高中数学 角的概念的推广导学案(扫描版)北师大版必修4
北师大版数学高一(北师大)必修4学案 1.2角的概念的推广
三角函数1.2角的概念的推广自主学习一、学习目标（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。
二、自学引导角的定义：______________________________________________。
角的分类：________、_________、__________ 。
象限角的定义：____________________________________。
所有与角α终边相同的角的表示方法：___________________。
知识点一象限角例1.判断下列各角是第几象限角.(1)—60°；(2)585°；(3)—950°12’．变式迁移1与—496°终边相同的角是________，它是第________ 象限的角，它们中最小正角是________，最大负角是________。
知识点二终边相同的角例2．在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（α用0°～360°的角表示）.例3．写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜270°的元素β写出来.变式迁移2若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是________；若α与β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是________；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是________；若角α是第二象限角，则180°—α是第________象限角。
课堂小结通过本节学要知道角的分类有正角、负角、零角。
以及象限角的定义是一个角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角，还要重点掌握住终边相同的角的表示方法，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}。
高中数学必修四角的概念的推广教案北师大版Word版
教学设计2 角的概念的推广整体设计教学分析教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务.学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“分析理解”栏目及“分析理解”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式,也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义.三维目标1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念.2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义.3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础.重点难点教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合.教学难点:用集合来表示终边相同的角.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)可由学生所熟悉的游戏引入,激起学生的探求兴趣.如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度,自行车车轮旋转的角度,螺丝扳手的旋转角度,这些角度都怎样解释?在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广,进而引入角的概念的推广的问题.图1思路2.(复习导入)回忆初中我们是如何定义一个角的?所学的角的范围是什么?用这些角怎样解释现实生活的一些现象,比如你原地转体一周的角度,应怎样修正角的定义才能解释这些现象?由此让学生展开讨论,进而引入角的概念的推广问题.推进新课知识探究提出问题①你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确?假如你的手表快了1.25小时,你应当怎样将它调整准确?当时间调整准确后,分针转过了多少度角?②体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度?③请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立,做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中,他们各转体了多少度?活动:让学生到讲台利用准备好的教具——钟表,实地演示拨表的过程.让学生站立原地做转体动作.教师强调学生观察旋转方向和旋转量,并思考怎样表示旋转方向.对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,设一条射线的端点是O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB,则形成了一个角α,点O是角的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边和终边.如图2.图2我们规定:一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫作正角,按顺时针方向旋转形成的角叫作负角.钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角,为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记作“α”.如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转,终止位置OB与起始位置OA重合,我们称这样的角为零度角,又称零角,零角的始边和终边重合,如果α是零角,记作α=0°.讨论结果:①顺时针方向旋转了30°;逆时针方向旋转了450°.②顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1 260°……提出问题①能否以同一条射线为始边作出下列角:210°,-45°,-150°.②如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思?0°角又是什么意思?活动:先让学生看书、思考、并讨论这些问题,教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生,教师提示、引导考虑问题的思路.学生作这样的角,使用一条射线作为始边,没有固定的参照,所以会作出很多形式不同的角.教师可以适时地提醒学生:如果将角放到平面直角坐标系中,问题会怎样呢?并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处:使角的讨论得到简化,还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象.今后我们在坐标系中研究和讨论角,为了讨论问题的方便,我们使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.讨论结果:①能.如图3.图3②使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.这样:210°角是第三象限角;-45°角是第四象限角;-150°角是第三象限角.特别地,终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限,比如0°角.可以借此进一步设问:锐角是第几象限角?钝角是第几象限角?直角是第几象限角?反之如何?将角按照上述方法放在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一一条终边与之对应,反之,对于直角坐标系中的任意一条射线OB,以它为终边的角是否唯一?如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系?提出问题①在直角坐标系中标出210°,-150°的角的终边,你有什么发现?它们有怎样的数量关系?328°,-32°,-392°角的终边及数量关系是怎样的?终边相同的角有什么关系?②所有与α终边相同的角,连同角α在内,怎样用一个式子表示出来?活动:让学生从具体问题入手,探索终边相同的角的关系,再用所准备的教具或是多媒体给学生演示:演示象限角、终边相同的角,并及时地引导:终边相同的一系列角与0°到360°间的某一角有什么关系,从而为终边相同的角的表示作好准备.为了使学生明确终边相同的角的表示方法,还可以用教具作一个32°角,放在直角坐标系内,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,形成-32°角后提问学生这是第几象限角?是多少度角?学生对后者的回答是多种多样的.至此,教师因势利导,予以启发,学生对问题探究的结果已经水到渠成,本节难点得以突破.同时学生也在这一学习过程中,体会到了探索的乐趣,激发起了极大的学习热情,这是比学习知识本身更重要的.讨论结果:①210°与-150°角的终边相同;328°,-32°,-392°角的终边相同.终边相同的角相差360°的整数倍.设S={β|β=-32°+k·360°,k∈Z},则328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S的元素(此时k=0).因此,所有与-32°角的终边相同的角,连同-32°在内,都是集合S的元素;反过来,集合S的任何一个元素显然与-32°角终边相同.②所有与α终边相同的角,连同角α在内,可以构成一个集合S={β|β=k·360°+α,k∈Z}, 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.教师适时引导学生认识:①k∈Z;②α是任意角;③终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.应用示例例1 判定下列各角是第几象限角:(1)-60°;(2)585°;(3)-950°12′.解:(1)因为-60°角的终边在第四象限,所以它是第四象限角.(2)因为585°=360°+225°,所以585°与225°角的终边重合,而225°的终边在第三象限,所以585°是第三象限角.(3)因为-950°12′=(-2)·360°-230°12′,而-230°12′的终边在第二象限,所以-950°12′是第二象限角.变式训练在0°—360°范围内,找出与-950°12′角终边相同的角,并判定它是第几象限角.解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范围内,与-950°12′角终边相同的角是129°48′,它是第二象限的角.点评:教师可引导学生先估计-950°12′大致是360°的几倍,然后再具体求解.例2 在直角坐标系中,写出终边在y轴上的角的集合.(用0°—360°的角表示)活动:终边落在y轴上,应分y轴的正方向与y轴的负方向两个.学生很容易分别写出所有与90°,270°的终边相同的角构成集合,这时应启发引导学生进一步思考:能否化简这两个式子,用一个式子表示出来.让学生观察、讨论、思考,并逐渐形成共识,教师再规范地板书出来.并强调数学的简捷性.在数学表达式子不唯一的情况下,注意采用简约的形式.解:在0°—360°范围内,终边在y轴上的角有两个,即90°和270°角,如图4.图4因此,所有与90°的终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z}.而所有与270°角的终边相同的角构成集合S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z}.于是,终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.点评:本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示.教学中,应引导学生体会用集合表示终边相同的角时,表示方法不唯一,要注意采用简约的形式.变式训练写出终边在坐标轴上的角的集合.答案:S={β|β=n·90°,n∈Z}.3.写出与60°角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来.解:S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.S中适合-360°≤β＜720°的元素是:60°-1×360°=-300°,60°+0×360°=60°,60°+1×360°=420°.变式训练写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来.解:如图5,在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴夹角是45°,在0°—360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个:45°和225°,因此,终边在直线y=x上的角的集合图5S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}.S中适合-360°≤β＜720°的元素是:45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.点评:本例是让学生表示终边在已知直线的角,并找出某一范围的所有的角,即按一定顺序取k 的值,应训练学生掌握这一方法.例4 写出在下列象限的角的集合:①第一象限; ②第二象限; ③第三象限; ④第四象限.活动:本题关键是写出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此类推即可,如果学生阅读例题后没有解题思路,或者把①中的范围写成0°—90°,可引导学生分析360°—450°范围的角是不是第一象限的角呢?进而引导学生写出所有终边相同的角.解:①终边在第一象限的角的集合:{β|n·360°＜β＜n·360°+90°,n∈Z}.②终边在第二象限的角的集合:{β|n·360°+90°＜β＜n·360°+180°,n∈Z}.③终边在第三象限的角的集合:{β|n·360°+180°＜β＜n·360°+270°,n∈Z}.④终边在第四象限的角的集合:{β|n·360°+270°＜β＜n·360°+360°,n∈Z}.点评:教师给出以上解答后可进一步提问:以上的解答形式是唯一的吗?充分让学生思考、讨论后形成共识,并进一步深刻理解终边相同角的意义.知能训练课本习题1—2 1、2.课堂小结提问的方式与学生一起回顾顺理本节所学内容并简要总结.让学生自己回忆:本节课都学习了哪些新知识?你是怎样获得这些新知识的?你从本节课上都学到了哪些数学方法?让学生自己得到以下结论:本节课推广了角的概念,学习了正角、负角、零角的定义,象限角的概念以及终边相同的角的表示方法,零角是射线没有作任何旋转.一个角是第几象限的角,关键是看这个角的终边落在第几象限,终边相同的角的表示有两方面的内容:(1)与角α终边相同的角,这些角的集合为S={β|β=k·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°内找与已知角终边相同的角α,其方法是用所给的角除以360°,所得的商为k,余数为α(α必须是正数),α即为所找的角.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法,也是我们学习本章知识的常用思想方法,要细心领悟.作业①习题1—2 3.②预习下一节:弧度制.设计感想1.本节课设计的容量较大,学生的活动量也较大,若用信息技术辅助教学效果会很好.教师可充分利用多媒体做好课件,在课堂上演示给学生;有条件的学校,可以让学生利用计算机或计算器进行探究,让学生在动态中掌握知识、提炼方法.2.本节设计的指导思想是充分利用实际背景加强直观.利用几何直观有利于对抽象概念的理解.在学生得出象限角的概念后,可以充分让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处.前瞻性地引导学生体会:在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律,为研究三角函数的周期性奠定基础.3.几点说明:(1)列举不在0°—360°的角时,应注意所有的角在同一个平面内,且终边在旋转的过程中,角的顶点不动.(2)在研究终边相同的两个角的关系时,k的正确取值是关键,应让学生独立思考领悟.(3)在写出终边相同的角的集合时,可根据具体问题,对相应的集合内容进行复习.习题详解习题1—21.点拨:由锐角的集合(0°,90°);第一象限角的集合{x|k·360°＜x＜k·360°+90°，k∈Z}可知,锐角是第一象限角,而第一象限角不一定是锐角,对于直角不属于任何象限,轴线角不一定是直角.钝角是第二象限角,第二象限角不一定是钝角.2.解:①-54°18′=-1×360°+305°42′,故0°到360°范围内与其终边相同的角为305°42′,第四象限角.②395°8′=1×360°+35°8′,故0°到360°范围内与其终边相同的角为35°8′,第一象限角.③-1 190°30′=-4×360°+249°30′,故0°到360°范围内与其终边相同的角为249°30′,第三象限角.④1 563°=4×360°+123°,故0°到360°范围内与其终边相同的角为123°,第二象限角.点拨:把角化为k·360°+α,k∈Z,0°≤α＜360°的形式,即可回答.3.解:①｛β|β=k·360°+60°,k∈Z},当-720°≤β＜360°时,β为-300°,-660°,60°②｛β|β=k·360°-45°,k∈Z｝,当-720°≤β＜360°时,β为-405°,-45°,315°.。
高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广课堂导学案北师大版必修4(1)(2021学年)
高中数学第一章三角函数1．2 角的概念的推广课堂导学案北师大版必修４(１)编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学第一章三角函数1.2 角的概念的推广课堂导学案北师大版必修4(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.２角的概念的推广课堂导学三点剖析1.任意角和象限角的概念【例１】在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”“转体两周半＂的说法,像这种动作名称表示的角度是多大？思路分析：利用角的定义及正角、负角的概念,“转体三周＂即转过3个360°（或—360°),“两周半”即２.5个３６0°（或—360°)，则问题迎刃而解.解：如果是逆时针转体,则分别是36０°×3=１080°和360°×２.５=900°；若是顺时针转体,则分别为-1 ０80°和-900°.友情提示分清正角是按逆时针转动的角，负角是按顺时针转动的角,是学习角的关键.各个击破类题演练１若将时钟拨慢5分钟,则分针转了_＿____度;时针转了＿_____度。
解析：将时钟拨慢了5分钟,分针、时针都是按逆时针方向转动，转过的是正角这时,分针转过的角度是:3６０°12=3０°；时针转过的角度是：30°12=2.5°。
答案：30 ２.５变式提升１时针走过两小时，则分针转过____＿_度.解析：分针按顺时针方向旋转,所以形成的角为负角．为—360°×2=-7２0°．答案:—7202。
北师大版高中数学必修四教学案角的概念的推广
例1在0°～360°间，找出下列终边相同角，并判断它们是第几象限角？
（1）－150°；（2）1040°；（3）－940°.
变式1：写出与下列终边相同的角的集合，并写出－720°～360°间角.
（1）120°；（2）－270°；（3）1020°.
例2写出终边在下列位置上的角的集合：
（1）y轴；（2）直线y=x.
变式：终边在坐标轴上呢？第一象限呢？
学习小结
1.角的推广；2.象限角的定义；3.终边相同角的表示；4.终边落在坐标轴时等；5.区间角表示.
第一象限角：｛α|k360oπ＜α＜k360o+90o,k∈Z
第二象限角：｛α|k360o+90o＜α＜k360o+180o,k∈Z
第三象限角:｛α|k360o+180o＜α＜k360o+270o,k∈Z
1.在0°～720°间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角
（1）－120°；（2）760°.
2.分别写出在下列位置上的角的集合：
（1）y轴负半轴； （2） 轴；
（3）第一、三象限角平分线；
（4）第四象限角平分线．
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
角的概念推广
授课时间
撰写人
学习重点
任意大小的角、正角、负角和零角概念；
学习难点
终边相同的角的集合表示和符合语言正确地表示
学习目标
1.理解任意大小的角、正角、负角和零角概念；
2.掌握终边相同的角的表示；
3.了解象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示.
教学过程
一自主学习
第四象限角{α|k360o+270o＜α＜k360o+360o,k∈Z
数学北师大版高中必修4第一章 三角函数— 第二节角的概念推广 学案
角的概念推广 学案本节课我们学习正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义.讲解范例：例1 在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角(1)120(2)640(3)95012'-︒︒-︒例2写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在︒︒-720~360间的角写出来：︒60⑴ ︒-21⑵ '︒14363⑶。
课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？0°～90°的角是锐角吗？总结有关角的集合表示．锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，0°～90°的角：{θ|0°≤θ≤90°}；小于90°角：{θ|θ＜90°}．2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？).课后作业：1.下列命题中正确的是( )A.终边在y轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.与120°角终边相同的角是( )A.－600°＋k·360°，ｋ∈ＺB.－120°＋k·360°，ｋ∈ＺC.120°＋(2k＋1）·180°，ｋ∈ＺD.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ3.若角α与β终边相同，则一定有( )A.α＋β＝180°B.α＋β＝0°C.α－β＝ｋ·360°，ｋ∈ＺD.α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z4.与1840°终边相同的最小正角为，与－1840°终边相同的最小正角是 .5.今天是星期一，100天后的那一天是星期，100天前的那一天是星期 .6.钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).7.在直角坐标系中，作出下列各角(1)360° (2)720° (3)1080° (4)1440°8.已知Ａ＝｛锐角｝，B＝｛0°到90°的角｝，C＝｛第一象限角｝，D＝｛小于90°的角｝．求:A,B,C,D9.将下列各角表示为α＋ｋ·360°（ｋ∈Ζ，0°≤α＜360°）的形式，并判断角在第几象限.(1)560°24′（2）－560°24′（3）2903°15′(4)－2903°15′（5）3900°（6）－3900°10.写出终边落在第一象限角的角集合:写出终边落在第二象限角的角集合:写出终边落在第三象限角的角集合:写出终边落在第四象限角的角集合:11.试写出终边落在X轴正半轴的所有角的集合:。
北师版数学高一-必修4学案 1.1-2 周期现象 角的概念的推广
§1周期现象§2角的概念的推广[学习目标] 1.通过实际情境，感知周期现象，能判断简单的实际问题中的周期.2.理解正角、负角、零角与象限角的概念.3.掌握终边相同角的表示方法．[知识链接]1．用精简的文字语言概括出周期现象的关键特征是什么？答间隔相同，重复出现．2．手表慢了5分钟，如何校准？手表快了0.5小时，又如何校准？答可将分针顺分针方向旋转30°；可将分针逆时针方向旋转180°.3．在初中角是如何定义的？答定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作角．定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫作角．[预习导引]1．周期现象若某一现象按照一定的规律周而复始地重复出现，那么这种现象就称为周期现象．2．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．(2)角的表示方法：①常用大写字母A、B、C等表示；②也可以用希腊字母α、β、γ等表示；③特别是当角作为变量时，常用字母x表示．(3)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角3.角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．4．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．要点一周期现象的判定例1下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？A B C D E F G12345671312111098141516171819252423222120………………………………解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.规律方法对周期现象的判断，首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．跟踪演练12015年5月1日是星期五，问2015年10月1日是星期几？解按照公历记法，2015年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2015年5月1日到2015年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2015年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期五，这一天是公历2015年10月2日，故2015年10月1日是星期四．要点二任意角概念的辨析例2在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________．答案①②④解析①0°角不属于任何象限，所以①不正确．②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．③钝角α的范围是90°＜α＜180°，显然是第二象限角，所以③正确．④锐角α的范围是0°＜α＜90°，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．规律方法判断说法错误，只需举一个反例即可．解决本题关键在于正确理解各种角的定义．随着角的概念的推广，对角的认识不能再停留在初中阶段，否则判断容易错误．跟踪演练2设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有()A．B C A B．B A CC．D(A∩C) D．C∩D＝B答案D解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.角集合表示锐角B＝{α|0°<α<90°}0°～90°的角D＝{α|0°≤α<90°}小于90°的角A＝{α|α<90°}第一象限角C＝{α|k·360°<α<k·360°＋90，k∈Z}要点三例3在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．规律方法本题要求在0°～360°范围内，找出与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础．跟踪演练3给出下列四个说法：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案D解析对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角．要点四终边相同的角的应用例4在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．解(1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，由－360°<k·360°＋10 030°<0°，得－10 390°<k·360°<－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°<k ·360°＋10 030°<360°，得－10 030°<k ·360°<－9 670°，解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k ·360°＋10 030°<720°， 得－9 670°≤k ·360°<－9 310°， 解得k ＝－26， 故所求的角为β＝670°.规律方法 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．跟踪演练4 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来．解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为：{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β<360°，即－720°≤k ·360°－1 910°<360°(k ∈Z )， ∴31136≤k <61136(k ∈Z )．故取k ＝4,5,6. k ＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°； k ＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°； k ＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限答案 D2．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°＜β＜180°}，则A ∩B 等于( ) A ．{－36°，54°}B ．{－126°，144°}C ．{－126°，－36°，54°，144°}D ．{－126°，54°} 答案 C解析令－180°＜k·90°－36°＜180°，则－144°＜k·90°＜216°，当k＝－1,0,1,2时，不等式均成立，所对应的角分别为－126°，－36°，54°，144°，故选C.3．今天是星期一，7天后的那一天是星期________，120天后的那一天是星期________．(注今天是第一天)答案一二解析用星期一，星期二，…，星期日来表示时间时，时间是以7为周期循环出现的，故7天后的那一天是星期一，120天后的那一天是星期二．4．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；∴终边落在坐标轴上的角的集合：S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识(1)一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少．一、基础达标1．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D答案D2．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在()A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处答案B3.如图，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}答案D4．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案C解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．5．已知{α|0°＜α＜360°}，α的终边与－60°角的终边关于x轴对称，则α＝________.答案60°6．下列说法中，正确的是________．(填序号)①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称．答案②⑤解析终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．7．在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．解(1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°.(2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)，∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.(3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与－2 013°终边相同也就是与147°终边相同．由－720°≤k·360°＋147°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.二、能力提升8．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是()答案C9．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角为______．答案－160°，200°解析∵2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，∴在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．10．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________.答案150°＋k·360°，k∈Z解析∵30°与150°的终边关于y轴对称，∴β的终边与150°角的终边相同．∴β＝150°＋k·360°，k∈Z.11．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．12．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．解(1)如图，直线3x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }， S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }． (2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1,0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为： 60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. 三、探究与创新13．若α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？解 ∵α是第一象限角， ∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )． (1)－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角． (2)2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )， ∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y 轴的非负半轴上． (3)k ·120°<α3<k ·120°＋30(k ∈Z )．方法一 (分类讨论)当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°<α3<n ·360°＋30°(n ∈Z )，∴α3是第一象限角；打印版 高中数学 当k＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是第二象限角； 当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角． 综上可知：α3是第一、二或第三象限角． 方法二 (几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在的区域，故α3为第一、二或第三象限角．。
北师大版必修四1.2《角的概念的推广》word学案-数学知识点总结
相关知识链接
锐角是大于0小于90的角，钝角是大于90小于180的角，平角是180角，周角是360角
教材助读
1.什么是正角、负角和零角？
2.合怎么表示所有与
终边相同的角（连同角
在内）？
3.用集合表示下面的角
（1）终边落在x轴非负半轴上的角的集合
（2）终边落在y轴非负半轴上的角的集合
（3）终边落在x轴非正半轴上的角的集合
角的概念的推广
使用说明：
1.用15分钟左右的时间，阅读课本第6~8页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；
2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成教材助读设问及自测练习。
3.通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的学习目标
【学习目标】：
3.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式—7200 3600的元素 写出来。
（1）600（2）—450（3）1303018´（4）—2250
综合应用探究
1.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式—3600 <7200的元素 写出来
2.写出在下列象限的角的集合
（1）第一象限（2）第二象限（3）第三象限（4）第四象限
（4）终边落在y轴非正半轴上的角的集合
（5）终边落在坐标轴上的角的集合
4.锐角，00~900的角，小于900的角，第一象限的角的关系？
预习自测
1.判定下列各角是第几象限角
600，6060，—9500
2.在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（用00~3600的角表示）数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形
北师大版数学必修四《周期现象与角的概念的推广》导学案(含解
北师大版数学必修四《周期现象与角的概念的推广》导学案（含解第1课时周期现象与角的概念的推广1.通过实例使学生感受自然界存在着丰富的周期现象,使学生经历数据分析以及观察散点图特征的学习过程,领悟、思考周期现象.2.观察实例,理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念及表示方法.通过类比正、负数的规定,认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用.今天是星期一,7天后是星期几21天后是星期几86天后是星期几问题1:在现实生活中,具有周期现象的实例:海水的潮汐、候鸟的迁徙、四季变化、钟摆运动、一星期的往复、物理中的简谐振动、地球绕太阳公转等.问题2:什么是角角有哪些元素怎样区分不同旋转方向所成的角平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫作角;旋转开始时的射线叫作角的边,旋转终止时的射线叫作角的边,射线的端点叫作角的顶点.为了表示不同旋转方向所形成的角,可以把按逆时针方向旋转所形成的角叫作,按顺时针方向旋转所形成的角叫作,把没有旋转的射线也看成一个角,叫作.问题3:什么是象限角各象限角怎么表示轴线角怎么表示当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与某轴的非负半轴重合,那么角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是.第一象限角的集合为;第二象限角的集合为;第三象限角的集合为;第四象限角的集合为.终边落在某轴上,角的集合为{某|某=k·180°,k∈Z},终边落在y轴上,角的集合为{某|某=k·180°+90°,k∈Z},所以终边落在坐标轴上,角的集合为.问题4:终边相同的角一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=,即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与的和.(1)终边相同角的前提条件:角的顶点在坐标原点,角的始边与某轴的重合.(2)对于终边相同的角应注意以下两点:①k是;②α是.(3)k·360°与α之间是“+”号,如k·360°-30°可看成.(k∈Z)(4)终边相同的角相等,但相等的角的终边相同,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的倍.(5)一般地,终边相同的角的表达形式.1.经过一个小时,手表上的时针旋转了().A.30°B.-30°C.15°D.-15°2.下列自然现象:月亮东升西落,气候的冷暖,昼夜变化,火山爆发.其中是周期现象的有().A.1个B.2个C.3个D.4个3.角-950°12'的终边(除端点外)在第象限.360°≤β<720°的元素β写出来.周期现象的简单应用如果今天是星期一,那么从明天算起,第100天是星期().A.二B.三C.四D.五终边相同的角在0°~360°之间,求出与下列各角终边相同的角,并判断下列各角是第几象限角.(1)825°17';(2)-1046°.根据已知角的范围求等分角的范围若α是第一象限角,则可能是第几象限角游乐场中的摩天轮有10个座舱,每个座舱最多乘4人,每30min转一圈,请估算16h内最多有多少人乘坐.(1)写出与25°角终边相同的角的集合;(2)在(1)的集合中,将适合不等式-1080°已知角α∈(0°,360°),且6α与240°角的终边相同,求α的所有可能取值.1.下列哪个不是周期现象().A.挂在弹簧下方作上下振动的小球B.钟表秒针的运动C.每七天出现一个星期一D.抛一枚骰子,向上的数字是奇数2.在直角坐标系中,终边在∠某Oy及其对顶角的平分线上的角的集合为.3.若将时钟拨慢5分钟,则分针转了度;时针转了度.360°≤β<720°的元素β写出来.如图,点A在半径为1且圆心在原点的圆上,且∠AO某=45°,点P从A 点出发,按逆时针方向等速地沿单位圆旋转.已知P在1内转过的角度为θ(0°考题变式(我来改编):第一章解三角形第1课时周期现象与角的概念的推广知识体系梳理问题2:始终正角负角零角问题3:第几象限角{某|k·360°问题4:{β|β=α+k·360°,k∈Z}周角的整数倍(1)非负半轴(2)①任意整数②任意角(3)k·360°+(-30°)(4)不一定一定整数(5)不唯一基础学习交流1.B因为手表一圈所成的角度是360°,表盘上有十二个刻度,故相邻两个刻度之间是=30°,又规定顺时针方向的角为负角,故旋转了-30°.2.B月亮东升西落、昼夜变化是周期现象,气候的冷暖、火山爆发不是周期现象.3.二∵-950°12'=-3某360°+129°48',∴129°48'的角的终边和-950°12'的角的终边相同,它是第二象限角.4.解:S={β|β=70°+k·360°,k∈Z},S中适合-360°≤β<270°有:70°-1某360°=-290°,70°+0某360°=70°,70°+1某360°=430°.的元素重点难点探究探究一:【解析】因为每周有七天,从星期一到星期日,周而复始,故这是一个周期现象,周期为7.今天是星期一,明天是星期二,因此从明天算起,第7k(k∈N+)天是星期一,由于100=7某14+2,因此第100天是星期三.【答案】B【小结】星期的往复是周期现象,计算时关键看经历了几个周期,且是一个周期后的第几天.探究二:【解析】(1)825°17'=2某360°+105°17',因为105°17'是第二象限角,且105°17'与825°17'角是终边相同的角,故825°17'是第二象限角.(2)-1046°=-3某360°+34°,因为34°是第一象限角,且34°与-1046°角是终边相同的角,故-1046°是第一象限角.【小结】终边相同的角所在的象限是相同的,故在判断各角是第几象限角时,先应用终边相同的角的公式将角表示为k·360°+α(k∈Z),α∈[0°,360°),再判断.探究三:【解析】(法一)∵α是角,∴k·360°第一象限当k=3n时,有n·360°<(法二)如图,将平面坐标系的各个象限都三等分,从某轴正半轴逆时针方向依次沿每个区域循环标上数字1,2,3,4,则数字1所在的区域就是角所在的区域,所以可能是第一、二、三象限角.【小结】将k分为3n,3n+1,3n+2三种情况分别判断之.思维拓展应用应用一:每一周期最多乘坐4某10=40(人),16h共有32个周期,因而16h内最多有40某32=1280(人)乘坐.应用二:(1)与25°角终边相同的角的集合是A={α|α=k·360°+25°,k∈Z}.(2)在A中适合-1080°故A中满足不等式-1080°所以α=k·60°+40°(k∈Z),又因为α∈(0°,360°),所以0°所以对应的角α的所有可能取值为40°,100°,160°,220°,280°,340°.基础智能检测1.DA、B、C所述都是周期现象,而D中“向上的数字是奇数”不是周期现象.2.答案.3.302.5将时钟拨慢了5分钟,分针、时针都是按逆时针方向转动,转过的是正角.这时,分针转过的角度是终边落在∠某Oy平分线上的角的集合为,终边落在其对顶角的平分线上的角的集合为{α|α=45°+180°+k·360°,k∈Z},并在一起得=30°;时针转过的角度是=2.5°.的元素4.解:S={β|β=-75°+k·360°,k∈Z},S中适合-360°≤β<720°有:-75°+0某360°=-75°,-75°+1某360°=285°,-75°+2某360°=645°.全新视角拓展由题意有14θ+45°=k·360°+45°(k∈Z),∴θ=(k∈Z).又180°<2θ+45°<270°,即67.5°故所求的θ值为θ=或θ=.思维导图构建逆时针顺时针没有作任何。
高中数学必修四1.2_角的概念的推广教案北师大版Word版
通过学生观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会由特殊到一般的数学思维方法。
3.情感、态度与价值观：
通过本节的学习，使学生对角的概念有一个新的认识并让学生在学习过程中体会类比、数形结合等思想方法，激发学生学习数学积极性，培养学生分析问题、解决问题的能力，为今后的学习奠定良好的基础。
4.终边相同的角的集合表示方法，应当包括两种基本情况：
（1）象限角
（2）终边落在x轴和y轴上的角
二、学情分析
学生的活动过程决定着课堂教学的成败，教学中应反复挖掘“分析理解”栏目及“分析理解”示图的过程功能，在这个过程上要不惜多花些时间，让学生进行操作与思考，自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式，也就自然地理解了集合S=﹛β|β=α﹢k·360°，k∈Z﹜的含义.如果借助信息技术，则可以动态表现角的终边旋转的过程，更有利于学生观察角的变化与终边的位置的关系，让学生在动态的过程中体会，既要知道旋转量，又要知道旋转方向，才能准确刻画角的形成过程的道理，更好地了解任意角的深刻涵义.
1.角的概念的推广
（1）旋转形成“角”
一条射线由原来的位置 ，绕着它的端点 按逆时针方向旋转到终止位置 ，就形成角 .旋转开始时的射线 叫做角的始边， 叫终边，射线的端点 叫做叫 的顶点.
（2）“正角”“负角”与“零角”
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角.(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)。
2跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示？
3工人师傅在拧紧或宁松螺丝时，扳手转动的角度如何表示才比较合适？
4你的手表慢了5分钟，你将怎样把它调整准确？假如你的手表块了1.25小时，你应当怎样将它调整准确？当调整准确后，分针转过了多少度角？
高中数学 第一章 角的概念的推广学案 北师大版必修4
§2 角的概念的推广一、学习目标1．理解引入大于360°角和负角的意义．2．理解并掌握正、负、零角的定义．3．掌握终边相同角的表示法．4．理解象限角的概念、意义及其表示方法．二、重点难点1．理解并掌握正、负、零角的定义．2．掌握终边相同角的表示法．三、知识链接：本节课将在已掌握0°~360°角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．四、问题逻辑：（1）正角、负角、零角概念①一条射线由原来位置，绕着它的端点，按逆时针方向旋转转到形成的角__________，如图中角；把按顺时方向旋转所形成的角_________，如图中的；射线没作任何旋转时，我们认为它这时也形成了一个角，并把这个角_________，与初中所学角概念一样，、，点分别叫该角的始边、终边、角顶点．②如果把角顶点与直角坐标系原点重合，角的始边在轴的正半轴上，这时，角的终边落在第几象限，就称这个角是________，特别地，如果角的终边落在坐标轴上，就说该角不属于任何象限，习惯上称其为_________③我们作出390°，-330°及30°三个角，易知，它们的终边相同。
还可以看出，β=30°+k×360°，的终边也是与30°角终边重合的，而且可以理解，与角终边相同的角，连同30°在内，可以构成一个集合，记作．一般地，我们把所有与角终边相同的角，连同角在内的一切角，记成_____________或写成集合___________________________形式．五、例题分析【例1】在0°~360°间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）—120°；（2）660°；（3）．练习：（1）一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______．（2）集合中，各角的终边都在（）A．轴正半轴上，B．轴正半轴上，C．【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合，并把中适合不等式－360°≤β＜720°的元素写出来：（1）；（2）；（3）．①～间的角②第一象限角③锐角④小于角．（2）分别写出：轴负半轴上的角的集合；①终边落在②终边落在轴上的角的集合；③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；④终边落在四象限角平分线上的角的集合．【例3】用集合表示：（1）第三象限角的集合．轴右侧的角的集合．（2）终边落在【例4】若是第二象限角时，则，，分别是第几象限的角？练习：1．设，，则相等的角集合为_______________．2．如图，终边落在阴影处（包括边界）的角集合为（）A．B．C．D．【例5】设，，，，那么有（）．B．A．C．（）D．六、课时作业1．在到范围内，找出与下列各角终边相同角，并指出它们是哪个象限角（1）（2）（3）（4）2．写出终边在轴上的角的集合（用～的角表示）3．写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来．4．时针走过3小时20分，则分钟所转过的角的度数为______________，时针所转过的角的度数为______________．上的角的集合，并给出集合中介于和之间5．写出终边在直线的角．6．角是～中的一个角，若角与角有相同始边，且又有相同终边，则角．7．若的终边在第一、三象限的角平分线上，则的终边在_______．8．下列各题中，正确的是（）A．终边和始边都相同的两个角一定相等B．是第二象限的角C．若，则是第一象限角D．相等的两个角终边一定相同9．与终边相同的角可写成（）A．．B．．C．．D．．六、探究活动的终边与轴的正半轴所夹的角为，且终边落在第二象限，又1、已知角，求．2、已知．求，．七、归纳小结：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学北师大版必修4 1.2 教学设计 《角的概念的推广》(数学北师大高中必修4)
《角的概念的推广》教学设计本课时编写：双辽一中张敏◆教材分析本节内容从角大于周角的非负角开始扩充到任意角，使有正角、负角、零角之分。
在平面直角坐标系建立适当的坐标系，根据角的终边在哪一个象限，把角划分为四个象限角和特殊角若干类，于是引入了第几象限角和终边相同的角的集合这样两个概念。
再由特殊到一般进行归纳总结。
◆教学目标【知识与能力目标】（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。
【过程与方法目标】类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
【情感态度价值观目标】通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
◆教学重难点【教学重点】理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。
【教学难点】把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
◆课前准备多媒体课件◆教学过程一、情境导学同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。
但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。
高中数学 第一章 三角函数 1.2 角的概念的推广学案 北师大版必修4
1.2 角的概念的推广1．角的概念角可以看成平面内________绕着______从一个位置______到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类(1)(2)预习交流1(1)终边和始边重合的角一定是零角吗？ (2)45°是第______象限角；216°是第__________象限角；－70°是第__________象限角．3．终边相同的角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：________________________，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的______倍的和．注意：(1)k是整数，这个条件不能漏掉；(2)α是任意角；(3)k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．预习交流2(1)下列各角中与330°角终边相同的角是( )．A．510°B．150°C．－150°D．－390°(2)在－360°到360°的范围内，与412°角终边相同的角是______．答案：1．一条射线端点旋转2．(1)逆时针顺时针没有作任何旋转(2)原点终边(除端点外)预习交流1：(1)提示：不一定．零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°、360°、720°等角的终边和始边也重合．(2)一三四3．S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z} 整数预习交流2：(1)D (2)52°，－308°1．角的概念的辨析问题判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)集合P＝{钝角}，集合Q＝{第二象限角}，则有P＝Q；(2)角α和角2α的终边不可能相同；(3)若α是第二象限角，则2α一定是第四象限角；(4)不相等的角其终边位置必不相同．思路分析：解答本题首先要明确角的范围不再局限于0°～360°，角的度数已经扩大到(－∞，＋∞)，其次要紧扣象限角、终边相同的角的概念．已知A＝{锐角}，B＝{α|0°≤α＜90°}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°的角}，求A∩B，A∪C，C∩D，A∪D.对推广后角的概念的理解．(1)紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看角．(2)结合实际意义明确角的概念经过推广后，角的范围不再局限于0°～360°，而是包括正角、负角和零角．(3)正确理解正角、负角和零角的概念，既要注意始边位置和旋转量，又要注意旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．2．终边相同的角及象限角已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.思路分析：利用终边相同的角的关系β＝α＋k×360°，k∈Z来解决．将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)－1 840°；(2)1 690°.终边相同的角相差360°的整数倍．判定一个角在第几象限，只要找与它终边相同的0°～360°范围内的角，这个0°～360°范围内的角所在象限即为所求．3．区域角的表示如图所示，写出终边落在阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．思路分析：观察图形，找出边界上的角，用不等式形式表示出阴影部分内的角的集合．如图所示，写出终边落在图中阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．区域角及其表示方法区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}；(3)根据旋转的观点把起始、终止边界对应角α、β加上k·360°(k∈Z)．特别地，如“活动与探究3”中，若是对顶区域，如图②可用一个表达式表示：先在一个阴影中找出区间角[45°，90°]，然后再在两边加上n×180°(n∈Z)即可；若区域包括了x轴非负半轴，则可由负角到正角，如图③，两边再加上k×360°(k∈Z)．。
高中数学北师版必修4 角的概念的推广1
角的概念的推广一、课题：角的概念的推广二、教学目标：1.理解任意角的概念；2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。
三、教学重、难点：1．判断已知角所在象限；2．终边相同的角的书写。
四、教学过程：（一）复习引入：1．初中所学角的概念。
2．实际生活中出现一系列关于角的问题。
（二）新课讲解：1．角的定义：一条射线绕着它的端点O ，从起始位置OA 旋转到终止位置OB ，形成一个角α，点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角α的终边、始边。
说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为α．2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。
说明：零角的始边和终边重合。
3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角。
（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
例如：90,180,270等等。
说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”。
因为x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。
4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30360k +⋅()k Z ∈的形式；反之，所有形如30360k +⋅()k Z ∈的角都与30角的终边相同。
从而得出一般规律： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα==+⋅∈，即：任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
北师大版高中数学必修四角的概念的推广教案
§2 角的概念的推广（1课时）一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。
2、过程与方法类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。
难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教学用具在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。
教学用具:多媒体、三角板、圆规四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。
但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。
高中数学 第一章 三角函数 1.2 角的概念的推广学案 北师大版必修4
§2角的概念的推广学习目标 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点)．知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针转过了周角的16，即－60°.答案 (1)－150° 210° (2)－60° 题型二 终边相同的角 【例2】 已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k ×360°(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解 (1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k ×360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角， 即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 所以θ为－110°，－470°.规律方法 将任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z ，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k .可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值． 【训练2】 写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．答案 D3．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________________．答案195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．解析∵－1 692°＝－5×360°＋108°，∴与108°终边相同的最大负角为－252°.答案－252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与 －950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解 与25°角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝k ·360°＋25°，k ∈Z }． 令k ＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件； 令k ＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件； 令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．解析∵α、β终边相同，∴α＝k·360°＋β(k∈Z)．∴α－β＝k·360°，故α－β终边会落在x轴非负半轴上．答案x轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是第________象限．解析∵α是第一象限角，∴k为偶数时，k·180°＋α终边在第一象限；k为奇数时，k·180°＋α终边在第三象限．答案一或三12．求终边在直线y＝x上的角的集合S.解因为直线y＝x是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋225°，k ∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式：(1)α、β的终边关于原点对称；(2)α、β的终边关于y轴对称．解(1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k－1)·180°(k∈Z)．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k1·360°(k1∈Z)，β＝90°＋θ＋k2·360°(k2∈Z)．两式相加得α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)．。
2019-2020学年数学北师大版必修4学案： 1.2 角的概念的推广 含解析
§2角的概念的推广Q错误!错误!在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈,因此，花样滑冰美丽而危险．你能算出他们在一次原地转身的动作中转过的角度吗？X错误!错误!1．角的概念角可以看成平面内__一条射线__绕着__端点__从一个位置__旋转__到另一个位置所形成的图形．2．角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按__逆时针方向旋转__形成的角负角按__顺时针方向旋转__形成的角零角一条射线__没有作任何旋转__，称它形成了一个零角3．象限角、坐标轴上的角使角的顶点与__原点__重合，角的始边与__x轴的非负半轴__重合,那么,角的终边(除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限．4．终边相同角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：__S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}__，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的__整数__倍的和．［知识点拨］1。
（1）角的概念推广后,角度的范围不再限于0°~360°(0°～360°是指0°≤α<360°)．(2）确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和圈数：①表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常容易被忽视．②当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同,而角不一定相等．始边和终边重合的角不一定是零角,只有没作任何旋转，始边与终边重合的角才是零角．2．理解集合S＝｛β|β＝α＋k·360°，k∈Z｝要注意以下几点：(1)式中角α为任意角；(2)k∈Z这一条件必不可少;（3）k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°),即与－30°角终边相同；（4）当α与β的终边相同时，α－β＝k·360°（k∈Z）．反之亦然．Y错误!错误!1．下列说法错误的是( D )A．按逆时针方向旋转所成的角是正角B．按顺时针方向旋转所成的角是负角C．没有作任何旋转所成的角是零角D．终边和始边相同的角是零角［解析] 选项A、B、C分别是正角、负角、零角的概念，若射线旋转后，终边与始边重合所形成的角不是零角．2．下列命题中正确的是( D )A．三角形的内角必是第一、二象限角B．第一象限角必是锐角C．不相等的角的终边一定不相同D．若β＝α＋k·360°（k∈Z），则α和β终边相同[解析］90°的角可以是三角形的内角,但它不是第一、二象限角，故A错；390°的角是第一象限角，但它不是锐角，故B错;390°角和30°角不相等,但终边相同,故C不正确;对于D，由终边相同的角的概念可知正确．3．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角;②225°是第三象限角；③475°是第二象限角;④－615°是第一象限角．其中正确的命题有（ C ）A．1个B．2个C．3个D．4个［解析］①②③正确，④错误．4．在－180°～360°范围内，与2000°角终边相同的角有__－160°,200°__。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 角的概念与推广》8
北师大版数学4第一章第2节——教学设计课题：角的概念与推广兴平市西郊高级中学张文辉教材分析作为三角函数的起始内容，本节课主要对角的概念进行推广，并在此基础上给出终边相同的角以及象限角的概念对本部分知识讲解时一是要注意渗透化归与转化、数形结合以及分类讨论的思想；二是应该注意渗透运动与静止的数学观学情分析角的概念，学生已在初中阶段有所接触，但当时主要局限在[0°，180°]的范围内由于讨论三角函数需要对角的概念进行推广，而高中学生已经具备了基本的自学能力，本节正好适合学生来进一步发展这一能力因此，给出一个合适的自学提纲，引导学生自己去完成相关知识的学习，再在必要时逐步加深对主要知识的认识和理解教学目标分析1知识与技能：1理解正角、负角、零角的概念；2理解象限角的概念，会判断某个角终边所在的位置；3会表示与角α终边相同的角；会表示特殊位置的角的集合2过程与方法：用运动的观点对角的概念进行推广，关键在于引入了旋转的方向因此，以旋转和旋转方向对角的相关问题展开研究是本节课的主线3情感、态度、价值观：通过对本节课的学习，学生对角的概念应该有一个全新的认识；能够体会到用运动变化的观点来认识周边的事物；能够感受到图形运动与静止的和谐与统一教学重点与难点教学重点：理解正角、负角、零角及象限角的概念，会表示终边相同的角的集合教学难点：理解终边相同的角的表示，并会运用终边相同的角来判断给定角的终边所在的位置教学流程设计[问题引入]先以一组学生熟悉的几何图形的内角和引出超过学生原有认知范围的角度以及如何画出这些角度，从而引起认知冲突，激发学生的求知欲，为本节课的展开作好铺垫[自学提纲]在学生自学过程中应该适时地给出自学方法的指导1你认为在本节中涉及到了哪些新的数学概念[及时测评]1、零角就是终边和始边重合的角吗2、第一象限的角是锐角吗3、请你指出角30°，130°，230°，330°终边所在的位置2你认为例1解决的是什么问题例1的解答中哪一步最为关键[及时测评]2021°是第几象限的角（渗透化归转化的思想）3你是怎样理解例2的求解思路的[及时测评]请你写出终边在＝上的角的集合（渗透分类讨论的思想）4你知道例3中元素β是怎样找出来的吗5你认为角的概念得到了怎样的推广？角的概念之所以能够推广，关键是引入了什么？答：角的概念的推广指的是角的范围得到了扩大；角的概念之所以能够推广，关键是引入了旋转及旋转的方向[逐步深入]1、你是怎么理解角30°＋360°的30°－360°呢30°＋·360°∈Z呢2、若α是第二象限的角，则α＋180°是第几象限的角呢（渗透数形结合的思想、运动与静止的数学观）3、请你写出终边在直线＝ -上的角的集合方法一:用集合的并集表示；方法二:用运动观点加以理解直接表示在此，应该指出两种方法表示的集合的一致性，并作出相应阐释[课堂小结]知识要点:1正角、负角、零角； 2象限角； 3终边相同的角本部分小结学生可以进行归纳，因此将其交给学生完成即可。