北师大九年级上《2.5一元二次方程的根与系数的关系》同步练习含答案解析
北师大版九年级上册 2.5 一元二次方程的跟和系数的关系(含答案及解析)
初中数学北师大版九年级上学期第二章 2.5 一元二次方程的跟与系数的关系一、单选题1.若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（）A. 4B. 2C. 1D. ﹣22.若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且＝﹣，则m等于（）A. ﹣2B. ﹣3C. 2D. 33.若，，则以，为根的一元二次方程是（）A. B. C. D.4.已知，是方程的两个实数根，则的值是( )A. 2023B. 2021C. 2020D. 20195.已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=-2，则b与c的值分别是( )A. b=-1，C=2B. b=1，C=-2C. b=1，c=2D. b=-1，c=-26.兰兰和笑笑分别解一道关于X的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程两根为-2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程两根为3和4，则原方程是（）A. x2+7x-12=0B. x2-7x-12=0C. x2+7x+12=0D. x2-7x+12=0二、填空题7.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________.8.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为1，则方程的另一个根为________.9.若矩形的长和宽是方程2x2-16x+m=0(0<m≤32)的两根，则矩形的周长为________三、计算题10.已知x1、x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，（1）求x1+x2；x1x2的值；（2）求x12+x22的值．四、解答题11.阅读材料：已知方程a22a 1=0，1 2b b2=0且ab≠1，求的值.解：由a22a 1=0及1 2b b2=0，可知a≠0，b≠0，又∵ab≠1，.1 2b b2=0可变形为，根据a22a 1=0和的特征.、是方程x22x 1=0的两个不相等的实数根，则，即.根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.已知：3m27m 2=0，2n2+7n 3=0且mn≠1，求的值.五、综合题12.如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若x2-2 x+2=0的两根是x1、x2，且OC=x1+x2，OA=x1x2（1）求B点的坐标.（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，求直线BD的解析式．（3）在平面上是否存在点P，使D、C、B、P四点形成的四边形为平形四边形？若存在，请直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分一、单选题1.答案：A解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2-5一元二次方程根与系数的关系》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程根与系数的关系》同步练习题（附答案）1．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠0 2．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（）A．﹣2B．1C．2D．03．已知x1、x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（）A．B．C．D．4．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3＝0的两根为α与β，则的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．25．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根6．关于x的一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两根x1，x2，则x12+x22的值是（）A．4B．8C．12D．107．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣x+＝0B．x2﹣2x+3＝0C．x2+x+2＝0D．x2+2x＝08．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≠0B．m≤C．m＜D．m＞9．已知关于x的方程2x2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝3，则b+c的值是（）A．﹣10B．﹣7C．﹣14D．﹣210．已知一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一根为2，则另一个根为（）A．1B．C．D．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k值为．12．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，则x1+x2＝．13．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值为．14．已知方程2x2﹣x﹣3＝0的两根为x1，x2，那么+的值是．15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个实数根，且x12+x22＝5，则a ＝．16．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围为．17．若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）＝．18．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2（m+2）x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1+x2＝2m，则m的值是．19．若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是．20．若关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，则k＝．21．已知a，b分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则a2﹣3a﹣5b＝．22．关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的两实根为x1，x2，且x12+x22＝3k2，则k＝．23．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若+＝36求m的值．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx+3k2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝3，求k的值．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）等腰三角形ABC中，AB＝3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．26．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．27．已知关于x的一元二次方程（b﹣c）x2﹣2ax+（c+b）＝0．其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案1．解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即：9+4k≥0，解得：k≥﹣，∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．故选：D．2．解：∵一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，∴x1x2＝0．故选：D．3．解：∵x1、x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两根，∴x1+x2＝﹣＝﹣，x1•x2＝＝﹣2，∴x1﹣x1x2+x2＝﹣﹣（﹣2）＝．故选：D．4．解：根据题意得α+β＝3，αβ＝﹣3，所以＝＝＝﹣1．故选：A．5．解：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，故选：A．6．解：根据题意得x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣4，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣4）＝12．故选：C．7．解：A．∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×＝0，∴方程有两个相等的实数根，不符合题意；B．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴方程没有实数根，不符合题意；C．∵Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴方程没有实数根，不符合题意；D．∵Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；故选：D．8．解：根据题意得，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0，解得：m≤，故选：B．9．解：∵关于x的方程2x2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝3，∴﹣2+3＝﹣，﹣2×3＝，∴b＝﹣2，c＝﹣12，∴b+c＝﹣2﹣12＝﹣14，故选：C．10．解：设方程的另一个根为x2，则根据题意，得2x2＝﹣3，解得x2＝﹣，所以这个方程的另一个根是﹣，故选：D．11．解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，解得k＝1．故答案为1．12．解：x1+x2＝﹣＝．故答案为．13．解：∵α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，∴α+β＝3，αβ＝﹣4∴α+β﹣αβ＝3﹣（﹣4）＝7．故答案为：714．解：∵x1，x2是方程2x2﹣x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝，x1•x2＝﹣，∴+＝＝﹣．故答案为：﹣．15．解：根据题意得：Δ＝9﹣4a≥0，解得：a，x1+x2＝3，x1x2＝a，x12+x22＝﹣2x1x2＝9﹣2a＝5，解得：a＝2（符合题意），故答案为：2．16．解：根据题意得，Δ＝（2k+1）2﹣4k2＝4k+1≥0，∴k≥，故答案为：k≥17．解：由题意可知：x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，∴原式＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4，故答案为：418．解：由已知得：m≠0且Δ＝[﹣2（m+2）]2﹣4m2＝16m+16＞0，则m的范围为m≠0且m＞﹣1，∵关于x的一元二次方程mx2﹣2（m+2）x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴x1+x2＝，∵x1+x2＝2m，∴＝2m，∵m≠0，∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或﹣1，∵m＞﹣1，∴m＝2，故答案为2．19．解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根，∴m2+2m﹣1＝0，∴m2+2m＝1，∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，∴m+n＝﹣2，∴m2+4m+2n＝m2+2m+2m+2n＝1+2×（﹣2）＝﹣3．故答案为：﹣3．20．解：∵关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×k＝0，解得：k＝．故答案为：．21．解：∵a为一元二次方程x2+2x﹣2011＝0的根，∴a2+2a﹣2011＝0，∴a2+2a＝2011，∵a，b分别为一元二次方程x2+2x﹣2011＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣2，∴a2﹣3a﹣5b＝a2+2a﹣5（a+b）＝2011﹣5×（﹣2）＝2021．故答案为2021．22．解：由根与系数的关系得：x1+x2＝1，x1•x2＝k，∵方程两实根满足x12+x22＝3k2，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝3k2，∴12﹣2k＝3k2，解得：k＝或﹣1，当k＝时，方程为x2﹣x+＝0，Δ＝12﹣4×1×＝﹣＜0，此方程无解，当k＝﹣1时，方程为x2﹣x﹣1＝0，此方程有解，故答案为：﹣1．23．（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣9）＝36＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：∵x1+x2＝2m，，∴+＝＝4m2﹣2m2+18＝36，化简，得2m2＝18，解得m＝3或m＝﹣3．24．（1）证明：∵Δ＝（﹣4k）2﹣4×3k2＝4k2≥0，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设方程的两实数解为a、b，根据根与系数的关系得x1+x2＝4k，x1x2＝3k2，∵|x1﹣x2|＝3，∴（x1﹣x2）2＝9，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，∴16k2﹣4×3k2＝9，即k2＝，解得k1＝，k2＝﹣．故k的值为或﹣．25．（1）证明：∵Δ＝（k+1）2﹣4（2k﹣3）＝k2+2k+1﹣8k+12＝k2﹣6k+13＝（k﹣3）2+4＞0，∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当AB＝3为腰时，则AC或BC有一条边为腰，x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的解为3，∴9﹣3（k+1）+2k﹣3＝0，解得：k＝3，当AB＝3为底时，则AC，BC为腰，方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0有两个相等的实数根，由（1）得无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根，故这种情况不存在；综上所述，k＝3．26．解：（1）根据题意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤；（2）存在．根据题意得α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，∵α2+β2﹣αβ＝6，∴（α+β）2﹣3αβ＝6，即（2m﹣1）2﹣3m2＝6，整理得m2﹣4m﹣5＝0，解得m1＝5，m2＝﹣1，∵m≤；∴m的值为﹣1．27．解：（1）△ABC为等腰三角形，理由如下：∵x＝1是一元二次方程（b﹣c）x2﹣2ax+（b+c）＝0的根，∴（b﹣c）﹣2a+（b+c）＝0，∴a＝b，∵b﹣c≠0，∴b≠c，∴△ABC为等腰三角形；（2）△ABC为直角三角形，理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴（﹣2a）2﹣4（b﹣c）（b+c）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC为直角三角形．。
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北师大版九年级数学上册第二章2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题一、选择题1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B)A．1 B．2 C．3 D．42．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1 x2的值为(B)A．1 B．-2 C．3 D．-43．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2.若b＋2c＝0，则1x1＋1x2＋x1x2x1＋x2的值为（D）．A．52 B．-32C．32D．-524．若一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别是m，n，则m3－3m2＋2n＝（A）A．6 B．5 C．3 D．45．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝（D）．A．3 B．4 C．5 D．66.已知关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，则方程a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝0的两根之和为（A ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题7．已知关于x 的一元二次方程x 2－2kx －8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是－4．8．已知关于x 的方程x 2＋mx －2n ＝0的两根之和为－2，两根之积为1，则m ＋n 的值为32．9．写一个以5，－2为根的一元二次方程(化为一般形式)x 2－3x －10＝0．10．已知m ，n 是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两根，则m ＋n ＋mn ＝－1．11．若x 1＋x 2＝3，x 21＋x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2－3x ＋2＝0．12．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m＋m n 的值是452或2． 13．已知a ，b 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则a 2b ＋ab 2的值为10．14．已知关于x 的方程kx 2－3x ＋1＝0有两个实数根，分别为x 1和x 2.当x 1＋x 2＋x 1x 2＝4时，k ＝1．15．若方程2x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则1x 21＋1x 22＝289．三、解答题16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝32－2×(－1) ＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.17．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)若a为正整数，求a的值；(2)若x1，x2满足x21＋x22－x1x2＝16，求a的值．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－2(a－1)]2－4(a2－a－2)＞0.解得a＜3.∵a为正整数，∴a＝1或2.(2)∵x21＋x22－x1x2＝16，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝16.∵x1＋x2＝2(a－1)，x1x2＝a2－a－2，∴[2(a－1)]2－3(a2－a－2)＝16.解得a1＝－1，a2＝6.又由(1)知a＜3，∴a＝－1.18．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数值．解：根据题意，得Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)≥0，且k≠0，解得k ＜0.∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k ，∴x 1x 2＋x 2x 1－2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2－2 ＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－4＝1k ＋14k －4 ＝－4k ＋1.∵k 为整数，且－4k ＋1为整数，∴k ＋1＝±1，±2，±4. 又∵k＜0，∴k ＝－5，－3，－2.19．已知关于x 的方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数解，求实数m 的取值范围．解：∵3x 2＋2x －m ＝0没有实数解， ∴Δ＝4－4×3×(－m)＜0，解得m ＜－13.故实数m 的取值范围是m ＜－13.20．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，求mn＋nm的值． 解：若m≠n，∵实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0， ∴m ，n 是方程3x 2＋6x －5＝0的两根． ∴m ＋n ＝－2，mn ＝－53.∴m n ＋n m ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn （－2）2－2×（－53）－53＝－225. 若m ＝n ，则m n ＋nm ＝1＋1＝2.综上可知，m n ＋n m 的值为－225或2.21．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0.(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)若方程的两根都是正数，求m的取值范围；(3)设x1，x2是这个方程的两个实数根，且1＋x1x2＝x21＋x22，求m 的值．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m－1)＝－4m＋8＞0.∴m＜2.∴当m＜2时，方程有两个不相等的实数根．(2)设x1，x2是这个方程的两个实数根，则x1＞0，x2＞0，∴x1x2＝m－1＞0.∴m＞1.∵方程的两根都是正数，∴Δ≥0.∴m≤2.∴m的取值范围是1＜m≤2.(3)由题意可得x1＋x2＝2，x1x2＝m－1.∵1＋x1x2＝x21＋x22，∴1＋x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2，即1＋m－1＝22－2(m－1)．解得m＝2.22．已知k 为非负实数，关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0和kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0.(1)求证：前一个方程必有两个非负实数根；(2)当k 取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根？ 解：(1)证明：x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0，Δ＝[－(k ＋1)]2－4k ＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0的根为x ＝（k ＋1）±（k －1）22.∴x 1＝k ，x 2＝1. ∵k 为非负实数，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0必有两个非负实数根． (2)方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0中，∵k ≥0，当k≠0时，Δ＝(k ＋2)2－4k 2＝(k ＋2＋2k)(k ＋2－2k)＝(3k ＋2)(2－k)．∵k ＞0，∴3k ＋2＞0.∴要使(3k ＋2)(2－k)≥0，需满足2－k≥0， 即k≤2，且k≠0.当k ＝0时，x ＝0.∴k ≤2时，方程有实数根．当相同的根是k 时，把x ＝k 代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k 3－(k ＋2)k ＋k ＝0，解得k ＝0或k ＝1＋52或k ＝1－52.∵k 为非负实数，∴k ＝0或1＋52.满足k≤2.当相同的根是1时，把x ＝1代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k －(k ＋2)＋k ＝0，解得k ＝2.满足k≤2.∴当k ＝2或0或1＋52时，上述两个方程有一个相同的实数根．。
北师大版九年级数学上册 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题(含答案,教师版)
北师大版九年级数学上册第二章2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题一、选择题1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B) A．1 B．2 C．3 D．42．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1x2的值为(B)A．1 B．-2 C．3 D．-43．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2.若b＋2c＝0，则1x1＋1x2＋x1x2x1＋x2的值为（D）．A．52B．-32C．32D．-524．若一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别是m，n，则m3－3m2＋2n＝（A）A．6 B．5 C．3 D．45．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝（D）．A．3 B．4 C．5 D．66.已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为（A）．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．已知关于x的一元二次方程x2－2kx－8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是－4．8．已知关于x的方程x2＋mx－2n＝0的两根之和为－2，两根之积为1，则m＋n的值为32．9．写一个以5，－2为根的一元二次方程(化为一般形式)x2－3x－10＝0．10．已知m，n是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则m＋n＋mn＝－1．11．若x1＋x2＝3，x21＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是x2－3x＋2＝0．12．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m ＋m n 的值是452或2．13．已知a ，b 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则a 2b ＋ab 2的值为10．14．已知关于x 的方程kx 2－3x ＋1＝0有两个实数根，分别为x 1和x 2.当x 1＋x 2＋x 1x 2＝4时，k ＝1．15．若方程2x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则1x 21＋1x 22＝289．三、解答题16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： (1)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1) ＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.17．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)若a 为正整数，求a 的值；(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22－x 1x 2＝16，求a 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－2(a －1)]2－4(a 2－a －2)＞0.解得a ＜3. ∵a 为正整数， ∴a ＝1或2.(2)∵x 21＋x 22－x 1x 2＝16， ∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝16.∵x 1＋x 2＝2(a －1)，x 1x 2＝a 2－a －2， ∴[2(a －1)]2－3(a 2－a －2)＝16. 解得a 1＝－1，a 2＝6. 又由(1)知a ＜3， ∴a ＝－1.18．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数值．解：根据题意，得Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)≥0，且k≠0，解得k ＜0. ∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k ，∴x 1x 2＋x 2x 1－2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2－2 ＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－4＝1k ＋14k－4 ＝－4k ＋1.∵k 为整数，且－4k ＋1为整数，∴k ＋1＝±1，±2，±4. 又∵k＜0，∴k ＝－5，－3，－2.19．已知关于x 的方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数解，求实数m 的取值范围． 解：∵3x 2＋2x －m ＝0没有实数解， ∴Δ＝4－4×3×(－m)＜0，解得m ＜－13.故实数m 的取值范围是m ＜－13.20．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，求m n ＋n m 的值．解：若m≠n，∵实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0， ∴m ，n 是方程3x 2＋6x －5＝0的两根． ∴m ＋n ＝－2，mn ＝－53.∴m n ＋n m ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn （－2）2－2×（－53）－53＝－225. 若m ＝n ，则m n ＋nm ＝1＋1＝2.综上可知，m n ＋n m 的值为－225或2.21．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0. (1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；(3)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，且1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，求m 的值． 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)＝－4m ＋8＞0.∴m＜2. ∴当m ＜2时，方程有两个不相等的实数根．(2)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，则x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＝m －1＞0.∴m＞1. ∵方程的两根都是正数，∴Δ≥0.∴m ≤2.∴m 的取值范围是1＜m≤2. (3)由题意可得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1. ∵1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，∴1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2， 即1＋m －1＝22－2(m －1)．解得m ＝2.22．已知k 为非负实数，关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0和kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0. (1)求证：前一个方程必有两个非负实数根；(2)当k 取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根？ 解：(1)证明：x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0，Δ＝[－(k ＋1)]2－4k ＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0的根为x ＝（k ＋1）±（k －1）22.∴x 1＝k ，x 2＝1. ∵k 为非负实数，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0必有两个非负实数根． (2)方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0中，∵k ≥0，当k≠0时，Δ＝(k ＋2)2－4k 2＝(k ＋2＋2k)(k ＋2－2k)＝(3k ＋2)(2－k)． ∵k ＞0，∴3k ＋2＞0.∴要使(3k ＋2)(2－k)≥0，需满足2－k≥0， 即k≤2，且k≠0.当k ＝0时，x ＝0.∴k ≤2时，方程有实数根．当相同的根是k 时，把x ＝k 代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k 3－(k ＋2)k ＋k ＝0， 解得k ＝0或k ＝1＋52或k ＝1－52.∵k 为非负实数，∴k ＝0或1＋52.满足k≤2. 当相同的根是1时，把x ＝1代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k －(k ＋2)＋k ＝0，解得k ＝2.满足k≤2.∴当k ＝2或0或1＋52时，上述两个方程有一个相同的实数根．。
北师大版数学九上册 2.5一元二次方程根与系数的关系 同步习题
北师大版数学九上册 2.5一元二次方程根与系数的关系 同步习题及答案[预习自测]一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个根分别为x 1、x 2，则x 1+x 2 = x 1x 2 =[知识点1]一元二次方程根与系数的关系1. 若x 1+x 2=3，x 12+x 22=5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A.x 2-3x+2=0B.x 2+3x-2=0C.x 2+3x+2=0D.x 2-3x-2=02．若x 1、x 2是方程2x 2-6x+3=0的两个根，则1x 1+1x 2的值为( ) A ．-2 B ．2 C ． 12 D ．92 3．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于() A ．3- B ．5 C ．53-或D ．53-或 4.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．5．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ． 6. 已知关于x 的一元二次方程x 2-2√2x+m=0有两个不相等的实数根。
（1）求实数m 的最大整数值；（2）在（1）的条件下，方程的实数根是x 1，x 2，求代数式x 12+x 22- x 1x 2的值。
[提高训练]7．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．8．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长．(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2)k 的值．9．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ．(1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．10．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．11．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1．(1) 求实数k 的取值范围；(2) 若1212x x =，求k 的值．12.设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程x 2+2（m-2）x+m 2-3m+3=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若1x 1 +1x 2 =1，求13−2m 的值； （2）求mx 11−x 1+mx 21−x 2-m 2的最大值。
北师大版数学九年级上册：2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习(含答案)
2.5 一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1.设方程x2-3x+2=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值为()A.3B.-32C.32D.-22.已知x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,下列结论一定正确的是 ()A.x1≠x2B.x1+x2>0C.x1·x2>0D.x1<0,x2<03.已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程可以是()A.x2-7x+12=0B.x2+7x+12=0C.x2+7x-12=0D.x2-7x-12=04.关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2,若(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3,则k的值为()A.0或2B.-2或2C.-2D.2二、填空题5.若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为1,则这个一元二次方程的另一个根为.6.若关于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0的两实数根之积为负,则实数m的取值范围是.7.若x1,x2是方程x2-4x-2020=0的两个实数根,则代数式x12-2x1+2x2的值等于.三、解答题8.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积:(1)x2-3x-11=0;(2)3x2-1=2x2-5x.9.已知方程3x2-x-1=0的两根分别为α,β,求下列各式的值:(1)α2+β2;(2)1α+1β.10.已知关于x的一元二次方程x2-(t-1)x+t-2=0.(1)求证:对于任意实数t,方程都有实数根;(2)当t为何值时,方程的两个根互为相反数?请说明理由.11. 已知一直角三角形的两条直角边长是关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+3=0的两个不相等的实数根,如果此直角三角形的斜边长是5,求它的两条直角边长.详解详析1.A[解析] 由x2-3x+2=0可知,其二次项系数a=1,一次项系数b=-3,由根与系数的关系,得x1+x2=-ba =--31=3.故选A.2.A[解析] A项,∵Δ=(-a)2-4×1×(-2)=a2+8>0,∴x1≠x2,A项正确.B项,∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1+x2=a.∵a的正负不确定,∴B项不一定正确.C项,∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1·x2=-2<0,C项错误.D项,∵x1·x2=-2,∴x1,x2异号,D项错误.故选A.3.A4.D[解析] ∵关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2, ∴x1+x2=k-1,x1x2=-k+2.∵(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=-3,即(x1+x2)2-2x1x2-4=-3,∴(k-1)2+2k-4-4=-3,解得k=±2.当k=2时,原方程为x2-x=0,∴Δ=(-1)2-4×1×0=1>0,∴该方程有两个不相等的实数根,∴k=2符合题意;当k=-2时,原方程为x2+3x+4=0,∴Δ=32-4×1×4=-7<0,∴该方程无解,∴k=-2不合题意,舍去.故k=2.故选D.5.-2[解析] ∵a=1,b=-k,c=-2,∴x1·x2=ca=-2.∵关于x 的一元二次方程x 2-kx-2=0的一个根为1, ∴另一个根为-2÷1=-2. 故答案为-2.6. m>12 [解析] 设x 1,x 2为关于x 的方程x 2+2x-2m+1=0的两个实数根.由题意,得{Δ>0,x 1x 2<0,即{4-4(1-2m )>0,-2m +1<0, 解得m>12. 故答案为m>12.7.2028 [解析] ∵x 1,x 2是方程x 2-4x-2020=0的两个实数根,∴x 1+x 2=4,x 12-4x 1-2020=0,即x 12-4x 1=2020,则原式=x 12-4x 1+2x 1+2x 2=x 12-4x 1+2(x 1+x 2)=2020+2×4=2020+8=2028. 故答案为2028. 8.解:(1)a=1,b=-3,c=-11, Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×1×(-11)=53>0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个根为x 1,x 2,根据根与系数的关系得x 1+x 2=3,x 1x 2=-11. (2)原方程可变形为x 2+5x-1=0. a=1,b=5,c=-1,Δ=b 2-4ac=52-4×1×(-1)=29>0, ∴方程有两个实数根.设方程的两个根为x 1,x 2,根据根与系数的关系得x 1+x 2=-5,x 1x 2=-1. 9.解:由根与系数的关系,得α+β=13,αβ=-13. (1)α2+β2=(α+β)2-2αβ=132-2×-13=19+23=79.(2)1α+1β=α+βαβ=13-13=-1.10.解:(1)证明:∵在方程x 2-(t-1)x+t-2=0中,Δ=[-(t-1)]2-4×1×(t-2)=t 2-6t+9=(t-3)2≥0,∴对于任意实数t,方程都有实数根.(2)当t=1时,方程的两个根互为相反数.理由:设方程的两个根分别为m,n.∵方程的两个根互为相反数,∴m+n=t-1=0,解得t=1.∴当t=1时,方程的两个根互为相反数.11.[解析] 首先根据根的判别式求出k的取值范围,再根据根与系数的关系得到x1+x2=1-2k;x1x2=k2+3,再根据勾股定理得到x12+x22=52,接着利用完全平方公式变形得到(x1+x2)2-2x1x2=25,则(1-2k)2-2(k2+3)=25,求出k的值,进而求出两条直角边长.解:∵关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+3=0有两个不相等的实数根,∴Δ>0,即(2k-1)2-4(k2+3)>0,.∴-4k-11>0,∴k<-114令方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=1-2k,x1x2=k2+3.∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边长,且此直角三角形的斜边长为5, ∴x12+x22=52,∴(x1+x2)2-2x1x2=25,即(1-2k)2-2(k2+3)=25,∴k2-2k-15=0,解得k1=5,k2=-3.∵k<-11,∴k=-3.4把k=-3代入原方程,得x2-7x+12=0,解得x1=3,x2=4,∴直角三角形的两条直角边长分别为3和4.。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2-5一元二次方程根与系数的关系》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程根与系数的关系》同步知识点分类练习题（附答案）一．根的判别式1．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则其中正确的（）A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③2．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥B．m＜C．m＞且m≠1D．m≥且m≠1 3．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，则n的值为（）A．6B．6或7C．7或8D．74．已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（）A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根5．关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围为（）A．m＜4B．m＞﹣4C．m≤4D．m≥﹣46．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①②B．①②④C．①②③④D．①②③7．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a≥0且a≠1C．a＞0D．a＞0且a≠1 8．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是．9．在等腰△ABC中，三条边分别是a，b，c，其中b＝5．若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x﹣＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．10．若k为整数，关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5＝0有实数根，则整数k的最大值为．二．根与系数的关系11．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．212．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于（）A．2022B．2026C．2030D．203413．方程（x+1）（x﹣2）+1＝0的根的情况，下列结论中正确的是（）A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根14．已知1和2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，则关于x的方程a（x+1）2+b （x+1）+c＝0的根为（）A．0和1B．1和2C．2和3D．0和315．关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（）A．p是正数，q是负数B．（p﹣2）2+（q﹣2）2＜8C．q是正数，p是负数D．（p﹣2）2+（q﹣2）2＞816．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣6x+3＝0的两个实数根，则的值为（）A．4B．﹣4C．D．217．已知两个关于x的一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c．下列结论错误的是（）A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根C．若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是x＝118．已知的小数部分是方程x2﹣3x﹣m＝0的一个根，则该方程另一根的整数部分是（）A．1B．2C．3D．419．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（）A．4045B．4044C．2022D．120．设a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（）A．2022B．﹣2022C．2020D．﹣202021．已知一元二次方程x2﹣2022x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则x12﹣+1的值为（）A．﹣1B．0C．﹣2022D．﹣202122．已知关于x的一元二次方程（p+1）x2+2qx+（p+1）＝0（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论：①1和一1都是方程x2+qx+p＝0的根②0可能是方程x2+qx+p＝0的根③﹣1可能是方程x2+qx+p＝0的根④1一定不是方程x2+qx+p＝0的根其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④23．已知实数m，n满足m2﹣2am+2＝0，n2﹣2an+2＝0．若m≠n，且m+n≥4，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（）A．6B．﹣3C．3D．024．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．25．已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝．26．设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1＝0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|＝6，那么实数m 的取值是．27．关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得|x1|﹣|x2|＝？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由．28．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．29．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根．（1）试确定m的取值范围；（2）当+＝﹣1时，求m的值．30．若α＝为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；（1）则方程的另外一个根β＝，t＝；（2）求α6+8β的值．（3）求作一个关于y的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2．31．边长为整数的直角三角形若其两直角边长是方程x2﹣（k+2）x+4k＝0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长．参考答案一．根的判别式1．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝或x0＝∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣∴故④正确．故选：B．2．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，∴，解得：m≥且m≠1．故选：D．3．解：∵三角形是等腰三角形，∴①a＝2，或b＝2；②a＝b两种情况，①当a＝2，或b＝2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，∴x＝2，把x＝2代入x2﹣6x+n+2＝0得，22﹣6×2+n+2＝0，解得：n＝6，当n＝6，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n＝6不合题意，②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4（n+2）＝0解得：n＝7．故选：D．4．解：关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，Δ＝（k+3）2﹣4×1×（k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，A、当k＝﹣1时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；B、因为Δ≥0，所以不存在k的值，使得使得方程没有实数解．故此选项错误；C、解方程得：x1＝﹣1，x2＝﹣k﹣2，所以无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根﹣1，故此选项正确；D、当k≠﹣1时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；故选：C．5．解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个实数根，∴Δ＝42﹣4×1×（﹣m）＝16+4m≥0，解得：m≥﹣4，故选：D．6．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0，若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝，∴2ax0+b＝±，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：B．7．解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）×（﹣1）＝4a≥0，解得a≥0，又∵a﹣1≠0，∴a≥0且a≠1，故选：B．8．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个实数根，∴，解得m≥且m≠2．故答案为：m≥且m≠2．9．解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（a+2）2﹣4×1×（﹣a+7）＝0，∴a1＝﹣8，a2＝3，∴a＝3．在等腰△ABC中，①b＝5为底时，则a＝c＝3，∴△ABC的周长＝11；②b＝5为腰时，c＝b＝5．∴△ABC的周长＝5+5+3＝13综上可知△ABC的周长为11或13．10．解：∵方程有实数根，∴Δ＝4（k+1）2﹣4（k﹣1）（k+5）≥0，且k﹣1≠0，解得：k≤3且k≠1，故整数k的最大值为3．故本题答案为：3二．根与系数的关系（共21小题）11．解：设x2+x+m＝0另一个根是α，∴﹣1+α＝﹣1，∴α＝0，故选：B．12．解：∵x1是方程x2﹣4x﹣2022＝0的实数根，∴x12﹣4x1﹣2022＝0，∴x12＝4x1+2022，∴x12﹣2x1+2x2＝4x1+2022﹣2x1+2x2＝2022+2（x1+x2），∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2022＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，∴x12﹣2x1+2x2＝2022+2×4＝2030．故选：C．13．解：方程整理得：x2﹣x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，设为a，b，∵a+b＝1，ab＝﹣1，∴方程一个正根，一个负根，且正根绝对值大于负根绝对值．故选：C．14．解：设x+1＝t，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1＝0化为at2+bt+1＝0，由题意可知：t1＝1，t2＝2，∴x+1＝1和x+1＝2，∴x＝0和x＝1，∴方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的两根为x＝0和x＝1，故选：A．15．解：设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，故选项A与C说法均错误，不符合题意；∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；故选：D．16．解：根据题意得x1+x2＝6，x1x2＝3，则＝＝＝4，故选：A．17．解：A、∵方程M有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝0，∵方程N的Δ＝b2﹣4ac＝0，∴方程N也有两个相等的实数根，故不符合题意；B、∵方程M的两根符号相反，∴＜0，且b2﹣4ac＞0，∴＞0，且b2﹣4ac＞0，∴方程N也有一个正根和一个负根，故不符合题意；C、∵把x＝5代入ax2+bx+c＝0得：25a+5b+c＝0，∴c+b+a＝0，∴是方程N的一个根，故不符合题意；D、∵方程M和方程N有一个相同的根，∴ax2+bx+c＝cx2+bx+a，∴（a﹣c）x2＝a﹣c，∵a≠c，∴x2＝1，∴x＝±1，即这个根可能是x＝±1；故符合题意．故选：D．18．解：∵的小数部分是方程x2﹣3x﹣m＝0的一个根，∴方程x2﹣3x﹣m＝0的一个根是﹣2，∴该方程另一根是3﹣（﹣2）＝5﹣，∵2＜＜3，∴该方程另一根的整数部分是5﹣3＝2．故选：B．19．解：把x＝x1代入方程得：x12﹣x1﹣2022＝0，即x12﹣2022＝x1，∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022，则原式＝x1（x12﹣2022）+x22＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝1+4044＝4045．故选：A．20．解：根据题意，得a+b＝1，ab＝﹣2021，∴a+b﹣ab＝1+2021＝2022，故选：A．21．解：∵x＝x1为方程x2﹣2022x+1＝0的根，∴x12﹣2022x1+1＝0，∴x12+1＝2022x1，∴x12﹣+1＝2022x1﹣＝2022×，∵方程x2﹣2022x+1＝0的两个根分别为x1，x2，∴x1x2＝1，∴x12﹣+1＝2022×＝0．故选：B．22．解：根据题意，可得Δ＝（2q）2﹣4（p+1）2＝0，且p+1≠0，∴q＝±（p+1），当q＝p+1时，q﹣p﹣1＝0，此时x＝﹣1是方程x2+qx+p＝0的根，当q＝﹣（p+1）时，q+p+1＝0，此时x＝1是方程x2+qx+p＝0的根，∵p+1≠0，∴p+1≠﹣（p+1），∴x＝1和x＝﹣1不能同时是方程x2+qx+p＝0的根，故①④不符合题意，③选项符合题意；当x＝0时，p＝0，∴q＝±1，∴当p＝0，q＝±1时，x＝0是方程x2+qx+p＝0的根，故②符合题意，故选：C．23．解：∵实数m，n满足m2﹣2am+2＝0，n2﹣2an+2＝0，∴m+n＝2a，mn＝2，∴（m﹣1）2+（n﹣1）2＝m2﹣2m+1+n2﹣2n+1＝（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2＝4a2﹣4﹣4a+2＝（2a﹣1）2﹣3，∵m≠n，且m+n≥4，∴（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（4﹣1）2﹣3＝9﹣3＝6．故选：A．24．解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且Δ＞0，由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2＝﹣，x1x2＝9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范围为：＜a＜0．故选D．方法2、由题意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x＝1时，y＜0，∴a+（a+2）+9a＜0，∴a＜﹣（不符合题意，舍去），当a＜0时，x＝1时，y＞0，∴a+（a+2）+9a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，故选：D．25．解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝（m2+2m﹣1+m+4）（n2+2n﹣1+n+4）＝（m+4）（n+4）＝mn+4（m+n）+16＝﹣1+4×（﹣2）+16＝7，故答案为：7．26．解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m+1＝0的两个实数根分别为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣m+1，∵|α|+|β|＝6，∴α，β为异号，即αβ＜0，由α+β＝2得α2+β2＝4﹣2αβ，由|α|+|β|＝6得α2+β2＝36﹣2|αβ|，∴4﹣2αβ＝36﹣2|αβ|＝36+2αβ，∴αβ＝﹣8，∴﹣m+1＝﹣8，∴m＝9，故答案为：9．27．解：（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）＞0，得：4k﹣11＞0，∴；（2）由一元二次方程的求根公式得：x1＝，x2＝，∵，∴，∴x1＞0，又∵x1•x2＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2＞0，∴x2＞0，当时，有，即﹣＝＝，∴4k﹣11＝3，∴，∴存在实数，使得．28．解：（1）根据题意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤；（2）存在．根据题意得α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，∵α2+β2﹣αβ＝6，∴（α+β）2﹣3αβ＝6，即（2m﹣1）2﹣3m2＝6，整理得m2﹣4m﹣5＝0，解得m1＝5，m2＝﹣1，∵m≤；∴m的值为﹣1．29．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即Δ＝（2m+3）2﹣4m2＞0，解得m＞﹣；（2）∵α，β是方程的两个实数根，∴α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2．∵+＝﹣1，∴﹣（2m+3）＝﹣m2，解得m1＝3，m2＝﹣1．∵m＞﹣，∴m＝3．30．解：（1）由根与系数的关系，α+β＝1，αβ＝t，∴β＝1﹣α＝1﹣＝，∴t＝αβ＝×＝﹣1，故答案为：，﹣1；（2）∵α＝为一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，∴α2﹣α﹣1＝0．∴α2＝1+α．∴α6＝（α2）3＝（1+α）3＝1+3α+3α2+α3＝1+3α+3（1+α）+α（1+α）＝1+3α+3+3α+α+α2＝1+3α+3+3α+α+1+α＝8α+5．∴α6+8β＝8α+5+8β＝8（α+β）+5＝8×1+5＝13．（3）∵α+β＝1，αβ＝﹣1，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝1+2＝3，α2•β2＝（αβ）2＝1，∴两根分别为α2，β2，关于y的一元二次方程，二次项系数为1的方程是：y2﹣3y+1＝0．31．解：设直角边为a，b（a＜b），则a+b＝k+2，ab＝4k，因方程的根为整数，故其判别式为平方数，设Δ＝（k+2）2﹣16k＝n2⇒（k﹣6+n）（k﹣6﹣n）＝1×32＝2×16＝4×8，∵k﹣6+n＞k﹣6﹣n，∴或或，解得k1＝（不是整数，舍去），k2＝15，k3＝12，当k2＝15时，a+b＝17，ab＝60⇒a＝5，b＝12，c＝13，当k3＝12时，a+b＝14，ab＝48⇒a＝6，b＝8，c＝10．∴当k＝15时，三角形三边的长为：5，12，13．当k＝12时，三角形三边的长为：6，8，10．。
2023学年北师大版九年级数学上册《2-5一元二次方程的根与系数的关系》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》同步练习题（附答案）一．选择题1．若实数a、b是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个根，且a＜b，则一次函数y＝ax+b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1+x2，x1x2的值分别是（）A．1和6B．5和﹣6C．﹣5和6D．5和63．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝p2根的情况是（）A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个负根D．有两个正根4．已知m、n是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则下列选项错误的是（）A．m+n＝2B．mn＝﹣5C．m2﹣2n﹣5＝0D．m2﹣2m﹣5＝0 5．一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两根之和为（）A．﹣5B．5C．﹣4D．46．已知方程﹣（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜c，则下列式子中一定正确的是（）A．m＜b＜n＜c B．b＜m＜n＜c C．m＜n＜b＜c D．m＜b＜c＜n 7．方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（）A．4B．﹣4C．3D．﹣38．在下列方程中，两个实数根互为相反数的是（）A．x2﹣1＝0B．x2+1＝0C．x2+x＝0D．x2﹣x＝09．关于x的一元二次方程x2﹣5mx+6m2＝0（m＞0）的两实数根分别为x1，x2，若x12+x22＝52，则实数m的值为（）A．B．1C．2D．4二．填空题10．一元二次方程x2﹣5＝x两根的和为．11．关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是3，则另一个根是．12．若方程x2﹣2x﹣3＝0两根为α、β，则α2+β2＝．13．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0，若方程有两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，则实数m的值是．三．解答题14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0．（1）若方程有实数根，求k的取值范围；（2）若方程有两个实数根为x1和x2，且x12﹣x1x2＝0，求k的值．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝13，求m的值．16．已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两根x1，x2满足x1+x2＝12，请求出方程的两根．17．已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x1x2＝4﹣x2时，求k的值．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1＝1，求x2及m的值；（3）是否存在实数m，满足m（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣9，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当时，求m的值．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．（1）请说明该方程实数根的个数情况；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（x1+1）•（x2+1）＝8，求m的值．参考答案一．选择题1．解：方程x2+2x﹣3＝0，分解得：（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x＝1或x＝﹣3，∵实数a、b是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个根，且a＜b，∴a＝﹣3，b＝1，代入一次函数解析式得：y＝﹣3x+1，则一次函数图象不经过第三象限．故选：C．2．解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣＝5，x1x2＝＝6．故选：D．3．解：方程化为x2﹣2x﹣3﹣p2＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣3﹣p2）＝16+4p2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∵﹣3﹣p2＜0，∴有一个正根，一个负根．故选：B．4．解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn＝﹣5，因为m、n是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，所以m2﹣2m﹣5＝0，n2﹣2n﹣5＝0，故选：C．5．解：一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两根之和为5，故选：B．6．解：由题意，画出函数y＝﹣（x﹣b）（x﹣c）与函数y＝x+1，∴抛物线开口向下，与x轴的交点为（b，0），（c，0），函数y＝x+1随x的增大而增大，且经过点（﹣1，0），∵方程﹣（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，∵m＜n．b＜﹣1＜0＜c，由图象可知，m＜b＜n＜c，故选：A．7．解：∵方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝4．故选：A．8．解：A、∵Δ＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＜0，且一次项系数为0，故此选项符合题意；B、∵Δ＝0﹣4×1×1＝﹣4＜0，故此选项不合题意；C、∵一次项系数不为0，故此选项不合题意；D、∵一次项系数不为0，故此选项不合题意．故选：A．9．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣5mx+6m2＝0的两实数根分别为x1，x2，∴x1+x2＝5m，x1x2＝6m2，∵x12+x22＝52，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝52，∴（5m）2﹣2×6m2＝52，解得m＝±2（负值舍去）．故选：C．二．填空题10．解：由原方程，得x2﹣x﹣5＝0，由根与系数的关系，得x1+x2＝﹣＝1；故答案是：1．11．解：设方程的另一个根是x1，依题意得：x1+3＝﹣3，解得：x1＝﹣6．故答案为：﹣6．12．解：根据根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣3，所以α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝22﹣2×（﹣3）＝10．故答案为：10．13．解：由一元二次方程根与系数的关系可知：x1+x2＝5，x1x2＝m，∵3x1﹣2x2＝5，∴3x1+3x2﹣5x2＝5，∴﹣5x2＝﹣10，解得x2＝2，把x＝2代入原方程得m＝6．故答案为：6．三．解答题14．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有实数根，∴△≥0，即22﹣4×1×（k﹣1）＝﹣4k+8≥0，解得k≤2．（2）∵原方程的两实数根为x1和x2，∴x12﹣2x1+k﹣1＝0，x1x2＝k﹣1，∴x12＝2x1﹣k+1∵x12﹣x1x2＝0，∴2x1﹣k+1﹣（k﹣1）＝0，∴x1＝k﹣1，代入方程可得（k﹣1）2﹣2（k﹣1）+k﹣1＝0，∴k＝1或k＝2．15．（1）证明：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，∵（m﹣1）2≥0，∴Δ＝（m﹣3）2﹣4×（﹣m）＝m2﹣6m+9+4m＝m2﹣2m+1+8＝（m﹣1）2+8≥8＞0，则方程有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系可得：x1+x2＝m﹣3，x1x2＝﹣m，∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，即（m﹣3）2+3m＝13，整理得：m2﹣3m﹣4＝0，即（m﹣4）（m+1）＝0，所以m﹣4＝0或m+1＝0，解得：m＝4或m＝﹣1．16．解：（1）由题意得，b2﹣4ac＞0，即（﹣6）2﹣4k•9＞0，解得：k＜1，又∵k≠0，∴k＜1且k≠0；（2）根据题意得x1+x2＝＝12，解得k＝，当k＝时，原方程变形为x2﹣6x+9＝0，x2﹣12x＝﹣18，（x﹣6）2＝18，所以x1＝6+3，x2＝6﹣3．17．解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，解得：x＝，∴k＝0符合题意；当k≠0时，原方程为一元二次方程，∵该一元二次方程有实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，解得：k≤，综上所述，k的取值范围为k≤；（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，∴x1+x2＝，x1x2＝，∵x1+x1x2＝4﹣x2，即x1+x2+x1x2＝4，∴+＝4，解得：k＝1，经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．∴k的值为1．18．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤5；（2）∵x1+x2＝6，x1＝1，x1x2＝2m﹣1，∴x2＝5，即1×5＝2m﹣1，解得：m＝3；（3）存在，理由为：∵x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，m（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣9，∴m[（x1x2）﹣2（x1+x2）+4]＝﹣9，即m[（2m﹣1）﹣12+4]＝﹣9，整理得：2m2﹣9m+9＝0，∵Δ＝（﹣9）2﹣4×2×9＝81﹣72＝9＞0，∴m＝，解得：m1＝3，m2＝．19．解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0且m≠0，即（﹣2）2﹣4×m×（﹣1）＞0且m≠0，解得：m＞﹣1且m≠0；（2）∵关于的一元二次方程mx²﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，∵x12+x22＝x1x2+1，（x1+x2）2﹣2x1x2＝x1x2+1，即（x1+x2）2＝3x1x2+1，∴（）2＝﹣+1，即m2﹣3m﹣4＝0，解得：m1＝4，m2＝﹣1，经检验，m1，m2都是分式方程的解，∵m＞﹣1且m≠0，∴m的值为4．20．解：（1）由题意可知：Δ＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，（x1+1）•（x2+1）＝8，∴（x1+1）•（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝8，∴2m﹣2+m2﹣2m+1＝8，∴m2＝9，∴m＝3或m＝﹣3．故m的值为﹣3或3．。
北师大版初中数学九年级上学期《2.5 一元二次方程的根与系数的关系》同步练习卷
北师大版九年级上学期《2.5 一元二次方程的根与系数的关系》同步练习卷一．选择题（共7小题）1．若一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥4B．m≤4C．m＞4D．m＜42．关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A．k＞﹣1B．k＜﹣1C．k≠﹣1D．k＜0且k≠﹣1 3．关于x的方程2x2﹣kx﹣1＝0根的情况说法正确的是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定4．如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤2B．k≤2且k≠0C．k＜2且k≠0D．k≥2且k≠0 5．一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m＝1C．m＜1D．m≤16．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞2B．k＜2C．k＜﹣2D．k＞﹣27．如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有实数根，那么实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二．填空题（共23小题）8．已知关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是．9．若关于x的一元二次方程（2k﹣1）x2﹣6x+9＝0没有实数根，则k的取值范围是．10．已知关于x的方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．11．若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．12．若关于x的一元二次方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是．13．方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个实数根，则k的取值范围是14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围是．15．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k+2＝0有两个相等的实数根，则k的值是16．一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+3x1x2的值为．17．一元二次方程x2﹣mx﹣n＝0的两实根是x1＝2，x2＝3，则m＝，n＝．18．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两根，则x1+x2的值是．19．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，则m2+3m+n ＝．20．若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1x2＝．21．已知方程3x2﹣4x﹣2＝0的两个根是x1、x2，则+＝．22．若m、n是方程x2+2018x﹣1＝0的两个根，则m2n+mn2﹣mn＝23．一元二次方程x2+3x+2＝0的两个实根分别为x1，x2，则x12x2+x1x22＝．24．若方程x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1•x2﹣x1﹣x2＝．25．已知x1，x2是方程x2+4x+k＝0的两根，且x1+x2﹣x1x2＝7，则k＝．26．已知实数α，β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，且α≠β，则+＝．27．设a，b是方程x2+2x﹣2018＝0的两个实数根，则＝．28．若方程2x2﹣4x+1＝0的两个根分别是x1，x2，则x1（1﹣x2）+x2的值为．29．若方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，则m＝．30．已知一元二次方程x2＝2x+1的两个实数根分别为x1，x2，则x1﹣x1x2+x2的值为．北师大版九年级上学期《2.5 一元二次方程的根与系数的关系》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．若一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥4B．m≤4C．m＞4D．m＜4【分析】计算根的判别式△，由题意得不等式，求解即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相同的实数根，∴△＝16﹣4m＞0解得m＜4．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，题目比较简单，根的判别式△＝b2﹣4ac．2．关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A．k＞﹣1B．k＜﹣1C．k≠﹣1D．k＜0且k≠﹣1【分析】根据根的判别式和一元二方程的定义得出△＝22﹣4（k+1）×0＞0且k+1≠0，求出即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x＝0有两个不相等的实数根，∴△＝22﹣4（k+1）×0＞0且k+1≠0，解得：k≠﹣1，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义、解不等式等知识点，能够得出关于k的不等式是解此题的关键．3．关于x的方程2x2﹣kx﹣1＝0根的情况说法正确的是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定【分析】先求出△＝b2﹣4ac的值，根据△＞0有两个不相等实数根，△＝0有两个相等实数根，△＜0没有实数根作出判断．【解答】解：∵△＝（﹣k）2﹣4×2×（﹣1）＝k2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4．如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤2B．k≤2且k≠0C．k＜2且k≠0D．k≥2且k≠0【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝42﹣4k×2≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意知，△＝（﹣4）2﹣4×k×2≥0，解得：k≤2，∵方程kx2﹣4x+2＝0是一元二次方程，∴k≠0，∴k的取值范围是k≤2且k≠0，故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．5．一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m＝1C．m＜1D．m≤1【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＜0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＜0，∴m＞1．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．6．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞2B．k＜2C．k＜﹣2D．k＞﹣2【分析】据已知得出△＞0，求出即可．【解答】解：由题意，知△＞0，所以，（﹣2k）2﹣4（k2﹣k+2）＝4k﹣8＞0，解得k＞2．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），①当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．7．如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有实数根，那么实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由于方程有实数根，则根的判别式△≥0，由此建立关于m的不等式，解不等式即可求得m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x+m＝0有实数根，∴△＝9﹣4×2m≥0，解得m≤．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．二．填空题（共23小题）8．已知关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是m≤且m≠0．【分析】由于关于x的一元二次方程有实数根，计算根的判别式，得关于m的不等式，求解即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则△＝1﹣4m≥0，且m≠0．解得m≤且m≠0．故答案为：m≤且m≠0．【点评】本题考查了根的判别式、一次不等式的解法及一元二次方程的定义．题目难度不大，解题过程中容易忽略m≠0条件而出错．9．若关于x的一元二次方程（2k﹣1）x2﹣6x+9＝0没有实数根，则k的取值范围是k＞1．【分析】根据方程没有实数根结合根的判别式可得出△＝88﹣48k＜0，解不等式即可得出k的取值范围【解答】解：∵关于x的一元二次方程（2k﹣1）x2﹣6x+9＝0没有实数根，∴（﹣6）2﹣4×（2k﹣1）×9＜0，解得：k＞1，故答案为：k＞1．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据方程无实数根找出关于k的一元一次不等式．10．已知关于x的方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为﹣．【分析】根据方程有两个相等的实数根得出△＝0，求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝32﹣4×1×（﹣m）＝0，解得：m＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．11．若关于x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞﹣且k≠0．【分析】根据根的判别式和一元一次方程的定义得出△＝[2（k+1）]2﹣4k（k﹣1）＞0且k≠0，求出k的取值即可．【解答】解：∵x的一元二次方程kx2+2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[2（k+1）]2﹣4k（k﹣1）＞0且k≠0，解得：k＞﹣且k≠0，故答案为：k＞﹣且k≠0．【点评】本题考查了根的判别式和一元一次方程的定义，能根据题意得出关于k 的不等式是解此题的关键．12．若关于x的一元二次方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣4且k≠0．【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，∴k≠0且△＝42+4k≥0，解得：k≥﹣4且k≠0．故答案为：k≥﹣4且k≠0．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．13．方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个实数根，则k的取值范围是k且k≠1【分析】若k﹣1＝0，即k＝1，原方程整理得：2x﹣2＝0，解得：x＝1，不合题意，舍去，若k﹣1≠0，即k≠1，则原方程为一元二次方程，根据“方程（k ﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个实数根”，根据判别式公式△≥0，得到关于k的一元一次不等式，解之即可．【解答】解：若k﹣1＝0，即k＝1，原方程整理得：2x﹣2＝0，解得：x＝1，不合题意，舍去，若k﹣1≠0，即k≠1，则原方程为一元二次方程，∵方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个实数根，∴△＝4+8（k﹣1）＝8k﹣4≥0，解得：k，即k的取值范围是k且k≠1．【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，正确掌握分类讨论和判别式公式是解题的关键．14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围是k＜2．【分析】根据一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，即可得出k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个不相等的实数根，∴△＝16﹣4×2k＞0．解得k＜2．故答案为：k＜2．【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是本题的关键．15．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k+2＝0有两个相等的实数根，则k的值是﹣1或2【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2kx+k+2＝0有两个相等的实数根，∴△＝（2k）2﹣4×1×（k+2）＝0，即k2﹣k﹣2＝0，解得：k1＝﹣1，k2＝2．故答案为：﹣1或2．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．16．一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+3x1x2的值为2．【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出x12﹣4x1＝﹣1，x1x2＝1，将其代入x12﹣4x1+3x1x2中即可求出结论．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1，x2，∴x12﹣4x1＝﹣1，x1x2＝1，∴x12﹣4x1+3x1x2＝﹣1+3×1＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系找出x12﹣4x1＝﹣1，x1x2＝1是解题的关键．17．一元二次方程x2﹣mx﹣n＝0的两实根是x1＝2，x2＝3，则m＝5，n＝﹣6．【分析】根据根与系数的关系结合方程的两实根是x1＝2，x2＝3，可求出m，n 的值，此题得解．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣mx﹣n＝0的两实根是x1＝2，x2＝3，∴m＝x1+x2＝5，n＝﹣x1•x2＝﹣6．故答案为：5；﹣6．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之和等于”是解题的关键．18．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两根，则x1+x2的值是3．【分析】根据根与系数的关系可得到x1+x2＝﹣，此题得解．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两根，∴x1+x2＝﹣＝3．故答案是：3．【点评】考查了根与系数的关系．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．19．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，则m2+3m+n ＝2018．【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系即可得出m2+2m＝2020，m+n ＝﹣2，将其代入m2+3m+n＝m2+2m+m+n中即可求出结论．【解答】解：∵设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，∴m2+2m﹣2020＝0，即m2+2m＝2020，m+n＝﹣2，则m2+3m+n＝m2+2m+m+n＝2020﹣2＝2018，故答案为：2018．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2+2m＝2020，m+n＝﹣2是解题的关键．20．若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1x2＝﹣4．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：∵x1与x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，∴x1x2＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．21．已知方程3x2﹣4x﹣2＝0的两个根是x1、x2，则+＝﹣2．【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝，x1•x2＝﹣，将其代入+＝中即可求出结论．【解答】解：∵方程3x2﹣4x﹣2＝0的两个根是x1、x2，∴x1+x2＝，x1•x2＝﹣，∴+＝＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．22．若m、n是方程x2+2018x﹣1＝0的两个根，则m2n+mn2﹣mn＝2019【分析】根据根与系数的关系得到m+n＝﹣2018，mn＝﹣1，把m2n+mm2﹣mn 分解因式得到mn（m+n﹣1），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m、n是方程x2+2018x﹣1＝0的两个根，∴m+n＝﹣2018，mn＝﹣1，则原式＝mn（m+n﹣1）＝﹣1×（﹣2018﹣1）＝﹣1×（﹣2019）＝2019，故答案为：2019．【点评】本题考查了根与系数的关系，如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1与x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．解题时要注意这两个关系的合理应用．23．一元二次方程x2+3x+2＝0的两个实根分别为x1，x2，则x12x2+x1x22＝﹣6．【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣3，x1•x2＝2，再将x12x2+x1x22变形为x1•x2（x1+x2），然后利用整体思想代入计算即可．【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣3，x1•x2＝2，所以x12x2+x1x22＝x1•x2（x1+x2）＝2×（﹣3）＝﹣6．故答案为﹣6．【点评】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．24．若方程x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1•x2﹣x1﹣x2＝﹣6．【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝5，x1•x2＝﹣1，将其代入x1•x2﹣x1﹣x2＝x1•x2﹣（x1+x2）中即可求出结论．【解答】解：∵方程x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝5，x1•x2＝﹣1，∴x1•x2﹣x1﹣x2＝x1•x2﹣（x1+x2）＝﹣1﹣5＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣，两根之积等于是解题的关键．25．已知x1，x2是方程x2+4x+k＝0的两根，且x1+x2﹣x1x2＝7，则k＝﹣11．【分析】利用根与系数的关系，先把x1，x2之间的关系写出来，代入方程求出k．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+4x+k＝0的两根，∴x1+x2＝﹣4，x1•x2＝k，∵x1+x2﹣x1x2＝7，∴﹣4﹣k＝7，∴k＝﹣11．故答案为：﹣11【点评】将根与系数的关系代入方程解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．26．已知实数α，β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，且α≠β，则+＝﹣．【分析】由α、β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，可得α，β是方程x2﹣3x﹣11＝0的两个根，根据根与系数的关系，求出α2+β2，代入变形后的代数式得结果．【解答】解：∵实数α、β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，∴实数α，β是方程x2﹣3x﹣11＝0的两个根，∴α+β＝3，α•β＝﹣11．∵α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝9+22＝31∴+＝＝﹣．故答案为：﹣【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程解的定义．解决本题的关键是：根据α、β分别满足两个方程而得到α、β是同一个方程的两个根．27．设a，b是方程x2+2x﹣2018＝0的两个实数根，则＝．【分析】根据根与系数的关系可得出a+b＝﹣2，ab＝﹣2018，将其代入+＝中即可求出结论．【解答】解：∵a，b是方程x2+2x﹣2018＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣2，ab＝﹣2018，∴+＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出a+b＝﹣2，ab ＝﹣2018是解题的关键．28．若方程2x2﹣4x+1＝0的两个根分别是x1，x2，则x1（1﹣x2）+x2的值为．【分析】x1（1﹣x2）+x2＝x1﹣x1x2+x2＝（x1+x2）﹣x1x2，利用一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2和x1x2的值，再代入原式即可得到答案．【解答】解：x1（1﹣x2）+x2＝x1﹣x1x2+x2＝（x1+x2）﹣x1x2，∵方程2x2﹣4x+1＝0的两个根分别是x1，x2，∴x1+x2＝2，x1x2＝，原式＝2﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．29．若方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，则m＝﹣1．【分析】根据“方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数”，利用一元二次方程根与系数的关系，列出关于m的等式，解之，再把m的值代入原方程，找出符合题意的m的值即可．【解答】解：∵方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，∴1﹣m2＝0，解得：m＝1或﹣1，把m＝1代入原方程得：x2+2＝0，该方程无解，∴m＝1不合题意，舍去，把m＝﹣1代入原方程得：x2＝0，解得：x1＝x2＝0，（符合题意），∴m＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程两根之和，两个之积与系数之间的关系式解题的关键．30．已知一元二次方程x2＝2x+1的两个实数根分别为x1，x2，则x1﹣x1x2+x2的值为3．【分析】先变形方程，再根据根与系数的关系求出x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1，代入求出即可．【解答】解：x2＝2x+1，x2﹣2x﹣1＝0，∵一元二次方程x2＝2x+1的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1，∴x1﹣x1x2+x2＝2﹣（﹣1）＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．。
九年级上册数学 《2.5一元二次方程的根与系数的关系》同步练习(有答案)
2019-2019学年度北师大版数学九年级上册同步练习2.5 一元二次方程的根与系数的关系一．选择题（共10小题）1．下列方程一定有实根的是（）A．x2﹣4x+3=0 B．x2﹣4x+5=0 C．y2﹣4y+c=0 D．y2﹣4y+12=02．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x=0 B．x2+4x﹣1=0 C．2x2﹣4x+3=0 D．3x2=5x﹣23．若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或14．不解方程，判别方程2x2﹣3x=3的根的情况（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个实数根D．无实数根5．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，若k为非负整数，则k 等于（）A．0 B．1 C．0，1 D．26．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B．C．D．7．关于x的一元二次方程x2+bx﹣1=0的判别式为（）A．1﹣b2B．b2﹣4 C．b2+4 D．b2+18．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣39．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．610．一元二次方程3x2﹣4x﹣5=0的两实数根的和与积分别是（）A．，﹣B．，C．﹣，﹣D．﹣，二．填空题（共6小题）11．对于方程3x2﹣5x+2=0，a=，b=，c=，b2﹣4ac=，此方程的解的情况是．12．关于x的方程x2﹣3x+m+1=0没有实数根，则m的取值范围为．13．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+3=0有实数解，则m的取值范围为．14．设x1、x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6=0的两个根，且x1+x2=1，则x1=，x2=．15．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22=．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+1﹣m=0的一个根为2，则另一个根是三．解答题（共4小题）17．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．18．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）当m为正整数时，求方程的根．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．20．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0（Ⅰ）求证：无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；（Ⅱ）若此方程的一个根为1，请求出方程的另一个根．参考答案一．选择题（共10小题）1．A．2．C．3．A．4．B．5．B．6．C．7．C．8．B．9．C．10．A．二．填空题（共6小题）11．3，﹣5，2，1，有两个不相等的实数根．12．m＞．13．m≤且m≠2．14．﹣2；3．15．16．3三．解答题（共4小题）17．（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，解得：a=．（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．18．（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0．解得m＜2；（2）由（1）知，m＜2．有m为正整数，∴m=1，将m=1代入原方程，得x2﹣2x=0x（x﹣2）=0，解得x1=0，x2=2．19．（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤2；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=m﹣1，∵x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6x1x2，即（x1+x2）2=8x1x2，∴4=8（m﹣1），解得m=1.5．20．（1）证明：x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0，△=[﹣（m+2）]2﹣4×1×（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，∵不论m为何值，（m﹣2）2+4＞0，∴△＞0，∴无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；（2）解：把x=1代入方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0得：1﹣（m+2）+2m﹣1=0，解得：m=2，方程为x2﹣4x+3=0，设方程的另一个根为a，则a+1=4，解得：a=3，即方程的另一个根为3．。
2022年北师大版九上《一元二次方程的根与系数的关系2》同步练习(附答案)
2.5 一元二次方程的根与系数的关系课时训练一、选择题(每题5分,共30分)1.方程x 2+2x-1=0的两根分别是x 1,x 2,那么1211x x += ( )2.假设k>1,关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2-1=0的根的情况是( )A.有一正根和一负根B.有两个正根C.有两个负根D.没有实数根3.二次三项式2x 2+kx+c 分解因式为2(x-3)(x+1),那么b,c 的值分别为( )A.3,-1B.-6,2C.-6,-4D.-4,-64.如果24410x x-+=,那么4x 等于 ( ) 或45.方程x 2+5x-2=0,求作一个新的一元二次方程, 使它的根分别是方程各根的平方的倒数,那么此新方程为( )2222+25y+1=06.三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 那么这个三角形的周长为( ) 或二、填空题(每题3分,共24分)7.假设方程x 2+3x+m=0的一根是另一根的一半,那么m=______,两个根是_______.8.某制药厂生产的某种针剂,每支本钱3元,由于连续两次降低本钱,现在的本钱是元,那么平均每次降低的百分数是_________.9.关于x 的代数式x 2+(m+2)x+(4m-7)中,当m=_______时,代数式为完全平方式.10.a 2+3a=7,b 2+3b=7,且a≠b,那么a+b=_______.11.某市方案在两年内将工农业生产总值翻两番,那么平均每年工农业生产总值的增长率是________.12.关于x 的方程x 2-kx+6=0有一根-2,那么这个方程两根倒数的和是_______.13.在Rt △ABC 中,斜边AB=5,BC 、AC 是一元二次方程x 2-(2m-1)x+4(m-1)=0 的两个实数根,那么m 等于_________.14.在一元二次方程x 2+bx+c=0中,如果系数b 、c 可在1,2, 3,4,5,6中任意取值, 那么其中有实数解的方程有______个.三、解答题(每题7分,共28分)15.x 1=q+p,x 2=q-p 是关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两个根,求p 、q 的值.16.: 321329m n m n +=⎧⎨=-⎩, 求以22,22m n m n -+- 的值为根的一元二次方程.17.某小会议室的地面为长方形,长比宽多2米,如果地面用384块边长为25 厘米的正方形瓷砖恰好铺满,试算一算,这个小会议室的长和宽各是多少18.x1和x2是方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0的两正根,且(x1-1)(x2-1)=4, 求k的值.四、列方程解应用题(每题9分,共18分)19.一个长方形水池,长88米,宽48米,沿池边四周有一条宽度相同的路, 这条路的面积是1776平方米,求路的宽度.20.一容器装满了含盐量为20%的盐水50升,第一次倒出假设干升,用水加满; 第二次又倒出同样多,再用水加满,此时容器中盐水的含盐量为12.8%,求每次倒出的盐水是多少升.参考答案一、ABDBAD二、7．2；-1，-28．10%9．4或810．-311．100%12．56- 13．4 14．19 三、 15．203013p p q q ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩或 16．x 2+2x-14=0 17.长6米，宽4米四、18．K=319. 宽6米升4 相似多边形一、选择题1.△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比是2∶3，那么△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比是 ( )∶∶4∶∶22.将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的( )倍倍倍倍3.在△ABC 中，DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，且AD ∶DB =1∶2，那么以下结论正确的选项是( )A.BC DE =21 B. BC DE =31 C. 的周长的周长ABC ADE ∆∆=21 D. ABC ADE S S ∆∆=31 4.如图1，ABCD 中，AE ∶ED =1∶2，S △AEF =6 cm 2，那么S △CBF 等于( )图1A.12 cm2B.24 cm2C. 54 cm2D.15 cm25.以下说法中正确的选项是( )A.位似图形可以通过平移而相互得到B.位似图形的对应边平行且相等C.位似图形的位似中心不只有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等二、填空题6.△ABC∽△A′B′C′，相似比是3∶4，△ABC的周长是27 cm，那么△A′B′C′的周长为________.7.两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32 cm2，那么大多边形的面积为________.8.假设两个三角形相似，且它们的最大边分别为6 cm和8 cm，它们的周长之和为35 cm，那么较小的三角形的周长为________.9.在矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形BCFE，那么AD∶AB=________，相似比是________，面积比是________.10.，如图2，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，那么△ABC与________是位似图形，位似比为________；△OAB与________是位似图形，位似比为________.图2三、解答题11.在比例尺为1∶50000的地图上，一块多边形地区的周长是72 cm，多边形的两个顶点A、B之间的距离是25 cm，求这个地区的实际边界长和A、B两地之间的实际距离.12.如图3，梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于E，假设S△DCE∶S△DCB=1∶3，求S△DCE∶S△ABD.图313.：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长之差为20，面积比为4∶1，求△ABC和△A′B′C′的周长.14.选取一个你喜欢的图形，然后将此图形放大，使放大后的图形的面积是原图形面积的4倍.参考答案一、二、6.36 cm7.72 cm28.15 cm9.2∶2 2∶1 2∶110.△A′B′C′ 7∶4 △OA′B′ 7∶4三、千米千米∶613.40 2014.略。
北师大版九年级数学上册 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习(含答案)
北师大版九年级上册 2.5 一元二次方程 的根与系数的关系 同步练习（含答案）一、选择题：1、已知21,x x 是一元二次方程04722=+-x x 的两根，则21x x +与21x x ⋅的值分别是（ ）A 、2,27--B 、2,27-C 、2,27D 、2,27- 2、已知一元二次方程0252=+-x x 的两根分别是21,x x ，则2121x x x x ⋅-+的值是（ ）A 、7-B 、3-C 、7D 、33、若关于x 的一元二次方程022=+-m x x 的有一个根是 -1，则另一个根是（ ） A 、1 B 、3- C 、3 D 、44、已知3是关于x 的方程052=+-c x x 的一个根，则这个方程的另一个根是（ ） A 、2-=x B 、2=x C 、5=x D 、6=x5、如果关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两个根分别是1,221==x x ，则p ，q 的值分别是（ ）A 、2,3-B 、23-，C 、32-，D 、32，6、已知实数21,x x 满足721=+x x ，1221=⋅x x ，则以21,x x 为根的一元二次方程是（ ）A 、012172=+-x x B 、01272=++x xC 、01272=-+x xD 、01272=--x x7、已知一元二次方程0132=--x x 的两根分别是21,x x ，则221221x x x x +的值是（ ）A 、6-B 、6C 、3-D 、38、已知21,x x 是关于x 的一元二次方程032=-+bx x 的两根，且满足532121=-+x x x x ，那么b =（ ）A 、4B 、4-C 、3D 、3- 二、填空题：9、关于x 的方程062=-+kx x 的一个根为-3，则另一个根是________；10、已知一元二次方程0562=--x x 的两根分别是b a ,，则=+ba 11_______； 11、已知21,x x 是一元二次方程012=-+x x 的两根，则=+2221x x _______；12、已知关于x 的一元二次方程032=--x x 的两个实数根分别是βα，，则=++)3)(3(βα_______； 三、解答题：13、已知方程0652=-+kx x 的一个根为2，求另一个根的k 的值；14、设21,x x 是一元二次方程05722=+-x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）2221x x +；（2）221)(x x -；15、已知21,x x 是一元二次方程03422=-+x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值；（1）)1)(1(21++x x ； （2）1221x x x x +；16、已知关于x 的方程01)4(222=+---a x a x ；（1）当a 为何值时，方程的一根为0？（2）当a 为何值时，两根互为相反数？（3）求证：无论a 为何值，方程的两根不可能互为倒数；参考答案：1~8 CDCBA ACA9、2； 10、56-； 11、3； 12、9；13、另一根为53-；7-=k ； 14、（1）435；（2）49；15、（1）2512231)1)(1(212121-=+--=+++=++x x x x x x ； （2）314)(21212212122211221-=-+=+=+x x x x x x x x x x x x x x ；16、（1）当a=1时，方程的一根为0；（2）当a =2时，两根互为相反数； （3）互为倒数的两个数的积为1， ∴12121-=+-=⋅a x x解得：a =-1这时方程为2x 2+3x +2=0∵△=32-4×2×2=-7<0 方程没有实数根 ∴方程的两根不可能互为倒数；。
数学北师大版九年级上册2.5一元二次方程的根与系数之间的关系同步训练(含解析)
数学北师大版九年级上册2.5一元二次方程的根与系数之间的关系同步训练（含解析）6.已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）A.7B.11C.12D.167.关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，则m2（）=（）A.B.C.4D.﹣48.关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；② (m-1)2+(n-1)2≥2；③-1≤2m-2n≤1.其中正确结论的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题9.已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为________．10.已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则________.11.若x1， x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，则x12x2+x1x22的值是________．12.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=________13.关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是________．14.通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1= ，x2= ，于是：x1+x2= ，x1•x2= 、这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1， x2，且x12+x22=1，则k的值为________．三、解答题15.已知关于x的一元二次方程x2＋x＋m2-2m＝0有一个实根为-1，求m的值及方程的另一个实根. 16.已知关于x的方程（的两根之和为，两根之差为1，•其中a,b,c是△ABC的三边长．（1）求方程的根；（2）试判断△ABC的形状．17.关于x的一元二次方程有两个不等实根（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根满足，求k的值．18.已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）19.设x1， x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值．（1）x12＋x22；（2）；（3）x12＋x22－3x1x2.20.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1， x2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．21.已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2， k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．答案解析部分一、选择题1.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】解答: 设一元二次方程的另一根为，则根据一元二次方程根与系数的关系，得-1+ =-3，解得：=-2．故选A．分析: 根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根2.【答案】C【考点】一元二次方程的解，根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2019=0的根，∴a2+a﹣2019=0，∴a2=﹣a+2019，∴a2+2a+b=﹣a+2019+2a+b=2019+a+b，∵a，b是方程x2+x﹣2019=0的两个实数根，∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=2019﹣1=2019．故选C．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2=﹣a+2019，则a2+2a+b=2019+a+b，然后根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，再利用整体代入的方法计算．3.【答案】D【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：A．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故不符合题意；B．两根之和=－1，故不符合题意；C．△=1－4×1×2=－7＜0，∴方程无实数根，故不符合题意；D．两根之和=1，故符合题意．故答案为：D．【分析】根据根与系数的关系和根的判别式可求解。
北师大新版九年级数学上学期《2.5 一元二次方程的根与系数的关系》 同步练习卷
2.5 一元二次方程的根与系数的关系一．选择题1．一元二次方程x2+4x+5＝0的根的情况是（）A．无实数根B．有一个实根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根2．一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，则x1•x2的值是（）A．5B．﹣5C．6D．﹣63．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0，它的两根之积为﹣4．则k的值为（）A．﹣1B．4C．﹣4D．﹣54．设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（）A．3B．﹣C．D．﹣25．若x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1•x2的值是（）A．﹣5B．﹣1C．5D．16．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（）A．5B．10C．11D．137．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1•x2等于（）A．4B．1C．﹣1D．﹣48．一元二次方程x2﹣4x+2＝0根的情况是（）A．无实数根B．有两个正根C．有一个正根，一个负根D．有两个负根9．关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的一个根是x1＝3，则它的另一个根x2是（）A．0B．1C．﹣1D．210．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0的两个根，且满足+＝﹣2，则k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣111．若关于x的一元二次方程x2+7x+4＝0的两根是x1、x2，则+的值为（）A．﹣B．C．D．二．填空题12．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有不相等实数根，则k的取值范围是．13．关于x的方程kx2﹣4x＝0有两个实数根，则k的取值范围是．三．解答题14．求证：无论k取何值，关于x的方程x2+kx+k﹣1＝0都有两个实数根．15．已知关于x的一元二次方程3x2+bx﹣2＝0．（1）若b＝6，请你求出这个方程的解；（2）若b为任意数，请判断此时这个方程的根的情况．参考答案一．选择题1．解：∵△＝42﹣4×5＝﹣4＜0，∴方程无实数根．故选：A．2．解：∵一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，∴x1•x2＝＝＝5，故选：A．3．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+k+1＝0，它的两根之积为﹣4，∴k+1＝﹣4，∴k＝﹣5．故选：D．4．解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，由根与系数的关系：x1+x2＝﹣＝﹣＝3．故选：A．5．解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，所以x1+x2﹣x1•x2＝3﹣（﹣2）＝5．故选：C．6．解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．故选：D．7．解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，∴x1•x2＝﹣1．故选：C．8．解：x2﹣4x+2＝0，∵△＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，且x1+x2＝4＞0，x1•x2＝2＞0，∴有两个正根，故选：B．9．解：由根与系数的关系可知：3x2＝﹣3，解得x2＝﹣1．故选：C．10．解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣k，x1x2＝﹣1，∵+＝﹣2，∴＝﹣2，故＝﹣2，解得：k＝﹣2．故选：B．11．解：根据题意得x1+x2＝﹣7，x1x2＝4，所以+＝＝﹣．故选：A．二．填空题12．解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＞0，∴k＞﹣1．故答案为：k＞﹣1．13．解：当k＝0时，方程为﹣4x﹣＝0，方程有一个实数根；当k≠0时，根据题意得（﹣4）2﹣4×k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6且k≠0；综上，k≥﹣6且k≠0．故答案为：k≥﹣6且k≠0．三．解答题14．证明：∵在方程x2+kx+k﹣1＝0中，△＝k2﹣4（k﹣1）＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，∴无论k取何值，方程总有两个实数根．15．解：（1）b＝6时，原方程为3x2+6x﹣2＝0，∵△＝62﹣4×3×（﹣2）＝60＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝；（2）∵△＝b2﹣4×3×（﹣2）＝b2+24，而b2≥0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．。
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《2.5 一元二次方程的根与系数的关系》一、选择题1．若方程3x 2﹣4x ﹣4=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=（ ）A ．﹣4B ．3C ．D ．2．一元二次方程x 2﹣3x ﹣2=0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1=﹣1，x 2=2 B ．x 1=1，x 2=﹣2 C ．x 1+x 2=3 D ．x 1x 2=23．关于x 的一元二次方程：x 2﹣4x ﹣m 2=0有两个实数根x 1、x 2，则m 2（）=（ ）A ．B ．C ．4D ．﹣44．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为（ ） A ．﹣1 B ．0C ．2D ．35．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+p=0（p ≠0）的两个不相等的实数根分别为a 和b ，且a 2﹣ab+b 2=18，则+的值是（ ） A ．3B ．﹣3C ．5D ．﹣56．已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．B ．C ．D ．7．定义运算：a ⋆b=a （1﹣b ）．若a ，b 是方程x 2﹣x+m=0（m ＜0）的两根，则b ⋆b ﹣a ⋆a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关8．设α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣1=0的两个根，则αβ的值是（ ） A ．2B ．1C ．﹣2D ．﹣19．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax ﹣2b=0的两实数根，且x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=1，则b a 的值是（ ）A ．B ．﹣C ．4D ．﹣110．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx ﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m 的值分别为（ ） A ．4，﹣2 B ．﹣4，﹣2 C ．4，2 D ．﹣4，211．若关于x 的方程x 2﹣2x+c=0有一根为﹣1，则方程的另一根为（ ） A ．﹣1 B ．﹣3 C ．1D ．312．已知关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ） A ．5 B ．﹣1 C ．2D ．﹣5二、填空题13．设m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7=0的两个根，则m 2+3m+n= ．14．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则+= ．15．设x 1、x 2是方程x 2﹣4x+m=0的两个根，且x 1+x 2﹣x 1x 2=1，则x 1+x 2= ，m= ． 16．方程2x 2﹣3x ﹣1=0的两根为x 1，x 2，则x 12+x 22= ．17．关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是 ． 18．已知一元二次方程x 2+3x ﹣4=0的两根为x 1、x 2，则x 12+x 1x 2+x 22= ． 19．关于x 的方程2x 2﹣ax+1=0一个根是1，则它的另一个根为 ．20．设x 1、x 2是方程5x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根，则+的值为 ．21．设一元二次方程x 2﹣3x ﹣1=0的两根分别是x 1，x 2，则x 1+x 2（x 22﹣3x 2）= ． 22．设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2018=0的两个实数根，则m 2+3m+n= ． 三、解答题23．关于x 的一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根，且x 12+x 22=8，求m 的值． 24．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+（2m+1）=0有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围． 25．关于x 的方程（k ﹣1）x 2+2kx+2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实数根．（2）设x 1，x 2是方程（k ﹣1）x 2+2kx+2=0的两个根，记S=+x 1+x 2，S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值；若不能，请说明理由．26．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m ﹣1=0有两个实数根x 1，x 2． （1）求m 的取值范围；（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．27．已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．《2.5 一元二次方程的根与系数的关系》参考答案与试题解析一、选择题1．若方程3x 2﹣4x ﹣4=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=（ ）A ．﹣4B ．3C ．D ．【考点】根与系数的关系．【分析】由方程的各系数结合根与系数的关系可得出“x 1+x 2=”，由此即可得出结论． 【解答】解：∵方程3x 2﹣4x ﹣4=0的两个实数根分别为x 1，x 2，∴x 1+x 2=﹣= 故选D ．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出“x 1+x 2=﹣=”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．2．一元二次方程x 2﹣3x ﹣2=0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1=﹣1，x 2=2 B ．x 1=1，x 2=﹣2 C ．x 1+x 2=3 D ．x 1x 2=2 【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系找出“x 1+x 2=﹣=3，x 1•x 2==﹣2”，再结合四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵方程x 2﹣3x ﹣2=0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=﹣=3，x 1•x 2==﹣2， ∴C 选项正确． 故选C ．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x 1+x 2=3，x 1•x 2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．3．关于x 的一元二次方程：x 2﹣4x ﹣m 2=0有两个实数根x 1、x 2，则m 2（）=（ ）A ．B ．C ．4D ．﹣4【考点】根与系数的关系．【分析】根据所给一元二次方程，写出韦达定理，代入所求式子化简． 【解答】解：∵x 2﹣4x ﹣m 2=0有两个实数根x 1、x 2，∴，∴则m 2（）===﹣4．故答案选D ．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，属基础题，熟练掌握韦达定理是解题关键．4．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为（ ） A ．﹣1 B ．0C ．2D ．3【考点】根与系数的关系．【分析】由根与系数的关系得出“x 1+x 2=2，x 1•x 2=﹣1”，将代数式x 12﹣x 1+x 2变形为x 12﹣2x 1﹣1+x 1+1+x 2，套入数据即可得出结论．【解答】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，∴x 1+x 2=﹣=2，x 1•x 2==﹣1．x 12﹣x 1+x 2=x 12﹣2x 1﹣1+x 1+1+x 2=1+x 1+x 2=1+2=3． 故选D ．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系找出两根之积与两根之和．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系，找出两根之和与两根之积是关键．5．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+p=0（p ≠0）的两个不相等的实数根分别为a 和b ，且a 2﹣ab+b 2=18，则+的值是（ ） A ．3B ．﹣3C ．5D ．﹣5【考点】根与系数的关系．【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系找出a+b=3、ab=p ，利用完全平方公式将a 2﹣ab+b 2=18变形成（a+b ）2﹣3ab=18，代入数据即可得出关于p 的一元一次方程，解方程即可得出p 的值，经验证p=﹣3符合题意，再将+变形成﹣2，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵a 、b 为方程x 2﹣3x+p=0（p ≠0）的两个不相等的实数根， ∴a+b=3，ab=p ，∵a 2﹣ab+b 2=（a+b ）2﹣3ab=32﹣3p=18， ∴p=﹣3．当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0， ∴p=﹣3符合题意．+===﹣2=﹣2=﹣5．故选D ．【点评】本题考查了根与系数的关系、解一元一次方程以及完全平方公式的应用，解题的关键是求出p=﹣3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．6．已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】根与系数的关系．【分析】由x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2，将其代入x 1﹣x 1x 2+x 2中即可算出结果．【解答】解：∵x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，∴x 1+x 2=﹣=﹣，x 1•x 2==﹣2，∴x 1﹣x 1x 2+x 2=﹣﹣（﹣2）=． 故选D ．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．7．定义运算：a ⋆b=a （1﹣b ）．若a ，b 是方程x 2﹣x+m=0（m ＜0）的两根，则b ⋆b ﹣a ⋆a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关【考点】根与系数的关系． 【专题】新定义．【分析】由根与系数的关系可找出a+b=1，ab=m ，根据新运算，找出b ⋆b ﹣a ⋆a=b （1﹣b ）﹣a （1﹣a ），将其中的1替换成a+b ，即可得出结论．【解答】解：∵a ，b 是方程x 2﹣x+m=0（m ＜0）的两根，∴a+b=1，ab=m ．∴b ⋆b ﹣a ⋆a=b （1﹣b ）﹣a （1﹣a ）=b （a+b ﹣b ）﹣a （a+b ﹣a ）=ab ﹣ab=0． 故选A ．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=1，ab=m ．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．8．设α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣1=0的两个根，则αβ的值是（ ） A ．2B ．1C ．﹣2D ．﹣1【考点】根与系数的关系．【分析】根据α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣1=0的两个根，由根与系数的关系可以求得αβ的值，本题得以解决．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣1=0的两个根，∴αβ==，故选D ．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之积等于常数项与二次项系数的比值．9．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax ﹣2b=0的两实数根，且x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=1，则b a 的值是（ ）A ．B ．﹣C ．4D ．﹣1 【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系和已知x 1+x 2和x 1•x 2的值，可求a 、b 的值，再代入求值即可． 【解答】解：∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax ﹣2b=0的两实数根， ∴x 1+x 2=﹣a=﹣2，x 1•x 2=﹣2b=1，解得a=2，b=﹣，∴b a =（﹣）2=． 故选：A ．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．10．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx ﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m 的值分别为（ ） A ．4，﹣2 B ．﹣4，﹣2 C ．4，2 D ．﹣4，2 【考点】根与系数的关系．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】根据题意，利用根与系数的关系式列出关系式，确定出另一根及m 的值即可． 【解答】解：由根与系数的关系式得：2x 2=﹣8，2+x 2=﹣m=﹣2， 解得：x 2=﹣4，m=2，则另一实数根及m 的值分别为﹣4，2， 故选D【点评】此题考查了根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．11．若关于x 的方程x 2﹣2x+c=0有一根为﹣1，则方程的另一根为（ ） A ．﹣1 B ．﹣3 C ．1D ．3【考点】根与系数的关系．【分析】设方程的另一根为m ，由一个根为﹣1，利用根与系数的关系求出两根之和，列出关于m 的方程，求出方程的解即可得到m 的值．【解答】解：关于x 的方程x 2﹣2x+c=0有一根为﹣1，设另一根为m ， 可得﹣1+m=2， 解得：m=3，则方程的另一根为3．故选D ．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2﹣4ac≥0时，方程有解，设为x 1，x 2，则有x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．12．已知关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ） A ．5B ．﹣1C ．2D ．﹣5【考点】根与系数的关系．【分析】根据关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为﹣2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【解答】解：∵关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为﹣2，设另一个根为m ，∴﹣2+m=，解得，m=﹣1， 故选B ．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数． 二、填空题13．设m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7=0的两个根，则m 2+3m+n= 5 ． 【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m 是方程的根，所以可得m 2+2m ﹣7=0，最后可将m 2+3m+n 变成m 2+2m+m+n ，最终可得答案．【解答】解：∵设m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7=0的两个根， ∴m+n=﹣2， ∵m 是原方程的根， ∴m 2+2m ﹣7=0，即m 2+2m=7， ∴m 2+3m+n=m 2+2m+m+n=7﹣2=5， 故答案为：5．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把m 2+3m+n 转化为m 2+2m+m+n 的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．14．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则+= ﹣2 ．【考点】根与系数的关系．【分析】利用韦达定理求得x 1+x 2=2，x 1•x 2=﹣1，然后将其代入通分后的所求代数式并求值． 【解答】解：∵一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根为x 1、x 2， x 1+x 2=2， x 1•x 2=﹣1，∴+==﹣2．故答案是：﹣2．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．15．设x 1、x 2是方程x 2﹣4x+m=0的两个根，且x 1+x 2﹣x 1x 2=1，则x 1+x 2= 4 ，m= 3 ． 【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系找出x 1+x 2=﹣=4，x 1x 2==m ，将其代入等式x 1+x 2﹣x 1x 2=1中得出关于m 的一元一次方程，解方程即可得出m 的值，从而此题得解． 【解答】解：∵x 1、x 2是方程x 2﹣4x+m=0的两个根，∴x 1+x 2=﹣=4，x 1x 2==m ． ∵x 1+x 2﹣x 1x 2=4﹣m=1， ∴m=3．故答案为：4；3．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x 1+x 2=4，x 1x 2=m ．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．16．方程2x 2﹣3x ﹣1=0的两根为x 1，x 2，则x 12+x 22= ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得出“x 1+x 2=﹣=，x 1•x 2==﹣”，再利用完全平方公式将x 12+x 22转化成﹣2x 1•x 2，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵方程2x 2﹣3x ﹣1=0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=﹣=，x 1•x 2==﹣，∴x 12+x 22=﹣2x 1•x 2=﹣2×（﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式，解题的关键是求出x 1+x 2=，x 1•x 2=﹣．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将原代数式转化成只含两根之和与两根之积的代数式是关键．17．关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是 m ＞ ． 【考点】根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式．【分析】设x 1、x 2为方程x 2+2x ﹣2m+1=0的两个实数根．由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于m 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【解答】解：设x 1、x 2为方程x 2+2x ﹣2m+1=0的两个实数根，由已知得：，即解得：m ＞．故答案为：m ＞．【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于m 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于m 的一元一次不等式组是关键．18．已知一元二次方程x 2+3x ﹣4=0的两根为x 1、x 2，则x 12+x 1x 2+x 22= 13 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】计算题．【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣3，x 1x 2=﹣4，再利用完全平方公式变形得到x 12+x 1x 2+x 22=（x 1+x 2）2﹣x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据题意得x 1+x 2=﹣3，x 1x 2=﹣4，所以x 12+x 1x 2+x 22=（x 1+x 2）2﹣x 1x 2=（﹣3）2﹣（﹣4）=13． 故答案为13．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．19．关于x 的方程2x 2﹣ax+1=0一个根是1，则它的另一个根为 ．【考点】根与系数的关系． 【专题】计算题．【分析】设方程的另一个根为t ，根据根与系数的关系得到1•t=，然后解关于t 的方程即可． 【解答】解：设方程的另一个根为t ，根据题意得1•t=，解得t=．故答案为．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．20．设x 1、x 2是方程5x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根，则+的值为 ﹣ ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2、x 1•x 2的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可． 【解答】解：∵方程x 1、x 2是方程5x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根，∴x 1+x 2=，x 1x 2=﹣，∴+===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．21．设一元二次方程x 2﹣3x ﹣1=0的两根分别是x 1，x 2，则x 1+x 2（x 22﹣3x 2）= 3 ． 【考点】根与系数的关系．【分析】由题意可知x 22﹣3x 2=1，代入原式得到x 1+x 2，根据根与系数关系即可解决问题． 【解答】解：∵一元二次方程x 2﹣3x ﹣1=0的两根分别是x 1，x 2， ∴x 12﹣3x 1﹣1=0，x 22﹣3x 2﹣1=0，x 1+x 2=3， ∴x 22﹣3x 2=1，∴x 1+x 2（x 22﹣3x 2）=x 1+x 2=3， 故答案为3．【点评】本题考查根与系数关系、一元二次方程根的定义，解题的关键是灵活运用根与系数的关系定理，属于中考常考题型．22．设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2018=0的两个实数根，则m 2+3m+n= 2016 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】计算题．【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m 2=﹣2m+2018，则m 2+3m+n 可化简为2018+m+n ，再根据根与系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m 为一元二次方程x 2+2x ﹣2018=0的实数根， ∴m 2+2m ﹣2018=0，即m 2=﹣2m+2018， ∴m 2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n ，∵m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2018=0的两个实数根， ∴m+n=﹣2，∴m 2+3m+n=2018﹣2=2016．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．也考查了一元二次方程根的定义． 三、解答题23．关于x 的一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根，且x 12+x 22=8，求m 的值． 【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ，再结合完全平方公式可得出x 12+x 22=﹣2x 1•x 2，代入数据即可得出关于关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．【解答】解：（1）∵一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根， ∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m ＞0，解得：m ＜．∴m 的取值范围为m ＜．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根， ∴x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ，∴x 12+x 22=﹣2x 1•x 2=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0． ∴m 的值为﹣1．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m ＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．24．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+（2m+1）=0有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围． 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【专题】计算题．【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=6，x 1x 2=2m+1，再利用2x 1x 2+x 1+x 2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m 的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0， 解得m ≤4；（2）根据题意得x 1+x 2=6，x 1x 2=2m+1， 而2x 1x 2+x 1+x 2≥20，所以2（2m+1）+6≥20，解得m ≥3， 而m ≤4，所以m 的范围为3≤m ≤4．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．也考查了根与系数的关系．25．关于x 的方程（k ﹣1）x 2+2kx+2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实数根．（2）设x 1，x 2是方程（k ﹣1）x 2+2kx+2=0的两个根，记S=+x 1+x 2，S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值；若不能，请说明理由． 【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）分两种情况讨论：①当k=1时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k ≠1时，方程是一元二次方程，所以证明判别式是非负数即可；（2）由韦达定理得x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，代入到+x 1+x 2=2中，可求得k 的值． 【解答】解：（1）当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=﹣1，此时该方程有实根； 当k ≠1时，方程是一元二次方程， ∵△=（2k ）2﹣4（k ﹣1）×2 =4k 2﹣8k+8 =4（k ﹣1）2+4＞0，∴无论k 为何实数，方程总有实数根，综上所述，无论k 为何实数，方程总有实数根．（2）由根与系数关系可知，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，若S=2，则+x 1+x 2=2，即+x 1+x 2=2，将x 1+x 2、x 1x 2代入整理得：k 2﹣3k+2=0， 解得：k=1（舍）或k=2， ∴S 的值能为2，此时k=2．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握方程的根与判别式间的联系，及根与系数关系是解题的关键．26．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m ﹣1=0有两个实数根x 1，x 2． （1）求m 的取值范围；（2）当x 12+x 22=6x 1x 2时，求m 的值． 【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）根据一元二次方程x 2﹣2x+m ﹣1=0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系求出x 1+x 2，x 1•x 2的值，代入x 12+x 22=6x 1x 2求解即可． 【解答】解：（1）∵原方程有两个实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4（m ﹣1）≥0， 整理得：4﹣4m+4≥0， 解得：m ≤2；（2）∵x 1+x 2=2，x 1•x 2=m ﹣1，x 12+x 22=6x 1x 2， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2=6x 1•x 2， 即4=8（m ﹣1）， 解得：m=．∵m=＜2，∴符合条件的m 的值为．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答本题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式．27．已知在关于x 的分式方程①和一元二次方程（2﹣k ）x 2+3mx+（3﹣k ）n=0②中，k 、m 、n 均为实数，方程①的根为非负数． （1）求k 的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x 1、x 2，k 为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x 1、x 2，满足x 1（x 1﹣k ）+x 2（x 2﹣k ）=（x 1﹣k ）（x 2﹣k ），且k 为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由． 【考点】根与系数的关系；根的判别式；分式方程的解．【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k 的取值； （2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m 的等式，由根与系数的关系和两个整数根x 1、x 2得出m=1和﹣1，再根据方程有两个整数根得△＞0，得出m ＞0或m ＜﹣，符合题意，分别把m=1和﹣1代入方程后解出即可．（3）根据（1）中k 的取值和k 为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算得出m 的等式，并由根的判别式组成两式可做出判断．【解答】解：（1）∵关于x 的分式方程的根为非负数，∴x ≥0且x ≠1，又∵x=≥0，且≠1，∴解得k ≥﹣1且k ≠1，又∵一元二次方程（2﹣k ）x 2+3mx+（3﹣k ）n=0中2﹣k ≠0， ∴k ≠2，综上可得：k ≥﹣1且k ≠1且k ≠2；（2）∵一元二次方程（2﹣k ）x 2+3mx+（3﹣k ）n=0有两个整数根x 1、x 2，且k=m+2，n=1时， ∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx 2+3mx+（1﹣m ）=0，即：mx 2﹣3mx+m ﹣1=0， ∴△＞0，即△=（﹣3m ）2﹣4m （m ﹣1），且m ≠0， ∴△=9m 2﹣4m （m ﹣1）=m （5m+4）＞0，则m ＞0或m ＜﹣；∵x 1、x 2是整数，k 、m 都是整数，∵x 1+x 2=3，x 1•x 2==1﹣，∴1﹣为整数， ∴m=1或﹣1，由（1）知k ≠1，则m+2≠1，m ≠﹣1∴把m=1代入方程mx 2﹣3mx+m ﹣1=0得：x 2﹣3x+1﹣1=0， x 2﹣3x=0， x （x ﹣3）=0， x 1=0，x 2=3；（3）|m|≤2成立，理由是： 由（1）知：k ≥﹣1且k ≠1且k ≠2， ∵k 是负整数， ∴k=﹣1，（2﹣k ）x 2+3mx+（3﹣k ）n=0且方程有两个实数根x 1、x 2，∴x 1+x 2=﹣==﹣m ，x 1x 2==n ，x 1（x 1﹣k ）+x 2（x 2﹣k ）=（x 1﹣k ）（x 2﹣k ）， x 12﹣x 1k+x 22﹣x 2k=x 1x 2﹣x 1k ﹣x 2k+k 2， x 12+x 22═x 1x 2+k 2，（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2﹣x 1x 2=k 2， （x 1+x 2）2﹣3x 1x 2=k 2，（﹣m ）2﹣3×n=（﹣1）2，m 2﹣4n=1，n=①，△=（3m ）2﹣4（2﹣k ）（3﹣k ）n=9m 2﹣48n ≥0②，把①代入②得：9m 2﹣48×≥0，m2≤4，则|m|≤2，∴|m|≤2成立．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．。