Chapter15结构弹性稳定资料

单自由度结构，刚杆，平衡条件
Pl sin 0
(Pl ) 0
0 对应结构原来平衡形式
Pl 0
特征方程
对应结构新的平衡形式，也可以对应原来平衡形式。反映 失稳时平衡形式的二重性
临界荷载
Pcr l
P=Pcr时，无法确定。 可以为任意值，结构处于随遇平衡状态。（小位移假设） 精确方程为
1
3EI1 l1
压杆挠曲线的平衡方程 EIy" Py Q(l x)
同样令 n2 P
EI
y" n2 y 11 (l x) EIl
微分方程通解
y Acos nx Bsin nx 11 (l x) Pl
三个未知常数：A,B,1,边界条件：
x=0,y=0,y’=0;x=l,y=0 得到A,B, 1的齐次线性方程组
任一截面的弯距 M Py Q(l x) 挠曲线近似微分方程 EIy" M Py Q(l x)
y" P y Q (l x) EI EI
令 n2 P EI
y" n2 y n2 Q (l x) P
微分方程通解为
y Acos nx B sin nx Q (l x) P
A,B为积分常数，Q/P也是未知，由边界条件 x=0,y=0,y’=0; x=l,y=0 得到A,B,Q/P的齐次线性方程组
y nl
采用图解法或迭代法求解
解得 临界荷载
nl 4.493
Pcr
n2 EI
20.19 l2
EI
§15-3 具有弹性支座压杆的稳定
弹性支座的压杆：在刚架中，将某根压杆取出，而以弹性支 座代替其余部分对它的约束作用。
BC杆对AB压杆的约束，可以用一个抗转弹簧来代替。
抗转弹簧的刚度
由平衡条件 MB 0
临界荷载
Pcr
3 2
5
l
0.382l
结构失稳的形式
不能由齐次线性方程组求出y1,y2的确定值，但可以求 得它们的比值，类似振动的振型
y2 1 5 0.618 y1 3 5 y2 1 5 1.618 y1 3 5
P 3 5 l
2
P 3 5 l
2
无限自由度结构的例子 一端固定另一端铰支的等截面中心受压弹性直杆
P l sin
两抗移弹性支座的刚度为，由平衡条
件
(l P) y1 Py2 0
(2l P) y1 Py2 0
齐次线性方程组，y1,y2不全为零 系数行列式=0
MB 0,MC 0
l P P
0
2l P l
P2 3lP (l)2 0
解得
P
3 2
5
l
2.618 l 0.382 l
AQl 0 P
Bn Q 0 P
Acos nl B sin nl 0
1
0l
0
n 1 0
cos nl sin nl 0
A=B=Q/P=0，对应原有的直线平衡形式。 对于新的弯曲平衡形式，要求A,B,Q/P不全为零，系数行列 式＝0
得到特征方程（超越方程） tan nl nl
y tan nl
航空、航天结构大量采用高强材料和薄壁结构，如空间站、太 阳能帆板、机械手等，稳定性问题是一个重要问题。
土木结构中，大跨度、高层、尤其高耸结构，也日益采用高强 材料和薄壁结构，稳定性问题开始突出。
国际空间站照片
美国“奋进”号 (Endeavour)航天飞 机在美国肯尼迪航天 中心
华盛顿纪念塔
金茂大厦
丧失第一类稳定性的特征：平衡形式发生本质上的突变，原有 的平衡形式不稳定（出现新的有本质区别的平衡形式）。
丧失第二类稳定性：塑性材料制成的偏心压杆，同时受压和受弯。 在一定范围内，荷载不增加，挠度也不增大。当P达到临界值 Pcr，挠度迅速增大，即使荷载减小。结构丧失第二类稳定性 －极值点失稳。
丧失第二类稳定性的特征：结构的平衡形式不发生本质 上的突变，失稳时变形迅速增加，结构丧失承载能力。
A
1
P
1
0
Bn
1
Pl
1 1
0
Acos nl B sin nl 0
A,B,1不全为零，系数行列式＝0
Hale Waihona Puke Baidu
tan nl nl 1 EI (nl)2
静力法－直接通过力的平衡条件。能量法－通过平衡时 能量之间关系。
结构稳定的自由度：确定结构失稳时所有可能的变形状态所 需的独立参数数目。
a)支承在抗转弹簧上的刚性压杆，一个自由度。 b)两个自由度 c) 无限自由度
§15-2 静力法确定临界荷载
以结构失稳时平衡的二重性为依据，由静力平衡条件， 寻找结构在新的平衡形式下能维持的最小荷载
由于制造、装配误差，工程结构不可能处于理想的中心 受压状态，实际都属于第二类稳定性问题。
第二类稳定性的问题远比第一类稳定性的问题复杂。一 般把第二类稳定性的问题化简为第一类稳定性的问题， 偏心等影响用系数来代替。
稳定计算的中心问题是确定临界荷载。
确定临界荷载的两种方法：静力法和能量法
共同特点：结构失稳时可以具有原来和新的两种平衡形 式（平衡的二重性），寻找结构在新的形式下可以维 持平衡的荷载－临界荷载。
东方明珠电视塔
两类结构失稳现象： 第一类失稳现象和第二类失稳现象。 第一类失稳现象可由熟知的理想中心受压直杆的失稳来说明。 首先由Euler提出并解决。
轴向压力P较小时，微小水平干扰力使压 杆弯曲；干扰消失，恢复原来直线状态平 衡。 P达到某一特定值，如有微小水平干扰力， 使压杆弯曲，干扰消失后，不能回到原来 直线状态平衡。 此时直线平衡形式不稳定，平衡形式的分 支：可以直线平衡，也可以弯曲平衡。 压杆丧失了第一类失稳性，或分支点失稳。 此时荷载－临界荷载Pcr（critical）
其他结构，如承受均布水压力的圆环（潜水艇），当压力达到 临界值qcr时，原有圆形平衡形式称为不稳定的。
承受荷载的抛物线拱和刚架，轴向受压状态，当荷载达到临界 值时，出现同时具有压缩和弯曲变形的新的平衡形式。
薄壁工字梁，荷载达到临界值前，仅在其腹板平面内弯曲；达 到临界值时，原来的平面弯曲不再稳定，发生斜弯曲和扭转。
第十五章 结构弹性稳定
§15-1 概述 设计结构要考虑的因素：强度、刚度、稳定性、抗风荷能力、
抗地震能力、舒适度等。
其中强度、稳定性、抗风荷能力、抗地震能力属于结构保持安 全的能力。
稳定性是结构重要的安全指标。 历史上曾出现因结构失稳而造成的重大事故。如70年代英国北
海油田海上石油钻井平台因巨浪冲击造成结构失稳导致钻井 平台坍塌，造成重大损失。