结构力学第11章 结构的极限荷载与弹性稳定

M Mu
§11-3 比例加载一般规律
⑵可破坏荷载 将满足单向机构条件和平衡条件的荷载称为可破坏
荷载。换言之对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得
的荷载值，用 FP 表示。
⑶可接受荷载
将满足内力局限条件和平衡条件的荷载称为可接受荷 载。换言之如果在某个荷载值的情况下，能够找到某一内 力状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其极限值，此
l 4qu2
12l 2M uqu
4M
2 u
0
qu 12l2Mu
144l
4
M
2 u
16l
4
M
2 u
2l 4
12l 2 M u
11.314l 2 M u 2l 4
qu
23.314l 2Mu 2l 4
11.657
Mu l2
§11-4 超静定结构的极限荷载计算
例11-4-4 求图示梁的极限荷载。
FP
二、 塑性铰和极限荷载
在塑性流动阶段，在极限弯矩Mu保持不变的 情况下，两个无限靠近的截面可以产生有限的相对 转角。因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu时，就 称该截面产生了塑性铰。
塑性铰是单向铰。因卸载时应力增量与应变增 量仍为直线关系，截面恢复弹性性质。 因此塑性铰
§11-2 基本概念
只能沿弯矩增大的方向发生有限的相对转角。若沿
分析：(1) 图(a)表示截面处于弹性阶段。
该阶段的最大应力发生在截面最外纤维处，
称为屈服极限y，此时的弯矩Ms称为弹性 s a)
极限弯矩，或称为屈服弯矩。即：
s
MS
bh2 6
s
y0
（2）图(b）—截面处于弹塑性阶段，
y0
截面外边缘处成为塑性区，应力为常数， s b)
§11-2 基本概念
=s；在截面内部(|y|y0)则仍为弹性区，称为弹性
核，其应力为直线分布，即：
(3) 图(c)表示截面达到塑性流动阶段。 s
在弹塑性阶段中，随着M增大，弹性核的
高度逐渐减小，最后y00。此时相应弯 矩是截面所能承受的最大弯矩，称为“极 限弯矩” ，即：
s c)
§11-2 基本概念
比较两式可知：对于矩形截面，极限弯矩为弹 性极限弯矩的1.5倍，即Mu=1.5Ms。
§11-3 比例加载一般规律
二、可破坏荷载和可接受荷载
⑴结构处于极限受力状态时必须满足的条件即所求极 限荷载必须同时满足下面三个条件 ①平衡条件：结构处于极限状态时，结构的整体或任 一局部都能维持平衡。
②内力局限条件(屈服条件)：在极限状态下，结构任 一截面的内力都不超过其极限值。任一截面弯矩绝对 值都不超过其极限弯矩 ③单向机构条件：在极限状态下，结构已有足够数量 的截面内力达到极限值而使结构转化为机构，能够沿 荷载作正功的方向作单向运动。
A
B
D
C
l/3
l/3
l/3
解: AB段极限弯矩为 M u ，BC段极限弯矩为Mu。
塑性铰的可能位置：A、B、D。
A l/3
B
Mu B
l/3
FPu
DC Mu
D
l/3
§11-4 超静定结构的极限荷载计算
1）B、D截面出现塑性
FPu
铰，由弯矩图可知，只 有当 Mu 3Mu 时，此破
A l/3
B
Mu B
为了求得极限荷载，需确定结构的破坏形态， 即确定塑性铰的位置及数量。
塑性铰首先出现在弯矩最大的截面，随着荷载 的增大，其他截面也可能出现新的塑性铰直至结构 变为具有自由度的机构从而丧失承载能力为止。
极限荷载的求解无需考虑变形协调条件、结构 变形的过程以及塑性铰形成的次序。
§11-4 超静定结构的极限荷载计算
工程结构实际上均属于第二类稳 定问题。可将其简化为一类稳定问题 来处理。
极值点失稳
§11-3 比例加载一般规律
一、比例加载的含义及相关假设
⑴比例加载的含义 所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，
可用一个参数FP表示;荷载参数FP只是单调增大， 不出现卸载现象。 ⑵假设条件
①材料是理想弹塑性的。 ②截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等。 ③忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
例11-1-1 设有矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载 作用(图a)，试求极限荷载FPu 。
解：由M图知跨中截面 弯矩最大，在极限荷载作用 下，塑性铰将在跨中截面形 成，弯矩达极限值Mu(图b)。
§11-2 基本概念
由静力条件，有：
由此得出极限荷载FPu，即有
最后指出：这几个概念是非常重要的。讨论矩 形截面梁在纯弯曲状态下所获得的结果，利用其它 形式的截面形状，也有类似的结果。
的极小值即是极限荷载。FPu FP
⑶下限定理（极大定理） 可接受荷载是极限荷载的下限。换言之，可接受荷载
中的极大值是即极限荷载。FPu FP
⑷唯一性定理：极限荷载值是唯一确定的。若某一荷 载既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则该荷载就是 极限荷载。
§11-4 超静定结构的极限荷载计算 一、单跨超静定梁的极限荷载
k—安全系数。
2、塑性分析方法
按极限荷载计算结构强度，以结构进入塑性阶段并最后丧失
承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。强度条件为
F Fu K
F—结构实际承受的荷载；Fu—极限荷载； K—安全系数。
§11-1 概述
OA段：材料是理想弹性的，应力 与应变成正比。
AB段：材料是理想塑性的，应力不 变，应变可以任意增长。
分支点失稳
§11-2 基本概念
图a所示承受均布水压力的圆环，当压 力达到临界值qcr时，出现了新的非圆的平衡 形式。
图b所示承受均布荷载的 抛物线拱，图c 所示刚架，荷 载达到临界值之前处于受压 状态，荷载达到临界值时出 现同时具有压缩和弯曲变形 的新的平衡形式。
图c所示工字梁，荷载达到临界值前仅 在复板平面内弯曲，荷载达到临界值时发生 斜弯曲和扭转。
CD段：应力减为零时，有残余应 变OD。
结构塑性分析中，为简化计算，把材料的应力与应变关 系作合理地简化。简化为理想弹塑性材料。如图所示。
结构的塑性分析中，叠加原理不再适用。只考虑荷载一 次加于结构，且各荷载按同一比例增加—比例加载。
§11-2 基本概念
主要内容：解释几个基本概念，极限弯矩、塑 性铰和极限状态。
图示例：纯弯曲状态下的理想弹塑性材料的矩
形截面梁。
M
M
h
b
随着弯矩M的增大，梁会经历由弹性阶段到弹
塑性阶段最后达到塑性阶段的过程。（见下页图）
§11-2 基本概念
实验表明：无论在哪一个阶段，梁弯曲变形时 的平面假定都成立。
b h
s
s
s
y0 y0
s
s
s
a)
b)
c)
§11-2 基本概念
一、极限弯矩
s
相反方向变形，则截面立即恢复其弹性刚度而不再
具有铰的性质。 FPu
FPu Mu
l/2
l/2
Mu
上图示简支梁跨中受集中力作用，随着荷载的
增大，梁跨中截面弯矩达到极限弯矩Mu，跨中截 面形成塑性铰。这时简支梁已成为机构，跨中挠度
§11-2 基本概念
可以继续增大而承载力不能增大，这种状态称为极 限状态，相应的荷载称为极限荷载FPu。
BC段平衡 MC 0
Mu
FRB x
1 2
qu x2
qu x2
1 2
qu
x2
1 2
qu x2
Mu
1 2
2
1 2
qu
(qul2 2Mu )2 (2qul)2
1 8qul 2
(qul 2
2Mu )2
§11-4 超静定结构的极限荷载计算
(qul 2 2M u )2 8qul 2M u
l/3
DC
Mu
D
l/3
坏形态才可能实现。
FPu M uB M uD
Mu 3Mu
Mu
FPu
D
C
A
B
Mu
FPu
Mu
(3 l
6) l
B
3 l
D
6 l
FPu
9 l
Mu
(Mu 3Mu )
§11-4 超静定结构的极限荷载计算
2）A、D截面出现塑性铰。
由弯矩图可知，只有当
1 2
(
M
' u
Mu) Mu
C
B
Mu
§11-4 超静定结构的极限荷载计算
2）虚功法 令机构产生虚位移，使C截面竖向位移和荷载
FPu同向，大小1为 lδ/。2
2
l
1
l/2
2
l
2
21
4
l
2 外2力1 虚4l功： We FPu
A
Mu
Mu
1
l/2
FPu
C 1
2 l/2
B
内力虚功：
Wi
M u1
M u 2
2
Mu( l
4
l
)
6Mu
l
荷载值称为可接受荷载用 FP表示。
可破坏荷载 FP 只满足平衡条件和单向机构条件。 可接受荷载 FP 只满足平衡条件和内力局限条件。
§11-3 比例加载一般规律
三、比例加载的一般定理
⑴基本定理:可破坏荷载 FP恒不小于可接受荷载 FP，即
FP FP
⑵上限定理（极小定理） 可破坏荷载是极限荷载的上限。换言之，可破坏荷载中
整体平衡 MA 0
FRBl
qu
l2 2
Mu
0
FRB
1(1 l2
qul 2