绵阳市高中2011级第二次诊断性考试 理科数学
绵阳市高中2011级第二次诊断性考试理科数学答案
绵阳市高2011级第二次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．BDCDA AACCB 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．．113．414．15．②③ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（Ⅰ）f (x )=a •b =2sin 2x +2sin x cos x =22cos 12x-⨯+sin2x=sin(2x -4π)+1， ……………………………… 3分由-2π+2k π≤2x -4π≤2π+2k π，k ∈Z ，得-8π+k π≤x ≤83π+k π，k ∈Z ，∴ f (x )的递增区间是[-8π+k π，83π+k π]( k ∈Z )． ………………………… 6分（II ）由题意g (x )=x +6π)-4π]+1=sin(2x+12π)+1，………… 9分 由12π≤x ≤127π得4π≤2x+12π≤45π，∴ 0≤g (x )≤+1，即 g (x )的最大值为，g (x )的最小值为0． … 12分17．解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ，由题知 a 1= 12，又∵ S 1+a 1，S 2+a 2，S 3+a 3成等差数列， ∴ 2(S 2+a 2)=S 1+a 1+S 3+a 3，变形得S 2-S 1+2a 2=a 1+S 3-S 2+a 3，即得3a 2=a 1+2a 3， ∴ 32 q =12 +q 2，解得q =1或q=12 ， …………………………………………4分 又由{a n }为递减数列，于是q=12，∴ a n =a 11-n q =( 12 )n ． ……………………………………………………6分（Ⅱ）由于b n =a n log 2a n =-n ∙( 12)n ，∴ ()211111[1+2++1]2222n nn T n n -=-⋅⋅-⋅+⋅ （）（）（），于是()211111[1++1]2222n n n T n n +=-⋅-⋅+⋅ （）（）（），两式相减得：2111111[()++()]22222n n n T n +=--⋅ +()111[1()]122=1212n n n +⋅--+⋅-()，∴ ()12()22n n T n =+⋅-．∴21()22n n T n +=+≥116，解得n ≤4， ∴ n 的最大值为4． …………………………………………………………12分18．解：（I ）∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，∴3600120x+=0.05，解得x =60． ………………………………………………2分 ∴ 持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720． ……… 4分∴ 应在“无所谓”态度抽取720×3603600=72人． ………………………… 6分（Ⅱ）由（I ）知持“应该保留”态度的一共有180人，∴ 在所抽取的6人中，在校学生为6180120⨯=4人，社会人士为618060⨯=2人， 于是第一组在校学生人数ξ=1，2，3， …………………………………… 8分P (ξ=1)=12423615C C C =，P (ξ=2)=21423635C C C =，P (ξ=3)=30423615C C C =， 即ξ的分布列为：10分∴ E ξ=1×15+2×35+3×15=2． …………………………………………… 12分 19．（I ）证明：如图，作 FG ∥EA ，AG ∥EF ，连结EG 交AF 于H ，连结BH ，BG ，∵ EF ∥CD 且EF =CD ， ∴ AG ∥CD ，即点G 在平面ABCD 内． 由AE ⊥平面ABCD 知AE ⊥AG ， ∴ 四边形AEFG 为正方形，CDAG 为平行四边形， …………………………………………………… 2分 ∴ H 为EG 的中点，B 为CG 中点， ∴ BH ∥CE ，∴ CE ∥面ABF ．……………………………………………………………… 4分 （Ⅱ）证明：∵ 在平行四边形CDAG 中，∠ADC =90º， ∴ BG ⊥AG ．又由AE ⊥平面ABCD 知AE ⊥BG ， ∴ BG ⊥面AEFG ，∴ BG ⊥AF ．…………………………………………………………………… 6分 又∵ AF ⊥EG ， ∴ AF ⊥平面BGE ，∴ AF ⊥BE ．…………………………………………………………………… 8分 （Ⅲ）解：如图，以A 为原点，AG 为x 轴，AE 为y 轴，AD 为z 轴建立空间直角坐标系A -xyz ．则A (0，0，0)，G (1，0，0)，E (0，0，1)，D (0，2，0)，设M (1，y 0，0)，∴ (021)ED =- ，，，0(12)DM y =-，，0， 设面EMD 的一个法向量()x y z =，，n ， 则020(2)0ED y z DM x y y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，，n n 令y =1，得022z x y ==-，， ∴ 0(212)n y =-，，．………………………………………………………… 10分 又∵ AE AMD ⊥面，∴ (001)AE =，，为面AMD 的法向量， ∴cos cos6|<n >|AE π===，，解得02y =±， 故在BC 上存在点M ，且|CM|=|2(2-|=．………………………12分 20．解：（I ）设椭圆的标准方程为12222=+bx a y (a >b >0)，焦距为2c ，则由题意得 c =3，24a ==， ∴ a =2，222b a c =-=1，∴ 椭圆C 的标准方程为2214y x +=． ……………………………………… 4分∴ 右顶点F 的坐标为(1，0)．设抛物线E 的标准方程为22(0)y px p =>， ∴1242pp ==，， ∴ 抛物线E 的标准方程为24y x =． ………………………………………… 6分（Ⅱ）设l 1的方程：(1)y k x =-，l 2的方程1(1)y x k =--，11()A x y ，，22()B x y ，，33()G x y ，，44()H x y ，， 由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，，消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=， ∴ x 1+x 2=2+24k，x 1x 2=1． 由21(1)4y x ky x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，，消去y 得：x 2-(4k 2+2)x +1=0， ∴ x 3+x 4=4k 2+2，x 3x 4=1，……………………………………………………9分 ∴ ()()AG HB AF FG HF FB ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ =||·||+||·|| =|x 1+1|·|x 2+1|+|x 3+1|·|x 4+1|=(x 1x 2+x 1+x 2+1)+(x 3x 4+x 3+x 4+1) =8+2244k k+ ≥8+22442k k⋅ =16．当且仅当2244k k=即k =±1时，⋅有最小值16．……………………13分 21．解：（I ）∵[0)x ∈+∞，时，2()(1)2x af x e x =-，∴ 2()(1)2x af x e x ax '=--+．由题意，)(x f '≥0在[0)+∞，上恒成立， 当a =0时，()x f x e '=>0恒成立，即满足条件．当a ≠0时，要使)(x f '≥0，而e x >0恒成立，故只需212ax ax --+≥0在[0)+∞，上恒成立，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+⋅-⋅->-，，01002022a a a解得a <0． 综上，a 的取值范围为a ≤0．……………………………………………… 4分 （Ⅱ）由题知f (x )≤x +1即为x e -22xa x e ≤x +1． ①在x ≥0时，要证明x e -22xa x e ≤x +1成立， 只需证x e ≤212x a x e x ++，即证1≤212x a x x e++， ① 令21()2x a x g x x e+=+，得21(1)()()x x x x e x e x g x ax ax e e ⋅-+'=+=-， 整理得)1()(x ea x x g -='， ∵ x ≥0时，1x e≤1，结合a ≥1，得)(x g '≥0， ∴ ()g x 为在[0)+∞，上是增函数，故g (x )≥g (0)=1，从而①式得证．②在x ≤0时，要使x e -22xa x e ≤x +1成立， 只需证x e ≤212x a x e x -++，即证1≤22(1)2x x ax e x e --++， ② 令22()(1)2xx ax m x e x e --=++，得2()[(1)]x x m x xe e a x -'=-+-， 而()(1)x x e a x ϕ=+-在x ≤0时为增函数， 故()x ϕ≤(0)1a =-ϕ≤0，从而()m x '≤0，∴ m (x )在x ≤0时为减函数，则m (x )≥m (0)=1，从而②式得证． 综上所述，原不等式x e -22xa x e ≤x +1即f (x )≤x +1在a ≥1时恒成立．…10分 （Ⅲ）要使f (x 0)>x 0+1成立，即1202000+>-x e x a e x x ， 变形为02001102x ax x e++-<， ③要找一个x 0>0使③式成立，只需找到函数21()12x ax x t x e +=+-的最小值，满足min ()0t x <即可．∵ 1()()x t x x a e'=-， 令()0t x '=得1x e a=，则x =-ln a ，取x 0=-ln a ， 在0< x <-ln a 时，()0t x '<，在x >-ln a 时，()0t x '>，即t (x )在(0，-ln a )上是减函数，在(-ln a ，+∞)上是增函数， ∴ 当x =-ln a 时，()t x 取得最小值20()(ln )(ln 1)12a t x a a a =+-+- 下面只需证明：2(ln )ln 102aa a a a -+-<在01a <<时成立即可． 又令2()(ln )ln 12a p a a a a a =-+-， 则21()(ln )2p a a '=≥0，从而()p a 在(0，1)上是增函数，则()(1)0p a p <=，从而2(ln )ln 102aa a a a -+-<，得证． 于是()t x 的最小值(ln )0t a -<，因此可找到一个常数0ln (01)x a a =-<<，使得③式成立．………………14分。
四川省绵阳市2014届高三第二次诊断性考试数学(理)试题(附答案)
绵阳市高中2011级第二次诊断性考试数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名．考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸．试题卷上答题无效．3．考试结束后，将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|x+2>0}，集合B={-3，-2，0，2}，那么(R A)∩B=A ．∅B ．{-3，-2}C ．{-3}D ．{-2，0，2}2．设i 是虚数单位，复数103i-的虚部为 A ．-i B ．-1 C ．iD ．13．执行右图的程序，若输出结果为2，则输入的实数x 的值是A ．3B ．14C ．4D ．24．已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是A ．l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥mB ．l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥nC ．m ⊂α，n ⊂β，m//n ，且l ⊥mD ．l ⊂α，l//m ，且m ⊥β5．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆 内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为 A ．8+3πB ．8+23π 俯视图正视图 侧视图C ．8+83πD ．8+163π6．圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线1322=-y x 的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为 A ．x 2+(y-1)2=1 B ．x 2+(y-3)2=3 C ．x 2)2=34D ．x 2+(y-2)2=47．已知O 是坐标原点，点(11)A -，，若点()M x y ，为平面区域220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，，上的一个动点，则|AM|的最小值是 AB． C． D8．某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为 A ．1860B ．1320C ．1140D ．10209．已知O 是锐角△ABC 的外心，若OC=xOA yOB +(x ，y ∈R)，则A ．x+y ≤-2B ．-2≤x+y<-1C ．x+y<-1D ．-1<x+y<010．设a ，b ，x ∈N*，a ≤b ，已知关于x 的不等式lgb-lga<lgx<lgb+lga 的解集X 的元素个数为50个，当abA ．21B ．6C ．17D ．4第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．tan300º=_______．12．已知直线l 1：x+(1+k)y=2-k 与l 2：kx+2y+8=0平行，则k 的值是_______． 13．若6(x 展开式的常数项是60，则常数a 的值为 ．14．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意一点，若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，且cos αsin(α+β)=35，则此椭圆的离心率为 ．15．()f x 是定义在D 上的函数，若存在区间[]m n D ⊆，，使函数()f x 在[]m n ，上的值域恰为[]km kn ，，则称函数()f x 是k 型函数．给出下列说法： ①4()3f x x=-不可能是k 型函数；②若函数22()1(0)a a x y a a x +-=≠是1型函数，则n m - ③若函数212y x x =-+是3型函数，则40m n =-=，； ④设函数32()2f x x x x =++(x ≤0)是k 型函数，则k 的最小值为49． 其中正确的说法为 ．（填入所有正确说法的序号）三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）已知向量a =(sin 2cos )x x ，，b=(2sin sin )x x ，，设函数()f x =a ⋅b ． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间7[]1212ππ，上的最大值和最小值． 17．（本题满分12分）已知首项为12的等比数列{a n }是递减数列，其前n 项和为S n ，且S 1+a 1，S 2+a 2，S 3+a 3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若2log n n n b a a =⋅，数列{b n }的前n 项和T n ，求满足不等式22n T n ++≥116的最大n 值．18．（本题满分12分）据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：． （Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望． 19．（本题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ADC=90º，AE ⊥平面ABCD ，EF//CD ， BC=CD=AE=EF=12AD =1． （Ⅰ）求证：CE//平面ABF ； （Ⅱ）求证：BE⊥AF ；（Ⅲ）在直线BC 上是否存在点M，使二面角E-MD-A 的大小为6π？若存在，求出CM 的长；若不存在，请说明理由． 20．（本题满分13分）已知椭圆C 的两个焦点是(0，和(0，并且经过点1)，抛物线的顶点E 在坐标原点，焦点恰好是椭圆C 的右顶点F ． （Ⅰ）求椭圆C 和抛物线E 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线l 1、l 2，l 1交抛物线E 于点A 、B ，l 2交抛物线E 于点G 、H ，求⋅的最小值． 21．（本题满分14分）已知函数2()2xx a f x e x e =-． （Ⅰ）若()f x 是[0)+∞，上是增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）证明：当a ≥1时，证明不等式()f x ≤x +1对x ∈R 恒成立；（Ⅲ）对于在(0，1)中的任一个常数a ，试探究是否存在x 0>0，使得0()f x >x 0+1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x 0；如果不存在，请说明理由．绵阳市高2011级第二次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．BDCDA AACCB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11． 12．113．414 15．②③ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）f(x)=a •b=2sin 2x+2sinxcosx =22cos 12x-⨯+sin2xsin(2x-4π)+1， ……………………………… 3分由-2π+2k π≤2x-4π≤2π+2k π，k ∈Z ，得-8π+k π≤x ≤83π+k π，k ∈Z ， ∴ f(x)的递增区间是[-8π+k π，83π+k π]( k ∈Z)． ………………………… 6分（II ）由题意6π)-4πsin(2x+12π)+1，………… 9分由12π≤x ≤127π得4π≤2x+12π≤45π，∴ 0≤g(x)，即 g(x)，g(x)的最小值为0． … 12分 17．解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ，由题知 a 1= 12，又∵ S 1+a 1，S 2+a 2，S 3+a 3成等差数列， ∴ 2(S 2+a 2)=S 1+a 1+S 3+a 3，变形得S 2-S 1+2a 2=a 1+S 3-S 2+a 3，即得3a 2=a 1+2a 3，∴ 32 q=12 +q 2，解得q=1或q=12 ， …………………………………………4分 又由{a n }为递减数列，于是q=12，∴ a n =a 11-n q =( 12 )n ． ……………………………………………………6分（Ⅱ）由于b n =a n log 2a n =-n ∙( 12)n ，∴ ()211111[1+2++1]2222n nn T n n -=-⋅⋅-⋅+⋅（）（）（），于是()211111[1++1]2222n n n T n n +=-⋅-⋅+⋅（）（）（），两式相减得：2111111[()++()]22222n n n T n +=--⋅+()111[1()]122=212n n n +⋅--+⋅-()， ∴ ()12()22n n T n =+⋅-． ∴21()22n n T n +=+≥116，解得n ≤4， ∴ n 的最大值为4． …………………………………………………………12分 18．解：（I ）∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，∴3600120x+=0.05，解得x=60． ………………………………………………2分 ∴ 持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720． ……… 4分 ∴ 应在“无所谓”态度抽取720×3603600 =72人． ………………………… 6分（Ⅱ）由（I ）知持“应该保留”态度的一共有180人， ∴ 在所抽取的6人中，在校学生为6180120⨯=4人，社会人士为618060⨯=2人， 于是第一组在校学生人数ξ=1，2，3， …………………………………… 8分P(ξ=1)=12423615C C C =，P(ξ=2)=21423635C C C =，P(ξ=3)=30423615C C C =， 即ξ的分布列为：10分∴ E ξ=1×15+2×35+3×15=2． …………………………………………… 12分 19．（I ）证明：如图，作 FG ∥EA ，AG ∥EF ，连结EG 交AF 于H ，连结BH ，BG ， ∵ EF ∥CD 且EF=CD ， ∴ AG ∥CD ，即点G 在平面ABCD 内． 由AE ⊥平面ABCD 知AE ⊥AG ，∴ 四边形AEFG 为正方形，CDAG 为平行四边形， …………………………………………………… 2分 ∴ H 为EG 的中点，B 为CG 中点， ∴ BH ∥CE ，∴ CE ∥面ABF ．……………………………………………………………… 4分 （Ⅱ）证明：∵ 在平行四边形CDAG 中，∠ADC=90º， ∴ BG ⊥AG ．又由AE ⊥平面ABCD 知AE ⊥BG ， ∴ BG ⊥面AEFG ，∴ BG ⊥AF ．…………………………………………………………………… 6分 又∵ AF ⊥EG ， ∴ AF ⊥平面BGE ，∴ AF ⊥BE ．…………………………………………………………………… 8分 （Ⅲ）解：如图，以A 为原点，AG 为x 轴，AE 为y 轴，AD 为z 轴建立空间直角坐标系A-xyz ．则A(0，0，0)，G(1，0，0)，E(0，0，1)，D(0，2，0)，设M(1，y 0，0)， ∴ (021)ED =-，，，0(12)DM y =-，，0， 设面EMD 的一个法向量()x y z =，，n ，则020(2)0ED y z DM x y y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，，n n 令y=1，得022z x y ==-，， ∴ 0(212)n y =-，，．………………………………………………………… 10分 又∵ AE AMD ⊥面，∴ (001)AE =，，为面AMD 的法向量， ∴cos cos6|<n >|AE π===，，解得02y =±， 故在BC 上存在点M ，且|CM|=|2(2-．………………………12分 20．解：（I ）设椭圆的标准方程为12222=+bx a y (a>b>0)，焦距为2c ，则由题意得 c=3，24a ，∴ a=2，222b a c =-=1，∴ 椭圆C 的标准方程为2214y x +=． ……………………………………… 4分 ∴ 右顶点F 的坐标为(1，0)．设抛物线E 的标准方程为22(0)y px p =>， ∴1242p p ==，， ∴ 抛物线E 的标准方程为24y x =． ………………………………………… 6分 （Ⅱ）设l 1的方程：(1)y k x =-，l 2的方程1(1)y x k=--，11()A x y ，，22()B x y ，，33()G x y ，，44()H x y ，，由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，，消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=， ∴ x 1+x 2=2+24k，x 1x 2=1． 由21(1)4y x ky x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，，消去y 得：x 2-(4k 2+2)x+1=0， ∴ x 3+x 4=4k 2+2，x 3x 4=1，……………………………………………………9分 ∴ ()()AG HB AF FG HF FB ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ =|AF |·|FB |+|FG |·|HF | =|x 1+1|·|x 2+1|+|x 3+1|·|x 4+1| =(x 1x 2+x 1+x 2+1)+(x 3x 4+x 3+x 4+1) =8+2244kk + ≥8+22442k k⋅ =16． 当且仅当2244k k=即k=±1时，HB AG ⋅有最小值16．……………………13分 21．解：（I ）∵[0)x ∈+∞，时，2()(1)2x a f x e x =-， ∴ 2()(1)2x a f x e x ax '=--+．由题意，)(x f '≥0在[0)+∞，上恒成立，当a=0时，()x f x e '=>0恒成立，即满足条件．当a ≠0时，要使)(x f '≥0，而e x >0恒成立，故只需212ax ax --+≥0在[0)+∞，上恒成立，即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+⋅-⋅->-，，01002022a a a解得a<0． 综上，a 的取值范围为a ≤0．……………………………………………… 4分 （Ⅱ）由题知f(x)≤x+1即为x e -22xa x e ≤x+1． ①在x ≥0时，要证明x e -22xa x e ≤x+1成立， 只需证x e ≤212x a x e x ++，即证1≤212x a x x e++， ① 令21()2x a x g x x e+=+，得21(1)()()x x x xe x e x g x ax ax e e ⋅-+'=+=-， 整理得)1()(x ea x x g -='， ∵ x ≥0时，1x e≤1，结合a ≥1，得)(x g '≥0， ∴ ()g x 为在[0)+∞，上是增函数，故g(x)≥g(0)=1，从而①式得证． ②在x ≤0时，要使x e -22xa x e ≤x+1成立， 只需证x e ≤212xa x e x -++，即证1≤22(1)2x x a x e x e --++， ② 令22()(1)2xx ax m x e x e --=++，得2()[(1)]x x m x xe e a x -'=-+-， 而()(1)x x e a x ϕ=+-在x ≤0时为增函数， 故()x ϕ≤(0)1a =-ϕ≤0，从而()m x '≤0，∴ m(x)在x ≤0时为减函数，则m(x)≥m(0)=1，从而②式得证． 综上所述，原不等式x e -22xa x e ≤x+1即f(x)≤x+1在a ≥1时恒成立．…10分 （Ⅲ）要使f(x 0)>x 0+1成立，即1202000+>-x e x a e x x ， 变形为02001102x ax x e++-<， ③要找一个x 0>0使③式成立，只需找到函数21()12x ax x t x e+=+-的最小值，满足min ()0t x <即可．∵ 1()()xt x x a e '=-， 令()0t x '=得1x e a=，则x=-lna ，取x 0=-lna ， 在0< x <-lna 时，()0t x '<，在x >-lna 时，()0t x '>， 即t(x)在(0，-lna)上是减函数，在(-lna ，+∞)上是增函数， ∴ 当x=-lna 时，()t x 取得最小值20()(ln )(ln 1)12at x a a a =+-+- 下面只需证明：2(ln )ln 102a a a a a -+-<在01a <<时成立即可． 又令2()(ln )ln 12ap a a a a a =-+-， 则21()(ln )2p a a '=≥0，从而()p a 在(0，1)上是增函数， 则()(1)0p a p <=，从而2(ln )ln 102a a a a a -+-<，得证． 于是()t x 的最小值(ln )0t a -<，因此可找到一个常数0ln (01)x a a =-<<，使得③式成立．………………14分。
四川省绵阳市高中高三数学上学期第二次诊断性考试试题
绵阳市高中2013级第二次诊断性考试数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，必将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将对应题目的答案标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}2|{A xy y ==，集合}|{B x y y ==，则=B A I(A) ),0[+∞ (B) ),1(+∞ (C) ),0(+∞(D) ),(+∞-∞2.为了得到函数)52sin(3π+=x y 的图象，只需把函数)5sin(3π+=x y 图象上的所有点 (A)横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变 (B) 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 纵坐标缩短到原来的21倍，横坐标不变 (D) 纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变3．双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率是(A)45 (B)35 (C) 37 (D)3214.在复平面内，复数i R a i a a z ,()1()1(∈++-=为虚数单位），对应的的点在第四象限的充要条件是 (A) 1-≥a (B) 1->a (C)1-≤a(D) 1-<a5．直线032=-+y x 的倾斜角是θ，则θθθθcos sin cos sin -+的值是(A) -3 (B)-2 (C) 31-(D) 36．在闭区间]6,4[-上随机取出一个数x ，执行右图程序框图，则输出x 不小于39的概率为 (A)51 (B) 52(C) 53 (D) 547．已知点M 是边长为2的形ABCD 的内切圆内（含边界)的一动点，则MB MA •的取值范围是(A) []0,1- (B) []2,1- (C) []3,1- (D) []4,1-8．已知正项等比数列}n a ｛满足82345=--+a a a a ，则76a a +的最小值为 (A) 4(B) 16 (C) 24(D) 329．已知函数),(21)(2是常数c b c xb x x f ++=和x x x 141)( g +=定义在M=}41|≤≤x x ｛上的函数，对任意的M x ∈，存在M x ∈0使得)()(0x f x f ≥，)()(0x g x g ≥，且)( g )(00x x f =,则)(x f 在集合M 上的最大值为(A)27(B)29 (C) 4(D) 510.已知抛物线)0(42>=p py x 的焦点为F ，直线2+=x y 与该抛物线交于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若251)(p FN BF AF BF AF --=⋅++•，则p 的值为(A)41(B)21(C) 1 (D) 2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答.作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如右图，则该同学成绩的中位 数是_______．12.在5)1(-x x 展开式中含3x 项的系数是_______．（用数字作答) 13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三全不同的数字组成的三位偶数有_______个．（用数字作答)14．已知点P 在单位圆122=+y x 上运动，点P 到直线01043=--y x 与3=x 的距离分别记为1d 、2d ，则21d d +最小值为_________．15．现定义一种运算“⊕”： 对任意实数b a ,， ⎩⎨⎧<-≥-=⊕1,1,b a a b a b b a .设)3()2()(2+⊕-=x x x x f ，若函数k x f x g +=)()(的图象与x 轴恰有三个公共点，则实数k 的取值范围是_________．三、解答题：本大题共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在)2010[，，)30,20[，)4030[，，)5040[，，)6050[，的市民进行问卷调查，由此得到样本占有率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄在)4030[，的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求)6050[，年龄段抽取样品的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在)6050[，年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望.17．（本题满分12分）已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=． (Ⅰ) 若x 是某三角形的一个内角，且的值，并22)(-=x f ，求角x 的大小； (Ⅱ) 当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合．18．（本题满分12分）已知二次函数为非零常数）m m x x x f (4)(2++=的图象与坐标轴有三个交点，记过 这三个交点的圆为圆C ．(Ⅰ) 求m 的取值范围；(Ⅱ) 试证明圆C 过定点取值无关）与m (，并求出定点的坐标．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和S n 满足：S 5=30，S 10=110，数列{}n b 的前n 项和T n 满足：11=b 121=-+n n T b ．(Ⅰ) 求S n 与b n ；(Ⅱ) 比较S n b n 与n n a T 2的大小，并说明理由．20．（本题满分13分）在平面直角坐标系中，动点M 到定点F （－１，０）的距离与它到直线2-=x 的距离之比是常数22，记M 的轨迹为T ． (Ⅰ) 求轨迹T 的方程；(Ⅱ) 过F 且不与x 轴重合的直线m ，与轨迹T 交于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，在轨迹T 上是否存在点Q ，使得四边形A PBQ 为菱形？若存在，请求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本题满分14分）已知函数为常数）m mx x x f (ln )(-=．(Ⅰ) 讨论函数)(x f 的单调区间； (Ⅱ) 当223≥m 时，设2)(2)(x x f x g +=的两个极值点21x x ，，)21x x <（恰为bx cx x x h --=2ln )(的零点，求)2(')(2121x x h x x y +-=的最小值.绵阳市高2013级第二次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．BABDC ACDDB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．127 12．-10 13．5214．5545-15．(-3，-2)∪]78(-，-∪{1} 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解 ：（I ）由图知，随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的频率为1-10⨯(0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3， 即随机抽取的市民中年龄段在)4030[，的人数为100⨯0.3=30人． ………3分 （II ）由（I ）知，年龄段在)5040[，，)6050[，的人数分别为100⨯0.15=15人，100⨯0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，∴ 在)6050[，年龄段抽取的人数为10⨯255=2人． …………………………6分 （III ）由已知X =0，1，2，P (X =0)=1032523=C C ，P (X =1)=53251312=C C C ，P (X =2)=1012522=C C ， ∴ X X 0 12 P103 53 101 ∴ EX =0×10+1×5+2×10=5． …………………………………………12分17．解：（I ）f (x )=(cos 2x -sin 2x )(cos 2x +sin 2x )-sin2x=cos2x -sin2x=-2sin(2x -4π)， ……………………………………………3分 由-2sin(2x -4π)=-22，即sin(2x -4π)=21， ∴ 2x -4π=2k π+6π，k ∈Z ，或2x -4π=2k π+65π，k ∈Z ，解得x =k π+245π，k ∈Z ，或x =k π+2413π，k ∈Z ，…………………6分∵ 0<x <π，∴ x =245π，或x =2413π． ……………………………………………………8分（II ）由（I ）知f (x )=-2sin(2x -4π)，∵ [0]2x π∈，， ∴ 2x -4π∈3[]44ππ-，， ∴ -2≤f (x )≤1，∴ 当且仅当2x -4π=2π，即x =83π时，f (x )取得最小值-2，即f (x )的最小值为-2，此时x 的取值集合为{83π}．……………………12分18．解：（I ）令x =0，得函数与y 轴的交点是(0，m )．令04)(2=++=m x x x f ，由题意0≠m 且0>∆，解的4<m 且0≠m ．…………………………………4分（II ）设所求的圆的一般方程为022=++++F Ey Dx y x ，令0=y 得02=++F Dx x ，这与042=++m x x 是同一个方程，故D =4，F =m ，…………………………………………………………………6分 令x =0得02=++F Ey y 方程有一个根为m ， 代入得1--=m E .∴ 圆C 的方程为0)1(422=++-++m y m x y x ． ……………………………9分 将圆C 的方程整理变形为0)1(422=---++y m y x y x ， 此方程对所有满足4<m 且0≠m 都成立，须有⎩⎨⎧=-=-++，，010422y y x y x 解的⎩⎨⎧==，，10y x 或⎩⎨⎧=-=，，14y x经检验知，(-4，1)和(0，1)均在圆C 上，因此圆C 过定点(-4，1)和(0，1)．……………………12分19．解： （I ）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+，，11029101030245511d a d a 解得⎩⎨⎧==，，221d a ∴ a n =2+(n -1)×2=2n ，S n =2)22(n n +=n 2+n ．………………………………3分对数列{b n }，由已知有b 2-2T 1=1，即b 2=2b 1+1=3， ∴ b 2=3b 1，（*）又由已知121n n b T +-=，可得b n -21-n T =1(n ≥2，n ∈N*)，两式相减得b n +1-b n -2(T n -1-n T )=0，即b n +1-b n -2b n =0(n ≥2，n ∈N *)， 整理得b n +1=3b n (n ≥2，n ∈N *)，结合（*）得31=+nn b b(常数)，n ∈N *，∴ 数列{b n }是以b 1=1为首项1，3为公比的等比数列，∴ b n =13-n ．……………………………………………………………………7分 （II ）2T n = b n +1-1=n 3-1，∴ n n S b =(n 2+n )·13-n ，2n n a T =2n ·(n 3-1)，于是n n S b -2n n a T =(n 2+n )·13-n - 2n ·(n 3-1)=]2)5(3[1+--n n n ，………………9分显然当n ≤4(n ∈N *)时，n n S b -2n n a T <0，即n n S b <2n n a T ； 当n ≥5(n ∈N *)时，n n S b -2n n a T >0，即n n S b >2n n a T ，∴ 当n ≤4(n ∈N *)时，n n S b <2n n a T ；当n ≥5(n ∈N *)时，n n S b >2n n a T ．………………………………………………12分20．解：（I ）设动点M (x ，y )，则由题意可得222)1(22=+++x y x ， 化简整理得C 的方程为1222=+y x ．……………3分（II ）假设存在Q (x 0，y 0)满足条件．设依题意可设直线m 为x =ky -1，于是⎪⎩⎪⎨⎧=+-=，，12122y x ky x 消去x ，可得(k 2+2) y 2-2ky -1=0， 令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，于是y 1+y 2=222+k k ，x 1+x 2=k (y 1+y 2)-2=242+-k ，……………………………7分∴ AB 的中点N 的坐标为(222+-k ，22+k k)．∵ PQ ⊥l ，∴ 直线PQ 的方程为y -22+k k =-k (x +222+k )，令y =0，解得x =212+-k ，即P (212+-k ，0)．………………………………9分∵ P 、Q 关于N 点对称，∴ 222+-k =21( x 0212+-k )，22+k k=21( y 0+0)，解得x 0=232+-k ，y 0=222+k k ，即Q (232+-k ，222+k k)． ……………………11分∵ 点Q 在椭圆上， ∴ (232+-k )2+2(222+k k )2=2，解得k 2=21，于是212=k，即421±=k ，∴ m 的方程为y =42x +42或y =-42x -42． ……………………………13分21．解：（I ）xmxm x x f -=-='11)(，x >0．当m >0时，由1-mx >0解得x <m 1，即当0<x <m 1时，)(x f '>0，f (x )单调递增；由1-mx <0解得x >m 1，即当x >m1时，)(x f '<0，f (x )单调递减．当m =0时，)(x f '=x1>0，即f (x )在(0，+∞)上单调递增； 当m <0时，1-mx >0，故)(x f '>0，即f (x )在(0，+∞)上单调递增．∴当m >0时，f (x )的单调递增区间为(0，m 1)，单调递减区间为(m1，+∞)；当m ≤0时，f (x ) 的单调递增区间为(0，+∞)． …………………………5分（II ）2()2()g x f x x =+=2ln x -2mx +x 2，则xmx x x g )1(2)(2+-='，∴ )(x g '的两根x 1，x 2即为方程x 2-mx +1=0的两根．∵ m ≥223， ∴ ∆=m 2-4>0，x 1+x 2=m ，x 1x 2=1． …………………………………………7分 又∵ x 1，x 2为2()ln h x x cx bx =--的零点，∴ ln x 1-cx 12-bx 1=0，ln x 2-cx 22-bx 2=0，两式相减得 21ln x x -c (x 1-x 2)(x 1+x 2)-b (x 1-x 2)=0，得b =)(ln 212121x x c x x x x +--， 而b cx xx h --='21)(， ∴ y =])(2)[(212121b x x c x x x x -+-+-=-+-+-)(2)[(212121x x c x x x x )(ln212121x x c x x x x ++-] =212121ln )(2x x x x x x -+-=212121ln 112x x x x x x -+-⋅，…………… ……………10分令t x x=21(0<t <1)， 由(x 1+x 2)2=m 2得x 12+x 22+2x 1x 2=m 2，因为x 1x 2=1，两边同时除以x 1x 2，得t +t1+2=m 2，∵ m ≥223，故t +t 1≥25，解得t ≤21或t ≥2，∴ 0<t ≤21．……………12分设G (t )=t t t ln 112-+-⋅，∴ )(t G '=0)1()1(2<+--t t t ，则y =G (t )在]210(，上是减函数， ∴ G (t )m in = G (21)=-32+ln2，即1212()()2x x y x x h +'=-的最小值为-32+ln2． ……………………………14分。
四川省南充市高三数学第二次诊断性考试 理 旧人教版
南充市高2011届第二次高考适应性考试数学试卷(理科)本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
总分150分,考试时间120分钟。
考生答题时，注意事项见答题卡，在本试卷上答题无效。
考试结束后，只将答题卡交回。
第I卷选择题(满分60分）注意事项：1. 答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在机读卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3. 参考公式①如果事件A、B互斥,那么④球的表面积公式：P(A+B)=P(A)+P(B)②如果事件A、B相互独立,那么其中R表示球的半径P(A•B)=P(A)•P(B)⑤球的体积公式：③如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.1. 已知命题，，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2. 已知向量不共线，若，且A、B、C三点共线，则关于实数一定成立的关系式为（）A.=1B.= -1C.=1D.=13等差数列中，=6，则数列的前9项之和等于（）A.24B. 48C. 72D. 1084. 满足，则厶ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5. 函数的部分图象是（)6. 设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围是（）A.(，)B. (，)C. (O,)D. (，0)7. 数列的首项=1，前/I项之和为，已知向量，且时，成立，则=( )A. B. -1 C. D.8. 设实数、y满足约束条件，，若目标函数的最大值为12,则的最小值为（）A.4B.C.D.9. 某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加,则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种类为（）A. 720B. 520C. 600D. 36010. 已知A\B、C是表面积为的球面上三点，且AB=2，BC=4，ABC=为球心，则二面角0-AB-C 的大小为（ )A. B. C. D.11. 已知双曲线C:(a>0，b>0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为（）A. B. C. D.12. 已知函数的导函数为，且，如果,则实数a的取值范围是（）A. (0,1)B.C.D.南充市髙2011届第二次高考适应性考试数学（理科）总分栏题号一一总分17 18 19 2021 22得分第II卷(非选择题，满分90分）注意事项：(1) 用黑色签字笔答在答题卡上对应的框内(2) 答题前将答题卡上的项目填写清楚二、填空题:本题共4小题,共16分,把答案填在题中的横线上13. 在的展开式中含的项的系数是_________14. 如果直线与圆交于M、N两点,且M、N关于直线2x+y=0对称，则直线l被圆截得的弦长为________________15. 在平面直角坐标系中,若方程所表示的曲线是椭圆，则实数m的取值范围是________________.16. 已知复数(i是虚数单位），b是z的虚部,且函数（a>0且）在区间(0,)内恒成立，则函数的递增区间是________________三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17(本题满分12分）已知函数h，①将函数化简成的形式.②求函数的值域.18(本题满分12分）用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃（不一定用完每一种颜色的鲜花），要求同一区域上用同一种颜色的鲜花,相邻区域用不同颜色的鲜花.①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；②记花圃中红色鲜花区域的块数为求的分布列和数学期望E19(本题满分12分）在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD丄底面ABCD,侧棱P A=P D =,底面 ABCD 为直角梯形，其中BC//AD,AB丄AD,AD=2AB=2BC=2,0为A D中点.①求证PO丄平面ABCD②求异面直线P B与C D的夹角；③求点A到平面PCD的距离.20(本题满分12分）已知函数.①若曲线在x=0处与直线x+y= 6相切,求a，b的值；②设时，在x=0处取得最大值,求实数a的取值范围.21.(本题满分12分）已知不垂直于x轴的动直线l交抛物线于A、B两点,若A,B 两点满足AQP=BQP,其中Q（-4,0),原点O为PQ的中点.①求证A,P,B三点共线；②当m=2时,是否存在垂直于-轴的直线，使得被以为直径的圆所截得的弦长为定值，如果存在,求出的方程，如果不存在,请说明理由.22(本题满分14分）已知数列满足：①求数列的通项公式；②证明；③设，且，证明。
绵阳市高中2011级第二次诊断性考试(理科综合能力测试)试题含答案
绵阳市高中2022级第二次诊断性考试〔理科综合能力测试〕试题含答案保密*启用前 [考试时间：2022年1月16日上午9：00--11：30] 考生个人成绩查询请登录绵阳教育信息网( ：／／www,my-edu．net)绵阳市高中2022级第二次诊断性考试理科综合能力测试本试卷分第I卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，两卷共10页。
总分值300分，考试时间150分钟。
第1卷答案涂在答题卡上，第11卷答案写在答题卷上。
可能用到的相对原子质量：H1 C12 016 P31 Cu64第I卷(选择题，共126分)注童事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用4B或5B铅笔准确涂写在答题卡上，同时将第二卷答卷密封线内的工程填写清楚。
2．第1卷每题选出答案后，用4B或5B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
一、选择题(此题包括13小题。
每题只有一个选项符合题意。
每题6分)6．随着我国经济的飞速开展，居民家用小汽车拥有量大幅攀升，汽车尾气带来的空气污染不容无视。
汽车尾气中，两种污染物能在催化剂作用下转化为无害物质，这两种污染物是 A．C02和N02 B．CO和NO C．C02和NO D．碳氢化合物和O： 7．NA表示阿伏加德罗常数的值，以下说法正确的选项是A．28g乙烯和丙烯组成的混合气体中含有的共用电子对数目为6NA B．常温常压下，2．24LNH3和CH4的混合气体中所含电子总数为NA C．标准状况下44．8LCHCl3含有的分子数为2NAD．31g白磷(P4)分子中的共价键数为3NA8．短周期元素Q、R、T、W在元素周期表中的位置如下图，其中W的原子核内质子数与核外最外层电子数之比为8：3，以下说法正确的选项是 A．T的离子半径大于W的离子半径B．RHn，在同族元素的气态氢化物中沸点最低 C．Q与W的原子能形成非极性分子D．在R的最高价氧化物对应水化物的浓溶液中单质T不溶解，说明未发生化学反响 9．以下说法正确的选项是A．陶瓷、玻璃、水晶、玛瑙的主要成分都是硅酸盐D．实验室里，氯化铵、硫酸铵、硝酸铵都可与消石灰共热制取氨气 C．淀粉、油脂、蛋白质都能在硫酸作用下水解，但水解产物不同D．将S02气体依次通过NaHC03、苯酚钠溶液可以证明酸性强弱顺序：H2S03>H2C03>C6H5OH ，10．常温下，将一元酸HA和NaOH溶液等体积混合，两种溶液的浓度和混合后所得溶液的DH如下表：实验编号甲乙丙丁 c(HA)／mOl·L-1 0．1 0.2 C1 0．2 c(NaOH)／m01·L-1 0．1 0．2 0．2 0．1 第 1 页共 5 页混合溶液的pH pH=a pH=9 pH=7 pH9 B．在乙组混合液中c(OH)一c(HA)=10mol ／L C c1=0．2 D．在丁组混合液中c(Na+)>c(A—)11．在10％稀碱催化下，醛与醛分子间能发生如下反响：苯甲醛和乙醛发生上述反响生成的是12．C和CuO在高温下反响可能生成Cu、Cu20、C02、CO。
绵阳市高中2011级第二次诊断性考试(文科数学)
保密 ★ 启用前 【考试时间：2014年1月16日15:00—17:00】绵阳市高中2011级第二次诊断性考试数 学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷2至4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名．考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸．试题卷上答题无效．3．考试结束后，将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合S ={1，2}，集合T ={x |(x -1)(x -3)=0}，那么S ∪T = A ．∅B ．{1}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．复数(1+i)2(1-i)= A ．-2-2iB ．2+2iC ．-2+2iD ．2-2i 3．执行右图的程序，若输入的实数x =4，则输出结果为A ．4B ．3C ．2D ．144．下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是 A ．()f x =x 2+x B ．()f x =tan x C ．()f x =x +sin xD ．()f x =1lg1xx-+5．已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件中能推出α⊥β的是 A ．l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥mB ．l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥nC ．m ⊂α，n ⊂β，m //n ，且l ⊥mD ．l ⊂α，l //m ，且m ⊥β6．抛物线28x y =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是A ．1B ．2 CD ．7．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为 A ．8+3πB ．8+23πC ．8+83πD ．8+163π8．已知O 是坐标原点，点(11)A -，，若点()M x y ，为平面区域220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，，上的一个动点，则|AM |的最小值是 ABCD9．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若345OA OB OC ++=0，则△AOC 的面积为 A ．25 B ． 12C ．310D ．6510．若存在x 使不等式xx me -成立，则实数m 的取值范围为 A ．1()e -∞-， B ．1()e e-，C ．(0)-∞，D ．(0)+∞，第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．tan300º=______．12．若直线l 1：x +(1+k )y =2-k 与l 2：kx +2y +8=0平行，则k 的值是_____． 13．右图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 ．甲 乙 885 3 9 9 21 ● 5俯视图正视图侧视图14．已知A 是抛物线y 2=4x 上一点，F 是抛物线的焦点，直线F A 交抛物线的准线于点B（点B 在x 轴上方），若|AB |=2|AF |，则点A 的坐标为________．15．P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意一点，若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，且cos α，sin(α+β)=35，则此椭圆的离心率为 ． 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）已知向量a =(sin 2cos )x x ，，b =(2sin sin )x x ，，设函数()f x =a ⋅b ． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间7[]1212ππ，上的最大值和最小值． 17．（本题满分12分）已知首项为12的等比数列{a n }是递减数列，其前n 项和为S n ，且S 1+a 1，S 2+a 2，S 3+a 3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）已知2log n n n b a a =⋅，求数列{b n }的前n 项和n T ． 18．（本题满分12分）据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查（若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的80%，则认为本次调查“失效”），就“是否取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：． （Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（Ⅱ）已知y ≥657，z ≥55，求本次调查“失效”的概率．19．（本题满分12分）如图，四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，AD //FE ，∠AFE =60º，且平面ABCD ⊥平面ADEF ，AF =FE =AB =12AD =2，点G 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：EG //平面ABF ； （Ⅱ）求三棱锥B -AEG 的体积；（Ⅲ）试判断平面BAE 与平面DCE 是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由． 20．（本题满分13分）已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x -4y +7=0相切，且被y轴截得的弦长为C 的面积小于13． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过点M (0，3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ．是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由． 21．（本题满分14分）设函数2()2(4)ln f x ax a x x =+++． （Ⅰ）若()f x 在x =41处的切线与直线4x +y =0平行，求a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()y f x =的图象与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明0()0f x '<．。
四川省绵阳市高中2015届高三第二次诊断性考试数学理试题(扫描版)
四川省绵阳市高中2015届高三第二次诊断性考试绵阳市高2012级第二次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CDADC BBADC10．提示：问题转化为1)(max ≤x f ．由)00)((333)(22><+=+='b a b ax b ax x f ，，得abx x f a b x x f ->⇒<'-<<⇒>'0)(00)(，，即)(x f 在)0(a b -，递增，在)(∞+-，ab 递减， ①当1≥-ab，即a b -≥时，13)1()(0)0()(max min ≤+====b a f x f f x f ，， 即211313≤⇒+≤⇒⎩⎨⎧≤--≤b b b b a a b ，，．②当1<-ab即a b -<时， 233403)1(12)()(0)0(3max≤⇒⎩⎨⎧≤--≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+=≤-=-==b b a a b b a f a b b a b f x f f ，，，，，，此时233-=a . 将233-=a ，23=b 代入检验正确. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．27 12．-160 13． 23- 14．65 15．①③ 15．提示：③ 法一：21)(x x f -=和)2()(>+-=b b x x g 是(-1，1)上的“接近函数”，结合图形，)11(，-∈∃x 使max 22)11(11++-≤⇔≤--+-x x b x b x ， 令)11(11)(2<<-++-=x x x x h ，，22011)(2±=⇒=--='x x x x h ， 即)2222(，-∈x 时，0)(>'x h ；)122(，∈x 时，0)(<'x h ．所以12)22()(max +==h x h ． 法二：数形结合求出直线和半圆相切时切点)2222(，P ，当直线和圆在)2222(，P 的“竖直距离”为1 时，12+=b ．④若ex x xx f 2ln )(+=与22)(e a x x g ++=是)1[∞+，上的“远离函数”， 即)1[∞+∈∀，x ， x x ex e a x e a x ex x x ln 22ln 2222--++=---+1ln )(2>-+-=xx a e x ． 令a e x x P +-=21)()(，则)(1x P在)(e ，-∞递减，在)(∞+，e 递增， ∴ a e P x P ==)()(1min 1； 令xx x P ln )(2=，22ln 1)(x xx P -='，易得)(2x P 在)(e ，-∞递增，在)(∞+，e 递减，∴ e e P x P 1)()(2max 2==，∴ ea e a 1111+>⇒>-．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)设所选取的2人中至少有1人为“满意观众”的事件为A ，则A 为所选取的人中没有1人为“满意观众”，∴ P (A )=1-P (A )=1-21224C C =1-111=1110， 即至少有1人为“满意观众”的概率为1110． ………………………………4分 (Ⅱ) 由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率为32128=，即从观看此影片的“满意观众”的概率为32，同理，不是“满意观众”的概率为31．…6分 由题意有ξ=0，1，2，3，则P (ξ=0)=303)31(C =271，P (ξ=1)=213)31(32⨯⨯C =92，P (ξ=2)=31)32(223⨯⨯C =94，P (ξ=3)=333)32(C =278， ∴ ξ的分布列为ξ 0123P27192 94 278 ……………………………………………………………10分 ∴ ξ的数学期望E ξ=0×271+1×92+2×94+3×278=2．………………………12分17．解：(Ⅰ) 如图，连结AC 、BD 交于O ，连结OE ．由ABCD 是正方形，易得O 为AC 的中点，从而OE 为△P AC 的中位线， ∴ EO //P A ．∵ EO ⊂面EBD ，P A ⊄面EBD ，∴ P A //面EBD ．………………………………………………………………4分(Ⅱ)由已知PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥AD ，PD ⊥CD ．如图，以DA ，DC ，DP 所在直线为坐标轴，D 为原点建立空间直角坐标系．设AD =2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，P (0，0，2)，E (0，1，1)，B (2，2，0)，PB =(2，2，-2)，=DA (2，0，0)．…………………………………6分设F (x 0，y 0，z 0)，PB PF λ=，则由PF =(x 0，y 0，z 0-2)，得(x 0，y 0，z 0-2)=λ(2，2，-2) ，即得⎪⎩⎪⎨⎧-===，，，λλλ2222000z y x于是F (2λ，2λ，2-2λ)． ∴ EF =(2λ，2λ-1，1-2λ)． 又EF ⊥PB ，∴ 0)2()21(2)12(22=-⨯-+⨯-+⨯λλλ，解得31=λ．∴ )343232(，，F ，)343232(，，=DF ． ………………………………………8分设平面DAF 的法向量是n 1=(x ，y ，z )，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，0011n n DF DA 即⎩⎨⎧=++=，，0202z y x x 令z =1，得n 1=(0，-2，1)．又平面P AD 的一个法向量为n 2=(0，1，0)， ………………………………10分 设二面角P -AD -F 的平面角为θ， 则cos θ=2121n n n n ⋅55252==，即二面角P -AD -F 的余弦值为552． ………………………………………12分 18．解：(Ⅰ)由余弦定理得412212cos 222==-+=bc bcbc a c b A ， 则415cos 1sin 2=-=A A ． …………………………………………………4分 (Ⅱ)由A +B +C =π有C =π-(A +B )， 于是由已知sin B +sin C =210得210)(sin sin =++B A B ，即210sin cos cos sin sin =++B A B A B ， 将415sin =A ，41cos =A 代入整理得210cos 415sin 45=+B B ．①………7分根据1cos sin 22=+B B ，可得B B 2sin 1cos -±=． 代入①中，整理得8sin 2B -410sin B +5=0， 解得410sin =B ． ……………………………………………………………10分 B AC P DEF Oxyz∴ 由正弦定理BbA a sin sin =有364154101sin sin =⨯==A B a b ． ………………12分19．解：(Ⅰ) ∵二次函数x a x a x f n n n ⋅-+⋅=+-)2(21)(12的对称轴为x =21， ∴ a n ≠0，2121221=⨯--+-n n n a a ，整理得n n n a a 21211+=+，………………………2分左右两边同时乘以12+n ，得22211+=++n n n n a a ，即22211=-++n n n n a a (常数)，∴ }2{n n a 是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴ n n a n n 2)1(222=-+=，∴ 1222-==n n n nn a ． ……………………………………………………………5分 (Ⅱ)∵ 12210221232221--+-+++=n n n nn S ， ①n n n nn S 221232221211321+-+++=- ， ②①-②得：n n n n S 2212121211211321-++++=- n nn 2211211---=， 整理得 1224-+-=n n n S ．…………………………………………………………8分 ∵ )224(23411-++--+-=-n n n n n n S S =n n 21+>0，∴ 数列{S n }是单调递增数列．………………………………………………10分 ∴ 要使S n <3成立，即使1224-+-n n <3，整理得n +2>12-n ， ∴ n =1，2，3．………………………………………………………………12分20．解：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为12222=+by a x ，焦点坐标为(c ，0)，由题知：⎪⎩⎪⎨⎧=+=，，53322b a a c 结合a 2=b 2+c 2，解得：a 2=3，b 2=2， ∴ 椭圆E 的标准方程为12322=+y x ． ………………………………………4分 (Ⅱ) 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，H (x 0，y 0)， 由已知直线MN 的方程为y =kx +3k +4，联立方程⎩⎨⎧++==+，，)43(63222k kx y y x消去y ，得0)427227()43(6)32(222=++++++k k x k k x k ，于是x 1+x 2=232)43(6kk k ++-，x 1x 2=2232427227k k k +++．① ………………………7分 又P ，M ，H ，N 四点共线，将四点都投影到x 轴上， 则HNMH PNPM =可转化为2102133x x x x x x --=++， 整理得：)(6)(322121210x x x x x x x ++++=． …………………………………………10分将①代入可得=++-+++-⨯++++⨯=2222032)43(6632)43(63324272272kk k k k k k k k x k k 2176-+， …… 12分∴ kk k k k k k kx y 2142)43(2176)43(00-+=++-+=++=， 消去参数k 得01200=+-y x ，即H 点恒在直线012=+-y x 上． ………13分21．解：(Ⅰ) ∵ 11)(+-='xax x f ，x ∈(0，+∞)， ………………………1分 ∴ a =2时，xx x x x x x f )1)(12(12)(2+-=-+='=0， ∴ 解得x =21，x =-1(舍)． 即)(x f 的极值点为x 0=21． ……………………………………………………3分(Ⅱ) xx ax x ax x f 111)(2-+=+-='．（1）0=a 时，)(x f 在)1,0(上是减函数，在)1,0(上是增函数;0≠a 时， 对二次方程ax 2+x -1=0，Δ=1+4a ，（2）若1+4a ≤0，即41-≤a 时，ax 2+x -1<0，而x >0，故)(x f '<0， ∴ )(x f 在(0，+∞)上是减函数． （3）若1+4a >0，即a >41-时，ax 2+x -1=0的根为a a x 241121+±-=，， ①若<-41a <0，则 a a 2411+-->a a2411++->0，∴ 当x ∈(aa 2411++-，a a 2411+--)时，ax 2+x -1>0，即)(x f '>0，得)(x f 是增函数；当x ∈)2411,0(aa ++-， (a a2411+--，+∞)时，ax 2+x -1<0，即)(x f '<0，得)(x f 是减函数． ②若a >0，a a 2411+--<0<aa2411++-，∴ 当x ∈(0，aa2411++-)时，ax 2+x -1<0，即)(x f '<0， 得)(x f 是减函数；当x ∈(aa2411++-，+∞)时，ax 2+x -1>0，即)(x f '>0得)(x f 是增函数．∴ 综上所述，0=a 时，)(x f 在)1,0(上是减函数，在)1,0(上是增函数 当41-≤a 时，)(x f 在(0，+∞)上是减函数； 当41-<a <0时，)(x f 在(a a 2411++-，a a 2411+--)上是增函数，在)2411,0(aa ++-，(aa2411+--，+∞)上是减函数；当a >0时，)(x f 在(a a 2411++-，+∞)上是增函数，在(0，aa2411++-)上是减函数．…………………………………………………………………………7分 (Ⅲ)令)1(21)()()(+-++='-=a xa ae x f x g x h x ，x >0， 于是222)1(1)(x a x ae x a ae x h x x+-⋅=+-='．令)1()(2+-⋅=a x ae x p x ，则)2()(+⋅='x x ae x p x >0， 即p (x )在(0，+∞)上是增函数．∵ p (x )=-(a +1)<0，而当x →+∞时，p (x )→+∞， ∴ ∃x 0∈(0，+∞)，使得p (x 0)=0．∴ 当x ∈(0，x 0)时，p (x )<0，即)(x h '<0，此时，h (x )单调递减； 当x ∈(x 0，+∞)时，p (x )>0，即)(x h '>0，此时，h (x )单调递增， ∴ )()(0min x h x h ==)1(210+-++a x a ae x ．① 由p (x 0)=0可得0)1(200=+-⋅a x ae x ，整理得210x a ae x +=，②…………10分代入①中，得)(0x h =)1(21102+-+++a x a x a ， 由∀x ∈(0，+∞)，恒有)(x g ≥)(x f '，转化为)1(21102+-+++a x a x a ≥0，③ 因为a >0，③式可化为21102-+x x ≥0，整理得12020--x x ≤0， 解得21-≤x 0≤1． 再由x 0>0，于是0<x 0≤1．…………………………………………………12分 由②可得aa x e x 1200+=⋅． 令)(0x ϕ=200x e x ⋅ ，则根据p (x )的单调性易得)(0x ϕ在1]0(，是增函数， ∴ )0(ϕ<)(0x ϕ≤)1(ϕ， 即0<aa 1+≤e ，第页 11 解得a ≥11-e ，即a 的最小值为11-e ．……………………………………14分。
四川省绵阳市高2011届第一次诊断性考试试题数学理(含答案)
绵阳市高中2011级第一次诊断性考试数学（理科）参考解答及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DABB CBAC DCDA二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．f -1(x ) = e 2x （x ∈R ） 14．a ≤0 15．1.8 16．①③④三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（1）∵ 数列{ a n }的前n 项和为S n = 2n +1－n －2， ∴ a 1 = S 1 = 21+1－1－ 2 = 1． …………………… 1分当n ≥2时，有 a n = S n －S n -1 =（2n +1－n －2）－[ 2n －（n －1）－2 ] = 2n －1．…………………… 4分而当 n = 1时，也满足a n = 2n－1，∴ 数列{ a n }的通项公式为 a n = 2n －1（n ∈N *）． …………………… 6分（2）∵ 16+=x y ，x 、y ∈N *，∴ 1 + x = 1，2，3，6， 于是 x = 0，1，2，5， 而 x ∈N *，∴ B = { 1，2，5 }． (9)分∵ A = { 1，3，7，15，…，2n －1 }，∴ A ∩B = { 1 }． …………………… 12分18．∵︱x ︱＜3，∴ －3＜x ＜3．又x 为偶数，∴ x =－2，0，2，得 N = {－2，0，2 }． …………………… 2分（1）设a ≥1对应的事件为A ，b ≥1对应的事件为B ，则 P (a ≥1或b ≥1) =65131114111311141313121413=⋅+⋅+⋅C C C C C C C C C C C C ． 或 P (a ≥1或b ≥1) = P (A ) + P (B )－P (A · B ) =65341334413433=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯．或利用对立事件解答，P (a ≥1或b ≥1) = 1－P (a ＜1且b ＜1) = 6534211=⨯⨯-．∴ a ≥1或b ≥1的概率为65． …………………… 6分9分Ｅξ =－6×121+（－4）×121+（－2）×121+ 0×126+ 2×121+ 4×121+ 6×121= 0．…………………… 12分19．（1）∵ )(x f =x x 2)(12+， ∴ x x x f 21)(2+=（x ＞0）．…………… 3分（2）∵ g （x ）= ax 2 + 2x 的定义域为（0，+∞）．∵ g （1）= 2 + a ，g （－1）不存在，∴ g （1）≠－g （－1）， ∴ 不存在实数a 使得g （x ）为奇函数． …………………… 6分（3）∵ f （x ）－x ＞2， ∴ f （x ）－x －2＞0，即 21x+ x －2＞0，有x 3－2x 2 + 1＞0，于是（x 3－x 2）－（x 2－1）＞0，∴ x 2（x －1）－（x －1）（x + 1）＞0，∴（x －1）（x 2－x －1）＞0， ∴ （x －1）（x －251-）（x －251+）＞0，∴ 结合x ＞0得0＜x ＜1或251+>x ． 因此原不等式的解集为 { x ｜0＜x ＜1或251+>x }． …………………… 12分20．（1）∵ 函数f (x ) 在x = 1处连续，f （1）= 2×1 + 1 = 3，∴ )(lim )(lim 11x f e x f x ax →→==-， 3 = e a ，∴ a = ln 3． …………………… 5分（2）∵ 对任意n 有a n ＞1，∴ f (2a n －1) = 2 (2a n －1) + 1 = 4a n －1， 于是a n +1 = f （2a n －1）－1 =（4a n －1）－1 = 4a n －2，∴ a n +1－32= 4（a n －32），表明数列 { a n －32}是以a 1－32= m －32为首项，4为公比的等比数列，于是 a n －32=（m －32）· 4n －1，从而a n =（m －32）· 4n－ 1+32． …………………… 12分 21．（1）∵（S n －1）a n －1 = S n －1 a n －1－a n ，∴（S n －S n －1－1）a n －1 =－a n ，即 a n a n －1－a n －1 + a n = 0．∵ a n ≠0，若不然，则a n －1 = 0，从而与a 1 = 1矛盾，∴ a n a n －1≠0，∴ a n a n －1－a n －1 + a n = 0两边同除以a n a n －1，得 1111=--n n a a （n ≥2）． 又 111=a ，∴ {na 1}是以1为首项，1为公差为等差数列，则 n n a n=⨯-+=1)1(11，na n 1=． …………………… 4分（2）∵ b n = a n 2 =21n，∴ 当 n = 1时，T n = n 12-；当n ≥2时，n n nT n )1(1321211112111222-++⨯+⨯+<+++= nn n 12)111()3121()211(1-=--++-+-+= . (8)分（3）k n k a n+=+111， ∴ ∑∑==+=+nk nk nkn k a 11111． 设 g （n ）=n n n k n nk 21211111+++++=+∑= ， ∴ 221121213121)()1(+++++++++=-+n n n n n n g n g )212111(n n n +++++-022112111221121>+-+=+-+++=n n n n n ， ∴ g (n )为增函数， 从而 g (n )｜min= g （1）=21． …………………… 10分 因为 g (n ))12(log 23-+->a a 对任意正整数n 都成立，所以 21)12(log 23-+->a a ，得 log a （2a －1）＜2，即 log a （2a －1）＜ log a a 2．① 当a ＞1时，有 0＜2a －1＜a 2，解得 a ＞21且a ≠1，∴ a ＞1．② 当0＜a ＜1时，有 2a －1＞a 2＞0，此不等式无解． 综合①、②可知，实数a 的取值范围是（1，+∞）． …………………… 12分22．（1）设g (x ) = f (x ) + x ，则g ′ (x ) = f ′(x ) + 1 =1)1(111++=+++-x xa x a a ． ∵ a ＞0，x ＞0，∴ g ′ (x ) =1)1(++x xa ＞0，于是 g （x ）在（0，+∞）上单调递增，∴ g （x ）＞g （0）= f (0) + 0 = 0，f (x ) + x ＞0在x ＞0时成立， 即a ＞0，x ＞0时，f （x ）＞－x ． …………………… 4分（2）∵ f (x ) = ax －（a + 1）ln （x + 1），∴ f ′(x ) =1111+-=++-x ax x a a ． ① a = 0时，f ′(x ) =011<+-x , ∴ f (x ) 在（－1，+∞）上单调递减, 无单调增区间．② a ＞0时，由 f ′(x )＞0得ax 1>，∴ 单增区间为（a 1，+∞）．③ a ＜0时，由 f ′(x )＞0得ax 1<．而 x ＞－1，∴ 当11-≤a，即－1≤a ＜0时，无单增区间；当11->a，即a ＜－1时，－1＜x ＜a 1，单增区间为（－1，a 1）．综上所述：当a ＜－1时，f (x ) 的单调递增区间为（－1，a 1）；当－1≤a ≤0时，f (x ) 无单调递增区间；a ＞0时，f (x ) 的单调递增区间为（a1，+∞）．…………… 8分（3）证明：1）当n = 2时，左边－右边=081ln 84ln8ln 2ln 28322ln 332=<=-=-e e ，∴ 左边＜右边，不等式成立． …………………… 9分2）假设n = k 时，不等式成立，即 852ln 33ln 22ln 222-<+++k k k 成立， 那么当n = k + 1时，22222)1()1ln(852)1()1ln(ln 33ln 22ln +++-<++++++k k k k k k k =21)1()1ln(85212-+++-+k k k ． …………………… 11分下面证明：021)1()1ln(2<-++k k ． 思路1 利用第（1）问的结论，得 ax －ln （x + 1）a +1＞－x ， 所以（a + 1）ln （x + 1）＜（a + 1）x ，即 ln （x + 1）＜x ，因而 0＜ln （k + 1）＜k ，所以0212211221)1()1ln(22=-<-++<-++k k k k k k k ． 以上表明，当n = k + 1时，不等式成立． 根据1）和2），可知，原不等式对任意正整数 n 都成立．…………………… 14分思路2 构造函数h (x ) = ln x －21x 2（x ≥3），则0)1)(1(1)(<-+=-='xx x x x x h ，∴ h (x ) 在 [ 3，+∞)上是减函数，则 h (x )max = h (3) = ln 3－29＜ln e 2－29＜0，∴ 当x ≥3时，ln x ＜21x 2，即 021ln 2<-x x ．∵ k + 1∈[ 3，+∞)，∴ 021)1()1ln(2<-++k k ．。
四川省绵阳市高中2011级第二次诊断性考试(理综)(2011绵阳二诊)
保密★启用前【考试时间：2011年1月16日上午9:00 —11:30】考生个人成绩查询请登录绵阳教育信息网（）绵阳市高中2011级第二次诊断性考试理科综合能力测试本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，两卷共10页。
满分300分，考试时间150分钟。
第1卷答案涂在答题卡上，第11卷答案写在答题卷上。
可能用到的相对原子质量：H1 C12 016 P31 Cu64第I卷(选择题，共126分)注童事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用4B或5B铅笔准确涂写在答题卡上，同时将第Ⅱ卷答卷密封线内的项目填写清楚。
2．第1卷每小题选出答案后，用4B或5B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
一、选择题(本题包括13小题。
每小题只有一个选项符合题意。
每小题6分)1．有关根瘤菌、圆褐固氮菌、硝化细菌的叙述不正确的是A．三种生物的细胞结构中都不含有核膜和核仁，但都含有细胞壁和细胞器B．根瘤菌和圆褐固氮菌是异养生物，硝化细菌能进行化能合成作用是自养生物C．根瘤菌和圆褐固氮菌通过生物固氮能产生氨，硝化细菌的硝化作用能氧化氨D．三种生物的遗传物质都是DNA和RNA，基因结构的编码序列都是连续的2．下图表示人体内干细胞的增殖分化。
下列有关叙述正确的是A．干细胞与白细胞的基因型不同，但合成的mRNA和蛋白质的种类相同B．血小板和红细胞内遗传信息的流动方向是DNA→DNA→RNA→蛋白质C．图示所有的细胞中，干细胞具有细胞周期，而且其分裂能力较强D．白细胞能够穿过血管壁去吞噬病菌，这是因为细胞膜的选择透过性3．将体重和健康状况相同的若干大鼠均分为甲、乙、丙三组。
甲组通过手术切除胸腺，乙组损毁下丘脑，丙组不作处理。
在人工控制的条件下饲喂一段时间后，将它们同时移入寒冷的环境中，接种某病毒(抗原)使之感染。
下列有关叙述正确的是A．甲组鼠有获得性免疫缺陷，不能产生特异性免疫反应，非特异性免疫也非常弱B．乙组鼠最先死亡，是因为损毁下丘脑使机体免疫力下降不能抵抗病毒的感染C．一段时间后，三组鼠的血糖浓度降低，体内脂肪分解并转化成糖元的速度加快D．丙组鼠其效应T细胞分泌的淋巴因子能增强效应T细胞对靶细胞的杀伤作用4．在光照适宜温度恒定的条件下，用左下图的实验装置进行植物光合作用或呼吸作用的实验，测量一小时内密闭容器中C02的变化量绘成右图曲线。
2011级(2014届)绵阳二诊数学(理科)试题及答案
保密 ★ 启用前 【考试时间：2014年1月23日15:00—17:00】绵阳市高中2014届第二次诊断性考试数 学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1+y -1=0的倾斜角是A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．计算：1+i+i 2+i 3+…+i 100（i 为虚数单位）的结果是A ．0B ．1C ．iD ．i+1 3．已知a 、b ∈R ，那么“ab <0”是“方程ax 2+by 2=1表示双曲线”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．为了得到函数3sin(2)5y x π=+的图象，只需把函数3sin()5y x π=+图象上所有点的A ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变 D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变5．一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的体积为 AB．C．D．6．若log a (a 2+1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是A ．(0，21)B ．(21，1)C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，+∞)7．现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同排法的种数是 A ．12种B ．24种C ．36种D ．72种8．已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的半焦距为c (c >0)，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线215()8y a c x =+与椭圆交于B 、C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是 A ．815B ．415C ．23D ．129．已知关于x 的一元二次方程x 2-2x +b -a +3=0，其中a 、b 为常数，点(a ，b )是区域Ω：0404a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩，内的随机点．设该方程的两个实数根分别为x 1、x 2，则x 1、x 2满足0≤x 1≤1≤x 2的概率是 A ．332B ．316C ．532D ．91610．一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或11第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．《人再囧途之泰囧》首映结束，为了了解观众对该片的看法，决定从500名观众中抽取10%进行问卷调查，在这500名观众中男观众占40%，若按性别用分层抽样的方法抽取采访对象，则抽取的女观众人数为 人． 12．右图表示的程序所输出的结果是.13．51(21)(1)x x+-的展开式的常数项是__________.（填写具体数字）14．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线221412x y -=与双曲线221x y m n -=是“相近双曲线”，则n m的取值范围是 . 15．已知函数()f x ，若对给定的三角形ABC ，它的三边的长a 、b 、c 均在函数()f x 的定义域内，都有()f a 、()f b 、()f c 也为某三角形的三边的长，则称()f x 是△ABC 的“三角形函数”．下面给出四个命题：①函数1()((0))f x x ∈+∞，是任意三角形的“三角形函数”；②若定义在(0)+∞，上的周期函数2()f x 的值域也是(0)+∞，，则2()f x 是任意三角形的“三角形函数”；③若函数33()3f x x x m =-+在区间2433（，）上是某三角形的“三角形函数”，则m的取值范围是正视图侧视图俯视图62+27∞（，）； ④若a 、b 、c 是锐角△ABC 的三边长，且a 、b 、c ∈N +，则24()+ln (0)f x x x x =>是△ABC 的“三角形函数”．以上命题正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数f (x )=(sin x +cos x )2-2sin 2x ．（Ⅰ）求f (x )的单调递减区间；（Ⅱ）A 、B 、C 是△ABC 的三内角，其对应的三边分别为a 、b 、c．若()8A f =AB AC ⋅=12，a =b <c ，求b 、c 的长．17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，点E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于F ．（Ⅰ）求证：P A ∥平面EDB ； （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ； （Ⅲ）求二面角C -PB -D 的大小．18．（本小题满分12分）甲、乙两位同学练习三分球定点投篮，规定投中得三分，未投中得零分，甲每次投中的概率为13，乙每次投中的概率为14．（Ⅰ）求甲投篮三次恰好得三分的概率；（Ⅱ）假设甲投了一次篮，乙投了两次篮，设X 是甲这次投篮得分减去乙这两次投篮得分总和的差，求随机变量X 的分布列．19．（本小题满分12分）已知各项均不为零的数列{a n }的首项134a =，2a n +1a n =ka n -a n +1（n ∈N +，k 是不等于1的正常数）．（Ⅰ）试问数列12{}1n a k --是否成等比数列，请说明理由； （Ⅱ）当k =3时，比较a n 与3435n n ++的大小，请写出推理过程．20．（本小题满分13分）动点M (x ，y )与定点F (1，0)的距离和它到直线l ：x =4的距离之比是常数12，O 为坐标原点．（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程，并说明轨迹E 是什么图形？（Ⅱ）已知圆CC 的切线m ，使得m 与圆C 相切于点P ，与轨迹E 交于A 、B 两点，且使等式2AP PB OP ⋅= 成立？若存在，求出m 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数f (x )=x ln x (x ∈(0，+∞))．（Ⅰ）求(+1)()+1f xg x x x =-(x ∈(-1，+∞))的单调区间与极大值； （Ⅱ）任取两个不等的正数x 1、x 2，且x 1<x 2，若存在x 0>0使21021()()()f x f x f x x x -'=-成立，求证：x 1<x 0<x 2；（Ⅲ）已知数列{a n }满足a 1=1，1211(1)2n n n a a n+=++(n ∈N +)，求证：114n a e <（e 为自然对数的底数）．DA BCPF E绵阳市高中2010级第二次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCAA BBDAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．30 12．3013．-9 14．44[]215，∪521[]44， 15．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）f (x )=1+sin2x-1+cos2xx+4π)，∴ 当22k ππ+≤2x+4π≤322k ππ+时，f (x )单调递减， 解得8k ππ+≤x ≤58k ππ+， 即f (x )的单调递减区间为[8k ππ+，58k ππ+](k ∈Z )． ……………………6分 （Ⅱ）f (8A4A +4πsin(4A +4π，∴4A +4π=3π或23π，即A=3π或53π（舍）．由AB AC ⋅ =c ·b ·cos A =12，cos A =12，得bc =24．①又cos A=222122b c a a bc +-==，b 2+c 2=52．∵ b 2+c 2+2bc =(b+c )2=100，b >0，c >0， ∴ b+c=10，②联立①②，且b <c ，解得b =4，c =6． ………12分 17．解：如图所示建立空间直角坐标系，设DC =1．（Ⅰ）连结AC ，交BD 于G ，连结EG ．依题意得A (1，0，0)，P (0，0，1)，E (0，12，12)．∵ 底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为(12，12，0)， 且11(101)(0)22PA EG =-=- ，，，，，．∴ 2=，这表明P A //EG ．而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴ P A //平面EDB ． ……………………………………………………………4分（Ⅱ）依题意得B (1，1，0)，PB=(1，1，-1)．又11(0)22DE = ，，， 故110022PB DE ⋅=+-= ．∴DE PB ⊥．由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，∴ ⊥PB 平面EFD ．…………………………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知PB EF ⊥，PB DF ⊥，故EFD ∠是所求二面角的平面角．设点F 的坐标为(x 0，y 0，z 0)，PF kPB =，则(x 0，y 0，z 0-1)=k (1，1，-1)，从而x 0=k ，y 0=k ，z 0=1-k ，∵ PB FD ⋅ =0，所以(1，1，-1)·(k ，k ，1-k )=0，解得13k =，∴ 点F 的坐标为112()333，，，且111()366FE =-- ，，，112()333FD =--- ，，∴ 1cos 2||||FE FD EFD FE FD ⋅∠==，得3π=∠EFD ． ∴ 二面角C -PB -D 的大小为3π．…………………………………………12分18．解：（Ⅰ）甲投篮三次恰好得三分即1次投中2次不中，∵ 甲投篮三次中的次数x ～B (3，13)， ∴ P (x =1)=123114(1)339C ⋅⋅-=， 甲投篮三次恰好得三分的概率为49．…………………………………………4分 （Ⅱ）设甲投中的次数为m ，乙投中的次数为n ， ①当m =0，n =2时，X =-6，∴ P (X =-6)=222211()3424C ⋅⋅=．②当m =1，n =2或m =0，n =1时，X =-3， ∴ P (X =-3)=2121121313()3434448C ⋅+⋅⋅⋅=． ③当m =1，n =1或m =0，n =0时，X =0，∴ P (X =0)=10222113231()344342C C ⋅⋅⋅+⋅⋅=． ④当m =1，n =0时，X =3，∴ P (X =3)=022139()3448C ⋅⋅=． ∴X 的分布列为…………………………………12分19．解：（Ⅰ）由 2a n +1a n =ka n -a n +1，可得11n a +=12n nka a +， ∴11n a +21k --=12n n ka a +21k --=112()1n k a k --，首项为11242131a k k -=---． 若42031k -=-，即k=52时，数列12{}1na k --为零数列，不成等比数列． 若42031k -≠-，即k>0，k ≠1且k ≠52时， 数列12{}1n a k --是以4231k --为首项，1k为公比的等比数列．∴ 综上所述，当k=52时，数列12{}1n a k --不成等比数列；当k>0，k ≠1且k ≠52时，数列12{}1n a k --是等比数列．……………………………………6分 （Ⅱ）当k =3时，数列1{1}n a -是以13为首项，13为公比的等比数列． ∴ 111()3n n a -=，即a n =331nn +=1-131n +， ∴ a n -3435n n ++=1-131n +-(1-135n +)=135n +-131n +=334(35)(31)n nn n --++， 令F (x ) =3x -3x -4(x ≥1)，则()F x '=3x ln3-3≥(1)F '>0，∴ F (x )在[1)+∞，上是增函数． 而F (1)=-4<0，F (2)=-1<0，F (3)=14>0， ∴ ①当n =1和n =2时， a n <3435n n ++； ②当n ≥3时，3n +1>3n +5，即135n +>131n +，此时a n >3435n n ++． ∴ 综上所述，当n =1和n =2时，a n <3435n n ++；当n ≥3时，a n >3435n n ++．…12分 20．解：12=，化简得：22143x y +=，即轨迹E 为焦点在x 轴上的椭圆． ………………5分（Ⅱ）设A (x 1，x 2)，B (x 2，y 2)． ∵ OA OB ⋅ =(OP PA + )۰(OP PB + )=2OP +OP PB ⋅ +PA OP ⋅ +PA PB ⋅ ，由题知OP ⊥AB ，故OP PB ⋅ =0，PA OP ⋅=0．∴ OA OB ⋅ =2OP +PA PB ⋅ =2OP -AP PB ⋅=0．假设满足条件的直线m 存在，①当直线m 的斜率不存在时，则m 的方程为x =代入椭圆22143x y +=，得y =． ∴ OA OB ⋅ =x 1x 2+y 1y 2=-2-64≠0，这与OA OB ⋅ =0矛盾，故此时m 不存在．②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y =kx +b ， ∴|OP |==b 2=2k 2+2．联立22143x y +=与y =kx+b 得，(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-12=0，∴ x 1+x 2=2348kb k -+，x 1x 2=2241234k b -+，y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b )=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=22231234b k k +-，∴ OA OB ⋅ =x 1x 2+y 1y 2=2241234kb -++22231234b k k+-=0． ∴ 7b 2-12k 2-12=0， 又∵ b 2=2k 2+2，∴ 2k 2+2=0，该方程无解，即此时直线m 也不存在．综上所述，不存在直线m 满足条件．………………………………………13分 21．解：（Ⅰ）由已知有(+1)()+1f xg x x x =-=ln(+1)x x -， 于是1()1=+11xg x x x '=--+． 故当x ∈(-1，0)时，()g x '>0；当x ∈(0，+∞)时，()g x '<0．所以g (x )的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)，g (x )的极大值是g (0)=0． ……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为()ln +1f x x '=，所以0ln +1x =2121()()f x f x x x --，于是02ln ln x x -=21221()()ln 1f x f x x x x ----=2211221ln ln ln 1x x x x x x x ----=121121ln ln 1x x x x x x ---=2121ln11x x x x --，令21x x =t (t >1)，ln ln 1()111t t t h t t t -+-=--=， 因为10t ->，只需证明ln +10t t -<．令ln +1t t t ϕ=-（)，则110t tϕ'=-<()，∴ t ϕ()在(1+)t ∈∞，递减，所以10t ϕϕ<()()=， 于是h (t )<0，即02ln ln x x <，故02x x <．仿此可证10x x <，故102x x x <<．……………………………………………10分 （Ⅲ）因为11a =，1211(1)2n n n n a a a n+=++>，所以{}n a 单调递增，n a ≥1． 于是1222111111(1)(1)=(1)222n n n n n n n n a a a a a n n n +=++≤++++， 所以1211ln ln ln(1)2n n n a a n +≤+++． （*） 由（Ⅰ）知当x >0时，ln 1+x ()<x ． 所以（*）式变为1211ln ln 2n n n a a n +<++． 即11211ln ln 2(1)k k k a a k ---<+-(k ∈N ，k ≥2)， 令k =2，3，…，n ，这n -1个式子相加得1121222111111ln ln +++)[]22212(1)n n a a n --<++++- （1221111111)[]2122334(2)(1)n n n -<++++++⨯⨯-- (- =1111111111)[1()()()]24233421n n n -+++-+-++--- (- =111111)1)2421n n -+++--(-( 1111111=4214n n --<--， 即11111ln ln 44n a a <+=，所以114n a e <．……………………………………14分。
四川省绵阳市高中2011级第二次诊断性考试(数学理)参考答案及评分标准
绵阳市高中2011级第二次诊断性考试 数学（理科）参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． ADCD BACD CBAB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．{ x ︱0＜x ＜3 } 14．（34,3ππ）或 }343|{ππ<<x x 15．12 16．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．解 （Ⅰ）∵ )2,(b a =，)1,(sin A =，//，∴ a －2b sin A = 0，由正弦定理得 sin A －2sin B sin A = 0． …………………… 3分∵ 0＜A ，B ，C ＜π，∴ 21sin =B ，得 6π=B 或56B π=． …………………… 6分（Ⅱ）∵ △ABC 是锐角三角形，∴ 6π=B ，)cos 33sin ,1(),23,(cos A A n A m -==， 于是 )cos 33(sin 23cos A A A n m -+=⋅=A A sin 23cos 21+=)6sin(π+A ．…………………… 9分由 65ππ=-=+B C A 及 0＜C ＜2π，得 )65,3(65πππ∈-=C A ． 结合0＜A ＜2π，∴ 23ππ<<A ，得 3262πππ<+<A ，∴ 1)6sin(23<+<πA ，即 123<⋅<n m ． …………………… 12分 18．解 连结BP ，由已知得∠APB=45︒． …………………… 2分设P （x ，y ），则 1+=x yk PA ，1-=x y k PB ，由PA 到PB 的角为45︒， 得1111145tan +⋅-++--=︒x y x y x y x y ，化简得 x 2 +（y －1）2 = 2． …………………… 10分由已知，y ＞0且1+=x yk PA ＞0，故点P 的轨迹方程为x 2 +（y －1）2 = 2（x ＞－1，y ＞0）． …………………… 12分法二 连结BP ，由已知可得∠APB = 45︒，∴ 点P 在以AB 为弦，所对圆周角为45︒的圆上．设该圆的圆心为D ，则点D 在弦AB 的中垂线上，即y 轴上，且∠ADB = 90︒，∴ D （0，1），︱DA ︱=2，圆D 的方程为x 2 +（y －1）2 = 2．由已知，当点C 趋近于点B 时，点P 趋近于点B ；当点C 趋近于点A 时，点P 趋近于点（－1，2），所以点P 的轨迹方程为x 2 +（y －1）2= 2（x ＞－1，y ＞0）．19．解 （Ⅰ）记“该幸运观众摸球三次就停止”为事件A ， 则112232351()5C C A P A A ==． …………………… 5分（Ⅱ）ξ 的可能值为0，1000，2000． …………………… 7分21222223551(0)6A C A P A A ξ==+=，31)1000(4533121235221212=+==A A C C A A C C P ξ， 21331422332445551(2000)2C C A C C A P A A ξ==+=． …………………… 10分所以 11140000100020006323E ξ=⨯+⨯+⨯=． ……………………12分答：略．20．解 （Ⅰ）∵ h (x ) = f (x )－g (x ) =223ax + 6x －3 ln x （x ＞0），∴xax x h 363)(-+='． …………………… 2分∵ 函数h (x ) 有两个极值点，∴ 方程0)12(3363)(2=-+=-+='x x ax x ax x h ，即ax 2+ 2x －1 = 0应有两个不同的正数根，于是 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=>-=+>+=∆,01,02,04221212a x x a x x a⇒ －1＜a ＜0． …………………… 6分（Ⅱ）方程 g (x ) = x f ′(x )－3（2a + 1）x 即为 －6x + 3 ln x = 3ax 2－3（2a + 1）x ， 等价于方程 ax 2 +（1－2a ）x －ln x = 0．设 H （x ）= ax 2 +（1－2a ）x －ln x ，转化为关于函数H （x ）在区间（0，+∞）内的零点问题（即函数H （x ）图象与x 轴有无交点的问题）． …………………… 8分∵ H ′(x ) = 2ax +（1－2a ）－xx ax x x a ax x )1)(12(1)21(212-+=--+=， 且a ＞0，x ＞0，则当x ∈（0，1）时，H ′(x )＜0，H （x ）是减函数；当x ∈（1，+∞）时，H ′(x )＞0，H （x ）是增函数． …………………… 10分 因为 x → 0（或者x →+∞）时，H （x ）→ +∞， ∴ 要使H （x ）图象与x 轴有无交点，只需H （x ）min = H （1）= a +（1－2a ）= 1－a ＞0，结合a ＞0得 0＜a ＜1，为所求．…………………… 12分21．解 （1）设椭圆C 的方程为12222=+bb a x （a ＞b ＞0），则 2122=b ，21=b ．由 73)(2=---c a c ，即73222==-c b c c a ，得 7=c ． 于是 a 2= b 2+ c 2= 21 + 7 = 28，椭圆C 的方程为1212822=+y x ．………………… 5分（2）若直线l 的斜率不存在，即l ⊥x 轴时，不妨设l 与x 正半轴交于点M ，将x = y 代入1212822=+y x 中，得32±==y x ，则点P （32，32），Q （32，32-），于是点O 到l 的距离为32． …………………… 7分若直线l 的斜率存在，设l 的方程为y = kx + m （k ，m ∈R ），则点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）的坐标是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1212822y x m kx y 的两个实数解，消去y ，整理，得（3 + 4k 2）x 2 + 8kmx + 4m 2－84 = 0， ∴ △ =（8km ）2－4（3 + 4k 2）（4m 2－84）= 12（28k 2－m 2 + 21）＞0， ①221438k kmx x +-=+，222143844k m x x +-=． ② …………………… 9分∵ OP ⊥OQ ，∴ k OP · k OQ =－1，即 12211-=⋅x yx y ，x 1x 2 + y 1y 2 = 0．于是 x 1x 2 +（kx 1 + m ）（kx 2 + m ）=（1 + k 2）x 1x 2 + km （x 1 + x 2）+ m 2 = 0． ③将 x 1 + x 2，x 1x 2 代入上式，得 043843844)1(22222=++-+-⋅+m kkm km k m k ， ∴（k 2 + 1）（4m 2－84）－8k 2m 2 + m 2（4k 2+ 3）= 0， 化简，得 m 2 = 12（k 2 + 1）． ④④代入①满足，因此原点O 到直线l 的距离 32121||2==+-=k m d ． …………………… 12分22．解 设等差数列{ a n }的公差为d ，等比数列{ b n }公比为q ．（Ⅰ）∵ 2212b S =，∴ q b d a a 11112=++，而 a 1 = b 1 = 1，则 q （2 + d ）= 12．①又 ∵ b 2是a 1，a 3的等差中项，∴ a 1 + a 3 = 2b 2，得1 + 1 + 2d = 2q ，即 1 + d = q ． ②联立①，②，解得 ⎩⎨⎧==,3,2q d 或 ⎩⎨⎧-=-=.4,5q d …………………… 4分所以 a n = 1 +（n －1）·2 = 2n －1，b n = 3n －1； 或 a n = 1 +（n －1）·（－5）= 6－5n ，b n =（－4）n －1． …………………… 6分（Ⅱ） ∵ a n ∈N *，d n d n a a q q qb b n n )1(1)1(111---+-===，∴ 9)1(1===-+d dn nd a a q qq b b nn ，即 q d = 32．① …………………… 8分由（Ⅰ）知 q ( 2 + d ) = 12，得 dq +=212． ② ∵ a 1 = 1，a n ∈N *，∴ d 为正整数，从而根据①②知q ＞1且q 也为正整数，∴ d 可为1或2或4，但同时满足①②两个等式的只有d = 2，q = 3，∴ a n = 2n －1，22)121(n n n S n =-+=． …………………… 10分∴ )121121(2)5.0)(5.0(1112+--=-+<=n n n n n S n （n ≥2）． 当n ≥2时，2222211312111111nS S S n ++++=+++ ＜)121121(2)7151(2)5131(21+--++-+-+n n =12135)]121121()7151()5131[(21+-=+--++-+-+n n n ＜35．显然，当n = 1时，不等式成立．故n ∈N *，3511121<+++n S S S ． …………………… 14分思路2 或者和文科题的解法相同，前两项不变，从第三项213开始缩小：当n ≥2时，21211111111111111()()()2224235211n S S S n n +++<++-+-++--+ 111111111[()()()]42243511n n =++-+-++--+1111111()42231n n =+++--+51131n n =--+53<．。
四川省绵阳市高中2011级高三理综第二次诊断性考试旧人教版
绵阳市高中2011级第二次诊断性考试理科综合能力测试可能用到的相对原子质量：H1 C12 016 P31 Cu64第I 卷(选择题，共126分)二、选择题(本大题包括8小题。
在每小题的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确。
全部选对的得满分，选不全的得一半分数，有选错的得0分)14．如图所示，边长为L 的正方形导线框abcd ，在垂直于匀强磁场方向的平面内，以垂直于cd 边的速度v 运动，磁场磁感应强度为B ，线框在运动中产生的能向外输送的最大感应电动势为E ，b 、c 两点之间的电压为U ，则A ．E=2BLv ，U=BLvB ．E=BLv ，U=一BLvC ．E=0，U=0D ．E=BLv ，U=015．对一定质量的气体，下列过程违反热力学第一定律的是A ．在恒温条件下，气体绝热膨胀B ．在绝热条件下，体积不变而温度降低C ．气体从外界吸收热量而保持温度不变D ．气体对外做功的同时向外界放出热量16．随着探月工程的不断实施，在不久的将来，我国宇航员将登上月球进行科学实验。
假如一宇航员在月球表面以竖直向上的速度0v 抛出一个小球，经时间t 后以同样大小的速度落到月球表面，设月球半径为r ，则飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的速度大小是A ．t r v 02B ．tr v 0 C ．t r 2 D ．t r17．一列简谐横波沿x 轴正方向传播，频率为5Hz ，t=0时刻的波形如图，介质中质点A 在距原点O 为8cm 处，质点B 在距原点16cm 处。
则A ．t=0．05s 时刻质点A 向下运动B ．t=0．10s 时刻质点B 向上运动C ．t=0．12s 时刻质点A 的状态与t=0时刻质点B 的状态相同D ．t=0．24s 时刻质点B 的状态与t=0时刻质点A 的状态相同18．如图所示，一正方形线圈，其中电流I 恒定不变，用两条长度相等的绝缘细线静止悬挂于水平长直导线CD 的正下方。
绵阳二诊数学(理)试题含答案
绵阳市高2014级第二次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BACAB CCDAD CB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．-11 14．32 15．53 16．55三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解 ：（Ⅰ） 令n n n a a c -=+1， 则n n c c -+1=(12++-n n a a )-(n n a a -+1)=1212=+-++n n n a a a （常数），2121=-=a a c ，故{a n +1-a n }是以2为首项，1为公差的等差数列． ………………………4分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知1+=n c n ， 即a n +1-a n =n +1，于是11211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+-+-=--2)1(12)2()1(+=+++-+-+=n n n n n ， …………………………8分 故)111(2)1(21+-=+=n n n n a n ． ∴ S n =2(1-21)+2(21-31)+2(31-41)+…+)111(2+-n n =2(111+-n ) =12+n n ． ………………………………………………………………12分 18．解：(Ⅰ) ∵a c 2=，∴ 由正弦定理有sin C =2sin A ． …………………………………………2分 又C =2A ，即sin2A =2sin A ，于是2sin A cos A =2sin A ， …………………………………………………4分 在△ABC 中，sin A ≠0，于是cos A =22， ∴ A =4π． ……………………………………………………………………6分 (Ⅱ)根据已知条件可设21+=+==n c n b n a ，，，n ∈N *．由C =2A ，得sin C =sin2A =2sin A cos A ，∴ ac A C A 2sin 2sin cos ==． ……………………………………………………8分由余弦定理得ac bc a c b 22222=-+， 代入a ，b ，c 可得 nn n n n n n 22)2)(1(2)2()1(222+=++-+++， ……………………………………………10分 解得n =4，∴ a =4，b =5，c =6，从而△ABC 的周长为15，即存在满足条件的△ABC ，其周长为15． ………………………………12分19．解：(Ⅰ)由已知有 1765179181176174170=++++=x ， 6656870666462=++++=y ， 2222)176179()176181()176174()176170()6668)(176179()6670)(176181()6664)(176174()6662)(176170(ˆ-+-+-+---+--+--+--=b =3727≈0.73， 于是17673.066ˆˆ⨯-=-=x b y a=-62.48， ∴ 48.6273.0ˆˆˆ-=+=x a x b y．………………………………………………10分 (Ⅱ) x =185，代入回归方程得48.6218573.0ˆ-⨯=y=72.57， 即可预测M 队的平均得分为72.57． ………………………………………12分20．解：(Ⅰ) 设椭圆C 的焦半距为c ，则c =6，于是a 2-b 2=6． 由12222=+b y a c ，整理得y 2=b 2(1-22a c )=b 2×222a c a -= 24a b ，解得y =a b 2±， ∴ 222=ab ，即a 2=2b 4， ∴ 2b 4-b 2-6=0，解得b 2=2，或b 2=-23（舍去），进而a 2=8， ∴ 椭圆C 的标准方程为12822=+y x ． ……………………………………4分 (Ⅱ)设直线PQ ：1+=ty x ，)()(2211y x Q y x P ，，，． 联立直线与椭圆方程：⎪⎩⎪⎨⎧+==+，，112822ty x y x消去x 得：072)4(22=-++ty y t ， ∴ y 1+y 2=422+-t t ，y 1y 2=472+-t ． ………………………………………7分 于是482)(22121+=++=+t y y t x x ， 故线段PQ 的中点)444(22+-+t t t D ，． ………………………………………8分 设)1(0y N ，-， 由NQ NP =，则1-=⋅PQ ND k k ，即t t t ty -=+--++4414220，整理得4320++=t t t y ，得)431(2++-t t t N ，． 又△NPQ 是等边三角形， ∴ PQ ND 23=，即2243PQ ND =， 即]474)42)[(1(43)44()144(22222222+-⋅-+-+=+++++t t t t t t t t ， 整理得22222)4(8424)144(++=++t t t ， 即222222)4(8424)48(++=++t t t t ， 解得 102=t ，10±=t ， …………………………………………………11分∴ 直线l 的方程是0110=-±y x ． ………………………………………12分21．解：(Ⅰ)222221)(xm x x x m x f -=+-='， ……………………………………1分 ①m ≤0时，)(x f '>0，)(x f 在)0(∞+，上单调递增，不可能有两个零点． …………………………………………………………2分 ②m >0 时，由0)(>'x f 可解得m x 2>，由0)(<'x f 可解得m x 20<<， ∴ )(x f 在)20(m ，上单调递减，在)2(∞+，m 上单调递增，于是)(x f min =)2(m f =12ln 212-+m m m ， ……………………………………4分 要使得)(x f 在)0(∞+，上有两个零点， 则12ln 212-+m m m <0，解得20e m <<， 即m 的取值范围为)20(e ，． ………………………………………………5分 (Ⅱ)令x t 1=，则11ln 21)1(--=xx m x f 1ln 2--=t mt ， 由题意知方程1ln 2--t mt =0有两个根t 1，t 2， 即方程t t m 22ln +=有两个根t 1，t 2，不妨设t 1=11x ，t 2=21x ． 令t t t h 22ln )(+=，则221ln )(tt t h +-='， 由0)(>'t h 可得e t 10<<，由0)(<'t h 可得e t 1>， ∴ )10(e t ，∈时，)(t h 单调递增，)1(∞+∈，et 时，)(t h 单调递减． 故结合已知有 t 1>e1>t 2>0． ……………………………………………………8分要证e x x 21121>+，即证et t 221>+，即e t e t 1221>->． 即证)2()(21t eh t h -<． …………………………………………………………9分 令)2()()(x eh x h x --=ϕ， 下面证0)(<x ϕ对任意的)10(ex ，∈恒成立． 22)2(21)2ln(21ln )2()()(x ex e x x x e h x h x ----+--=-'+'='ϕ．………………………10分 ∵ )10(ex ，∈， ∴ 22)2(01ln x ex x -<>--，， ∴ )(x ϕ'22)2(21)2ln()2(21ln x e x e x e x ----+--->=2)2(22)2(ln x ee x x --+--． ∵ )2(x e x -<221]2)2([ex e x =-+， ∴ )(x ϕ'>0，∴ )(x ϕ在)10(e，是增函数， ∴ )(x ϕ<)1(eϕ=0， ∴ 原不等式成立．……………………………………………………………12分22．解：(Ⅰ)消去参数得1322=+y x ． …………………………………………5分（Ⅱ）将直线l 的方程化为普通方程为0323=++y x ．设Q (ααsin cos 3，)，则M (ααsin 211cos 23+，)， ∴ 233)4sin(26232sin 233cos 23++=+++=παααd ，∴ 最小值是4636-．………………………………………………………10分 23．解：(Ⅰ) 当t =2时，21)(-+-=x x x f ．若x ≤1，则x x f 23)(-=，于是由2)(>x f 解得x <21．综合得x <21．若1<x <2，则1)(=x f ，显然2)(>x f 不成立 ．若x ≥2，则32)(-=x x f ，于是由2)(>x f 解得x >25．综合得x >25． ∴ 不等式2)(>x f 的解集为{x | x <21，或x >25}． …………………………5分 （Ⅱ）)(x f ≥x a +等价于a ≤f (x )-x ．令g (x )= f (x )-x ．当-1≤x ≤1时，g (x )=1+t -3x ，显然g (x )min =g (1)=t -2．当1<x <t 时，g (x )=t -1-x ，此时g (x )>g (1)=t -2．当t ≤x ≤3时，g (x )=x -t -1，g (x )min =g (1)=t -2．∴ 当x ∈[1，3]时，g (x )min = t -2．又∵ t ∈[1，2]，∴ g (x )min ≤-1，即a ≤-1．综上，a 的取值范围是a ≤-1． ……………………………………………10分不用注册，免费下载！。
四川省绵阳市高中2011级高三数学第二次诊断性考试 文
绵阳市高中2011级第二次诊断性考试数 学（文科）本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共4页．全卷满分150分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A + B ）= P （A ）+ P （B ）； 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）；如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(．一、选择题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．1．设集合I = { x ︱︱x －2︱≤2，x ∈N * }，P = { 1，2，3 }，Q = { 2，3，4 }，则 I （P ∩Q ）=A ．{ 1，4 }B ．{ 2，3 }C ．{ 1 }D ．{ 4 } 2．若向量a 、b 、c 满足 a + b + c = 0，则a 、b 、cA ．一定能构成一个三角形B ．一定不能构成一个三角形C ．都是非零向量时一定能构成一个三角形D ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 3．将直线x －3y －2 = 0绕其上一点逆时针方向旋转60︒得直线l ，则直线l 的斜率为A ．33B ．3C ．不存在D ．不确定4．已知f (x ) = sin (x +2π)，g (x ) = cos (x －2π)，则下列命题中正确的是A ．函数y = f (x ) · g (x ) 的最小正周期为2πB ．函数y = f (x ) · g (x ) 是偶函数C ．函数y = f (x ) + g (x ) 的最小值为－1D ．函数y = f (x ) + g (x ) 的一个单调增区间是]4,43[ππ-5．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数y = cos 2x 的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度6．直线4x －3y －12 = 0与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 内切圆的方程为 A ．（x －1）2 +（y + 1）2 = 1 B ．（x －1）2 +（y －1）2 = 1C ．（x －1）2 +（y + 1）2 =2D ．（x －1）2 +（y + 1）2 = 27．设双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0）（c ＞0），两条准线间的距离等于c ，则双曲线的离心率e 等于A ．2B ．3C ．2D ．38．已知焦点（设为F 1，F 2）在x 轴上的双曲线上有一点P (x 0，23)，直线x y 3= 是双曲线的一条渐近线，当021=⋅PF PF 时，该双曲线的一个顶点坐标是 A ．（2，0） B ．（3，0） C ．（2，0） D ．（1，0） 9．若不等式︱x －a ︱－︱x ︱＜ 2－a 2 当x ∈R 时总成立，则实数a 的取值范围是 A ．（－2，2） B ．（－2，1） C ．（－1，1） D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）10．若抛物线y 2 = x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，焦点为F ，O 是坐标原点，则△POF 的面积等于A ．162B ．322C ．161D ．32111．已知等腰三角形的面积为23，顶角的正弦值是底角正弦值的3倍，则该三角形一腰的长为A ．2B ．3 C ．2D ．612．设函数f （x ）的定义域为A ，若存在非零实数t ，使得对于任意x ∈C （C ⊆ A ），有x + t ∈A ，且f （x + t ）≤ f （x ），则称f （x ）为C 上的t 低调函数．如果定义域为 [ 0，+∞)的函数f （x ）=－︱x －m 2︱+ m 2，且 f （x ）为 [ 0，+∞)上的10低调函数，那么实数m 的取值范围是A ．[－5，5 ]B ．[－5，5]C ．[－10，10]D ．]25,25[-第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）注意事项：答第Ⅱ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔（蓝、黑色）写在答题卷密封线内相应的位置．答案写在答题卷上，请不要答在试题卷上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．不等式13>x的解是 ． 14．已知函数f （x ）= sin x －cos (6-πx )，x ∈[ 0，2π)，则满足f （x ）＞0的x 值的集合为 ．15．设a ＞2b ＞0，则29()(2)a b b a b -+-的最小值是 ．16．给出下列命题：① “sin α－tan α＞0”是“α 是第二或第四象限角”的充要条件； ② 平面直角坐标系中有三个点A （4，5）、B （－2，2）、C （2，0），则直线AB 到直线BC的角为4arctan3； ③ 函数xx x f 22cos 3cos )(+=的最小值为32； ④ 设 [m ] 表示不大于m 的最大整数，若x ，y ∈R ，那么[x + y ]≥[x ] + [y ] ． 其中所有正确命题的序号是 ．（将你认为正确的结论序号都写上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）设△ABC 三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量)2,(b a p =，)1,(sin A q =，且q p //．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若△ABC 是锐角三角形，)tan cos sin ,1(),cos ,(cos B A A n B A m -==，求n m ⋅ 的取值范围． 18．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB 是半圆⊙O ：x 2 + y 2 = 1（y ≥0）的直径，C 是半圆O （除端点A 、B ）上的任意一点，在线段AC 的 延长线上取点P ，使︱PC ︱=︱BC ︱，试求动点P 的轨迹方程． 19．（本题满分12分）某幸运观众参加电视节目抽奖活动，抽奖规则是：在盒子里预先放有大小相同的5个小球，其中一个绿球，两个红球，两个白球．该观众依次从盒子里摸球，每次摸一个球（不放回），若累计摸到两个白球就停止摸球，否则直到将盒子里的球摸完才停止．规定：在球摸停止时，只有摸出红球才获得奖金，奖金数为摸出红球个数的1000倍（单位：元）．（Ⅰ）求该幸运观众摸三次球就停止的概率； （Ⅱ）求该幸运观众获得1000元奖金的概率．20．（本题满分12分）已知函数1)1(6)12(32)(23+--+-=x m m x m x x f ，x ∈R ．（1）当m =－1时，求函数y = f (x ) 在 [－1，5 ] 上的单调区间和最值；（2）设f ′(x ) 是函数y = f (x ) 的导数，当函数y = f ′(x ) 的图象在（－1，5）上与x 轴有唯一的公共点时，求实数m 的取值范围． 21．（本题满分12分）设椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为212，左焦点到左准线的距离为73．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 上有不同两点P 、Q ，且OP ⊥OQ ，过P 、Q 的直线为l ，求点O 到直线l 的距离． 22．（本题满分14分）已知{ a n }是等差数列，{ b n }是等比数列，S n 是{ a n }的前n 项和，a 1 = b 1 =1，2212b S =．（Ⅰ）若b 2是a 1，a 3的等差中项，求a n 与b n 的通项公式； （Ⅱ）若a n ∈N *，{n a b }是公比为9的等比数列，求证：471111321<++++n S S S S绵阳市高中2011级第二次诊断性考试 数学（文科）参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． ADCD BACD CBAB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．{ x ︱0＜x ＜3 } 14．（34,3ππ）或 }343|{ππ<<x x 15．12 16．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．解 （Ⅰ）∵ )2,(b a p =，)1,(sin A q =，q p //，∴ a －2b sin A = 0，由正弦定理得 sin A －2sin B sin A = 0． …………………… 3分∵ 0＜A ，B ，C ＜π，∴ 21sin =B ，得 6π=B 或56B π=． …………………… 6分（Ⅱ）∵ △ABC 是锐角三角形， ∴ 6π=B ，)cos 33sin ,1(),23,(cos A A n A m -==，于是 )cos 33(sin 23cos A A A n m -+=⋅=A A sin 23cos 21+=)6sin(π+A ． …………………… 9分由 65ππ=-=+B C A 及 0＜C ＜2π，得 )65,3(65πππ∈-=C A ． 结合0＜A ＜2π，∴23ππ<<A ，得3262πππ<+<A ， ∴1)6sin(23<+<πA ，即123<⋅<n m ． …………………… 12分 18．解 连结BP ，由已知得∠APB=45︒． …………………… 2分设P （x ，y ），则 1+=x yk PA ，1-=x y k PB ，由PA 到PB 的角为45︒， 得1111145tan +⋅-++--=︒x y x y x y x y ，化简得 x 2 +（y －1）2 = 2． …………………… 10分由已知，y ＞0且1+=x yk PA ＞0，故点P 的轨迹方程为x 2 +（y －1）2 = 2（x ＞－1，y ＞0）． …………………… 12分法二 连结BP ，由已知可得∠APB = 45︒，∴ 点P 在以AB 为弦，所对圆周角为45︒的圆上．设该圆的圆心为D ，则点D 在弦AB 的中垂线上，即y 轴上，且∠ADB = 90︒，∴ D （0，1），︱DA ︱=2，圆D 的方程为x 2 +（y －1）2 = 2．由已知，当点C 趋近于点B 时，点P 趋近于点B ；当点C 趋近于点A 时，点P 趋近于点（－1，2），所以点P 的轨迹方程为x 2 +（y －1）2 = 2（x ＞－1，y ＞0）．19．解 （Ⅰ）记“该幸运观众摸球三次就停止”为事件A ，则112232351()5C C A P A A ==．…………………… 6分（Ⅱ）该幸运观众获得1000元奖金的概率为314533121235221212=+=A A C C A A C C P ． …………………… 12分答：略．20．解 （1）当m =－1时，11232)(23+-+=x x x x f ，∴ f ′(x ) = 2x 2 + 2x －12 = 2（x + 3）（x －2）的两个根为x =－3 或 x = 2， 只有x = 2在 [－1，5 ] 上，所以 f (x ) 在 [－1，2 ] 上单调递减，在 [ 2，5 ] 上单调递增．又340)1(=-f ，41)2(-=f ，148)5(=f ． …………………… 4分故函数y = f （x ）在 [－1，5 ] 上的最大值为3，最小值为3-． …………………… 6分（2）由已知有 f ′(x ) = 2x 2－2（2m + 1）x －6m （m －1），x ∈R ．函数y = f ′(x ) 的图象与x 轴的公共点的横坐标就是二次方程x 2－（2m + 1）x －3m （m －1）= 0 的实数根，解得 x 1 = 3m ，x 2 = 1－m ． ① 当x 1 = x 2 时，有 3m = 1－m ⇒ 41=m ，此时x 1 = x 2 =43∈（－1，5）为所求． …………………… 8分② 当x 1≠x 2 时，令H （x ）= x 2－（2m + 1）x －3m （m －1），则函数y = f ′(x ) 的图象在（－1，5）上与x 轴有唯一的公共点 ⇒ H （－1）· H （5）≤0，而 H （－1）=－3m 2 + 5m + 2，H （5）=－3m 2－7m + 20， …………………… 9分所以（－3m 2 + 5m + 2）（－3m 2－7m + 20）≤0， 即（m －2）（3m + 1）（m + 4）（3m －5）≤0，解得－4≤m≤31-或35≤m ≤2． …………………… 10分经检验端点，当m =－4和m = 2时，不符合条件，舍去．综上所述，实数m 的取值范围是41=m 或－4＜m ≤31-或35≤m ＜2． …………………… 12分21．解 （1）设椭圆C 的方程为12222=+bb a x （a ＞b ＞0），则 2122=b ，21=b ．由 73)(2=---ca c ，即73222==-c b c c a ，得 7=c ． 于是 a 2 = b 2 + c 2 = 21 + 7 = 28，椭圆C 的方程为1212822=+y x ．………………… 5分 （2）若直线l 的斜率不存在，即l ⊥x 轴时，不妨设l 与x 正半轴交于点M ，将x = y 代入1212822=+y x 中，得32±==y x ，则点P （32，32），Q （32，32-），于是点O 到l 的距离为32． (7)分若直线l 的斜率存在，设l 的方程为y = kx + m （k ，m ∈R ），则点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）的坐标是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1212822y x m kx y 的两个实数解， 消去y ，整理，得（3 + 4k 2）x 2 + 8kmx + 4m 2－84 = 0， ∴ △ =（8km ）2－4（3 + 4k 2）（4m 2－84）= 12（28k 2－m 2 + 21）＞0， ① 221438k kmx x +-=+，222143844k m x x +-=． ② …………………… 9分∵ OP ⊥OQ ，∴ k OP · k OQ =－1，即12211-=⋅x y x y ，x 1x 2 + y 1y 2 = 0． 于是 x 1x 2 +（kx 1 + m ）（kx 2 + m ）=（1 + k 2）x 1x 2 + km （x 1 + x 2）+ m 2 = 0． ③将 x 1 + x 2，x 1x 2 代入上式，得 043843844)1(22222=++-+-⋅+m kkm km k m k ， ∴（k 2 + 1）（4m 2－84）－8k 2m 2 + m 2（4k 2 + 3）= 0， 化简，得 m 2 =12（k 2+1）．④④代入①满足，因此原点O 到直线l 的距离 32121||2==+-=k m d ．…………………… 12分22．解 设等差数列{ a n }的公差为d ，等比数列{ b n }公比为q ． （Ⅰ）∵ 2212b S =，∴ qb d a a 11112=++，而 a 1 = b 1 = 1，则 q （2 + d ）= 12．①又 ∵ b 2是a 1，a 3的等差中项，∴ a 1 + a 3 = 2b 2，得 1 + 1 + 2d = 2q ，即 1 + d = q ． ②联立①，②，解得 ⎩⎨⎧==,3,2q d 或 ⎩⎨⎧-=-=.4,5q d …………………… 4分 所以 a n = 1 +（n －1）·2 = 2n －1，b n = 3n －1； 或 a n = 1 +（n －1）·（－5）= 6－5n ，b n =（－4）n －1． …………………… 6分 （Ⅱ） ∵ a n ∈N *，d n d n a a q q q b b n n )1(1)1(111---+-===，∴ 9)1(1===-+d dn nd a a q q q b b nn ，即 q d = 32．① …………………… 8分由（Ⅰ）知 q ( 2 + d ) = 12，得 dq +=212． ② ∵ a 1 = 1，a n ∈N *，∴ d 为正整数，从而根据①②知q ＞1且q 也为正整数， ∴ d 可为1或2或4，但同时满足①②两个等式的只有d = 2，q = 3， ∴a n=2n－1，22)121(n n n S n =-+=． …………………… 10分 ∴ )1111(21)1)(1(1112+--=+-<=n n n n n S n （n ≥2）． 当n ≥2时， )1111(21)5131(21)4121(21)3111(21111121+--++-+-+-+<+++n n S S S n )]1111()5131()4121()3111[(211+--++-+-+-+=n n)111211(211+--++=n n 11147+--=n n 47<． 显然，当n = 1时，不等式成立．故n ∈N *，4711121<+++n S S S ． …………………… 14分思路2 或者利用nn n n n S n 111)1(1112--=-<=（n ≥2）从第三项开始放缩。
四川省绵阳市高三数学第二次诊断性考试试题 理(扫描版)
四川省绵阳市2015届高三数学第二次诊断性考试试题理（扫描版）绵阳市高2012级第二次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准①当1≥-ab，即a b -≥时，13)1()(0)0()(max min ≤+====b a f x f f x f ，， 即211313≤⇒+≤⇒⎩⎨⎧≤--≤b b b b a a b ，，．②当1<-ab即a b -<时， 233403)1(12)()(0)0(3max ≤⇒⎩⎨⎧≤--≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+=≤-=-==b b a a b b a f a b b a b f x f f ，，，，，，此时233-=a . 将233-=a ，23=b 代入检验正确. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．27 12．-160 13． 23-14．65 15．①③ 15．提示：③ 法一：21)(x x f -=和)2()(>+-=b b x x g 是(-1，1)上的“接近函数”，结合图形，)11(，-∈∃x 使max 22)11(11++-≤⇔≤--+-x x b x b x ，令)11(11)(2<<-++-=x x x x h ，，22011)(2±=⇒=--='x x x x h ， 即)2222(，-∈x 时，0)(>'x h ；)122(，∈x 时，0)(<'x h ． 所以12)22()(max +==h x h ． 法二：数形结合求出直线和半圆相切时切点)2222(，P ，当直线和圆在)2222(，P 的“竖直距离”为1 时，12+=b ．④若ex xxx f 2ln )(+=与22)(e a x x g ++=是)1[∞+，上的“远离函数”， 即)1[∞+∈∀，x ，x x ex e a x e a x ex x x ln 22ln 2222--++=---+1ln )(2>-+-=xxa e x ．令a e x x P +-=21)()(，则)(1x P 在)(e ，-∞递减，在)(∞+，e 递增， ∴ a e P x P ==)()(1min 1； 令xx x P ln )(2=，22ln 1)(x xx P -='，易得)(2x P 在)(e ，-∞递增，在)(∞+，e 递减，∴e e P x P 1)()(2max 2==，∴ ea e a 1111+>⇒>-． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)设所选取的2人中至少有1人为“满意观众”的事件为A ，则A 为所选取的人中没有1人为“满意观众”，∴ P (A )=1-P (A )=1-21224C C =1-111=1110， 即至少有1人为“满意观众”的概率为1110． ………………………………4分 (Ⅱ) 由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率为32128=，即从观看此影片的“满意观众”的概率为32，同理，不是“满意观众”的概率为31．…6分由题意有ξ=0，1，2，3，则P (ξ=0)=303)31(C =271，P (ξ=1)=213)31(32⨯⨯C =92，P (ξ=2)=31)32(223⨯⨯C =94，P (ξ=3)=333)32(C =278， ∴ ξ的分布列为10分∴ ξ的数学期望E ξ=0×271+1×92+2×94+3×278=2．………………………12分 17．解：(Ⅰ) 如图，连结AC 、BD 交于O ，连结OE ．由ABCD 是正方形，易得O 为AC 的中点，从而OE 为△PAC 的中位线，∴ EO //PA ．∵ EO ⊂面EBD ，PA ⊄面EBD ，∴ PA //面EBD ．………………………………………………………………4分 (Ⅱ)由已知PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥AD ，PD ⊥CD ．如图，以DA ，DC ，DP 所在直线为坐标轴，D 为原点建立空间直角坐标系．设AD =2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，P (0，0，2)，E (0，1，1)，B (2，2，0)，PB =(2，2，-2)，=(2，0，0)．…………………………………6分 设F (x 0，y 0，z 0)，PB PF λ=，则由=(x 0，y 0，z 0-2)得(x 0，y 0，z 0-2)=λ(2，2，-2) ，即得⎪⎩⎪⎨⎧-===，，，λλλ2222000z y x于是F (2λ，2λ，2-2λ)． ∴ =(2λ，2λ-1，1-2λ)． 又EF ⊥PB ，∴ 0)2()21(2)12(22=-⨯-+⨯-+⨯λλλ，解得31=λ． ∴ )343232(，，F ，)343232(，，=DF ． ………………………………………8分设平面DAF 的法向量是n 1=(x ，y ，z )，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，0011n n 即⎩⎨⎧=++=，，0202z y x x 令z =1，得n 1=(0，-2，1)．又平面PAD 的一个法向量为n 2=(0，1，0)， ………………………………10分 设二面角P -AD -F 的平面角为θ， 则cos θ=2121n n n n ⋅55252==，即二面角P -AD -F 的余弦值为552． ………………………………………12分 18．解：(Ⅰ)由余弦定理得412212cos 222==-+=bc bcbc a c b A ，则415cos 1sin 2=-=A A ． …………………………………………………4分 (Ⅱ)由A +B +C =π有C =π-(A +B )，于是由已知sin B +sin C =210得210)(sin sin =++B A B ，即210sin cos cos sin sin =++B A B A B ， 将415sin =A ，41cos =A 代入整理得210cos 415sin 45=+B B ．①………7分 根据1cos sin 22=+B B ，可得B B 2sin 1cos -±=． 代入①中，整理得8sin 2B -410sin B +5=0， 解得410sin =B ． ……………………………………………………………10分 ∴ 由正弦定理BbA a sin sin =有364154101sin sin =⨯==A B a b ． ………………12分19．解：(Ⅰ) ∵二次函数x a x a x f n n n ⋅-+⋅=+-)2(21)(12的对称轴为x =21， ∴ a n ≠0，2121221=⨯--+-n n n a a ，整理得n n n a a 21211+=+，………………………2分左右两边同时乘以12+n ，得22211+=++n n n n a a ，即22211=-++n n n n a a (常数)， ∴ }2{n n a 是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴ n n a n n 2)1(222=-+=， ∴ 1222-==n n n nn a ． ……………………………………………………………5分 (Ⅱ)∵ 12210221232221--+-+++=n n n nn S ， ① n n n nn S 221232221211321+-+++=- ， ②①-②得：n n n n S 2212121211211321-++++=- n n n 2211211---=， 整理得 1224-+-=n n n S ．…………………………………………………………8分 ∵ )224(23411-++--+-=-n n n n n n S S =n n 21+>0， ∴ 数列{S n }是单调递增数列．………………………………………………10分∴ 要使S n <3成立，即使1224-+-n n <3，整理得n +2>12-n ， ∴ n =1，2，3．………………………………………………………………12分20．解：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为12222=+by a x ，焦点坐标为(c ，0)，由题知：⎪⎩⎪⎨⎧=+=，，53322b a a c 结合a 2=b 2+c 2，解得：a 2=3，b 2=2， ∴ 椭圆E 的标准方程为12322=+y x ． ………………………………………4分(Ⅱ) 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，H (x 0，y 0)， 由已知直线MN 的方程为y =kx +3k +4，联立方程⎩⎨⎧++==+，，)43(63222k kx y y x消去y ，得0)427227()43(6)32(222=++++++k k x k k x k ，于是x 1+x 2=232)43(6k k k ++-，x 1x 2=2232427227k k k +++．① ………………………7分又P ，M ，H ，N 四点共线，将四点都投影到x 轴上，2102133x x x x x x --=++， 整理得：)(6)(322121210x x x x x x x ++++=． …………………………………………10分将①代入可得=++-+++-⨯++++⨯=2222032)43(6632)43(63324272272k k k k k k k k k x k k 2176-+， …… 12分 ∴ kk k k k k k kx y 2142)43(2176)43(00-+=++-+=++=， 消去参数k 得01200=+-y x ，即H 点恒在直线012=+-y x 上． ………13分21．解：(Ⅰ) ∵ 11)(+-='xax x f ，x ∈(0，+∞)， ………………………1分 ∴ a =2时，xx x x x x x f )1)(12(12)(2+-=-+='=0， ∴ 解得x =21，x =-1(舍)． 即)(x f 的极值点为x 0=21． ……………………………………………………3分 (Ⅱ) xx ax x ax x f 111)(2-+=+-='．（1）0=a 时，)(x f 在)1,0(上是减函数，在)1,0(上是增函数;0≠a 时， 对二次方程ax 2+x -1=0，Δ=1+4a ，（2）若1+4a ≤0，即41-≤a 时，ax 2+x -1<0，而x >0，故)(x f '<0，∴ )(x f 在(0，+∞)上是减函数． （3）若1+4a >0，即a >41-时，ax 2+x -1=0的根为aa x 241121+±-=，， ①若<-41a <0，则a a 2411+-->a a2411++->0， ∴ 当x ∈(a a 2411++-，a a 2411+--)时，ax 2+x -1>0，即)(x f '>0，得)(x f 是增函数；当x ∈)2411,0(aa ++-， (a a 2411+--，+∞)时，ax 2+x -1<0，即)(x f '<0，得)(x f 是减函数． ②若a >0，a a 2411+--<0<aa2411++-，∴ 当x ∈(0，aa 2411++-)时，ax 2+x -1<0，即)(x f '<0， 得)(x f 是减函数；当x ∈(aa 2411++-，+∞)时，ax 2+x -1>0，即)(x f '>0得)(x f 是增函数．∴ 综上所述，0=a 时，)(x f 在)1,0(上是减函数，在)1,0(上是增函数 当41-≤a 时，)(x f 在(0，+∞)上是减函数； 当41-<a <0时，)(x f 在(aa 2411++-，a a2411+--)上是增函数，在)2411,0(aa ++-， (a a2411+--，+∞)上是减函数； 当a >0时，)(x f 在(a a 2411++-，+∞)上是增函数，在(0，aa2411++-)上是减函数．…………………………………………………………………………7分 (Ⅲ)令)1(21)()()(+-++='-=a xa ae x f x g x h x ，x >0， 于是222)1(1)(xa x ae x a ae x h x x+-⋅=+-='． 令)1()(2+-⋅=a x ae x p x ，则)2()(+⋅='x x ae x p x >0， 即p (x )在(0，+∞)上是增函数．∵ p (x )=-(a +1)<0，而当x →+∞时，p (x )→+∞， ∴ ∃x 0∈(0，+∞)，使得p (x 0)=0．∴ 当x ∈(0，x 0)时，p (x )<0，即)(x h '<0，此时，h (x )单调递减； 当x ∈(x 0，+∞)时，p (x )>0，即)(x h '>0，此时，h (x )单调递增， ∴ )()(0min x h x h ==)1(210+-++a x a ae x ．① 由p (x 0)=0可得0)1(200=+-⋅a x ae x ，整理得210x a ae x +=，②…………10分代入①中，得)(0x h =)1(21102+-+++a x a x a ， 由∀x ∈(0，+∞)，恒有)(x g ≥)(x f '，转化为)1(21102+-+++a x a x a ≥0，③ 因为a >0，③式可化为21102-+x x ≥0，整理得12020--x x ≤0， 解得21-≤x 0≤1． 再由x 0>0，于是0<x 0≤1．…………………………………………………12分由②可得aa x e x 1200+=⋅． 令)(0x ϕ=200x e x ⋅ ，则根据p (x )的单调性易得)(0x ϕ在1]0(，是增函数， ∴ )0(ϕ<)(0x ϕ≤)1(ϕ，即0<aa 1+≤e ， 解得a ≥11-e ，即a 的最小值为11-e ．……………………………………14分。
绵阳一诊2011级理科数学答案
绵阳市高2011级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． CBCDC ABBAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．912．613．514．21()e e， 15．①④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（Ⅰ） c os x ≠0知x ≠k π+2π，k ∈Z ， 即函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π，k ∈Z }．………………………3分 又∵ x xx x x x x x x x x f 2sin 22cos 12cos sin 2sin 2cos )cos (sin cos sin 2)(2--⨯=-=-=)2cos 2(sin 1x x +-= )42sin(21π+-=x ，∴ 21)(m ax +=x f ． ……………………………………………………………8分（II ）由题意得1)4πx +≥0，即sin(2)4πx +≤ 解得324πk π+≤24πx +≤924πk π+，k ∈Z ，整理得4πk π+≤x ≤k ππ+，k ∈Z ．结合x ≠k π，k ∈Z 知满足f (x )≥0的x 的取值集合为{x |4πk π+≤x <k ππ+，且x ≠k π+2π，k ∈Z }． ……………………………12分 17．解：（I ）设{a n }的公差为d ，则由题知⎩⎨⎧=+++=+，，4874143111d a d a d a 解得a 1=2，d =4． ……………………………………4分 ∴a n =2+4(n -1)=4n -2．…………………………………………………………6分 （II ）设{b n }的公比为q ，若q =1，则S 1=b 1，S 2=2b 1，S 3=3b 1，由已知312322S S S +=⨯，代入得8b 1=4b 1，而b 1≠0，故q =1不合题意． …………………………………………………………7分若q ≠1，则S 1=b 1，q q b S --=1)1(212，qq b S --=1)1(313，于是23111(1)(1)22311b q b q b q q--⨯⨯=+--，整理得：4q 2=3q +q 3，解得q =0（舍去），q =1（舍去），q =3， ………10分 ∴8031)31(244=--⨯=S ． ………………………………………………………12分18．解：（I ）由已知A =2，且有3)0sin(2=+⋅ϕω，即23sin =ϕ， 由|ϕ|<2π得3πϕ=．又∵ 最高点为(1，2)， ∴ ，2)3sin(2=+πω 解得6πω=．∴ )36sin(2ππ+=x y ．…………………………………………………………6分（II ）∵ B 点的横坐标为3，代入函数解析式得2sin(3)63B ππy =⨯+=1， ∴ 2)34(122=-+=BD ．…………………………………………………8分 在△BCD 中，设∠CBD =θ，则∠BDC =180º-120º-θ=60º-θ． 由正弦定理有)60sin(sin 120sin θθ-︒==︒BCCD BD ，∴ θsin 362=CD ，)60sin(362θ-︒=BC ， …………………………………9分 ∴ )]60sin([sin 362θθ-︒+=+CD BC ]sin 21cos 23[sin 362θθθ-+=)3sin(362πθ+=． ∴ 当且仅当6πθ=时，折线段BCD 最长，最长为362千米．…………12分 19．解：（I ）由于f (3+x )=f (-x )知函数f (x )关于23=x 对称， 即232=-b ，解得b =-3，于是 f (x )=x 2-3x +2．………………………………3分 22111()111x x x g x x x ⎧-≤-≥⎪=⎨--<<⎪⎩，或，，，当x ≤-1，或x ≥1时，由f (x )≥g (x )有x 2-3x +2≥x 2-1，解得x ≤1， ∴ 此时x 的范围为x ≤-1，或x =1．当-1<x <1时，由f (x )≥g (x )有x 2-3x +2≥1-x 2，解得x ≤12或x ≥1， ∴ 此时x 的范围为-1<x ≤21． ∴ 综上知，使不等式f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |x ≤12或x =1}． ………………………………………………………………7分（II ）⎩⎨⎧<<-+≥-≤++=，，，或，1151132)(2x bx x x bx x x h若b=0时，22311()51 1.x x x h x x ⎧+≤-≥=⎨-<<⎩，或，，显然h (x )>0恒成立，不满足条件．…………………………………………………………………9分 若b ≠0时，函数ϕ(x )=bx +5在(0，1)上是单调函数， 即ϕ(x )在(0，1)上至多一个零点，不妨设0<x 1<x 2<2．①如果0<x 1<1，1≤x 2<2时，则0)1()0(<ϕϕ，且(1)(2)h h ≤0，即50(5)(211)0b b b +<⎧⎨++≤⎩，，解得112-≤5b <-． 经检验211-=b 时，)(x h 的零点为1011，2（舍去），∴112-<5b <-． ②若1≤x 1<x 2<2时2(1)1(2)0124240h h b b ≥⎧⎪>⎪⎪⎨<-<⎪⎪->⎪⎩，，，， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-<<->+≥+，或，，，626248011205b b b b b 得：-5≤b <- ∴ 综上所述b的取值范围为112b -<<-． ……………………………12分 20．解：（I ）由02312>-+x x 解得221<<-x ．即)221(，-=M ．……………2分∵x x x x x f 24)2(3243)(22⋅-⋅=-⋅=+， 令2x =t ，则422<<t ， 34)32(343)()(22+-=-==t t t t g x f ， ∴ g (t )在)422(，上是增函数．∴ g (t )在)422(，上无最小值，即f (x )在M 上无最小值． ……………………………………………………7分（II ）∵0)1()1(2)(222>+-+='x x tx x g ， ∴ g (x )在M 上是增函数． ……………………………………………………8分 设1+tx -x 2=0的两根为α，β(α<β)，则α+β=t ，αβ=-1，M =(α，β)． 于是1212)()(22+--+-=-ααββαβt t g g )1)(1()1)(2()1)(2(2222+++--+-=βαβααβt t 12)()())(()(2)(222+-+++-----=αββααββαβαβαβααβt 224)()(4t t +----=βαβα=αβ- αββα4)(2-+=42+=t ．由题意知，要使原不等式恒成立，只需342<+t ，解得()t ∈．……………………………………………………………………………13分21．解：（I ）∵a x e x f x --=')(，∴ a f -='1)0(．于是由题知1-a =2，解得a =-1． ∴ x x e x f x +-=221)(． ∴ (0)1f =，于是1=2×0+b ，解得b =1．……………………………………………………4分 （II ）由题意)(x f '≥1即a x e x --≥0恒成立， ∴ x e a x -<恒成立．设x e x h x -=)(，则1)(-='x e x h ．mi n ∴ a ≤1．………………………………………………………………………9分（III ）由已知ax ax e x ax ax x e x g x x --=+---=22222121)(， ∴ a ax e x g x --='2)(．∵ x 1，x 2是函数g (x )的两个不同极值点（不妨设x 1<x 2），∴ a >0（若a ≤0时，0)(>'x g ，即g (x )是R 上的增函数，与已知矛盾），且0)(1='x g ，0)(2='x g ．∴ 0211=--a ax e x ，0222=--a ax e x ．两式相减得：21212x x e e a x x --=，于是要证明a xx 2ln 221<+，即证明2122121x x e e ex x x x --<+， 两边同除以2x e ，即证21212121x x e e x x x x --<--，即证(x 1-x 2)221x x e ->121--x x e ，即证(x 1-x 2)221x x e --121x x e -+>0，令x 1-x 2=t ，t <0． 即证不等式012>+-t t e te当t <0时恒成立．设2()1t t φt te e =-+， ∴ t tte e t e t -⋅⋅+='21)(22ϕ t te e t-+=2)12( )]12([22+--=te e t t ． ∵ 由(II)知122+>t e t ，即0)12(2>+-te t， ∴ ϕ(t )<0，∴ ϕ(t )在t <0时是减函数．∴ ϕ(t )在t =0处取得极小值ϕ(0)=0． ∴ ϕ(t )>0，得证． ∴a x x 2ln 221<+．……………………………………………………………14分。
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绵阳市高中2011级第二次诊断性考试数学（理科）参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ADCD BACD CBAB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．{ x ︱0＜x ＜3 } 14．（34,3ππ）或 }343|{ππ<<x x 15．12 16．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．解 （Ⅰ）∵ )2,(b a p =，)1,(sin A q =，q p //，∴ a －2b sin A = 0，由正弦定理得 sin A －2sin B sin A = 0． …………………… 3分∵ 0＜A ，B ，C ＜π，∴ 21sin =B ，得 6π=B 或56B π=． …………………… 6分 （Ⅱ）∵ △ABC 是锐角三角形，∴ 6π=B ， )cos 33sin ,1(),23,(cos A A n A m -==， 于是 )cos 33(sin 23cos A A A n m -+=⋅=A A sin 23cos 21+=)6sin(π+A ． …………………… 9分由 65ππ=-=+B C A 及 0＜C ＜2π，得 )65,3(65πππ∈-=C A ． 结合0＜A ＜2π，∴ 23ππ<<A ，得 3262πππ<+<A ， ∴ 1)6sin(23<+<πA ，即123<⋅<． …………………… 12分 18．解 连结BP ，由已知得∠APB = 45︒． …………………… 2分设P （x ，y ），则 1+=x y k PA ，1-=x y k PB ，由P A 到PB 的角为45︒， 得1111145tan +⋅-++--=︒x y x y x y x y ，化简得 x 2 +（y －1）2 = 2． …………………… 10分 由已知，y ＞0且1+=x y k PA ＞0，故点P 的轨迹方程为x 2 +（y －1）2 = 2（x ＞－1，y ＞0）． …………………… 12分法二 连结BP ，由已知可得∠APB = 45︒，∴ 点P 在以AB 为弦，所对圆周角为45︒的圆上．设该圆的圆心为D ，则点D 在弦AB 的中垂线上，即y 轴上，且∠ADB = 90︒，∴ D （0，1），︱DA ︱=2，圆D 的方程为x 2 +（y －1）2 = 2．由已知，当点C 趋近于点B 时，点P 趋近于点B ；当点C 趋近于点A 时，点P 趋近于点（－1，2），所以点P 的轨迹方程为x 2 +（y －1）2 = 2（x ＞－1，y ＞0）．19．解 （Ⅰ）记“该幸运观众摸球三次就停止”为事件A ， 则112232351()5C C A P A A ==． …………………… 5分（Ⅱ）ξ 的可能值为0，1000，2000． …………………… 7分21222223551(0)6A C A P A A ξ==+=，31)1000(4533121235221212=+==A A C C A A C C P ξ， 21331422332445551(2000)2C C A C C A P A A ξ==+=． …………………… 10分所以11140000100020006323E ξ=⨯+⨯+⨯=． …………………… 12分 答：略．20．解 （Ⅰ）∵ h (x ) = f (x )－g (x ) =223ax + 6x －3 ln x （x ＞0）， ∴xax x h 363)(-+='． …………………… 2分∵ 函数h (x ) 有两个极值点，∴ 方程0)12(3363)(2=-+=-+='xx ax x ax x h ， 即ax 2 + 2x －1 = 0应有两个不同的正数根，于是 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=>-=+>+=∆,01,02,04221212a x x a x x a ⇒ －1＜a ＜0． …………………… 6分（Ⅱ）方程 g (x ) = x f ′(x )－3（2a + 1）x 即为 －6x + 3 ln x = 3ax 2－3（2a + 1）x ， 等价于方程 ax 2 +（1－2a ）x －ln x = 0．设 H （x ）= ax 2 +（1－2a ）x －ln x ，转化为关于函数H （x ）在区间（0，+∞）内的零点问题（即函数H （x ）图象与x 轴有无交点的问题）． …………………… 8分∵ H ′(x ) = 2ax +（1－2a ）－xx ax x x a ax x )1)(12(1)21(212-+=--+=， 且a ＞0，x ＞0，则当x ∈（0，1）时，H ′(x )＜0，H （x ）是减函数；当x ∈（1，+∞）时，H ′(x )＞0，H （x ）是增函数． (10)分因为 x → 0（或者x →+∞）时，H （x ）→ +∞， ∴ 要使H （x ）图象与x 轴有无交点，只需H （x ）min = H （1）= a +（1－2a ）= 1－a ＞0，结合a ＞0得 0＜a ＜1，为所求．…………………… 12分21．解 （1）设椭圆C 的方程为12222=+bb a x （a ＞b ＞0），则 2122=b ，21=b ．由 73)(2=---c a c ，即73222==-c b c c a ，得 7=c ． 于是 a 2= b 2+ c 2= 21 + 7 = 28，椭圆C 的方程为1212822=+y x ．………………… 5分 （2）若直线l 的斜率不存在，即l ⊥x 轴时，不妨设l 与x 正半轴交于点M ，将x = y 代入1212822=+y x 中，得32±==y x ，则点P （32，32），Q （32，32-），于是点O 到l 的距离为32． ……………………7分若直线l 的斜率存在，设l 的方程为y = kx + m （k ，m ∈R ），则点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）的坐标是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1212822y x m kx y 的两个实数解，消去y ，整理，得（3 + 4k 2）x 2 + 8kmx + 4m 2－84 = 0， ∴ △ =（8km ）2－4（3 + 4k 2）（4m 2－84）= 12（28k 2－m 2 + 21）＞0， ①21438k kmx x +-=+，222143844k m x x +-=．②…………………… 9分∵ OP ⊥OQ ，∴ k OP · k OQ =－1，即 12211-=⋅x y x y ，x 1x 2 + y 1y 2 = 0． 于是 x 1x 2 +（kx 1 + m ）（kx 2 + m ）=（1 + k 2）x 1x 2 + km （x 1 + x 2）+ m 2 = 0． ③将 x 1 + x 2，x 1x 2 代入上式，得 043843844)1(22222=++-+-⋅+m kkm km k m k ， ∴（k 2 + 1）（4m 2－84）－8k 2m 2 + m 2（4k 2+ 3）= 0， 化简，得 m 2 = 12（k 2 + 1）． ④④代入①满足，因此原点O 到直线l 的距离 32121||2==+-=k m d ． …………………… 12分22．解 设等差数列{ a n }的公差为d ，等比数列{ b n }公比为q ．（Ⅰ）∵ 2212b S =，∴ qb d a a 11112=++，而 a 1 = b 1 = 1，则 q （2 + d ）= 12．①又 ∵ b 2是a 1，a 3的等差中项，∴ a 1 + a 3 = 2b 2，得1 + 1 + 2d = 2q ，即 1 + d = q ． ②联立①，②，解得 ⎩⎨⎧==,3,2q d 或 ⎩⎨⎧-=-=.4,5q d …………………… 4分 所以 a n = 1 +（n －1）·2 = 2n －1，b n = 3n －1； 或 a n = 1 +（n －1）·（－5）= 6－5n ，b n =（－4）n －1． …………………… 6分（Ⅱ） ∵ a n ∈N *，d n d n a a q q qb b n n )1(1)1(111---+-===，∴9)1(1===-+d dn nd a a q qq b b nn ，即q d=32． ① …………………… 8分由（Ⅰ）知 q ( 2 + d ) = 12，得 dq +=212． ② ∵ a 1 = 1，a n ∈N *，∴ d 为正整数，从而根据①②知q ＞1且q 也为正整数， ∴ d 可为1或2或4，但同时满足①②两个等式的只有d = 2，q = 3，∴ a n = 2n －1，22)121(n n n S n =-+=． …………………… 10分∴ )121121(2)5.0)(5.0(1112+--=-+<=n n n n n S n （n ≥2）． 当n ≥2时，2222211312111111nS S S n ++++=+++＜)121121(2)7151(2)5131(21+--++-+-+n n =12135)]121121()7151()5131[(21+-=+--++-+-+n n n ＜35．显然，当n = 1时，不等式成立．故n ∈N *，3511121<+++n S S S ． …………………… 14分思路2 或者和文科题的解法相同，前两项不变，从第三项213开始缩小：当n ≥2时，21211111111111111()()()2224235211n S S S n n +++<++-+-++--+ 111111111[()()()]42243511n n =++-+-++--+1111111()42231n n =+++--+51131n n =--+53<．。