第四章、应变疲劳
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4.2 滞后环和循环应力-应变响应
1. 滞后环 hysteresis loops 在ea=const的对称循环下， 应力、应变的连续变化。
a
可知： 0 ea 1)-e响应随循环次数改变。 N=2 稳态环 100 2)一定周次后有稳态滞后环。 低碳钢的循环应力应变响应 3)有循环硬化和软化现象。
4
P The strain-life method assume that smooth specimen tested under strain control can simulate fatigue damage at the notch root of an engineering component. Equivalent fatigue damage (and fatigue life) is assumed to occur in the material at the notch root and in the smooth specimen when both are subjected to identical p stress-strain histories.
1'
0
t
4
2-3 加载。已知De2-3, 由滞后环曲线可求 D2-3。 对于加载，有：e3=e2+De2-3； 3=2+D2-3。 3-4 卸载。经过2‟处时，应变曾在该处 (2处)发生 过反向，由记忆特性知2-3-2‟形成封闭环， 且不影响其后的-e响应。
18
按路径 1-2-4计算-e响应，有： D 1- 4 D 1- 4 1 n D e 1- 4 = + 2( ) E 2K 得到： e4=e1-De1-4； 4=1-D1-4。
17
反映加载路径的是D-De曲线， D 1- 2 D 1- 2 1 n + 2( ) 即：D e 1- 2 = E 2K
已知De1-2= e1-e2 。可求D1-2； 从 1到 2是卸载，则2处有： e2=e1-De1-2 2=2-D1-2
e
1 3
2 5 2’ 7 7' 6 8 5'
B B' C D' D
加载ABD, 卸、加载曲线ABCB‟D。
材料记得曾为反向加载所中断 的应力-应变路径。
A
e
材料的记忆规则为： 1) 应变第二次到达某处,该处曾发生过应变反向， 则形成封闭环。 (封闭环B-C-B‟)
2) 过封闭环顶点后，-e路径不受封闭环的影响, 记得原来的路径。原路径A-B-D.
0
ea
循环应力-应变曲线
a
K
)1 n
K为循环强度系数，应力量纲(MPa)； n‟为循环应变硬化指数，无量纲。
弹性应变幅eea、塑性应变幅epa分别为：
a = Ee ea
a = K ' (e pa )
13
n
Cyclic stress-strain curve may be obtained from tests by using the samples method, in which a series of specimen are tested at various strain levels until the hysteresis loops become stabilized, than the stable hysteresis loops are superimposed and the tips of the loops are connected as shown in figure. 循环应力-应变曲线可用多试样法由 试验确定。这种方法是用一系列相 同试样在不同的应变水平下试验， 直到滞后环稳定，然后将这些稳态 环叠在一起，连接其顶点如图。
应变--寿命法假定在应变控制下试验的光滑试件 可以模拟工程构件缺口根部的疲劳损伤。如果承 受相同的应力--应变历程，则缺口根部材料有与 光滑件相同的疲劳损伤（和疲劳寿命）。
5
问题：
循环载荷下，应变如何分析？ 应变-寿命关系如何描述？
思路：
单调应力应变关系
应变疲劳 寿命预测 循环应力应变行为 缺口应变 分析 循环应力 作用下的 应变响应 应变疲劳 性能
可见，=S(1+e)＞S，相对误差为： (-S)/S=e, 故e越大，(-S)越大。e=0.2%时，比S大0.2%。
e是小量，展开得：e=ln(1+e)=e-e2/2+e3/3-…＜e, e比e小，相对误差为： (e-e)/e=e/2。
e＜0.01时，与S，e与e相差小于1%，可不加区别。
第四章 应变疲劳
4.1 单调应力-应变响应
4.2 滞后环和循环应力-应变响应
4.3 材料的记忆特性与变幅循环 响应计算 4.4 应变疲劳性能 4.5 缺口应变分析
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第四章 应变疲劳
研究应变-寿命关系
应变疲劳或低周应变疲劳:
载荷水平高 (>ys)，寿命短 (N＜104)。
The strain-life method is based on the observation that in many components the response of the material in critical locations (notches) is strain or deformation dependent.
19
8-1‟ 加载。注意有封闭环7-8-7‟，5-6-5„, 1-4-1‟；
许多构件中关键部位（缺口）的材料响应与应变 或变形相关，应变-寿命方法正是以此为基础的。
2
When load levels are low, stress and strain are 高载荷水平： related. Consequently, in this range, loadlinearly high load level 应力变化小，难于控制； controlled and strain-controlled tested results are 应变变化大，利于控制。 equivalent. At high load levels, in the low cycle fatigue region, thelevel 低载荷水平： response and low load cyclic stress-strain 应力控制和应变控等效。 the material behavior are best modeled under 0 e strain-controlled conditions.
4-5 加载。已知De4-5 , 求D4-5， 得到：e5=e4+De4-5 ;
e
1 3 2 5 2’ 7 7' 6 4 8 5'
1'
0
t
5=4+D4-5。
5-6 卸载。已知De5-6 , 求D5-6。进而求得 e6、 6。 6-7 加载。已知De6-7 , 求D6-7。进而求得 e7、 7。 7-8 卸载。已知De7-8 ,求D7-8。可得：e8、8。
9
2. monotonic stress-strain curve
均匀变形阶段，-e曲线上任一点 的应变e，均可表示为：
A
e=ee+ep
0
ep
ee
e
-ee关系用Hooke定理表达为：=Eee
-ep关系用Holomon关系表达为：=K(ep)n Remberg-Osgood 弹塑性应力-应变关系：
6
4.1 单调应力-应变响应 monotonic stress-strain response 1. Basic definitions:
A0 A
P d l
工程应力S: Engineering stress
工程应变e: Engineering strain
P S= A 0
D l l -l 0 e= = l0 l0
载荷水平低的时候，应力和应变是线性相关的。 因此，在这一范围内，应力控制和应变控制试验 的结果等效。在高载荷水平，即低周疲劳范围内， 循环应力应变响应和材料的性能在应变控制条件 下模拟更好。
3
Although most engineering structures and components are designed such that the nominal loads remain elastic, stress concentration may cause plastic strain to develop in the vicinity of notches. 尽管大部分工程结构和构件设计的名 义载荷是保持弹性的，应力集中也会在缺 口附近引起塑性应变。
deformed
S-e
0 均匀变形
应变
8
工程应力、应变与真应力、真应变间关系பைடு நூலகம்
在均匀变形阶段，忽略弹性体积变化，假定变 形后体积不变，A0l0=Al，则有关系：
=P/A=Pl/A0l0=(P/A0)[(l0+Dl)/l0]=S(1+e) e=ln(1+e)=ln(l /l0)=ln(A0/A)=ln[100/(100-RA)]
d0
l0
original
deformed
P
材料纵向伸长，横向缩小。真应力、真应变?
7
真应力 true stress:
=P A e =
l dl l0 l
A
P
d l P
l0
Dl l
真应变 true strain:
dl
P
且有： l dl 应力 -e e = l0 l l 0+Dl = ln( l l ) = ln( ) = ln(1+ e ) ys 0 l0 到颈缩前，变形是均匀的。 忽略弹性体积变化，可假定 均匀变形阶段后体积不变。
e = ee + e p =
+( ) E K
1n
K为强度系数，应力量纲(MPa);
n为应变硬化指数，无量纲。 n=0，理想塑性材料。
10
4.2 滞后环和循环应力-应变响应
Monotonic stress-strain curves have long been used to obtain design parameters for limiting stress on engineering structures and components subjected to static loading. Similarly, cyclic stress-strain curves are useful for assessing the durability of structures and components subjected to repeated loading. 单调应力--应变曲线长期用于承受静载作用的工程 结构和构件，以获得极限应力设计参数。类似地， 循环应力--应变曲线用于评价承受重复载荷作用的 结构和构件的耐久性。
N，a，循环硬化；反之，为循环软化。
一般说来，低强度、软材料趋于循环硬化； 高强度、硬材料趋于循环软化。
12
2. 循环a-ea曲线
各稳态滞后环顶点连线。 注意：循环a-ea曲线， 不反映加载路径。 循环a-ea曲线的数学描述：
e a = e ea + e pa = a
E +(
a
a-e a -e
16
2. 变幅循环下的-e响应计算
已知变应变循环历程，取从最 大峰或谷起止的典型谱段，分 析其稳态应力响应。
0-1 第一次加载，稳态响应 由a-ea曲线描述。
e
1 3 2 0 6 8 1'
5
2’ 7
5'
7'
t
e1 = ( 1 E ) + (1 K )
1 n
4
已知e1，用数值方法可解出1。 1-2 卸载。已知载荷反向的变程De1-2 , 求D1-2。
e ea
De Dee Dep D D 1n D D 1 n = + = + ( ) 或者 De = + 2 ( ) 2K E 2 2 2 2E 2K 同样，若用应变表示应力，则有：
D=EDee
和
D=2K‟(Dep /2)n'
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4.3 材料的记忆特性与变幅循环响应计算
1. 材料的记忆特性
a a-e a -e 0 ea
循环应力-应变曲线
14
3. 滞后环曲线 (D-De曲线)
反映加载路径。若拉压性能 对称，考虑半支即可。 以o'为原点，考虑上半支。 假设D-De曲线与a-ea曲线 几何相似，滞后环曲线为：
D D-De e ea epa 0
0'
a
a-e a
epa ea De
4.2 滞后环和循环应力-应变响应
1. 滞后环 hysteresis loops 在ea=const的对称循环下， 应力、应变的连续变化。
a
可知： 0 ea 1)-e响应随循环次数改变。 N=2 稳态环 100 2)一定周次后有稳态滞后环。 低碳钢的循环应力应变响应 3)有循环硬化和软化现象。
4
P The strain-life method assume that smooth specimen tested under strain control can simulate fatigue damage at the notch root of an engineering component. Equivalent fatigue damage (and fatigue life) is assumed to occur in the material at the notch root and in the smooth specimen when both are subjected to identical p stress-strain histories.
1'
0
t
4
2-3 加载。已知De2-3, 由滞后环曲线可求 D2-3。 对于加载，有：e3=e2+De2-3； 3=2+D2-3。 3-4 卸载。经过2‟处时，应变曾在该处 (2处)发生 过反向，由记忆特性知2-3-2‟形成封闭环， 且不影响其后的-e响应。
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按路径 1-2-4计算-e响应，有： D 1- 4 D 1- 4 1 n D e 1- 4 = + 2( ) E 2K 得到： e4=e1-De1-4； 4=1-D1-4。
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反映加载路径的是D-De曲线， D 1- 2 D 1- 2 1 n + 2( ) 即：D e 1- 2 = E 2K
已知De1-2= e1-e2 。可求D1-2； 从 1到 2是卸载，则2处有： e2=e1-De1-2 2=2-D1-2
e
1 3
2 5 2’ 7 7' 6 8 5'
B B' C D' D
加载ABD, 卸、加载曲线ABCB‟D。
材料记得曾为反向加载所中断 的应力-应变路径。
A
e
材料的记忆规则为： 1) 应变第二次到达某处,该处曾发生过应变反向， 则形成封闭环。 (封闭环B-C-B‟)
2) 过封闭环顶点后，-e路径不受封闭环的影响, 记得原来的路径。原路径A-B-D.
0
ea
循环应力-应变曲线
a
K
)1 n
K为循环强度系数，应力量纲(MPa)； n‟为循环应变硬化指数，无量纲。
弹性应变幅eea、塑性应变幅epa分别为：
a = Ee ea
a = K ' (e pa )
13
n
Cyclic stress-strain curve may be obtained from tests by using the samples method, in which a series of specimen are tested at various strain levels until the hysteresis loops become stabilized, than the stable hysteresis loops are superimposed and the tips of the loops are connected as shown in figure. 循环应力-应变曲线可用多试样法由 试验确定。这种方法是用一系列相 同试样在不同的应变水平下试验， 直到滞后环稳定，然后将这些稳态 环叠在一起，连接其顶点如图。
应变--寿命法假定在应变控制下试验的光滑试件 可以模拟工程构件缺口根部的疲劳损伤。如果承 受相同的应力--应变历程，则缺口根部材料有与 光滑件相同的疲劳损伤（和疲劳寿命）。
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问题：
循环载荷下，应变如何分析？ 应变-寿命关系如何描述？
思路：
单调应力应变关系
应变疲劳 寿命预测 循环应力应变行为 缺口应变 分析 循环应力 作用下的 应变响应 应变疲劳 性能
可见，=S(1+e)＞S，相对误差为： (-S)/S=e, 故e越大，(-S)越大。e=0.2%时，比S大0.2%。
e是小量，展开得：e=ln(1+e)=e-e2/2+e3/3-…＜e, e比e小，相对误差为： (e-e)/e=e/2。
e＜0.01时，与S，e与e相差小于1%，可不加区别。
第四章 应变疲劳
4.1 单调应力-应变响应
4.2 滞后环和循环应力-应变响应
4.3 材料的记忆特性与变幅循环 响应计算 4.4 应变疲劳性能 4.5 缺口应变分析
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第四章 应变疲劳
研究应变-寿命关系
应变疲劳或低周应变疲劳:
载荷水平高 (>ys)，寿命短 (N＜104)。
The strain-life method is based on the observation that in many components the response of the material in critical locations (notches) is strain or deformation dependent.
19
8-1‟ 加载。注意有封闭环7-8-7‟，5-6-5„, 1-4-1‟；
许多构件中关键部位（缺口）的材料响应与应变 或变形相关，应变-寿命方法正是以此为基础的。
2
When load levels are low, stress and strain are 高载荷水平： related. Consequently, in this range, loadlinearly high load level 应力变化小，难于控制； controlled and strain-controlled tested results are 应变变化大，利于控制。 equivalent. At high load levels, in the low cycle fatigue region, thelevel 低载荷水平： response and low load cyclic stress-strain 应力控制和应变控等效。 the material behavior are best modeled under 0 e strain-controlled conditions.
4-5 加载。已知De4-5 , 求D4-5， 得到：e5=e4+De4-5 ;
e
1 3 2 5 2’ 7 7' 6 4 8 5'
1'
0
t
5=4+D4-5。
5-6 卸载。已知De5-6 , 求D5-6。进而求得 e6、 6。 6-7 加载。已知De6-7 , 求D6-7。进而求得 e7、 7。 7-8 卸载。已知De7-8 ,求D7-8。可得：e8、8。
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2. monotonic stress-strain curve
均匀变形阶段，-e曲线上任一点 的应变e，均可表示为：
A
e=ee+ep
0
ep
ee
e
-ee关系用Hooke定理表达为：=Eee
-ep关系用Holomon关系表达为：=K(ep)n Remberg-Osgood 弹塑性应力-应变关系：
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4.1 单调应力-应变响应 monotonic stress-strain response 1. Basic definitions:
A0 A
P d l
工程应力S: Engineering stress
工程应变e: Engineering strain
P S= A 0
D l l -l 0 e= = l0 l0
载荷水平低的时候，应力和应变是线性相关的。 因此，在这一范围内，应力控制和应变控制试验 的结果等效。在高载荷水平，即低周疲劳范围内， 循环应力应变响应和材料的性能在应变控制条件 下模拟更好。
3
Although most engineering structures and components are designed such that the nominal loads remain elastic, stress concentration may cause plastic strain to develop in the vicinity of notches. 尽管大部分工程结构和构件设计的名 义载荷是保持弹性的，应力集中也会在缺 口附近引起塑性应变。
deformed
S-e
0 均匀变形
应变
8
工程应力、应变与真应力、真应变间关系பைடு நூலகம்
在均匀变形阶段，忽略弹性体积变化，假定变 形后体积不变，A0l0=Al，则有关系：
=P/A=Pl/A0l0=(P/A0)[(l0+Dl)/l0]=S(1+e) e=ln(1+e)=ln(l /l0)=ln(A0/A)=ln[100/(100-RA)]
d0
l0
original
deformed
P
材料纵向伸长，横向缩小。真应力、真应变?
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真应力 true stress:
=P A e =
l dl l0 l
A
P
d l P
l0
Dl l
真应变 true strain:
dl
P
且有： l dl 应力 -e e = l0 l l 0+Dl = ln( l l ) = ln( ) = ln(1+ e ) ys 0 l0 到颈缩前，变形是均匀的。 忽略弹性体积变化，可假定 均匀变形阶段后体积不变。
e = ee + e p =
+( ) E K
1n
K为强度系数，应力量纲(MPa);
n为应变硬化指数，无量纲。 n=0，理想塑性材料。
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4.2 滞后环和循环应力-应变响应
Monotonic stress-strain curves have long been used to obtain design parameters for limiting stress on engineering structures and components subjected to static loading. Similarly, cyclic stress-strain curves are useful for assessing the durability of structures and components subjected to repeated loading. 单调应力--应变曲线长期用于承受静载作用的工程 结构和构件，以获得极限应力设计参数。类似地， 循环应力--应变曲线用于评价承受重复载荷作用的 结构和构件的耐久性。
N，a，循环硬化；反之，为循环软化。
一般说来，低强度、软材料趋于循环硬化； 高强度、硬材料趋于循环软化。
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2. 循环a-ea曲线
各稳态滞后环顶点连线。 注意：循环a-ea曲线， 不反映加载路径。 循环a-ea曲线的数学描述：
e a = e ea + e pa = a
E +(
a
a-e a -e
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2. 变幅循环下的-e响应计算
已知变应变循环历程，取从最 大峰或谷起止的典型谱段，分 析其稳态应力响应。
0-1 第一次加载，稳态响应 由a-ea曲线描述。
e
1 3 2 0 6 8 1'
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2’ 7
5'
7'
t
e1 = ( 1 E ) + (1 K )
1 n
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已知e1，用数值方法可解出1。 1-2 卸载。已知载荷反向的变程De1-2 , 求D1-2。
e ea
De Dee Dep D D 1n D D 1 n = + = + ( ) 或者 De = + 2 ( ) 2K E 2 2 2 2E 2K 同样，若用应变表示应力，则有：
D=EDee
和
D=2K‟(Dep /2)n'
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4.3 材料的记忆特性与变幅循环响应计算
1. 材料的记忆特性
a a-e a -e 0 ea
循环应力-应变曲线
14
3. 滞后环曲线 (D-De曲线)
反映加载路径。若拉压性能 对称，考虑半支即可。 以o'为原点，考虑上半支。 假设D-De曲线与a-ea曲线 几何相似，滞后环曲线为：
D D-De e ea epa 0
0'
a
a-e a
epa ea De