线性代数课件2-2

例5 设
1 1 1 − 1 A= B= − 1 − 1 −1 1
2 2 BA = , − 2 − 2
0 0 , 解： AB = 0 0
显然 AB=O, 但 B≠O,且A≠O =O, ≠O,且 ≠O ≠O,
AB ≠ BA.
但也有例外， 但也有例外，比如 设
矩阵乘法与实数乘法的比较： 矩阵乘法与实数乘法的比较： (1) 实数乘法满足交换率。即ab=ba 实数乘法满足交换率。 矩阵乘法不满足交换率。 矩阵乘法不满足交换率。即AB≠BA 不满足交换率 (2) 实数乘法满足消去率。 实数乘法满足消去率。 即：若ab=ac,且a ≠0,则有 则有b=c 且 则有 矩阵乘法不满足消去率 不能得出B=C 即：由AB=AC,且A ≠O,不能得出 且 不或b=0 可推出 或 在矩阵乘法中， 不能推出A=O或B=O 在矩阵乘法中，由AB=O不能推出 不能推出 或
0 1 0 1 = 0 1 = 0
E2
注： 此题 AB=AC, 且 A ≠O,但B ≠C ,
矩阵乘法的运算规律
(1) ( AB )C = A( BC ); (2) A( B + C ) = AB + AC , (4) AE = EA = A;
若A是 n 阶矩阵，则 A k 为A的 k 次幂，即 的 次幂， (5 ) 是 阶矩阵， m k m k m+k k 并且 A A = A ,( A ) = Amk . A = A AL A
求：AB, AC。 。
1 1 0 0 解：AB = 0 1 0 0 1 1 AC = 1 0 0 0 0 1 0 0
0 1 1 , c = 0 0 0
0 1 0
0 1 0 1 = 0 1 = E 2 0
b11 B = b21 b 31
c11 a11b11 + a12b21 + a13b31 C = = c a b + a b + a b 21 21 11 22 21 23 31
的乘法. 这种关系就是矩阵 A 与矩阵 B 的乘法.
定义4 定义4 设矩阵 A = a ij
( )
B ， = bij m× s
( )
s× n
，那么
矩阵Ａ与矩阵 B的乘积是一个 m × n矩阵 矩阵Ａ
C = c ij
( )
， 其中 m×n
ｓ ｋ=1
cij = a i1b1 j + a i 2 b2 j + L + a is bsj＝∑ a ik bkj
⇒ Am × s B s × n = C m × n
例3
1 2 3 4 −1 2 0 设 A= 1 2 − 3 B = 3 1 2 0 4 5 1 2
求AB。 。
解
AB =
−1 2 0 1 2 − 3

即
i
a 11 L 行 a i 1 L a m1
C = AB.
a 12 L ai2 L am 2 L L L L L a1s b11 L b 21 a is L L bs1 a ms L L L L b1 j b2 j L b sj L L L L c b1 n 11 L b2 n = c L i1 L b sn cm1 L L L L L c1 j L c ij L c mj L L L L L c1n L c in L c mn
1
b2
是一个数
由以上两例，不难看出： 由以上两例，不难看出： 意义时 不一定有意义 （1）AB 有意义时，BA不一定有意义； 不一定有意义； 都有意义也可能 （2）即使 AB 与 BA 都有意义也可能 AB≠BA， ， 然而对于个别矩阵也可能出现 AB = BA， ， 可交换的. 这时称 A 与 B 是可交换的. 矩阵乘法与实数乘法在运算规则上有一些不同 归纳如下： 归纳如下：
A = a ij
( )
m× n ，
B = bij
( )
m×n ，
则
A − B = A + (− B ) = (a ij − bij )m×n
矩阵的加法满足如下运算律 都是同型矩阵: 设 A, B, C, 0 都是同型矩阵 加法交换律）； （1）A + B = B + A （加法交换律）； ） （2）(A + B) + C = A + (B+C)（加法结合律）； ） （加法结合律）； （3）A + 0 = 0 + A； ） ； （4）A + (– A) = 0. ）
3 0 6 − 1 1 0 , B= 例1 设 A = 2 − 1 1 0 −2 3
求 A + B 与 A – B. 解
6 + 0 2 1 6 3 + ( −1) 0 + 1 A+ B = = 2 + 0 ( −1) + ( −2) 1 + 3 2 − 3 4
25 × 0.5 + 20 × 0.2 + 18 × 0.7 29.1 C = 24 × 0.5 + 16 × 0.2 + 27 × 0.7 = 34.1
即 甲公司每月的利润为29.1万元， 甲公司每月的利润为29.1万元， 29.1万元 乙公司的利润为34.1万元. 乙公司的利润为34.1万元. 34.1万元 其中
,求AB。 。
a1b2 L a1bn
anb2 L anbn n× n
a2b2 L a 2 bn L L L
此题BA有意义 有意义, 注：此题 有意义, 但BA= (b =
L
a1 a bn ) 2 = a1b1 + a 2 b2 + L a n bn L a n
1 2 3 4 3 1 2 0 4 5 1 2
5
0
1 -4
=
- 5 -11 4 - 2
× 2×4
此题BA无意义 因为 B3×○A2×3 无意义， 注：此题 无意义， 4 ○
例4 设
解：
AB =
a1 a2 A = , B = (b1 b2 L bn ) L a n a1b1 a1 a 2 (b b L b ) = a 2 b1 2 n L L 1 a b a n1 n
ka11 ka 21 kA = Ak = L ka m1 ka12 ka 22 L ka m 1 L ka1n L ka 2 n . L L L ka mn
数乘运算有如下 运算律 A、B为同型矩阵，k，l 为常数： 为同型矩阵， ， 为常数： 为同型矩阵
0−1 6 − 0 4 − 1 6 3 − ( −1) A− B = = 2 − 0 ( −1) − ( −2) 1 − 3 2 1 − 2
二、数与矩阵相乘
定义3 以数 k 乘矩阵 的每一个元素所得到的 乘矩阵A的每一个元素所得到的 定义 矩阵, 数量乘积， 矩阵,称为数 k 与矩阵 A 的数量乘积， 简称数乘， 简称数乘，记为 kA 或 Ak. 数乘 如果 A = (aij)m×n , 那么 kA = Ak = (kaij)m×n . × ×
a1n + b1 n L a 2 n + b2 n L L L a mn + bmn L
当两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算. 说明 当两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算.
定义2 定义2 设矩阵 A = (a ij )m×n ， 称矩阵 (− a ij )m×n 为 矩阵A的负矩阵， 矩阵 的负矩阵，记作 – A . 由此可定义矩阵的减法运算， 由此可定义矩阵的减法运算，设矩阵
3 2 0 4 3 0 6 = 2 − 2 2 = 2 3 − 3 3
三、矩阵与矩阵相乘
设甲、 例 设甲、乙两家公司生产 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三种型号的 计算机，月产量（单位: 计算机，月产量（单位: 台）为 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 25 20 18 甲 A= 24 16 27 乙 如果生产这三种型号 的计算机每台的利润 单位：万元／ 为 (单位：万元／台)
§2·2
矩阵的运算
一、矩阵的加法 定义１ 定义１
设有两个 m × n 矩阵 A = (a ij ), B = (bij ), 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A + B,规定为
a11 + b11 a 21 + b21 A+ B = L a + b m1 m1
a12 + b12 a 22 + b22 L a m 2 + bm 2
0. 0.5 Ⅰ b11 Ⅱ B = 0.2 = b21 0.7 Ⅲ b31
a11 a12 a13 = a a22 a23 21
求这两家公司的月利润 单位:万元) (单位:万元) .
矩阵C 解 这两家公司的月利润应为 ( 矩阵 ):
a11b11 + a12b21 + a13b31 C = a b + a b + a b 21 11 22 21 23 31
从例题可以看到矩阵A、 、 的元素之间有下列关系: 从例题可以看到矩阵 、B、C 的元素之间有下列关系:
a11 a12 a13 A= a a22 a23 21
2 0 A= , 0 2