(精品)轴对称培优习题
人教版 八年级数学上册 第13章 轴对称培优综合练习(含答案)
人教版 八年级数学上册 第13章 轴对称培优综合练习（含答案）等腰三角形性质进阶（1）如图，中，AB =AC ，，AD 是BC 边上的中线，且BD =BE ，则ABC V 100BAC ∠=o 的大小为 ．ADE ∠D ECB A 【答案】20°．（2）如图，在ABC 中，，平分，， ，E 、F 为垂V AB AC =AD BAC ∠DE AB ⊥DF AC ⊥足，则下列四个结论：①；②；③平分；④垂直DEF DFE ∠=∠AE AF =AD EDF ∠EF 平分．其中正确的有（ ）AD A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C（3）如图，已知D 、E 是的底边上两点，且有，，ABC △BC BD AD =CE AE =，则 ．150BAC DAE ∠+∠=︒BAC ∠=【答案】110°．（4）如图，，点为角内一点，且，点分别在边 上运30BAC ∠=︒P 3AP =M N 、AB AC 、动，当运动到何处时，周长最小．作图并求出周长最小值．M N 、PMN △PMN △AC【答案】如图，分别作P 关于AB 、AC 的对称点．连接，交AB 于M ，交AC 于'''P P 、'''P P N ，连接PM 、PN 、MN ，此时PMN 周长最小．V如图，连接，是等边三角形，, 周长'''AP AP AP 、、'''AP P △''''3P P AP AP ===PMN △最小值是3．ACA边高及其夹角问题—分类讨论（1）腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为______________．【答案】6或或（2）一个等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为45°，则它的底角度数是 ．【答案】或．67.5︒22.5︒（3）已知是等腰一腰上的高，且，求三个内角的BD ABC ∆50ABD ∠=︒ABC ∆度 数．【答案】若为钝角三角形时，为顶角时，三内角大小为；ABC ∆A ∠1402020︒︒︒，，若为钝角三角形时，为底角时，三内角大小为；ABC ∆A ∠1004040︒︒︒，，若为锐角三角形时，为顶角，三内角大小为．ABC ∆A ∠407070︒︒︒，，两线证等腰（其中一线是角分线）已知：AO 是顶角的角平分线，交BC 边于点O ．ABC ∆（1）如图1，求证：AB =AC ；（2）如图2，有一点Q 在线段AO 上（不与A 、O 重合），求证：AB =AC ；（3）若点Q 在AO 的延长线上，AB =AC 成立吗？请画图表示．图1图2【答案】（1）如图1作辅助线，易证，∴，．()BOE COF HL ≅△△B C ∠=∠AB AC =（2）如图2作辅助线，易证，∴，()BQE CQF ASA ≅△△QBE QCF ∠=∠∴，∴，∴，．OB OC =OBC OCB ∠=∠B C ∠=∠AB AC = （3）成立，如图3．图1 图2 图3平行线+角分线出等腰如图1，在中，，、分别平分、，过D 点作ABC △AB AC =BD CD ABC ∠ACB ∠，交于点，交于．问：EF BC ∥AB E AC F （1）图中的等腰三角形有 ．（2）如图2，若将题中的改为不等边三角形，其他条件不变，则图中的等腰三角ABC △形有 ，请说明线段与、有什么关系？EF BE CF （3）如图3，平分，平分外角，交于点，交于BD ABC ∠CD ACG ∠DE BC ∥AB E AC ．线段与、有什么关系？F EF BE CF图1 图2 图3【答案】（1）等腰三角形：、、、、；ABC △AEF △BCD △BDE △CDF △（2）等腰三角形：、；BDE △CDF △由于ED =BE ，DF =CF ，EF =ED +FD =BE +CF ，故EF =BE +CF （3）图3所示中仍有两个等腰三角形、BED △CDF △从而DE =BE ，CF =DF ，又EF =ED -FD =BE -CF ，故EF =BE -CF ．含30°角的直角三角形的性质（1）在中，分别是的对边，且，则ABC △a b c 、、A B C ∠∠∠、、::1:2:3A B C ∠∠∠=与的数量关系是____________．a c 【答案】．=2c a （2）如图，在中，，，DE 是AB 的垂直平分线，ABC △90C ∠=o 15B ∠=o DE =8，则的度数是______，AC 的长是______，CD 的长是______．A ∠EABDC【答案】75°，4，（3）如图，在Rt 中，，垂足为，求的值．ABC △90,30,C A CD AB ∠=∠=⊥ D DBADDCBA【答案】设，∵，∴，DB k =90,,30C CD AB A ∠=⊥∠= 30DCB ∠= 在中，，∴(所对的直角边等于斜边的一半)．Rt DCB △DB k =2BC k =30 在中，，，∴，∴．Rt ACB △30A ∠= 2BC k =4AB k =3AD AB DB k =-=∴．133DB k AD k ==角分线与面积问题（1）如图，是的角平分线，其中，求证：．AD ABC △90B ∠=︒::ABD ACDS SAB AC =△△【答案】如图作，则有，由三角形的面积即可证明．DE AC ⊥DB DE =（2）如图，若在任意中，平分，请证明：． ABC △AD BAC ∠AB BDAC CD=BA【答案】如图，过点D 分别作，，则有：，DE AB ⊥DF AC ⊥DE DF =此时易得： ，又有（等高），∴．ABD ACD S AB S AC ∆∆=ABD ACD S BD S CD ∆∆=AB BDAC CD=BCA腰高和差问题如图，为等腰的底边上的任意一点，于点，于点，P ABC △AB PE AC ⊥E PF ⊥BC F 点，AD BC ⊥D（1）求证：；PE PF AD +=（2）若点为直线上的一点，请直接写出、和的关系．P AB PE PF AD【答案】（1）解法一：过点作于点．P PN AD ⊥N 在和中，，，，APN ∆PAE ∆EPA NAP ∠=∠ANP PEA ∠=∠AP PA =，，ANP PEA ∆∆∴≌PE AN =∴又由四边形为矩形，则．．PFDN PF ND =PE PF AD +=∴解法二：连接．∵，即，CP APC BPC ABC S S S ∆∆∆+=111222AC EP BC PF BC AD ⋅+⋅=⋅而，∴．（推荐解法二）AC BC =PE PF AD +=（3），分两种情况：A 点左边和B 点右边PE PF AD -=（1）知识延伸：如图1，为等腰内任意一点，于点， 于点P ABC △PE AC ⊥E PF BC ⊥，于点，点，求证：；F PG AB ⊥G AD BC ⊥D PE PF PG AD ++=（2）活学活用：如图2，若点为等边外一点，请说明、、和之P ABC △PE PF PG AD 间的数量关系．（3）类比推理：如图3，若点为等边的边延长线上一点，请说明、P ABC △BA PE 、和之间的数量关系．PF PG AD图1 图2 图3【答案】（1）连接，根据三角形面积即可证明．PA PB PC 、、ABC ABPACPBCPS S SS=++△△△△（2），证明同上；PE PF PG AD +-=（3），证明同上．PF PE PG AD --=例题1.（1）如图，在中，AB =AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，若的周长为ABC △BCE △8cm ，AB -BC =2cm ，则BC =________cm ．DABCE【答案】3（2）已知，中，，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于E 、F ，ABC △140BAC ∠=︒的度数是________．EAF ∠第19第第20第CAE DBBEFA C【答案】100°例题2. （1）在ABC ，∠ACB 为直角，∠A =30°，CD ⊥AB 于D ，若BD =2，则AB 的长度是V（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】B（2）如图，等边的三条角平分线相交于点O ，过点O 作，分别ABC △EF BC P 交AB 于E ，交AC 于F ，则图中的等腰三角形有（ ）个CBA. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C例题3. 如图，在中，，点D 在BC 上，，在AC 上取一点ABC △B C ∠=∠50BAD ∠=oE ，使得，求的度数．ADE AED ∠=∠EDC∠【答案】由题设知：，，及三角形外角定理，B C ∠=∠ADE AED ∠=∠即，EDC C AED ∠+∠=∠有180218022DAE AED EDC C∠=-∠=-∠-∠o o 而()18025025018022C DAE C EDC C =∠++∠=∠++-∠-∠o o o o 180502EDC =+-∠o o 故，即250EDC ∠=o 25EDC ∠=o例题4. 如图，在等腰中，，，为底边上一动点（不与ABC △5AB BC ==8AB =D AB 点重合），，，垂足分别为，求的长．A B 、DE AC ⊥DF BC ⊥E F 、DE DF +FE ABCD【答案】（利用面积法）245例题5. 在△ABC 中，AD 是外角∠EAC 的角平分线，求证：．AB BDAC CD=【答案】如图做辅助线，根据题意，此时易得，，∴．ABD ACD S BD S CD ∆∆=ABD ACD S AB S AC ∆∆=AB BDACCD=。
《易错题》初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典题(专题培优)
一、选择题1．如图，在△ABD 中，分别以点A 和点D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 分别交BD 、AD 于点C 、E ．若AE=5cm ，△ABC 的周长=15cm ，则△ABD 的周长是（ ）A ．35cmB ．30cmC ．25cmD ．20cm 2．下列命题中，假命题是（ ）A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形C ．相等的两个角是对顶角D ．有一个角是60的等腰三角形是等边三角形3．如图，已知60AOB ∠=︒， 点P 在OA 边上，8OP cm =，点M 、N 在边OB 上，PM PN =，若2MN cm =，则OM 为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．1cm4．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，AD AE =，若40BAD ∠=︒，则CDE ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒5．若a ，b 为等腰ABC 的两边，且满足350a b --=，则ABC 的周长为（ ）A ．11B ．13C ．11或13D ．9或15 6．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法：①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠AFG ＝∠AGF ；③∠FAG ＝2∠ACF ；④BH ＝CH ．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．①③7．平面直角坐标系中，已知()1,1A ，()2,0B ．若在x 轴上取点C ，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 8．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）度A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40 9．如图，在△ABC 中，∠C ＝84°，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN 交AC 于点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ．若此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A 的大小是（ ）A ．30°B ．32°C ．36°D ．42°10．如图，AEC BED △△≌，点D 在AC 边上，AE 和BD 相交于点O ，若30AED ∠=︒，120∠=︒BEC ，则ADB ∠的度数为（ ）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°11．如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC 与外角∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ．下列结论：①∠ACB ＝2∠APB ；②BP 垂直平分CE ；③PG ＝AG ；④CP 平分∠DCB ；其中，其中说法正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，点D是AB中点，AF⊥CD于点H，交BC于点F，BE∥AC交AF的延长线于点E，给出下列结论：①∠BAE＝∠ACD，②△ADC≌△BEA，③AC＝AF，④∠BDE＝∠EDC，⑤BC⊥DE．上述结论正确的序号是（）A．①②⑤B．②④⑤C．①②④D．①②③13．下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．14．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（）A．30B．60︒C．40︒或50︒D．30或60︒=，则有（）15．如图，AC AD=，BC BDA．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分ABC．CD平分ACB∠D．AB垂直平分CD二、填空题16．如图，△ABC ≌△ADE ，点D 落在BC 上，且∠BAD ＝70°，则∠EDC ＝_____°．17．如图，点D 、E 是ABC 的边BC 上的点，且AED n ∠=︒，::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，若点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，则n =________．18．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线1l ，2l 相交于点O ．若135∠=︒，则A C ∠+∠的度数为______．19．若一条长为24cm 的细线能围成一边长等于6cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为__________cm ．20．如图：已知在ABC 中，90ACB ︒∠=，36BAC ︒∠=，在直线AC 上找点P ，使ABP △是等腰三角形，则APB ∠的度数为________．21．如图，等边ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点．若2AE =，当EF CF +取最小值时，ECF ∠的度数为___________度．22．若点P(x-y ，y)与点Q(-1，-5)关于x 轴对称，则x+y=______．23．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝62 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是_____________．24．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE CF =，BD CE =，如果44A ∠=︒，则EDF ∠的度数为__．25．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，BE ⊥AD 于E ，AB =6，AC =14，∠ABC =3∠C ，则BE =____．26．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE ，如果∠A ＝44°，则∠EDF 的度数为__．三、解答题27．如图1，点C 在线段AB 上，∠A =∠B ，AD =BC ，AC =BE ．（1）判断△CDE 的形状并说明理由；（2）若∠A=58°，求∠DCE 的度数；（3）根据解决问题（1）（2）的经验，请你继续解答下列问题：如图2，在如图所示的正方形网格中，点P 是BC 边上的一个格点（小正方形的顶点），请你在AB 边上作一点M ，在CD 边上作一点N ，使△MPN 是等腰直角三角形，并说明理由．（不写作法，保留作图痕迹）28．小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在ABC 中，90ACB ∠=︒．求作：直线CD ，使得直线CD 将ABC 分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．作法：如图，①作直角边CB 的垂直平分线MN ，与斜边AB 相交于点D ；②作直线CD ．所以直线CD 就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵直线MN 是线段CB 的垂直平分线，点D 在直线MN 上，∴DC DB =．（_______）（填推理的依据）∴∠_______=∠__________．∵90ACB ∠=︒，∴90ACD DCB ∠=︒-∠，90A ∠=︒-∠_________．∴ACD A ∠=∠．∴DC DA =．（_______）（填推理的依据）∴DCB 和DCA △都是等腰三角形．29．如图：已知ABC 中AB AC =：（1）尺规作图：过A 点作//AE BC （不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AE 是ABC 的一个外角角平分线．30．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合．由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB．（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程；（2）如图②，在△ABC中，直线l，m，n分别是边AB，BC，AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点；（请将下面的证明过程补充完整）证明：设直线l，m相交于点O．（3）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．。
专题2.13第2章轴对称图形单元测试(培优提升卷)(原卷版)【苏科版】
专题2.13第2章轴对称图形单元测试（培优提升卷）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•新野县期末）如图，30∠度数为'''关于直线l对称，则B∆与△A B C∠'=︒，ABC∠=︒，60CA()A．30︒B．60︒C．90︒D．120︒2．（2020春•常德期末）如图是小明在镜子中看到的钟表的图象，此时的真实时间是()A．4:40B．4:20C．7:40D．7:203．（2020•文成县二模）如图，在ABC∠，E是BC的中点，过点E作BC的垂线交BD∆中，BD平分ABC于点F，连接CF．若50∠的度数为()∠=︒，则CFDAACF∠=︒，40A．30︒B．45︒C．55︒D．60︒4．（2020•洪山区模拟）如图，在33⨯的网格中，与ABC∆成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有()A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个5．（2020秋•汉阳区期中）如图，ABC ∆中，点D 在BC 边上，将点D 分别以AB 、AC 为对称轴，画出对称点E 、F ，并连接AE 、AF ．根据图中标示的角度，可得EAF ∠的度数为()A ．108B ．115C ．122D ．1306．（2019•唐山二模）如图所示，平面上有两条相等的线段AB 和CD ，李明用尺规作轴对称，经过几次轴对称变换之后两条线段重合，其具体作法如下：①作线段AB 关于直线n 的对称线段DA '；②连接BD ，作线段BD 的垂直平分线n ；③作A DC '∠的平分线m ；④A D '沿着直线m 对折即可得到CD ；下列正确的作图步骤是()A ．①②③④B ．④③②①C ．④③①②D ．②①③④7．（2020•浙江自主招生）如图，在等边ABC ∆中，2BD DC =，DE BE ⊥，CE ，AD 相交于点P ，则()A．AP AE EP>>D．EP AE AP>>>>C．AP EP AE>>B．AE AP EP8．（2019秋•新泰市期末）如图，ABCDE BC交AB∠的平分线交于点F，过点F作//∠与ACB∆中，ABC于点D，交AC于点E，那么下列结论，其中正确的有()①BDF=．∆是等腰三角形；②DE BD CE∠=︒；④DF EFBFC=+；③若50∠=︒，则115AA．1个B．2个C．3个D．4个9．（2021春•龙岗区期末）如图，40DE AB交BC于点E，若点F在∠，过D作//∠=︒，BD平分ABCABC∠的度数为()=，则DFBAB上，且满足DF DEA．20︒B．140︒C．20︒或140︒D．40︒或140︒10．（2021春•开江县期末）如图，Rt ACB∆的角平分线AD、BE相交于点P，∠=︒，ABC∆中，90ACB过P作PF AD=；③⊥交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①135∠=︒；②BF BAAPB=；④连接CP，CP平分ACBPH PD∠，其中正确的是()A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•常州二模）如图，在ABC ∆中，DE 是AC 的垂直平分线且分别交BC ，AC 于点D 和E ，60B ∠=︒，25C ∠=︒，则BAD ∠的度数为．12．（2019秋•罗湖区校级期末）如图，在ABC ∆中，BA BC =，120ABC ∠=︒，BD BC ⊥交AC 于点D ，1BD =，则AC 的长．13．（2019秋•连山区期末）如图，点P 是AOB ∠内任意一点，10OP cm =，点P 关于射线OA 对称点为点1P ，点P 关于射线OB 对称点为点2P ，连接12P P ，交OA 于点C ，交OB 于点D ，当PCD ∆的周长是10cm 时，AOB ∠的度数是．14．（2020•延边州二模）如图，40AOB ∠=︒，点P 在AOB ∠的内部，点C ，D 分别是点P 关于直线OA ，OB 的对称点，连接CD 分别交OA ，OB 于点E 、F ．则EPF ∠=．15．（2020•惠城区校级二模）顶角为锐角的等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50︒，则该三角形的底角为．16．（2019秋•连江县期中）如图，已知60OC=，AOB=，12∠=︒，点C在边OA上，点D、E在边OB上，CD CEDE=，则OD=．217．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，AE是CAM∠的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若28∠=︒．∠=︒，则AEDACB∠=︒，25EBD18．（2019秋•咸安区期末）如图，ABCB∠=︒，D为线段BC上一动点（不与点B，C=，40∆中，AB AC重合），连接AD，作40∠=︒，DE交线段AC于E．以下四个结论：ADE①CDE BAD∠=∠；②当D为BC中点时，DE AC⊥；③当30∠=︒时，BD CE=；BAD④当ADE∆为等腰三角形时，30BAD∠=︒．其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•东海县期末）在下面的方格纸中作图：（1）先画ABC ∆关于直线1l 的对称图形△111A B C ，再画△111A B C 关于直线2l 的对称图形△222A B C ；（2）若ABC ∆向右平移1格，则△222A B C 向平移格．20．（2021春•叶县期末）如图，在22⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与ABC ∆成轴对称图形．21．（2021春•浦东新区期末）已知，如图，在ABC ∆中，AB AC =，D ，E 分别在CA ，BA 的延长线上，且BE CD =，连BD ，CE ．（1）求证：D E ∠=∠；（2）若108BAC ∠=︒，36o D ∠=，则图中共有个等腰三角形．22．（2020春•碑林区期末）如图，在ABC ∆中，AB BC =，BE 平分ABC ∠，AD 为BC 边上的高，且AD BD =．（1）12∠=∠=︒．（2）1∠与3∠相等吗？为什么？（3）试判断线段AB 与BD ，DH 之间有何数量关系，并说明理由．23．（2021春•市北区期末）如图，E 是AOB ∠的平分线上一点，EC OA ⊥，ED OB ⊥，垂足分别是C 、D ．求证：（1）OC OD =，（2）OE 是线段CD 的垂直平分线．24．（2020秋•播州区期末）已知ABC ∆中，ACB ∠的平分线CD 交AB 于点D ，//DE BC ．（1）如图1，如果点E 是边AC 的中点，8AC =，求DE 的长；（2）如图2，若DE 平分ADC ∠，30ABC ∠=︒，在BC 边上取点F 使BF DF =，若9BC =，求DF 的长．25．（2020秋•海淀区校级期中）如图，在边长为2的等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，点E 在线段AD 上，连接BE ，在BE 的下方作等边BEF ∆，连接DF ，当BDF ∆的周长最小时，求DBF ∠的度数．26．（2020秋•洮北区期末）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥于点E ．（1）如图1，连接EC，求证：EBC∆是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作60∠=︒，MGBMG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作60∠=︒，NG交DE延长线于BNG点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．。
人教版八年级上册数学《轴对称》培优试题
人教版八年级上册数学《轴对称》培优试题一．选择题（共7小题）1．已知，如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝18cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AB于点F，则MN的长为（）A．18cm B．12cm C．6cm D．3cm2．如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在P A、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（）A．120°B．125°C．130°D．135°3．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A．15°或75°B．30°C．150°D．150°或30°4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，点E在AC上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝40°，则∠CDE的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AB边上一点，且AD＝CD＝BC，则∠A的度数为（）A．38°B．36°C．32°D．30°6．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝4，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．B．C．6D．37．下列说法正确的个数有（）①有两组边对应相等，一组角对应相等的两个三角形全等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③三角形的中线把三角形的面积平分；④等腰三角形高所在的直线是对称轴．A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共9小题）8．如图，在等腰△ABC中，CA＝CB，∠C＝50°，DE⊥AC，FD⊥AB，则∠EDF＝．9．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，垂足为点D，DE交AC于点E，且AC＝7，△BEC的周长为11，则BC的长为．10．如图，∠AOB＝30°，M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP ＝6cm，则△PMN的周长的最小值为cm．11．如图，已知△ABC与△ABD关于AB所在的直线对称，延长AD交CB的延长线于点E，若AC+BC＝AE，且∠C＝40°，则∠E的度数为．12．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，交AC边于点E，交BC边于点D，若AE＝3，△ABD的周长为14，则△ABC的周长为．13．若等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成了15cm和18cm两部分，则它的腰长为cm．14．如果等腰三角形的一个内角等于40°，则它两底角的平分线所夹的钝角为．15．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为13cm．分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，则OA的长为cm．16．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP，若∠BAC＝50°，则∠BPC＝°．三．解答题（共6小题）17．如图，AB＝AC，AE＝ED＝DB＝BC，求∠A的度数．18．计算：△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于y轴成轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；（2）在y轴上有一点P，使P A+PB的值最小，请在坐标系中标出点P的位置．19．如图，在△ABC中，∠BAC＝∠ACB，点D是BC边上一点，且满足∠B＝∠1，CE平分∠ACB交AD于点E．（1）若∠ADC＝80°，求∠2的度数；（2）过点E作EF∥AB，交BD于点F，请说明∠FEC＝3∠3．20．如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，MP垂直平分AB，分别交AB、BC于点M、P，NQ垂直平分AC，分别交AC．BC于点N、Q，连接AP、AQ，求∠P AQ的度数．21．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA 方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE＝DF；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．。
人教版 八年级数学上册 第13章 轴对称 综合培优训练(含答案)
人教版八年级数学上册第13章轴对称综合培优训练一、选择题（本大题共12道小题）1. 以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是()A．1，1，2 B．1，1，3C．2，2，1 D．2，2，52. 如图，线段AB与A′B′(AB＝A′B′)不关于直线l成轴对称的是()3. 已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为()A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°4. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B 的度数是()A．70°B．55°C．70°或55°D．70°或55°或40°5. 若点A(2m，2－m)和点B(3＋n，n)关于y轴对称，则m，n的值分别为()A．1，－1 B.5 3，13C．－5，7 D．－13，－736. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC.若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为()A．4 B．12 C．18 D．307. 一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B 处.灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上.则海岛B到灯塔C的距离是（）A.15海里B.20海里C. 30海里D.60海里8. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在直线l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两村供水，现有如下四种铺设方案，图中PM，MQ表示铺设的管道，则所需管道最短的是()9. 对于△ABC，嘉淇用尺规进行如下操作：如图，(1)分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点D；(2)作直线AD交BC边于点E.根据嘉淇的操作方法，可知线段AE是()A．△ABC的高线B．△ABC的中线C．边BC的垂直平分线D．△ABC的角平分线10. 如图，以C为圆心，大于点C到AB的距离为半径作弧，交AB于点D，E，再以D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线CF，则()A ．CF 平分∠ACB B ．CF ⊥ABC ．CF 平分ABD ．CF 垂直平分AB11. (2019•广西)如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒12. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝72°，∠C ＝36°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，则图中有等腰三角形( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题（本大题共12道小题）13. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有________条．14. 如图，∠AOB ＝30°，点P 在OA 上，且OP ＝2，点P 关于直线OB 的对称点是Q ，则PQ ＝________．15. 如图，在△ABC 中，AD 为角平分线，若∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝8，则CD 的长为________．16. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE 折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝________°.17. 如图，点P在∠AOB内，M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，连接MN交OA于点E，交OB于点F.若△PEF的周长是20 cm，则MN的长是________cm.18. 如图所示，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC ＝4，则PD＝________.19. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是________．20. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F.若△AEF的周长为10 cm，则BC的长为cm.21. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．22. 数学活动课上，两名同学围绕作图问题:“如图①，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形，其中作法正确的为图(填“②”或“③”).23. 规律探究如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝________．24. 现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.三、作图题（本大题共2道小题）25. 如图，在公路l附近有两个小区A，B，某商家计划在公路l旁修建一个大型超市M，要求超市M到A，B两个小区的距离相等，请你借助尺规在图上找出超市M的位置．(不写作法，保留作图痕迹)26. 分析与操作如图，有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．(保留作图痕迹，不写作法)四、解答题（本大题共6道小题）27. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于点D，连接BD，求∠ABD的度数.28. （2020·广东）如题20图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．29. 如图①，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F.探究一：猜想图①中线段EF与BE，CF间的数量关系，并证明．探究二：设AB＝8，AC＝6，求△AEF的周长．探究三：如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线BO与△ABC的外角平分线CO交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F.猜想这时EF与BE，CF间又是什么数量关系，并证明．30. 已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：BE＝CF；(2)若AF＝6，BC＝7，求△ABC的周长．31. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F.求证：△CEF是等腰三角形．32. 如图，在直角坐标系中，△ABO的各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(2a，0)，B(0，-a)，线段EF两端点的坐标分别为E(-m，a+1)，F(-m，1)(其中2a>m>a>0)，直线l∥y轴交x轴于点P(a，0)，且线段EF与CD关于y轴对称，线段CD与MN关于直线l对称.(1)求点M，N的坐标(用含m，a的式子表示);(2)△ABO与△MFE能通过平移互相重合吗?若能通过平移互相重合，请你说出一种平移方案(平移的距离用含m，a的式子表示).人教版八年级数学下册第13章轴对称综合培优训练-答案一、选择题（本大题共12道小题）1. 【答案】C2. 【答案】A3. 【答案】D[解析] 在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．①42°的角为等腰三角形的底角；②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.所以底角为42°或69°.4. 【答案】D[解析] 由题意得，∠A＝70°，当∠B＝∠A＝70°时，△ABC为等腰三角形；当∠B＝55°时，可得∠C＝55°，∠B＝∠C，△ABC为等腰三角形；当∠B＝40°时，可得∠C＝70°＝∠A，△ABC为等腰三角形．5. 【答案】C[解析] ∵点A(2m，2－m)和点B(3＋n，n)关于y轴对称，∴2m＋3＋n＝0，2－m＝n，解得m＝－5，n＝7.6. 【答案】B[解析] ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴△ADE为等边三角形．∵AB ＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4.∴△ADE的周长为4×3＝12.7. 【答案】C【解析】根据题意画图，如图，∠A=42°，∠DBC=84°，AB=15×2=30(海里),∴∠C=∠DBC-∠A=42°,∴BC=BA=30(海里).8. 【答案】D9. 【答案】A10. 【答案】B11. 【答案】C【解析】由作法得CG AB ⊥，∵AB AC =，∴CG 平分ACB ∠，A B ∠=∠，∵1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∴1502BCG ACB ∠=∠=︒．故选C ．12. 【答案】D[解析] ∵∠BAC ＝72°，∠C ＝36°，∴∠ABC ＝72°.∴∠BAC ＝∠ABC. ∴CA ＝CB.∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ， ∴∠DAB ＝∠CAD ＝36°. ∴∠CAD ＝∠C.∴CD ＝AD ， ∴△ACD 是等腰三角形．∵∠ADB ＝∠CAD ＋∠C ＝72°，∴∠ADB ＝∠B.∴AD ＝AB. ∴△ADB 是等腰三角形．二、填空题（本大题共12道小题）13. 【答案】5[解析] 如图，五角星的对称轴共有5条．14. 【答案】2[解析] 如图，连接OQ.∵点P关于直线OB的对称点是Q，∴OB垂直平分PQ.∴∠POB＝∠QOB＝30°，OP＝OQ.∴∠POQ＝60°.∴△POQ为等边三角形．∴PQ＝OP＝2.15. 【答案】4[解析] ∵∠B＝∠C＝60°，∴∠BAC＝60°.∴△ABC为等边三角形．∵AB＝8，∴BC＝AB＝8.∵AD为角平分线，∴BD＝CD.∴CD＝4.16. 【答案】120[解析] 由于△ABC是等边三角形，所以∠A＝60°.所以∠ADE＋∠AED＝120°.因为将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，所以∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF.所以∠ADF＋∠AEF＝2(∠ADE＋∠AED)＝240°.所以∠BDF＋∠CEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝120°.17. 【答案】2018. 【答案】2[解析] 过点P作PE⊥OB于点E.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD.∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∴∠AOB＝30°.∵PC∥OA，∴∠BCP＝∠AOB＝30°.∴在Rt△PCE中，PE＝12PC＝12×4＝2.∴PD＝PE＝2.故答案是2.19. 【答案】3[解析] ∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE ＝1.∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴∠B＝∠DAB.∵∠DAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAD＋∠DAB＋∠B＝90°.∴∠B＝30°.∴BD＝2DE＝2.∴BC＝BD＋CD＝2＋1＝3.20. 【答案】10[解析] ∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，∴AE=BE，AF=CF.∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF=10 cm.21. 【答案】30[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC.∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.22. 【答案】③23. 【答案】924. 【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作∠BAC的平分线AM，EF与AM 相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.三、作图题（本大题共2道小题）25. 【答案】解：如图，点M为所作．26. 【答案】如图所示，①作两条公路夹角的平分线OD，OE；②作线段AB的垂直平分线FG，则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2即为所求的位置．四、解答题（本大题共6道小题）27. 【答案】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝72°.∴∠DBC＝36°.∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝36°.28. 【答案】证明：在△BFD和△CFE中，∠ABE=∠ACD，∠DFB=∠CFE，BD=CE，∴△BFD≌△CFE（AAS）.∴∠DBF=∠ECF.∵∠ABE=∠ACD∴∠DBF+∠ABE=∠ECF+∠ACD.∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.【解析】先利用三角形边边角的判定方法证明∠DBF=∠ECF，再根据等式的性质，加上相等角得到∠ABC=∠ACB，等角对等边，得到AB=AC.根据等腰三角形定义得到△ABC是等腰三角形.29. 【答案】解：探究一：猜想：EF＝BE＋CF.证明如下：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO.∵EF ∥BC ，∴∠EOB ＝∠CBO.∴∠ABO ＝∠EOB.∴BE ＝OE.同理：OF ＝CF ，∴EF ＝OE ＋OF ＝BE ＋CF.探究二：C △AEF ＝AE ＋EF ＋AF ＝AE ＋(OE ＋OF)＋AF ＝(AE ＋BE)＋(AF ＋CF)＝AB ＋AC ＝8＋6＝14.探究三：猜想：EF ＝BE －CF.证明如下：∵BO 平分∠ABC ，∴∠EBO ＝∠CBO.∵EF ∥BC ，∴∠EOB ＝∠CBO.∴∠EBO ＝∠EOB.∴BE ＝OE.同理：OF ＝CF ，∴EF ＝OE －OF ＝BE －CF.30. 【答案】(1)证明：如图，连接CD.∵点D 在BC 的垂直平分线上，∴BD ＝CD.∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AD 平分∠BAC ，∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠CFD ＝90°.在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，⎩⎨⎧DE ＝DF ，BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF(HL)．∴BE ＝CF.(2)在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，⎩⎨⎧DE ＝DF ，AD ＝AD ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF. ∴AE ＝AF ＝6.∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋AC ＝(AE ＋BE)＋BC ＋(AF －CF)＝6＋7＋6＝19.31. 【答案】证明：∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB.∵∠EAB＋∠B＝∠CEF，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF.∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形．32. 【答案】解:(1)∵线段EF与CD关于y轴对称，EF两端点的坐标分别为E(-m，a+1)，F(-m，1)，∴C(m，a+1)，D(m，1).∴CD与直线l之间的距离为m-a.∵线段CD与MN关于直线l对称，l与y轴之间的距离为a，∴MN与y轴之间的距离为a-(m-a)=2a-m.∴M(2a-m，a+1)，N(2a-m，1).(2)能.平移方案(不唯一):将△ABO向上平移(a+1)个单位长度后，再向左平移m个单位长度，即可与△MFE重合.。
轴对称的性质—折叠问题(专项培优训练)2023-2024学年八年级数学上册(人教版)(解析版)
轴对称的性质—折叠问题（专项培优训练）试卷满分：100分 考试时间：120分钟 试卷难度：较难试卷说明：本套试卷结合人教版数学八年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。
一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题2分）（2022秋·天津津南·八年级校考期中）如图，把一张长方形纸片ABCD ，沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B '，AB '与DC 相交于点E ，则下列结论正确的有（ ）①ABC AB C ≅'；②AE CE =；③ADE CB E ≅'；④B CE EAB ∠'=∠．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】由折叠的性质可得ABC AB C ≅',,BAC CAB '∠=∠,AD BC B C =='由平行线的性质和等腰三角形的性质可得 ,ECA EAC AE CE ∠=∠=，由“HL ”可证()Rt ADE Rt CB E HL '≅，可得 ED EB =' ，即可进行判断；【详解】∵矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，点B 的对应点为 B '∴ABC AB C '≅，故①正确；,BAC CAB '∴∠=∠,AD BC B C =='∵AB CD ∥,BAC ACD ∴∠=∠,ACD CAB ∴∠=∠',ECA EAC ∴∠=∠∴AE CE =，故②正确；,,AE CE AD BC B C ==='在Rt ADE △ 和 Rt CB E '中，AE CE AD CB =⎧⎨=⎩∴()Rt ADE Rt CB E HL '≅故③正确；,DEA B CE '∴∠=∠,DEA EAB ∠≠∠,B CE EAB ∴∠'≠∠故④不正确；∴结论正确的有①②③共3个故选：C【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，证明 AE EC = 是本题的关键.A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④【答案】D 【分析】先求出点A ，点B 坐标，由勾股定理可求AB 的长，可判断①；由折叠的性质可得6OB BD ==，OC CD =，90BOC BDC ∠=∠=︒，由勾股定理可求OC 的长，可得点C 坐标，利用待定系数法可求BC 解析式，可判断②；由面积公式可求DH 的长，代入解析式可求点D 坐标，可判断③；分别讨论P 点在C 、B 点的情况，比较AP DP +值的情况，得出当P 点在C 点时，使得AP DP +的值最小可判断④，即可求解． 【详解】解：直线3=+64y x −分别与x 、y 轴交于点A 、B ，∴点()8,0A ，点()0,6B ，8OA ∴=，6OB =，10AB ∴=，故①正确；线段OB 沿BC 翻折，点O 落在AB 边上的点D 处，6OB BD ∴==，OC CD =，90BOC BDC ∠=∠=︒，4AD AB BD ∴=−=，222AC AD CD =+，()22816OC OC ∴−=+，3OC ∴=，∴点()3,0C ，设直线BC 解析式为：6y kx =+，036k ∴=+，2k ∴=−，∴直线BC 解析式为：26y x =−+，故②正确；如图，过点D 作DH AC ⊥于H ，3CD OC ==，5CA ∴=，1122ACD S AC DH CD AD =⋅=⋅△， 341255DH ⨯∴==，∴当125y =时，123654x =−+， 245x ∴=，∴点2412,55D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故③正确；直线BC 上存在一点P ，当P 点在C 点时，()OC DC P =，∴AP DP AC OC OA +=+=，当P 点在B 点时，AP DP AD DB AB +=+=，在Rt OAB 中，AB OA >∴当P 点在C 点时，使得AP DP +的值最小，则点P 的坐标是()3,0，故④正确；综上分析可知，正确的结论为①②③④，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 3．（本题2分）（2023春·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，在ABC 中，D 是AC 边上的中点，连接BD ，把BDC 沿BD 翻折，得到BDC '，DC '与AB 交于点E ，连接AC '，若2AD AC '==，3BD =，则C 到BD 的距离为（ ）【答案】B【分析】连接CC '，交BD 于点M ，由翻折知，BDC BDC '≌，BD 垂直平分CC '，证ADC '为等边三角形，利用含30度的直角三角形性质及勾股定理求出1DM =，CM =【详解】解：如图，连接CC '，交BD 于点M ，∵2AD AC ='=，D 是AC 边上的中点，∴2DC AD ==，由翻折知，BDC BDC '≌，BD 垂直平分CC '，∴2DC DC '==，BC BC '=，CM C M '=，∴2AD AC DC ''===，∴ADC '为等边三角形，∴60ADC AC D C AC ∠'=∠'=∠'=︒，∵DC DC ='， ∴160302DCC DC C ∠'=∠'=⨯︒=︒，在Rt CDM △中，30DCC ∠'=︒，2DC =，∴1DM =，CM C M '∴=∴C 到BD故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 4．（本题2分）（2020秋·广东广州·八年级校考期中）如图1，长方形ABCD 中，E 点在AD 上，且30ABE ∠︒=．分别以BE 、CE 为折线，将A 、D 向BC 的方向折过去，如图2，若图2中15AED ∠=︒，则BCE ∠度数为（ ）A ．30︒B ．32.5︒C ．35︒D ．37.5︒【答案】D 【分析】根据长方形的性质与三角形内角和定理，得到60AEB ∠=︒，再根据折叠的性质，得到A EB AEB '∠=，DEC D EC '∠=∠，由105AED '∠=︒，进而得到37.5DEC ∠=︒，最后根据平行线的性质，即可求出BCE ∠度数．【详解】解：四边形ABCD 是长方形，AD BC ∴∥，90A ∠=︒，30ABE ∠︒=，18060AEB A ABE ∴∠=︒−∠−∠=︒，由折叠的性质可知，60A EB AEB ∠=∠='︒，DEC D EC '∠=∠，15A ED ''∠=︒，606015105AED AEB A EB A ED ''''∴∠=∠+∠−∠=︒+︒−︒=︒，18075DED AED ''∴∠=︒−∠=︒，137.52DEC D EC DED ''∴∠=∠=∠=︒，AD BC ∥，37.5BCE DEC ∴∠=∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．5．（本题2分）（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在等腰ABC 中，AB AC =，50BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则CEF ∠的度数是（ ）A ．55︒B ．50︒C ．45︒D ．40︒【答案】B 【分析】连接OB ，OC ，先求出25BAO ∠=︒，进而求出40OBC ∠=︒，求出40COE OCB ∠=∠=︒，由三角形内角和定理和12CEF OEF CEO ∠=∠=∠即可求得答案． 【详解】解：如图，连接OB ，50BAC ∠=︒，AO 为BAC ∠的平分线，11502522BAO BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒．又AB AC =，()1180652ABC ACB BAC ∴∠=∠=︒−∠=︒．DO 是AB 的垂直平分线，OA OB ∴=，25ABO BAO ∴∠=∠=︒，652540OBC ABC ABO ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒．AO 为BAC ∠的平分线，AB AC =，∴直线AO 垂直平分BC ，OB OC ∴=，40OCB OBC ∴∠=∠=︒，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，OE CE ∴=，12CEF OEF CEO ∠=∠=∠，40COE OCB ∴∠=∠=︒；在OCE △中，1801804040100CEO COE OCB ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，1502CEF CEO ∴∠=∠=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关知识来分析、判断． ．将AFG 沿AG A ．1B ．32 【答案】C 【分析】由正方形的性质可得AD AB =，设BF CF a ==，则2CD a =，24DG CD CG a =−=−，由题意知，90ADE ABF ∠=∠=︒，由折叠的性质可得HG EF ⊥，AE AF =，GE GF =，证明()Rt Rt HL ADE ABF ≌，则DE BF a ==，2434GF GE a a a ==+−=−，由勾股定理得222GF CF DG −=，即()222344a a −−=，解得3a =，0a =（舍去），则3CF =，5EG =，9EC =，由勾股定理得EF ，根据1122CEF S EG CF EF HG =⨯=⨯，即115322HG ⨯⨯=⨯，计算求解即可．【详解】解：由正方形的性质可得AD AB =，设BF CF a ==，则2CD a =，24DG CD CG a =−=−， 由题意知，90ADE ABF ∠=∠=︒，由折叠的性质可得HG EF ⊥，AE AF =，GE GF =，∵AE AF =，AD AB =，∴()Rt Rt HL ADE ABF ≌，∴DE BF a ==，2434GF GE a a a ==+−=−，由勾股定理得222GF CF CG −=，即()222344a a −−=，解得3a =，0a =（舍去），∴3CF =，5EG =，9EC =，由勾股定理得EF ∵1122GEF S EG CF EF HG =⨯=⨯，∴115322HG ⨯⨯=⨯，解得HG =， 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．A ．65︒B ．62.5︒C ．55︒D ．52.5︒【答案】B 【分析】根据折叠得出90OB C B ''∠=∠=︒，求出55OB G '∠=︒，根据平行线的性质得出18055125B OB '∠=︒−︒=︒．根据折叠得出162.52BOG B OB '∠=∠=︒．【详解】解：根据折叠可知，90OB C B ''∠=∠=︒，∵35GB C ''∠=︒，∴55OB G '∠=︒，∵AB CD ∥，∴18055125B OB '∠=︒−︒=︒． 由折叠可知，162.52BOG B OB '∠=∠=︒，故B 正确． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补． 8．（本题2分）（2023·浙江·八年级假期作业）如图，现有一块三角板ABC ，其中90ABC ︒∠=，60CAB ︒∠=，8AB =，将该三角板沿BC 边翻转得到A BC '△，再将A BC '△沿A C '边翻转得到A B C ''△，则A 与B '两点之间的距离为（ ）【答案】C 【分析】连接AB '，作B D AA ''⊥，交AA '延长线于点D ，在Rt A B D ''中求得B D '、A D '的长度，在Rt AB D '中，即可求得AB '．【详解】解：连接AB '，作B D AA ''⊥，交AA '延长线于点D ，如下图：由折叠的性质可得：8AB A B A B '''===，60CAB CA B CA B '''∠=∠=∠=︒∴60B A D ''∠=︒∵B D AA ''⊥，∴90D Ð=°，∴30A B D ''∠=︒， ∴142A D A B '''==，∴B D '==，20AD =，∴AB '=故选：C【点睛】此题考查了勾股定理，折叠的性质，含30︒直角三角形的性质，解题的关键是熟练利用相关性质进行求解．A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④【答案】D 【分析】作FM BC ⊥于M （见详解图），①根据翻折变换的性质和正方形的性质可证ABG AFG △△≌；②设BG GF x ==，在Rt EGC △中，根据勾股定理可证3BG GC ==；③通过tan 2AB AGB BG ∠==，tan 2FM FCM CM ∠==，证明AGB FCM ∠=∠，由平行线的判定定理可得AG CF ∥；④由②得到3GC =，由③得到125FM =，根据12FCG S GC FM =△即可计算面积．【详解】解：作FM BC ⊥于M ，四边形ABCD 是正方形，∴6AB BC CD DA ====，90B D BCD ∠=∠=∠=︒，AFE △是由ADE V 翻折，∴AD AF AB ==，90ADE AFE AFG ∠=∠=∠=︒，在Rt AGF 和Rt AGB 中，AG AG AF AB =⎧⎨=⎩，∴ABG AFG △△≌．故①正确．∴BG GF =，设BG GF x ==，在Rt EGC △中，90ECG ∠=︒，2DE =，6CD =，4EC =，2EG x =+，6GC x =−，∴()()222246x x +=+−，∴3x =，∴3BG GC ==,故②正确．FM BC ⊥，CD BC ⊥∴FM EC ∥ ∴GF FM GM GE ECGC ==，3GF =，5GE =，4EC =，3GC =∴125FM =，95GM =，65CM GC GM =−=， ∴6tan 23AGB ∠==， tan 2FM FCM CM ∠==，∴AGB FCM ∠=∠，∴AG CF ∥，故③正确． ∴112183255FCG S ==△，故④正确．综上，选项D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折变换、勾股定理的应用等知识，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 为对称轴将CDE 折叠得到CHE ，使得点 A ．90CEF ∠=︒ B ．CE 【答案】D 【分析】A.由折叠的性质可以知道EF 和CE 分别是AEG ∠和DEG ∠的平分线，同时AED ∠是平角，所以可知90CEF ∠=︒，故选项A 正确；B.由题意和折叠的性质可以知道EF AG ⊥、EF CE ⊥，就可以得到CE AG ∥，选项B 正确；C 和D.过点C 作C M A B ⊥于点M ，120CBA ∠=︒，可得2BM =，CM =BF a =，可以得到4FG AF a ==−，2FM BF BM a =+=+．根据折叠的性质可得4CG CD ==，根据勾股定理，求得2.4a =，即可得到 1.6FG =， 5.6CF =，所以5.6745CF AB ==．故选项C 正确，选项D 错误． 【详解】解：A.由折叠可知EF 和CE 分别是AEG ∠和DEG ∠的平分线． 又180AED ∠=︒，111809022CEF CEG FEG AED ∴∠=∠+∠=∠=⨯︒=︒， 故选项A 正确．B.又点A 与点G 关于EF 对称，∴EF AG ⊥， 又EF CE ⊥，∴CE AG ∥，故选项B 正确．C 和D.如答图，过点C 作C M A B ⊥于点M ．120CBA ∠=︒，∴60CBM ∠=︒，4BC =，∴易知2BM =，CM =设BF a =，∴4FG AF a ==−，2FM BF BM a =+=+，点E 是AD 的中点，折叠后点H 落到EG 上，∴点G 与点H 重合，4CG CD ==．易知点C G F ,,共线，∴448CF FG CG a a =+=−+=−．222FM CM CF +=，()(()22228a a ∴+=−+，解得 2.4a =． ∴4 2.4 1.6FG =−=，88 2.4 5.6CF a =−=−=，5.6745CF AB ∴==，故选项C 正确，选项D 错误．综上，故选：D ．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分. 11．（本题2分）（2023春·河北承德·八年级统考期末）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A 落在长边CD 上的点1A 处，并得到折痕DE ，小宇测得长边6CD =，则四边形1A EBC 的周长为 ．【答案】12【分析】根据折叠的性质，得到DA DA '=，EA EA '=，结合平行四边形的性质，得到DA DA BC '==，代入计算即可．【详解】根据折叠的性质，得到DA DA '=，EA EA '=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DA DA BC '==，6AB CD ==，∴四边形1A EBC 的周长为1111212BC BE A E AC A D AC AE BE AB CD CD +++=+++=+==．故答案为：12．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．12．（本题2分）（2023春·上海浦东新·八年级统考期末）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，28BC AC ==，点M 在边BC 上，过点M 作MN BC ⊥，垂足为点M ，交边AB 于点N ，将ABC 沿直线MN 翻折，点A 、C 分别与点D 、E 对应，如果四边形ADBE 是平行四边形，那么CM 的长是 ．【答案】3【分析】当点E 在线段BC 上时，连接DE 交AB 于点O ，过点O 作OH BC ⊥于点H ，则90BHO ∠=︒，求出AB =30ABC ∠=︒，由轴对称可得4DE AC ==，得OB =2OD OE ==，OH =，求出6CE =，由折叠可知，3CM =；假设点E 在线段CB 的延长线上，得到)4AN AF x ==−，与)2AN x =−矛盾，故点E 不可能在线段CB 的延长线上，即可确定CM 的长．【详解】解：当点E 在线段BC 上时，如图，连接DE 交AB 于点O ，过点O 作OH BC ⊥于点H ，则90BHO ∠=︒，∵90BAC ∠=︒，28BC AC ==，∴AB ==30ABC ∠=︒，∵将ABC 沿直线MN 翻折，点A 、C 分别与点D 、E 对应，∴4DE AC ==，∵四边形ADBE 是平行四边形，∴1122OB AB ==⨯=122OD OE DE ===，∴12OH OB ==∴3BH ==，∴1EH ==，∴312BE BH EH =−=−=，∴826CE BC BE =−=−=，由折叠可知，132CM EM CE ===，假设点E 在线段CB 的延长线上，延长MN 交AD 于点F ，则AD FM ⊥，12AF DF AD ==，∵90BAC ∠=︒，28BC AC ==，∴AB ==30ABC ∠=︒，设CM EM x ==，则8BM x =−，∴()828BE x x x AD=−−=−=， ∴142AF DF AD x ===−， 在Rt BMN △中，30ABC ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴1MN BN 2=，∴222BM MN BN +=,即22212BM BN BN ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)8BN x ==−，))82AN BN x x ==−==−，在Rt ANF △中，142AF DF AD x ===−，30NAF ABC ∠=∠=︒，90AFN ∠=︒， ∴12FN AN =，∴222AF FN AN +=,即22212AF AN AN ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，)4AN AF x ==−，与)2AN x =−矛盾，故点E 不可能在线段CB 的延长线上，综上可知，3CM =，故答案为：3【点睛】此题考查了勾股定理、平行四边形的性质、含30︒角的直角三角形的性质等知识， 分类讨论是解题的关键． 13．（本题2分）（2023春·北京丰台·八年级统考期末）如图，在Rt ABC △中，90B Ð=°，3AB =，4BC =，将ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B '重合，AE 为折痕，则BE 的长等于 ．【答案】1.5【分析】根据折叠得到BE EB '=，AB AB 3'==，设BE EB x '==，则4EC x =−，根据勾股定理求得AC 的值，再由勾股定理可列方程求解即可．【详解】解：根据折叠可得BE EB '=，AB AB 3'==，设BE EB x '==，则4EC x =−，在Rt ABC △中，90B Ð=°，3AB =，4BC =5AC ∴=532B C AC AB ''∴=−=−=在Rt B EC '△中，由勾股定理得，()222x 24x +=− 解得 1.5x =故答案为：1.5【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，解题的关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，能熟练运用勾股定理列方程解决问题．14．（本题2分）（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，在ABC 和DCB △中，90A D ∠=∠=︒，AC ，BD 相交于点E ，AE DE =．将CDE 沿CE 折叠，点D 落在点D ¢处，若40BED '∠=︒，则BCD '∠的大小为 ．【答案】15︒/15度【分析】根据全等三角形的判定和性质得出BE CE =，再由等边对等角确定EBC ECB ∠∠=，利用折叠的性质及三角形内角和定理求解即可．【详解】解：在AEB 和DEC 中，90A D AE DE AEB DEC ∠∠∠∠==︒⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴(ASA)AEB DEC ≌，∴BE CE =，∴EBC ECB ∠∠=，∵40BED '∠=︒，CDE 沿CE 折叠，点D 落在点D ¢处，∴70D EC DEC ︒'∠=∠=，∴180110BEC DEC ∠=︒−∠=︒，790200DCE ︒−︒=︒∠=，∴180110352EBC ECB ︒−∠︒=∠==︒，20DCE D CE ︒'∠=∠=，∴15BCD ECB D CE ''∠=∠−∠=︒，故答案为：15︒．【点睛】题目主要考查折叠的性质及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及等腰三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．15．（本题2分）（2023·浙江·八年级假期作业）折纸是一项有趣的活动，如图所示，一张长方形纸片()90ABCD A B C ∠=∠=∠=︒，先将纸片沿EF 折叠，再将折叠后的纸片沿GH 折叠，使得GD '与A B ''重合，展开纸片后若62BFE ∠=︒，则DGH ∠= ︒．【答案】17【分析】由平行线的性质得到62GEF BFE ∠=∠=︒，由平角定义得到180118AEF GEF ∠=︒−∠=︒，由轴对称的性质得到：90A A '∠=∠=︒，118A EF AEF '∠=∠=︒，DGH D GH '∠=∠，求出A EG '∠，由直角三角形的性质求出'∠A GE ，由对顶角的性质得到DGD A GE ''∠=∠，即可求出12DGH DGD '∠=．【详解】解：四边形ABCD 是矩形， AD BC ∴∥，90A ∠=︒，62GEF BFE ∴∠=∠=︒，180118AEF GEF ∴∠=︒−∠=︒，由题意得：90A A '∠=∠=︒，118A EF AEF '∠=∠=︒，DGH D GH '∠=∠，1186256A EG A EF GEF ''∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，9034A GE A EG ''∴∠=︒−∠=︒，34DGD A GE ''∴∠=∠=︒，1172DGH DGD '∴∠==︒．故答案为：17．【点睛】本题考查轴对称的性质，平行线的性质，余角的计算，对顶角的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质．16．（本题2分）（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC 中，AB AC =，30C ∠=︒，将纸片沿DE 折叠，使点B 落到点A 处，若6BC =，则DE = ．【答案】1【分析】利用等腰三角形的性质得到30B C ∠=∠=︒，则120BAC ∠=︒，再由折叠性质得BD AD =，30BAD B ∠=∠=︒，90AED ∠=︒，进而得到90DAC ∠=︒，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵AB AC =，30C ∠=︒∴30B C ∠=∠=︒，则3018030120BAC ∠=−︒−︒=︒，由折叠性质得BD AD =，30BAD B ∠=∠=︒，90AED ∠=︒，∴1309020DAC ︒−︒=∠=︒，12DE AD =，∴2CD AD =，又6BC =，∴236BC BD CD AD AD AD =+=+==，∴2AD =， ∴112DE AD ==， 故答案为：1．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、折叠性质、三角形的内角和定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握折叠性质和直角三角形的性质是解答的关键． 上一动点，把CDE 沿直线，若D BC '为等边三角形，【答案】1或4/4或1【分析】依据折叠的性质、菱形的性质以及等边三角形的性质，分两种情况得到DE 的长即可．【详解】解：由折叠及菱形的性质可得CD CD CB '==，故D BC '是以BD '底的等腰三角形，故当60D BC '∠=︒，D BC '为等边三角形，分以下两种情况讨论，1）如图（1），当点D ¢点A 重合时，60D BC '∠=︒，此时点E 为AD 的中点，故1DE =，2）如图（2），当点D ¢与点A 关于直线BC 对称时，D ¢，C ，D 三点共线，EC DC ⊥，故24DE DC ==， 综上所述，1DE =或4，故答案为：1或4．【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠问题及等边三角形的性质等知识的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 如图，ABC 中，【答案】108【分析】连接OB 、OC ，根据角平分线的定义求出BAO ∠，根据等腰三角形两底角相等求出ABC ∠，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA OB =，根据等边对等角可得ABO BAO ∠=∠，再求出OBC ∠，证明 OB OC =，再根据等边对等角求出OCB OBC ∠=∠，根据翻折的性质可得OE CE =，然后根据等边对等角求出COE ∠，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．【详解】解：如图，连接OB 、OC ，54BAC ∠=︒Q ，AO 为BAC ∠的平分线，11542722BAO BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒，又AB AC =，11(180)(18054)6322ABC BAC ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒， DO 是AB 的垂直平分线，OA OB ∴=，27ABO BAO ∴∠=∠=︒，632736OBC ABC ABO ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒， AO 为BAC ∠的平分线，AB AC =，∴点O 在BC 的垂直平分线上，∴OB OC =，36OCB OBC ∴∠=∠=︒，将C ∠沿(EF E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，OE CE ∴=，36COE OCB ∴∠=∠=︒，在OCE △中，1801803636108OEC COE OCB ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，故答案为：108．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．19．（本题2分）（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，30C ∠=︒，3AB =，点D 为AC 的中点，点E 是BC 边上一个动点，将CDE ∆沿着DE 翻折，使得点C 落在点F 处，当FE AC ⊥时，EF 的长为 ．【答案】32或92【分析】根据题意，分两种情况：①当E 在D 的右侧时；②当E 在D 的左侧时，由翻折性质，结合含30︒的直角三角形边的关系列方程求解即可得到答案．【详解】解：在ABC 中，90A ∠=︒，30C ∠=︒，3AB =，点D 为AC 的中点，AC ∴=12CD AB =， 当E 在D 的右侧时，延长FE 交AC 于H ，如图所示：FE AC ⊥，90EHC ∴∠=︒，由翻折的性质知，CD DF ==，30C DFH∠=∠=︒， 设EF x =，则CE EF x ==，1122EH EC x ==， 32FH x ∴=，在直角三角形DFH 中，30DFH ∠=︒，则FH =，∴32x =，32x ∴=；当E 在D 的左侧时，如图所示：由翻折性质知，CD DF ==，30C EFD ∠=∠=︒，CE EF x ==，EF AC ⊥，90FHD ∴∠=︒，1122EH EC x ∴==，1122FH x x x =−=，在直角三角形FHD 中，HF =，∴12x =，解得92x =， 故答案为：32或92．【点睛】本题考查翻折性质，充分利用翻折性质及含30︒的直角三角形边的关系分情况讨论是解决问题的关键． 20．（本题2分）（2023春·重庆忠县·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 上一点，连接DE ，将BDE 沿DE 翻折得到GDE ，连接CG ．若CG BD ∥，则CEG ∠= ．【答案】60︒/60度【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得出CH DH HB ==,1=2CH DB ，由折叠的性质得DB DG =，∠=∠BDE GDE ，利用辅助线构造矩形并由其性质得出CH GK =，再由等量代换得出12GK DG =，最后由特殊直角三角形的性质得出30GDK ∠=︒，利用折叠的性质及正方形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点C 作直线CH DB ⊥于点H ，过点G 作直线GK DB ⊥于点K ，正方形ABCD 中，DC CB =，90452CDB ︒∠==︒，CH DH HB ∴==,1=2CH DB ． GDE △由BDE 沿DE 翻折得到，GDE BDE ∴≌△△， DB DG ∴=，∠=∠BDE GDE ，CH DB ⊥，GK DB ⊥，CG BD ∥，CH GK ∴∥,90CHK ∠=︒，∴四边形CHKG 是矩形．CH GK ∴=， ∴11=22GK CH DB DG ==，90GKD ∠=︒，∴30GDK ∠=︒．11=30=1522BDE GDK ∴∠=∠⨯︒︒．∵正方形ABCD ，∴45DBE ∠=︒，∴1804515120BED ∠=︒−︒−︒=︒，60CED ∠=︒，∵BDE 沿DE 翻折得到GDE ，∴120BED DEG ∠=∠=︒，∴12060CEG DEC ∠=︒−∠=︒，故答案为：60︒．【点睛】本题考查正方形—翻折问题．具体考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质，特殊直角三角形的性质，矩形的判定和性质等的综合运用能力．灵活添加辅助线是解本题的关键．三、解答题：本大题共7小题，21-25题每小题8分，26-27题每小题10分，共60分． 若将DAB 沿直线 (1)求点A B 、的坐标．(2)求三角形ACE 的面积．(3)求直线CD 的解析式．【答案】(1)()3,0A ，()0,4B(2)6(3)364y x =−【分析】（1）当0x =，4043y =−⨯+，解得4y =，则()0,4B ，当0y =，4043x =−+，解得3x =，则()3,0A ；（2）由折叠的性质可知AB AC =，OBA ECA ∠=∠，证明()AAS ABO ACE ≌，根据12ACE ABO S S OA OB ==⨯，计算求解即可；（3）由勾股定理得，5AB ，则8OC OA AC =+=，()80C ，，待定系数法求直线CD 的解析式即可．【详解】（1）解：当0x =，4043y =−⨯+，解得4y =，则()0,4B ，当0y =，4043x =−+，解得3x =，则()3,0A ，∴()3,0A ，()0,4B ；（2）解：由折叠的性质可知AB AC =，OBA ECA ∠=∠，∵OBA ECA ∠=∠，OAB EAC ∠=∠，AB AC =，∴()AAS ABO ACE ≌， ∴1134622ACE ABO S S OA OB ==⨯=⨯⨯=，∴三角形ACE 的面积为6；（3）解：由勾股定理得，5AB ==，由（2）可知5AC AB ==，8OC OA AC =+=，∴()80C ，，设直线CD 的解析式为y kx b =+，将()0,6D −，()80C ，，代入y kx b =+得，680b k b =−⎧⎨+=⎩，解得346k b ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，∴直线CD 的解析式为364y x =−． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象坐标轴的交点．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22．（本题8分）（2023春·吉林长春·八年级统考期末）将边长为2的正方形纸片ABCD 按如下操作：【操作一】如图①，将正方形纸片ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点D 与点C 重合，再将正方形纸片ABCD 展开，得到折痕EF ．则点B 、点F 之间的距离为_____________．【操作二】如图②，G 为正方形ABCD 边BC 上一点，连接AG ，将图①的正方形纸片沿AG 翻折，使点B 的对称点H 落在折痕EF 上．连接BH ．（1）求证：ABH 是等边三角形．（2）求四边形CFGH 的周长．（1）证明见解析；（2）5【分析】操作一：由题知，4BC =，122CF DF CD ===，利用勾股定理可得BF =操作二：（1）由翻折得EF 是AB 的垂直平分线，故BH AH =，又AB AH =，即AB BH AH ==，即得ABH 是等边三角形；（2）由ABH 是等边三角形，可得2AH AB ==，1AE =．HE ==可得2FH EF HE =−=即可得出四边形ABGH 的周长．【详解】解：操作一：如图，连接BF ，由题知2BC CD ==，由翻折，知112CF DF CD ===，由勾股定理，得BF操作二：（1）由翻折知EF 是AB 的垂直平分线，BH AH ∴=，又AB AH =，AB BH AH ∴==，ABH ∴是等边三角形；（2）∵ABH 是等边三角形．∴2AH AB ==，1AE =．∴HE =∴2FH EF HE =−=∴四边形CFHG 的周长CF HF HG CG CF HF CB +++=++122=+5=【点睛】本题主要考查四边形的综合题，涉及勾股定理，等边三角形的判定和性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质与勾股定理的应用是解题的关键． (1)试判断重叠部分BED 的形状，并证明你的结论；(2)若BE 平分ABD ∠，12BC =，求BED 的面积．【答案】(1)BED 是等腰三角形，证明见解析(2)BED 的面积【分析】（1）根据折叠性质得出EBD DBC ∠=∠，进而得出EDB EBD ∠=∠，可得EB ED =，根据等角对等边即可得证；（2）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得出DE ，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）BED 是等腰三角形，证明：四边形ABCD 是长方形，AD BC ∴∥，EDB DBC ∴∠=∠，由折叠可知：EBD DBC ∠=∠，EDB EBD ∴∠=∠，EB ED ∴=，BED ∴是等腰三角形；（2）四边形ABCD 是长方形，AB DC ∴=，12AD BC ==，90A ABC C ∠=∠=∠=︒， BE 平分ABD ∠，ABE EBD ∴∠=∠，30ABE EBD DBC ∴∠=∠=∠=︒，2,BC CD BC ∴==，DC BC ∴==AB ∴=EB ED =，12AE AD DE DE ∴=−=−，在Rt ABE △中，根据勾股定理，得222AE AB BE +=，222(12)DE DE ∴−+=，解得8DE =，BED ∴的面积11822DE AB =⨯⋅=⨯⨯=【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理与折叠的性质是解题的关键． 24．（本题8分）（2023春·山西阳泉·八年级统考期末）综合与实践问题情境：在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片ABCD 中，E 为CD 边上任意一点，将ADE V 沿AE 折叠，点D 的对应点为D ¢．分析探究：（1）如图1，当点D ¢恰好落在AB 边上时，四边形D BCE '的形状为 ．问题解决：（2）如图2，当E ，F 为CD 边的三等分点时，连接FD '并延长，交AB 边于点G ．试判断线段AG 与BG 的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当60ABC ∠=︒，45DAE =︒∠时，连接DD '并延长，交BC 边于点H ．若ABCD Y 的面积为24，4=AD ，请直接写出线段D H '的长．【答案】（1）平行四边形；（2）2BG AG =，理由见解析；（3）D H '=【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得ABCD ，AD DE AD '==，可得四边形ADED '是菱形，可知DE AD ='，继而可知BD CE '=，即可求解；（2）利用折叠的性质可得AED AED '∠=∠，ED ED ¢=，结合三等分点可知ED ED EF '==，进而可得ED F EFD ''∠=∠，利用三角形外角性质可得AED ED F ''∠=∠，进而可知AE FG ∥，可得四边形AEFG 是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得AG 与BG 的数量关系；（3）由折叠可知：45DAE D AE '∠=∠=︒，AD AD ='，易知DAD '△为等腰直角三角形，延长AD '交BC 于M ，可知45MD H AD D ''∠=∠=︒，由平行四边形的性质可得，45BHM ADH MD H '∠=∠=︒=∠，AM AD ⊥，进而可知MD MH '=由ABCD Y 的面积为24，4=AD ，得24AD AM ⋅=，求得6AM =，可得2MD AM AD ''=−=，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ，AB CD =则D AE AED '∠=∠由折叠可知：AD AD ='，DAE D AE '∠=∠，∴DAE AED ∠=∠，∴AD DE AD '==，∴四边形ADED '是平行四边形，又∵AD AD ='，∴四边形ADED '是菱形，∴DE AD ='，∴BD CE '=，∴四边形D BCE '是平行四边形，故答案为：平行四边形；（2）2BG AG =，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ，AB CD =，又∵E ，F 为CD 边的三等分点， ∴13DE EF CF DC ===，由折叠可知：ED ED ¢=，AED AED '∠=∠，则ED ED EF '==，∴ED F EFD ''∠=∠，由三角形外角可知：DED ED F EFD AED AED ''''∠=∠+∠=∠+∠，∴AED ED F ''∠=∠，∴AE FG ∥，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴EF AG =， ∵13EF DC =，AB CD =， ∴13AG AB =，则23BG AB =，∴2BG AG =；（3）由折叠可知：45DAE D AE '∠=∠=︒，AD AD ='，∴90DAD '∠=︒，则DAD '△为等腰直角三角形，∴45ADH AD D '∠=∠=︒，延长AD '交BC 于M ，则45MD H AD D ''∠=∠=︒∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴45DHM ADH MD H ∠=∠=∠'︒=，90AMH DAD '∠=∠=︒，即AM AD ⊥，∴MD MH '=∵ABCD Y 的面积为24，4=AD ，即：24AD AM ⋅=，∴6AM =，则2MD AM AD AM AD ''=−=−=，∴D H '【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 轴的负半轴上，若将DAB 沿直线(1)求线段AB 的长(2)求直线CD 的函数表达式；(3)点P 在直线CD 上，使得2PAC OAB SS =，求点【答案】(1)5AB =(2)364y x =− (3)7224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或824,55⎛⎫− ⎪⎝⎭【分析】（1）先根据点,A B 的坐标可得3,4OA OB ==，再利用勾股定理可得5AB =；（2）设点D 的坐标为()0,D m ，则4,BD m OD m =−=−，先根据折叠的性质可得4CD BD m ==−，再在Rt COD 中，利用勾股定理可得6m =−，从而可得()0,6D −，然后利用待定系数法即可得；（3）设点P 的坐标为3,64P n n ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据2PAC OAB S S =建立方程，解方程可得n 的值，由此即可得出答案．【详解】（1）解：()3,0A ，()0,4B ， 3,4OA OB ∴==， x 轴y ⊥轴，5AB ∴=．（2）解：设点D 的坐标为()0,D m ，则4,BD m OD m =−=−，由折叠的性质得：4CD BD m ==−，5AC AB ==，8OC OA AC ∴=+=，∴点C 的坐标为()8,0，在Rt COD 中，222OD OC CD +=，即()()22284m m −+=−，解得：6m =−，()0,6D ∴−，设直线CD 的函数表达式为y kx b =+，将点()()8,0,0,6C D −代入得：806k b b +=⎧⎨=−⎩，解得346k b ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，则直线CD 的函数表达式为364y x =−．（3）解：由题意，设点P 的坐标为3,64P n n ⎛⎫− ⎪⎝⎭， 3,4OA OB ==，162OAB S OA OB ∴=⋅=，2PAC OAB S S =，61562342n −∴⨯=⨯， 解得725n =或85n =， 当725n =时，732364424655n −=−=⨯，即此时7224,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当85n =时，83246534564n =−=−−⨯，即此时824,55P ⎛⎫− ⎪⎝⎭， 综上，点P 的坐标为7224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或824,55⎛⎫− ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了勾股定理、折叠的性质、求一次函数的解析式、一次函数的几何应用，熟练掌握折叠的性质和待定系数法是解题关键． 26．（本题10分）（2023春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图1，四边形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，8AD =，6BC =，点M 从点D 出发，以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，同时，点N 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点N 作NP AD ⊥于点P ，连接AC 交NP 于点Q ，连接MQ ．设运动时间为t 秒．(1)AM =______，AP =______．（用含t 的代数式表示）(2)当四边形ANCP 为平行四边形时，求t 的值；(3)如图2，将AQM 沿AD 翻折，得AKM ，是否存在某时刻t ，使四边形AQMK 为为菱形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)82t −，2t +(2)2t =(3)存在，1t =【分析】（1）由2DM t =，根据AM AD DM =−即可求出82AM t =−；先证明四边形CNPD 为矩形，得出6DP CN t ==−，则2AP AD DP t =−=+；（2）根据四边形ANCP 为平行四边形时，可得68(6)t t −=−−，解方程即可；（3）由NP AD ⊥，QP PK =，可得当PM PA =时有四边形AQMK 为菱形，列出方程628()6t t t −−=−−，求解即可．【详解】（1）解：如图1．2DM t =，82AM AD DM t ∴=−=−．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，NP AD ⊥于点P ，∴四边形CNPD 为矩形，6DP CN BC BN t ∴==−=−，8(6)2AP AD DP t t ∴=−=−−=+；故答案为：82t −，2t +．（2）四边形ANCP 为平行四边形时，CN AP =，68(6)t t ∴−=−−，解得：2t =；（3）存在时刻1t =，使四边形AQMK 为菱形．理由如下：NP AD ⊥，QP PK =，∴当PM PA =时有四边形AQMK 为菱形，628(6)t t t ∴−−=−−，解得1t =．【点睛】本题主要考查了四边形综合题，其中涉及到直角梯形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．(1)BQ = ______ (含t 的代数式表示)；(2)如图2，连接AD ，PF ，PQ ，当AD PQ ∥时，求PQF △的面积；(3)如图3，连接PF ，PQ ，D 点关于直线PF 的对称点为D '点，若'D 落在PQB △的内部则t 的取值范围为______.【答案】(1)4(02)t t −<≤(2)PQFS = (3)4453t <<【分析】（1）根据几何动点的速度和时间可得结论；（2）根据四边形BPDQ 是平行四边形，证明四边形APQD 是平行四边形，可得1t =，再证明EFD ≌△CFQ ，最后利用三角形的面积公式可解答；（3）先证明DF FQ =，再计算两个边界点时点t 的值；①如图3，点D '与Q 重合，②如图4，D '在斜边AB 上，由此可得结论.【详解】（1）解：在Rt ABC △中，90830C AB A ∠∠=︒==︒，，，142BC AB AC ∴===，由题意，CQ t =，()402BQ t t ∴=−<≤. 故答案为：()402t t −<≤； （2）如图2中，四边形BPDQ 是平行四边形，∴DQ AB ∥，BP DQ BQ PD ==，，。
人教版八年级上册数学 第13章 轴对称 培优训练 (含答案)
人教版八年级数学第13章轴对称培优训练一、选择题1.如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F等于( )A．80°B．65°C．45°D．35°2. 如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )A．CD垂直平分ABB．AB垂直平分CDC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB3.如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上的点P处建一个服务中心，使P A＋PB最短．下面四种选址方案符合要求的是( )4.如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB等于( )A．30°B．45°C．60°D．90°5. 若点A(2m，2－m)和点B(3＋n，n)关于y轴对称，则m，n的值分别为( )A．1，－1 B.5 3，13C．－5，7 D．－13，－736. (2019•梧州)如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，则的周长是A．12 B．13C．14 D．157.将平面直角坐标系内某个图形的各个点的横坐标都乘－1，纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是( )A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．图形向左平移D．图形向下平移8. 如图，点P在直线l外，以点P为圆心，大于点P到直线l的距离为半径画弧，交直线l于点A，B;保持半径不变，分别以点A，B为圆心画弧，两弧相交于点Q，则PQ⊥l.上述尺规作图的依据是()A.一条直线与两平行线中的一条垂直，必然与另一条直线也垂直B.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，两点确定一条直线C.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线D.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上二、填空题9.如图，在等边三角形ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，已知AB＝8，则BF的长为________．10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是________．11.如图，DE是△ABC的边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝________．12.如图所示，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝________.13.如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长为________．14.如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形被涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来被涂黑的小正三角形组成的新图案恰有3条对称轴，则n的最小值是________.15. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F.若△AEF的周长为10 cm，则BC的长为cm.16.如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP＋PF的值最小时，BF＝7，则AC的长为________．三、解答题17. 如图所示，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，1)，C(-2，-1).(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;(2)写出点A1，B1，C1的坐标.18.如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，A D与BE相交于点F.(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．19.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若△ABC与△EBC的周长分别是26 cm和16 cm，求AC的长．20.如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F.探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由．21. 如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAE∶∠EAB=4∶1. 求∠B的度数.人教版八年级数学第13章轴对称培优训练-答案一、选择题1. 【答案】D2. 【答案】B3. 【答案】A4. 【答案】C5. 【答案】C6. 【答案】B7. 【答案】B8. 【答案】C二、填空题9. 【答案】510. 【答案】311. 【答案】512. 【答案】213. 【答案】1514. 【答案】315. 【答案】1016. 【答案】10三、解答题17. 【答案】解:(1)△A1B1C1如图所示.(2)A1(-1，2)，B1(-3，1)，C1(2，-1).18. 【答案】解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC ＝∠C ＝60°，AB ＝CA. 在△ABE 和△CAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CA ，∠BAE ＝∠C ，AE ＝CD ，∴△ABE ≌△CAD.(2)∵△ABE ≌△CAD ，∴∠ABE ＝∠CAD. ∵∠BFD ＝∠ABE ＋∠BAD ，∴∠BFD ＝∠CAD ＋∠BAD ＝∠BAC ＝60°.19. 【答案】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE. ∵△EBC 的周长是16 cm ， ∴BC ＋BE ＋EC ＝16 cm ，即BC ＋AE ＋EC ＝AC ＋BC ＝16 cm. ∵△ABC 的周长是26 cm ， ∴AB ＋AC ＋BC ＝26 cm ， ∴AC ＝AB ＝10 cm.20. 【答案】解：OE ＝OF. 理由：∵MN ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE ，∠OFC ＝∠DCF. ∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，word版初中数学∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF.∴OE＝OC，OC＝OF.∴OE＝OF.21. 【答案】解:设∠B=x°.∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠EAB=∠B=x°.∵∠CAE∶∠EAB=4∶1，∴∠CAE=4∠EAB=(4x)°，∴∠CAB=∠CAE+∠EAB=(5x)°.∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，即(5x)°+x°=90°，解得x=15，∴∠B=15°.11 / 11。
《易错题》初中八年级数学上册第十三章《轴对称》测试题(培优专题)
一、选择题1．如图，在△ABD中，分别以点A和点D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BD、AD于点C、E．若AE=5cm，△ABC的周长=15cm，则△ABD的周长是（）A．35cm B．30cm C．25cm D．20cm C解析：C【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【详解】解：∵MN垂直平分线段AD，∴AC=DC，AE+ED=AD=10cm，∵AB+BC+AC=15cm，∴AB+BC+DC=15cm，∴△ABD的周长=AB+BC+DC+AD=15+10=25cm，故选：C．【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．2．若实数a，b满足a2－4a＋4+(b－4)2=0，且a，b恰好是等腰△ABC两条边的长，则△ABC周长为（）A．8 B．8或10 C．12 D．10D解析：D【分析】由已知等式，结合非负数的性质求a、b的值，再根据等腰三角形的性质，分类求解即可．【详解】解：∵a2－4a＋4+(b－4)2=0，∴(a－2)2+(b－4)2=0，∴a−2＝0，b−4＝0，解得：a＝2，b＝4，当a＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三角形三边关系定理；当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三角形三边关系定理，周长为：2＋4＋4＝10．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求a ，b 的值，再根据a 或b 作为腰，分类求解．3．如图，ABC 中，45ABC ︒∠=，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，DH BC ⊥于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD CD =；②AE BG =；③2CE BF =；④AD CF BD +=．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个B解析：B【分析】 根据∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 可得出BD ＝CD ，利用ASA 判定Rt △DFB ≌Rt △DAC ，从而得出DF ＝AD ，BF ＝AC ．则CD ＝CF +AD ，即AD +CF ＝BD ；再利用ASA 判定Rt △BEA ≌Rt △BEC ，得出CE ＝AE ＝12AC ，又因为BF ＝AC 所以CE ＝12AC ＝12BF ，连接CG ．因为△BCD 是等腰直角三角形，即BD ＝CD ．又因为DH ⊥BC ，那么DH 垂直平分BC ．即BG ＝CG ． 在Rt △CEG 中，CG 是斜边，CE 是直角边，所以CE ＜CG ．即AE ＜BG ．【详解】解：∵CD ⊥AB ，∠ABC ＝45°，∴△BCD 是等腰直角三角形．∴BD ＝CD ．故①正确；连接CG ．∵△BCD 是等腰直角三角形，∴BD ＝CD又DH ⊥BC ，∴DH 垂直平分BC ．∴BG ＝CG在Rt △CEG 中，∵CG 是斜边，CE 是直角边，∴CE ＜CG ．∵CE ＝AE ，∴AE＜BG．故②错误．在Rt△BEA和Rt△BEC中∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC．∴CE＝AE＝12AC．在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，∴△DFB≌△DAC．∴BF＝AC，∴CE＝12AC＝12BF，∴2CE＝BF；故③正确；由③可得△DFB≌△DAC．∴BF＝AC；DF＝AD．∵CD＝CF+DF，∴AD+CF＝BD；故④正确；故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．4．下列命题正确的是（）A．全等三角形的对应边相等B．面积相等的两个三角形全等C．两个全等三角形一定成轴对称D．所有等腰三角形都只有一条对称轴A解析：A【分析】分别利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质判断得出即可．【详解】解：A、全等三角形的对应边相等，是真命题；B、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；C、两个全等三角形不一定成轴对称，原命题是假命题；D、所有等腰三角形不一定都只有一条对称轴，如等边三角形有三条对称轴，原命题是假命题；故选：A．【点睛】本题主要考查了命题与定理，熟练掌握几何性质与判定是解题的关键．5．下列命题中，是假命题的是（）A．能够完全重合的两个图形全等B．两边和一角对应相等的两个三角形全等C．三个角都相等的三角形是等边三角形D．等腰三角形的两底角相等B解析：B【分析】根据全等三角形的定义去判断A，全等三角形性质去判断B，等边三角形和等腰三角形性质判断C、D，依次分析解答即可．【详解】解：A.由全等三角形的定义得到：能够完全重合的两个图形全等，此命题是真命题；B.两边和一角对应相等且该角是两边的夹角的两个三角形全等，此命题是假命题；C. 三个角都相等的三角形是等边三角形，此命题是真命题；D. 等腰三角形的两底角相等，此命题是真命题；故选B．【点睛】此题主要考查了命题的真假，关键是掌握相关定义和性质．注意SAS时，一角必须是两边的夹角．a-=，则ABC的周长为6．若a，b为等腰ABC的两边，且满足30（）A．11 B．13 C．11或13 D．9或15C解析：C【分析】根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据b是腰长和底边长两种情况讨论求解．【详解】解：根据题意得a-3=0，b-5=0，解得a=3，b=5，（1）若3是腰长，则三角形的三边长为：3、3、5，能组成三角形，周长为：3+3+5=11；（2）若3是底边长，则三角形的三边长为：3、5、5，能组成三角形，周长为3+5+5=13．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形作出判断．7．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，连接ED ，EC 延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①DAE CBE ∠=∠；②CE DE ⊥；③BD AF =；④AED 为等腰三角形；⑤BDE ACE S S =△△，其中正确的有（ ）A ．①③⑤B ．①②④C ．①③④D ．①②③⑤D解析：D【分析】 ①由等腰直角三角形的性质可得出结论；②证明△ADE ≌△BCE ，可得∠AEC=∠DEB ，即可求得∠AED=∠BEG ，即可解题； ③证明△AEF ≌△BED 即可；④AE≠DE ，故④不正确；⑤易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE=EF ，S △AEF =S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE =S △ACE ，所以S △BDE =S △ACE ．【详解】解：①∵AD 为△ABC 的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE ，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE ，故①正确②在△DAE 和△CBE 中，AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；∴∠EDA=∠ECB ，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE ⊥DE ；故②正确；③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，∴∠BDE=∠AFE ，∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF ，在△AEF 和△BED 中，BDE AFE BED AEF AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴BD=AF ；故③正确；④∵AE≠DE ，∴△ADE 不是等腰三角形，⑤∵AD=BC ，BD=AF ，∴CD=DF ，∵AD ⊥BC ，∴△FDC 是等腰直角三角形，∵DE ⊥CE ，∴EF=CE ，∴S △AEF =S △ACE ，∵△AEF ≌△BED ，∴S △AEF =S △BED ，∴S △BDE =S △ACE ．故⑤正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．8．若a b c 、、是ABC 的边，且222()()()0,a b a c b c -+-+-=则ABC 是( )． A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形D解析：D【分析】由偶次方的非负性质得出a-b=0，a-c=0，b-c=0，得出a=b=c ，即可得出结论．【详解】解：∵222()()()0,a b a c b c -+-+-=， ∴a-b=0，a-c=0，b-c=0，∴a=b ，a=c ，b=c ，∴a=b=c，∴这个三角形是等边三角形；故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的判定、偶次方的非负性质；熟练掌握等边三角形的判定方法，由偶次方的非负性质得出a=b=c是解题的关键．9．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD 相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③CE＝12BF；④AE＝BG．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④C解析：C【分析】根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=12AC，又因为BF=AC所以CE=12AC=12BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．【详解】解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD＝CD．故①正确；在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，∴△DFB≌△DAC．∴BF＝AC；DF＝AD．∵CD＝CF+DF，∴AD+CF＝BD；故②正确；在Rt△BEA和Rt△BEC中∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC．∴CE＝AE＝12AC．又由（2），知BF＝AC，∴CE＝12AC＝12BF；故③正确；连接CG．∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE＜CG．∵CE＝AE，∴AE＜BG．故④错误．∴正确的选项有①②③；故选：C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．10．在直角坐标系中，已知A（2，－2），在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个C解析：C【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，①以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；②如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，所以符合条件的点一共4个．【详解】分二种情况进行讨论：①当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心OA为半径的圆弧与y轴有一个交点；②当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，∴符合条件的点一共4个，故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题关键是根据两腰相等，分四种情况进行讨论．二、填空题11．如图，△ABC≌△ADE，点D落在BC上，且∠BAD＝70°，则∠EDC＝_____°．70【分析】根据全等三角形的性质可得对应角和对应边相等再根据等腰三角形的性质即可解答【详解】解：∵△ABC≌△ADE∴AB＝AD∠B＝∠ADE∴∠ADB＝∠B∵∠BAD＝70°∴∠B＝∠ADB=（1解析：70【分析】根据全等三角形的性质可得对应角和对应边相等，再根据等腰三角形的性质，即可解答．【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠B＝∠ADE，∴∠ADB＝∠B，∵∠BAD＝70°，∴∠B＝∠ADB =（180°-70°）÷2=55°，∴∠EDC＝180°-2×55°=70°．故答案是：70．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质以及平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．∠=︒，12．如图，点D、E是ABC的边BC上的点，且AED n∠∠∠=，若点D在边AC的垂直平分线上，点E在边AB的垂直CAD DAE BAE::1:3:2平分线上，则n=________．80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ∠BEA=∠B 再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x 再根据三角形外角的性质可得∠AED 【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上点 解析：80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ，∠BEA=∠B ，再根据比例关系设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，根据三角形内角和定理可求得x ，再根据三角形外角的性质可得∠AED ．【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，∴AD=CD ，AE=BE ，∴∠DAC=∠C ，∠BAE=∠B ，∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，∴,2C x B x ∠=∠=，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴322180x x x x x ++++=︒，解得20x =︒，∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒，即n=80，故答案为：80．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．13．如图：已知在ABC 中，90ACB ︒∠=，36BAC ︒∠=，在直线AC 上找点P ，使ABP △是等腰三角形，则APB ∠的度数为________．72°或18°或108°或36°【分析】分四种情况：①AB ＝BP1时②当AB ＝AP3时③当AB ＝AP2时④当AP4＝BP4时分别讨论根据等腰三角形的性质求出答案即可【详解】∵在Rt △ABC 中∠C ＝9 解析：72°或18°或108°或36°【分析】分四种情况：①AB ＝BP 1时，②当AB ＝AP 3时，③当AB ＝AP 2时，④当AP 4＝BP 4时，分别讨论，根据等腰三角形的性质求出答案即可．【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，∴当AB＝BP1时，∠BAP1＝∠BP1A＝36°，当AB＝AP3时，∠ABP3＝∠AP3B＝12∠BAC＝12×36°＝18°，当AB＝AP4时，∠ABP4＝∠AP4B＝12×（180°−36°）＝72°，当AP2＝BP2时，∠BAP2＝∠ABP2，∴∠AP2B＝180°−36°×2＝108°，∴∠APB的度数为：18°、36°、72°、108°．故答案为：72°或18°或108°或36°【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题关键．14．如图在钝角△ABC中，已知∠BAC=135°，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，连接AD、AE，则∠DAE=_____90°【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论【详解】解：连接DAEA如图∵∠BAC=135°∴∠B+∠C=180°-135°=45°∵DF是AB的垂直平分线EG是AC的垂直平解析：90°【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．【详解】解：连接DA、EA，如图，∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=180°-135°=45°，∵DF 是AB 的垂直平分线，EG 是AC 的垂直平分线，∴DA=DB ，EA=EC ，∴∠B=∠DAB ，∠C=∠EAC ，∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°，∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°．故答案为：90°．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质． 15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,1A ，在x 轴上确定一点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的等腰三角形的顶角度数为______．90°45°135°【分析】此题应该分情况讨论以OA 为腰或底分别讨论当A 是顶角顶点时P 是以A 为圆心以OA 为半径的圆与x 轴的交点共有1个当O 是顶角顶点时P 是以O 为圆心以OA 为半径的圆与x 轴的交点共有2解析：90°，45°，135°【分析】此题应该分情况讨论．以OA 为腰或底分别讨论．当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有1个，当O 是顶角顶点时，P 是以O 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有2个，若OA 是底边时，P 是OA 的中垂线与x 轴的交点，有1个，进而求出对应等腰三角形的顶角度数，即可．【详解】（1）若AO 作为腰时，有两种情况，①当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，此时，顶角度数为：90°；②当O 是顶角顶点时，P 是以O 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，此时，顶角度数为：45°或135°；（2）若OA 是底边时，P 是OA 的中垂线与x 轴的交点，此时，顶角度数为：90°． 综上所述，符合条件的等腰三角形的顶角度数为：90°，45°，135°，故答案是：90°，45°，135°．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 16．如图，∠MON=30°，点123A A A 、、…在射线ON 上，点123B B B 、、…在射线OM上，△112A B A 、△223A B A 、△334A B A …均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为1a ，第2个等边三角形的边长记为2a ，以此类推．若11OA ，则2021a =____．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3以及A2B2=2B1A2得出A3B3=4B1A2=4A4B4=8B1A2=8A5B5=16B1A2即：a1=1a2=2a3解析：20202【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及A 2B 2=2B 1A 2，得出A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2，即：a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8，，进而得出答案．【详解】∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=1，∴A 2B 1=1，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A 2B 2=2B 1A 2=2，A 3B 3=2B 2A 3，∴A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2=16，即：a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8，， 以此类推：a n =2n-1．∴2021a =20202，故答案是：20202．．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题关键．17．如图，在ABC 中，AB AC =，36ABC ∠=︒，DE 是线段AC 的垂直平分线，连接AE ，若BE a =，EC b =，则用含有a ，b 的代数式表示ABC 的周长是______．【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC ＝108°由线段垂直平分线的性质可得AE=CE ∠EAD=∠ECD=36°进而根据角的和差可得∠BAE ＝∠BEA 进而可得BA ＝BE ＝AC 然后问题可求解【详解】∵AB解析：3a b +【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC ＝108°，由线段垂直平分线的性质可得AE=CE ，∠EAD=∠ECD=36°，进而根据角的和差可得∠BAE ＝∠BEA ，进而可得BA ＝BE ＝AC 然后问题可求解．【详解】∵AB=AC ，∠ABC=36°，∴∠C=∠ABC=36°，∠BAC ＝108°，∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AE=CE ，∴∠EAD=∠ECD=36°，∴∠AEC=108°=∠BAC ，∴∠BAE ＝∠BAC －∠CAE ＝108°－36°＝72°∵∠BEA ＝180°－∠AEC ＝180°－108°＝72°即∠BAE ＝∠BEA∴BA ＝BE∵BE a =，EC b =，∴BA ＝BE ＝AC ＝a∴△ABC 的周长＝AB ＋BE ＋EC ＋AC ＝3a ＋b故答案为：3a+b ．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．18．如图，E 是腰长为2的等腰直角ABC 斜边上一点，且BE BC P =，为CE 上任意一点，PQ BC ⊥于点Q PR BE ⊥，于点R ，则PQ PR +的值是___________．【分析】连接BP 过点E 作EF ⊥BC 根据可得PQ+PR=EF 结合等腰直角三角形三边长的关系即可求解【详解】连接BP 过点E 作EF ⊥BC ∵∴=BC×PQ+BE×PR=BC×(PQ+PR)=BC×EF ∴PQ 解析：2【分析】连接BP ，过点E 作EF ⊥BC ，根据BCE BPE BPC SS S =+，BE BC =，可得PQ+PR=EF ，结合等腰直角三角形三边长的关系，即可求解．【详解】连接BP ，过点E 作EF ⊥BC ，∵BE BC =，∴BCE BPE BPC SS S =+ =12BC×PQ+12BE×PR =12BC×(PQ+PR) =12BC×EF ， ∴PQ+PR=EF ，∵ABC 是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴EFB △是等腰直角三角形，且BE=BC=2， ∴EF=BE÷2=2÷2=2，∴PQ PR +=2，故答案是：2．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握“等积法”是解题的关键．19．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数为______________70°或110°；【分析】分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况【详解】解：①当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部如图1根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内解析：70°或110° ；【分析】分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．【详解】解：①当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部， 如图1，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；②当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，如图2，根据直角三角形两锐角互余可求顶角是90°-20°=70°．故答案为70°或110°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．其中考查了直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．20．如图，在22的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的ABC为格点三角形，在图中最多能画出______个不同的格点三角形与ABC成轴对称．5【分析】画出所有与成轴对称的三角形【详解】解：如图所示：和对称和对称和对称和对称和对称故答案是：5【点睛】本题考查轴对称图形解题的关键是掌握画轴对称图形的方法解析：5【分析】画出所有与ABC成轴对称的三角形．【详解】解：如图所示：ABC和ADC对称，ABC和EBD△对称，ABC 和DEF 对称，ABC 和DCB 对称，ABC 和CDA 对称，故答案是：5．【点睛】本题考查轴对称图形，解题的关键是掌握画轴对称图形的方法．三、解答题21．如图，点E 在ABC 的边AB 上，90ABC EAD ∠=∠=︒，30BAC ADE ∠=∠=︒，DE 的延长线交AC 于点G ，交BC 延长线于点F ．AB=AD ，BH ⊥DF ，垂足为H ．（1）求HAE ∠的度数；（2）求证：DHFB FH =+． 解析：（1）=15∠HAE ；（2）见解析【分析】（1）连接BG ，先根据等腰三角形的判定得出AG=AD ，再根据SSS 得出△AGH ≌△ABH ，从而得出=∠∠HAE HAG ，继而得出HAE ∠的度数；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ，根据垂直平分线的性质得出BF=BM ，再根据等腰三角形的判定得出DM=BM ，从而得出结论【详解】解：（1）连接BG∵90EAD ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴∠DAG=120°，∵30ADE ∠=︒，∴30∠=∠=︒ADE AGD ，∴AG=AD ，∵AB=AD ，∴AG=AB ，∵30BAC ∠=︒，∴75∠=∠=︒AGB ABG ，∵BH ⊥DF ，90EAD ∠=︒，∴=90∠∠=︒BHE EAD ，∵=∠∠BEH AED ，∴30∠=∠=︒ADE EBH ，∴45∠=∠-∠=︒HBG ABG EBH ，∵90FHB ∠=︒，∴∠=∠HBG HGB ，∴GH=BH ，∵AG=AB ，AH=AH ，∴△AGH ≌△ABH ，∴=∠∠HAE HAG ，∵30BAC ∠=︒，∴=15∠HAE ；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ；∵90ABC EAD ∠=∠=︒，∴AD//BF ，∴30∠=∠=︒F ADE ，∵BH ⊥DF ，HM=HF ，∴BF=BM∴30∠=∠=︒F BMF∵AB=AD ，90EAD ∠=︒∴45ADB ∠=︒，∵30ADE ∠=︒∴15∠=︒MDB ，∵30∠=︒=∠+∠BMF MBD MDB ，∴==15∠∠MBD MDB ，∴BM=DM=BF ，∵DH=DM+HM ，∴DH=FH+BF【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．已知在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆如图所示，()()()5,2,5,2,1,4A B C ----．（1）作出ABC ∆关于y 轴对称的图形''A B C '∆；（2）求出ABC ∆的面积；（3）在边BC 上找一点,D 连结AD ，使得BAD ABD ∠=∠．（请仅用无刻度直尺按要求画图）解析：（1）见解析 （2）8 （3）见解析【分析】（1）分别作出A ，B ，C 关于y 轴的对称点连接即可；（2）根据三角形的面积，确定三角形的底和高计算即可；（3）根据已知条件可知x 轴所在的直线为AB 线段的垂直平分线，判断即可；【详解】解:（1）∵()5,2A -，()5,2B --，()1,4C -，∴关于y 轴对称的点为()5,2A '，()5,2B '-，()1,4C '，如图，（2）过点C 作CE AB ⊥，由题可知：()154CE =---=，()224AB =--=，∴1144822=⨯⨯=⨯⨯=S AB CE ； （3）根据已知条件可得到x 轴所在的直线为AB 线段的垂直平分线，即可得到点D 的位置，如图所示．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系的知识点，结合等腰三角形的性质判断是解题的关键． 23．如图1，在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 的中点，连接AD ，点E 在AD 上．（1）连接BE ，CE ，求证：BE CE =；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF AC ⊥，45BAC ∠=︒，原题设其他条件不变．求证：AB BF EF =+．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得出∠BAE=∠CAE ，再根据SAS 证明△ABE ≌△ACE 即可； （2）由BF ⊥AC ，∠BAC=45°就可以求出AF=BF ，在由条件证明△AEF ≌△BCF 就可以得出EF=CF ，结合已知AB=AC 即可得出结论．【详解】证明：（1）∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE=∠CAE ，在△ABE 和△ACE 中，AB AC BAE CAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ACE （SAS ），∴BE=CE ；（2）∵BF ⊥AF ，∴∠AFB=∠CFB=90°．∵∠BAC=45°，∴∠ABF=45°，∴∠ABF=∠BAC ，∴AF=BF ．∵AB=AC ，点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF+∠C=90°，∵BF ⊥AC ，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBF ，在△AEF 和△BCF 中，EAF CBF AF BFAFE BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEF ≌△BCF （ASA ）∴EF=CF ．∴AB=AC=AF+FC=BF+EF【点睛】本题考查了全等三角形的判定性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．24．如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AE AC =，AF CB ⊥，垂足为F ．（1）求证：ABC ADE △≌△；（2）求FAE ∠的度数．解析：（1）见解析；（2）135FAE ∠=︒．【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC ≌△ADE 的条件；（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE 的度数．【详解】证明：（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE ，∴∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF ⊥BC ，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出全等所需要的条件．25．如图，在ABC 中，AB AC =，CD AB ⊥，BE AC ⊥，垂足为D 、E ，BE 、CD 相交于点O ．（1）求证：DBC ECB △△≌；（2）求证：OD OE =．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由“AAS”即可证明△BDC ≌△CEB ；（2）由△BDC ≌△CEB ，推出BD=CE ，∠BCD=∠CBE ，得到OB=OC ，即可证明结论．【详解】（1）∵CD AB ⊥，BE AC ⊥，∴∠BDC=∠BEC=90︒，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，在△BDC 和△CEB 中，90BDC BEC ABC ACB BC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDC ≌△CEB （AAS ）；（2）∵△BDC ≌△CEB ，∴CD=BE ，∠BCD=∠CBE ，∴OB=OC ，∴OD=OE ．【点睛】本题考查了等腰三角形和全等三角形的判定和性质，关键是利用AAS 证明△BDC ≌△CEB ．26．已知ABC 是等边三角形，点D 是AC 的中点，点P 在射线BC 上，点Q 在线段AB 上，120PDQ ∠=︒．（1）如图1，若点Q 与点B 重合，求证：DB DP =；（2）如图2，若点P 在线段BC 上，8AC =，求AQ PC +的值．解析：（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由等边三角形的性质证明30DBC ∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解30DPB ∠=︒，从而可得结论； （2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，先证明ADE 为等边三角形，再证明QDE PDC ≌，可得QE PC =， 从而可得答案．【详解】证明：（1）∵ABC 为等边三角形，∴,60BA BC ABC =∠=︒∵D 为AC 的中点，∴DB 平分ABC ∠，∴30DBC ∠=︒． ∵120PDB ∠=︒，∴1801203030DPB ∠=︒-︒-︒=︒，∴DBC DPB ∠=∠，∴DB DP =．（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ．∵ABC 为等边三角形，8AC =，点D 是AC 的中点，∴4,60AD CD ABC ACB A ==∠=∠=∠=︒．∵//DE BC ，∴60AED B ∠=∠=︒．60ADE C ∠=∠=︒，∴ADE 为等边三角形，120EDC ∠=︒，∴4AD ED AE ===，∴ED CD 4==．∵120QDP EDC ∠=∠=︒，,QDE EDP EDP PDC ∴∠+∠=∠+∠∴QDE PDC ∠=∠．∵,60ED CD AED C =∠=∠=︒，∴QDE PDC ≌，∴EQ PC =，∴4AQ PC AQ QE AE +=+==．【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的性质与判定，三角形的全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．27．在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示，已知点A 、B 的坐标为（-4，3）（3，0）．（1）点C 关于x 对称的点的坐标（ ， ）；（2）在图中作出△ABC 关于y 轴的对称图形△A′B′C′；（3）△ABC 的面积为 ．解析：（1）-2，-5；（2）见解析；（3）10【分析】（1）根据轴对称的性质解答；（2）根据轴对称的性质作图；（3）利用割补法求解．【详解】（1）根据坐标系知点C 坐标为（-2,5），∴点C 关于x 对称的点的坐标（-2，-5），故答案为：-2，-5；（2）如图，△A′B′C′即为所求；（3）1117537225510222ABCS=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故答案为：10．【点睛】此题考查关于坐标轴对称的性质：关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．28．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合．由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB．（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程；（2）如图②，在△ABC中，直线l，m，n分别是边AB，BC，AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点；（请将下面的证明过程补充完整）证明：设直线l，m相交于点O．（3）如图③，在△ABC 中，AB ＝BC ，边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，边BC 的垂直平分线交AC 于点E ，若∠ABC ＝120°，AC ＝15，则DE的长为 ．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）5【分析】（1）证明△PAC ≌△PBC 即可解决问题．（2）如图②中，设直线l 、m 交于点O ，连结AO 、BO 、CO ．利用线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可．（3）连接BD ，BE ，证明△BDE 是等边三角形即可．【详解】证明：（1）如图①中，∵MN ⊥AB ，∴∠PCA ＝∠PCB ＝90°．在△PAC 和△PBC 中，AC BC PCA PCB PC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PAC ≌△PBC （SAS ），∴PA ＝PB ．（2）如图②中，设直线l 、m 交于点O ，连结AO 、BO 、CO ．∵直线l 是边AB 的垂直平分线，∴OA ＝OB ，又∵直线m 是边BC 的垂直平分线，∴OB ＝OC ，∴OA ＝OC ，∴点O在边AC的垂直平分线n上，∴直线l、m、n交于点O．（3）解：如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝15，∴DE＝1AC＝5．3故答案为5．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。
榆中县第一中学八年级数学上册第十三章《轴对称》经典练习题(专题培优)
一、选择题1．已知锐角AOB ∠，如图（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点,C D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接,CP DP ； （3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①//CP OB ；②2CP QC =；③AOP BOP ∠=∠；④CD OP ⊥．其中正确的有（ ）A ．①②③④B ．②③④C ．③④D ．③B解析：B【分析】 由作图易判断射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线，CDP 为等边三角形，由它们的性质逐项判断即可．【详解】由作图（1）（2）可知OC=OD ，CP=DP ，∴射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线．∴即=AOP BOP ∠∠，CD OP ⊥，故③④正确；由作图（2）可知CP=CD=DP ，即CDP 为等边三角形，又∵CD OP ⊥，∴CP=2CQ ，故②正确；若//CP OB ，则=CPO BOP ∠∠，又∵=AOP BOP ∠∠，∴=CPO AOP ∠∠，∴OC=PC ，故只有当OC=PC 时，//CP OB ，故①错误．综上，正确的有②③④．故选：B ．【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．理解作图步骤隐藏的已知信息是解答本题的关键．2．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD =的是（ ）A ．B ．C ．D ． D解析：D【分析】点D 到点A 、点B 的距离相等可知点D 在线段AB 的垂直平分线上，据此可得答案．【详解】解：∵点D 到点A 、点B 的距离AD=BD ，∴点D 在线段AB 的垂直平分线上，故选择：D ．【点睛】本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图． 3．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的一动点，则PA PB +的最小值是（ ）．A ．6B ．8C ．10D ．11B解析：B【分析】 根据题意，设EF 与AC 的交点为点P ，连接BP ，由垂直平分线的性质，则BP=CP ，得到PA PB PA PC AC +=+=，即可得到PA PB +的最小值．【详解】解：根据题意，设EF 与AC 的交点为点P ，连接BP ，如图：∵EF 是BC 的垂直平分线，∴BP=CP ，∴8PA PB PA PC AC +=+==，∴PA PB +的最小值为8；故选：B ．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是正确找出点P 的位置，使得PA PB +有最小值．4．已知123n A A A A 、、中，1A 与2A 关于x 轴对称，2A 与3A 关于y 轴对称，3A 与4A 关于x 轴对称，4A 与5A 关于y 轴对称……，如果1A 在第二象限，那么100A 在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A 解析：A【分析】根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，以及循环的规律就可以得到．【详解】解：A 1与A 2关于x 轴对称，A 2与A 3关于y 轴对称，A 3与A 4关于x 轴对称，A 4与A 5关于y 轴对称，A 1与A 5是同一个点，四次一循环，100÷4=25，A 100与A 4重合，即第一象限，故选：A ．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．5．如图，长方形纸片ABCD （长方形的对边平行且相等，每个角都为直角），将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，下列结论：①AF AE =，②ABE AGF ≌，③AF CE =，④60AEF ∠=︒，其中正确的（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④C解析：C【分析】 根据翻折的性质可得∠AEF ＝∠CEF ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠CEF ，然后求出∠AEF ＝∠AFE ，根据等角对等边可得AE ＝AF ；根据HL 即可得到△ABE ≌AGF ．根据等量代换即可得到AF ＝CE ；根据△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，即可得到∠AEF 不一定为60°．【详解】解：由翻折的性质得，∠AEF ＝∠CEF ，∵矩形ABCD 的对边AD ∥BC ，∴∠AFE ＝∠CEF ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ，故①正确，在Rt △ABE 和Rt △AGF 中，AE AF AB AG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △AGF （HL ），故②正确，∵CE ＝AE ，AE ＝AF ，∴CE ＝AF ，故③正确；∵AE ＝AF ，∴△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，∴∠AEF 不一定为60°，故④错误；故选C ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．如图，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且62EBD ∠=，则AEB ∠的度数是（ ）A ．124B ．122C ．120D ．118B解析：B【分析】 由等边三角形的性质，得到AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°，然后证明△ACE ≌△BCD ，则∠CAE=∠CBD ，由角的关系，求出∠ABE+∠BAE=58°，即可得到答案．【详解】解：如图：∵ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠BCD+∠BCE=60°，∴∠ACE=∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE=∠CBD ，即6062BAE EBC ︒-∠=︒-∠，∵60EBC ABE ∠=︒-∠，∴6062(60)BAE ABE ︒-∠=︒-︒-∠，∴58ABE BAE ∠+∠=︒，∴18058122AEB ∠=︒-︒=︒；故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，以及角的和差关系，解题的关键是掌握所学的知识，正确求出58ABE BAE ∠+∠=︒． 7．如图，ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线DE 分别交AB 、AC 于点E 、D ，若52BAC ∠=︒，则DBC ∠=（ ）．A ．12︒B ．14︒C ．16︒D ．18︒A解析：A【分析】由在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝52°，又由DE 是AB 的垂直平分线，即可求得∠ABD 的度数，继而求得答案．【详解】在ABC 中，AB AC =，52BAC ∠=︒，()11802ABC ACB BAC ∴∠=∠=⨯︒-∠ ()1180522=⨯︒-︒64=︒， DE 为AB 的中垂线，AD BD ∴=，52ABD BAC ∴∠=∠=︒，12DBC ABC ABD ∴∠=∠-∠=︒．故选A ．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．8．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B解析：B【分析】 根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．【详解】第一个图案是轴对称图形，第二个图案不是轴对称图形，第三个图案是轴对称图形，第四个图案不是轴对称图形，综上所述：是轴对称图形的图案有2个，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．9．如图，AEC BED △△≌，点D 在AC 边上，AE 和BD 相交于点O ，若30AED ∠=︒，120∠=︒BEC ，则ADB ∠的度数为（ ）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°A解析：A【分析】 由△AEC ≌△BED 可知：EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度数，从而可求出∠ADB 的度数．【详解】解：∵△AEC ≌△BED ，∴EC=ED ，∠C=∠BDE ，∠BED=∠AEC ，∴∠BEO+∠AED=∠CED+∠AED ，∴∠BEO=∠CED,∵∠AED=30°，∠BEC=120°，∴∠BEO=∠CED=120302︒-︒=45°， 在△EDC 中，∵EC=ED ，∠CED=45°，∴∠C=∠EDC=67.5°，∴∠BDE=∠C=67.5°，∴∠ADB=180°-∠BDE-∠EDC=180°-67.5°-67.5°=45°，故选A ．【点睛】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质．10．已知等边△ABC 的边长为6，D 是AB 上的动点，过D 作DE ⊥AC 于点E ，过E 作EF ⊥BC 于点F ，过F 作FG ⊥AB 于点G ．当G 与D 重合时，AD 的长是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4D解析：D【分析】 设BD=x ，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，依次表示出BF、CF、CD、AE、AD，然后根据AD+BD=AB列方程即可求出x的值．【详解】解：如图，设BD=x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，∴∠BFD=∠ADE=∠CEF=30°，∴BF=2x，∴CF=6-2x，∴CE=2CF=12-4x，∴AE=6-CE=4x-6，∴AD=2AE=8x-12，∵AD+BD=AB，∴8x-12+x=6，∴x=2，∴AD=8x-12=16-12=4．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．二、填空题11．如图，∠C=90°，CB=CO，且点B坐标为（-2，0），则点C坐标为_________．(－11)【分析】过点C作CD⊥y轴于点D根据等腰三角形的性质得出OD=CD=1得出结果【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D∵∠ACB=90°CB=CO∴∠CBO=∠COB=45°∵CD⊥y轴∴∠C解析：(－1，1)【分析】过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，根据等腰三角形的性质得出OD=CD=1，得出结果．【详解】解：过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，∵∠ACB=90°，CB=CO ，∴∠CBO=∠COB=45°，∵CD ⊥y 轴，∴∠CDO=90°，∴∠COD=∠DOC ，∴OD=CD ，∵CD ⊥y 轴，CB=CO ，∴OD=12OB ， ∵点B 坐标为（-2，0），∴OB=2，∴OD=CD=1，∴点C 坐标为(－1，1)，故答案为(－1，1)．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．12．如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线DE 分别与,AB BC 交于点,D E ，AC 的垂直平分线FG 分别与,BC AC 交于点,F G ，10,3BC EF ==，则AEF 的周长是________．16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝EAAF ＝FC 根据三角形的周长公式计算得到答案【详解】解：∵DE 是AB 边的垂直平分线∴EB ＝EA ∵FG 是AC 边的垂直平分线∴AF ＝FC ∴△AEF 的周长 解析：16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝EA 、AF ＝FC ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DE是AB边的垂直平分线，∴EB＝EA，∵FG是AC边的垂直平分线，∴AF＝FC，∴△AEF的周长=AF+AE+EF=FC+BE+EF=EC+EF+BE+EF=BC+2EF=10+6=16，故答案为：16．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P是BC上一点，且∠BAP＝90°，CP＝4cm．则BP的长＝________．8cm【分析】先根据已知条件求得PA=PC再含30度直角三角形的性质求得BP的长即可【详解】解：∵AB=AC∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵∠BAC=120°∠BAP=90°∴∠PAC=30解析：8cm【分析】先根据已知条件求得PA=PC，再含30度直角三角形的性质求得BP的长即可．【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵∠BAC=120°，∠BAP=90°，∴∠PAC=30°，∴∠C=∠PAC，∴PA=PC=4cm，∵∠BAP=90°，∠B=30°，∴BP=2AP=8cm．故答案为：8cm【点睛】本题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键是根据已知条件求得PA=PC=4cm，再根据含30度直角三角形的性质求得BP的长．14．等腰三角形的周长为24，其中一边为6，则另两边的长分别为__________．【分析】题中没有指明长为的边长是腰还是底则分两种情况进行分析还应验证是否满足三角形的三边关系【详解】当腰长是时底边长不能构成三角形；当底长是时三角形的腰能构成三角形其他两边长为故答案为：【点睛】本题解析：9，9【分析】题中没有指明长为6的边长是腰还是底，则分两种情况进行分析，还应验证是否满足三角形的三边关系．【详解】当腰长是6时，底边长246612=--=，6、6、12不能构成三角形；当底长是6时，三角形的腰()24629=-÷=，6、9、9能构成三角形，其他两边长为9、9．故答案为：9，9．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目—定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．15．如图，AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称，AO 的延长线交BC 于点D .若46BOD ∠=︒，22C ∠=︒，则ADC ∠=______°．70【分析】根据三角形的外角和定理得和再根据轴对称的性质得和列式求出的值即可得到结果【详解】解：∵是的外角∴∵是的外角∴∵与关于边OB 所在的直线成轴对称∴∴即解得∴故答案是：【点睛】本题考查轴对称的解析：70【分析】根据三角形的外角和定理，得ADC A ABC ∠=∠+∠和ADC BOD OBD ∠=∠+∠，再根据轴对称的性质得12OBD ABC ∠=∠和22C A ∠=∠=︒，列式求出ABC ∠的值，即可得到结果．【详解】解：∵ADC ∠是ABD △的外角，∴ADC A ABC ∠=∠+∠，∵ADC ∠是BOD 的外角， ∴ADC BOD OBD ∠=∠+∠， ∵AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称， ∴12OBD ABC ∠=∠，22C A ∠=∠=︒， ∴12A ABC BOD ABC ∠+∠=∠+∠， 即122462ABC ABC ︒+∠=︒+∠， 解得48ABC ∠=︒， ∴224870ADC A ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案是：70．【点睛】本题考查轴对称的性质和三角形外角和定理，解题的关键是熟练运用这两个性质定理进行求解．16．如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C ，D ，O 是网格线交点，那么AOB ∠___________COD ∠（填“＞”，“＜”或“＝”）．>【分析】如图过点B 作BE ⊥AC 于E 证明△BOE 是等腰直角三角形得到∠BOE=过点C 作CF ⊥OC 使FC=OC 证明△OCF 是等腰直角三角形得到∠FOC=由图知∠FOC>∠COD 即可得到∠AOB>∠CO解析：>【分析】如图，过点B 作BE ⊥AC 于E ，证明△BOE 是等腰直角三角形，得到∠BOE=45︒，过点C 作CF ⊥OC ，使FC=OC ，证明△OCF 是等腰直角三角形，得到∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD ，即可得到∠AOB>∠COD ．【详解】如图，过点B 作BE ⊥AC 于E ，∵OB=OE=2，∠BEO=90︒，∴△BOE 是等腰直角三角形，∴∠BOE=45︒，过点C 作CF ⊥OC ，使FC=OC ，∴∠FCO=90︒，∴△OCF 是等腰直角三角形，∴∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD ，∴∠AOB>∠COD ，故答案为：>．．【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定及性质,角的大小比较，根据图形确定角的位置关系是解题的关键．17．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为___________．25【分析】分腰长为10和腰长为5两种情况讨论不合题意的舍去据此即可求解【详解】解：当腰长为10时三边分别为10105构成三角形周长为10+10+5=25；当腰长为5时三边分别为5510∵5+5=1解析：25【分析】分腰长为10和腰长为5两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解．【详解】解：当腰长为10时，三边分别为10、10、5，构成三角形，周长为10+10+5=25； 当腰长为5时，三边分别为5、5、10，∵5+5=10，无法构成三角形，不合题意． 故答案为：25【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟知相关定理是解题关键． 18．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 平分ABC ∠，如果9cm AC =，那么AD = ___________cm ．6【分析】先求得∠ABD=∠CBD=30°进而得AD=BD 设AD=BD=x(cm)列出关于x 的方程即可求解【详解】∵在中∴∠ABC=60°∵BD 平分∴∠ABD=∠CBD=30°∴∠ABD=∠A ∴AD解析：6【分析】先求得∠ABD=∠CBD=30°，进而得AD=BD ，设AD=BD=x(cm)，列出关于x 的方程，即可求解．【详解】∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，∴∠ABC=60°,∵BD 平分ABC ∠，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ABD=∠A ，∴AD=BD ，设AD=BD=x(cm)，∵AC=9cm ，∴CD=(9-x)cm ， ∴912x x -=，即：x=6， ∴AD =6．故答案是：6【点睛】 本题主要考查等腰三角形的判定定理以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”是解题的关键．19．如图，点D 是ABC ∠内一点，点E 在射线BA 上，且15DBE BDE ∠=∠=︒，//DE BC ，过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ，若BE a =，则DF =___________（用含a 的式子表示）．【分析】作DH ⊥AB 根据直角三角形的性质求出DH 根据平行线的性质角平分线的性质解答【详解】解：作DH ⊥AB 于H ∵∴∠DEH=∠DBE+∠BDE=30°∴DH=∵DE ∥BC ∴∠DBF=∠BDE ∴∠DB解析：12a 【分析】作DH ⊥AB ，根据直角三角形的性质求出DH ，根据平行线的性质，角平分线的性质解答．【详解】解：作DH ⊥AB 于H ，∵15DBE BDE ∠=∠=︒∴∠DEH=∠DBE+∠BDE=30°，DE BE a ==∴DH=11=22DE a ， ∵DE ∥BC ，∴∠DBF=∠BDE ， ∴∠DBF=∠DBH ，又DF ⊥BC ，DH ⊥AB ，∴DF=DH=12a ， 故答案为：12a ． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．20．如图①，点D 为一等腰直角三角形纸片的斜边AB 的中点，E 是BC 边上的一点，将这张纸片沿DE 翻折成如图②，使BE 与AC 边相交于点F ，若图①中AB ＝2，则图②中△CEF 的周长为______________．【分析】如图作DM ⊥AC 于MDH ⊥BC 于HDN ⊥EB 于N 连接DF 首先证明△DFB ≌△DFC 推出CF=BF 可得再利用勾股定理求解即可得到答案【详解】解：如图作DM ⊥AC 于MDH ⊥BC 于HDN ⊥EB 于N 解析：2【分析】如图，作DM ⊥AC 于M ，DH ⊥BC 于H ，DN ⊥EB 于N ，连接DF ．首先证明△DFB ≌△DFC ，推出CF=BF ，可得()CEF C EF CF EC EF FB EC =++=++=EB EC EB EC CB ''+=+=，再利用勾股定理求解B C '即可得到答案．【详解】解：如图，作DM ⊥AC 于M ，DH ⊥BC 于H ，DN ⊥EB 于N ，连接DF ．∵,90CA CB ACB ''=∠=︒，AD B D '=，∴CD DB AD DB '===，45DCB DCA '∠=∠=︒，45B B '∠=∠=︒．∴DH DM =，,B DE BDE '≌,DH DN ∴=,DH DM DN ∴==∴DFM DFN ∠=∠，∵∠BFM=∠EFC ，∴∠DFB=∠DFC ，在△DFB 和△DFC 中，B DCF DFB DFC DF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DFB ≌△DFC ，∴CF=BF ，∵()CEF C EF CF EC EF FB EC =++=++=EB EC EB EC CB ''+=+=， ∵2AB '=，∴224B C AC '+=，,B C AC '=B C '∴= （负根舍去）CEF C ∴=【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．三、解答题21．已知在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆如图所示，()()()5,2,5,2,1,4A B C ----．（1）作出ABC ∆关于y 轴对称的图形''A B C '∆；（2）求出ABC ∆的面积；（3）在边BC 上找一点,D 连结AD ，使得BAD ABD ∠=∠．（请仅用无刻度直尺按要求画图）解析：（1）见解析 （2）8 （3）见解析【分析】（1）分别作出A ，B ，C 关于y 轴的对称点连接即可；（2）根据三角形的面积，确定三角形的底和高计算即可；（3）根据已知条件可知x 轴所在的直线为AB 线段的垂直平分线，判断即可；【详解】解:（1）∵()5,2A -，()5,2B --，()1,4C -，∴关于y 轴对称的点为()5,2A '，()5,2B '-，()1,4C '，如图，（2）过点C 作CE AB ⊥，由题可知：()154CE =---=，()224AB =--=，∴1144822=⨯⨯=⨯⨯=S AB CE ； （3）根据已知条件可得到x 轴所在的直线为AB 线段的垂直平分线，即可得到点D 的位置，如图所示．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系的知识点，结合等腰三角形的性质判断是解题的关键． 22．（1）问题：如图①，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，AB BP BC +=．求证：90APD ∠=︒；（2）问题：如图②，在三角形ABC 中，45B C ∠=∠=︒，P 是AC 上一点，PE PD =，且90EPD ∠=︒．求AE AP PC+的值．解析：（1）见解析；（2）1【分析】（1）先证明()ABP PCD HL ≅△△，从而得APB PDC ∠∠=，进而即可得到结论；（2）过D 点做DF AC ⊥于点F ，易证()APE FDP AAS ≅△△，DPC △是等腰直角三角形，进而即可求解．【详解】（1）∵BP PC BC +=，BP AB BC +=，∴PC AB =，在t R ABP △与t R PCD 中∵AP PD AB PC =⎧⎨=⎩， ∴()ABP PCD HL ≅△△，∴APB PDC ∠∠=，∴180APD APB DPC ∠=︒-∠-∠180()PDC DPC =︒-∠+∠18090=︒-︒90=︒； （2）过D 点做DF AC ⊥于点F ，在ABC 中，18090A B C ∠=︒-∠-∠=︒，∴A PFD ∠∠=，∵90APE DPF +=︒∠∠ ，90AEP APE ∠+∠=︒，∴DPF AEP ∠∠=，在APE 与FDP 中A DFP DPE AEP PE PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()APE FDP AAS ≅△△，∴AE PF =，AP DF =，∵在DPC △中，90904545FDC C ∠∠︒︒︒︒=-=-=，∴DF FC =，∴AP FC =，∴PC PF FC AE AP =+=+， ∴1AE AP PC+=．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三等角”模型，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．23．如图，ABC 和ADE 均为等边三角形，连接BD 并延长，交AC 于点F ，连接CD 并延长，交AB 于点G ，连接CE ．（1）求证：ABD ACE △≌△；（2）若ADG CED ∠=∠，求证：AG CF =．解析：（1）证明见详解；（2）证明见详解.【分析】（1）根据等边三角形的性质得,,AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠，CAD ∠为公共角得出BAD CAE ∠=∠，根据SAS 可证全等.（2）根据全等三角形的性质,,ACE ABD ADB AEC ==∠∠∠∠联立题目条件ADG CED ∠=∠可得60BDG AED ==∠∠，根据三角形外角的性质得到AGD BFC ∠=∠证明()AGC BFC AAS ≅，即可证AG CF =.【详解】（1）∵ABC 和ADE 均为等边三角形，∴,,AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠， ∵CAD ∠为公共角，∴BAD CAE ∠=∠∴()ABD ACE SAS ≅△△（2）∵ABD ACE ≅,∴,,ACE ABD ADB AEC ==∠∠∠∠ ∵ADG CED ∠=∠，∴60BDG AED ==∠∠，∴GBD GDB GBD BAF +=+∠∠∠∠，即AGD BFC ∠=∠，在AGC 与BFC △中AGD BFC GAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AGC BFC AAS ≅∴AG CF =【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点；解题的关键是熟练掌握以上知识点.24．如图：已知ABC 中AB AC =：（1）尺规作图：过A 点作//AE BC （不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AE 是ABC 的一个外角角平分线．解析：（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）作∠CAE=∠C 即可；（2）延长BA ，根据两直线平行，同位角相等，有∠EAF=∠B ，由（1）可知∠CAE=∠C ，再根据AB=AC ，可得∠B=∠C ，等量替换之后即可得证．【详解】（1）射线AE为所求；（2）证明：如图所示，延长BA，AE BC，∵//∴∠EAF=∠B，∠CAE=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠CAE，∴AE是ABC的一个外角角平分线．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和角平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键．25．已知：点A在直线DE上，点B、C都在PQ上（点B在点C的左侧），连接AB，∠=∠．AC，AB平分CAD∠，且ABC BAC（1）如图1，求证：//DE PQ ；（2）如图2，点K 为AB 上一点，连接CK ，若2EAC ACK ∠=∠，求AKC ∠的度数； （3）在（2）的条件下，点F 在直线DE 上，连接FK ，且DAB AFK KCB ∠=∠+∠，若13FKA AKC ∠=∠，则ACB ∠的大小为_________．（要求：在备用图中画出图形，并直接写出答案）解析：（1）见解析；（2）90AKC ∠=︒；（3）60ACB ∠=︒或20ACB ∠=︒ 【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的判定方法求解； （2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质可以得到解答； （3）分F 在A 左边和F 在A 右边两种情况讨论 ． 【详解】（1）∵AB 平分CAD ∠， ∴DAB BAC ∠=∠， ∵ABC BAC ∠=∠， ∴DAB ABC ∠=∠， ∴//DE PQ ； （2）∵//PQ DE ， ∴EAC ACB ∠=∠， ∵2EAC ACK ∠=∠， ∴1122ACK BCK EAC ACB ∠=∠=∠=∠， ∵∠ABC=∠BAC, ∴△CAB 是等腰三角形， ∴CK ⊥AB ， ∴∠AKC=90°；（3）分两种情况讨论：①如图，F在A左边，延长VK交DE于M，设∠BCK=x°，则由（1）得：∠FKA=1303AKC∠=︒，∠DAB=∠ABC=(90-x)°，∴∠AFK=180°-30°-(90-x)°=(60+x)°,∴由∠DAB=∠AFK+∠KCB 可得：90-x=60+x+x，解之得：x=10，∴∠ACB=2x=20°，②如图，F在A右边，设∠BCK=x°，则∠AFK=∠DAB-∠AKF=90-x-30=(60-x)°，∴由∠DAB=∠AFK+∠KCB 可得：90-x=60-x+x，解之得：x=30，∴∠ACB=2x=60°，∴∠ACB=20°或60°，【点睛】本题考查角平分线、平行线和三角形的综合应用，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、三角形的综合性质及方程思想的解题方法是解题关键．26．在如图所示的方格纸中，（1）作出ABC 关于MN 对称的111A B C △；（2）222A B C △是由111A B C △经过怎样的平移得到的？并求出111A B C △在平移过程中所扫过的面积．解析：（1）图见解析；（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，面积是16 【分析】（1）作点A 、B 、C 关于MN 的对称点1A 、1B 、1C ，即可得到111A B C △；（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位可以得到222A B C △，画出平移的图象，求出扫过的面积． 【详解】解：（1）如图所示，（2）如图所示，111A B C △先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，得到222A B C △，111A B C △在平移过程中所扫过的面积是图中阴影部分，16242124162S =⨯+⨯⨯=+=．【点睛】本题考查轴对称和平移，解题的关键是掌握轴对称图形的画法和图形平移的方法． 27．如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AE AC =，AF CB ⊥，垂足为F ．（1）求证：ABC ADE △≌△；（2）若10AC =，求四边形ABCD 的面积； （3）求FAE ∠的度数．解析：（1）见解析；（2）50；（3）135° 【分析】（1）由题意先求出∠BAC=∠EAD ，然后根据SAS 推出△ABC ≌△ADE ；（2）根据题意即可推出四边形ABCD 的面积=△ACE 的面积，进而分析计算即可得出答案；（3）根据题意可推出∠CAF=45°，再根据∠EAF ＝∠FAC ＋∠CAE 即可求出∠FAE 的度数． 【详解】 （1）证明：90BAD CAE ∠=∠=︒，90BAC CAD ∴∠+∠=︒，90CAD DAE ∠+∠=︒，BAC DAE ∴∠=∠， 在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (SAS)ABC ADE ∴△≌△．解:（2）ABC ADE △≌△，ABC ADE S S ∴=△△， ABCACDADEACDACEABCD S SSSSS∴=+=+=四边形，10AC =，1010250ACEABCD S S∴==⨯÷=四边形．（3）90CAE ∠=︒，AC AE =，45E ∴∠=︒，BAC DAE △≌△，45BCA E ∴∠=∠=︒，AF BC ⊥， 45CAF ∴∠=︒，4590135FAE FAC CAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．28．在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示，已知点A 、B 的坐标为（-4，3）（3，0）．（1）点C 关于x 对称的点的坐标（ ， ）；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′；（3）△ABC的面积为．解析：（1）-2，-5；（2）见解析；（3）10【分析】（1）根据轴对称的性质解答；（2）根据轴对称的性质作图；（3）利用割补法求解．【详解】（1）根据坐标系知点C坐标为（-2,5），∴点C关于x对称的点的坐标（-2，-5），故答案为：-2，-5；（2）如图，△A′B′C′即为所求；（3）1117537225510222ABCS=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故答案为：10．【点睛】此题考查关于坐标轴对称的性质：关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．。
人教版八年级上册数学 第十三章 轴对称 单元培优测试卷
人教版八年级上册数学第十三章轴对称单元培优测试卷一.选择题1. 如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F等于( )A．80°B．65°C．45°D．35°2. 东东从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（）A.21：10B.10：21C.10：51D.12：013. 下列条件不能得到等边三角形的是( )A．有两个内角是60°的三角形B．有两个角相等的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形 D．有一个角是60°的等腰三角形4. 如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是(－2,3)，先把△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是( )A．(－3,2) B．(2，－3) C．(1，－2) D．(3，－1)5. 某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处6. 下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有( )．A．①②③B．①②④ C．①③D．①②③④7. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C的度数是( )A．30° B．35° C．40° D．50°8. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形( )A．0个B．1个 C．2个D．3个10. 如图图中的阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，若在图中的方格里涂黑两个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有几种（）A. 2种B. 4种C. 5种D. 7种11. 如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）A.（）n•75°B.）n﹣1•65°C.（）n﹣1•75°D.（）n•85°12. 已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的任意一点，连接AD并作等边三角形ADE，若DE⊥AB，则BD DC的值是（）A.12B.23C.1D.32二.填空题13. 如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．14. 如图所示图案是几种车的标志，在这几个图案中，轴对称图形有________个，其中只有一条对称轴的轴对称图形有________个，对称轴最多的轴对称图形有________条对称轴．15. 如图，∠AOB＝40°，C为OB上的定点，M，N分别为OA，OB上的动点，当CM＋MN的值最小时，∠OCM的度数为________．16.如图，点P在∠AOB内，M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，连接MN交OA于点E，交OB于点F.若△PEF的周长是20 cm，则MN的长是________cm.17.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为．18. 在直角坐标系内有两点A（-1，1）、B（2，3），若M为x轴上一点，且MA+MB最小，则M的坐标是________，MA+MB=________．19. 如图所示，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为________．20. 规律探究如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝________．三、作图题21. 方案设计①②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM，ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中，以OM，ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：(1)所画的两个四边形均是轴对称图形；(2)所画的两个四边形不全等．四、解答题22. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC为上一点，∠B=30°，∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度数；(2)求证：DC＝AB.23. 如图，在△ABC中，D为BC上的一点，E，F为AD上的两点，若EB＝EC，FB＝FC.求证：AB＝AC.24. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)AD＝FC；(2)AB＝BC＋AD.25. 如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．26. 已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点(点A，D在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD⊥BC；(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段DE，AC，BE的数量关系．27. 如图①，P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，M和N分别是射线OA和射线OB上的动点．(1)请你在图②中利用作图确定点M和点N的位置，使得△PMN的周长最小(保留作图痕迹)；(2)在图②中，若△PMN周长的最小值是5 cm，则∠AOB的度数是多少？28. 已知：等边△ABC和点P，设点P到△ABC的三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．（1）如图1，若点P在边BC上，证明：h1+h2=h．（2）如图2，当点P在△ABC内时，猜想h1、h2、h3和h有什么关系？并证明你的结论．（3）如图3，当点P在△ABC外时，h1、h2、h3和h有什么关系？（不需要证明）29. 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．(1)如①，△ABC是等腰锐角三角形，AB＝AC(AB＞BC)，若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC 的一条特异线，则∠BDC＝________度；(2)如图②，在△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E.求证：AE是△ABC 的一条特异线；(3)如图③，已知△ABC是特异三角形，且∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数．。
人教版初中数学八年级上单元试卷第章 轴对称【培优卷】(解析版)
第13章轴对称培优一、单选题1. ( 3分) 平面直角坐标系中，点P(﹣2，3)关于x轴对称的点的坐标为（）A. (2，﹣3)B. (﹣2，3)C. (﹣2，﹣3)D. (2，3) 【答案】C【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：∵关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴点P（﹣2，3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，﹣3），故答选：C．【分析】关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；可得.2. ( 3分) 下列图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，是中心对称图形；第三个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形．故选：B．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．3. ( 3分) 在下列命题中，正确的是（）A. 一组对边平行的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形C. 有一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形【答案】D【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定【解析】【解答】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；故答案为：D.【分析】分别利用矩形的判定方法、以及菱形的判定与性质和平行四边形的判定方法分析得出答案.4. ( 3分) 如图，已知AB=AC=BD，那么∠1与∠2之间的关系是（）A. ∠1=2∠2B. 2∠1+∠2=180°C. ∠1+3∠2=180°D. 3∠1-∠2=180°【答案】D【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵AB=AC=BD，∴∠BAD=∠1，∠B=∠C，∴∠B=180°－2∠1=∠C，∵∠C=∠1－∠2，∴180°－2∠1=∠1－∠2，∴3∠1－∠2=180°.故答案为：D.【分析】根据等边对等角可得∠BAD=∠1，∠B=∠C，利用三角形的内角和可得∠B=180°－2∠1=∠C，由三角形外角的性质可得∠C=∠1－∠2，从而可得180°－2∠1=∠1－∠2，据此即得结论.5. ( 3分) 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的图形是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 长方形D. 梯形【答案】C【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；C、长方形是轴对称图形，是中心对称图形；D、梯形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形.故答案为：C.【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形,把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形，据此作出判断即可.6. ( 3分) 在平面直角坐标系中，点P（3，-4）关于x轴对称的点的坐标是( )A. （3，4）B. （3，－4）C. （－3，－4）D. （4，3）【答案】A【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y)，关于x轴的对称点的坐标是（x，-y)，据此即可求得点（3，-4)关于x轴对称的点的坐标．【解答】∵点（3，-4)关于x轴对称；∴对称的点的坐标是（3，4)．故选A．【点评】这一类题目是需要识记的基础题7. ( 3分) 如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A. 8B. 6C. 5D. 3【答案】C【考点】等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：过P作PQ⊥MN，∵PM=PN，∴MQ=NQ=1，在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60°，∴∠OPQ=30°，OP=6，∴OQ= 12则OM=OQ-QM=6-1=5.故答案为：C.【分析】过P作PQ⊥MN，根据等腰三角形的性质可得MQ=NQ=1，然后在Rt△OPQ中根据含30°角的直角三角形的边之间的关系可求出OQ的值，进而得到OM的值.8. ( 3分) 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【考点】等腰三角形的判定【解析】【解答】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．因为S△ABC=1.5，所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．故选B．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰；然后根据S△ABC=1.5，再确定点C的位置．9. ( 3分) 如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=100°，点M是射线AB上的一个动点，过点M作MN∥BC 交射线AC于点N，连结BN。
八年级数学上册轴对称解答题(培优篇)(Word版含解析)
八年级数学上册轴对称解答题（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）1.如图1, ZiABC 中，AB=AC・ ZBAC = 905, D、E 分别在BC、AC 边上，连接AD、BE 相交于点F,且ZCAD =丄ZABE.2⑵如图2,连接CF,若EF = EC,求ZCFD的度数：(3)如图3,在⑵的条件下,若AE = 3,求BF的长.【答案】(1)答案见详解：(2)45。
，(3)4.【解析】【分析】(1)设ZCAD二x,则ZABE=2x, ZBAF二90° -x, ZAFB=180° -2x-(90° -x)= 90° -x,进而得到ZBAF二ZAFB,即可得到结论：(2)由ZAEB=90°-2x t进而得到ZEFC= (90°-2x) +2=45。
-x,由BF=AB,可得：ZEFD=ZBFA=90° 根据ZCFD=ZEFD-ZEFC> 即可求解；⑶设EF=EC二x,则AOAE+EC二3+x・可得BE二BF+EF=3+x+x=3+2x,根据勾股左理列出方程，即可求解.【详解】(1)设ZCAD二x,1VZCAD=-ZABE, ZBAC=90S2AZABE=2x, ZBAF=90° -x,V ZABE+ZBAF+ZAFB=180° ,A ZAFB=180° -2x-(90° ・x)= 90° %AZBAF=ZAFB t•••BF = AB；VAB=AC,ABF = AC：(2)由(1)可知：ZCAD二x, ZABE二2x, ZBAC=90^,•••ZAEB=90°-2x,VEF = EC,AZEFC=ZECF,•/ Z EFC+ Z ECF= ZAEB=90°-2x,AZEFC= (90°-2x) -2=45° -x,VBF=AB,AZBFA=ZBAF=(180a -ZABE)-s-2=(180° -2x)-s-2=90° -x,AZEFD=ZBFA=90° ・x,A ZCFD=ZEFD-ZEFC=(90° -x) -(45。
轴对称培优试题
轴对称试题一、选择题1、在直线、射线、线段、角、直角三角形、等腰三角形、平行四边形图中，轴对称图形有（ ）A 、7个B 、6个C 、5个D 、4个2、如图（1）将△ABC 变换到△A ′B ′C ′的位置，下列说法正确的是（ ）A 、△ABC 与△A ′B ′C ′是关于x 轴对称的； B 、△ABC 与△A ′B ′C ′是关于y 轴对称的； C 、△ABC 与△A ′B ′C ′是关于点O 对称的；D 、△ABC 与△A ′B ′C ′是关于x 轴对称，又关于y 轴对称。
3、如图（2）AB=AC ，BD=BC ，若∠A=30°，则∠ABD 的度数是（ ）A 、30°B 、40°C 、45°D 、50° 4、已知点A （4，y x 23-），B （2x ，4）关于y 轴对称，则x y 的值为（ ）A 、10B 、-10C 、±10D 、5（图1） （图2） （图3） （图4）5、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则底角的度数为（ ）A 、65°或57.5 °B 、32.5°C 、57.5°D 、32.5°或57.5° 6、如图（3）AC=AD=4，BC=BD ，若∠ACD=60°，则CE 等于（ ）A 、4B 、 3C 、2D 、1 7、如图（4）是屋架设计图的一部分，其中BC ⊥AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，线段AC 关于直线DE 对称，则下列判断①AE=EC ，②∠A=∠1，③∠B=∠2错误的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 8、如图（5）将长方形ABCD 沿AE 折叠，若∠BAD ′=30°则∠AED ′等于（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75° 9、如图（6）点A 的坐标是（2，2），若点P 在x 轴上且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ） A 、（4，0）B 、（1，0）C 、（22-，0）D 、（2，0）10、图（7）△DCE 、△ABC 均为等边三角形，AD 、BE 分别与CE 、AC 交于点G 、F ，有下列结论 ①△ACD ≌△BCE ，②CF=CG ，③CD=EF ，正确的个数是（ ）A 、3个B 、2个C 、1个D 、0个（图6） （图7）xyoA B C 'A 'B 'CACBDABDCE ABCDE21A B C D 'D E x yo A 1-123412A D E CB F G二、填空题11、将点A （-1，-2）向______平移_____个单位长后得到的点与B （1，3）关于y 轴对称。
轴对称培优习题
轴对称培优习题轴对称是几何学中的一个重要概念，它在许多数学和科学领域中都有应用。
轴对称指的是物体可以通过某个中心轴进行对称，使得物体在中心轴两侧的部分完全相同。
本文将介绍一些关于轴对称的培优习题，帮助读者更好地理解和应用轴对称的概念。
1. 点的轴对称：给定一个平面上的点P(x, y)，如果存在一条直线L，关于直线L对称的点P'和P具有相同的坐标，则说点P关于直线L轴对称。
首先，我们需要确定点P关于直线L的对称点P'在哪里。
例题1：已知点A(2, 4)，求点A关于x轴和y轴的对称点。
解答：点A关于x轴的对称点是A'(2, -4)，点A关于y轴的对称点是A'(-2, 4)。
2. 图形的轴对称：在几何学中，很多图形都可以通过某个中心轴进行对称。
那么，我们如何判断一个图形是否具有轴对称性呢？例题2：判断下列图形是否具有轴对称性：(1) 正方形；(2) 长方形；(3) 等边三角形；(4) 圆；(5) 矩形。
解答：(1) 正方形具有轴对称性，它可以通过其中心的垂直和水平轴对称；(2) 长方形具有轴对称性，它可以通过其中心的垂直和水平轴对称；(3) 等边三角形具有轴对称性，它可以通过其中心的垂直轴对称；(4) 圆具有无数个轴对称，因为任意通过圆心的直线都可以将圆分成两个完全相同的部分；(5) 矩形具有轴对称性，它可以通过其中心的垂直和水平轴对称。
3. 图形的轴对称性质：对于具有轴对称性的图形，我们可以得到一些有趣的性质。
例题3：矩形ABCD是以对角线AC为轴对称的，如果已知点A(2, 3)，点C在第三象限，求点C的坐标。
解答：由于矩形ABCD是以对角线AC为轴对称，因此点C关于x轴的对称点也在第三象限，即点C'(-2, -3)。
由此可知，点C的坐标为C'的坐标取负值，即点C(-2, -3)。
4. 图形的轴对称与面积：如果一个图形与它关于某个中心轴的对称形状完全重合，那么这个图形的面积与对称形状的面积相等。
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第10题 轴对称培优习题
一、选择题
1.已知M （a,3）和N （4，b ）关于y 轴对称，则2008
)(b a +的值为（ ）
A.1 B 、－1 C.20077 D.20077-
2．已知两条互不平行的线段AB 和A ′B ′关于直线1对称，AB 和A ′B ′所在的直线交于点P ，下面四个结论：①AB=A ′B ′；②点P 在直线1上；③若A 、A ′是对应点，•则直线1垂直平分线段AA ′；④若B 、B ′是对应点，则PB=PB ′，其中正确的是（ ） A ．①③④ B ．③④ C ．①② D ．①②③④ 3．将两块全等的直角三角形（有一锐角为30︒）拼成一个四边形，其中轴对称图形的四边形有多少个（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
4.如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A.在AC 、BC 两边高线的交点处
B.在AC 、BC 两边中线的交点处
C.在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处
D.在A 、B 两内角平分线的交点处
5.下列说法中错误的是（ ）
A 成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴
B 关于某条直线对称的两个图形全等
C 全等的三角形一定关于某条直线对称
D 若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称 6．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm
7．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30°
8．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ）
A ．100°
B ．100°或40°
C ．40°
D ．80°
9.已知：在△ABC 中，AB=AC ，O 为不同于A 的一点，且OB=OC ，则直线AO 与底边BC 的关系为（ ）
A ．平行 B.AO 垂直且平分BC C.斜交 D.AO 垂直但不平分BC
10．如图，在方格纸中有四个图形<1>、<2>、<3>、<4>，其中面积相等的图形是（ ）
A . <1>和<2>
B . <2>和<3>
C . <2>和<4>
D . <1>和<4>
C
B A
二、填空题
11.如图所示，镜子里号码如图，则实际纸上的号码是＿＿＿＿.
12.一个汽车车牌在水中的倒影为 W 5236499 ，则该车的牌照号码是______．
13．已知A （－1，－2）和B （1，3），将点A 向______平移________个单位长度后得到的点与点B 关于y 轴对称．
14.如图3，在△ABC 中BC=5cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角的平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则△PDE 的周长是_______cm
15.如图4，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有____个 16．已知等腰三角形的一个角为42°，则它的底角度数_______． 17. 如图，ABE △和ACD △是ABC △分别沿着
AB AC ，边翻折180形成的，若150BAC ∠=，则θ∠的
度数是 ．
18. 如图，在ABC △中，AB AC =，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连结DN ，EM ．若13cm AB =，10cm BC =，5cm DE =，则图中阴影部分的面积为
2cm ．
三、解答题
19.（6分）如图5，设点P 是∠AOB 内一个定点，分别画点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2交于点M ，交OB 于点N ，若P 1P 2=5cm ，则△PMN 的周长为多少？
20.（6分）如图7，已知：△ABC 的∠B 、∠C 的外角平分线交于点D 。
求证：AD 是∠BAC 的平分线。
801
B A P
C D
E
图 3
A
B C 图4
C D
A E
B θ
21.（10分）如图9，△ABC 是边长为1的等边三角形，BD=CD ，∠BDC=120°，E 、F 分别在AB 、AC 上，且∠EDF=60°，求△AEF 的周长．
22．如图所示，△ABC 是等边三角形，延长BC 至E ，延长BA 至F ，使AF =BE ，连结CF 、EF ，过点F 作直线FD ⊥CE 于D ，试发现∠FCE 与∠FEC 的数量关系，并说明理由．
23．已知：如图，△ABC 中，∠C =90°，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ，求证CT =BE ．
24．如图，已知△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，∠C =35°，且AB +BH =HC ，求∠B 度数．
A C D
F
A
C T E
B
M D C
A B
H。