第2章正弦交流电路2

结论:
O
ωt
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p 0 （耗能元件）,且随时间变化。
(2) 平均功率(有功功率)P
瞬时功率在一个周期内的平均值
T T
i
+ u _
R
1 1 P p dt u i dt T 0 T 0 p p 大写 T 1 1 U m I m (1 cos 2 ω t ) dt T 0 2 1 T UI (1 cos2 ω t )d t UI O T 0 2 U 2 单位:瓦（W） P UI I R R
注意
Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。
Z Z R j X L XC
U 2 2 R ( X L XC ) 阻抗模： Z I X L XC ω L 1 / C arctan 阻抗角： ψu ψi arctan R R
由电路参数决定。
则：
jI 1 jI X U C ωC
相量图
U
电容电路中复数形式的欧姆定律
2.功率关系 由 u 2Usinω t
i
+
u _ C
i
2Uω C sin( ω t 90)
(1) 瞬时功率
p i u Um I m sinω t sin( ω t 90) Um Im sin 2 ω t UI si n2 ω t 2 (2) 平均功率 Ｐ
一般电阻器、电容器都按标准化系列生产。
单一参数电路中的基本关系
参数
阻抗 基本关系 相量式 相量图
R L
R
u iR
U IR
U jX L I
I
U
U
di jX L jω L u L dt
1 jX C j ωC
I I
U
C
du i C U jX C I dt
0
u 2Usin t ω
设
L u
+ -
i 2 Isin t ω
di uL dt
jX L
则
U IX L X L L
I U jIX L
UI
u 2 Iω L si n ( t 90 )
0
I2XL
u领先 i 90°
i
设
i C du dt
C
+ u -
jX C 则 U jIXC U IX C U u 2 Iω C X C 1 / c si n ( t 90 ) u落后 i 90°
所以电感元件具有通低频阻高频的特性 练习题： 1.一只L=20mH的电感线圈，通以 的电流 i 5 2sin(314 30)A t 求(1)感抗XL;(2)线圈两端的电压u; (3)有功功率和无功功率。
2.3.3 电容元件的交流电路
1.电流与电压的关系
i
du + 基本关系式： i C u C dt _ 设： 2 U sin ω t u 则： C du 2 UC ω cos ω t i 电流与电压 dt 的变化率成
相量图 相量式：
I
U
I I 0 U U 0 IR
2. 功率关系 (1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i 2 I sin ω t u 2 U sin ω t
小写
u i
i u
O p
ωt p
p ui 2 Um I m sin ω t
1 U m I m (1 cos 2 ω t ) 2
i 2 Isin t ω
I
UI
0
- I 2 XC
2.4 R、L、C串联的交流电路
1. 电流、电压的关系 直流电路两电阻串联时 i + + U IR IR
R L C
uR _
+
1
2
u
_
RLC串联交流电路中
uL _
+
设： i
2 I sinω t
uC
_
U ? + IL + I 1/ C =IR
U I XL
直流：f = 0, XL =0，电感L视为短路 XL 交流：f
X L 2 π fL
电感L具有通直阻交的作用
XL ω L 2 π f L
根据： i 感抗XL是频率的函数
I , XL
I
U 2fL
XL
O 2I sinω t u 2I ω L sin ( ω t 90 ) I I 0 可得相量式： U U 90 Iω L 90
f
U 超前 I 90
U
U U 则： 90 jL I I U jI ω L I (jX L )
相量图
I
电感电路复数形式的欧姆定律
2. 功率关系 (1) 瞬时功率
i 2I sinω t u 2I ω L sin ( ω t 90 )
U L I (jX L ) U I ( jX )
C C
U
jXL -jXC
UL
则 U IR R
_
UC _
U IR I (j X L ) I ( jX C ) 总电压与总电流 的相量关系式 I R j X X
L是非耗 能元件
p 分析：瞬时功率 ： i u UI sin2 ω t
u i
o
i u 可逆的能量 转换过程 p +
u
+
i
u
+
i u +
i
结论： 纯电感不消 ωt 耗能量，只和 电源进行能量 交换（能量的 吞吐)。
+ p <0 + p <0
o
p >0
p >0
电感L是储 ωt 能元件。
交流电路、U I与参数R、L、C、 间的关系如何？
2.4 R、L、C串联的交流电路
1. 电流、电压的关系 i (1) 瞬时值表达式 + + 根据KVL可得：
R
uR _
+ +
u uR uL uC
di 1 iR L dt C
u
_
L C
uL _
uC
_
id t
i 设：
2 I sinω t
则 u 2 IR si nω t
为同频率 正弦量
2 I ( ω L) si n( ω t 90) 1 2I ( ) si n(ω t 90) ωC
(2)相量法
I
1)相量式
+ UR _ + _ +
+
R
U U R U L UC 设 I I0 （参考相量）
则:
1 U I ωC
U I XC
直流： C X 交流：f
1 XC 2π f C
，电容C视为开路
XC
所以电容C具有隔直通交的作用
1 XC 2π fC
容抗XC是频率的函数 由： u
I , XC
XC
1 ωC
I U (2 π f C )
O f 2Usinω t i 2Uω C sin( ω t 90) 可得相量式 U U 0 I 超前 U 90 I 90 jUω C I I
X L 2fL 2 3.14 50 0.1 31.4 Ω
U 10 I 318m A XL 31.4
（2）当 f = 5000Hz 时
X L 2fL 2 3.14 5000 0.1 3140 Ω
U 10 I 3.18m A XL 3140
P
ωt
注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。
2.3.2 电感元件的交流电路
1. 电压与电流的关系 di 基本关系式： e L L u
i
+
L
设： 2 I sin ω t i
dt
u
eL
d( I msinω t ) uL dt 2 Iω L sin(ω t 90)
-
+
2 U sin( ω t 90)
1 P T 1 T

T
0 T
p dt UI si n (2 ω t ) dt 0
C是非耗 能元件
0
p 瞬时功率 ： i u UI sin2 ω t
u,i o i u
i
u p +
i
+
u -
u
+
i
u
+
i
结论： 纯电容不消 ωt 耗能量，只和 电源进行能量 交换（能量的 吞吐)。
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 阻抗 参数 (参考方向) 关系
i 设 + u i
电压、电流关系 瞬时值 有效值
功 相量图 相量式 率
有功功率 无功功率
i 2 Isin t ω
u iR R
I
U
R
则
U IR
u、 i 同相
U IR I 2 R
U
UI
Q UI I 2 X C
单位：var
U2 XC
【练习】 指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？ 在电阻电路中： 在电感电路中： 在电容电路中：
U I R U i R
u i XL
U I ωL
U j ωL I
U I ωC
u i XC
u i R
U I R
2 U ωC sin( t 90) ω
u i
正比。
u i
90
(1) 频率相同 (2) I =UC ωt (3)电流超前电压90 相位差 ψ u ψ i 90
u 2Usinω t i 2Uω C sin( ω t 90)
有效值
I U ω C 或 1 1 定义： XC 容抗（Ω ） ωC 2 π f C
L C
根据 U I R j X L X C
令 Z R j X L XC 则 阻抗 复数形式的 欧姆定律
U IZ
U U u U Z Z u i I I i I
Z 的模表示 u、i 的大小关系，辐角（阻抗角） 为 u、i 的相位差。
2.3 单一参数的交流电路
2.3.1 电阻元件的交流电路
1. 电压与电流的关系 根据欧姆定律: u iR 设 u U msinω t
+ u _
i
R
u U msinω t 2U i sinω t R R R Imsin ω t 2 I sin ω t
(1) 频率相同 U I (2)大小关系： R (3)相位关系 ：u、i 相位相同 相位差 ： u i 0
电路参数与电路性质的关系：
当 XL >XC 时， > 0 ，u 超前 i 当 XL < XC 时 ， < 0 ， u 滞后 i 当 XL = XC 时 ， = 0 ， u. i 同相 呈感性 呈容性 呈电阻性
储能 放能 储能 放能
(3) 无功功率 Q 用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时功率 达到的最大值表征，即 p 瞬时功率 ： i u UI sin2 ω t
Q U I I XL U
2
2
XL
单位：var
例1: 把一个0.1H的电感接到 f=50Hz, U=10V的正弦 电源上，求I，如保持U不变，而电源 f = 5000Hz, 这时I为多少？ 解： (1) 当 f = 50Hz 时
u i u i
90
O
ωt
(1) 频率相同 (2) U =I L (3) 电压超前电流90 相位差 ψu ψi 90
i 2I sinω t u 2I ω L sin ( ω t 90 )
有效值: U I ω L
U 或 I L
感抗(Ω )
定义： X L L 2 f L 则:
UI si n2 ω t (2) 平均功率
p i u Um I m sinω t sin( ω t 90) Um Im U m I m sin ω t cos ω t sin 2 ω t 2
1 T P p dt T o 1 T UI si n (2ω t ) dt 0 T o
U jX L I
di U XL u L dt I u i ωL
I U jω C
U 1 I jω C
实际的电阻、电容 电阻的主要指标 电容的主要指标 1. 标称值 1. 标称值 2. 额定功率 2. 耐压 3. 允许误差 3. 允许误差 种类: 种类: 碳膜、金属膜、 云母、陶瓷、涤纶 线绕、可变电阻 电解、可变电容等
所以电容C是储 能元件。
+ p <0
o
+ p <0
p >0
p >0
ωt
充电 放电 充电 放电
(3) 无功功率 Q 为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设
i 2I sinω t 则：u 2Usin ( ω t 90 )
所 以p UI si n2 t ω
同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。