微积分函数、极限、连续ppt

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二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学. 聪明在于学习 , 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 .
邻域是一种特殊的区间。
点a的δ邻域
U (a, ) {x x a , x R}
δ δ
a -δ
a
a +δ
点a的空心邻域 U o (a, ) {x 0 x a , x R}
δ
a -δ a
δ
a +δ
右邻域 (a , a +δ)，左邻域 (a -δ, a)
1.1.2
o x
1.1.4
奇偶性
函数的性质
设函数 y = f (x)，x∈D，D是对称于原点的 数集 。若对D上任何 x ， 如果 f (－x) = f (x)，则称 y = f (x) 为偶函数； 偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像 关于原点对称。
如果 f (－x) =－f (x)，则称 y = f (x) 为奇函数。
1. 结论 “函数 y=3x+5 是无界函数” 正确否? 2. 结论 “函数 y=cosx 不是单调函数” 正确否？
3. 考察函数y=1/x 在 [1, +∞) 的单调性和有界性。
1. 设
且
时 证明 为奇函数 .
其中
a, b, c 为常数, 且
证: 令 t 1 , 则 x 1 , a f (1) b f (t ) ct t x t
1
哪些主要的科学问题呢?
有四种主要类型的问题.
Archimedes
2
第一类问题
已知物体移动的距离表为时间的函数的公式， 求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知 物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距 离。
3
第一类问题
困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时 每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算 平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为 在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在 它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。

1. 决定一个函数的因素有哪些？ 2. 如何确定函数的定义域？
1.1.3
医学中常用的函数表示法
优点：便于查出函数值。
列表法 用表格列示出x与y的对应关系。 图像法 以数对(x,y)为点的坐标描绘出能反映x
与y的对应关系的曲线。 优点：容易观察函数的变化趋势。
解析法 用等式表示出x与y的关系。
优点：便于从理论上对函数进行定性 研究与定量分析。
区间及邻域
区间 (interval)
开区间 (a, b) {x a x b, x R}
闭区间 [a, b] {x a x b, x R}
a a b b
半开半闭区间
(a,b]、[a,b)
以上区间统称为有限区间
无限区间
( P.1自学 )
邻域 (neighborhood)
医学和物理学中常用的分段函数：
y
例1.1.1 符号函数
1, sgn( x) 0, 1,
( x 0) ( x 0). ( x 0)
1
o
-1 y
x
1, (t nT ) . 例1.1.2 脉冲函数 y(t ) 0, (t nT )
y
o
x
x （0 x 1) 例1.1.3 f ( x) 2 x 1 ( x 1)
引
言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成
恩格斯
为必要的了,而它们也就立刻产生.
复合函数的映射示意图
y
y = f (u)
y = f [φ(x)] u u =φ(x) x
说明：
1. 复合函数还可以由多个（三个及其以上）基 本初等函数经多次复合构成。 2. 并不是任何两个函数都可以复合成有意义的 复合函数。 如 y=ln(u-8) 与 u=sin x 构成的复合函数 y=ln(sinx-8) 就没有意义。
有界性
设函数 y = f (x)，x∈D。若存在正数 M ，使 对D上任何 x ，都有 ︱ f (x) ︱≤ M 则称 f (x) 在 D 上有界，并称 f (x) 是 D 上的有界 函数。 否则，称函数 f (x) 在 D 上无界。
有界函数的图像必落在直线 y = M 与 y = -M 之间的带形区域内。
注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 的方法 :
“ 割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 ” 极限思想 .
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它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要
1.3.1 数列极限 (limit of sequence )
1.2.3 反函数 (自学) 1.2.4 隐函数
显函数 由形式 y = f (x) 表示的函数。 隐函数 由方程 F( x, y )=0 表示的函数。 如 x2 + y 2 =R2 y x +ln(xy)+sin(xy)+8=0
1.2.5 初等函数 (Elementary function)
由基本初等函数经过有限次的四则运算或有 限次的复合步骤所构成的，能用一个解析式子表 示的函数称为初等函数。 初等函数是高等数学的主要研究对象。 在高等数学中，把不是初等函数的函数统称 为非初等函数。
数列极限的实质：考察当 n→+∞时，数列 {an} 的通项 an 的变化趋势。
引例 考察数列{an} 的变化趋势：
n1 (1) n 1 1 1 1 (1) , a2 a4 ……a3 : 1, , , ,, 2 3 4 n n -1 O 1 2 3 n n , , ,, , : 2 3 4 n 1 n 1
6
第三类问题
求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角
发射炮弹时，射程最大。
研究行星运动也涉及最大最小值问题。
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第三类问题
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。
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第四类问题
求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成 的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于 另一个物体上的引力。
华罗庚
由薄到厚 , 由厚到薄 .
12
1
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
函数、极限与连续
函数 初等函数 极限概念 极限的计算 无穷小量与无穷大量 函数的连续性
1.1 函数
1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 区间及邻域 函数的定义 医学中常用的函数表示法 函数的性质
1.1.1
4
第二类问题
求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问
题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体
在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。
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第二类问题
困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个 没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接 触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对 于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。
1.2.1 基本初等函数 ( basic elementary function )
P.6 表1.2
1.2.2 复合函数
设 y = lnu，u =1- x2。问： 能否通过变量 u， 将 y 表示成 以 x 为自变量的函数？
当 x∈(-1, 1)，能通过变量 u 将 y 表示成 x 的 函数： y = ln(1- x2), x∈(-1, 1) D*
当 x∈(-∞, -1]∪[1, +∞)时，不能通过变量 u 将 y 表示成 x 的函数。
定义1.2 (复合函数)
设 y 是 u 的函数 y = f (u)， u 是 x 的函数 u =φ(x)。D* 表示 u =φ(x) 的定义域中使得函数 y = f (u) 有意义的全体 x 的非空集合。则当 x∈D* 时， 函数 u =φ(x) 所对应的 u 值使得函 数 y = f (u) 有确定的值与x 相对应，从而得到一 个以 x 为自变量，y 为因变量的函数，记为 y = f [φ(x ) ] ， x∈D* 这时，称 y 为 x 的复合函数。其中，称 y = f (u) 为外函数，u =φ(x) 为内函数，u 为中间变量。
如：有些分段函数就不是初等函数。
非初等函数举例: 符号函数 当x>0 当x=0 当x<0 取整函数
y
1
o
1
x
当
y
2 1o
1 2 3 4
x
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内容小结
1. 集合区间、邻域 2. 函数的定义及函数的二要素 3. 函数的特性 4. 初等函数的结构 定义域
对应规律
有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性
f (a x) f (a x),
于是
f (b x) f (b x) f ( 2a x )
f (x) f a ( x a)
故 f (x) 是周期函数 , 周期为
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1.2 初等函数