华师大九年级下数学教案章圆精编WORD版

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九年级数学下册 27 圆单元教学计划 华东师大版(2021-2022学年)

九年级数学下册 27 圆单元教学计划 华东师大版(2021-2022学年)

第27章圆
一、教学内容:课本P36~76
知识结构:本章是《课程标准》第三学段“图形与几何”课程内容的第一部分“图形的性质”中“5.圆”条目的全部内容。

包括圆的认识、与圆有关的位置关系、圆中的计算问题以及正多边形和圆.
二、教学目标
1、理解弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念;
2、探索并证明垂径定理;
3、探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,了解并证明圆周角定理及其推论;
4、探索并了解点与圆的位置关系,知道三角形的外心;
5、了解直线与圆的位置关系,掌握切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的关系,会用三角尺过圆上一点画圆的切线,知道三角形的内心;
6、探索并证明切线长定理;
7、会计算圆的弧长、扇形的面积;
8、了解正多边形的概念及正多边形和圆的关系。

三、课时安排
本章的教学时间为15课时,建议分配如下:
27。

1圆的认识,3课时;
27。

2与圆有关的位置关系,5课时;
27.3圆中的计算问题,2课时;
27。

4正多边形和圆,1课时;
小结与复习,2课时;
综合与实践,2课时;
ﻬ。

华东师大初中数学九下《27.3圆中的计算问题》word教案 (1)

华东师大初中数学九下《27.3圆中的计算问题》word教案 (1)

27.3 实践与探索教材:华东师大版九年级下1.教学目标1)知识目标:①掌握如何将实际问题抽象出二次函数模型;②能运用函数关系中的对应法则并解释自变量取值范围的实际意义;③学会根据题意,合理建系,并准确标识题意;④能运用并合理解释二次函数模型。

2)能力目标:①数学思考能力:联系实际,感知数学与现实世界的密切联系,让学生经历数学建模过程,渗透数学建模思想,体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型。

②解决问题的能力:结合具体情境,发现并提出问题,并寻找解决问题的方法。

能与他人合作交流,并通过反思来体验解决问题策略的多样性,以此来获得解决问题的经验。

3)情感目标:了解数学理论的实用价值,提高学生对数学的好奇心和求知欲;增强学数学的自信心,同时借助题目中丰富的背景知识来充实自己的精神世界,形成良好的个性品质。

2.教学重点——建立并合理解释数学模型3.教学难点——实际问题数学化过程4.教学过程1)教学思路实际问题的提出,说明引入二次函数模型的必要性。

——体现构建二次函数数学模型解决实际问题的思想——通过丰富的问题情景,形成用二次函数解决实际问题的一般性策略和方法。

——合理解释相应的数学模型2)教学环节分析环节一:抛砖引玉,点明主旨环节二:自主探索,实践新知环节三:拓展转化,加深理解环节四:合作探索,学以致用环节五:反思小结,形成新知环节六:布置作业,巩固新知用活几1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?2) 如果不计其他因素,那么水池的半径至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内?(x-2最大高度为-教榜样启发、同伴启发在三份获奖作品中任选一份,模仿问题计题。

反思和发表对本堂课时,测得涵洞顶点与水面的距离为2.4m离开3)一只宽为1m,高为1.5m的小船能否通过?为什么?让学生充分探究各种AE D学§27.3 二次函数的实践与探索 课堂卷例1:某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A 处安装一个喷头向外喷水。

华师大版数学九年级下册27.1《圆的认识》教学设计

华师大版数学九年级下册27.1《圆的认识》教学设计

华师大版数学九年级下册27.1《圆的认识》教学设计一. 教材分析《圆的认识》是华师大版数学九年级下册第27.1节的内容。

本节主要让学生掌握圆的定义、圆的性质、以及圆的周长与面积的计算方法。

教材通过生活中的实例,引导学生探究圆的特征,培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识,对图形的认识有一定的基础。

但圆的概念较为抽象,学生对其性质和计算方法的理解可能存在一定的困难。

因此,在教学过程中,要注重引导学生通过实际操作和探究来理解圆的特征。

三. 教学目标1.理解圆的定义和性质;2.掌握圆的周长和面积的计算方法;3.培养学生的空间想象能力和抽象思维能力;4.提高学生的合作交流和问题解决能力。

四. 教学重难点1.圆的定义和性质;2.圆的周长和面积的计算方法;3.圆在实际生活中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法,引导学生主动探究圆的特征;2.利用实物模型和多媒体辅助教学,帮助学生直观理解圆的概念;3.采用小组合作的学习方式,培养学生的团队协作能力;4.结合实际生活中的实例,让学生感受圆的应用。

六. 教学准备1.准备相关的实物模型和图片,如硬币、圆规等;2.准备多媒体教学课件,包括圆的定义、性质、周长和面积的计算方法等;3.准备练习题和课后作业,以便进行巩固和拓展。

七. 教学过程1.导入(5分钟)利用实物模型和图片,引导学生观察和思考圆的特征。

例如,展示硬币和圆规,让学生说出它们的共同特点。

2.呈现(10分钟)介绍圆的定义和性质。

通过多媒体课件,展示圆的定义,即到一个固定点距离相等的所有点的集合。

然后,引导学生探究圆的性质,如圆的直径、半径、圆心等。

3.操练(10分钟)让学生进行实际操作,加深对圆的认识。

例如,用圆规画圆,测量圆的直径和半径,计算圆的周长和面积等。

4.巩固(10分钟)解答学生的疑问,并通过练习题进行巩固。

可以选择一些有关圆的计算题和应用题,让学生独立完成,然后进行讲解和分析。

华东师大版初中九年级下册数学教案 第27章 圆 圆的认识 2.圆的对称性 第2课时 垂径定理

华东师大版初中九年级下册数学教案 第27章 圆  圆的认识 2.圆的对称性 第2课时 垂径定理

第2课时垂径定理1.掌握垂径定理及其推论.学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题.2.经历探索发现圆的对称性,证明垂径定理及其推论的过程,锻炼学生的思维品质,学习证明的方法.3.在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力,创新意识和良好的运用数学的习惯和意识.4.垂径定理及其推论的发现、记忆与证明.5.垂径定理及其推论的运用.一、情境导入,初步认识1.将你手中的圆沿圆心对折,你会发现圆是一个什么图形?2.将手中的圆沿直径向上折,你会发现折痕是圆的一条弦,这条弦被直径怎样了?3.一个残缺的圆形物件,你能找到它的圆心吗?4.赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲,我们能求出主桥拱的半径吗?【教学说明】前两个问题可以由学生动手操作,并观察结果,得到初步结论。

后两个问题作为问题情境,激发学生学习兴趣,引导学生进一步的学习.二、思考探究,获取新知探究1:垂径定理(思考)如图:AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足E.①这个图形是对称图形吗?②你能发现图中有哪些相等的线段和弧?请说明理由.③你能用一句话概括这些结论吗?④你能用几何方法证明这些结论吗?⑤你能用符号语言表达这个结论吗?【归纳结论】垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.【教学说明】教师循序渐进地将一个个的问题抛出,引导学生一步步地进行思考和总结,师生一起总结垂径定理.探究2:垂径定理的推论如上图,若直径CD平分弦AB则①直径CD是否垂直弦且平分弦所对的两条弧?如何证明?②你能用一句话总结这个结论吗?③如果弦AB是直径,以上结论还成立吗?【归纳结论】垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径也垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.【教学说明】 教师提出问题,引导学生进行思考和讨论.学生尝试得出垂径定理推论,教师提醒学生此中的弦一定不能是直径.三、运用新知,深化理解1.如图,AB 是⊙的直径,弦CD⊥AB,垂足为m ,下列结论不成立的是( )A .Cm =Dm B.CB ︵=BD ︵C .∠ACD=∠ADCD .Om =mD解析:根据垂径定理得:Cm =Dm ,CB ︵=BD ︵,AC =AD ,由AC =AD 得∠ACD =∠ADC,而Om =mD 不一定成立.答案: D.2.如图,AB 是⊙O 的弦,OC⊥AB 于C.若AB =2 3 ,OC =1,则半径OB 的长为________.解析:根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦,并且平方弦所对的两条弧”,可知BC =12AB =3,然后根据勾股定理,得OB =()32+12=2.答案: 2.3.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ︵,点O 是CD ︵的圆心,其中CD =600m ,E 为CD ︵上一点,且OE⊥CD,垂足为F ,EF =90m ,求这段弯路的半径.分析:利用垂径定理,解题过程中可以使用列方程的方法. 解:如图,连接OC设弯路的半径为R ,则OF =(R -90)m ∵OE⊥CD∴CF=12CD =12×600=300(m)根据勾股定理,得:OC 2=CF 2+OF 2 即R 2=3002+(R -90)2,解得R =545m ∴这段弯路的半径为545m.4.已知:AB 交⊙O 于C 、D ,且AC =BD.请证明:OA =OB.证明:过O 作OE⊥AB 于E , ∵OE 过圆心O, ∴CE=DE , ∵AC=BD, ∴AE=BE , ∵OE⊥AB, ∴OA=OB.【教学说明】 简单应用由学生独立完成,教师可让学生自己进行评判.四、师生互动、课堂小结1.本节课你学到了哪些数学知识?2.在利用垂径定理解决问题时,你掌握了哪些数学方法?3.这些方法中你又用到了哪些数学思想?1.布置作业:教材P40“练习”.2.完成同步练习册中本课时的练习.这节课我们主要学习了垂径定理(学生回答),它是这节课的重点,要求大家分清楚定理的条件和结论,并熟练掌握定理的简单应用,会推知它的逆定理.。

2024-2025学年华师版初中数学九年级(下)教案第27章圆27.2.1点与圆的位置关系

2024-2025学年华师版初中数学九年级(下)教案第27章圆27.2.1点与圆的位置关系

27.2 与圆有关的位置关系1. 点与圆的位置关系教学目标1.了解点和圆的三种位置关系,掌握点到圆心的距离与半径之间的关系.2.掌握“不在同一条直线上的三点确定一个圆”,并能作出这个圆.3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.教学重难点重点:掌握点到圆心的距离与半径之间的关系.难点:理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆及其运用.教学过程导入新课【问题情境】观察下列图片.是一个小朋友玩飞镖游戏时在靶子上留下的小孔,这些小孔和这些同心圆是什么关系呢?【思考】在这个图中有哪些图形?(点、圆)这个图形体现了平面上的点与圆的位置关系,今天这节课我们就来研究这个问题.探究新知1.点和圆的位置关系【问题】观察下图中点与圆的位置关系有哪几种?师生活动:小组合作交流,小组代表发言,教师适当点拨.【归纳总结】点与圆的位置关系有三种:点在圆内(如点B),点在圆上(如点C),点在圆外(如点A).【探究】如何用数量关系来表示点与圆的位置关系呢?师生活动:小组合作交流,小组代表发言,教师适当点拨.教学反思先画图表示点与圆的三种位置关系,再探究以下问题:教学反思(1)在你画出的三幅图中,分别测量点到圆心的距离与圆的半径r的大小进行比较.(2)点与圆的三种位置关系所对应的d与r之间的数量关系.通过测量,我们得出结果:点在圆上:d= r;点在圆内:d<r;点在圆外:d>r.教师总结:我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径,如果点在圆上,那么这个点到圆心的距离等于半径;如果点在圆内,那么这个点到圆心的距离小于半径;如果点在圆外,那么这个点到圆心的距离大于半径.(3)如果圆的半径r与点到圆心的距离d的关系分别是:d= r,d<r,d>r,请分别指出点与圆的位置关系.d= r:点在圆上;d<r:点在圆内;d>r:点在圆外.教师总结:我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径,如果点到圆心的距离等于半径,那么这个点在圆上;如果点到圆心的距离小于半径,那么这个点在圆内;如果点到圆心的距离大于半径,那么这个点在圆外.师生活动:学生总结,教师点评.【归纳总结】设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:(1)点P在⊙O上⇔d= r;(2)点P在⊙O内⇔d< r;(3)点P在⊙O外⇔d>r.注:“⇔”读作“等价于”,它表示从符号的左边可以推出右边,从右边可以推出左边.【新知应用】例1画出由所有到已知点O的距离大于或等于2 cm并且小于或等于3 cm的点组成的图形.师生活动:学生动手画图,教师巡视,个别指导.【解】如图所示,阴影部分就是所求图形.2.过不在同一条直线上的三个点作一个圆【问题情境1】平面上有一点A,经过已知点A的圆有几个?圆心在哪里?师生活动:学生动手操作,教师点拨.【解】教学反思【归纳总结】能画出无数个圆,圆心为点A以外任意一点,半径为圆心与点A 之间的距离.【问题情境2】过两个点能不能确定一个圆?师生活动:学生动手操作,讨论交流,教师适时指导.【解】【归纳总结】能画出无数个圆,圆心都在线段AB的垂直平分线上.【问题情境3】经过不在同一条直线上的三点A,B,C能不能作圆?如果能,如何确定所作的圆心?师生活动:教师适时引导分析,学生在教师的引导下,思考动手画图,再抽一名学生口述作图过程,教师再在黑板上板书尺规作图细节.【作法】(1)连结AB,BC;(2)分别作AB,BC的垂直平分线,两条垂直平分线交于点O.点O就是所求圆的圆心.【归纳总结】不在同一条直线上的三个点确定一个圆.3.三角形的外接圆与外心(1)经过三角形(△ABC)的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆内接三角形.(2)三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点.例2分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,再画出它们的外接圆,观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.教学反思师生活动:学生动手画图,仔细观察图形,发现规律,教师适时点拨.【归纳总结】(1)锐角三角形的外心位于三角形内.(2)直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点处.(3)钝角三角形的外心位于三角形外.【新知应用】例3如图,⊙O的半径r=10,圆心O到直线l的距离OD=6,在直线l上有A,B,C三点,AD=6,BD=8,CD=53,问A,B,C三点与⊙O的位置关系如何?师生活动:(引发学生思考)判断点与圆的位置关系的关键是判断点到圆心的距离与半径大小之间的大小关系.【解】∵OA=22OD AD+=62<10,∴点A在⊙O内.∵OB=22OD BD+=10,∴点B在⊙O上.∵OC=22OD CD+=111>10,∴点C在⊙O外.【归纳总结】(学生总结,老师点评)判断点与圆的位置关系的关键是比较点到圆心的距离与半径的大小.同时注意垂径定理和勾股定理的应用.【拓展延伸】例4如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,CB=8,AD是△ABC的角平分线,过A,D,C三点的圆与斜边AB交于点E,连结DE.(1)求证:AC=AE.(2)求△ACD外接圆的直径.师生活动:(引发学生思考)证明线段相等的方法有哪些?结合图形,适合用哪种方法?看到∠ACB=90°,结合图形能得到哪些结论?对于求直径又该使用哪种方法?(1)【证明】∵∠ACB=90°,且∠ACB为⊙O的圆周角,∴AD为⊙O的直径,∴∠AED=90°,∴∠ACB=∠AED.∵AD是△ABC中∠BAC的平分线,∴∠CAD=∠EAD,∴CD=DE.在Rt△ACD与Rt△AED中,,, AD AD CD ED=⎧⎨=⎩∴ Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AC=AE.(2) 【解】∵AC=6,BC=8,∴AB=22AC BC+=10.由(1)得,∠AED=∠BED=90°.设CD=DE=x,则DB=BC-CD=8-x,EB=AB-AE=10-6=4.在Rt△BED中,根据勾股定理,得BD2=BE2+ED2,即(8-x)2=x2+42,解得x=3,∴CD=3.∵AC=6,∴AD2=AC2+CD2=62+32=45,∴AD=3 5.【归纳总结】(学生总结,老师点评)全等三角形的对应边相等是常用的证明线段相等的一种方法;利用三角形的外接圆的性质和勾股定理,直角三角形的外接圆直径大小就是直角三角形的斜边长.课堂练习1.⊙O的半径为10 cm,A,B,C三点到圆心的距离分别为8 cm,10 cm,12 cm,则点A,B,C与⊙O的位置关系是:点A在;点B在;点C教学反思在.2.圆心为O的两个同心圆,半径分别为1和2,若OP=3,则点P在()A.在大圆内B.在小圆内C.小圆外D.大圆内、小圆外3.判断对错.(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.( )(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形. ( )(3)经过三点一定可以确定一个圆. ( )(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. ( )4..参考答案1.圆内圆上圆外2.D3.(1)√(2)×(3)×(4)√.4.解:如图所示,点O课堂小结学生独立总结,教师补充.1.点和圆的位置关系;2.过不在同一条直线上的三个点确定一个圆;3.三角形的外接圆和外心.布置作业教材第48页练习第1,2题.第55页习题27.2第1,2,3题.板书设计27.2 与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系1.点与圆的三种位置关系与对应的数量关系:设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:①点P在圆内⇔d<r;②点P在圆上⇔d=r;③点P在圆外⇔d>r.2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.3.三角形的外接圆与外心.。

2024-2025学年华师版初中数学九年级(下)教案第27章圆27.1.2圆的对称性(第2课时)

2024-2025学年华师版初中数学九年级(下)教案第27章圆27.1.2圆的对称性(第2课时)

27.1 圆的认识2 圆的对称性第2课时垂径定理教学目标1.进一步认识圆,了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论,并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.教学重难点重点:理解垂直于弦的直径的性质和推论,并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.难点:灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.教学过程导入新课由问题引入新课:要同学们画两个等圆,并把其中一个圆剪下,让两个圆的圆心重合,使得其中一个圆绕着圆心旋转,可以发现,两个圆都是互相重合的.如果沿着任意一条直径所在的直线折叠,圆在这条直线两旁的部分会完全重合.探究新知合作探究1.垂径定理问题情境:如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?师生活动:学生独立思考并找出图中相等的线段和劣弧,教师巡视并指导.【解】相等线段: AE=BE.相等劣弧:AC=BC,AD=BD.理由:连结OA,OB,把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,点A与点B重合,AE与BE重合,AC与BC重合,AD与BD重合.教师追问:你能用语言来描述我们的发现吗?师生活动:学生小组交流讨论,师生归纳,教师最后整理并板书.【归纳总结】垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.教师追问:能不能用所学过的知识证明垂径定理?师生活动:(引发学生思考)要证明垂径定理,已知条件是什么?结论是什么?用什么方法证明?【解】已知:如图,在⊙O中,CD是⊙O的直径,AB是弦,AB⊥CD,垂足教学反思教学反思为E .求证:AE =BE ,AC⏜=BC ⏜,AD ⏜=BD ⏜. 证明:(方法1)如图,连结OA ,OB . ∵ OA =OB ,CD ⊥AB , ∴AE =BE.又∵ ⊙O 关于直径CD 所在直线对称,∴ A 点和B 点关于直径CD 所在直线对称,∴当圆沿着直径CD 所在直线对折时,点A 与点B 重合,AC⏜与BC ⏜重合, 因此AC⏜=BC ⏜. 同理得到AD⏜=BD ⏜.(方法2)连结OA ,OB ,CA ,CB ,则OA =OB . 即△AOB 是等腰三角形.∵AB ⊥CD ,∴AE =BE ,∠AOD =∠BOD . 从而∠AOC=∠BOC . ∴AD⏜=BD ⏜, AC ⏜=BC ⏜. 【归纳总结】根据图形写出已知和求证,再构造等腰三角形,利用等腰三角形“三线合一”的性质,从而证得结论成立.推导格式∵ CD 是⊙O 的直径,CD ⊥AB ,垂足为E ,∴ AE =BE ,AC⏜=BC ⏜,AD ⏜=BD ⏜. 定理辨析:下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不是,请说明为什么?① ② ③ ④ 师生活动:(引发学生思考)垂径定理具备的条件.【解】图①具备;图②不具备,因为没有垂直;图③具备;图④不具备,因为没过圆心.【归纳总结】(学生总结,老师点评)垂径定理具备的条件是过圆心且垂直,两个条件缺一不可.教学反思① ② ③ ④ 2.垂径定理的推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.推导格式,.CD AB CD AE BE AC BC AB AD BD ⊥⎧⎧⎪⎪⎪−−→⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩,是直径,=,=不是直径=(2)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 推导格式.CD CD AB AC BC AE BE AD BD⎧⎪⊥⎧⎪⇒⎨⎨⎩⎪⎪⎩是直径,,=,==教师追问:“不是直径”这个条件能去掉吗?如果不能,请举出反例.师生活动:学生独立思考并举反例,师生共同归纳.【归纳总结】圆的两条直径是互相平分的,但是不一定相互垂直. 一条直线满足下面五个条件中的两个条件,即可推出其他三个.①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(非直径); ④平分弦所对优弧;⑤平分弦所对劣弧.【新知应用】 例1 如图,⊙O 的弦AB =8 cm ,直径CE ⊥AB 于点D ,DC =2 cm ,求半径OC 的长.师生活动:学生尝试解决,教师引导.求OC ,即求半径,可在Rt △AOD 中利用勾股定理求得.【解】如图,连结OA . ∵ CE ⊥AB 于点D ,∴14cm 2AD AB ==.设OC =x cm ,则OD =(x -2)cm.教学反思根据勾股定理,得222OA AD OD +=.222)2(4-+=x x ,解得x =5. 即半径OC 的长为5 cm.【归纳总结】在圆中解决有关弦长、半径等问题,常常需要作垂直于弦的直径或半径,连结弦的端点与圆心作半径,这样就可以把垂径定理与勾股定理结合起来,得到圆的半径r 、弦心距d 、弦长a 的一半之间的关系式:2222a r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【拓展延伸】例2 已知⊙O 的半径为13,弦AB =24,弦CD =10,AB ∥CD ,求这两条平行弦AB ,CD 之间的距离.师生活动:(引发学生思考)要求两条平行弦AB ,CD 之间的距离,想到垂直,又在圆中已知弦长,则可以想到垂径定理和勾股定理,由此根据这些怎么作图呢?根据题中数据怎样求解呢?【解】分两种情况讨论:(1)当弦AB 和CD 在圆心同侧时,如图①,过点O 作OF ⊥CD 于点F ,交AB 于点E ,连结OC ,OA .由题意可知,OA =OC =13.∵ AB ∥CD ,OF ⊥CD ,∴OE ⊥AB . 又∵ AB =24,CD =10,∴ AE =12 AB =12,CF =12CD =5,∴ OE =22OA AE -=5,OF =22OC CF -=12, ∴ EF =OF -OE =7.(2)当弦AB 和CD 在圆心异侧时,如图②,过点O 作OF ⊥CD 于点F ,反向延长OF 交AB 于点E ,连结OC ,OA .同(1)可得,OE =5,OF =12,∴EF =OF+OE =17. 综上,两条平行弦AB 与CD 之间的距离为7或17.① ②【归纳总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧,再结合实际作出半径和弦心距(圆心到弦的距离),利用勾股定理和垂径定理求解即可.练一练已知⊙O 的直径是50 cm ,⊙O 的两条平行弦AB=40 cm ,CD=48cm ,求弦AB 与CD 之间的距离.师生活动:(学生尝试画图,教师引导)当弦的位置不能确定时,要进行分类讨论.答案:8cm 或22cm例3 一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米,管内有少量的污水(如图),此时的水面宽AB 为0.6米,求此时的水深(即阴影部分弓形的高).教学反思师生活动:学生先审题,可以小组讨论,教师引导学生思考,要求此时的水深,即阴影部分弓形的高,结合垂径定理,考虑怎样作辅助线才能得到水深?【解】如图,过点O 作OD ⊥AB 于点C ,交⊙O 于点D ,连结OB .根据垂径定理,得点C 是AB 的中点,点D 是AB ︵ 的中点,则BC =12AB =0.3米.由题意,知OD =OB =0.5米,在Rt △OBC 中,由勾股定理,得OC=0.4米, 所以CD =OD -OC =0.1米, 即此时的水深为0.1米.【归纳总结】(学生总结,老师点评)在圆中求半径、弦等线段的长时,常常借助垂径定理构造直角三角形,再在直角三角形中运用勾股定理来解决.例4 有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图所示,正常水位下水面宽AB =60 m ,水面到拱顶距离CD =18 m ,当洪水泛滥时,水面到拱顶距离为3.5 m 时需要采取紧急措施,当水面宽MN =32 m 时是否需要采取紧急措施?请说明理由.师生活动:(引发学生思考)求当水面宽MN =32 m 时是否需要采取紧急措施,即求此时水面到拱顶的距离为多少.怎样求出这个距离?【解】不需要采取紧急措施.理由如下:如图,设圆心为O ,连结OM ,OA ,OD ,OD 与MN ,AB 分别交于点E ,C .设OA =R m.由题意知,在Rt △AOC 中,AC =12AB =30 m ,CD =18 m ,由勾股定理,得222OA AC OC +=,R 2=302+(R -18)2,解得R =34.在Rt △MOE 中,ME =12MN =16 m ,∴ OE30(m ), ∴ DE =OD -OE =4 m.∵ 4>3.5,∴ 不需要采取紧急措施.【归纳总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,要注意根据垂径定理,利用半径、半弦长、弦心距构造直角三角形,结合勾股定理求解.【拓展归纳】(1)涉及垂径定理时辅助线的添加方法在圆中有关弦长a ,半径r , 弦心距d (圆心到弦的距离),弓形高h 的计算题时,常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形,利用垂径定理和勾股定理求解.教学反思(2)弓形中重要数量关系:弦长a ,弦心距d ,弓形高h ,半径r 之间有以下关系:222,2a d h r r d ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭.课堂练习1.判断下列说法的正误.(1)垂直于弦的直径平分这条弦 . ( ) (2)平分弦的直线必垂直于弦 . ( ) (3)弦的垂直平分线是圆的直径 . ( ) (4)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. ( ) (5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. ( ) 2.下列说法中正确的是( )A.在同一个圆中最长的弦只有一条B.垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦D.圆是轴对称图形,每条直径都是它的对称轴3.⊙O 的弦AB 垂直于半径OC ,垂足为D ,则下列结论中错误的是( )A.∠AOD =∠BODB.AD =BDC.OD =DCD.AC BC =4.半径为5的⊙O 内有一点P ,且OP =4,则过点P 的最长弦的长是10,最短弦的长是 .5.已知⊙O 中,弦AB =8 cm ,圆心到AB 的距离为3 cm ,则此圆的半径为 .6.⊙O 的直径AB =20 cm, ∠BAC =30°,则弦AC = .7.如图,AB 为⊙O 的弦,⊙O 的半径为5,OC ⊥AB 于点D ,交⊙O 于点C ,且CD =1,则弦AB 的长是多少?第7题图8.一条排水管的截面如图所示.已知排水管的半径OB =10 cm ,水面宽AB = 16 cm.求截面圆心O 到水面的距离.教学反思第8题图 9.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ,点O 是CD 的圆心,其中CD =600 m ,E 为CD 上一点,且OE ⊥CD ,垂足为点F ,EF =90 m ,求这段弯路的半径.第9题图 参考答案1.(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√2.B3.C4.65.5 cm6.7.解:如图,连结OA .由题意可知,OA =OC =5,则OD =OC -CD =5-1=4.∵ OC ⊥AB ,∴ ∠ODA =90°,∴ AD =OA 2-OD 2=3.又∵ AB 为⊙O 的弦,∴AB =2AD =6.第7题答图8.解:如图,过点O 作OC ⊥AB 于点C .∵ OC ⊥AB ,AB =16 cm ,∴ ∠OCB =90°,BC =12AB =8 cm.又∵ OB =10 cm ,∴ OC 6 cm ,即截面圆心O 到水面的距离为6 cm.第8题答图9.解:如图,连结OC .设弯路的半径为R m ,则OF =(R -90) m. ∵ OE ⊥CD ,CD =600 m ,∴ ∠OFC =90°,CF =12CD =300 m. 在Rt △OFC 中, 根据勾股定理,得OC 2=CF 2+OF 2,即R 2=3002+(R -90)2,解得R =545.即这段弯路的半径为545 m.教学反思第9题答图课堂小结1. 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 2. 垂径定理的推论平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧; 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 布置作业教材第40页练习第1,2题. 第45页习题27.1第3题板书设计27.1 圆的认识 2 圆的对称性(第2课时 垂径定理)1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 推导格式∵ CD 是直径,CD ⊥AB ,垂足为E ,∴ AE =BE ,,AC BC AD BD ==. 2.垂径定理的推论平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧;推导格式,.CD AB CD AE BE AC BC AB AD BD ⊥⎧⎧⎪⎪⎪−−→⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩,是直径,=,=不是直径=平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 推导格式.CD CD AB AC BC AE BE AD BD ⎧⎪⊥⎧⎪⇒⎨⎨⎩⎪⎪⎩是直径,,=,== 3.方法:将垂径定理与勾股定理有机结合,化圆中问题为三角形问题,经常需要添加辅助线——半径、过圆心作弦的垂线.。

最新华东师大版九年级数学下册27.1圆(第1课时)教案(3)

最新华东师大版九年级数学下册27.1圆(第1课时)教案(3)

28.1 圆(第3课时)教学内容1.圆周角地概念.2.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对地圆周角相等,•都等于这条弦所对地圆心角地一半.推论:半圆(或直径)所对地圆周角是直角,90°地圆周角所对地弦是直径及其它们地应用.教学目标1.了解圆周角地概念.2.理解圆周角地定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对地圆周角相等,•都等于这条弧所对地圆心角地一半.3.理解圆周角定理地推论:半圆(或直径)所对地圆周角是直角,90•°地圆周角所对地弦是直径.4.熟练掌握圆周角地定理及其推理地灵活运用.设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角地关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论地正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题.重难点、关键1.重点:圆周角地定理、圆周角地定理地推导及运用它们解题.2.难点:运用数学分类思想证明圆周角地定理.3.关键:探究圆周角地定理地存在.教学过程一、复习引入(学生活动)请同学们口答下面两个问题.1.什么叫圆心角?2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢?老师点评:(1)我们把顶点在圆心地角叫圆心角.(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,•那么它们所对地其余各组量都分别相等.刚才讲地,顶点在圆心上地角,有一组等量地关系,如果顶点不在圆心上,它在其它地位置上?如在圆周上,是否还存在一些等量关系呢?这就是我们今天要探讨,要研究,要解决地问题.二、探索新知问题:如图所示地⊙O,我们在射门游戏中,设E、F是球门,•设球员们只能在EF所在地⊙O其它位置射门,如图所示地A、B、C点.通过观察,我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样地角,它们地顶点在圆上,•并且两边都与圆相交地角叫做圆周角.现在通过圆周角地概念和度量地方法回答下面地问题.1.一个弧上所对地圆周角地个数有多少个?2.同弧所对地圆周角地度数是否发生变化?3.同弧上地圆周角与圆心角有什么关系?(学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言.老师点评:1.一个弧上所对地圆周角地个数有无数多个. 2.通过度量,我们可以发现,同弧所对地圆周角是没有变化地.3.通过度量,我们可以得出,同弧上地圆周角是圆心角地一半.下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对地圆周角地度数没有变化,•并且它地度数恰好等于这条弧所对地圆心角地度数地一半.”(1)设圆周角∠ABC地一边BC是⊙O地直径,如图所示∵∠AOC 是△ABO 地外角 ∴∠AOC=∠ ∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=12∠AOC (2)如图,圆周角∠ABC 地两边AB 、AC 在一条直径OD 地两侧,那么∠ABC=12∠AOC 吗?请同学们独立完成这道题地说明过程. 老师点评:连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 地外角,∠COD 是△BOC 地外角,•那么就有∠AOD=2∠ABO ,∠DOC=2∠CBO ,因此∠AOC=2∠ABC .C(3)如图,圆周角∠ABC地两边AB、AC在一条直径OD地同侧,那么∠ABC=12∠AOC吗?请同学们独立完成证明.老师点评:连结OA、OC,连结BO并延长交⊙O 于D,那么∠AOD=2∠ABD,∠COD=2∠CBO,而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-12∠COD=12∠AOC现在,我如果在画一个任意地圆周角∠AB′C,•同样可证得它等于同弧上圆心角一半,因此,同弧上地圆周角是相等地.从(1)、(2)、(3),我们可以总结归纳出圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧等弧所对地圆周角相等,都等于这条弧所对地圆心角地一半.进一步,我们还可以得到下面地推导:半圆(或直径)所对地圆周角是直角,90°地圆周角所对地弦是直径.下面,我们通过这个定理和推论来解一些题目.例1.如图,AB是⊙O地直径,BD是⊙O地弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD地大小有什么关系?为什么?分析:BD=CD,因为AB=AC,所以这个△ABC是等腰,要证明D是BC地中点,•只要连结AD证明AD是高或是∠BAC地平分线即可.解:BD=CD理由是:如图24-30,连接AD∵AB是⊙O地直径∴∠ADB=90°即AD ⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD三、巩固练习1.教材P92 思考题.2.教材P93 练习.四、应用拓展例2.如图,已知△ABC 内接于⊙O ,∠A 、∠B 、∠C 地对边分别设为a ,b ,c ,⊙O 半径为R ,求证:sin aA =sin bB =sin c C=2R . 分析:要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ,只要证明sin a A =2R ,sin bB =2R ,sin cC =2R ,即sinA=2a R ,sinB=2b R ,sinC=2c R ,因此,十分明显要在直角三角形中进行.证明:连接CO 并延长交⊙O 于D ,连接DB ∵CD 是直径∴∠DBC=90°又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中,sinD=BC DC ,即2R=sin a A同理可证:sin b B =2R ,sin c C=2R ∴sin a A =sin b B =sin c C=2R 五、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握:1.圆周角地概念;2.圆周角地定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对地圆周角相等,•都相等这条弧所对地圆心角地一半;3.半圆(或直径)所对地圆周角是直角,90°地圆周角所对地弦是直径.4.应用圆周角地定理及其推导解决一些具体问题.。

最新华东师大版九年级数学下册27圆全章教案(2)

最新华东师大版九年级数学下册27圆全章教案(2)

内容:圆周角课型:新授第4课时【学习目标】知识与能力:学生知道什么样地角是圆周角,了解圆周角和圆心角地关系,直径所对地圆周角地特征;并能应用圆心角和圆周角地关系、直径所对地圆周角地特征解决相关问题,同时,通过对圆心角和圆周角关系地探索,培养学生运用已有知识,进行实验、猜想、论证,从而得到新知。

过程与方法:通过对圆心角和圆周角关系地探索及已有知识,进行实验、猜想、论证,从而得到新知。

情感、态度、价值观:在观察、操作、推理等探索过程中,体验数学活动充满探索性和创造性。

【学习重难点】重点:认识圆周角,同一条弧地圆周角和圆心角地关系,直径所对地圆周角地特征。

难点:发现同一条弧地圆周角和圆心角地关系,利用这个关系进一步得到其他知识,运用所得到地知识解决问题。

【学习过程】一、 学前准备: 1自学课本38页到41页,写下疑惑摘要:2、如图,如图23.1.12,AB 是⊙O 地直径,∠A =80°.求∠ABC地度数.图23.1.123、在圆中,一条弧所对地圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°,求这条弧所对地圆心角和圆周角地度数.二、自学、合作探究1、认识圆周角如下图,同学们能找到圆心角吗?它具有什么样地特征?(顶点在圆心,两边与圆相交地角叫做圆心角),今天我们要学习圆中地另一种特殊地角,它地名称叫做圆周角。

图(3)中地解就叫做圆周角,而(第1题)图(2)、(4)、(5)中地角都不是圆周角。

同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。

(顶点在圆上,两边与圆相交地角叫做圆周角)练习:试找出图中所有相等地圆周角2、圆周角地度数半圆或直径所对地圆周角都相等,都等于90°(直角)。

反过来也是成立地,即90°地圆周角所对地弦是圆地直径3、探究同一条弧所对地圆周角和圆心角地关系一条弧所对地圆周角等于该弧所对地圆心角地一半。

三、例题讲解例1、如图OA,OB,OC都是⊙O地半径,∠AOB=2∠BOC求证:∠ACB=2∠BAC本节课我们一同探究了同圆或等圆中,一条弧所对地圆周角等于这条弧所对地圆心角地一半;由这个结论进一步得到:同圆或等圆中,同弧或等弧所对地圆周角相等,都等于该弧所对地圆心角地一半;相等地圆周角所对地弧相等;半圆或直径所对地圆周角都相等,都等于90°(直角)。

新华东师大版九年级数学下册《27章 圆 27.1 圆的认识 圆的基本元素》教案_16

新华东师大版九年级数学下册《27章 圆  27.1 圆的认识  圆的基本元素》教案_16
1.学生展示与评价:
问题
1
2
3
4
展示
2组
1组
7组
6组
评价
3组
4组
8组
5组
1、黑板板书;
2、字迹工整,书写规范,语言凝练、准确;
3、完全正确的加一分。
2、教师点拨或精讲:
1、如两个圆的圆心是同一点,则称为同心圆,若圆的半径相等,则称为等圆。
2、直径是圆中最长的弦,但弦不一定是直径;
3、半圆是弧,但弧不一定是半圆;
4、能够重合的两条弧叫等弧,当长度相等的两条弧不一定是等弧;等弧必在同圆或等圆中;
5、表示优弧的必须用三个大写字母,且两边的字母必是弧的两端点。
三、质疑再探:(3分钟)
1.现在,我们已经解决了自探问题。下面我们再回看一下,开始我们提出的问题还有那些没有解决?(小组组长负责监督本小组的学习任务)
2.本节的知识已经学完,对于本节的学习,谁还有什么问题或不明白的地方?请提出来,大家一起来解决.(小组内讨论,优等生帮着学困生)
九年级(1)班数学教案
课题
圆的定义和基本元素
课型
新授课
课时序数
27.1.1
备课人
审核人
授课人
授课
日期




知识

技能
了解并能具体指出圆的有关概念,如:圆的记作方法、弦、直径、弧等。
过程

方法
通过学生动手制作圆形卡片自行感知。
情感态度
价值观
在制作的过程中体会知识的产生过程,体会数学在生活中无处不在。
同学们想一想,如何在操场上画出一个很大的圆?说说你的方法。
由以上的画圆和解答问题的过程中,让同学们思考圆的位置是由什么决定的?
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华师大九年级下数学教案章圆精编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】教学目标 1.使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念,2.让学生深刻认识圆中的基本概念。

教学重点圆中的基本概念的认识。

教学难点对等弧概念的理解。

教学过程(一)情境导入:圆是如何形成的?请同学们画一个圆,并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。

如右图,线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形。

同学们想一想,如何在操场上画出一个很大的圆?说说你的方法。

由以上的画圆和解答问题的过程中,让同学们思考圆的位置是由什么决定的?而大小又是由谁决定的?(圆的位置由圆心决定,圆的大小由半径长度决定)(二)问题:据统计,某个学校的同学上学方式是,有50%的同学步行上学,有20%的同学坐公共汽车上学,其他方式上学的同学有30%,请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。

如图28.1.2,线段OA、OB、OC都是圆的半径,线段AB为直径,.这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”,记为“⊙O”。

线段AB 、BC 、AC 都是圆O 中的弦,曲线BC 、BAC 都是圆中的弧,分别记为BC ︵、BAC ︵,其中像弧BC ︵这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧,像弧BAC ︵.这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。

∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 就是圆心角。

结合上面的扇形统计图,进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。

三、课堂练习1、直径是弦吗?弦是直径吗?2、半圆是弧吗?弧是半圆吗?3、半径相等的两个圆是等圆,而两段弧相等需要什么条件呢?4、比较右图中的三条弧,先估计它们所在圆的半径的大小关系,再用圆规验证你的结论是否正确。

5、说出上右图中的圆心角、优弧、劣弧。

6、直径是圆中最长的弦吗?为什么?(四)课后小结小结本节课我们认识了圆中的一些元素,同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别。

课后作业:课后小记:教学目标:1.使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系,2.能运用这些关系解决问题,培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。

教学重点:由实验得到同一个圆中,圆心角、弧、弦三者之间的关系。

教学难点:运用同一个圆中,圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。

教学过程:(一)情境导入要同学们画两个等圆,并把其中一个圆剪下,让两个圆的圆心重合,使得其中一个圆绕着圆心旋转,可以发现,两个圆都是互相重合的。

如果沿着任意一条直径所在的直线折叠,圆在这条直线两旁的部分会完全重合。

由以上实验,同学们发现圆是中心对称图形吗?对称中心是哪一点?圆不仅是中心对称圆形,而且还是轴对称图形,过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。

(二)实践与探索1(1)、同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。

=。

∠=∠,AB ABAOB AOB=,AB AB实质上,AOB ∠确定了扇形AOB 的大小,所以,在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等。

问题:在同一个圆中,如果弧相等,那么所对的圆心角,所对的弦是否相等呢? 在同一个圆中,如果弦相等,那么所对的圆心角,所对的弧是否相等呢?(三)应用与拓展 思考:如图,在一个半径为6米的圆形花坛里,准备种植六种不同颜色的花卉,要求每种花卉的种植面积相等,请你帮助设计种植方案。

(2)如图28.1.5,在⊙O 中,AC BC =,145∠=︒,求2∠的度数。

(3)如图,在⊙O 中,AB ︵=AC ︵,∠B =70°.求∠C 度数. (4)如图,AB 是直径,BC ︵=CD ︵=DE ︵,∠BOC =40°,求∠AOE 的度数 (四)课后小结本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形,而且还是轴对称图形,而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质,即(1)同一个圆中,相等的圆心角所对弧相等,所对的弦相等。

(2)在同一个圆中,如果弧相等,那么所对的圆心角,所对的弦相等。

(3)在同一个圆中,如果弦相等,那么所对的圆心角,所对的弧相等。

课后作业:课后小记:28.1.2圆的对称性(2)教学目标 1.知道圆是轴对称图形,并会用它推导出垂径定理。

2.能运用垂径定理解决问题,培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。

教学重点: 知道圆是轴对称图形,并会用它推导出垂径定理教学难点: 能运用垂径定理解决问题教学过程(一)实验情境导入2等分、4等分、8等分.试一试如图如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ,垂足为P ,再将纸片沿着直径CD 对折,比较AP 与PB 、AC ︵与CB ︵,你能发现什么结论? 你的结论是:_________________________________________________________________________________________这就是我们这节课要研究的问题。

(二)应用与拓展例1、 如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于M1、BC ︵=1 cm ,AD ︵=4 cm ,那么BD ︵=______cm ,AC ︵=_________cm ,⊙O 的周长为___________cm . 2、若CD=8,AB=10,则OM=3、若BM=1,CD=8,则OC=例2、如图已知以点O 为公共圆心的两个同心圆,大圆的弦AB交小圆于点C 、D (1)试说明线段AC 与BD 的大小关系。

(2)若AB=8,CD=4,求圆环的面积。

例3、在直径为10的圆柱形油桶内装入一些油后,截面如图示,如果油面宽AB=8,那么油的最大深度是(三)课后小结课后作业:课后小记:教学目标:1.知道什么样的角是圆周角2.了解圆周角和圆心角的关系,直径所对的圆周角的特征3.能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题4.通过对圆心角和圆周角关系的探索,培养学生运用已有知识,进行实验、猜想、论证,从而得到新知。

进一步体会分类讨论的思想。

教学重点:1、了解圆周角和圆心角的关系,直径所对的圆周角的特征2、能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题教学难点:对圆心角和圆周角关系的探索,分类思想的应用。

教学过程:(一)情境导入如下图,同学们能找到圆心角吗?它具有什么样的特征?(顶点在圆心,两边与圆相交的角叫做圆心角),今天我们要学习圆中的另一种特殊的角,它的名称叫做圆周角。

如下图,同学们能找到圆心角吗?它具有什么样的特征?(顶点在圆心,两边与圆相交的角叫做圆心角),今天我们要学习圆中的另一种特殊的角,它的名称叫做圆周角。

(二)实践与探索1:圆周角究竟什么样的角是圆周角呢?像图(3)中的解就叫做圆周角,而图(2)、(4)、(5)中的角都不是圆周角。

同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。

(顶点在圆上,两边与圆相交的角叫做圆周角)练习:试找出图中所有相等的圆周角。

(三)实践与探索2:圆周角的度数(一)探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度?而90︒的圆周角所对的弦是否是直径 如图28.1.9,线段AB 是⊙O 的直径,点C 是⊙O 上任意一点(除点A 、B ), 那 么,∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角.想想看,∠ACB 会是怎么样的角?为什么呢?启发学生用量角器量出ACB ∠的度数,而后让同学们再画几个直径AB 所对的 圆周角,并测量出它们的度数,通过测量,同学们感性认识到直径所对的圆周角等于90︒(或直角),进而给出严谨的说明。

证明:因为OA =OB =OC ,所以△AOC 、△BOC 都是等腰三角形,所以∠OAC =∠OCA ,∠OBC =∠OCB . 又 ∠OAC +∠OBC +∠ACB =180°,所以 ∠ACB =∠OCA +∠OCB =2180 =90°.因此,不管点C 在⊙O 上何处(除点A 、B ),∠ACB 总等于90°,即半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角)。

反过来也是成立的,即90°的圆周角所对的弦是圆的直径(二)探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系再变动点CAB 所对的圆周角和圆心角的度数,比较一下,你发现什么? 我们可以发现,圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的度数恰好为同弧所图28.1.10对的圆心角的度数的一半。

由上述操作可以猜想:在一个圆中,一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。

O 和圆周角的顶点C ,这时可能出现三种情况:(1) 折痕是圆周角的一条边,(2) 折痕在圆周角的内部,(3) 折痕在圆周角的外部。

(三)应用与拓展1、在同一个圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等吗?为什么?相等的圆周角所 对的弧相等吗,为什么?2、你能找出右图中相等的圆周角吗?3、这是一个圆形的零件,你能告诉我,它的圆心的位置吗?你有什么简捷的办 法?1、 A B 是⊙O 的直径,∠A =80°.求∠ABC 的度数.在圆中,一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x +100)°和(5x -30)°,求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.(四)课后小结 本节课我们一同探究了同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半;由这个结论进一步得到:同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半; 相等的圆周角所对的弧相等;半圆或直径所图28.1.12对的圆周角都相等,都等于90°(直角)。

90°(直角)的圆周角所对的弦是圆的直径等结论,希望同学们通过复习,记住这些知识,并能做到灵活应用他们解决相关问题。

课后作业:课本43页习题6、7课后小记:教学目标:1.了解点与圆的三种位置关系,能够用数量关系来判断点与圆的位置关系2.掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆,求出特殊三角形的外接圆的半径3.渗透方程思想,分类讨论思想。

教学重点:用数量关系判断点和圆的位置关系,用尺规作三角形的外接圆,求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。

教学难点:运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径。

教学过程:(一)情境导入同学们看过奥运会的射击比赛吗?射击的靶子是由许多圆组成的,射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的;右图是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹。

你知道这个运动员的成绩吗?请同学们算一算。

(击中最里面的圆的成绩为10环,依次为9、8、…、1环)这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系,如何判断点与圆的位置关系呢?这就是本节课研究的课题。

(二)实践与探索1:点与圆的位置关系我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径,若点在圆上,那么这个点到圆心的距离等于半径,若点在圆外,那么这个点到圆心的距离大于半径,若点在圆内,那么这个点到圆心的距离小于半径。

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