高考一轮复习新课标数学(理)配套教材：2.8 函数模型及其应用

§2.8 函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长(“指数爆炸”)、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.函数模型及其应用是高考热点内容之一，近几年经常出现函数应用题，特别是指数函数模型、对数函数模型和分段函数模型，一定要熟练掌握.另外，对数学建模的步骤和常用方法也要熟练掌握，并能灵活运用.1.函数的实际应用 (1)基本函数模型：函数模型 函数解析式一次函数模型 二次函数模型指数型函数模型f (x )＝ba x＋c (a ，b ，c 为常数，a＞0且a ≠1，b ≠0)对数型函数模型f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ＞0且a ≠1，b ≠0)幂型函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)(2)其他函数模型. 2.函数建模(1)函数模型应用的两个方面： ①利用已知函数模型解决问题； ②建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测. (2)应用函数模型解决问题的基本过程： 、 、 、 .【自查自纠】1.(1)f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)2.审题 建模 解模 还原手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低14，则现在价格为2 560元的手机，两年后价格可降为( )A ．900元B ．810元C ．1 440元D ．160元解：半年降价一次，则两年后降价四次，其价格降为2 560×⎝⎛⎭⎫1－144＝810元．故选B. (2013·湖北)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )解：由于纵坐标是距学校的距离，随着时间的推移，到学校的距离越来越近，所以不可能是A ；开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，所以D 错；对于B ，C ，我们发现B 中的两条斜线的斜率相近，没有体现出“为了赶时间加快速度行驶”，只有C 符合题意，故选C.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解：因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；x ∈(0，9)时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点．又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．故选C.规定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f (m )＝1.06(0.50×[m ]＋1)(单位：元)给出，其中m >0，记[m ]为大于或等于m 的最小整数，如[4]＝4，[2.7]＝3，[3.8]＝4，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为________元.解：∵f (5.5)＝1.06(0.50×[5.5]＋1)＝1.06(0.50×6＋1)＝4.24.故填4.24.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N )满足如图所示的二次函数关系，则每辆客车营运 年，其营运的年平均利润yx最大.解：由图象知，营运总利润y ＝－(x －6)2＋11.∴营运的年平均利润y x ＝－x －25x ＋12.当且仅当x ＝5时，yx 取最大值．故填5.类型一 幂型函数模型某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2.其中3<x <6，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润 f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3，4) 4 (4，6) f ′(x ) ＋－f (x )↗极大值42 ↘由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点． 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 【评析】求幂型函数的最值(值域)问题，一般利用导数法较为简便．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米.余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y 万元.(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？解：(1)设需要新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx 21-＝m2x2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0，64)内为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64，640)内为增函数． 所以f (x )在x ＝64处取得极小值，也是最小值．此时，n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．类型二 指数型函数模型(2013·南京模拟)有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V m 3，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r m 3.现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合.用g (t )表示经过时间t (天)后每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为经过时间t (天)后的湖水污染质量分数.已知目前污染源以每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g (t )＝pr ＋⎣⎡⎦⎤g （0）－p r tVr -e (p ≥0)，其中g (0)是湖水污染的初始质量分数.(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；(2)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%?解：(1)∵g (t )为常数，∴g (0)－p r ＝0，∴g (0)＝pr.(2)污染源停止，即p ＝0，此时g (t )＝g (0)·t Vr-e .设要经过t 天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.即g (t )＝5%·g (0)，即有5%·g (0)＝g (0)·t Vr -e .由实际意义知g (0)≠0，∴120＝t Vr-e .∴t ＝V r ln20，即需要Vrln20天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.【评析】在认真审题，读懂题意之后，不难看出，第(1)问的本质是求g (0)；第(2)问中污染停止即p ＝0，从而转化为解方程的问题．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a (单位：m 2)，其中有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b (单位：m 2)的旧住房.(1)分别写出第1年末和第2年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第5年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b 是多少？(计算时取1.15＝1.6)解：(1)第1年末的住房面积为a ·1110－b ＝1.1a －b (m 2)，第2年末的住房面积为⎝⎛⎭⎫a ·1110－b ·1110－b ＝a ·⎝⎛⎭⎫11102－b ⎝⎛⎭⎫1＋1110＝1.21a －2.1b (m 2)． (2)第3年末的住房面积为⎣⎡⎦⎤a ·⎝⎛⎭⎫11102－b ⎝⎛⎭⎫1＋11101110－b ＝a ·⎝⎛⎭⎫11103－b ⎣⎡⎦⎤1＋1110＋⎝⎛⎭⎫11102(m 2)， 第4年末住房面积为a ·⎝⎛⎭⎫11104－b ⎣⎡⎦⎤1＋1110＋⎝⎛⎭⎫11102＋⎝⎛⎭⎫11103(m 2)，第5年末住房面积为 a ·⎝⎛⎭⎫11105－b ⎣⎡⎦⎤1＋1110＋⎝⎛⎭⎫11102＋⎝⎛⎭⎫11103＋⎝⎛⎭⎫11104＝ 1.15a －1－1.151－1.1b ＝1.6a －6b (m 2)．依题意可知，1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a 20，所以每年拆除的旧住房面积为a20(m 2)．类型三 对数型函数模型(2012·厦门模拟)某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x (万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x (万元)，x ∈[8，64]时，奖金为y 万元，且y ＝log a x ，y ∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金.(1)求奖金y 关于x 的函数解析式；(2)某营销人员争取年奖金y ∈[4，10](万元)，年销售额x (万元)在什么范围内.解：(1)依题意y ＝log a x 在x ∈[8，64]上为增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧log a 8＝3，log a 64＝6⇒a ＝2，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x ＜8，log 2x ，8≤x ≤64，110x ，x ＞64.(2)易知x ≥8.当8≤x ≤64时，要使y ∈[4，10]， 则4≤log 2x ≤10⇒16≤x ≤1024， 所以16≤x ≤64.当x ＞64时，要使y ∈[4，10]⇒40≤x ≤100， 所以64＜x ≤100.综上可得，当年销售额x 在[16，100](万元)内时，y ∈[4，10](万元)．【评析】已知函数模型问题应根据题中条件找准对应量，列出函数解析式；再转化为给定定义域上的“给值求值、给定范围求范围或最值”问题．要注意对自变量进行分类．有时可用函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15ln aa －x，x ≤6，x －4.4x －4，x >6 描述学习某学科知识的掌握程度.其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N *)，f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.(1)证明：当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115，121]，(121，127]，(127，133].当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科(e 0.05≈1.0513).解：(1)证明：当x ≥7时，f (x ＋1)－f (x )＝0.4（x －3）（x －4）；当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且(x －3)(x －4)>0，故f (x ＋1)－f (x )单调递减． ∴当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降．(2)由题意可知0.1＋15ln aa －6＝0.85.整理得aa －6＝e 0.05.解得a ＝e 0.05e 0.05－1·6≈123.0，123.0∈(121，127]．由此可知，该学科是乙学科．类型四 分段函数模型提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)解：(1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b 在[20，200]是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x <20，13（200－x ），20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x <20，13x （200－x ），20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200； 当20≤x ≤200时， f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎡⎦⎤x ＋（200－x ）22＝100003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20，200]上取得最大值100003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0，200]上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．【评析】车流密度x 有两种情形，需分[0，20)和[20，200]两段，于是车流量y 关于车流密度x 的函数式也需分成两段，然后再将两段综合在一起．在求分段函数时需注意值域是各段上值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的．(2013·福建厦门调研)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件.(1)设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f (x )的表达式； (2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？ 解：(1)当0<x ≤100时，P ＝60；当100<x ≤500时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－x50.所以P ＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤100，x ∈N ，62－x50，100<x ≤500，x ∈N . (2)设销售商一次订购量为x 件，工厂获得的利润为L 元，则有L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ，0<x ≤100，x ∈N ，22x －x 250，100<x ≤500，x ∈N . 当x ＝450时，L ＝5850.因此，当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是5850元．1.解函数应用问题的步骤(1)审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握.因此，要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础.(2)建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式(也叫目标函数)，将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数学模型.(3)解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型或目标函数)予以解答，求得结果.(4)还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题.以上过程可以用示意图表示为：模拟函数的过程可以用下面框图表示：2.解题过程中选用哪种函数模型，要根据题目具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型.一般来说：如果实际问题的增长特点为直线上升，则选择直线模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(指数爆炸)，则选择指数型函数模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值的增大速度越来越慢，则选择对数型函数模型；如果实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式表示，则选择分段函数模型等.另外，常见的出租车计费问题、税收问题、商品销售等问题，通常用分段函数模型；面积问题、利润问题、产量问题常选择幂型函数模型，特别是二次函数模型；而对于利率、细胞分裂、物质衰变，则常选择指数型函数模型.。