第五节隐函数求导64751
《高等数学》课件5第五节 隐函数的求导公式 ppt
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx
隐函数求导法【高等数学PPT课件】
同理,将各方程两边对y求偏导, 可得
例1 设
求
解 将所给方程的两边对x求偏导
例2. 设 函数
有连续的一阶偏导数 ,又 分别由下列两式确定 :
(2001考研)
解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得
解得 因此
第5节 隐函数存在定理
一、一个方程的情形
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
隐函数存在定理1
若满足下列条件：
则在点P0 的某邻域
内, 方程
能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数
，并有
隐函数的求导公式
例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
解: 令 ① ②
则 连续 ,
③
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
且
导数的另一求法 — 利用隐函数求导 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 令 x = 0 , 注意此时
隐函数存在定理2
则在点P0 的某邻域
内, 方程
能唯一确定一
例2. 设 解法1 利用隐函数求导
再对 x 求导
解法2 设 则
利用公式
两边对 x 求偏导
注:
也可确定y是x、z的函数，
及x是y、z的函数，此
时
例3 求 的全微分.
解法1 用公式,令
确定的函数
所以
解法2 将方程两边分别对x、y求偏导：
例4
由方程
第五节隐函数的求导公式
第五节隐函数的求导公式隐函数是指在一些方程中以一个变量表示另一个变量的函数，其中一个变量通常被称为自变量，另一个变量被称为因变量。
求解隐函数的导数是微积分中的重要内容，因为它可以帮助我们找到函数的变化率和切线方程等信息。
本文将介绍隐函数的求导公式。
隐函数求导的关键在于使用链式法则。
链式法则是微积分中的一个基本原理，它描述了复合函数的导数与原函数导数的关系。
在隐函数的情况下，我们可以将因变量视为自变量的函数，并运用链式法则进行导数的计算。
设有一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中y是x的函数。
我们希望求解dy/dx，即隐函数的导数。
首先我们将隐函数方程两边对x求导，得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0由于我们求解的是dy/dx，我们可以将这个方程改写为：dy/dx = -dF/dx / dF/dy这就是隐函数的求导公式，它告诉我们如何通过对隐函数方程进行求导来获得隐函数的导数。
这个求导公式的推导并不复杂，但需要注意一些细节。
首先，我们要确保F(x, y)在求导过程中对x和y都是可导的。
换句话说，F(x, y)的偏导数存在且连续。
其次，我们要注意分母dF/dy不能为零，否则求导公式将无法成立。
以下是几个例子，以帮助理解隐函数的求导公式：例子1：设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们希望求解dy/dx。
首先对这个方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -2x / (2y) = -x / y这个例子告诉我们，对于圆的方程，求得的导数是-x/y。
例子2：设有一个隐函数方程e^x + ln(y) = 1，我们希望求解dy/dx。
e^x + 1/y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -e^x / (1/y) = -y * e^x这个例子告诉我们，对于指数和对数的方程，求得的导数是-y*e^x。
例子3：设有一个隐函数方程x^3 + 2y^2 = 5，我们希望求解dy/dx。
高等数学--隐函数的求导法则
高等数学--隐函数的求导法则第五节隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数,00(,)0F x y =,00(,)0y F x y ≠,则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =,它满足条件00()y f x =,并有d d x yF y x F =-. 说明:1)定理证明略,现仅给出求导公式的推导:将()y f x =代入(,)0F x y =,得恒等式(,())0F x f x ≡,等式两边对x 求导得d 0d F F y x y x∂∂+=∂∂, 由于0y F ≠于是得d d x yF y x F =-. 2) 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x∂∂=-+-⋅∂∂ 22()x x y y x xx y y y y x x y y yF F F F F F F F F F F F --=--- 2232x x y x y x y y y x y F F F F F F F F -+=-.例1 验证方程sin e 10x y xy +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =,并求22d d ,00d d y yx x x x ==. 解设(,)sin e 1x F x y y xy =+--,则 1) e x x F y =-,cos y F y x =-连续; 2)(0,0)0F =; 3) (0,0)10y F =≠.因此由定理1可知,方程sin e 10x y xy +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =.d 0d y x x =0x y F x F =-=e 10,0cos x yx y y x -=-=-==-, 22d 0d y x x =d e ()0,0,1d cos x yx y y x y x -=-'===-- 0201(e )(cos )(e )(sin 1)(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----⋅-=--3=-.隐函数存在定理还可以推广到多元函数.一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数,而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数,且000(,,)0F x y z =,000(,,)0z F x y z ≠,则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =,它满足条件000(,)z f x y =,并有x z F z x F ∂=-∂,y zF zy F ∂=-∂. 说明:定理证明略,现仅给出求导公式的推导:将(,)z f x y =代入(,,)0F x y z =,得(,,(,))0F x y f x y ≡,将上式两端分别对x 和y 求导,得0=∂∂⋅+xz F F z x ,0=∂∂⋅+y zF F z y .因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠,于是得x z F z x F ∂=-∂,y zF zy F ∂=-∂. 例2设22240x y z z ++-=,求22zx∂∂.解设222(,,)4F x y z x y z z =++-,则2x F x =,24z F z =-, 2242x z F z x xx F z z∂=-=-=∂--, 2222223(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)z xx xx x zx x x z xz z z ∂-+-+∂-+∂-===∂---.二、方程组的情形在一定条件下,由方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩可以确定一对二元函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩, 例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数2 2y x yu +=,22y x xv +=. 事实上, 0xu yv -=⇒u y x v =⇒1=⋅+u y xx yu ⇒22yx y u +=,2222yx x y x yy x v +=+⋅=. 下面讨论如何由组求u ,v 的导数.隐函数存在定理 3 设(,,,)F x y u v ,(,,,)G x y u v 点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数,又0000(,,,)0F x y u v =,0000(,,,)0G x y u v =,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi )行列式)(,)(,)FF FG u v J G G u v uv∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂在点0000(,,,)P x y u v 不等于零,则方程组(,,,)0F x y u v =,(,,,)0G x y u v =,在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩,.它们满足条件000(,)u u x y =,000(,)v v x y =,且有1(,)(,)x v x v u v uvF FG G u F G F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂,1(,)(,)u x u xu v uvF FG G v F G F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂, 1(,) (,)yv y vu v uv F F G G u F G F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂,1(,)(,)uy u y u v uvF FG G v F G F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂.说明:方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组各方程两边求偏导数,然后解关于各偏导数的方程组,其偏导数xu ∂∂,x v ∂∂由方程组0,0x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩确定;偏导数y u ∂∂,yv ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y vG y u G G yv F y u F F v u y v u y 确定.例3设0xu yv -=,1yu xv +=,求u x ∂∂,v x ∂∂,uy∂∂和v y ∂∂. 解两个方程两边分别对x 求偏导,得关于u x ∂∂和vx∂∂的方程组 00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩,. 当220x y +≠时,解之得22u xu yvx x y ∂+=-∂+,22v yu xv x x y ∂-=∂+. 两个方程两边分别对y 求偏导,得关于u y ∂∂和vy∂∂的方程组 00uv x v y y y u v u y x y y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩,. 当220x y +≠时,解之得22u xv yu y x y ∂-=∂+,22v xu yvy x y ∂+=-∂+. 另解将两个方程的两边微分得d d d d 0d d d d 0u x x u v y y v u y y u v x x v +--=⎧⎨+++=⎩,,即d d d d d d d d x u y v v y u x y u x v u y v x -=-⎧⎨+=--⎩,. 解之得2222d d d xu yv xv yu u x y x y x y +-=-+++,2222d d d yu xv xu yvv x y x y x y-+=-++. 于是22u xu yv x x y ∂+=-∂+,22u xv yu y x y ∂-=∂+,22v yu xv x x y ∂-=∂+,22v xu yvy x y ∂+=-∂+. 例4设函数(,),(,)x x u v y y u v ==在点(,)u v 的某一领域内连续且有连续偏导数,又(,)0(,)x y u v ∂≠∂. 1) 证明方程组(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩在点(,,,)x y u v (的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==.2)求反函数(,),(,)u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数. 解1)将方程组改写成下面的形式 (,,,)(,)0(,,,)(,)0F x y u v x x u v G x y u v y y u v ≡-=⎧⎨≡-=⎩,,则按假设(,)(,)0(,)(,)F G x y J u v u v ∂∂==≠∂∂, 由隐函数存在定理3,即得所要证的结论.2)将方程组所确定的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==代入原方程组,即得[(,),(,)][(,),(,)].x x u x y v x y y y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩, 将上述恒等式两边分别对x 求偏导数,得10.x u x v u x v x y u y v u x v x ∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪⎪∂∂∂∂⎨∂∂∂∂⎪=⋅+⋅⎪∂∂∂∂⎩, 由于0J ≠,故可解得1u y x J v ∂∂=∂∂,1v y x J u∂∂=-∂∂. 同理,可得1u x y J v ∂∂=-∂∂,1v x y J u ∂∂=∂∂.。
《隐函数的求导方法》课件
隐函数与显函数的关系
显函数：由自变量和因变量通过等号 连接的函数，如y=f(x)。
隐函数不一定能通过等号转化为显函 数，但两者都表示了因变量与自变量 之间的关系。
隐函数的几何意义
隐函数在坐标平面上的表现是一条曲线。
通过对方程F(x,y)=0进行求导，可以确定曲线上各点的切线斜率，从而了解曲线的形状和变化趋势。
总结词
通过消去参数，将参数方程转化为普通方程 ，再利用普通方程求导法则进行求导。
详细描述
对于由参数方程 $x = varphi(t), y = psi(t)$ 确定的隐函数，可以通过消去参数 $t$，将 其转化为 $y = f(x)$ 的形式，然后利用复合
函数求导法则和链式法则进行求导。
由极坐标方程确定的隐函数求导
乘积法则
总结词
乘积法则用于求解两个函数的乘积的导数，通过乘积法则可以将两个函数的导 数相加。
详细描述
乘积法则是链式法则的一种特殊形式，如果两个函数y=f(x)和u=g(x)的导数存 在，那么它们的乘积的导数为y的导数乘以u加上u的导数乘以y，即 dy*du=(dy/dx)*u+(u/dx)*y。
商式法则
顺序确定
在求导过程中，运算的顺序需要 确定，根据求导法则和运算优先 级进行判断。
顺序处理
在求导过程中，需要注意运算的 顺序处理，确保运算的正确性和 一致性。
顺序变换
在求导过程中，运算的顺序可能 会发生变化，需要根据求导法则 和运算优先级进行判断。
求导过程中的公式选择问题
公式选择
在求导过程中，公式的选择是关键，需要根据函数的 类型和求导法则进行选择。
02 隐函数的求导法则
链式法则
总结词
高中数学人教版隐函数求导公式课件
J
(F,G) (u, v)
Fu Gu
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理3 设函数 F (x, y,u, v) , G(x, y,u, v)满足: ① 在点 P(x0 , y0 , u0 , v0 )的某一邻域内具有连续偏导数;
② F (x0 , y0 ,u0 , v0 ) 0, G(x0 , y0 ,u0 , v0 ) 0;
例2
设
x2 y2 z2 4z 0,
求
2z x2 .
例3 设 (u,v) 具有连续偏导数,证明由方程
(cx az,cy bz) 0 所确定的函数 z f (x, y) 满足
a z b z c. x y
隐函数的求导公式
一、引言 二、一个方程确定的隐函数的情形 三、方程组确定的隐函数组的情形
➢研究问题
(显)函数组 (x, y) (u, v)
隐函数组
在什么条件下,方程组能够确定隐函数组. 连续性?
方程组确定的隐函数组有什么性质
可导性? …
对方程组确定的隐函数组如何求导.
隐函数的求导公式
一、引言 二、一个方程确定的隐函数的情形 三、方程组确定的隐函数组的情形
隐函数的求导公式
一、引言 二、一个方程确定的隐函数的情形 三、方程组确定的隐函数组的情形
隐函数的求导公式
一、引言 二、一个方程确定的隐函数的情形 三、方程组确定的隐函数组的情形
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,
F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u,v) 0
u u(x, y) v v(x,0 f (x0, y0 );
② 在(x0,y0)的上述邻域内连续； ③ 在(x0,y0)的上述邻域内连续可导,且有
隐函数的求导公式 共28页PPT资料
d2y dx2
x 0 3
7
定理2 若函数 F(x,y,z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0,y0,z0)0 ③ F z(x0,y0,z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
26.01.2020
8
则
F (x ,y ,f(x ,y )) 0
两边对 x 求偏导
F x Fz
0
z Fx x Fz
同样可得
26.01.2020
9
例2 设 x2y2z24z0,求 解法1 利用隐函数求导
2
x
z
2
.
2x2zz4z0 x x
再对 x 求导
26.01.2020
16
例 3 求由方程组
x y u v 1,
x
2
y2
u2
v2
2,
确定的函数 u(x, y)和v(x, y) 的偏导数 u ， u ， v 和 v . x y x y
分析： 此题可以直接用课本中的公式（6）求解，
但也可按照推导公式（6）的方法来求解. 下面用后一种方法求解.
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sy i e n x x y 1 0 ,y y ( x )
两边对 x 求导
y x 0
ex y cosyx
(0,0)
两边再对 x 求导
siyn (y)2co yy s
令 x = 0 , 注意此时 y0,y1
第五节隐函数求导
求出它所确定的隐函数的导数的方法。
然而有一问题没有解决：在什么条件下该方程 可以唯一确定函数
yy(x) 并且函数 yy(x)是可导的？
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
由方程 F (x,y)0
dy 所确定的 y 是 x 的隐函数 y = f (x) , 如何求 d x
例如： yxeyx0
d zfud ufvdv fu (d x d y d) zfv(yz d xx zx dy )dz
（2）解出 d x 得
dx fu xzfv dy1fuxyfv dz
fu yzfv
fu yzfv
所以 x - fu xz fv , y fu yz fv
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 F(x,y)在点 P(x0,y0)的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
② F (x0,y0)0; ③ Fy(x0,y0)0 则方程 F(x,y)0在x点 0的某邻域内可唯一确定一个 连续函数 y = f (x) , 满足条件 y0f(x0),并有连续 导数
于是 z f1yzf2 x 1f1xyf2
x
f1xzf2
y
f1yzf2
x 1f1xyf2
z
f1yzf2
例6 已知
x 2 e t2d tx ystid tn xyzcto 2d ts 0
0
0t
0
确定 z = z ( x , y ) ，求 z , z x y
z x
)2
2
z
2
x
z
2
4
2z x2
0
第五节隐函数求导法则
第五节隐函数求导法则隐函数是指由关系式给出的函数，其自变量和因变量之间的关系不用显式地给出函数表达式。
在实际问题中，往往需要求出这种隐函数的导数。
本节将介绍隐函数求导的方法和一些常见的隐函数求导法则。
一、隐函数求导的基本方法首先我们来回顾一下显函数求导的基本方法。
对于显函数，我们可以直接对函数表达式使用求导公式进行求导。
但对于隐函数，由于函数表达式未知，我们需要使用一些特殊的方法来求导。
假设我们有一个由关系式 F(x,y)=0 给出的隐函数，我们要求该隐函数关于 x 的导数 y'=dy/dx。
隐函数的求导可分为以下几个步骤：1.对关系式两边同时求导，得到F'(x,y)+F'(y,x)y'=0。
2.将y'移至方程右边得到y'=-F'(x,y)/F'(y,x)。
3.根据关系式求出y的表达式，代入y'=-F'(x,y)/F'(y,x)中，即得到y'的表达式。
这种求导的方法称为隐函数求导的基本方法，下面我们将介绍一些常见的隐函数求导法则来简化上述的步骤。
1.加法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)+G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)+G'(x,y)y'=0。
2.乘法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)·G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)G(x,y)+F(x,y)G'(x,y)y'=0。
3.反函数法则：如果隐函数关系式为G(F(x,y))=0，其中G是F的反函数，则求导后得到G'(F(x,y))·F'(x,y)+G(F(x,y))=0。
4.传递法则：如果隐函数关系式中存在中间变量Z，即F(x,y,z)=0，其中x和z可看作自变量，y为中间变量，则求导后，将得到一个含有z的隐函数关系式，再对其中的x和z分别求导。
第五节隐函数求导法
高 Fz(x0,y0,z0)≠0,所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域,在这个邻域 等 数 内Fz ≠0于是 学 Fy Fx z z 电 , . x Fz y Fz 子 教 案 例4 设x2+y2+z2=4z,求 2 z
x 2
F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 4 z, Fx 2 x, Fz 2 z 4
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
数的函数y=f(x),它满足条件y0=f(x0),且有
F dy x (2) dx Fy
高 等 数 学 电 子 教 案
定理证明从略.
利用多元复合函数的求导法则给于推导. 把方程(1)所
确定的函数y=f(x)代入(1),得F[x,f(x)]=0. 由定理的条件
高 等 数 学 电 子 教 案
一个隐函数,另外,以前的隐函数求导方法,必须知道F(x,y) 的具体表达式,才能求出y对x的导数. 下面我们研究隐函数存在定理 隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点(x0 ,y0 )的某一邻域 内具有连续偏导数,且 F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0; 则方程(1) 在(x0 ,y0 )的某一邻域内能唯一确定一个可导且具有连续导
高 等 隐函数存在定理2: 设函数F(x,y,z)在点(x0,y0.z0)的某一邻域 数 内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0)=0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) 0 学 电 ,则方程F(x,y,z)=0在点（x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一 子 确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足 教 案 条件Z0=f(x0,y0),并且有
Fy Fx z z , .(4) x Fz y Fz
第五节 隐函数的求导公式
x2 y2 z2 6 例 1 设 确定 y y( x )， z z ( x )， x y z 0 dy dz 求 ， . dx dx
解1
直接代入公式.
解2 运用公式推导的方法. 将所给方程的两边分别对 x 求导， 视 y y( x ) , z z ( x ).
2. 推广到三元以上
隐函数存在定理 2
F ( x, y, z ) 0
设函数F ( x , y , z ) 在点P ( x0 ,
y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ， Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F ( x , y ,
z ) 0 在点 P ( x0 , y0 , z 0 ) 的某一邻域内恒能唯一确
定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z f ( x , y ) ，它满足条件 z0 f ( x0 , y0 ) ， 并有
z Fx ， x Fz
Fy z . y Fz
z z 例 3 设方程 x y z 3 xyz 0，求 和 . y x
0 的点的某邻域内能唯一确定一个单值可导的函 数 y y( x )．
Fx dy 2 . dx Fy 2 cos y
e x y xy 0 前述引例: 令 F ( x,y) e x y xy 0,
当 Fy ( x,y ) e x y x 0 时,
2
2z z 由上式解出 2 并将 代入求出结果. x x 2z 2z 类似地，可求得 . 2 及 xy y
二、方程组的情形
隐函数存在定理 3
F ( x, y, z ) 0 (1) G ( x , y , z ) 0
第五节 隐函数的求导公式共8页
第五节 隐函数的求导公式要求：会求隐函数（包括方程组确定的隐函数）的偏导数。
重点：隐函数（组）的求导公式与求导法。
难点：理解隐函数（组）的存在定理，隐函数组的求导法。
作业：习题8－5（43P ）**1)3)2,4,7,8,10,11一．一个方程的情形在一元函数微分中，曾引进了隐函数的概念，并介绍了不经过显化直接由确定隐函数的方程0),(=y x F ，求它所确定y 是x 的隐函数的导数的方法．下面可利用多元复合函数的求导法则来推出隐函数的求导数公式．例如，方程ye xy e +=确定隐函数的偏导数为y Fdy y x F dx e xy∂∂=-=-∂+∂．如果0≠∂∂yF，则方程0))(,(=x f x F 两边对x 求导，有0=∂∂+∂∂=dx dyy F x F dx dF ，从中解出 yF x F dxdy ∂∂∂∂-=． 1．隐函数存在定理1 设函数),(y x F 满足条件（1）在点000(,)P x y 的某一邻域内具有连续的偏导数； （2）0),(00=y x F ； （3）0),(00≠y x F y ，则方程0),(=y x F 在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续，且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有导数公式yx F F dx dy-=． 说明：求偏导数x F 时，将函数),(y x F 中y 视为常数，对x 求偏导数； 求偏导数y F 时，将函数),(y x F 中x 视为常数，对y 求偏导数．例1．验证方程1+=yxe y 在点)1,0(的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数)(x f y =，当0=x 时1=y ，并求这函数的一阶与二阶导数在0=x 的导数值．解 设函数1),(+-=y xe y x F y，则 y x e F =，1-=yy xe F ，显然偏导数连续，且0)1,0(=F ，又01)1,0(≠-=y F ，因此由定理1可知方程1+=yxe y 在点)1,0(的邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数)(x f y =，当0=x 时，1=y ．有导数12y yx yy F dy e e dx F xe y =-==--，e dxdy x ==0| 二阶导数为 222223(2)'(3)(3)'(2)(2)(2)y y y y d y e y y e y e y e y y dx y y y '-+--===--- 222023(31)|2(21)x d y e e dx =-==-． 如果函数),(y x F 的二阶偏导数连续，可求出二阶导数公式dx dy F F y F F x dx y d y x yx )()(22-∂∂+-∂∂=)(22yxyxyy y xy yxyx y xx F F F F F F F F F F F F -----= 3222yxyy y x xy y xx F F F F F F F F +--=．2．隐函数存在定理2 设函数),,(z y x F 满足条件（1）在点0000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数； （2）0),,(000=z y x F ； （3）0),,(000≠z y x F z ，则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续，且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件),(000y x f z =，并有偏导数公式z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂． 公式的推导：由于0),,(=z y x F 确定二元函数),(y x f z =，将其代入方程0),,(=z y x F 中，得0)),(,,(=y x f y x F ，方程两边分别对x 和y 求偏导数得0=∂∂+xzF F zx ，0=∂∂+y z F F zy ， 由上面两式分别解出偏导数z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂． 说明：求偏导数x F 时，将函数(,,)F x y z 中,y z 视为常数，对x 求偏导数； 求偏导数y F 时，将函数(,,)F x y z 中,x z 视为常数，对y 求偏导数；求偏导数z F 时，将函数(,,)F x y z 中,x y 视为常数，对z 求偏导数．例2．设方程04222=-++z z y x ，求,z zx y ∂∂∂∂，yx z ∂∂∂2． 解 方法1：设函数z z y x z y x F 4),,(222-++=．则x F x 2= ，42-=z F z ，y F y 2=于是z xz x x z -=--=∂∂2422，z y z y yz -=--=∂∂2422． 上式2z xx z∂=∂-再对y 求偏导数，得 2223()2(2)(2)(2)z yxx z xy y x x y z z z ∂∂∂-===∂∂---． 方法2：方程04222=-++z z y x 两边对x 求偏导，得 2240z z x zx x ∂∂+-=∂∂，解得zx z x x z -=--=∂∂2422，通理得zy z y y z -=--=∂∂2422 练习：设方程ln xz y z=+，求y x z ∂∂∂2．（用两种方法求一阶导(1)z z x x z ∂=∂+，1z z y z ∂=∂+）例3．设方程0),(=z yz x G 确定函数),(y x z z =，且),(v u G 偏导数存在，求yz x z ∂∂∂∂,． 解 令(,,)(,)(,)x y F x y z G G u v z z==，其中,x y u v z z==， z G F x 11⋅=，z G F y 12⋅= ，)()(2221z y G z x G F z -+-=)(1212yG xG z+-=，则2112121)(11yG xG zG yG xG z G z F F x z z x +=+=-=∂∂． 2122122)(11yG xG zG yG xG z G z F F y z z y +=+=-=∂∂． 也可以用方法2求偏导数．练习题 设方程(,,)0G xy y z xz +=确定函数),(y x z z =，而(,,)G u v w 偏导数存在，且230G xG +≠，求yz x z ∂∂∂∂,． 二．方程组的情况1．方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ⑴这是两个方程四个变量的方程组，一般只能有两个变量独立变化，所以方程组⑴可确定两个二元函数),(),,(y x v v y x u u ==，将其代入⑴中，得(,,(,),(,))0(,,(,),(,))0F x y u x y v x yG x y u x y v x y ==，将上式两边分别对x 求偏导数，得00x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，这是关于x v x u ∂∂∂∂,的线性方程组，可以从中解出xvx u ∂∂∂∂,，也可用行列式求解．见下面定理3． 隐含数存在定理3设函数),,,(v u y x F ，),,,(v u y x G 满足下列条件（1）在点00000(,,,)P x y u v 的某邻域内具有对各个变量的连续偏导数； （2）0),,,(0000=v u y x F ，0),,,(0000=v u y x G ；（3）函数v u G F ,,对的偏导数所组成的函数行列式(或雅可比行列式)0),(),(≠=∂∂=vu vuG G F F v u G F J ，在点00000(,,,)P x y u v 则方程组0),,,(=v u y x F ，0),,,(=v u y x G 在点0P 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(),,(y x v v y x u u ==，满足条件),(000y x u u =，),(000y x v v = 并有偏导数公式),(),(1v x G F J x u ∂∂-=∂∂ ，),(),(1x u G F J x v ∂∂-=∂∂),(),(1v y G F J y u ∂∂-=∂∂ ， ),(),(1y u G F J x v ∂∂-=∂∂． 例4．设方程0=-yv xu ，1=+xv yu ，求偏导数yvx v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,． 解 将所给方程的两边对x 求偏导数并移项，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂v x u x x u y u xu y x ux在022≠+=-=y x xyy x F 条件下，2222y x yv xu y x x v yu x u ++-=+---=∂∂；2222yx xv yu y x v y ux x v +--=+--=∂∂． 同理，方程的两边对y 求偏导数，解方程组得22y x yu xv y u +-=∂∂， 22yx yv xu y v ++-=∂∂． 2．由方程组0),,(=z y x F ，0),,(=z y x G 可确定两个一元函数)(),(x z z x y y ==， 的导数公式．方程 0))(),(,(=x z x y x F ，0))(),(,(=x z x y x G 两边对x 求导，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++x z y x z y z y x z y x G dx dz G dxdy G F dxdz F dx dy F dx dz G dx dy G G dx dz F dx dy F F 00，从中解出zyz y z xz xG G F F G G F F dxdy-= ，zyz y x y x y G G F F G G F F dxdz -=．例5．设0=++z y x ，1222=++z y x ，求dxdz dx dy ,． 解 方程0=++z y x ，1222=++z y x 两边对x 求导，得102220dy dz dx dxdy dz x y z dx dx ⎧++=⎪⎪⇒⎨⎪++=⎪⎩1dy dzdx dxdy dz y z x dxdx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩， 因为011≠-==y z zy J ， 于是z y x z y z zx dx dy --=---=11 ， zy yx y z xy dx dz --=---=11． 例6．若函数)(u F z =可微，又12sin ()x yu u t dt ϕ+=+⎰，ϕ为连续函数，求xz∂∂． 解 因为x u u F x z ∂∂'=∂∂)(， 又)(cos 2y x x u u x u ++∂∂=∂∂ϕ， 所以 u y x x u cos 2)(-+=∂∂ϕ， 于是 uy x u F x z cos 2)()(-+'=∂∂ϕ，(2cos 0u -≠)． 例7．设),(t x f y =，而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,函数，其中F f ,都具有一阶连续偏导数，试证明tF y F t f x Ft f t F x f dxdy ∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂=．解 因为))((dxdy y t x f t f x f dx dy ∂∂+∂∂∂∂+∂∂=，从中解出 yt t f x t t f x f dxdy ∂∂∂∂-∂∂∂∂+∂∂=1 ，又因为),(y x t t =由方程0),,(=t y x F 确定，所以tF x Fxt ∂∂∂∂-=∂∂，t F y F y t ∂∂∂∂-=∂∂于是 y F t f t F x F t f t F x f tFy F t f t F x Ftfx f dxdy ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂+∂∂=)(1)(． 例8．设函数),(y x z z =由方程组vu e x +=，vu ey -=，uv z =确定，求,z z x y∂∂∂∂． 解 函数uv z =对x 求偏导数，得xv u x u v x z ∂∂+∂∂=∂∂， 方程vu ex +=对x 求偏导数得 )(1xvx u evu ∂∂+∂∂=+， 方程vu ey -=对x 求偏导数得 )(0xv x u evu ∂∂-∂∂=-，解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂--0xv x u e xv x u vu ，得 v u ex v x u --=∂∂=∂∂21， 于是)(21v u e x z v u +=∂∂--． 同理)(21u v e y z vu -=∂∂--． 思考题1．若方程0),,(=z y x F 确定了z 为y x ,的函数，那么如何求二阶偏导数yx z∂∂∂2？。
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邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的
函数 z = f ( x , y ) , 它满足条件 z0 f ( x0, y0 )
并有
z Fx , z Fy
x Fz
y Fz
例3
设 x2 y2 z2 4z 0，求
( Fx ) x Fy
( Fx ) dy y Fy d x
Fx x
Fy Fx Fy2
Fy x
Fx y
Fy Fx Fy2
Fy y
(
Fx Fy
)
Fxx
Fy2
2Fxy Fx Fy Fy3
FyyFx2
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导
(1 x e y )2
(1 xe y )e y y (e y 1)(e y xe y y ) (1 x e y )2
e y (1 e y )(xe y x 2 ) (1 x e y )2
（2）由方程
F(x, y,z)0
所确定的二元函数 z = f ( x , y ) , 求
z , z x y
2z x 2 .
解 令 F(x, y,z) x2 y2 z2 4z,
则
Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
2z x 2
(2 z) x z
x (2 z)2
(2 z) x x
2 z (2 z)2
(2
z)2 (2 z)3
x2
.
例 4 设 z f ( x y z, xyz)，求 z ，x ，y . x y z
函数 y f ( x)， 它满足条件 y0 f ( x0 )，
并有 dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式
问题：如何给出 d 2 y 的计算公式？ d x2
F ( x , y ) 0 , y f (x) , dy Fx
dx Fy
x
x
F
x Fx
y
Fy
x y
d2y dx2
d ( Fx ) d x Fy
第五节 隐函数的微分法
（一）一个方程的情形
（1）由方程 F ( x , y ) 0
dy 所确定的 y 是 x 的隐函数 y = f (x) , 如何求 d x
例如： y x e y x 0
两边对 x 求导
d y d(x e y) 1 0
dx dx
d y ( e y xe y d y )10 ,
思路：
把z 看成 x, y 的隐函数对 x求偏导数得 z ， x
把 x看成z, y 的隐函数对 y求偏导数得 x ， y
把 y看成 x, z的隐函数对
z 求偏导数得
y
.
z
例 4 设 z f ( x y z, xyz)，求 z ，x ，y . x y z
解： 令 u x y z, v xyz, 则 z f (u,v),
dx
dx
(1 x e y )2
例2：设 y x e y x 0 求 d 2 y d x2
解： F ( x , y ) y x e y x
dy
dx
e y 1 1 xe y
,
d2 y d x2
(1 xe y ) d (e y 1) (e y 1) d (1 xe y )
dx
dx
dx
dx
dy dx
e y 1 1 xe y
问题：(1) 没有统一的公式;
(2) 没有回答隐函数是否一定存在.
将 y = f (x) 代入方程得： F [ x , f (x) ] 0
x
d F [ x , f (x) ] dx
F
x y
F dx F d y x dx y dx
F F d y 0 x y dx
F
d y dx
x F
y
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点
P( x0 , y0 )的某一邻域内具有连续的偏导数，
且
F ( x0 , y0 ) 0，Fy ( x0 , y0 ) 0，
则方程F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内
恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的
F[x, y, f (x, y)] x
F F dx F z 0
x dx z x
xx
z
y
y
z x
F
x F
z
z y
F
y F
z
隐函数存在定理 2：设函数 F ( x , y , z ) 在点
P( x0, y0, z0 ) 的某一邻域内有连续偏导数， 且 F ( x0, y0, z0 ) 0, Fz ( x0, y0, z0 ) 0,
两边微分得 dz fudu fvdv
fu(dx dy dz) fv ( yzdx xzdy xydz)
（1）解出 d z 得
dz
fu yzfv dx 1 fu xyfv
数在 x 0的值.
解 令 F ( x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
F (0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻域内 能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1的函数 y f (x)．
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0的值.
解： F ( x , y ) y x e y x
Fx e y 1 , Fy 1 x e y
dy dx
Fx Fy
e y 1 1 xe y
,
1.公式法 2.直接法 (上册隐函数求导法)
d2 y d x2
d e y 1
d
x
( 1
x
e
y
)
(1 xe y ) d (e y 1) (e y 1) d (1 xe y )
解 令 F ( x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
F (0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0,
dx x0
d2y dx2
y
xy y2
y
x y dx2
x0
1.
例2：设 y x e y x 0 求 d 2 y d x2