以 u y x x u cos 2)(-+=∂∂ϕ, 于是 uy x u F x z cos 2)()(-+'=∂∂ϕ，（2cos 0u -≠）． 例7．设),(t x f y =，而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,函数，其中F f ,都具有一阶连续偏导数，试证明tF y F t f x Ft f t F x f dxdy ∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂=．(完整)第五节 隐函数的求导公式解 因为))((dxdy y t x f t f x f dx dy ∂∂+∂∂∂∂+∂∂=,从中解出yt t f x t t f x f dxdy ∂∂∂∂-∂∂∂∂+∂∂=1 ，又因为),(y x t t =由方程0),,(=t y x F 确定,所以tF x F xt ∂∂∂∂-=∂∂,t F y F y t ∂∂∂∂-=∂∂于是 y F t f t F x F t f t F x f tFy F t f t F x Ftfx f dxdy ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂+∂∂=)(1)(． 例8．设函数),(y x z z =由方程组v u e x +=,v u e y -=，uv z =确定,求,z zx y∂∂∂∂． 解 函数uv z =对x 求偏导数，得x v u x u v x z ∂∂+∂∂=∂∂, 方程v u e x +=对x 求偏导数得)(1xv x u e v u ∂∂+∂∂=+， 方程v u e y -=对x 求偏导数得)(0xv x u e v u ∂∂-∂∂=-, 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂--0x v x u e xv x u vu ,得 v u e x v x u --=∂∂=∂∂21，于是)(21v u e x z v u +=∂∂--．(完整)第五节 隐函数的求导公式同理 )(21u v e y z vu -=∂∂--．思考题1．若方程0),,(=z y x F 确定了z 为y x ,的函数，那么如何求二阶偏导数yx z∂∂∂2?。
隐函数求导
隐函数求导隐函数求导是高等数学中的一种求导方法，用于求解含有隐含变量的函数的导数。
通常来说，给定一个方程，如果它不能够被显式地表示为y=f(x)的形式，那么我们就需要使用隐函数求导的方法来求解它的导数。
隐函数求导的基本思想是在方程两边同时求导，然后根据链式法则和隐函数导数定理进行推导，最后得到隐函数的导数表达式。
让我们以一个简单的例子来说明隐函数求导的过程。
假设有一个方程：x² + y² = 1。
这是一个圆的方程，但无法明确地表示y关于x的函数形式。
首先，我们对方程两边同时求导。
对于x²，我们可以直接得到导数为2x。
而对于y²，由于y是一个关于x的隐函数，我们需要使用隐函数求导的方法来求解。
这里我们使用隐函数导数定理，即(dy/dx) = - (dy/dx) / (dx/dy)。
将方程x² + y² = 1两边同时对x求导，得到2x + 2y(dy/dx) = 0。
然后解出(dy/dx)，得到(dy/dx) = -x/y。
这样，我们就得到了方程y² = 1 - x²的导数表达式(dy/dx) = -x/y。
通过这个例子，我们可以总结出求解隐函数导数的一般步骤：1. 对于给定的隐函数方程，通常是一个关于x和y的方程，需要对方程两边同时求导。
2. 对于显式函数，可以直接求导；而对于隐函数部分，需要使用隐函数导数定理求解。
3. 使用隐函数导数定理对隐函数部分进行求导时，需要注意使用链式法则，并考虑到隐函数对x的依赖关系。
4. 解出隐函数导数的表达式。
上述步骤只是隐函数求导的一般思路，实际应用中可能会遇到更加复杂的情况。
因此，我们需要根据具体问题的特点和条件来确定使用何种求导方法。
在实际问题中，隐函数求导的应用非常广泛。
例如，当我们研究物理学中的运动问题时，经常会遇到含有时间和位置的方程，这时就需要使用隐函数求导的方法来求解速度和加速度等相关物理量的变化率。
第五节隐函数求导法则
第五节隐函数求导法则隐函数是指由关系式给出的函数，其自变量和因变量之间的关系不用显式地给出函数表达式。
在实际问题中，往往需要求出这种隐函数的导数。
本节将介绍隐函数求导的方法和一些常见的隐函数求导法则。
一、隐函数求导的基本方法首先我们来回顾一下显函数求导的基本方法。
对于显函数，我们可以直接对函数表达式使用求导公式进行求导。
但对于隐函数，由于函数表达式未知，我们需要使用一些特殊的方法来求导。
假设我们有一个由关系式 F(x,y)=0 给出的隐函数，我们要求该隐函数关于 x 的导数 y'=dy/dx。
隐函数的求导可分为以下几个步骤：1.对关系式两边同时求导，得到F'(x,y)+F'(y,x)y'=0。
2.将y'移至方程右边得到y'=-F'(x,y)/F'(y,x)。
3.根据关系式求出y的表达式，代入y'=-F'(x,y)/F'(y,x)中，即得到y'的表达式。
这种求导的方法称为隐函数求导的基本方法，下面我们将介绍一些常见的隐函数求导法则来简化上述的步骤。
1.加法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)+G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)+G'(x,y)y'=0。
2.乘法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)·G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)G(x,y)+F(x,y)G'(x,y)y'=0。
3.反函数法则：如果隐函数关系式为G(F(x,y))=0，其中G是F的反函数，则求导后得到G'(F(x,y))·F'(x,y)+G(F(x,y))=0。
4.传递法则：如果隐函数关系式中存在中间变量Z，即F(x,y,z)=0，其中x和z可看作自变量，y为中间变量，则求导后，将得到一个含有z的隐函数关系式，再对其中的x和z分别求导。
隐函数求导
xy ln y − y . ∴ y′ = 2 xy ln x − x
2
作业： 作业：
P130 习题 习题3.5 1.(5)(6)(7)(8) 2.(2)(4) 3.(1)(2)(3)(4)
练习： 练习：求 y = (1 + 2 x ) ( x > 0)的导数 .
y 解： ′ = (1 + 2 x ) [ln(1 + 2 x ) ]′
例5
( x + 1) 3 x − 1 , 求y ′. 设 y= 2 x ( x + 4) e
1 解 ln y = ln( x + 1) + ln( x − 1) − 2 ln( x + 4) − x 3 上式两边对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
的导数. 例1 求由方程 x 2 + y 2 = a 2 所确定的隐函数 y = y( x ) 的导数.
解
求导( 的函数), ),得 方程两边关于 x 求导(将 y 视为 x 的函数),得
2 x + 2 y ⋅ y′ = 0 ， 解得
x y′ = − . y
比较： 显化后, 比较： 显化后, y = a 2 − x 2 , 1 y′ = ⋅ (a 2 − x 2 )′ 2 a2 − x2 x 1 −x =− ； = ⋅ ( −2 x ) = y 2 a2 − x2 a2 − x2 x x 2 2 ′= 另一分支: 另一分支: y = − a − x , y =− . y a2 − x2
′ x −1 1 f ′( x ) = 2 ln x 2 − 1 − ln x − ln 2 x + 1 2x + x 2
第5节隐函数求导64963
再对 x 求导
2
4
2z x2
0
1 (z)2 x
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解法2 利用公式
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z 则 Fx 2x , Fz 2z 4
z Fx x x x Fz z 2 2 z
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例5的应用: 计算极坐标变换 x r cos , y r sin
的反变换的导数 . 由于
ur 1 y
x J v
r
v
x
1 J
y ur
所以
r 1 y 1 r cos cos x J r
u y
yu xv x2 y2
故有
u 1 x J
u v
y x
xu x2
yv y2
v 1 x J
xv x2
yu y2
v y
xu x2
yv y2
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例5.设函数 邻域内有连续的偏导数,且
在点(u,v) 的某一
则有 J (F,G) ( x, y ) 0, (u,v ) (u,v )
由定理 3 可知结论 1) 成立. 2) 求反函数的偏导数.
①
①式两边对 x 求导, 得
1 x u x v
u x v x
②
0 y u y v
u x v x
x0
解: 令 F(x, y) sin y ex xy 1, 则
① Fx ex y, Fy cos y x 连续 , ② F(0,0) 0,
第五节隐函数求导法
高 Fz(x0,y0,z0)≠0,所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域,在这个邻域 等 数 内Fz ≠0于是 学 Fy Fx z z 电 , . x Fz y Fz 子 教 案 例4 设x2+y2+z2=4z,求 2 z
x 2
F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 4 z, Fx 2 x, Fz 2 z 4
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
数的函数y=f(x),它满足条件y0=f(x0),且有
F dy x (2) dx Fy
高 等 数 学 电 子 教 案
定理证明从略.
利用多元复合函数的求导法则给于推导. 把方程(1)所
确定的函数y=f(x)代入(1),得F[x,f(x)]=0. 由定理的条件
高 等 数 学 电 子 教 案
一个隐函数,另外,以前的隐函数求导方法,必须知道F(x,y) 的具体表达式,才能求出y对x的导数. 下面我们研究隐函数存在定理 隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点(x0 ,y0 )的某一邻域 内具有连续偏导数,且 F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0; 则方程(1) 在(x0 ,y0 )的某一邻域内能唯一确定一个可导且具有连续导
高 等 隐函数存在定理2: 设函数F(x,y,z)在点(x0,y0.z0)的某一邻域 数 内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0)=0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) 0 学 电 ,则方程F(x,y,z)=0在点（x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一 子 确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足 教 案 条件Z0=f(x0,y0),并且有
Fy Fx z z , .(4) x Fz y Fz
隐函数求导的详细解析（实例分析）
第五节 隐函数的求导法则教学目的：使学生掌握隐函数存在定理，掌握隐函数的求导法则 教学重点：一个方程的隐函数的求导法则教学过程：一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dx dy -=. 求导公式证明: 将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式F (x , f (x ))≡0,等式两边对x 求导得0=⋅∂∂+∂∂dxdy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得yx F F dx dy -=. 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值. 解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).y x F F dx dy y x -=-=, 00==x dx dy ;332222221)(yy x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=,1022-==x dx yd .隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数.隐函数存在定理2设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 公式的证明: 将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F (x , y , f (x , y ))≡0,将上式两端分别对x 和y 求导, 得0=∂∂⋅+xz F F z x , 0=∂∂⋅+y z F F z y . 因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 例2. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求22xz∂∂. 解 设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4,z x z x F F x z z x -=--=-=∂∂2422, 3222222)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂. 二、方程组的情形在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=, 22y x x v +=. 事实上, xu -yv =0 ⇒u y x v =⇒1=⋅+u y x x yu ⇒22y x y u +=, 如何根据原方程组求u , v 的偏导数？隐函数存在定理3设F (x , y , u , v )、G (x , y , u , v )在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, G (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, 且偏导数所组成的函数行列式:vG u Gv F u F v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),( 在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)不等于零, 则方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 它们满足条件u 0=u (x 0, y 0), v 0=v (x 0, y 0), 并有vu v u v x vx G G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u x u x uG G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u v y v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u y u y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1.隐函数的偏导数:设方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0确定一对具有连续偏导数的 二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 则 偏导数x u ∂∂, x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定; 偏导数y u ∂∂, y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定.例3 设xu -yv =0, yu +xv =1, 求x u ∂∂, xv ∂∂, y u ∂∂和y v ∂∂. 解 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于x u ∂∂和xv ∂∂的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v xu y x v y x u x u , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yv xu x u ++-=∂∂, 22y x xv yu x v +-=∂∂. 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于y u ∂∂和yv ∂∂的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yu xv y u +-=∂∂, 22yx yv xu y v ++-=∂∂. 另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx , 即⎩⎨⎧--=+-=-vdx udy xdv ydu udx vdy ydv xdu . 解之得 dy yx yu xv dx y x yv xu du 2222+-+++-=, dy yx yv xu dx y x xv yu dv 2222++-+-=. 于是 22yx yv xu x u ++-=∂∂, 22y x yu xv y u +-=∂∂, 22y x xv yu x v +-=∂∂, 22yx yv xu y v ++-=∂∂. 例 设函数x =x (u , v ), y =y (u , v )在点(u , v )的某一领域内连续且有连续偏导数, 又0),(),(≠∂∂v u y x . (1)证明方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x 在点(x , y , u , v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u =u (x , y ), v =v (x , y ).(2)求反函数u =u (x , y ), v =v (x , y )对x , y 的偏导数.解 (1)将方程组改写成下面的形式⎩⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F , 则按假设 .0),(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J 由隐函数存在定理3, 即得所要证的结论.(2)将方程组(7)所确定的反函数u =u (x , y ),v =v (x , y )代入(7), 即得⎩⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x , 将上述恒等式两边分别对x 求偏导数,得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=xvv y x u u y x v v x x u u x 01. 由于J ≠0, 故可解得v y J x u ∂∂=∂∂1, uy J x v ∂∂-=∂∂1. 同理, 可得v x J y u ∂∂-=∂∂1, ux J y v ∂∂=∂∂1.。
第五节隐函数求导
求出它所确定的隐函数的导数的方法。
然而有一问题没有解决：在什么条件下该方程 可以唯一确定函数
yy(x) 并且函数 yy(x)是可导的？
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
由方程 F (x,y)0
dy 所确定的 y 是 x 的隐函数 y = f (x) , 如何求 d x
例如： yxeyx0
d zfud ufvdv fu (d x d y d) zfv(yz d xx zx dy )dz
（2）解出 d x 得
dx fu xzfv dy1fuxyfv dz
fu yzfv
fu yzfv
所以 x - fu xz fv , y fu yz fv
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 F(x,y)在点 P(x0,y0)的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
② F (x0,y0)0; ③ Fy(x0,y0)0 则方程 F(x,y)0在x点 0的某邻域内可唯一确定一个 连续函数 y = f (x) , 满足条件 y0f(x0),并有连续 导数
于是 z f1yzf2 x 1f1xyf2
x
f1xzf2
y
f1yzf2
x 1f1xyf2
z
f1yzf2
例6 已知
x 2 e t2d tx ystid tn xyzcto 2d ts 0
0
0t
0
确定 z = z ( x , y ) ，求 z , z x y
z x
)2
2
z
2
x
z
2
4
2z x2
0
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则方程组 F ( x , y , u , v ) 0 ,G ( x , y , u , v ) 0 在(点 x0,y0) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u 0 u (x 0,y 0 ), v0v(x0,y0)的单值连续函数 u u ( x ,y ) ,v v ( x ,y ), 且有偏导数公式 :
解法1 利用隐函数求导
2
x
z
2
.
2x2zz4z0 x x
z x x 2 z
再对 x 求导
2
4
2z x2
0
1 (z)2 x
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解法2 利用公式 设 F (x ,y ,z ) x 2 y 2 z 2 4 z
则 Fx2x, Fz2z4
z Fx x x x Fz z 2 2 z
d2y dx2
x 0 3
机动 目录 上页 下页 返回 z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0,y0,z0)0 ③ F z(x0,y0,z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
定理证明略. 仅推导偏导数 公式如下：
Gu Gv
v1(F,G) y J(u, y)
1 Fu Fv
Gu Gv
Fu F y Gu G y
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两边对 x 求偏导
2z x2
( x x 2
) z
(2 z)2 x2 (2 z)3
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例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程
解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
z x F1
F1
(
x z2
)
1 z
F2
(
y z2
)
zF1 xF1 yF2
z
F2
在点
的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
则方程
② F (x0,y0)0; ③ Fy(x0,y0)0
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续
导数
d y Fx (隐函数求导公式) dx Fy
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则 两边对 x 求导
在
d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有 F x
二阶导数 :
Fy
d2y dx2
( Fx ) ( Fx ) d y x F y y Fy d x
xy x
FxxFyFy2FyxFx FxyFyFy2FyyFx(F Fxy)
(co y s x)2
x0 y0
y 1
3
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sy i e n x x y 1 0 ,y y ( x )
两边对 x 求导
y x 0
ex y cosyx
(0,0)
两边再对 x 求导
siyn (y)2co yy s
令 x = 0 , 注意此时 y0,y1
xF1 yF2 z2
dz
F1dxF2dy z
dzxF 1 zyF 2 (F 1 dxF 2 dy)
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u,v) 0
FxxFy22FxF yF y3xFyFyyFx2
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例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy dx
x0,
d2y dx2
x0
解: 令 F (x ,y ) si y n e x x y 1 ,则
① Fxexy, Fycoy sx连续 , ② F(0,0)0,
1 z
y F 1(zx2)F 2 (zy2)
zF2 xF1 yF2
故
dzzdxzdy x y
xF1 zyF2(F1 dxzx F 2FFdy xz )
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解法2 微分法. 对方程两边求微分:
F1
d
(
x z
)
F2
d(
y) z
0
F1 (zdxz2xdz) F2 (zdyz2ydz) 0
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u1(F,G) x J (x,v)
1 Fu Fv
F x Fv G x Gv
(P34-P35)
Gu Gv
u1(F,G) 1
F y Fv
y J (y,v)
Fu Fv G y Gv
Gu Gv
v 1(F,G) x J(u, x)
1 Fu Fv
Fu F x Gu G x
u u(x, y) v v(x, y)
由 F、G 的偏导数组成的行列式
J((F u,,G v))G Fuu
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
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定理3. 设函数 ① 在点
满足: 的某一邻域内具有连续偏导数
② F (x 0 ,y 0 ,u 0 ,v 0 ) 0 ,G (x 0 ,y 0 ,u 0 ,v 0 ) 0 ;
zFx, zFy x Fz y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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则
F (x ,y ,f(x ,y )) 0
两边对 x 求偏导
F x Fz
z x
0
同样可得
z Fx x Fz z Fy y Fz
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例2. 设 x2y2z24z0,求
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
③ Fy(0,0)10
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
且
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dy dx
Fx x 0 Fy
x
0
ex y coysx
x 0, y 0
d2y dx2 x 0
d ( ex y ) dx cosyx
(ex y)(coysx)(ex y)(siyn y 1 )