变量间的相关关系与统计案例随堂练习(含答案)

变量间的相关关系与统计案例
(时间：45分钟 分值：100分)
一、选择题
1. [2013·大同质检]下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ^
＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
必过(x ，y )；
④在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系；
其中错误的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
答案：C
解析：①方差不变，对．
②错．变量x 增加一个单位时，y 平均降低5个单位． ③对．
④错，应该有99.9%的把握确认这两个变量间有关系．
2. [2013·山东威海二模]已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为( )
A. y ^
＝1.23x ＋4 B. y ^
＝1.23x ＋5 C. y ^
＝1.23x ＋0.08 D. y ^
＝0.08x ＋1.23 答案：C
解析：回归直线必过点(4,5)，故其方程为y ^－5＝1.23(x －4)，即y ^
＝1.23x ＋0.08. 3. 已知x 、y 取值如下表：
从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝( ) A. 1.30 B. 1.45 C. 1.65 D. 1.80
答案：B
解析：依题意，得x ＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y ＝1
6×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4
＋9.3)＝5.25；又直线y ^
＝0.95x ＋a 必过中心点(x ，y )，即点(4,5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a ，由此解得a ＝1.45，选B.
4. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )
A. r 2<r 4<0<r 3<r 1
B. r 4<r 2<0<r 1<r 3
C. r 4<r 2<0<r 3<r 1
D. r 2<r 4<0<r 1<r 3
答案：A
解析：由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知r 2<r 4<0<r 3<r 1.故选A. 5. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：
根据上表可得回归直线方程：y ＝0.56x ＋a ，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为( )
A. 70.09 kg
B. 70.12 kg
C. 70.55 kg
D. 71.05 kg
答案：B
解析：x ＝160＋165＋170＋175＋1805＝170，y ＝63＋66＋70＋72＋74
5＝69.∵回归直
线过点(x ，y )，∴将点(170,69)代入回归直线方程得y ^
＝0.56x －26.2，代入x ＝172 cm ，则其体重为70.12 kg.
6. [2013·武昌调研]通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：
由K 2
＝n (ad －dc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，
算得K 2
＝110×(40×30－20×20)2
60×50×60×50
≈7.8.
附表：
A. 有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”
B. 有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关” 答案：A
解析：∵K 2
＝110×(40×30－20×20)2
60×50×60×50
≈7.8>6.635，
∴有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”． 二、填空题
7. [2011·辽宁高考]调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^
＝0.254x ＋0.321.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
答案：0.254
解析：以x ＋1代x ，得y ^＝0.254(x ＋1)＋0.321，与y ^
＝0.254x ＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．
8. [2013·嘉兴联考]为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
已知到K 2＝50×(13×20－10×7)2
23×27×20×30
≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________．
答案：5%
解析：由K 2＝4.844>3.841.
故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%.
9. [2013·金版原创]在2013年元旦期间，某市物价部门对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：
格x 的线性回归方程为________．(参考公式：b ^
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y ∑i ＝1
n
x 2i －n x
2
，a ^＝y －b ^
x )
答案：y ^
＝－3.2x ＋40
解析：∑i ＝1
5
x i y i ＝392，x ＝10，y ＝8，∑i ＝1
5
x 2i ＝502.5，
代入公式，得b ^＝－3.2，所以，a ^＝y －b ^x ＝40，故线性回归方程为y ^
＝－3.2x ＋40. 三、解答题
10. 某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．说明：下图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．
(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯； (2)根据以上数据完成2×2列联表：
(3)能否有99% 解：(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主． (2)如表所示：
(3)K 2
＝30×(8－128)12×18×20×10＝30×120×12012×18×20×10
＝10>6.635.
∴有99%以上的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．
11. [2013·怀化检测]某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查．数据如下表：
(1)(2)试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系？
附：
K 2
＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
解：(1)
(2)K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
得
K 2
＝50×(18×15－8×9)2
26×24×27×23
≈5.059>5.024，
查表知P (K 2≥5.024)＝0.025，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系．
12. [2013·杭州模拟]某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：
(1)(2)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；
(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额． 解：(1)依题意，画出散点图如图所示，
(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为y ^＝b ^
x ＋a ^.
x ＝1
5(3＋5＋6＋7＋9)＝6，
y ＝1
5
(2＋3＋3＋4＋5)＝3.4，
则b ^＝
5
i ＝1 (x i －x )(y i －y ) 5
i ＝
1
(x i －x )2
＝1020＝0.5， a ^＝y －b ^
x ＝0.4，
∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^
＝0.5x ＋0.4. (3)由(2)可知，当x ＝11时，y ^
＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)． ∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．。