第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布[理]概率[文] 质量检测

第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布[理]概率[文](时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是 ( ) A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥但不对立事件 D ．以上答案均不对解析：四张纸牌分发给四人，每人一张，甲和乙不可能同时分得梅花，所以是互斥事件，但也有可能丙或丁分得梅花，故不是对立事件． 答案：C2．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为 ( )解析：A 游戏盘的中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为222(2)4(2)4r r r ππ--=，D 游戏盘的中奖概率为221r r ππ= ，A 游戏盘的中奖概率最大． 答案：A3．[理]某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ( ) A ．14 B ．24 C ．28 D ．48解析：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为C 12·C 34＋C 22·C 24＝2×4＋1×6＝14.法二：从4男2女中选4人共有C 46种选法，4名都是男生的选法有C 44种，故至少有1名女生的选派方案种数为C 46－C 44＝15－1＝14.答案：A[文]在△ABC 中，D 是BC 的中点，向△ABC 内任投一点．那么点落在△ABD 内的概为( )A.13B.12C.14D.16 解析：因为D 是BC 的中点，所以S △ABD ＝12S △ABC ，所以点落在△ABD 内的概率为12.答案：B4．[理](2019·辽宁高考)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ( ) A ．70种 B ．80种 C ．100种 D ．140种解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有：C 25×C 14＋C 15×C 24＝70种． 答案：A[文]两个骰子的点数分别为b 、c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个实根的概率为 ( ) A.12 B.1536 C.1936 D.56解析：共有36个结果，方程有解，则Δ＝b 2－4c ≥0，∴b 2≥4c ，满足条件的数记为(b 2,4c )，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24),19个结果，P ＝1936. 答案：C5．[理](2019·重庆高考)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 8的展开式中x 4的系数是 ( ) A ．16 B ．70 C ．560 D ．1 120解析：由二项展开式通项公式得T k ＋1＝C k 8(x 2)8－k ⎝⎛⎭⎫2x k ＝2k C k 8x16－3k.由16－3k ＝4，得k ＝4，则x 4的系数为24C 48＝1 120. 答案：D[文]某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过(假设每一辆带走站上的所有乘客)，乘客到达汽车站的时间是任意的，则乘客候车时间不超过3分钟的概率为 ( ) A.25 B.35 C.12 D.34 解析：P ＝5－25＝35.答案：B6．若A 、B 为一对对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y，则x ＋y 的最小值为( )A ．9B ．10C ．6D ．8 解析：由已知得4x ＋1y ＝1(x >0，y >0)， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(4x ＋1y )＝5＋(4y x ＋x y )≥9. 答案：A7．[理]从数字0,1,2,3,5,7,8,11中任取3个分别作为Ax ＋By ＋C ＝0中的A ，B ，C (A ，B ，C 互不相等)的值，所得直线恰好经过原点的概率为 ( ) A.41335 B.18 C.528 D.38 解析：P ＝7×68×7×6＝18.答案：B[文]一块各面均涂有油漆的正方体被据成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是 ( ) A.112 B.110 C.325 D.12125 解析：每条棱上有8块，共8×12＝96块． ∴概率为8×121 000＝12125.答案：D8．在区域⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，y ≥0内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( )A.π2B.π8C.π6D.π4 解析：区域为△ABC 内部(含边界)，则概率为P=2.142ABC S S ππ∆==⨯半圆 答案：D9．[理]在(x 2－1x )n 的展开式中，常数项为15，则n ＝ ( )A ．3B ．4C ．5D ．6 解析：对于二项式的展开式问题，关键要考虑通项，第k ＋1项T k ＋1＝C k n 2()n k x－·(－1x )k＝C k n 23(1)k n kx －－应有2n －3k ＝0，∴n ＝3k2，而n 是正整数，故k ＝2,4,6….结合题目给的已知条件，常数项为15，验证可知k ＝4，n ＝6. 答案：D[文]已知直线y ＝x ＋b 的横截距在[－2,3]范围内，则直线在y 轴上的截距b 大于1的概 率是 ( ) A.15 B.25 C.35 D.45 解析：P ＝2－12－(－3)＝15.答案：A10．[理]用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 ( ) A ．40 B ．60 C ．80 D ．10解析：若个位数是偶数，当2在个位时，则1在十位，共有A 22A 22＝4(个)，当2不在个位时，共有A 12·A 12·A 22·A 22＝16(个)， 所以若个位是偶数，有4＋16＝20个六位数． 同理，若个位数是奇数，有20个满足条件的六位数， 因此，这样的六位数的个数是40. 答案：A[文]若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，由书架上抽出一本外文书的概率为 ( ) A.15 B.310 C.25 D.12 解析：P ＝510＝12. 答案：D11．[理]口袋中有4个白球，n 个红球，从中随机地摸出两个球，这两个球颜色相同的概率大于0.6，则n 的最小值为 ( ) A ．13 B ．14 C ．15 D ．16解析：由已知条件可得C 24＋C 2nC 2n ＋4>0.6，解之得n >12或n <1(舍去)，∴n 的最小值为13. 答案：A[文]一个坛子里有编号为1,2…，12的12个大小相同的球，其中1至6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为 ( ) A.122 B.111 C.322 D.211 解析：从12个球中任取两个的做法有66种．∴取到的是红球且至少有1个球号码为偶数的做法共有15－3＝12种， ∴P ＝1266＝211.答案：D12．[理]若从数字0,1,2,3,4,5中任取三个不同的数作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数，则与x 轴有公共点的二次函数的概率是 ( ) A.1750 B.1350 C.12 D.15解析：若从0,1,2,3,4,5中任选三个数作为二次函数的系数，对应二次函数共有C 15A 25＝100个，其中与x 轴有公共点的二次函数需满足b 2≥4ac ，当c ＝0时，a ，b 只需从1,2,3,4,5中任选2个数字即可，对应的二次函数共有A 25个，当c ≠0时，若b ＝3，此时满足条件的(a ，c )取值有(1,2)，(2,1)有2种情况；当b ＝4时，此时满足条件的(a ，c )取值有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)有4种情况；当b ＝5时，此时满足条件的(a ，c )取值有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)有8种情况，即共有20＋2＋4＋8＝34种情况满足题意，故其概率为34100＝1750.答案：A[文]若－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的概率等于 ( ) A.12 B.13 C.23 D.34 解析：方程x 2+2ax +b 2=0有实根时，应有4a 2-4b 2≥0，即|a |≥|b |，当-1≤a≤1，-1≤b ≤1时，(a ，b )对应的区域是一个正方形，满足|a |≥|b |的(a ，b ) 对应的区域是如图所示的阴影部分，画出图形可得：P =1.2答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________．解析：如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P =21.4416ππ⨯=⨯答案：16π 14．[理](2019·广东高考)已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若E (X )＝0，D (X )＝1，则a ＝________，b ＝________.解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋112＝1，－a ＋c ＋16＝0，a ·1＋c ·1＋112×22＝1，解得a ＝512，b ＝c ＝14.答案：512 14[文]如图，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =7.现在向该矩形内随机投一点P ，则 ∠APB >90°时的概率为 .解析：P =215()522.3556ππ⨯=答案：556π 15．[理](2019·安徽师大附中模拟)a ＝0π⎰ (sin x ＋cos x )d x 则二项式(a x －1x)6展开式中含x 2的项的系数是________．解析：a ＝0π⎰ (sin x ＋cos x )d x ＝(sin x －cos x )|π0＝(sin π－cos π)－(sin0－cos0) ＝(0＋1)－(0－1)＝2. 又∵T r ＋1＝C r 6(a x )6ra － (－1x)r＝C r 6 6ra － (－1)r x (6－r 2－r2)＝C r 6 6ra－ (－1)r 3rx－.由3－r ＝2，解r ＝1，∴x 2项的系数为－C 16a 5＝－192.答案：－192[文]如图所示，a ，b ，c ，d 是四处处于断开状态的开关，任意将其中两个闭合，则电路被接通的概率为 .解析：上个开关任意闭合2个，有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 共6种方案，电路被接通的条件是：①开关d 必须闭合；②开关a ，b ，c 中有一个闭合即电路被接通有ad 、bd 和cd 共3种方案，所以所求的概率是31.62答案：1216．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx －y ＝0，若m 在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是________． 解析：由题意知m ＝b a ，e ＝1＋m 2，仅当m ＝1或2时，1<e <3，∴e >3时的概率P ＝79.答案：79三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，x ，y ∈N *}．(1)求从A 中任取一个元素是(1,2)的概率； (2)从A 中任取一个元素，求x ＋y ≥10的概率； (3)[理]设Y 为随机变量，Y ＝x ＋y ，求E (Y )．解：(1)设从A 中任取一个元素是(1,2)的事件为B ，则P (B )＝136，所以从A 中任取一个元素是(1,2)的概率为136. (2)设从A 中任取一个元素，x ＋y ≥10的事件为C ，则有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)共6种情况， 于是P (C )＝16，所以从A 中任取一个元素，x ＋y ≥10的概率为16.(3)[理]Y 可能取的值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. P (Y ＝2)＝136，P (Y ＝3)＝236，P (Y ＝4)＝336，P (Y ＝5)＝436，P (Y ＝6)＝536，P (Y ＝7)＝636，P (Y ＝8)＝536，P (Y ＝9)＝436，P (Y ＝10)＝336，P (Y ＝11)＝236，P (Y ＝12)＝136. 则E (Y )＝2×136＋3×236＋4×336＋5×436＋6×536＋7×636＋8×536＋9×436＋10×336＋11×236＋12×136＝7.18．(本小题满分12分)如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M 、N 、P 是将半圆圆周四等分的三个分点．(1)从A 、B 、M 、N 、P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角 三角形的概率；(2)在半圆内任取一点S ，求三角形SAB 的面积大于82的概率．解：(1)从A 、B 、M 、N 、P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM 、ABN 、ABP 、AMN 、AMP 、ANP 、BMN 、BMP 、BNP 、MNP ，其中是直角三角形的只有ABM 、ABN 、ABP 3个，所以这3个点组成直角三角形的概率P ＝310.(2)连结MP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ， 易求得OD ＝22，当S 点在线段MP 上时，S △ABS =12××，所以只有当S 点落在阴影部分时，三角形SAB 面积才能大于，而 S 阴影=S 扇形OMP -S △OMP =12×2π×42-12×42=4π-8，所以由几何概型公式得三角形SAB 的面积大于的概率P =482.82ππππ--= 19．[理](本小题满分12分)某车间准备从10名工人中选配4人到某生产线工作，为了安全生产，工厂规定：一条生产线上熟练工人数不得少于3人．已知这10名工人中有熟练工8名，学徒工2名． (1)求工人的配置合理的概率；(2)为了督促其安全生产，工厂安全生产部门每月对工人的配备情况进行两次抽检，求两次检验得到的结果不一致的概率．解：(1)一条生产线上熟练工人数不得少于3人有C 48＋C 38C 12种选法．工人的配置合理的 概率C 48＋C 38C 12C 410＝1315. (2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出工人的配置合理的概率均为1315，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为C 121315(1－1315)＝52225. [文](本小题满分12分)投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标． (1)求点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10内的概率；(2)若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率．解：(1)点P 的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)，共9种，其中落在区域C ：x 2+y 2≤10上的点P 的坐标有： (0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)，共4种．故点P 落在区域C ：x 2+y 2≤10内 的 概率为49. (2)区域M 为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C 的面积为10π，则豆子落在区域M 上的概率为25. 20．[理](本小题满分12分)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花.(1)求恰有两个区域用红色鲜花的概率；(2)记花圃中红色鲜花区域的块数为X ，求X 的分布列及其数学期望．解：(1)设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图，当区域A 、D 同色时，共有5×4×3×1×3＝180种；当区域A 、D 不同色时，共有5×4×3×2×2＝240种；因此，所有基本事件总数为：180＋240＝420种． 它们是等可能的．又因为A 、D 为红色时，共有4×3×3＝36种；B 、E 为红色时，共有4×3×3＝36种；因此，事件M 包含的基本事件有：36＋36＝72种． 所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率P (M )＝72420＝635.(2)随机变量X 的取值分别为0,1,2.则当X ＝0时，用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色， 若A 、D 为同色时，共有4×3×2×1×2＝48种； 若A 、D 为不同色时，共有4×3×2×1×1＝24种； 即X ＝0所包含的基本事件有48＋24＝72种， 所以P (X ＝0)＝72420＝635； 由第(1)问得P (X ＝2)＝635； 所以P (X ＝1)＝1－635－635＝2335. 从而随机变量X 的分布列为：所以，E (X )＝0×635＋1×2335＋2×635＝1. [文](本小题满分12分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记z ＝|x －2|＋|y －x |.求z 的所有可能的取值，并求出z 取相应值时的概率． 解：z 的所有可能取值为0,1,2,3.当z ＝0时，只有x ＝2，y ＝2这一种情况，当z ＝1时，有x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝1或x ＝2，y ＝3或x ＝3，y ＝3四种情况， 当z ＝2时，有x ＝1，y ＝2或x ＝3，y ＝2两种情况， 当z ＝3时，有x ＝1，y ＝3或x ＝3，y ＝1两种情况， ∵有放回地抽两张卡片的所有情况有9种． ∴P (z ＝0)＝19，P (z ＝1)＝49，P (z ＝2)＝29，P (z ＝3)＝29.21．[理](本小题满分12分)(2019·陕西高考)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示．据统计，随机变量X 的概率分布如列下： (1)求a 的值和X 的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.解：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a ＋a ＝1，解得a ＝0.2.∴X 的概率分布列为∴E (X )＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”；事件A 1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A 2表示“两个月内每个月均被投诉1次”． 则由事件的独立性得P (A 1)＝C 12P (X ＝2)P (X ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，P (A 2)＝[P (X ＝1)]2＝0.32＝0.09，∴P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.08＋0.09＝0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.[文](本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A 表示和为6的事件，求P (A )；(2)现连玩三次，若以B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问B 与C 是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解：(1)基本事件空间与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *,1≤x ≤5,1≤y ≤5}中的元素一一对应．因为S 中点的总数为5×5＝25(个)，所以基本事件总数为n ＝25.事件A 包含的基本事件数共5个：(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)，所以P (A )＝525＝15. (2)B 与C 不是互斥事件，因为事件B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次．(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件为13个，所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225， 所以这种游戏规则不公平．22．[理](本小题满分14分)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A ＝“恰有一个红球”，事件B ＝“第3个是红球”．求：(1)不放回时，事件A 、B 的概率；(2)每次抽后放回时，A 、B 的概率．解：(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中取一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共6×5×4＝120个，又事件A 中含有基本事件3×2×4×3＝72个，(第一个是红球，则第2,3个是黄球，取法有2×4×3种，第2个是红球和第3个是红球取法一样多)，∴P (A )＝72120＝35. 第3次取到红球对前两次没有什么要求，因为红球数占总球数的13，每一次取到都是随机地等可能事件， ∴P (B )＝13. (2)由放回抽样知，每次都是从6个球中取一个，有取法63＝216种，事件A 含基本事件3×2×4×4＝96种．∴P (A )＝96216＝49.第三次抽到红球包括B 1＝{红，黄，红}，B 2＝{黄，黄，红}，B 3＝{黄，红，红}，B 4＝{红，红，红}四种两两互斥的情形，P (B 1)＝2×4×2216＝227，P (B 2)＝4×4×2216＝427， P (B 3)＝4×2×2216＝227， P (B 4)＝2×2×2216＝127， ∴P (B )＝P (B 1)＋P (B 2)＋P (B 3)＋P (B 4)＝227＋427＋227＋127＝13. [文](本小题满分14分)一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．(1)若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率；(2)若抛掷两次，求两次朝下面上的数字之积大于7的概率；(3)若抛掷两次，以第一次朝下面上的数字为横坐标a，第二次朝下面上的数字为纵坐标b，求点(a，b)落在直线x－y＝1下方的概率．解：(1)记事件“抛掷后能看到的数字之和大于6”为A，抛掷这颗正四面体骰子，抛掷后能看到的数字构成的集合有{2,3,4}，{1,3,4}，{1,2,4}，{1,2,3}，共有4种情形，其中，能看到的三面数字之和大于6的有3种，则P(A)＝3 4.(2)记事件“抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于7”为B，两次朝下面上的数字构成的数对共有16种情况，其中能够使得数字之积大于7的为(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)共6种，则P(B)＝616＝38.(3)记事件“抛掷后点(a，b)在直线x－y＝1的下方”为C，要使点(a，b)在直线x－y＝1的下方，则需b＜a－1，当b＝1时，a＝3或4；当b＝2时，a＝4.则所求的概率P(C)＝3 16.。