平面向量 博尔思教育培训
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念教案 新人教A版必修4(2021年
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2。
1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标 :三维目标1、知识与技能（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示;（2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系（3)通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。
2、过程与方法引导发现法与讨论相结合。
这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。
体现了在老师的引导下,学生的的主体地位和作用。
3、情感目标与价值观通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。
教学重点：理解向量、相等向量等相关的概念，向量的几何表示等是本节课的重点.教学难点：难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解。
学情和教材分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景及代数意义，因此向量具有数形结合的特征,是深入学习数学及解决各类数学问题的有效工具，在其他学科中也有广泛应用。
深圳市博尔思培训中心有限公司介绍企业发展分析报告
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（法律、行政法规、国务1.3 发展历程2工商2.1工商信息2.2工商变更2.3股东结构2.4主要人员2.5分支机构2.6对外投资2.7企业年报2.8股权出质2.9动产抵押2.10司法协助2.11清算2.12注销3投融资3.1融资历史3.2投资事件3.3核心团队3.4企业业务4企业信用4.1企业信用4.2行政许可-工商局4.3行政处罚-信用中国4.4行政处罚-工商局4.5税务评级4.6税务处罚4.7经营异常4.8经营异常-工商局4.9采购不良行为4.10产品抽查4.11产品抽查-工商局4.12欠税公告4.13环保处罚4.14被执行人5司法文书5.1法律诉讼（当事人）5.2法律诉讼（相关人）5.3开庭公告5.4被执行人5.5法院公告5.6破产暂无破产数据6企业资质6.1资质许可6.2人员资质6.3产品许可6.4特殊许可7知识产权7.1商标7.2专利7.3软件著作权7.4作品著作权7.5网站备案7.6应用APP7.7微信公众号8招标中标8.1政府招标8.2政府中标8.3央企招标8.4央企中标9标准9.1国家标准9.2行业标准9.3团体标准9.4地方标准10成果奖励10.1国家奖励10.2省部奖励10.3社会奖励10.4科技成果11土地11.1大块土地出让11.2出让公告11.3土地抵押11.4地块公示11.5大企业购地11.6土地出租11.7土地结果11.8土地转让12基金12.1国家自然基金12.2国家自然基金成果12.3国家社科基金13招聘13.1招聘信息感谢阅读:感谢您耐心地阅读这份企业调查分析报告。
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福建省泉州市唯思教育高中数学 2.1 平面向量的概念与表示学案 新人教A版必修4
福建省泉州市唯思教育高中数学 2.1 平面向量的概念与表示学案新人教A版必修4【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
【学习重难点】重点：平行向量的概念和向量的几何表示；难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；【自主学习】1.向量的定义：__________________________________________________________;2.向量的表示：（1）图形表示：（2）字母表示：3.向量的相关概念：（1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________（2）零向量：___________________，记作：_____________________（3）单位向量：________________________________（4）平行向量：________________________________（5）共线向量：________________________________（6）相等向量与相反向量：_________________________思考：（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正：（1）零向量是唯一没有方向的向量；（2）平面内的向量单位只有一个；（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；（4）向量a 和b 是共线向量，//b c ，则a 和c 是方向相同的向量；（5）相等向量一定是共线向量；例2.已知O 是正六边形ABCDEF 的中心，在图中标出的向量中：（1）试找出与EF 共线的向量；（2）确定与EF 相等的向量；（3）OA 与BC 相等吗？例3.如图所示的为34⨯的方格纸（每个小方格都是边长为1的正方形），试问：起点和终点都在小方格的顶点处且与向量AB 相等的向量共有几个？与向量AB共有几个？与向量AB的方向相同且模为【课堂练习】1.判断下列说法是否正确，若不正确请改正：（1）向量AB 和CD 是共线向量，则A B C D 、、、四点必在一直线上；（2）单位向量都相等；（3）任意一向量与它的相反向量都不想等；（4）四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB CD =；（5）共线向量，若起点不同，则终点一定不同；2.平面直角坐标系xOy 中，已知||2OA =，则A 点构成的图形是__________3.四边形ABCD 中， 1,||||2AB DC AD BC ==，则四边形ABCD 的形状是_________ 4.设0a ≠，则与a 方向相同的单位向量是______________5.若E F M N 、、、分别是四边形ABCD 的边AB BC CD DA 、、、的中点。
博尔思教育
博尔思教育
博尔思教育全称深圳市博尔思文化传播有限公司成立于2008年11月22日，聚集国内外知名教育机构的教育精英，率领众多一线教师、教育专家，融合中西方先进教育理念，以雄厚的教育实力，专注于中国教育服务领域的教学实施及研究。
博尔思的宗旨：
做一流的教育服务，做最专业的教学，帮助更多的孩子成就自己的梦想，同时也成就每一个博尔思人的梦想，共创辉煌！
教育理念
培养孩子的心理健康和持续发展的学习能力，使他们乐学，善学，好学。
每一个孩子都是独特的，他的成功需要有个性化的教育和培养方式！。
人教版[远程授课]2平面向量的正交分解及坐标表示-宁夏平罗中学高中数学(共13张PPT)教育课件
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第二章 平面向量
2．3.2 平面向量的正交分 解及坐标表示
目标导航
课标 要求
理解平面向量的坐标的概念,会写出给定向量的坐标,会作出 已知坐标表示的向量.
素养 达成
通过平面向量坐标概念的学习,使学生养成直观想象和数学建 模的核心素养.
y
yj yj
a
j O i xi
向量a、b有什么关系?
a＝b
b 能说出向量b的坐标吗?
b=( x,y )
xi x
相等的向量坐标相同
练习：ay已)、知向=(量y+2a,xb-,3并b)，且求=实(x数+x3,,y2-
2017_2018版高中数学第二章平面向量章末温习课学案北师大版必修4
a⊥b
类型一 向量的线性运算
例1 如下图，在△ABC中， ＝ ，P是BN上的一点，假设 ＝m ＋ ，那么实数m的值为________．
反思与感悟 向量共线定理和平面向量大体定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题．
跟踪训练1 在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是不是存在一点D，使得 ＝ ＋ ，假设存在，说明D点位置；假设不存在，说明理由．
λa＝__________
向量的数
量积运算
a·b＝|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角)，规定0·a＝0，
数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的射影的积
a·b＝________
2.两个定理
(1)平面向量大体定理
①定理：若是e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么关于这一平面内的________向量a，存在唯一对实数λ1，λ2，使a＝______________________.
A．20 B．15 C．9 D．6
3．已知向量a＝(1， )，b＝(3，m)．假设向量a，b的夹角为 ，那么实数m等于( )
A．2 B. C．0 D．－
4．假设向量 ＝(1，－3)，| |＝| |， · ＝0，那么| |＝________.
5．平面向量a＝( ，－1)，b＝ ，假设存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t)．
∵|a|＝ ＝1，|b|
＝ ＝1，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
∴a·b＝ ＝ .
(2)a·b＝ ＝ (k＋ )．
由函数的单调性可知，f(k)＝ (k＋ )在(0,1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的，
2020学年高中数学第2章平面向量章末复习课讲义苏教版必修4(2021-2022学年)
第2章平面向量向量的线性运算如图所示,在△AＢC中，点Ｍ为AB的中点,且错误!＝错误!错误!，错误!与错误!未定义书签。
相交于点E,设错误!未定义书签。
=a，错误!＝b，试以a,ｂ为基底表示错误!未定义书签。
思路点拨:先由Ｃ，E,M三点共线⇒错误!未定义书签。
＝μ错误!未定义书签。
＋（1-μ）错误!，由B,E,Ｎ三点共线⇒错误!未定义书签。
=λ错误!+（1-λ）错误!，再由错误!，错误!未定义书签。
不共线求λ，μ的值.［解]∵错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
b，错误!＝错误!错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
a，由Ｎ,E，Ｂ三点共线知存在实数λ满足错误!未定义书签。
=λ错误!+（1－λ)错误!＝错误!λb+(1-λ）a。
由C，E,M三点共线知存在实数μ满足错误!未定义书签。
＝μ错误!未定义书签。
＋(1-μ)错误!未定义书签。
＝错误!ａ＋(１-μ)b．∴错误!解得错误!∴错误!=错误!未定义书签。
a＋错误!未定义书签。
ｂ。
向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.1.经过△OAB重心G的直线与ＯA,ＯB分别交于点P,Ｑ,设错误!未定义书签。
＝ｍ错误!，错误!未定义书签。
=n错误!未定义书签。
,ｍ，n∈R,求错误!+错误!未定义书签。
的值．[解］设错误!＝a，错误!未定义书签。
=b,则错误!未定义书签。
＝错误!（a+b），错误!未定义书签。
=错误!－错误!＝ｎb-m a,错误!＝错误!－错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
(a＋b）-m a=错误!a+错误!ｂ.由Ｐ，Ｇ,Q共线得,存在实数λ使得错误!未定义书签。
=λ错误!,即n b－ｍa=λ错误!未定义书签。
a＋错误!λｂ,则错误!未定义书签。
消去λ,得错误!未定义书签。
+错误!未定义书签。
＝3。
向量的数量积运算设向量错误!未定义书签。
江苏省新沂市高中数学第二章平面向量2.2.2向量的减法教案新人教A版必修4
2。
2。
2 向量的减法教学目标:1．理解向量减法的含义，会作两个向量的差．2．通过向量减法与加法的逆运算关系，对学生渗透化归、类比和数形结合的思想，继续培养学生识图和作图的能力，及运用图形解题的能力．重点难点：向量减法的概念和向量减法的作图法．课型新授课课堂教学模式小组合作学习教学过程:一、自主学习1．向量的加法定义、法则和运算律2．实数的减法：(1)实数a,x，b,已知a＋x＝b,则x= ，x叫做．（2）是加法的运算．二、小组讨论由数的减法定义来类比推广到向量的减法运算三、交流展示1．引导学生抽象概括出向量减法的定义2．OB BA OA BA+==由根据减法定义得出 ,你能得到减法的作图方法？能写出你的想法的步骤？例1 已知向量a，b（如图），求作向量a－b．总结:共起点，连终点，指向被减向量．合作学习记录a b abababA B CD O 3．(1)相反向量的概念复习（2）类比实数的减法，减去一个数就是加上它的相反数，你能得到向量减法应该满足怎样的式子?4．你能验证你的结论?（从代数证明和几何图形验证两个方面着手,突出数形结合的思想）．5．那我们现在解决向量的减法有几种手段？请你用你总结的方法来解决化简：()()AB CD AC BD ---，并完成课后练习1,2,4，5．6．向量的加法具有：｜｜a ｜－|b ｜｜≤｜a ＋b ｜≤｜a |＋|b ｜，你能在减法中也找到类似的关系？课后请证明你的结论．四、数学应用例2 如图，O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,若=−→−AB a ，=−→−DA b ，=−→−OC c ，试证明：b ＋ c －a ＝−→−OA ． （多种思路，请学生自己自行解决，并表述出自己的解法）思考:任意一个非零向量是否一定可以表示为两个不共线的向量的和？例 3 用向量法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形．六、概括小结1．理解向量减法概念并知道向量的减法的定义是建立在向量加法的基础上的;2．会作两向量的差向量；3．能够结合图形进行向量计算以及用两个向量表示其它向量．七、课外作业本课时学习收获（学生课后回顾记录）：存在疑问:尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
DL教育 最新高考 高中数学课件(可改)第二章平面向量小结复习课
x
2 2
y
2 2
三.两个等价条件
若a (x1, y1),b (x2 , y2 ),则
1.向量a和非零向量b
a // b 有唯一的实数，使a b
x1 y2 x2 y1 0
2.非零向量a和b
a b ab 0
x1 x2 y1 y2 0
四、基础训 练
1）已知 a 2, b 3,且a • b 4,则向量b在向量a
a是一个与a共线的向量
二.基本运算
3.两个非零向量 a与b 的数量积
1、平面非零向量数量积的定义：a b | a | | b | cos
a b x1x2 y1 y2
2、数量积是一个数，它的正负取决于夹角的余弦值 3、零向量与任何向量的数量积为零
二.基本运算
若a (x1, y1), b (x2 , y2 ),则
4 17 17
五.典例讲解 向量与三角函数综合题
例3：已知向量a (sin ,1),b (1, cos ), ( , )
22
1)若a b,求的值
2）求 a b 的最小值
要注意的范围
3）求函数y f ( ) a • b的单调增区间
The End
作业：完成巩固练习
• 高三数学复习知识点1
• 向量的向量积性质：
• ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
• a×a=0。
• a‖b〈=〉a×b=0。
• 向量的向量积运算律
• 高三数学复习知识点5 • 基本事件的定义： • 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。 • 等可能基本事件： • 若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基
例1.已知AB=a=(1,2),BC=b=(-3,2),CD=(6,4) （1）证明：A、B、D三点共线. （2）k为何值时，①向量ka+b与a-3b平行
广东省深圳市乐而思教育2017-2018学年高一数学必修4平面向量数量积的物理背景及其含义模块讲义无
平面向量数量积的物理背景及其含义知识梳理1、向量的数量积的定义(1)两个非零向量的数量积：零向量与任一向量的数量积：规定：零向量与任一向量的数量积均为0.2、向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①向量b 在a 的方向上的投影为|b |cos θ；②向量a 在b 的方向上的投影为|a |cos θ.(2)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．3、向量数量积的性质设a 与b 都是非零向量， θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |，当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.(3)a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ＝a 2.(4)cos θ＝a ·b |a ||b |. (5)|a ·b |≤|a ||b |.4、向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)．(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．常考题型题型一、向量数量积的运算例1、(1)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：①a ·b ; ②(a ＋b )·(a －2b )．(2)设正三角形ABC 的边长为2，＝c ，＝a ，＝b ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .变式训练已知正方形ABCD 的边长为2，分别求：(1)·；(2)·；(3)·.AB BC CA AB CD AB AD DA AC题型二、与向量的模有关的问题例2、(1)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.(2)已知|a |＝2，|b |＝4，a ，b 的夹角为π3，以a ，b 为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．向量模的常见求法在求向量的模时，直接运用公式|a |＝a ·a ，但计算两向量的和与差的长度用|a ±b |＝a ±b 2＝ a 2±2a ·b ＋b 2. 变式训练已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，求|a －b |.题型三、两个向量的夹角和垂直问题例3、(1)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．(2)已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．(1)求向量的夹角的关键是计算a ·b 及|a ||b |，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a ·b |a ||b |，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．(2)在个别含有|a |，|b |与a ·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．变式训练已知|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝ma －3b ，求当m 为何值时，c 与d 垂直？课堂小测1、下列命题：(1)若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；(2)(a ·b )c ＝a (b ·c )对任意向量a ，b ，c 都成立；(3)对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2、已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是32，则a ·b 为( ) A.92 B ．3 C ．2 D.123、若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．4、已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.5．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，m ＝a －λb ，n ＝2a ＋b ，按下列条件求实数λ的值：同步练习1、若，，与的夹角为，则( )4=a 3=b a b 120︒⋅=a bA ．B ．C ．D ．2、设向量与的夹角为，且，则等于（）AB C ． D ．63、已知向量，满足，且，，则与的夹角的余弦值为( )A ．B ．C． D ． 4、在三角形中，，，则（）A ．B ．CD ．5、下列命题正确的是 ( )A ．若，则或B ．C ．若，则与的夹角为钝角D ．6、已知向量，满足，，，则( )A ．0B ．2 2C ．4D ．87、已知平面向量、，，与向量的夹角为( )A. B. C. D ． 8、已知△外接圆的圆心为，，为钝角，是的中点，则（）A ．B ．C ．D ．9、设向量，满足，，且．若与的夹角为，则_____.10、等边△的边长为，则在方向上的投影为________．11、如图，在梯形中，，，，，．若，则__________．12、已知向量满足：，（1）求向量与的夹角；（2）求.66--a b 60︒22,3a b ==a b ⋅a b ()()24-⋅+=-a b a b 2=a 4=b a b 1212-22-ABC 90A ∠=︒1AB AC ==AB BC ⋅=1-100⋅=a b =0a =0b ⋅=⋅a b b a <0⋅a b a b ()()⋅⋅=⋅⋅a b c a b c a b 0⋅=a b 1=a 2=b 2-=a b a b 1=a =b 2+=a b a +a b π2π3π6πABC O AB =AC =BAC ∠M BC AM AO ⋅=3456a b 1=a 1=b ()0k k k +->a b b a b 60︒k =ABC 2AB BC ABCD AB CD 4AB =3AD =2CD =2AM MD =3AC BM ⋅=-AB AD ⋅=,a b ()1,6,2a b a b a ==⋅-=a b 2a b -13、已知，，且向量与不共线．（1）若与的夹角为，求；（2）若向量与互相垂直，求的值．14、在△中，若，，且，判断△的形状．1=a 4=b a b a b 60︒()()2-⋅+a b a b k +a b k -a b k ABC BC =a CA =b AB =c ⋅=⋅=⋅a b b c c a ABC。
整理[高一数学]北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案姚连省编制
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北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案扶风县法门高中姚连省第一课时 2.1从位移、速度、力到向量一、教学目标1.知识与技能：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点：重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.三.学法与教法学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教法:探究交流法.四.教学过程（一）、创设情境实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去。
问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.（二）、探究新知1．学生阅读教材思考如下问题A B[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）（1）. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲量等。
注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法有哪些？①几何表示法：有向线段有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。
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老师姓名陈小飞学生姓名邓子聪教材版本人教版学科名称数学年级高三上课时间 3 月10 日19 : 00 -- 21 : 00 课题名称平面向量教学重难点平面向量的性质教学过程一．知识梳理一．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为(),a xi y j x y=+=，称(),x y为向量a的坐标，a＝(),x y叫做向量a的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
二．基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．（注意向量和数量的区别）2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。
与非零向量a共线的单位向量aaa=±3. 平行(共线)向量：若非零向量,a b方向相同或相反，则//a b；规定零向量与任一向量平行提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；4、向量相等：ba=⇔模相等，方向相同；相反向量：ba-=⇔模相等，方向相反5、两个非零向量a、b的夹角：做OA=a；OB=b；AOB∠叫做a与b的夹角。
6、坐标表示：i、j分别是与x轴、y轴同向的单位向量，若=aj yi x+，则()y x,叫做a的坐标。
7.向量a在b方向上的投影：设θ为a、b的夹角，则cosaθ为a在b方向上的投影单位向量：①与向量a→=(12,5)平行的单位向量为②若(6,8)a=-，则与a平行的单位向量是．三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若1e 与2e不共线，则对平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ；使得=a2211e e λλ+。
2、向量的模：a ＝a a ⋅＝22yx +；非零向量a与b 的夹角：=θcos 222221212121||||y x y x y y x x b a b a +++=⋅3、向量平行的充要条件：a ∥b⇔b a λ=⇔1221y x y x =；共线定理：向量a 与非零向量b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得b a λ=向量垂直的充要条件：a ⊥b⇔0=⋅b a ⇔02121=+y y x x四、基本运算：运算 向量形式坐标形式：()11,y x a =；()22,y x b =加法<1>平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。
<2>三角形加法法则：首尾相连记：AB BC AC +=a +b=()2121,y y x x ++减法起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减向量） 记：OA OB BA -= =-AC AB CBa -b=()2121,y y x x --若()()2211,,,y x B y x A，则()2121,AB x x y y =--数乘a λ是一个向量，=aλ||||a λ方向：0>λ时，与a 同向；0<λ时，与a 反向；0=λ时，0=a λ，方向任意。
()11,y x a λλλ=数量积 a ·b=θcos ||||b a a ·b=2121y y x x +五．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b的数量积（或内积） 规定00a ⋅=2向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==3乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=- ；()2222a b a a b b±=±⋅+ 222a a b b =±⋅+4平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅ ()c a b =⋅±特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；注意数量积是实数，不再是向量（2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0 或b =05两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b的夹角cos θ=cos ,a ba b a b ∙<>=∙ =222221212121y x y x y y x x +⋅++当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00；当且仅当a 与b 反方向时θ=1800。
六．向量的运算： 1．几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==，那么向量AC 叫做a 与b的和，即a b AB BC AC +=+= ；②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。
注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
一般地，对于任意三点O ，A ，B ，AB =OB —OA二．典型例题1．化简: (1)_____=-→→AD AB (2)_____=-→→OA OD(3)____=--→→→DC AD AB (4)MN PN PM +-=__________2、化简：AD DE AC CE --+=__________。
3．点C 在线段AB 上，且35AC AB = ，则________AC CB =变式训练2：已知A ()3,2,()y B ,1-,()2,-x C ，()6,3-D ，若→→=CD AB ,求y x ,的值.4．设平面上四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（DB → ＋DC → －2DA → ）·（AB→ －AC → ）=0．则ΔABC 的形状是 （ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形5．在ABC ∆中， , AB c AC b ==，若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ ）．A. 2133b c +B. 5233c b -C. 2133b c -D. 1233b c +变式训练：如图所示，D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量CD 等于（ ）A ．－BC ＋BA 21B ．－BC －BA 21C ．BC －BA 21D ．BC ＋BA21 AD BC6．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB = ，13CD CA CB λ=+，则λ等于（ ）A ．23 B. 13 C.13- D. 23-坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。
②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。
③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
④平面向量数量积：1212a b x x y y ∙=+。
⑤向量的模：222222||,||a x y a a x y =+==+ 。
⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则()()222121||AB x x y y =-+-。
1．(2008年四川高考)设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b 等于( )A ．(7,3)B ．(7,7)C ．(1,7)D ．(1,3)2. 若(2,8)OA = ，(7,2)OB =- ，则31AB= .3.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b + ＝_____变式训练1: 已知|a |＝3，|b |＝4，|a ＋b |＝5，求|2a －3b |的值．变式训练2：已知|a |＝4，|b |＝5，且a 与b 的夹角为60°，求：(2a ＋3b )·(3a －2b )．2014年个性化辅导教案向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ⇔= 22()(||||)a b a b ⇔⋅= 1212x y y x ⇔-＝0。
例题：已知向量(3,1)a = ，(1,3)b = ，(,7)c k = ，若()a c -∥b ，则k = ．(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同（2）已知(1,1),(4,)a b x == ，2u a b =+ ，2v a b =+ ，且//u v，则x ＝______（3）.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=51（4）设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===，则k ＝_____时，A,B,C 共线（5）.已知A(2,-2),B(4,3),向量p 的坐标为(2k-1,7)且p ∥AB ,则k 的值为 ( )A.109-B.109C.1019-D.1019（6）已知a=（2，1），b =（x ，1），且a ＋b 与2a －b 平行，则x 等于 （ ） A ．10 B ．－10 C ．2 D ．－2（7）．设e 1、e 2是两个不共线向量，若向量 a =3e 1＋5e 2与向量b =m e 1－3e 2共线， 则m 的值等于 A ．－ 53 B ．－ 95 C ．－ 35 D ．－ 592014年个性化辅导教案向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=-12120x x y y ⇔+=(1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA OB ⊥ ，则m =（2）已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量a+x ·b 与b 垂直，则x 的值为（ ）A.323B.233 C.2 D.-52（3）已知(,),n a b =向量n m ⊥ ，且n m = ，则m 的坐标是________（4）、已知|a |=5,|b |=4,a 与b的夹角为60°，求k 为何值时，向量b a k -与b a 2+垂直。