高等数学 第九章 第五节 隐函数的求导公式
高等数学-隐函数的求导法则
第五节 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有d d x yF yx F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入(,)0F x y =，得恒等式(,())0F x f x ≡，等式两边对x 求导得d 0d F F y x y x∂∂+=∂∂， 由于0y F ≠ 于是得d d x yF yx F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x∂∂=-+-⋅∂∂ 22()x x y y x xx y y y y xxy y yF F F F F F F F F F F F --=---2232x x y x y x y y y x yF F F F F F F F-+=-．例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =，并求22d d ,00d d y yx x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠．因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =．d 0d y x x =0x y F x F =-=e 10,0cos x yx y y x -=-=-==-，22d 0d y x x = d e ()0,0,1d cos x yx y y x y x -=-'===-- 0201(e )(cos )(e )(sin 1)(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----⋅-=--3=-．隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有x z F z x F ∂=-∂，y zF zy F ∂=-∂． 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入(,,)0F x y z =， 得(,,(,))0F x y f x y ≡，将上式两端分别对x 和y 求导，得0=∂∂⋅+xz F F z x ， 0=∂∂⋅+y z F F z y ．因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠，于是得x z F z x F ∂=-∂， y zF zy F ∂=-∂． 例2 设22240x y z z ++-=，求22zx∂∂．解 设222(,,)4F x y z x y z z =++-，则2x F x =，24z F z =-，2242x z F z x x x F z z∂=-=-=∂--，2222223(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)z xx xx x zx x x z xz z z ∂-+-+∂-+∂-===∂---． 二、方程组的情形在一定条件下， 由方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩ 可以确定一对二元函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩， 例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数22y x yu +=，22y x x v +=． 事实上，0xu yv -=u y x v =1=⋅+u yx x yu 22y x yu +=， 2222yx x y x yy x v +=+⋅=． 下面讨论如何由组求u ，v 的导数．隐函数存在定理3 设(,,,)F x y u v ，(,,,)G x y u v 点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v =，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi ）行列式）(,)(,)FF FG u v J G G u v uv∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 在点0000(,,,)P x y u v 不等于零，则方程组(,,,)0F x y u v =，(,,,)0G x y u v =，在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，． 它们满足条件000(,)u u x y =，000(,)v v x y =，且有1(,)(,)xvxv u v u v F F G G u F G F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)ux u xu v uvF FG G v F G F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂， 1(,)(,)yv y vu v uv F F G G u F G F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)u yu y u v u vF FG G v F G F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂． 说明：方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组中各方程两边求偏导数，然后解关于各偏导数的方程组，其中偏导数xu ∂∂，x v ∂∂由方程组0,0x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩确定；偏导数yu ∂∂，y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y vG y u G G yv F y u F F v u y v u y 确定．例3 设0xu yv -=，1yu xv +=，求u x ∂∂，v x∂∂，uy ∂∂和v y ∂∂．解 两个方程两边分别对x 求偏导，得关于u x ∂∂和vx∂∂的方程组 00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22v yu xvx x y ∂-=∂+． 两个方程两边分别对y 求偏导，得关于u y ∂∂和vy∂∂的方程组 00uv x v y y y u v u y x y y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 另解 将两个方程的两边微分得d d d d 0d d d d 0u x x u v y y v u y y u v x x v +--=⎧⎨+++=⎩，，即d d d d d d d d x u y v v y u x y u x v u y v x -=-⎧⎨+=--⎩，． 解之得2222d d d xu yv xv yu u x y x y x y +-=-+++，2222d d d yu xv xu yvv x y x y x y-+=-++． 于是22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v yu xv x x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 例 设函数(,),(,)x x u v y y u v ==在点(,)u v 的某一领域内连续且有连续偏导数，又(,)0(,)x y u v ∂≠∂． 1） 证明方程组(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩ 在点(,,,)x y u v (的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==．2）求反函数(,),(,)u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数． 解 1）将方程组改写成下面的形式(,,,)(,)0(,,,)(,)0F x y u v x x u v G x y u v y y u v ≡-=⎧⎨≡-=⎩，，则按假设 (,)(,)0(,)(,)F G x y J u v u v ∂∂==≠∂∂，由隐函数存在定理3，即得所要证的结论．2）将方程组所确定的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==代入原方程组，即得[(,),(,)][(,),(,)].x x u x y v x y y y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩，将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得10.x u x v u x v xy u y v u x v x ∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪⎪∂∂∂∂⎨∂∂∂∂⎪=⋅+⋅⎪∂∂∂∂⎩， 由于0J ≠，故可解得1u y x J v ∂∂=∂∂， 1v yx J u∂∂=-∂∂． 同理，可得1u x y J v ∂∂=-∂∂， 1v x y J u∂∂=∂∂． .。
9-5 隐函数的求导公式
v v ( x , y ) ，它们满足条件 u0 u( x0 , y0 ) , v0 v ( x0 , y0 ),
并有
Fx Fv
u 1 ( F , G ) G x Gv , x J ( x, v ) Fu Fv G u Gv
v 1 ( F , G ) Fu Fx x J ( u, x ) Gu G x
一个具有连续导数的y f ( x ), 满足y0 f ( x0 )
且
dy Fx dx Fy
返回
y dy 例 2 已知 ln x y arctan , 求 x dx 解 令 F ( x , y ) 1 ln( x 2 y 2 ) arctan y 2 x y 2 1 2x x x y Fx ( x , y ) 2 2 x2 y2 x2 y2 y 1 2 x 1 1 2y y x x Fy ( x , y ) 2 2 2 2 2x y x y2 y 1 2 x dy Fx x y y x dx Fy
u ? x
u ? y
v ? x
v ? y
返回
隐函数存在定理 3 设 F ( x , y , u, v ) 、G ( x , y , u, v ) 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且 F ( x0 , y0 ,
例5
u v u x x y x 0 解 方程两侧同时关于x 求导得 , y u v x v 0 v u x x x y u x x 即 , y u x v v x x
xu yv 0 yu xv 1
高等数学@9.5隐函数的求导法则
x x
x 2 z
2z x 2
(2 z) x z x
(2 z)2
(2 z) x x
2 z (2 z)2
(2 z)2 x2 (2 z)3 .
例3 设 x =x(y,z)、 y =y(x,z)、 z =z(x,y) 都是由方程 F(x,y,z)=0所确定的具有连续偏导数的函数，
Fz
y) z
x z x
x
y
z y
z Fz
y ( y) zz
Fz
zFz Fz
z
练习题
1.求方程 z3 3xyz a3 确定隐函数z=z(x,y) 的偏导数
2. 设 z=z(x,y) 是由方程 f (x+y, y+z, z+x)=0
所确定的隐函数，求 z , z x y
解 设 F x y z, G x2 y2 z2 1
Fx 1, Fy 1, Fz 1, Gx 2x, Gy 2 y, Gz 2z,
J
Fx Gx
Fy Gy
1
2x
1 2y
2( y x)
dx 1 Fz dz J Gz
Fy Gy
11 J 2z
F dx F dy F dz 0, x y z
则方程F(x,y,z)=0在该邻域 内恒能唯 0,
连续且具有连续偏导数的
dz Fx dx Fy dy
函数 z = f (x, y)它满足条件
Fz
Fz
z0=f(x0, y0), 并有
1 J
x y
u v
vx x2
隐函数的求导公式
当Fz cos z xy 0时，有
例 5 设 z f ( x, y ) 是由方程
z z , . 求 x y .
sinz xyz 所确定的隐函数，
得恒等式F ( x, f ( x)) 0
F F dy 求其全导数 0 x y dx
由于F y 连续且F y ( x0 , y0 ) 0, 所以存在( x0 , y0 ) 的一个邻域，在此邻域 内F y 0
F Fx dy x 于是 F dx Fy y
Fx dy dx Fy
把复合函数 z f [ u( x , y ), x , y ] 中 中的u 及 y 看作不 的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对 x 的偏导数
3、复合高阶偏导数
复合一阶偏导： z f (u, v ) u u( x, y), v v( x, y)
z z u z v z z u z v ， x u x v x y u y v y
z x y 例 6 设 z f ( x y z , xyz )，求 ， ， . x y z
解 令 u x y z , v xyz, 则 z f ( u, v ),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得 z z z f u (1 ) f v ( yz xy ), x x x
例１ 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点( 0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0 的值. F ( x, y) x 2 y 2 1
高等数学隐函数的求导公式
3
隐函数的求导公式
隐函数存在定理1 设二元函数 F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内满足:
(1) 具有连续偏导数;
(2) F ( x0 , y0 ) 0; (3)Fy ( x0, y0 ) 0, 则方程 F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数
9
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
z Fy y Fz
例
已知 x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
求 z , z 及 2z . x y xy
解
令 F(x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
则
Fx
2x a2
,
2y Fy b2 ,
2z Fz c2
z2
c2[
x ( a2z2
c2 y b2z
)]
c4 xy a2b2z3
注 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意:
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
11
隐函数的求导公式
例
设有隐函数
F(
x z
,
y z
)
0
,其中F的偏导数连续,
求 z , z . x y
u y u v
22
隐函数的求导公式
特别
如果方程组
F ( x, G( x,
y, u, v ) y, u, v )
0 0
为
F ( x,u,v) G( x,u,v)
高等数学课件--D9_5隐函数求导
x z2
x 2 z
两边对 x 求偏导
z x
2 2
x 2 z
(
x
)
(2 z ) x (2 z )
3
2
2
2012-10-12
同济版高等数学课件
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例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程
解法1 利用偏导数公式.
P
0,
则方程组 F ( x, y, u, v) 0 , G ( x, y, u, v) 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u( x0 , y0 ) ,
v0 v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u u( x, y ) , v v( x, y ),
dy dx
2012-10-12
Fx Fy
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则
两边对 x 求导
在
dy dx Fx Fy
的某邻域内 Fy 0
2012-10-12
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,
2
u
练习: 求
v
2
u y
,
v y
由题设 J
u x v x
2012-10-12
x x y
y x
答案:
u y v y
x y 0
xu yv x y xv yu x y
2 2 2 2
高等数学第九章第五节 隐函数的求导公式
例5 设 xu yv 0， yu xv 1， 求 u，u，v 和v . x y x y
作业
P89. 1,2,3,10(1,2)
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0, dx x0
d2y dx 2
y
xy y2
y x
y2
x y
1 y3
,
d2y dx2
x0
1.
例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求dy . x dx
2. F( x, y, z) 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x, y, z)在点 P( x0 ,
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导
数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 )，并有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0的值.
确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数
u u( x, y)，v v( x, y)，它们满足条件
u0 u( x0 , y0 ),v0 v
( x0 , y0 )，并有
Fx Fv
u 1 (F ,G) Gx Gv , x J ( x,v) Fu Fv
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
高等数学第9章第5节
y′
x =0
x
e −y =− cos y − x (0,0)
两边再对 x 求导
− sin y ⋅ ( y′)2 + cos y ⋅ y′′
令 x = 0 , 注意此时 y = 0 , y′ = −1
d y = −3 2 x =0 dx
2
定理2 . 若函数 F(x, y, z)满足: ① 在点 ② F(x0 , y0 , z0 ) = 0 ③ Fz (x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 则方程 在点 某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 并有连续偏导数 Fx ∂z =− , ∂x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 , 连续偏导数
2
x y x
2 Fy
=−
Fxx Fy − Fyx Fx
2 Fy
−
Fxy Fy − Fy y Fx
Fx (− ) Fy
=−
Fxx Fy 2 − 2Fxy Fx Fy + Fy y Fx2
3 Fy
例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy d2 y , dx x = 0 dx2 x = 0
把 z 看成 x, y 的函数对 x 求偏导数得 ∂z ∂z ∂z = f u ⋅ (1 + ) + f v ⋅ ( yz + xy ), ∂x ∂x ∂x ∂z f u + yzf v , = 整理得 ∂x 1 − f u − xyfv
令 u = x + y + z , v = xyz , 则 z = f ( u, v ),
Fx Fv Gx Gv
(P86-P87)
高数隐函数求导公式
高数隐函数求导公式好嘞，以下是为您生成的关于“高数隐函数求导公式”的文章：在咱们学习高等数学的这个大“战场”上，隐函数求导公式就像是一把神秘又厉害的武器。
我记得有一次给学生们讲这部分内容的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这隐函数求导咋就这么难理解呢？”当时我就笑了，跟他说：“别着急，咱们一步步来，你会发现它其实也没那么可怕。
”咱们先来说说啥是隐函数。
比如说，方程$x^2 + y^2 = 1$，你没法直接把$y$写成关于$x$的显式表达式，但它确实确定了$x$和$y$之间的关系，这就是隐函数。
那隐函数求导公式到底是啥呢？假设我们有一个隐函数$F(x, y) = 0$，对$x$求导的时候，要记住$y$是$x$的函数。
就拿方程$x^2 + y^2 - 1 = 0$来说吧。
对$x$求导，左边就是$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$，然后就能解出$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$。
在实际做题的时候，大家可别被那些复杂的式子给吓住。
比如说有个题是这样的：$e^{xy} + \sin(xy) = 0$，要求对$x$求导。
这看起来是不是有点让人头疼？但别慌，咱们一步步来。
先对左边求导，$e^{xy}$的导数要用链式法则，先对整体求导是$e^{xy}$，再乘以$y + x\frac{dy}{dx}$；$\sin(xy)$的导数是$\cos(xy)\times (y + x\frac{dy}{dx})$。
整理一下，就能得出$\frac{dy}{dx}$的表达式。
学习隐函数求导公式的时候，大家一定要多动手练。
就像学骑自行车，刚开始可能会摇摇晃晃，但练得多了，自然就熟练了。
我曾经有个学生，一开始做隐函数求导的题目总是出错，但是他不气馁，每天都找我要几道题回去练，没过多久，他就掌握得特别好了，考试的时候这部分的题目几乎都没丢分。
总之，隐函数求导公式虽然有点复杂，但只要咱们掌握了方法，多做练习，就一定能把它拿下。
高数9-5隐函数的求导方法
1
x y y x y
(1 y )( x y ) ( x y )(1 y ) y ( x y )2 2 2 2 y 2 xy 2( x y ) 2 ( x y) ( x y )3
两边再对 x 求导 (1 y) y ( x y ) y 1 y 1 ( y )2 x y y y x y x y
1.定理1 2.定理2
4/33
一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 在点 P ( x0 , y0 ) 的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F ( x0 , y0 ) 0 ; ③ Fy ( x0 , y0 ) 0 则方程 的某邻域内可唯一确定一个 连续并有连续导数的函数 y = f (x) ,满足条件 Fx dy 并有 (隐函数求导公式) dx Fy
y F 1 f1 xyf 2 z . z f1 xzf 2 Fy
§9.5 隐函数的求导方法 一.一个方程的情形 二.方程组的情形
1.定理1 2.定理2
19/33
练习2:设
求
z f1 y z f 2 x 1 f1 x y f 2
z z z f1 1 f 2 y z x y z z( x, y ), x x x x x x x( y, z ), 1 f1 1 f 2 y z x y z z
【思考题】已知 x ( y ) ，其中 为可微函数，
z z z z y ? 求x x y
【思考题解答】
x y 1 记 F ( x , y , z ) ( ) , 则 Fx ， z z z x y ( y ) y 1 Fy ( ) , Fz 2 ( ) 2 , z z z z z y z ( ) Fy z z Fx z z , , Fz x y ( y ) x Fz x y ( y ) y z z
9.5隐函数的求导公式
y x
x y 0,
2 2
在J 0 的条件下， 解方程组，得
u y
u x x y u x
x u
v y u x , v x v x
u v x v y xu yv , 2 2 x y x x y x x y x y
2 2
则 (1)Fx 2 x, Fy 2 y 连续 ,
(2)F (0,1) 0,
(3)Fy (0,1) 2 y
( 0,1)
2 0,
依定理知方程 x y 1 0 在点 (0,1) 的某邻域内能唯一确定一个可导的函数
2 2
y 1 x
2
且f (0) 1.
(1,0)
Fv Gv , Fv Gv
Fu Fx v 1 (F ,G ) Gu G x x J ( u, x )
Fy u 1 (F ,G ) Gy y J ( y, v ) Fv Gv
Fu
Fv
Gu Gv
Fu Gu Fv , Gv
Fu v 1 (F ,G ) Gu y J ( u, y )
x
思考题解答 x y 1 记 F ( x , y , z ) ( ) , 则 Fx ， z z z y 1 x y ( y ) Fy ( ) , Fz 2 ( ) 2 , z z z z z y ( ) z F z F z
作 业
p.89 习题9-5
Fy Gy
Fu Gu
Fv . Gv
例6
设 xu yv 0， yu xv 1，
u u v v 求 ， ， 和 . x y x y 解1 直接代入公式； 解2 运用公式推导的方法， 将所给方程的两边对x求导并移项,得
高等数学《隐函数的求导公式及微分学的几何应用》课件
导数；
(P86)
备用题1 设
解:
方程组两边对 x 求导，并移项得
求
练习: 求
答案:
由题设
故有
备用题2. 求曲线
在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
切线方程
解法1 令
则
即
切向量
法平面方程
即
解法2. 方程组两边对 x 求导, 得
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:
解法1: 利用公式
设
则
两边对 x 求偏导
例1. 设
例1. 设
解法2: 利用隐函数求导
再对 x 求导
内容小结
隐函数求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;
方法2. 代公式
第七节
一பைடு நூலகம்空间曲线的切线与法平面
二、曲面的切平面与法线
多元函数微分学的几何应用
第九章
一、空间曲线的切线与法平面
研究其连续性、可微性
及求导方法问题 .
一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1.设函数
则方程
单值连续函数 y = f (x) ,
并有连续
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
① 具有连续的偏导数;
的某邻域内可唯一确定一个
在点
的某一邻域内满足
②
③
满足条件
导数
两边对 x 求导
在
的某邻域内
则在点
故当函数
法线方程
令
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
在点
有连续偏导数时,
切平面方程
法向量
用
隐函数的求导公式(20)
它满足条件 y(0) 1, 且
y( x) Fx x .
Fy
y
y(
x)
d dx
(
x) y
y
xy y2
x
y x( )
y
1
y2
y3 ,
所以 y(0) 0, y(0) 1.
6
定理2 . 若函数 F( x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F ( x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
x
y
Fu d( z ) Fv d( z ) 0
F1(
z
d
x
z2
x
d
z
)
F2(
z
d
y
z2
y
d
z
)
0
xF1 yF2 z2
dz
F1d x F2 d y z
dz
z x F1
y F2 (F1d x
F2d y).
15
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
则
J (F ,G) Fu (u,v) Gu
Fv Gv
x y
y x
x2
y2, 0
(F ,G) Fx (x,v) Gx
Fv u Gv v
y
xu yv,
x
(F ,G) Fu
Fx x
u xv yu,
(u, x) Gu Gx y v
u x
1 J
(F ,G) (x,v)
xu x2
yv y2
隐函数的求导公式
x0,
y0,
y1
(ex y)(coysx)(ex y)(siyn y 1 )
(co y s x)2
x0 y0
y 1
3
2020/1/31
6
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sy i e n x x y 1 0 ,y y ( x )
两边对 x 求导
2020/1/31
4
例1 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
解: 令 ①
则 连续 ,
②
③
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
且
2020/1/31
5
ex y coysx
1 x 0, y 0
d ( ex y ) dx cosyx
7
定理2 若函数 F(x,y,z)满足: ① 在点 P(x0,y0,z0)的某邻域内具有连续偏导数 , ② F (x0,y0,z0)0 ③ F z(x0,y0,z0) 0
则方程 F(x,y,z)0在点 (x0,y0)某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 z0f(x0,y0),
第九章
第五节 隐函数的求导公式
(Derivation of Implicit Function)
一、一个方程的情形 二、方程组的情形
三、小结与思考练习
2020/1/31
1
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 x2 yC0
当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
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Gv Fv
vx
=
v x
=
−
Gu Fu
Gx Fv
Gu Gv
Gu Gv
对 y 求偏导方法类似。
第九章 第五节
18
例9 设 u , v 为 x , y 的函数，并由方程组
u2 − v +
u
+
v2
−
x y
= =
0 0
确定，试求
u x
,
u y
,
v x
,
v y
第九章 第五节
19
例10
设
u = f (ux , v + y) v = g(u − x , v2 y)
某邻域可确定一个单值可导函数 y= f (x)， 并求：
dy
d2y
dx
, x=0
d x2
x=0
第九章 第五节
6
例2 已知 ln
x2 + y2 = arctan y ，求 dy 。
x
dx
解 令 F ( x , y) = ln x2 + y2 − arctan y
x
则
Fx ( x
,
y) =
x+ x2 +
1) 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
2) F ( x0 , y0 , z0 ) = 0 3) Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F(x , y , z)=0 在 (x0 , y0) 的某邻域内可 唯一确定一个单值连续函数 z=f (x , y) ，满足
，并有连续偏导数
z = − Fx , z = − Fy x Fz y Fz 定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
，f
,g
具有一阶
连续偏导数，求 u , v
x x
第九章 第五节
20
例11 设 y = y( x) , z = z( x) 是由方程 z = xf ( x + y)和 F ( x , y , z) ，所确定的函数，求 dz 。 (99考研)
dx
解法1 分别在各方程两端对 x 求导……
解法2 微分法。对各方程两边分别求微分:
15
定理3 设F(x , y , u , v) , G(x , y , u , v) 满足：
1) 在点
的某一邻域内具有
连续偏导数；
2) F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0
3) J = (F , G) 0 P (u , v ) P
第九章 第五节
23
第九章 第五节
2
一、一个方程的情形
定理1 F(x , y) 在点 P( x0 , y0 ) 的某邻域内满足 1) 具有连续的偏导数
2) F ( x0 , y0 ) = 0
3) Fy ( x0 , y0 ) 0
则方程 F(x , y)=0 在点 x0 的某邻域内可唯一确定
一个单值连续函数 y=f (x) ，满足
第九章 第五节
8
设 z=f (x , y) 为方程 F(x , y , z)=0 所确定的隐函数，
F(x , y, f (x, y)) 0
两边对 x 求偏导
Fx
+
Fz
z x
=
0
在
的某邻域内 Fz 0
z = − Fx
x Fz
同样可得
z = − Fy
y Fz
第九章 第五节
9
例3 方程
在点 (0 , 1 , 1) 的某邻
ux ux
+ +
Fv Gv
vx vx
= =
0 0
GFuu
ux ux
+ Fv + Gv
vx vx
= =
− Fx −Gx
将 ux , vx 看成未知量解上方程组，
J = (F , G) = Fu Fv 0 由克拉默法则：
(u , v) Gu Gv
Fx Fv
Fu Fx
ux
=
u x
=
−
Gx Fu
y y2
,
Fy ( x
,
y) =
y− x2 +
x y2
dy = − Fx = − x + y dx Fy y − x
公式法
另解 视 y = y(x) ，对方程两边关于 x 求导，
x + yy x2 + y2
=
1+
1 y x
2
(
yx − x2
y ) 直接法
第九章 第五节
7
定理2 若函数 F(x , y , z)满足：
d d
2y x2
=
x
(−
Fx Fy
)
+
y
(−
Fx Fy
)
d d
y x
− Fx Fy
xy x
=
−
Fx
xFy − Fy Fy2
x
Fx
−
Fx yFy − Fy Fy2
y Fx
(−
Fx Fy
)
=
−
Fx x Fy2
−
2Fx yFxFy Fy3
+
Fy
y Fx2
第九章 第五节
5
例1 验证方程
在点 (0 , 0)
，并
有连续导数。
d y = − Fx (隐函数求导公式) d x Fy
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
第九章 第五节
3
设 y=f (x) 为方程 F(x , y)=0 所确定的隐函数， 则
两边对 x 求导
在
d y = − Fx d x Fy
的某邻域内 Fy 0
第九章 第五节
4
若 F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续， 则还有二阶导数 :
域内能否确定出某一个变量是其他变量的函数？
若能，试求所确定函数的一阶偏导数。
第九章 第五节
10
例4
设 x2 +
y2
+ z2 − 4z = 0 ，求
2z x 2
。
第九章 第五节
11
例5 设 z = f ( x + y + z , xyz) ，求 z , x , y 。 x y z
解 令 F( x , y , z) = z − f ( x + y + z , xyz) 则 z = − Fx − − ( f1 + f2 yz) x Fz 1 − ( f1 + f2 xy)
*另解 (用全微分) 对方程两端同时微分，得
dz = f1 d( x + y + z) + f2 d( xyz)
dz = f1 + yz f2 dx + f1 + xz f2 dy 1 − f1 − xy f2 1 − f 1− xy f2
第九章 第五节
12
例7 设 F(x , y) 具有连续偏导数，已知方程 ，求 dz 。
第五节 隐函数的求导公式
教学内容
1 一个方程的情形； 2 方程组的情形；
考研要求
了解隐函数存在定理，会求多元隐函数 的偏导数。
第九章 第五节
1
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数。
例如，方程
当 C < 0 时，能确定隐函数； 当 C > 0 时，不能确定隐函数。 2) 在方程能确定隐函数时，研究其连续性、 可微性及求导方法问题 。
Gu Gv
v = − 1 (F , G) = − y J (u, y)
1 Fu Fv
Fu Fy Gu G y
Gu Gv
第九章 第五节
17
思路： GF (( xx
, ,
y y
, ,
u u
, ,
v) v)
= =
0 0
方程组两端同时对 x 求偏导
u = u(x , y)
v
=
v
(
x
,
y)
GFxGu
16
u = − 1 (F , G) = − 1
Fx Fv
x J (x ,v)
Fu Fv Gx Gv
Gu Gv
u = − 1 (F , G) = −
1
Fy Fv
y J ( y ,v)
Fu Fv G y Gv
Gu Gv
v = − 1 (F , G) = − x J (u,x)
1 Fu Fv
Fu Gu
Fx Gx
则 F(x , y , u , v)=0 , G(x , y , u , v)=0 在点 (x0 , y0)
的某一邻域内可唯一确定满足条件 u0 = u( x0 , y0 ),
v0 = v ( x0 , y0 )的单值连续函数 u=u(x , y) , v=v(x , y )
且有偏导数公式 :
第九章 第五节
消去 dy 可得 dz ……
dx
第九章 第五节
21
内容小结
1. 隐函数的求导法则 (分以下几种情况)
(1) F( x , y) = 0
(2) F( x , y , z) = 0
F(x , y , u , v) = 0 (3) G( x , y , u , v) = 0
第九章 第五节
22
2. 隐函数(组)求导方法 方法1 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2 利用微分形式不变性 ; 方法3 代公式。
F( x , y , u , v) = 0 确定 u = u( x , y)