012年全国各地市中考数学模拟试题分类汇编55、动态综合型问题

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(整理)全国各地中考数学压轴题专集答案动态综合型问题

2012年全国各地中考数学压轴题专集答案十、动态综合型问题1．（北京模拟）已知抛物线y ＝－x2＋2x ＋m －2与y 轴交于点A （0，2m －7），与直线y ＝2x 交于点B 、C （B 在C 的右侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为E ，在抛物线的对称轴上是否存在一点F ，使得∠BFE ＝∠CFE ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由；（3）动点P 、Q 同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC 运动，以PQ 为斜边在直线BC 的上方作直角三角形PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t 秒．若△PMQ 与抛物线y ＝－x2＋2x ＋m －2有公共点，求t 的取值范围．解：（1）把点A （0，2m －7）代入y ＝－x2＋2x ＋m －2，得m ＝5∴抛物线的解析式为y ＝－x2＋2x ＋3（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x2＋2x ＋3y ＝2x 解得⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝23 ⎩⎨⎧x 2＝－3y 2＝－23∴B （3，23），C （－3，－23）∵y ＝－x2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4 ∴抛物线的对称轴为x ＝1 设F （1，y ）∵∠BFE ＝∠CFE ，∴tan ∠BFE ＝tan ∠CFE当点F 在点B 上方时，3－1 y －23 ＝3＋1y ＋23解得y ＝6，∴F （1，6）当点F 在点B 下方时，3－1 23－y ＝3＋1－y －23解得y ＝6（舍去）∴满足条件的点F 的坐标是F （1，6）（3）由题意，OP＝5t ，OQ ＝25t ，∴PQ＝5t ∵P 、Q 在直线直线y ＝2x 上 ∴设P （x ，2x ），则Q （2x ，4x ）（x＜0）∴x 2＋4x 2＝5t ，∴x ＝－t∴P （－t ，－2t ），Q （－2t ，－4t ） ∴M （－2t ，－2t ）当M （－2t ，－2t ）在抛物线上时，有－2t ＝－4t2－4t ＋3解得t ＝13－14（舍去负值）当P （－t ，－2t ）在抛物线上时，有－2t ＝－t2－2t ＋3 解得t ＝3（舍去负值）∴t 的取值范围是：13－14≤t≤ 32．（北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y 1＝ax2＋3x ＋c 经过原点及点A （1，2），与x 轴相交于另一点B ．（1）求抛物线y 1的解析式及B 点坐标；（2）若将抛物线y 1以x ＝3为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线y 2，已知抛物线y 2与x 轴交于两点，其中右边的交点为C 点．动点P 从O 点出发，沿线段OC 向C 点运动，过P 点作x 轴的垂线，交直线OA 于D 点，以PD 为边在PD 的右侧作正方形PDEF ． ①当点E 落在抛物线y 1上时，求OP 的长；②若点P 的运动速度为每秒1个单位长度，同时线段OC 上另一点Q 从C 点出发向O 点运动，速度为每秒2个单位长度，当Q 点到达O 点时P 、Q 两点停止运动．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AC 交于G 点，以QG 为边在QG 的左侧作正方形QGMN ．当这两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上时，求t 的值．（正方形在x 轴上的边除外）解：（1）∵抛物线y 1＝ax2＋3x ＋c 经过原点及点A （1，2）∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ＋3＋c ＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝0 ∴抛物线y 1的解析式为y 1＝－x2＋3x令y 1＝0，得－x2＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3 ∴B （3，0）（2）①由题意，可得C （6，0）过A 作AH ⊥x 轴于H ，设OP ＝a可得△ODP ∽△OAH ，∴DPOP＝AHOH＝2 ∴DP ＝2OP ＝2a∵正方形PDEF ，∴E （3a ，2a ） ∵E （3a ，2a ）在抛物线y 1＝－x2＋3x 上∴2a ＝－9a2＋9a ，解得a 1＝0（舍去），a 2＝7 9∴OP 的长为79②设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b 0＝6k ＋b 解得k ＝－2 5 ，b ＝12 5∴直线AC 的解析式为y ＝－2 5 x ＋125由题意，OP ＝t ，PF ＝2t ，QC ＝2t ，GQ ＝45t 当EF 与MN 重合时，则OF ＋CN ＝6 ∴3t ＋2t ＋45t ＝6，∴t ＝3029当EF 与GQ 重合时，则OF ＋QC ＝6 ∴3t ＋2t ＝6，∴t ＝65当DP 与MN 重合时，则OP ＋CN ＝6 ∴t ＋2t ＋4 5 t ＝6，∴t ＝3019当DP 与GQ 重合时，则OP ＋CQ ＝6∴t ＋2t ＝6，∴t ＝23．（北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx ＋4经过A （－3，0）、B （4，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动．（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MA 的值最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y ＝ax2＋bx ＋4经过A （－3，0）、B （4，0）两点∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋4＝016a ＋4b ＋4＝0解得a ＝－1 3 ，b ＝1 3∴所求抛物线的解析式为y ＝－1 3x2＋ 13x ＋4（2）连接DQ ，依题意知AP ＝t∵抛物线y＝－13x2＋13x＋4与y轴交于点C∴C（0，4）又A（－3，0，B（4，0）可得AC＝5，BC＝42，AB＝7∵BD＝BC，∴AD＝AB－BD＝7－42∵CD垂直平分PQ，∴QD＝DP，∠CDQ＝∠CDP ∵BD＝BC，∴∠DCB＝∠CDB∴∠CDQ＝∠DCB，∴DQ∥BC∴△ADQ∽△ABC，∴ADAB＝DQBC∴ADAB＝DPBC，∴7－427＝DP42解得DP＝42－327，∴AP＝AD＋DP＝177∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为17 7（3）设抛物线y＝－13x2＋13x＋4的对称轴x＝12与x轴交于点E由于点A、B关于对称轴x＝12对称，连接BQ交对称轴于点M则MQ＋MA＝MQ＋MB，即MQ＋MA＝BQ当BQ⊥AC时，BQ最小，此时∠EBM＝∠ACO∴tan∠EBM＝tan∠ACO＝3 4∴MEBE＝34，即ME4－12＝34，解得ME＝218∴M（12，218）∴在抛物线的对称轴上存在一点M（12，218），使得MQ＋MA的值最小4．（北京模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．动点P从点A出发，沿AC→CB→BA 边运动，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持l∥AC，且分别与CB、AB边交于点E、F．点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．（1）当t＝_________秒时，点P与点E重合；当t＝_________秒时，点P与点F重合；（2）当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点P′落在EF上，点F的对应点为F′，当EF′⊥AB时，求t的值；（3）作点P关于直线EF的对称点Q，在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求t的值；（4）在整个运动过程中，设△PEF的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式及S的最大值．C PlEC解：（1）3；4.5提示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8∴AB＝62＋82＝10，∴sin B＝ACAB＝35，cos B＝BCAB＝45，tan B＝ACBC＝34当点P与点E重合时，点P在CB边上，CP＝CE∵AC＝6，点P在AC、CB边上运动的速度分别为每秒3、4个单位∴点P在AC边上运动的时间为2秒，CP＝4(t－2)∵CE＝43t，∴4(t－2)＝43t，解得t＝3当点P与点F重合时，点P在BA边上，BP＝BF∵AC＝6，BC＝8，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位∴点P在AC、CB边上运动的时间共为4秒，BF＝BP＝5(t－4)∵CE＝43t，∴BE＝8－43t在Rt△BEF中，BEBF＝cos B∴8－43t5(t－4)＝45，解得t＝4.5（2）由题意，∠PEF＝∠MEN∵EF∥AC，∠C＝90°，∴∠BEF＝90°，∠CPE＝∠PEF ∵EN⊥AB，∴∠B＝∠MEN∴∠CPE＝∠B，∴tan∠CPE＝tan B∵tan∠CPE＝CECP，tan B＝ACBC＝34∴CECP＝34，∴CP＝43CE∵AP＝3t（0＜t＜2），CE＝43t，∴CP＝6－3t∴6－3t＝43×43t，解得t＝5443（3）连接PQ交EF于O∵P、Q关于直线EF对称，∴EF垂直平分PQ若四边形PEQF为菱形，则OE＝OF＝12EF①当点P在AC边上运动时易知四边形POEC为矩形，∴OE＝PC∴PC＝12EF∵CE＝43t，∴BE＝8－43t，EF＝BE·tan B＝34(8－43t)＝6－tEBOCAPlFQEBMCAPlFNBCAlFE(P)BCAlFE(P)∴6－3t ＝1 2 (6－t)，解得t ＝65②当点P 在CB 边上运动时，P 、E 、Q 三点共线，不存在四边形PEQF③当点P 在BA 边上运动时，则点P 在点B 、F 之间 ∵BE ＝8－43t ，∴BF ＝ BE cos B＝5 4 (8－4 3 t )＝10－5 3t ∵BP ＝5(t －4)，∴PF ＝BF －BP ＝10－53t －5(t －4)＝30－203t ∵∠POF ＝∠BEF ＝90°，∴PO ∥BE ，∴∠OPF ＝∠B 在Rt △POF 中，OFPF＝sin B ∴12(6－t)30－ 20 3t＝ 3 5 ，解得t ＝30 7∴当t ＝65或t ＝307时，四边形PEQF 为菱形（4）S ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－23t2＋4t （0≤t≤2）4 3t2－12t ＋24（2＜t≤3）－43t2＋12t －24（3＜t≤4）8 3t2－28t ＋72（4＜t≤4.5）－8 3t2＋28t －72（4.5＜t≤6）S 的最大值为1635．（北京模拟）在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝10，CD ＝6，AD ＝BC ＝4．点P 从点B 出发，沿线段BA 向点A 匀速运动，速度为每秒2个单位，过点P 作直线BC 的垂线PE ，垂足为E ．设点P 的运动时间为t （秒）．（1）∠A ＝___________°；（2）将△PBE 沿直线PE 翻折，得到△PB ′E ，记△PB ′E 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）在整个运动过程中，是否存在以点D 、P 、B ′为顶点的三角形为直角三角形或等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．A CB D P EB ′A CB D 备用图EB CAPlF QO解：（1）60°（2）∵∠A ＝∠B ＝60°，PB ＝PB ′ ∴△PB ′B 是等边三角形∴PB ＝PB ′＝BB ′＝2t ，BE ＝B ′E ＝t ，PE ＝3t 当0＜t≤2时S ＝S △PB ′E ＝12B ′E ·PE ＝1 2 t ·3t ＝ 3 2t2 当2＜t≤4时 S ＝S △PB ′E－S △FB ′C＝32t2－ 3 4 ( 2t －4 )2＝－ 3 2t2＋43t －4 3 当4＜t≤5时设PB ′、PE 分别交DC 于点G 、H ，作GK ⊥PH 于K ∵△PB ′B 是等边三角形，∴∠B ′PB ＝60°＝∠A ∴PG ∥AD ，又DG ∥AP∴四边形APGD 是平行四边形 ∴PG ＝AD ＝4∵AB ∥CD ，∴∠GHP ＝∠BPH ∵∠GPH ＝∠BPH ＝12∠B ′PB ＝30°∴∠GHP ＝∠GPH ＝30°，∴PG ＝GH ＝4 ∴GK ＝12PG ＝2，PK ＝KH ＝PG ·cos30°＝2 3 ∴PH ＝2PK ＝4 3 ∴S ＝S △PGH＝12PH ·GK ＝12×43×2＝4 3 综上得，S 与t 之间的函数关系式为： S ＝⎩⎨⎧32t2（0＜t≤2）－3 2t2＋43t －43（2＜t≤4）43（4＜t≤5）（3）①若∠DPB ′＝90° ∵∠B ′PB ＝60°，∴∠DP A ＝30° 又∠A ＝60°，∴∠ADP ＝90°∴AP ＝2AD ，∴10－2t ＝8，∴t ＝1 若∠PDB ′＝90°作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥B ′B 于N则AM ＝2，DM ＝23，NC ＝3，DN ＝3 3 PM ＝|10－2－2t |＝|8－2t | NB ′＝|3＋4－2t |＝|7－2t |DP 2＝DM 2＋PM 2＝(23 )2＋( 8－2t )2＝( 8－2t)2＋12DB ′ 2＝DN 2＋NB ′＝( 33 )2＋( 7－2t )2＝( 7－2t)2＋27∵DP 2＋DB ′ 2＝B ′P 2∴( 8－2t )2＋12＋( 7－2t )2＋27＝( 2t)2解得t 1＝15＋73 2＞5（舍去），t 2＝15－732A C BDP EB ′ AC BDP EB ′M N若∠DB ′P ＝90°，则DB ′ 2＋B ′P 2＝DP 2∴(7－2t )2＋27＋( 2t )2＝( 8－2t)2＋12 解得t 1＝－1（舍去），t 2＝0（舍去）∴存在以点D 、P 、B ′为顶点的三角形为直角三角形，此时t ＝1或t ＝15－732②若DP ＝B ′P ，则(8－2t )2＋12＝( 2t)2解得t ＝198若B ′D ＝B ′P ，则(7－2t)2＋27＝(2t)2解得t ＝197若DP ＝DB ′，则( 8－2t )2＋12＝( 7－2t)2＋27 解得t ＝0（舍去）∴存在以点D 、P 、B ′为顶点的三角形为等腰三角形，此时t ＝19 8或t ＝19 76．（北京模拟）已知二次函数y ＝－33mx2＋3mx －2的图象与x 轴交于点A （23，0）、点B ，与y 轴交于点C ．（1）求点B 坐标；（2）点P 从点C 出发以每秒1个单位的速度沿线段CO 向O 点运动，到达点O 后停止运动，过点P 作PQ ∥AC 交OA 于点Q ，将四边形PQAC 沿PQ 翻折，得到四边形PQA ′C ′，设点P 的运动时间为t ． ①当t 为何值时，点A ′恰好落在二次函数y ＝－33mx2＋3mx －2图象的对称轴上； ②设四边形PQA ′C ′落在第一象限内的图形面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．解：（1）将A （23，0）代入y ＝－33mx2＋3mx －2 得0＝－33 m ×(2 3 )2＋3m ×23－2，解得m ＝3 3∴y ＝－13x 2＋3x －2 令y ＝0，得－13x 2＋3x －2＝0，解得：x 1＝3，x 2＝2 3 ∴B （3，0）（2）①由y ＝－13x 2＋3x －2，令x ＝0，得y ＝－2 ∴C （0，－2）∵y ＝－1 3 x 2＋3x －2＝－ 1 3 ( x －323)2＋1 4∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝323过A ′作A ′H ⊥OA 于H在Rt △AOC 中，∵OC ＝2，OA ＝2 3 ∴∠OAC ＝30°，∠OCA ＝60° ∴∠PQA ＝150°，∠A ′QH ＝60°，AQ ＝A ′Q ＝2QHACBDPEB ′ AC BDP B ′ E∵点A ′在二次函数图象的对称轴上∴⎩⎪⎨⎪⎧OQ ＋QH ＝3 23OQ ＋2QH ＝23解得QH ＝32∴AQ ＝3，CP ＝1 ∴t ＝1②分两种情况：ⅰ）当0＜t≤1时，四边形PQA ′C ′ 落在第一象限内的图形为等腰三角形QA ′DDQ ＝A ′Q ＝3tA ′H ＝AQ ·sin60°＝3t ·32＝32t S ＝S △A ′DQ＝12 ·3t ·3 2t ＝33 4t2 ∵当0＜t≤1时，S 随t 的增大而增大 ∴当t ＝1时，S 有最大值334ⅱ）当1＜t＜2时，四边形PQA ′C ′ 落在第一象限内的图形为四边形EOQA ′ S 四边形EOQA ′＝S 梯形PQA ′C ′－S △OPQ－S △PC ′E＝[23－3 2 (2－t )2]－ 3 2 ( 2－t )2－ 3 4t2 ＝－534t2＋43t －2 3 ∵－53 4 t2＋43t －23＝－53 4 (t －8 5)2＋635且1＜8 5 ＜2，∴当t ＝8 5 时，S 有最大值63 5∵63 5＞33 4 ，∴S 的最大值是63 57．（北京模拟）已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝120°，E 是AB 的中点，过E 点作射线EF ∥BC ，交CD 于点G ，AB 、AD 的长恰好是方程x2－4x ＋a2＋2a ＋5＝0的两个相等实数根，动点P 、Q 分别从点A 、E 出发，点P 以每秒1个单位长度的速度沿AB 由A 向B 运动，点Q 以每秒2个单位长度的速度沿EF 由E 向F 运动，设点P 、Q 运动的时间为t （秒）．（1）求线段AB 、AD 的长；（2）当t＞1时，求△DPQ 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；（3）是否存在△DPQ 是直角三角形的情况，如果存在，求出时间t ；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题意，△＝42－4(a2＋2a ＋5 )＝－4( a ＋1)2＝0 ∴a ＝－1原方程可化为x2－4＋4＝0，解得∴x 1＝x 2＝2 ∴AB ＝AD ＝2（2）作AH ⊥BC 于H ，交EG 于O ，DK ⊥EF 于K ，PM ⊥DA 交DA 的延长线于M ∵AD ∥BC ，∠A ＝120°，AB ＝AD ＝2∴∠B ＝60°，AH ＝ 3A BD Q CP E FG∵E 是AB 中点，且EF ∥BC ，∴AO ＝DK ＝32∵AP ＝t ，∴PM ＝32t∵t＞1，∴点P 在点E 下方延长FE 交PM 于S ，设DP 与EF 交于点N则PS ＝32t －32∵AD ∥BC ，EF ∥BC ，∴EF ∥AD ∴ENAD＝PEP A，∴EN2＝t －1t∴EN ＝2(t －1) t ，∴QN ＝2t －2(t －1)t∴S ＝1 2 (2t －2(t －1) t)( 3 2 t － 3 2 ＋ 32)＝32 t2－3 2 t ＋3 2即S ＝32 t2－3 2 t ＋32（t＞1）（3）由题意，AM ＝12t ，∴DM ＝2＋12t ∴DP 2＝DM 2＋PM 2＝(2＋12t)2＋( 3 2t )2＝t2＋2t ＋4 又DQ 2＝DK 2＋KQ 2＝(32)2＋(2t －1 2－2 )2＝4t2－10t ＋7 PQ 2＝PS 2＋SQ 2＝(32 t －3 2)2＋(2t ＋t －1 2)2＝7t2－4t ＋1 ①若∠PDQ ＝90°，则DP 2＋DQ 2＝PQ 2∴t2＋2t ＋4＋4t2－10t ＋7＝7t2－4t ＋1 解得t ＝6－1（舍去负值）②若∠DPQ ＝90°，则PD 2＋PQ 2＝DQ 2∴t2＋2t ＋4＋7t2－4t ＋1＝4t2－10t ＋7解得t ＝62－1（舍去负值） ③若∠DQP ＝90°，则DQ 2＋PQ 2＝PD 2∴4t2－10t ＋7＋7t2－4t ＋1＝t2＋2t ＋4解得t ＝4±65综上所述，存在△DPQ 是直角三角形的情况，此时t ＝6－1，t ＝62－1，t ＝4±658．（天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，直y ＝－x ＋42交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．在线段OA 上有一动点P ，以每秒2个单位长度的速度由点O 向点A 匀速运动，以OP 为边作正方形OPQM 交y 轴于点M ，连接QA 和QB ，并从QA 和QB 的中点C 和D 向AB 作垂线，垂足分别为点F 和点E ．设P 点运动的时间为t 秒，四边形CDEF 的面积为S 1，正方形OPQM 与四边形CDEF 重叠部分的面积为S 2．（1）直接写出A 点和B 点坐标及t 的取值范围；A BD QCP E FNG S O K HM.................（2）当t＝1时，求S1的值；（3）试求S2与t的函数关系式（4）直接写出在整个运动过程中，点C和点D所走过的路程之和．解：（1）A（42，0）、B（0，42），0≤t≤4（2）过Q作QH⊥AB于H∵C、D分别是QA和QB的中点∴CD∥AB，CD＝12AB＝12×42×2＝4∵CF⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE∴四边形CDEF是平行四边形又∵CF⊥AB，∴四边形CDEF是矩形∵CF⊥AB，QH⊥AB，∴CF∥QH又∵C是QA中点，∴CF＝12QH连接OQ∵正方形OPQM，∴∠1＝∠2，OP＝PQ＝QM＝MO∵OA＝OB，∴P A＝MB∴Rt△QP A≌Rt△QMB，∴QA＝QB，∠PQA＝∠MQB∵QH⊥AB，∴∠3＝∠4∴∠1＋∠MQB＋∠3＝180°，∴O、Q、H三点共线∴QH＝OH－OQ∵t＝1，点P的运动速度为每秒2个单位长度∴OP＝2，∴OQ＝2又∵OA＝42，∴OH＝4∴QH＝OH－OQ＝4－2＝2，∴CF＝1∴S1＝CD·CF＝4×1＝4（3）当点Q落在AB上时，OQ⊥AB，△QOA是等腰直角三角形∴t＝22÷2＝2当0≤t≤2时，S2＝0当点E落在QM上，点F落在PQ上时，△CFK和△DEG都是等腰直角三角形过C作CT⊥PQ于T则CT＝12AP＝12(42－2t)＝22(4－t)∴CF＝2CT＝4－t连接OQ，分别交AB、CD于N、R则ON＝22OA＝22×42＝4∵OP＝2t，∴OQ＝2t，∴QN＝2t－4∴CF ＝12QN ＝t －2 ∴4－t ＝t －2，∴t ＝3当2＜t≤3时，重叠部分为等腰梯形GHIK △QGK 和△QHI 都是等腰直角三角形∵QN ＝2t －4，RN ＝CF ＝t －2，∴QR ＝t －2 ∴GK ＝2QR ＝2t －4，HI ＝2QN ＝4t －8∴S 2＝1 2 (GK ＋HI)·RN ＝1 2(2t －4＋4t －8)(t －2)＝3(t －2)2当3＜t≤4时，重叠部分为六边形GHEFIK易知Rt △CIK ≌Rt △DHG ，∴GH ＝KI ＝2CT ＝2(4－t)∴S 2＝S 矩形CDEF－2S △CIK＝CD ·CF －KI ·CT＝4(t －2)－2(4－t)·22(4－t)＝－t 2＋12t －24 综上得S 2关于t 的函数关系式为：S 2＝ ⎩⎨⎧0（0≤t≤2）3( t －2 )2（2＜t≤3）－t2＋12t －24（3＜t≤4）（4）8提示：点C 和点D 走过的路程分别为以OP 为边的正方形的对角线的一半 9．（上海模拟）如图，正方形ABCD 中，AB ＝5，点E 是BC 延长线上一点，CE ＝BC ，连接BD ．动点M 从B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BD 向D 运动；动点N 从E 出发，以每秒2个单位长度的速度沿EB 向B 运动，两点同时出发，当其中一点到达终点后另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，过M 作BD 的垂线MP 交BE 于P ．（1）当PN ＝2时，求运动时间t ；（2）是否存在这样的t ，使△MPN 为等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）设△MPN 与△BCD 重叠部分的面积为S ，直接写出S 与t 的函数关系式和函数的定义域．解：（1）∵正方形ABCD ，∴∠DBC ＝45°∵MP ⊥DB ，∴△BMP 是等腰直角三角形∵BM ＝2t ，∴BP ＝2BM ＝2t 又PN ＝2，NE ＝2t当0＜t＜2.5时，BP ＋PN ＋NE ＝BE ∴2t ＋2＋2t ＝10，∴t ＝2当2.5＜t＜5时，BP －PN ＋NE ＝BE ∴2t －2＋2t ＝10，∴t ＝3A B DN C P M EA BDNC P MEQH（2）过M 作MH ⊥BC 于H 则△NQC ∽△NMH ，∴QCCN＝MHHN∴QC5－2t＝t10－t －2t，∴QC ＝5t －2t 210－3t令QC ＝y ，则y ＝5t －2t 210－3t整理得2t 2－(3y ＋5 )t ＋10y ＝0∵t 为实数，∴[－(3y ＋5)]2－4×2×10y≥0即9y 2－50y ＋25≥0，解得y≥5（舍去）或y≤5 9∴线段QC 长度的最大值为59（3）当0＜t＜2.5时∵∠MPN ＝∠DBC ＋∠BMP ＝45°＋90°＝135° ∴∠MPN 为钝角，∴MN＞MP ，MN＞PN若PM ＝PN ，则2t ＝10－4t解得t ＝57(4－2)当2.5＜t＜5时∵∠MNP ＞∠MBP ＝∠MPB ，∴MP＞MN 若MN ＝PN ，则∠PMN ＝∠MPN ＝45° ∴∠MNP ＝90°，即MN ⊥BP ∴BN ＝NP ，BP ＝2BN∴2t ＝2(10－2t)，解得t ＝103若PM ＝PN∵PN ＝BP －BN ＝BP －(BE －NE)＝BP ＋NE －BE∴2t ＝2t ＋2t －10，解得t ＝57(4＋2)∴当t ＝5 7 (4－2)，t ＝10 3，t ＝57(4＋2)时，△MPN 为等腰三角形（4）S ＝⎩⎨⎧ 8t 3－50t 2＋75t20－6t（0＜t＜2.5）5t － 252（2.5＜t＜5）10．（重庆模拟）如图，已知△ABC 是等边三角形，点O 是AC 的中点，OB ＝12，动点P 在线段AB 上从点A 向点B 以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t 秒．以点P 为顶点，作等边△PMN ，点M ，N 在直线OB 上，取OB 的中点D ，以OD 为边在△AOB 内部作如图所示的矩形ODEF ，点E 在线段AB 上．（1）求当等边△PMN 的顶点M 运动到与点O 重合时t 的值；（2）求等边△PMN 的边长（用含t 的代数式表示）；（3）设等边△PMN 和矩形ODEF 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；AB DPC N EMAB DNC P EM AB DP C N MEADB PC N ME（4）点P 在运动过程中，是否存在点M ，使得△EFM 是等腰三角形？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）当点M 与点O 重合时∵△ABC 、△PMN 是等边三角形，O 为AC 中点 ∴∠AOP ＝30°，∠APO ＝90° ∵OB ＝12，∴AO ＝43＝2AP ＝23t 解得t ＝2∴当t ＝2时，点M 与点O 重合（2）由题设知∠ABM ＝30°，AB ＝83，AP ＝3t ∴PB ＝83－3t ，PM ＝PB ·tan30°＝8－t 即等边△PMN 的边长为8－t（3）S ＝⎩⎪⎨⎪⎧23t ＋63（0≤t≤1）－23t2＋63t ＋43（1＜t≤2）－32t2＋103（2＜t≤4）23t2－203t ＋503（4＜t≤5）0（5＜t≤8）提示：①当0≤t≤1时，PM 经过线段AF设PM 交AF 于点J ，PN 交EF 于点G ，则重叠部分为直角梯形FONG∵AP ＝3t ，∴AJ ＝23t ，JO ＝43－23t MO ＝4－2t ，ON ＝8－t －(4－2t)＝4＋t 作GH ⊥ON 于H则GH ＝FO ＝23，HN ＝2，FG ＝OH ＝4＋t －2＝2＋t ∴S ＝S 梯形FONG＝12(FG ＋ON)·FO＝12(2＋t ＋4＋t)·23＝23t ＋6 3 ②当1＜t≤2时，PM 经过线段FO设PM 交EF 于点I ，则重叠部分为五边形IJONGFJ ＝AJ －AF ＝23t －23，FI ＝2t －2∴S ＝S 梯形FONG－S △FIJ＝23t ＋63－12(23t －23)(2t －2)＝－23t 2＋63t ＋4 3③当2＜t≤4时，PN 经过线段ED设PN 交ED 于点K ，则重叠部分为五边形IMDKGA ODC BF E 备用图AODCBF E 备用图A O D CBPFE (N )(M )A ODCBPN F ME∵AP ＝3t ，∴PE ＝43－3t ∴IG ＝GE ＝4－t ，EK ＝43－3t∴KD ＝23－(43－3t)＝3t －23，DN ＝t －2 ∴S ＝S 梯形IMNG －S △KDN＝1 2 (4－t ＋8－t)·23－12(3t －23)(t －2) ＝－32t 2＋10 3 ④当4＜t≤5时，PM 经过线段ED设PM 交ED 于点R ，则重叠部分为△RMD ∵AP ＝3t ，∴EP ＝3t －4 3 ∴ER ＝2EP ＝23t －8 3∴RD ＝23－(23t －83)＝103－23t MD ＝10－2t∴S ＝S △RMD＝12(10－2t)(103－23t)＝23t 2－203t ＋50 3 ⑤当5＜t≤8时，S ＝0（4）∵MN ＝BN ＝PN ＝8－t ，∴MB ＝16－2t ①若FM ＝EM ，则M 为OD 中点 ∴OM ＝3∵OM ＋MB ＝OB ，∴3＋16－2t ＝12 ∴t ＝3.5②若FM ＝FE ＝6，则OM ＝6 2－( 23)2＝2 6∵OM ＋MB ＝OB ，∴26＋16－2t ＝12 ∴t ＝2＋ 6③若EF ＝EM ＝6，点M 在OD 或DB 上则DM ＝6 2－( 23)2＝2 6∴DB ＋DM ＝MB 或者DB －DM ＝MB∴6＋26＝16－2t 或6－26＝16－2t ∴t ＝5－6或t ＝5＋ 6综上所述，当t ＝3.5、2＋6、5－6、5＋6时，△MEF 是等腰三角形11．（浙江某校自主招生）如图，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，且OA 边和AB 边所在直线的解析式分别为y ＝34x 和y ＝－4 3 x ＋ 253．（1）求正方形OABC 的边长；（2）现有动点P 、Q 分别从C 、A 同时出发，点P 沿线段CB 向终点B 运动，速度为每秒1个单位，点QA OD CBP NF ME AOD C BP NF M E A O D C B PN F M E AO D C BPN F M E沿折线A →O →C 向终点C 运动，速度为每秒k 个单位，设运动时间为2秒．当k 为何值时，将△CPQ 沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？（3）若正方形以每秒53个单位的速度沿射线AO 下滑，直至顶点B 落在x 轴上时停止下滑．设正方形在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围．解：（1）联立 ⎩⎨⎧y ＝34xy ＝－4 3 x ＋25 3解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3∴A （4，3），∴OA ＝4 2＋32＝5 ∴正方形OABC 的边长为5（2）要使△CPQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△CPQ 为等腰三角形即可当t ＝2秒时∵点P 的速度为每秒1个单位，∴CP ＝2 分两种情况：①当点Q 在OA 上时，∵PQ ≥BA ＞PC ，∴只存在一点Q ，使QC ＝QP作QN ⊥CP 于N ，则CN ＝12CP ＝OQ ＝1∴QA ＝5－1＝4，∴k ＝42＝2 ②当点Q 在OC 上时，同理只存在一点Q ，使CP ＝CQ ＝2 ∴OQ ＋OA ＝10－2＝8，∴k ＝82＝4综上所述，当t ＝2秒时，以所得的等腰三角形CPQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k 值为2或4 （3）①当点A 运动到点O 时，t ＝3 当0＜t≤3时，设O ′C ′ 交x 轴于点D则tan ∠DOO ′＝3 4 ，即DO ′OO ′＝DO ′5 3t＝ 3 4 ，∴DO ′＝ 54t∴S ＝1 2 DO ′·OO ′＝ 1 2 ·5 4 t ·5 3 t ＝ 25 24t 2②当点C 运动到x 轴上时，t ＝(5×4 3)÷5 3＝4当3＜t≤4时，设A ′B ′ 交x 轴于点E∵A ′O ＝5 3 t －5，∴A ′E ＝ 34 A ′O ＝5t －15 4∴S ＝1 2 (A ′E ＋O ′D )·A ′O ′＝1 2 (5t －15 4＋54 t )·5＝50t －75 8③当点B 运动到x 轴上时，t ＝(5＋5×4 3)÷5 3＝7当4＜t≤7时，设B ′C ′ 交x 轴于点F∵A ′E ＝5t －15 4，∴B ′E ＝5－5t －15 4＝35－5t4∴B ′F ＝43 B ′E ＝35－5t 3∴S ＝52－12 ·35－5t 4·35－5t 3＝－25 24 t 2＋ 175 12 t －625 24综上所述，S 关于滑行时间t 的函数关系式为：S ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2524t 2（0＜t≤3）50t －758（3＜t≤4）－25 24t2＋175 12t －625 24（4＜t≤7）12．（浙江某校自主招生）如图，正方形ABCD 的边长为8cm ，动点P 从点A 出发沿AB 边以1cm /秒的速度向点B 匀速移动（点P 不与点A 、B 重合），动点Q 从点B 出发沿折线BC －CD 以2cm /秒的速度匀速移动．点P 、Q 同时出发，当点P 停止时，点Q 也随之停止．连接AQ 交BD 于点E ．设点P 运动时间为t （秒）．（1）当点Q 在线段BC 上运动时，点P 出发多少时间后，∠BEP ＝∠BEQ ？（2）设△APE 的面积为S （cm 2），求S 关于t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）当4＜t ＜8时，求△APE 的面积为S 的变化范围．解（1）AP ＝x cm ，BQ ＝2x cm∵∠BEP ＝∠BEQ ，BE ＝BE ，∠PBE ＝∠QBE ＝45° ∴△PBE ≌△QBE ，∴PB ＝BQ 即8－x ＝2x ，∴x ＝83∴点P 出发83秒后，∠BEP ＝∠BEQ （2）①当0＜x≤4时，点Q 在BC 上，作EN ⊥AB 于N ，EM ⊥BC 于M ∵AD ∥BC ，∴AEEQ＝ADBQ＝8 2x＝4xA B DEC PQ即AEEQ＝4 x，∴AEAQ ＝4x ＋4∴NEBQ＝AEAQ，∴NE ＝AE ·BQAQ ＝8x x ＋4∴S ＝1 2 AP ·NE ＝ 1 2 x · 8x x ＋4 ＝4x2x ＋4即S ＝4x2x ＋4（0＜x≤4）②当4＜x＜8时，点Q 在CD 上，作QF ⊥AB 于F ，交BD 于H则AEEQ＝ADHQ＝8 16－2x＝48－x即AEEQ＝4 8－x，∴AEAQ ＝ 4 8－x ＋4 ＝412－x作EN ⊥AB 于N ，则 NEFQ＝AEAQ∴NE ＝AE ·FQFQ＝32 12－x∴S ＝1 2 AP ·NE ＝ 1 2 x ·32 12－x ＝16x12－x即S ＝16x12－x（4＜x＜8）（3）当4＜x＜8时，由S ＝16x12－x，得x ＝12S16＋S∵4＜x＜8，∴4＜12S16＋S＜8 ∵S＞0，∴16＋S＞0，∴4(16＋S)＜12S＜8(16＋S) 解得8＜S＜32 13．（浙江模拟）如图，菱形ABCD 的边长为6且∠DAB ＝60°，以点A 为原点、边AB 所在直线为x 轴且顶点D 在第一象限建立平面直角坐标系．动点P 从点D 出发沿折线D －C －B 向终点B 以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q 从点A 出发沿x 轴负半轴以每秒1个单位的速度运动，当点P 到达终点时停止运动．设运动时间为t ，直线PQ 交边AD 于点E ．（1）求出经过A 、D 、C 三点的抛物线解析式；（2）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 值，若不存在，请说明理由；（3）设AE 长为y ，试求y 与t 之间的函数关系式；（4）若F 、G 为DC 边上两点，且点DF ＝FG ＝1，试在对角线DB 上找一点M 、抛物线对称轴上找一点N ，使得四边形FMNG 周长最小并求出周长最小值．A BDE CPQN M A BDE CP QNF H解：（1）由题意得：D （3，33）、C （9，33）设经过A 、D 、C 三点的抛物线解析式为y ＝ax2＋bx 把D 、C 两点坐标代入上式，得：⎩⎨⎧9a ＋3b ＝3381a ＋9b ＝33解得：a ＝－3 9 ，b ＝433∴抛物线的解析式为：y ＝－39 x2＋433x （2）连接AC ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD 若PQ ⊥BD ，则PQ ∥AC 当点P 在DC 上时∵PC ∥AQ ，PQ ∥AC ，∴四边形PQAC 是平行四边形 ∴PC ＝AQ ，即6－2t ＝t, ∴t ＝2当点P 在CB 上时，PQ 与AC 相交，此时不存在符合要求的t 值（3）①当点P 在DC 上，即0≤t≤3时 ∵DP ∥AQ ，∴△DEP ∽△AEQ∴ DE y＝ DP AQ ＝ 2tt ＝2，∴y ＝ 13AD ＝2②当点P 在CB 上，即3＜t≤6时∵AE ∥BP ，∴△QEA ∽△QPB∴AEBP＝QAQB，即y12－2t＝t6＋t∴y ＝12－2t6＋t综上所述，y 与t 之间的函数关系式为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 （0≤t≤3） 12－2t6＋t（3＜t≤6）（4）作点F 关于直线BD 的对称点F ′，由菱形对称性知F ′ 在DA 上，且DF ′＝DF ＝1作点G 关于抛物线对称轴的对称点G ′，易求DG ′＝4 连接F ′G ′ 交DB 于点M 、交对称轴于点N ，则点M 、N过F ′ 作F ′H ⊥DG ′ 于H ，可得HD ＝1 2 ，F ′H＝ 3 2 ，HG ′＝92∴F ′G ′＝F ′H 2＋HG ′ 2＝21∴四边形FMNG 周长最小值为F ′G ′＋FG ＝21＋1 14．（浙江模拟）如图，直线y ＝－x ＋5和直线y ＝kx －4交于点C （3，m ），两直线分别交y 轴于点A 和点B ，一平行于y 轴的直线l 从点C 出发水平向左平移，速度为每秒1个单位，运动时间为t ，且分别交AC 、BC 于点P 、Q ，以PQ 为一边向左侧作正方形PQDE ．（1）求m 和k 的值；（2）当t 为何值时，正方形的边DE 刚好在y 轴上？（3）当直线l 从点C 出发开始运动的同时，点M 也同时在线段AB 上由点A 向点B 以每秒4个单位的速度运动，问点M 从进入正方形PQDE 到离开正方形持续的时间有多长？解：（1）把C （3，m ）代入y ＝－x ＋5得m ＝2 ∴C （3，2），代入y ＝kx －4得k ＝2（2）由题意，点P 横坐标为3－t当x ＝3－t 时，y ＝－x ＋5＝t ＋2，∴P （3－t ，t ＋2） ∵PQ ∥y 轴，∴点Q 横坐标为3－t当x ＝3－t 时，y ＝2x －4＝2－2t ，∴Q （3－t ，2－2t ） ∴PQ ＝t ＋2－(2－2t)＝3t ∵正方形PQDE ，∴PQ ＝PE 当正方形的边DE 刚好在y 轴上时，3t ＝3－t ，∴t ＝3 4（3）∵直线y ＝－x ＋5交y 轴于点A ，∴A （0，5） ∴点M 坐标为（0，5－4t ）当点M 和点P 的纵坐标相等时，5－4t ＝t ＋2，∴t ＝35∵3 5＜3 4，∴点M 进入正方形PQDE 时，t ＝3 4当点M 和点Q 的纵坐标相等时，5－4t ＝2－2t ，∴t ＝3 2∴点M 从进入正方形PQDE 到离开正方形持续的时间为：t ＝32－3 4＝3 415．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，Rt △OAB 的直角边OA 在x 轴的正半轴上，点B 坐标为（3，1），以OB 所在直线为对称轴将△OAB 作轴对称变换得△OCB ．动点P 从点O 出发，沿线段OA 向点A 运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CO 向点O 运动．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P 运动的时间为t （秒）．（1）求∠AOC 的度数；（2）记四边形BCQP 的面积为S （平方单位），求S 与t（3）设PQ 与OB 交于点M ． ①当△OMQ 为等腰三角形时，求t的值．②探究线段OM 长度的最大值，说明理由．解：（1）∵点B坐标为（3，1），∴OA＝3，AB＝1∴在Rt△OAB中，tan∠AOB＝ABOA＝13＝33∴∠AOB＝30°∵将△OAB作轴对称变换得△OCB∴△OCB≌△OAB，∴∠COB＝∠AOB＝30°∴∠AOC＝60°（2）∵OP＝CQ＝t，AB＝1，OC＝OA＝ 3 ∴AP＝OQ＝3－t∴S＝2S△OAB－S△OPQ－S△P AB＝OA·AB－12OP·OQ·sin∠AOC－12P A·AB＝3×1－12×t×(3－t)×32－12×(3－t)×1＝34t2－14t＋32（3）①若△OMQ为等腰三角形，则可能有三种情况：（i）若OM＝MQ，则∠MQO＝∠MOQ＝30°∵∠AOC＝60°，∴∠OPQ＝90°∴OP＝12OQ，即t＝12(3－t)解得：t＝3 3（ii）若OM＝OQ，则∠OMQ＝∠OQM＝75°∵∠AOC＝60°，∴∠OPQ＝45°过点Q作QD⊥OA于D，则QD＝DP即32(3－t)＝t－12(3－t)解得：t＝1（iii）若MQ＝OQ，则∠OMQ＝∠MOQ＝∠MOP 得PQ∥OA，显然不符合题意②分别过点P、Q作OB的垂线，垂足分别为E、F ∵OP＝t，OQ＝3－t，∠MOP＝∠MOQ＝30°∴S△OPQ＝S△OPM＋S△OOM＝12OM·PE＋12OM·QF＝14OM·OP＋14OM·OQ＝14OM(OP＋OQ)＝14OM(t＋3－t)＝34OM过点Q作QG⊥OA于G则S△OPQ＝12OP·QG＝12OP·OQ·sin60°＝34t(3－t)＝－34(t2－3t)∴34OM＝－34(t2－3t)∴OM＝－(t2－3t)＝－(t－32)2＋34∴当t＝32时，线段OM的长度取得最大值3416．（浙江模拟）已知直线y＝43x＋4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点C从O点出发沿射线OA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点D从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动，当点D到达B点时C、D都停止运动．点E是CD的中点，直线EF⊥CD交y轴于点F，点E′与E点关于y轴对称．点C、D的运动时间为t（秒）．（1）当t＝________秒时，点F经过原点O；（2）设四边形BDCO的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当直线EF与△AOB的一边垂直时，求t的值；（4）以CD为一边，在CD的右侧作菱形CDMN，其中DM∥x轴．当点N在直线E′F左侧时，直接写出菱形CDMN与△EFE′重叠部分为轴对称图形时t的取值范围．解：（1）5 2提示：∵直线y＝43x＋4与x轴、y轴分别相交于点A、B∴A（－3，0），B（0，4），∴AO＝3，BO＝4 ∴AB＝AO2＋BO2＝32＋42＝5当点F经过原点时，连接OD由题意，EF是CD的垂直平分线∴OD＝OC＝t∵AD＝t，∴AD＝OD，∴∠DAO＝∠DOA∵∠DBO＋∠DAO＝90°，∠DOB＋∠DOA＝90°∴∠DBO＝∠DOB，∴OD＝BD∴AD＝BD，∴AD＝12AB＝52（2）∵AO＝3，BO＝4，AB＝5∴sin∠BAO＝BOAB＝45，cos∠BAO＝AOAB＝35过D作DH⊥AC于H 当0≤t≤3时∵CO＝t，AD＝t，∴AC＝3－t，DH＝AD·sin∠BAO＝4 5t∴S＝S△ABO－S△ADC＝12×3×4－12·(3－t)·45t＝25t2－65t＋6当3＜t≤5时，AC＝t－3∴S＝S△ABO＋S△ADC＝12×3×4＋12·(t－3)·45t＝25t2－65t＋6综合得S与t的函数关系式为：S＝25t2－65t＋6（0≤t≤5）（3）当EF⊥BO时∵EF⊥CD，∴CD∥BO，∴∠ACD＝90°.................在Rt △ADC 中，ACAD＝cos ∠BAO∴3－t t＝3 5 ，∴t ＝158当EF ⊥AB 时∵EF ⊥CD ，∴直线CD 与直线AB 重合 ∴点C 与点A 重合，∴t ＝3 （4）t ＝5 4 或t ＝154提示：①当0＜t＜158则∠PEQ ＝∠MQE∵菱形CDMN ，∴CD ∥MN∴∠MQE ＝∠CEQ ，∴∠PEQ ＝∠CEQ ∵EF ⊥CD ，即∠CEF ＝90°，∴∠CEQ ＝∴∠ACD ＝∠CEQ ＝45°过D 作DH ⊥AC 于H ，则△DHC 是等腰直角三角形∴DH ＝HC ，∴4 5t ＝3－t －3 5 t ，∴t ＝54②当158＜t＜5，且重叠部分为等腰梯形EHNK 时同理可得∠CHE ＝45° 连接DH∵EF 垂直平分CD ，∴CH ＝DH ，∠DHE ＝∠CHE ＝45° ∴∠DHC ＝90°，∴DH ＝45t 而CH ＝CO －HO ＝CO －(AO －AH)＝t －(3－35t) ∴t －(3－3 5 t )＝45 t ，∴t ＝15417．（浙江模拟）如图1，矩形ABCD 中，AB ＝21，AD ＝12，E 是CD 边上的一点，DE ＝16，M 是BC 边的中点，动点P 从点A 出发，沿边AB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动．设动点P 的运动时间是t 秒．（1）求线段AE 的长；（2）当△ADE 与△PBM 相似时，求t 的值；（3）如图2，连接EP ，过点P 作PH ⊥AE 于H ． ①当EP 平分四边形PMEH 的面积时，求t 的值；②以PE 为对称轴作线段BC 的轴对称图形B ′C ′，当线段B ′C ′ 与线段AE 有公共点时，写出t 的取值范围（直接写出答案）．解：（1）∵ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°∴AE ＝AD 2＋DE 2＝122＋162＝20 （2）∵∠D ＝∠B ＝90°∴△ADE 与△PBM 相似时，有两种情况：当∠DAE ＝∠PMB 时，有DEPB＝ADBM即1621－t＝126，解得t ＝13 当∠DAE ＝∠BPM 时，有DEBM＝ADPB即166＝1221－t，解得t ＝332（3）①由题意得：S △EHP＝S △EMP ∵DC ∥AB ，∴∠DEA ＝∠HAP 又∵∠D ＝∠AHP ＝90°，∴△ADE ∽△PHA∴AHDE＝PHAD＝APAE，即AH16＝PH12＝t20∴AH ＝45t ，PH ＝3 5 t ，EH ＝20－ 45t ∴S △EHP＝1 2 ×3 5 t ×( 20－ 45t)∵DC ＝21，DE ＝16，∴EC ＝5∴S △EMP＝S 梯形EPBC－S △ECM－S △PBM＝1 2 (5＋21－t)×12－1 2 ×5×6－12×(21－t)×6 ∴1 2 ×3 5t ×(20－4 5 t )＝ 1 2 ( 5＋21－t )×12－ 1 2 ×5×6－ 12×( 21－t)×6 解得t ＝75±5174∵0＜t＜21，∴t ＝75－5174②14011≤t≤20 提示：当点B ′ 落在线段AE 上时连接B ′P 、EB ，∵B ′C ′ 和BC 关于PE 对称 ∴B ′P ＝BP ＝21－t ，B ′E ＝BE ＝BC 2＋EC 2＝122＋52＝13D CE M P 图1 DC E MP H图2D CE BM备用图DA C E BMP HC ′B ′N DAC E B MPHDA C EBMP H。

2013年全国各地中考模拟卷分类汇编：动态综合型问题(共40页)

DCBA2013年全国各地中考模拟卷分类汇编--动态综合型问题一、选择题1、（2013年湖北荆州模拟题）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（▲）A．B．C．D．答案：Ｂ2．（2013年北京房山区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是答案：B3．（2013年北京顺义区一模）如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为，分别以AP和PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为A．B．C．D．答案：DPDCBA第2题图4、(2013年安徽省模拟六)如图所示，矩形ABCD 的长、宽分别为8cm 和4cm ，点E 、F 分别在AB 、BC 上，且均从点B 开始，以1cm /s 的速度向B －A －D 和B －C －D 的方向运动，到达D 点停止.则线段EF 的长ycm 关于时间ts 函数的大致图象是……【】答案：A5、(2013年湖北荆州模拟6)如图，已知A 、B 是反比例函数ky x（k >0，x >0）图象上的两点，BC ∥x 轴，交y 轴于点C ．动点P 从坐标原点O 出发，沿O →A →B →C 匀速运动，终点为C ．过点P 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ．设四边形OMPN 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ▲ ）A B C D 答案：A6、(2013年广东省佛山市模拟)如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t ，正方形除去圆部分的面积为S （阴影部分），则S 与t 的大致图象为（）答案：A7、（2013浙江台州二模）9．如图，已知Rt △ABC 的直角边AC =24，斜边AB =25，一个以点P 为圆心、半径为1的圆在△ABC 内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P 一直保持与△ABC 的边相切，当点P 第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）A .563B . 25C .1123D . 56 tA BtCtD第1题图第2题图（第1题）【答案】C8、（2013年杭州拱墅区一模）如图，在△ABC 中，已知∠C =90°，AC ＝BC ＝4，D 是AB的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 边上运动（点E 不与点A 、C 重合），且保持AE ＝CF ，连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，有下列结论：①四边形CEDF 有可能成为正方形；②△DFE 是等腰直角三角形； ③四边形CEDF 的面积是定值；④点C 到线段EF．其中正确的结论是（）A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①②③④ 答案：D二、填空题1、(2013年湖北荆州模拟6)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC =4，AD=B =45°，直角三角板含45°角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ，若△ABE 为等腰三角形，则CF = ▲. 答案： 2.5或3或3点出发，以1cm /s 的速度沿着A →B →C →D 的方向不停移动，直到点P 到达点D 后才停止．已知△PAD 的面积S （单位：cm 2）与点P 移动的时间（单位：s ）的函数如图②所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了秒（结果保留根号）．第15题图【答案】（4+2）第1题图A CFD EB2、(2013年广东省佛山市模拟)如图△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6 cm ，AC ＝8cm ，动点P 从A 出发，以2 cm / s 的速度沿AB 移动到B ，则点P 出发 s 时，△BCP 为等腰三角形．（原创）答案： 2，2．5，1． 43．（2013郑州外国语预测卷）如图在平行四边形ABCD 中，点E 在CD 边上运动（不与C 、D 两点重合），连接AE 并延长与BC 的延长线交于点F 。

全国各地中考模拟试卷数学分类：二次函数综合题汇编含答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．（3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．【答案】(1) y=﹣234x +94x+3；(2) 有最大值,365;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，表示PD=﹣2334m m ，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365，求L 的最大值即可；（3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论．试题解析:（1）由OC=3OA ，有C （0，3），将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，故抛物线的解析式为：y=﹣234x +94x+3；（2）如图2，设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ， ∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3），设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则403k b b +=⎧⎨=⎩ 解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2334m m +， ∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ，∴∠BDE=∠BCO ，∵∠BDE=∠PDF ，∴∠PDF=∠BCO ，∵∠PFD=∠BOC=90°，∴△PFD ∽△BOC ， ∴=PED PD BOC BC的周长的周长，由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，故△BOC 的周长=12，∴2334125m m L -+=，即L=﹣95（m ﹣2）2+365，∴当m=2时，L 最大=365；（3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ，∴∠PCQ=∠CPD ，∴∠PCD=∠CPD ，∴CD=PD ，∴CD=DP=PQ=QC ，∴四边形CDPQ 是菱形，过D 作DG ⊥y 轴于点G ，设P （n ，﹣234n +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣334n +），在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣34n+3）﹣3]2+n 2=22516n ，而|PD|=|（﹣239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n +3n|， ∵PD=CD ，∴﹣235344n n n +=①， ﹣235344n n n +=-②，解方程①得：n=73或0（不符合条件，舍去），解方程②得：n=173或0（不符合条件，舍去），当n=73时，P （73，256），如图3，当n=173时，P （173，﹣253），如图4，综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．2．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(32-，154)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【解析】【分析】(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y 轴交直线AB于点F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标．【详解】解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，∴点A(1，0)，∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，∴309330a ba b++⎧⎨-+⎩＝＝，解得：12ab-⎧⎨-⎩＝，＝∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，∴设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，∴2231y x xy x⎧--+⎨-⎩＝＝，解得：1145xy-⎧⎨-⎩＝＝，221xy＝，＝⎧⎨⎩∴点B(﹣4，﹣5)，如图，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，则点F(m，m﹣1)，∴PF＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，∴S△ABP＝S△PBF+S△PFA＝12(﹣m2﹣3m+4)(m+4)+12(﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)＝-52（m+32）2+1258，∴当m＝32-时，P最大，∴点P(32-，154).(3)当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴点E(﹣1，﹣2)，如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y ＝﹣x﹣3，∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，联立533y xy x+⎧⎨+⎩＝＝得D1(0，3)，同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且tan∠CAO=3．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二次方程：y2－(m+3)y+14(5m2－2m+13)="0" (m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．【答案】(1) y=-x2+2x+3；(2)223(03){3(3)d t t td t t t=-+<<=->；（3）t=1，2，2)和(12，2).【解析】【分析】（1）当x=0时代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B的坐标，在直角三角形AOC中，由三角形函数值就可以求出OA 的值，得出A 的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；（2）分两种情况讨论，当点P 在线段CB 上时，和如图3点P 在射线BN 上时，就有P 点的坐标为（t ，-t+3），Q 点的坐标为（t ，-t 2+2t+3），就可以得出d 与t 之间的函数关系式而得出结论；（3）根据根的判别式就可以求出m 的值，就可以求出方程的解而求得PQ 和PH 的值，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，就可以得出四边形LQMH 是平行四边形，进而得出四边形LQMH 是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．【详解】（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n ，y=ax 2+bx+3=3，∴OC=3=n ．当y=0，∴-x+3=0，x=3=OB ，∴B （3，0）．在△AOC 中，∠AOC ＝90°，tan ∠CAO=33OC OA OA==， ∴OA=1，∴A （-1，0）．将A （-1，0），B （3，0）代入y=ax2+bx+3，得 9330{30a b a b ++=-+=，解得：1{2a b =-= ∴抛物线的解析式：y=-x 2+2x+3；(2) 如图1，∵P 点的横坐标为t 且PQ 垂直于x 轴 ∴P 点的坐标为(t ，－t+3)，Q 点的坐标为(t ，－t 2+2t+3).∴PQ=|(－t+3)－(－t 2+2t+3)|="|" t 2－3t |∴223(03) {3(3)d t t td t t t=-+<<=->；∵d，e是y2－(m+3)y+14(5m2－2m+13)=0（m为常数）的两个实数根，∴△≥0，即△=(m+3)2－4×14(5m2－2m+13)≥0整理得：△= －4(m－1)2≥0，∵－4(m－1)2≤0，∴△=0，m=1，∴ PQ与PH是y2－4y+4=0的两个实数根，解得y1=y2=2∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1,"∴此时Q是抛物线的顶点，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，∵LP=MP，PQ=PH，∴四边形LQMH是平行四边形，∴LH∥QM，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴LH=MH，∴平行四边形LQMH是菱形，∴PM⊥QH，∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，∴在y=－x2+2x+3令y=2，得x2－2x－1=0，∴x1=1+2，x2=1－2综上：t值为1，M点坐标为(1+2，2)和(1－2，2).5．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．【解析】【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．【详解】（1）由题意得，32 2a bba+-⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝，解得14ab-⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=x2-4x，令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，结合图象知，A的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x）,∵PA⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90°,∵∠PAF+∠FPA=90°,∴∠FPA=∠BAE又∠PFA=∠AEB=90°∴△PFA∽△AEB,∴PF AFAE BE=，即244213x x x--=-，解得，x= −1，x=4（舍去）∴x2-4x=-5∴点P的坐标为（-1，-5），又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1 所以BP 与x 轴交点为（14，0） ∴S △PAB=115531524⨯⨯+= 【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．6．在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C .（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为212y x x =-;抛物线的对称轴为直线x =;（Ⅱ）P 点坐标为9(0,)4-;（Ⅲ）存在，Q 点坐标为或(-，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）将3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解. 【详解】（Ⅰ）∵2(0)y ax x a =≠经过点3)A -，∴23a -=⨯12a =，∴抛物线的解析式为212y x x =，∵212222b x a =-=-=⨯， ∴抛物线的对称轴为直线x =（Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为x =， ∴点O 关于对称轴的对称点B点坐标为. 作点B 关于轴的对称点1B，得1(B -，设直线AB 1的解析式为y kx b =+，把点3)A -，点1(B -代入得30bb⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得94k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴94y x =-.∴直线944y x =--与y 轴的交点即为P 点. 令0x =得9y 4=-， ∵P 点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵3)A -，//AC x 轴，∴AC =3OC =，∴113222AOC S OC AC ∆=⋅=⋅=，又∵13AOC AOQ S S ∆∆=，∴32AOQ AOC S S ∆∆==. 设Q点坐标为21(,)2m m ，如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ，∵2AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形，∴(211113332222m m m ⎛⎫⋅++-- ⎪ ⎪⎭⎝2132m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭化简整理得2180m -=，解得133m =，223m =-.如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ， ∵93AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴2211331133(3m)3()2222m m m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭393(3)2m m --+-=，化简整理得23180m m --=，解得133m =，223m =-， ∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-， ∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.7．如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC 的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•B D=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．考点：二次函数综合题．8．抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．【解析】试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即，∴DE=4﹣2t，∴===，∵0＜t＜2，始终为正数，且t=1时，有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②存在，∵抛物线的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴，=，=，当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，，即，解得：m=2，②当∠EFP=90°时，，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，③当∠PEF=90°时，，即，解得：m=7，综上所述，F（3，2），（3，7）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．分类讨论；6．压轴题．9．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x 轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．【解析】试题分析：（1）首先利用根与系数的关系得出：，结合条件求出的值，然后把点B，C的坐标代入解析式计算即可；（2）（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．试题解析：解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，∴x1+x2=8，由．解得：．∴B（2，0）、C（6，0）则4m﹣16m+4m+2=0，解得：m=，∴该抛物线解析式为：y=；．（2）可求得A（0，3）设直线AC的解析式为：y=kx+b，∵∴∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），∵P（t，），∴PF=，∴S△APC=S△APF+S△CPF===，此时最大值为：，②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），∵P（t，），∴PM=，∴S△APC=S△APF﹣S△CPF===，当t=8时，取最大值，最大值为：12，综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，若：△AOB∽△AQP，则：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=2（舍），②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=，若：△AOB∽△AQP，则：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=14，∴t=或t=或t=14．考点：二次函数综合题．10．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或【解析】试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；②根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴对称轴为y=2；∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；②这两个点连线为y=﹣5；将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x=2时，y=2或者﹣2；当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；∴a=或；考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换。

2012年全国各地市中考数学模拟试题分类汇编55动态综合型问题

D图4M 动态综合型问题一、选择题1、（2012山东省德州三模）如图，A ，B ，C ，D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O —C —D —O 路线作匀速运动，设运动时间为x (秒)，∠APB ＝y (度)，右图函数图象表示y 与x 之间函数关系，则点M 的横坐标应为（）A ．2B ．2πC ．12π+D ．2π＋2答案：C二、填空题1、（2012荆门东宝区模拟）如图，动点P 在坐标系中按图中所示箭头方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P 的坐标是．答案：（2011，2）2、（盐城市第一初级中学2011～2012学年期中考试）如图，已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移 ▲ 个单位时，它与x 轴相切．答案1或53. （盐城市亭湖区2012年第一次调研考试）如图4，正方形ABCD 的边长为2，AE ＝EB ，MN ＝1，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM ＝时，△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似。

答案CM ＝552或CM ＝55；（第8题）第17题4、(2012石家庄市42中二模)如图,矩形ABCD 的边AB 在y轴上，AB 的中点与原点重合，AB =2,AD =1，过定点Q （2，0）和动点P （0，a ）的直线与矩形ABCD 的边有公共点，则a 的取值范围是____________．答案：-2≤a ≤25、（2012年浙江省金华市一模）如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA ,OC 分别在X 轴，y 轴的正半轴上。

OA ∥BC ，D 是BC 上一点，14BD OA ==AB =3, ∠OAB =45°，E ,F 分别是线段OA ,AB 上的两个动点，且始终保持∠DEF =45°，设OE =x ，AF =y ,则y 与x 的函数关系式为，如果△AEF 是等腰三角形时。

动点综合问题(共32题)2023年中考数学真题(全国通用)(解析版)

动点综合问题（32题）统考中考真题）如图，在ABC 中，移动，到达点 A ．()55，B ．246,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3224,5⎛ ⎝【答案】C 【分析】如图所示，过点C 作CD AB ⊥于D ，连接CP ，先利用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形，即90C ∠=︒，进而利用等面积法求出245CD =，则可利用勾股定理求出325AD =；再证明四边形CMPN 是矩形，得到MN CP =，故当点P 与点重合时，CP 最小，即MN 最小，此时MN 最小值为245，325AP =，则点E 的坐标为3224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭．【详解】解：如图所示，过点C 作CD AB ⊥于D ，连接CP ，∵在ABC 中，1068AB BC AC ===，，，∴2222226810010AC BC AB +=+===，∴ABC 是直角三角形，即90C ∠=︒，∴1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅， ∴245AC BC CD AB ⋅==，∴325AD =；∵90PM AC PN BC C =︒⊥，⊥，∠，∴四边形CMPN 是矩形，∴MN CP =，∴当MN 最小时，即CP 最小，∴当点P 与点D 重合时，CP 最小，即MN 最小，此时MN 最小值为245，325AP AD ==， ∴点E 的坐标为3224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键．【答案】C【分析】根据图象可知0=t 时，点P 与点A 重合，得到15AB =，进而求出点P 从点A 运动到点B 所需的时间，进而得到点P 从点B 运动到点C 的时间，求出BC 的长，再利用勾股定理求出AC 即可．【详解】解：由图象可知：0=t 时，点P 与点A 重合，∴15AB =，∴点P 从点A 运动到点B 所需的时间为1527.5s ÷=；∴点P 从点B 运动到点C 的时间为11.57.54s −=，∴248BC =⨯=；在Rt ABC △中：17AC =；故选：C ．【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出,AB BC 的长，是解题的关键．秒，AMN 的面积为 A ．．．．【答案】A【分析】连接BD ，过点B 作BE AD ⊥于点E ，根据已知条件得出ABD △是等边三角形，进而证明AMN ABE ∽得出90ANM AEB ∠=∠=︒，当04t <<时，M 在AB 上，当48t ≤<时，M 在BC 上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，【详解】解：如图所示，连接BD ，过点B 作BE AD ⊥于点E ，当04t <<时，M 在AB 上，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，∴AB AD =，则ABD △是等边三角形，∴122AE ED AD ===，BE ==∵2,AM x AN x ==， ∴2AM AB AN AE ==，又A A ∠=∠∴AMN ABE ∽∴90ANM AEB ∠=∠=︒∴MN ，∴212y x =当48t ≤<时，M 在BC 上，∴1122y AN BE x =⨯=⨯，综上所述，04t <<时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当48t ≤<时，函数图象是直线的一部分，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中，4AB =，动点M ，N 分别从点A ，B 同时出发，沿射线AB ，射线BC 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM ，MN ，ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤，DMN 的面积为S ，下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据ADM DCN BMN ABCD S S S S S =−−−V V V 正方形，求出S 与x 之间函数关系式，再判断即可得出结论．【详解】解：ADM DCN BMN ABCD S S S S S =−−−V V V 正方形，1114444(4)(4)222x x x x =⨯−⨯−⨯−−−，21282x x =−+， 21(2)62x =−+，故S 与x 之间函数关系为二次函数，图像开口向上，2x =时，函数有最小值6，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出S 与x 之间函数关系式，再判断S 与x 之间函数类型．A ．6B ．3C ．43 【答案】A 【分析】如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，PB PC =，AO =30BAO CAO ∠=∠=︒，当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为AO OB ==，过点O 作OD AB ⊥，解直角三角形可得cos303AD AO =⋅︒=，进而可求得等边三角形ABC 的边长．【详解】解：如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，1PB PC =，∴PB PC =，AO =又∵ABC 为等边三角形，∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴()SSS APB APC △≌△，∴BAO CAO ∠=∠，∴30BAO CAO ∠=∠=︒，当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为∴OB =AO OB ==∴30BAO ABO ∠=∠=︒，过点O 作OD AB ⊥，∴AD BD =，则cos303AD AO =⋅︒=，∴6AB AD BD =+=，即：等边三角形ABC 的边长为6，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．的O 上两动点，且动时，PAB 面积的最大值是（ A ．8B ．6 【答案】D【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出2OA OB ==，确定AB =PO 的延长线恰好垂直AB 时，垂足为点E ，此时PE 即为三角形的最大高，连接DO ，利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵直线2y x =−−与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴当0x =时，=2y −，当0y =时，2x =−，∴()()2,0,0,2A B −−，∴2OA OB ==，∴AB ==∵PAB 的底边AB =∴使得PAB 底边上的高最大时，面积最大，点P 为CD 的中点，当PO 的延长线恰好垂直AB 时，垂足为点E ，此时PE 即为三角形的最大高，连接DO ，∵CD ，O 的半径为1，∴2DP =∴OP =， ∵OE AB ⊥，∴12OE AB ==∴PE OE OP =+=，∴132PAB S =⨯=，故选：D ．【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键． 7．（2023·河北·统考中考真题）如图是一种轨道示意图，其中ADC 和ABC 均为半圆，点M ，A ，C ，N 依次在同一直线上，且AM CN =．现有两个机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M A D C N →→→→和N C B A M →→→→．若移动时间为x ，两个机器人之间距离为y ，则y 与x 关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】设圆的半径为R ，根据机器人移动时最开始的距离为2AM CN R ++，之后同时到达点A ，C ，两个机器人之间的距离y 越来越小，当两个机器人分别沿A D C →→和C B A →→移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R ，当机器人分别沿C N →和A M →移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，设圆的半径为R ，∴两个机器人最初的距离是2AM CN R ++，∵两个人机器人速度相同，∴分别同时到达点A ，C ，∴两个机器人之间的距离y 越来越小，故排除A ，C ；当两个机器人分别沿A D C →→和C B A →→移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R ，保持不变，当机器人分别沿C N →和A M →移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C ，故选：D ．【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．【答案】D【分析】根据题意，得出()4,0E ，()5,3F ，勾股定理求得EF =AC =【详解】解：连接AC 、EF∵点A 的坐标为()9,0，点C 的坐标为()0,3，以,OA OC 为边作矩形OABC ．∴()9,3B ，AC ==则9OA =，9BC OA ==依题意，414OE =⨯=，414BF =⨯=∴945AE =−=，则()4,0E ，∴945CF BC BF =−=−=∴()5,3F ，∴EF∵()0,3C ，∴AC EF ⋅30==故选：D ．【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得,E F 的坐标是解题的关键．9．（2023·山东滨州·统考中考真题）已知点P 是等边ABC 的边BC 上的一点，若104APC ∠=︒，则在以线段,,AP BP CP 为边的三角形中，最小内角的大小为（）A ．14︒B ．16︒C ．24︒D ．26︒【答案】B 【分析】将ABP 绕点A 逆时针旋转60︒得到ACQ ，可得以线段,,AP BP CP 为边的三角形，即PCQ △，最小的锐角为PQC ∠，根据邻补角以及旋转的性质得出76AQC APB ∠=∠=︒，进而即可求解．【详解】解：如图所示，将ABP 绕点A 逆时针旋转60︒得到ACQ ，∴,60AP AQ PAQ =∠=︒，BP CQ =，AQC APB ∠=∠，∴APQ △是等边三角形，∴PQ AP =，∴以线段,,AP BP CP 为边的三角形，即PCQ △，最小的锐角为PQC ∠，∵104APC ∠=︒，∴76APB ∠=︒∴76AQC APB ∠=∠=︒∴PQC ∠766016=︒−︒=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 10．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 边的中点．动点P 从点A 出发沿AB BC →匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，线段PE 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则点M 的坐标为（）【答案】C 【分析】证明4AB BC CD AD ====，90C D ∠=∠=︒，2CE DE ==，则当P 与A ，B 重合时，PE 最长，此时PE ==0或4，从而可得答案．【详解】解：∵正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 边的中点，∴4AB BC CD AD ====，90C D ∠=∠=︒，2CE DE ==，当P 与A ，B 重合时，PE 最长，此时PE ==运动路程为0或4，结合函数图象可得(M ，故选：C.【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键．11．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在ABC 中，D 是边BC 上的点（不与点,B C 重合）．过点D 作DE AB ∥交AC 于点E ；过点D 作DF AC ∥交AB 于点F ．N 是线段BF 上的点，2BN NF =；M 是线段DE 上的点，2DM ME =．若已知CMN 的面积，则一定能求出（）A ．AFE △的面积B ．BDF V 的面积C ．BCN △的面积D ．DCE △的面积【答案】D【分析】如图所示，连接ND ，证明FBD EDC ∽，得出FB FD ED EC =，由已知得出NF BF ME DE =，则FD NF EC ME =，又NFD MEC ∠=∠，则NFD MEC ∽，进而得出MCD NDB ∠=∠，可得MC ND ∥，结合题意得出1122EMC DMC MNC S S S ==，即可求解．【详解】解：如图所示，连接ND ，∵DE AB ∥，DF AC ∥，∴,ECD FDB FBD EDC ∠=∠∠=∠，,BFD A A DEC ∠=∠∠=．∴FBD EDC ∽,NFD MEC ∠=∠．∴FB FD ED EC =．∵2DM ME =，2BN NF =，∴11,33NF BF ME DE ==， ∴NF BF ME DE =． ∴FD NF EC ME =．又∵NFD MEC ∠=∠，∴NFD MEC ∽．∴ECM FDN ∠=∠．∵FDB ECD ∠=∠∴MCD NDB ∠=∠． ∴MC ND ∥．∴MNC MDC S S =．∵2DM ME =，∴1122EMC DMC MNC S S S ==．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，证明MC ND ∥是解题的关键．和BCE 是位于直线的是（）．CDE 周长的最小值为【答案】A 【分析】延长,AD BC ，则ABQ 是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当E 点与F 重合时，则,,Q P F 三点共线，各项都取得最小值，得出B ，C ，D 选项正确，即可求解．【详解】解：如图所示，延长,AD BC ，依题意60QAD QBA ∠=∠=︒∴ABQ 是等边三角形，∵P 是CD 的中点，∴PD PC =，∵DEA CBA ∠=∠，∴ED CQ ∥∴,PQC PED PCQ PDE ∠=∠∠=∠，∴PDE PCQ ≌∴PQ PE =，∴四边形DECQ 是平行四边形，则P 为EQ 的中点如图所示，设,AQ BQ 的中点分别为,G H ，则11,22GP AE PH EB == ∴当E 点在AB 上运动时，P 在GH 上运动，当E 点与F 重合时，即AE EB =，则,,Q P F 三点共线，PF 取得最小值，此时()122AE EB AE EB ==+=，则ADE ECB △≌△，∴,C D 到AB 的距离相等，则CD AB ∥，此时PF AD ==此时ADE V 和BCE 的边长都为2，则,AP PB 最小，∴2PF ==∴PA PB ==∴PA PB +=或者如图所示，作点B 关于GH 对称点B '，则PB PB '=，则当,,A P B '三点共线时，AP PB AB '+=此时AB '=故A 选项错误，根据题意可得,,P Q F 三点共线时，PF 最小，此时PE PF ==PE PF +=，故B 选项正确； CDE 周长等于4CD DE CE CD AE EB CD AB CD ++=++=+=+，即当CD 最小时，CDE 周长最小，如图所示，作平行四边形GDMH ，连接CM ，∵60,60GHQ GHM GDM ∠=︒∠=∠=︒，则120CHM ∠=︒如图，延长DE ,HG ，交于点N ，则60NGD QGH ∠=∠=︒，60NDG ADE ∠=∠=︒∴NGD △是等边三角形，∴ND GD HM ==，在NPD 与HPC △中，60NPD HPC N CHP PD PC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴NPD HPC ≌∴ND CH =∴CH MH =∴30HCM HMC ∠=∠=︒∴CM QF ∥，则CM DM ⊥，∴DMC 是直角三角形，在DCM △中，DC DM >∴当DC DM =时，DC 最短，122DC GH AB === ∵2CD PC PC =+∴CDE 周长的最小值为2226++=，故C 选项正确；∵NPD HPC ≌∴四边形ABCD 面积等于ADE DEC ADE NEBH S S S S S ++=+平行四边∴当BGD △的面积为0时，取得最小值，此时，,D G 重合，C H ，重合∴四边形ABCD 面积的最小值为232=D 选项正确，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当E 点与F 重合时得出最小值是解题的关键．二、填空题在ABC 中，【答案】2 【分析】如图，作ABC 的外接圆，圆心为M ，连接AM 、BM 、CM ，过M 作MD AB ⊥于D ，过B 作BN AB ⊥，交BP 的垂直平分线于N ，连接AN 、BN 、PN ，以N 为圆心，()BN PN 为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得4AM BM CM ===，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得AMC PNB ∠=∠，从而易证AMC PNB 可得21CM AC PN PB ==即122PN CM ==勾股定理即可求得AN =在APN 中由三角形三边关系AP AN PN ≥−即可求解．【详解】解：如图，作ABC 的外接圆，圆心为M ，连接AM 、BM 、CM ，过M 作MD AB ⊥于D ，过B 作BN AB ⊥，交BP 的垂直平分线于N ，连接AN 、BN 、PN ，以N 为圆心，()BN PN 为半径作圆； 60C ∠=︒，M 为ABC 的外接圆的圆心， 120AMB ︒∴∠=，AM BM =，30MAB MBA ∴∠=∠=︒，12MD AM ∴=，MD AB ⊥，12AD AB ∴==，在Rt ADM △中，222AM MD AD =+，(22212AM AM ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， 4AM ∴=，即4AM BM CM ===，由作图可知BN AB ⊥，N 在BP 的垂直平分线上，90PBN BPN ABC ∴∠=∠=︒−∠，()1802PNB PBN BPN ABC ∴∠=︒−∠+∠=∠，又M 为ABC 的外接圆的圆心，2AMC ABC ∴∠=∠，AMC PNB ∴∠=∠， CM AM PN BN =，AMC PNB ∴，CM AC PN PB ∴=， 12BP AC =， 21CM AC PN PB ∴==，即122PN CM ==，2PN BN ∴==，在Rt ABN △中，AN在APN 中，2AP AN PN ≥−=，即AP 最小值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，30︒角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合ABC 的外接圆构造相似三角形．【答案】或6【分析】连接OD ，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出CD 的长，勾股定理求出AC 和AD 的长，分AP AD =和AP PD =两种情况进行求解即可．【详解】解：连接OD ，∵以AE 为直径的半圆O 与BC 相切于点D ，∴OD BC ⊥，OA OE OD ==，∴90ODB ∠=︒设OA OE OD r ===，则3OB OE BE r =+=+，在Rt ODB △中：222OD BD OB +=，即：(()2223r r +=+，解得：6r =，∴6OA OE OD ===，∴9OB =，15AB =，12AE =，∵90C ODB ∠=∠=︒，∴OD AC ∥， ∴9362OB DB OA DC ===，∵DB =∴CD =∴BC DB CD =+=∴10AC =，∴AD =∵ADP △为等腰三角形，当AD AP =时，AP =当PA PD =时，∵OA OD =，∴点P 与点O 重合，∴6AP OA ==，不存在PD AD =的情况；综上：AP 的长为6．故答案为：或6．【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点P 的位置，是解题的关键． 15．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，边长为2的等边ABC 的两个顶点AB 、分别在两条射线OM ON 、上滑动，若OM ON ⊥，则OC 的最大值是_________．【答案】1【分析】如图所示，取AB 的中点D ，连接OD CD ，，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出CD =再根据直角三角形的性质得到112OD AB ==，再由OC OD CD ≤+可得当O C D 、、三点共线时，OC 有最大值，最大值为1【详解】解：如图所示，取AB 的中点D ，连接OD CD ，，∵ABC 是边长为2的等边三角形，∴2CD AB BC AB ==⊥，，∴1BD AD ==，∴CD ==∵OM ON ⊥，即90AOB ∠=︒，∴112OD AB ==，∵OC OD CD ≤+，∴当O C D 、、三点共线时，OC 有最大值，最大值为1故答案为：1+【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当O C D 、、三点共线时，OC 有最大值是解题的关键．【答案】27【分析】作点F 关于AC 的对称点F '，连接EF '交AC 于点P '，此时PE PF +取得最小值，过点F '作AD 的垂线段，交AC 于点K ，根据题意可知点F '落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明AEP KF P '''△∽△，可得2KP AP '='，即可解答．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F '，连接EF '交AC 于点P '，过点F '作AD 的垂线段，交AC 于点K ，由题意得：此时F '落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P '重合时PE PF +取得最小值，设正方形ABCD 的边长为a ，则23AF AF a '==，四边形ABCD 是正方形，45F AK '∴∠=︒，45P AE '∠=︒，AC =F K AF ''⊥，45F AK F KA ''∴∠=∠=︒，AK ∴=，F P K EP A '''∠=∠，E KP EAP '''∴△∽△，2F K KP AE AP ''∴=='，13AP AK '∴==，CP AC AP ''∴=−=，27AP CP '∴='， ∴当PE PF +取得最小值时，AP PC 的值是为27，故答案为：27．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 17．（2023·河南·统考中考真题）矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且1AN AB ==．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为______．【答案】21【分析】分两种情况：当90MND ∠=︒时和当90NMD ∠=︒时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当90MND ∠=︒时，∵四边形ABCD 矩形，∴90A ∠=︒，则∥MN AB ，由平行线分线段成比例可得：AN BM ND MD =，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM MD =，∴1AN BM ND MD ==，即：1ND AN ==，∴2AD AN ND =+=，当90NMD ∠=︒时，∵M 为对角线BD 的中点，90NMD ∠=︒∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN ND =，∵四边形ABCD 矩形，1AN AB ==∴90A ∠=︒，则BN =∴BN ND ==∴1AD AN ND =+，综上，AD 的长为21，故答案为：21．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．重合时，将ABP 沿AP 对折，得到AB P '，连接2【分析】根据折叠的性质得出B '在A 为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P 在BC 上时，当点P 在DC 上时，当P 在AD 上时，即可求解．【详解】解：∵在矩形ABCD 中，2,AB AD ==∴BC AD =AC =如图所示，当点P 在BC 上时，∵2AB AB '==∴B '在A 为圆心，2为半径的弧上运动，当,,A B C '三点共线时，CB '最短，此时2CB AC AB ''=−，当点P 在DC 上时，如图所示，此时2CB '当P 在AD 上时，如图所示，此时2CB '>综上所述，CB '2，2．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．【分析】首先证明出MN 是AEF △的中位线，得到12MN AE =，然后由正方形的性质和勾股定理得到AE ==BE 最大时，AE 最大，此时MN 最大，进而得到当点E 和点C 重合时，BE 最大，即BC 的长度，最后代入求解即可．【详解】如图所示，连接AE ，∵M ，N 分别是EF AF ，的中点，∴MN 是AEF △的中位线， ∴12MN AE =，∵四边形ABCD 是正方形，∴90B Ð=°，∴AE ==∴当BE 最大时，AE 最大，此时MN 最大，∵点E 是BC 上的动点，∴当点E 和点C 重合时，BE 最大，即BC 的长度，∴此时AE ==∴12MN AE ==∴MN．【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 20．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90,5,4,ABC BAD AB AD AD BC ∠=∠=︒==<，点E 在线段BC 上运动，点F 在线段AE 上，ADF BAE =∠∠，则线段BF 的最小值为__________．2【分析】设AD 的中点为O ，以AD 为直径画圆，连接OB ，设OB 与O 的交点为点F '，证明90DFA ∠=︒，可知点F 在以AD 为直径的半圆上运动，当点F 运动到OB 与O 的交点F '时，线段BF 有最小值，据此求解即可．【详解】解：设AD 的中点为O ，以AD 为直径画圆，连接OB ，设OB 与O 的交点为点F '，∵90ABC BAD ∠=∠=︒，∴AD BC ∥，∴DAE AEB ∠=∠，∵ADF BAE =∠∠，∴90DFA ABE ==︒∠∠，∴点F 在以AD 为直径的半圆上运动，∴当点F 运动到OB 与O 的交点F '时，线段BF 有最小值，∵4=AD ， ∴122AO OF AD '===，，∴BO ==BF 2，2．【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F 的运动轨迹是解题的关键． 21．（2023·四川内江·统考中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形ABCD 中，5AB =，12AD =，对角线AC 与BD交于点O ，点E 为BC 边上的一个动点，EF AC ⊥，EG BD ⊥，垂足分别为点F ，G ，则EF EG +=___________．【答案】6013【分析】连接OE ，根据矩形的性质得到12BC AD ==，AO CO BO DO ===，90ABC ∠=︒，根据勾股定理得到13AC =，求得132OB OC ==，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接OE ，四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，12BC AD ==，AO CO BO DO ===，5AB =，12BC =，13AC ∴==，132OB OC ∴==，111115121522222BOC BOE COE ABC S S S OB EG OC EF S ∴=+=⨯⋅+⋅==⨯⨯⨯=，∴113113113()15222222EG EF EG EF ⨯+⨯=⨯+=，6013EG EF ∴+=，故答案为：6013．【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．22．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图1，在ABC 中，动点P 从点A 出发沿折线AB BC CA →→匀速运动至点A 后停止．设点P 的运动路程为x ，线段AP 的长度为y ，图2是y 与x 的函数关系的大致图象，其中点F 为曲线DE 的最低点，则ABC 的高CG 的长为_______．【答案】【分析】过点A 作AQ BC ⊥于点Q ，当点P 与Q 重合时，在图2中F 点表示当12AB BQ +=时，点P 到达点Q ，此时当P 在BC 上运动时，AP 最小，勾股定理求得AQ ，然后等面积法即可求解．【详解】如图过点A 作AQ BC ⊥于点Q ，当点P 与Q 重合时，在图2中F 点表示当12AB BQ +=时，点P 到达点Q ，此时当P 在BC 上运动时，AP 最小，∴7BC =，4,3BQ QC ==在Rt ABQ 中，8,4AB BQ ==∴AQ == ∵1122ABC S AB CG AQ BC =⨯=⨯，∴BC AQ CG AB ⨯===,【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．23．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在ABCD Y 中，6AB =，8BC =，120ABC ∠=︒，点E 是AD 上一动点，将ABE 沿BE 折叠得到A BE '，当点A '恰好落在EC 上时，DE 的长为______．3【分析】过点C 作CH AD ⊥交AD 的延长线于点H ，根据平行四边形的性质以及已知条件得出120,60ADC ABC HDC ∠=∠=︒∠=︒，进而求得,DH HC ，根据折叠的性质得出CB CE =，进而在Rt ECH △中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点C 作CH AD ⊥交AD 的延长线于点H ，∵在ABCD Y 中，6AB =，8BC =，120ABC ∠=︒，∴120,6068ADC ABC HDC CD AB AD CB ∠=∠=︒∠=︒====，，，∴1cos 32DH DC HDC DC =⨯∠==，在Rt ECH △中，HC =∵将ABE 沿BE 折叠得到A BE '，当点A '恰好落在EC 上时，∴AEB CEB ∠=∠又AD BC ∥∴EBC AEB ∠=∠∴EBC CEB ∠=∠∴8CE BC ==设ED x =，∴3EH x =+在Rt ECH △中，222EC EH HC =+∴()(22283x =++解得：3x =（负整数）3．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．上，若AMN 是以点【答案】()8,6M −或28,3M ⎛⎫− ⎪⎝⎭ 【分析】如图，由AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，可得N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，可得N 是圆H 与直线26y x =−−的交点，当,M B 重合时，符合题意，可得()8,6M −，当N 在AM的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，证明MNK NAJ ≌，设(),26N x x −−，可得MK NJ x ==−，266212KN AJ x x ==−−−=−−，而8KJ AB ==，则2128x x −−−=，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，∴N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，∴N 是圆H 与直线26y x =−−的交点，当,M B 重合时，∵()8,6B −，则()4,3H −，∴4MH AH NH ===，符合题意，∴()8,6M −，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，∴90NAJ ANJ ∠+∠=︒，∵AN MN =，90ANM ∠=︒，∴90MNK ANJ ∠+∠=︒，∴MNK NAJ ∠=∠，∴MNK NAJ ≌，设(),26N x x −−，∴MK NJ x ==−，266212KN AJ x x ==−−−=−−，而8KJ AB ==，∴2128x x −−−=，解得：203x =−，则22263x −−=， ∴22202333CM CK MK =−=−=， ∴28,3M ⎛⎫− ⎪⎝⎭；综上：()8,6M −或28,3M ⎛⎫− ⎪⎝⎭．故答案为：()8,6M −或28,3M ⎛⎫− ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．【答案】392【分析】作出点()32C −，，作CD AB ⊥于点D ，交x 轴于点F ，此时BE DF +的最小值为CD 的长，利用解直角三角形求得1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，利用待定系数法求得直线CD 的解析式，联立即可求得点D 的坐标，过点D 作DG y ⊥轴于点G ，此时35BH DH +的最小值是5DG 的长，据此求解即可．【详解】解：∵直线123y x =−+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，∴()02B ，，()60A ，，作点B 关于x 轴的对称点()02B '−，，把点B '向右平移3个单位得到()32C −，，作CD AB ⊥于点D ，交x 轴于点F ，过点B '作B E CD '∥交x 轴于点E ，则四边形EFCB '是平行四边形，此时，BE B E CF '==，∴BE DF CF DF CD +=+=有最小值，作CP x ⊥轴于点P ，则2CP =，3OP =，∵CFP AFD ∠=∠，∴FCP FAD ∠=∠，∴tan tan FCP FAD ∠=∠， ∴PF OB PC OA =，即226PF =， ∴23PF =，则1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设直线CD 的解析式为y kx b =+，则321103k b k b +=−⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得311k b =⎧⎨=−⎩，∴直线CD 的解析式为311y x =−，联立，311123y x y x =−⎧⎪⎨=−+⎪⎩，解得3910710x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3971010D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；过点D 作DG y ⊥轴于点G ，直线423y x =−+与x 轴的交点为302Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则52BQ =， ∴332sin 552OQ OBQ BQ ∠===， ∴3sin 5HG BH GBH BH =∠=， ∴()3355555BH DH BH DH HG DH DG ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，即35BH DH +的最小值是393955102DG =⨯=，故答案为：392．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．三、解答题 26．（2023·重庆·统考中考真题）如图，ABC是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发，点E 沿折线A B C →→方向运动，点F 沿折线A C B →→方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒，点E ，F 的距离为y ．(1)请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值．【答案】(1)当04t <≤时，y t =；当46t <≤时，122y t =−(2)图象见解析，当04t <≤时，y 随x 的增大而增大(3)t 的值为3或4.5【分析】（1）分两种情况：当04t <≤时，根据等边三角形的性质解答；当46t <≤时，利用周长减去2AE 即可；（2）在直角坐标系中描点连线即可；（3）利用3y =分别求解即可．【详解】（1）解：当04t <≤时，连接EF ，由题意得AE AF =，60A ∠=︒，∴AEF △是等边三角形，∴y t =；当46t <≤时，122y t =−；（2）函数图象如图：当04t <≤时，y 随t 的增大而增大；（3）当04t <≤时，3y =即3t =；当46t <≤时，3y =即1223t −=，解得 4.5t =，故t 的值为3或4.5．键． 27．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与直线BC 相交于点A ，(),0P t 为线段OB 上一动点（不与点B 重合），过点P 作PD x ⊥轴交直线BC 于点D ．OAB 与DPB 的重叠面积为S ．S 关于t 的函数图象如图2所示．(1)OB 的长为_______________；OAB 的面积为_______________．(2)求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．【答案】(1)4，83 (2)2218402331424443t t S t t t ⎧⎛⎫−+≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪−+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 【分析】（1）根据函数图象即可求解．（2）根据（1）的结论，分403t ≤≤，443t <≤，根据OAB 与DPB 的重叠面积为S ，分别求解即可．【详解】（1）解：当0=t 时，P 点与O 重合，此时83ABO S S ==，当4t =时，0S =，即P 点与B 点重合，∴4OB =，则()4,0B ，故答案为：4，83．（2）∵A 在y x =上，则45OAB ∠=︒设(),A a a ， ∴1184223AOB S OB a a =⨯⨯=⨯⨯= ∴43a =,则44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭A 当403t ≤≤时，如图所示，设DP 交OA 于点E ，∵45OAB ∠=︒，DP OB ⊥，则EP OP t == ∴28132S t =−当443t <≤时，如图所示，∵()4,0B ，44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭A设直线AB 的解析式为y kx b =+， ∴404433k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：212b k =⎧⎪⎨=−⎪⎩， ∴直线AB 的解析式为122y x =−+，当0x =时，2y =，则()0,2C ， ∴2OC =， ∵21tan 42DP OC CBO PD OB ∠====， ∵4BP t =−，则122DP t =−， ∴12DPB S S DP BP ==⨯()()222111144242244t t t t =⨯⨯−=−=−+，综上所述：2218402331424443t t S t t t ⎧⎛⎫−+≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪−+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩．【点睛】本题考查了正切的定义，动点问题的函数图象，一次函数与坐标轴交点问题，从函数图象获取信息是解题的关键．28．（2023·河北·统考中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(,)x y 移动到点(2,1)x y ++称为一次甲方式：从点(,)x y 移动到点(1,2)x y ++称为一次乙方式．例、点P 从原点O 出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点(4,2)M ；若都按乙方式，最终移动到点(2,4)N ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点(3,3)E ．(1)设直线1l 经过上例中的点,M N ，求1l 的解析式；并直接．．写出将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式；(2)点P 从原点O 出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点(,)Q x y ．其中，按甲方式移动了m 次．①用含m 的式子分别表示,x y ；②请说明：无论m 怎样变化，点Q 都在一条确定的直线上．设这条直线为3l ，在图中直接画出3l 的图象；(3)在（1）和（2）中的直线123,,l l l 上分别有一个动点,,A B C ，横坐标依次为,,a b c ，若A ，B ，C 三点始终在一条直线上，直接写出此时a ，b ，c 之间的关系式．【答案】(1)1l 的解析式为6y x =−+；2l 的解析式为15y x =−+；(2)①10,20x m y m =+=−；②3l的解析式为30y x =−+，图象见解析；(3)538a c b += 【分析】（1）根据待定系数法即可求出1l 的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线2l 的解析式；（2）①根据题意可得：点P 按照甲方式移动m 次后得到的点的坐标为()2,m m ，再得出点()2,m m 按照乙方式移动()10m −次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；②由①的结果可得直线3l 的解析式，进而可画出函数图象；（3）先根据题意得出点A ，B ，C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB 的解析式，再把点C 的坐标代入整理即可得出结果．【详解】（1）设1l 的解析式为y kx b =+，把(4,2)M 、(2,4)N 代入，得4224k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：16k b =−⎧⎨=⎩，∴1l 的解析式为6y x =−+；将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式为15y x =−+；（2）①∵点P 按照甲方式移动了m 次，点P 从原点O 出发连续移动10次，∴点P 按照乙方式移动了()10m −次，∴点P 按照甲方式移动m 次后得到的点的坐标为()2,m m ；∴点()2,m m 按照乙方式移动()10m −次后得到的点的横坐标为21010m m m +−=+，纵坐标为()21020m m m +−=−，∴10,20x m y m =+=−；②由于102030x y m m +=++−=，∴直线3l 的解析式为30y x =−+；函数图象如图所示：。

初中数学中考模拟模拟考试题分类动态问题考试卷答案.docx

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:如图，⊙O的半径为１，正方形ABCD的对角线长为6，OA=4．若将⊙O绕点A按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现( )A. 3次B. 4次C. 5次D. 6次试题2:如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，3），动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线勻速运动，设动点P的运动时间为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（）A． B．评卷人得分C． D．试题3:如图．等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2 =y，则y关于x的函数图象大致为 ( )试题4:如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路线为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y．则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）试题5:如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°.若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q从A 点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ是直角三角形时，t的值为（）A. B. C. 或 D. 或或试题6:如图，正方形ABCD边长为2，点P是线段CD边上的动点（与点C，D不重合），，过点A作AE∥BP，交BQ于点E，则下列结论正确的是（）A．B． C． D．试题7:如图，在Rt △中，∠，，点是的中点，点，是，边上的动点，且，连接. 有下列结论：①；②四边形面积为1；③点到距离的最大值为. 其中，正确的个数是（）.（A）（B）（C）（D ）试题8:如图8，正方形的边长为，动点在正方形的边上沿运动，运动到点停止，设，的面积，则关于的函数图象大致为试题9:如图（1），E 为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止．点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图（2）所示，那么下列结论错误的是_______（填序号）（1）．AE=6 （2）．当0＜t ≤10时，y=t2（3）．sin∠EBQ=（4）．当t=12s时，△BPQ是等腰三角形试题10:如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿ABCD的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t 的变化关系用图象表示正确的是（）A． B．C． D．试题11:如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）A． B． C． D．试题12:在平面直角坐标系O中，点A，以OA为半径在第一象限内作圆弧AB，连结OA，OB，圆心角，点C 为弧AB的中点，D为半径OA上一动点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则点E的坐标为；若点E落在半径OB上，则点E的坐标为 .试题13:如图，等腰直角三角形OAB 的一条直角边在y轴上，点P是边AB上的一个动点，过点P的反比例函数的图像交斜边OB于点Q，（1）当Q为OB中点时，AP:PB=(2)若P为AB的三等分点，当△AOQ的面积为时，K的值为.试题14:在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，点P，Q分别为线段AB，AC上的动点．（Ⅰ）如图（1），当点P ，Q 分别为AB，AC 中点时，PC+PQ的值为_________；（Ⅱ）当PC+PQ取得最小值时，在如图（2）所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PC，PQ，简要说明点P和点Q的位置是如何找到的______．试题15:在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．试题16:如图，已知抛物线（a＞0）与x轴交于点A，B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，抛物线过点N（6，-4）．（1）求实数a的值；（2）在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+CH最小，求出点H的坐标；（3）若把题干中“抛物线过点N（6，﹣4）”这一条件去掉，试问在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B，A，F为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．试题17:如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．试题18:在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC.问题发现：(1)如果AB=AC，∠BAC=90°，当点D在线段BC上时（不与点B重合），如图1，请你判断线段CE，BD之间的位置关系和数量关系（直接写出结论）；拓展探究：(2)如果AB=AC，∠BAC= 90°，当点D在线段BC的延长线上时，如图2，请判断①中的结论是否仍然成立，如成立，请证明你的结论。

全国各地中考模拟试卷数学分类：一元二次方程综合题汇编

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．2．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出a 的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：；（3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-，代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．3．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+52m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m%），即72a（1+52m%）+a（72﹣920m）（1+15m%）=144a（1+ 152m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．答：m的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．4．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次函数．【小题1】只需把x代入函数表达式，计算出y的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．5．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=6．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：x+1+（x+1）x＝36，解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.7．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了45m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m的值．【答案】（1）A社区居民人口至少有2.5万人；（2）m的值为50．【解析】【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答．【详解】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人，依题意得：7.5-x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+45m%）+1.5×（1+45m%）（1+2m%）=7.5×92%，解得m=50答：m的值为50．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．8．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【解析】【分析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．9．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．试题解析：（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．10．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元；() 2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【答案】（1）2280；（2）15【解析】【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值.【详解】（1）2280()2因为1020020002625⨯=<．因此参加人比10人多，设在10人基础上再增加x 人，由题意得：()()1020052625x x +-=．解得 15x = 225x =，∵2005150x -≥，∴010x <≤，经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．1010515x +=+=答：该单位共有15名员工参加旅游．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.。

012年山西省中考数学试卷(解析版)

2012年数学中考复习专项测试（实数、整式、分式、二次根式）（考试时间45分钟，满分100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1、 -2的倒数是（）A 、 -21B 、 21 C 、 -2 D 、2。

2、如图，数轴上的点P 表示的数可能是（）． A ．5 B ．-5- C ． 3.8- D ．10- 3、国家体育场“鸟巢”建筑面积达25.8万平方米，将25.8万平方米用科学记数法（四舍五入保留2个有效数字）表示约为（）A ．42610⨯平方米B ．42.610⨯平方米C ．52.610⨯平方米D ．62.610⨯平方米4、下列运算正确的是（） A 、 (a -b )2=a 2-b 2 B 、(-a 2)3= -a 6 C 、x 2+x 2=x 4 D 、3a 3·2a 2=6a 65、27的立方根是（）A ．3B ．3-C ．9D ．9-6、计算 (x ＋2) 2的结果为x 2＋□x ＋4，则“□”中的数为（）A ．－2B ．2C ．－4D ．47、下列各式：①(－13)—2＝9；②(－2)0＝1；③(a ＋b )2＝a 2＋b 2；④(－3ab 3)2＝9a 2b 6； ⑤3x 2－4x ＝－x ，其中计算正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．③④⑤D ．②④⑤8、估算31-2的值（）A 、在1和2之间B 、在2和3之间C 、在3和4之间D 、在4和5之间。

9、化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是（） A ．82x -- B ．82x - C ．82x -+ D ．82x + 10、比较2，5，37的大小，正确的是（）A 、3257<<B 、3275<<C 、3725<<D 、3572<<二、填空题（每小题3分，共30分）11、某市一月份的平均气温为－18℃，三月份的平均气温为2℃，则三月份的平均气温比一月份的平均气温高 ℃．12、5-的相反数是13、计算：9x 3÷(-3x 2)=14、若二次根式12-x 有意义，则x 的取值范围是。

6月最新整理全国各地中考数学模拟试题分类汇编 2--46综合型问题.doc

AB CD E FO(第1题图)综合型问题一、选择题 1、（2012年浙江五模）如图，在Rt △ABC 中，AB =CB ，BO ⊥AC 于点O ，把△ABC 折叠，使AB落在AC 上，点B 与AC 上的点E 重合，展开后，折痕AD 交BO 于点F ，连结DE 、EF .下列结论：①tan ∠ADB =2；②图中有4对全等三角形； ③若将△DEF 沿EF 折叠，则点D 不一定落在AC 上；④BD =BF ； ⑤S 四边形DFOE = S △AOF ，上述结论中错误的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B2、（2012鄂州市梁子湖区模拟）如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B （4,2），一次函数1y kx =-的图象平分它的面积，关于x 的函数()232y mx m k x m k =-+++的图象与坐标轴只有两个交点，则m 的值为（）.A ．0B ．21- C ．－1 D ．0或21-或－1答案：D3、(2012年杭州一模)已知函数22(2)2(2)x x y x x ⎧+≤=⎨>⎩的图象如图所示，观察图象，则当函数值y ≤8时，对应的自变量x 的取值范围是（）A ．66x -≤≤B ．662x x -≤≤≠且C ．62x -≤≤D ．64x -≤≤ 答案： D第15题图4、(2012年河北一模)李老师从“淋浴龙头”受到启发．编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB ，实数m 对应AB 上的点M ，如图1；将AB 折成正三角形，使点A ，B 重合于点P ，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y 轴对称，且点P 的坐标为（0，2），PM 与x 轴交于点N （n ，0），如图3．当m = 时，求n 的值．你解答这个题目得到的n 值为（）A 、4-2B 、2-4 C 、D 、答案：A5、（2012，江苏江阴华士片九年级下期中检测，8,3分）下列说法中正确的是 ( )A ．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件；B ．某次抽奖活动中奖的概率为1100，说明每买100张奖券，一定有一次中奖； C ．数据1，1，2，2，3的众数是2；D ．想了解无锡市城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查．答案：D6、（2012江苏省盐城市一摸）有长度分别为3cm ，5cm ，7cm ，9cm 的四条线段，从中任取三条线段能够组成三角形的概率是（） A ．43 B ．32 C ．21 D ．41 答案：A二、填空题1、（2012年浙江五模）如图，在边长为3的正方形ABCD 中，E ，F ，O 分别是AB ，CD ，AD 的中点，以O 为圆心，以OE 为半径画弧EFP 是上的一个动点，连结OP ，并延长OP 交线段BC 于点K ，过点P 作⊙O 的切线，分别交射线AB 于点M ，交直线BC 于点G . 若4=BMBG，则BK ﹦ ．答案：43，49 2、(2012年杭州一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋1分别交x 轴、y 轴于A ，B两点，点P ),(b a 是反比例函数y ＝12x在第一象限内的任意一点，过点P 分别作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，PM ，PN 分别交直线AB 于E ，F ，有下列结论：①AF ＝BE ；②图中的等腰直角三角形有4个；③S △OEF 1(1)2a b =+-；④∠EOF ＝45°．其中结论正确的序号是．答案：②③④3、若一个圆锥的侧面积是它底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是 ▲ ︒．答案：180三、解答题1、（2012年浙江五模）矩形纸片ABCD 中，12AD cm =，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE 是折痕．(第1题图)M A OD BFKEGCP（1）如图1，P ，Q 分别为AD ，BC 的中点，点D 的对应点F 在PQ 上，求PF 和AE的长；（2）如图2，BC CQ AD DP 31,31==，点D 的对应点F 在PQ 上，求AE 的长；（3）如图3，BC nCQ AD n DP 1,1==，点D 的对应点F 在PQ 上． ①直接写出AE 的长（用含n 的代数式表示）； ②当n 越来越大时，AE 的长越来越接近于．答案：（1）PQ Θ是矩形ABCD 中BC AD ,的中点，︒=∠==∴90,2121APF AF AD AP ， ︒=∠∴30AFP ， 363=⨯=∴AP PF ︒=∠∴60FAD ，︒=∠=∠∴3021FAD DAE ， cm ADAE 3830cos =︒=∴ （4分）（2）431==AD DP Θ，832==∴AD AP 5481222=-=∴FP作CD FG ⊥于点G ，︒=∠90AFE Θ， EFG AFP ∠=∠∴， AFP ∆∴∽EFG ∆EF GFAF PF =∴， 4==DP GF Θ 5512==∴EF DE ，5301222=+=∴DE AD AE （8分）（3）nAD n DP 121==Θ，n n AP )1(12-=∴ABCDP QEF(第1题图1)AB CD P QEF(第1题图2)ABCD P QEF(第1题图3)ABCD P QEFABCD P QE FGCD P QFGnn PF AF FP 121222-=-=∴ 同理AFP ∆∽EFG ∆ EFGFAF PF =∴ 1212-==∴n EF DE 1221222-=+=∴n nDE AD AE 当n 越来越大时，AE 越来越接近于12．（12分）2、（2012年浙江五模）如图，Rt ABC ∆在平面直角坐标系中，BC 在x 轴上，B (﹣1，0)、A (0，2)，AC ⊥AB .（1）求线段OC 的长.（2）点P 从B 点出发以每秒4个单位的速度沿x 轴正半轴运动，点Q 从A 点出发沿线．段．AC 以5个单位每秒速度向点C 运动，当一点停止运动，另一点也随之停止，设△CPQ 的面积为S ，两点同时运动，运动的时间为t 秒，求S 与t 之间关系式，并写出自变量取值范围．（3）Q 点沿射线AC 按原速度运动，⊙G 过A 、B 、Q 三点，是否有这样的t 值使点P在⊙G 上、如果有求t 值，如果没有说明理由。

中考数学模拟分类汇编55 动态综合型问题

动态综合型问题一、选择题 1．（淮安市启明外国语学校2010－2011学年度第二学期初三数学期中试卷）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(－2，0)、(0，1)，⊙C 的圆心坐标为(0，－1)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则△ABEA ．3B ．113C ．103D ．4答案：B2.（2011年黄冈中考调研六）矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A B C M →→→运动，则APM △的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）答案A3.(2011年浙江省杭州市中考数学模拟22)如图，已知点F 的坐标为（3，0），点A B ，分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点．．．设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：355d x =-（05x ≤≤），则结论：①2AF =；②5BF =；③5OA =；④3OB =中，正确结论的序号是（）A 、①③④B 、 ①③C 、 ①②③D 、 ①②③④ 答案：C4. (浙江省杭州市瓜沥镇初级中学2011年中考数学模拟试卷)如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处.若将△ACB 绕着点A 逆时针第1题图 A ． B ． D C （第3题）旋转得到△''AC B ，则tan 'B 的值为 ( )A.14 B. 13 C.12D. 4答案：B5.（ 2011年杭州三月月考）如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是（）答案：A6.（2011深圳市模四）如图，△ABC 和△DEF 是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形， ∠ACB ＝∠DFE ＝90°，点C 落在DE 的中点处，且AB 的中点M 、C 、F 三点共线，现在让△ABC 在直线MF 上向右作匀速移动，而△DEF 不动，设两个三角形重合部分的面积为 y ，向右水平移动的距离为x ，则y 与x 的函数关系的图象大致是（）答案：C二、填空题1、（浙江省杭州市2011年中考数学模拟）如图在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，O 分别是AB ，CD ，AD 的中点，以O 为圆心，以OE 为半径画弧EF ．P 是上的一个动点，连结OP ，并延长OP 交线段BC 于点K ，过点P 作⊙O 的切线，分别交射线AB 于点M ，交直线BC于点G ．若3 BMBG，则BK ﹦ ． B A DC答案：13，532 .(浙江省杭州市瓜沥镇初级中学2011年中考数学模拟试卷)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，OA=10cm ，OC=6cm 。

人教全国各地中考模拟试卷数学分类：一元二次方程综合题汇编及详细答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.【解析】试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm ，较长的这段就为（40﹣x ）cm ．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm 2建立方程求出其解即可；（2）设剪成的较短的这段为mcm ，较长的这段就为（40﹣m ）cm ．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm 2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．试题解析：设其中一段的长度为cm ，两个正方形面积之和为cm 2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm 和28cm 的两段；（2）两正方形面积之和为48时，，，∵， ∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm 2，李明的说法正确．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．2．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2，由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)，综上所述，n=0.3．将m 看作已知量，分别写出当0<x<m 和x>m 时，与之间的函数关系式；4．解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0(配方法)；(2)(x ＋1)2＝6x ＋6. 【答案】(1)x 1＝16x 2＝161＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32. ∴(x －1)2＝32. ∴x －1＝326. ∴x 1＝16x 2＝16 (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.5．关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x . （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值.【答案】(1) k ＜14;(2) k=0. 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0，即可求出k 值．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k-1）x+k 2=0有两个不等实根x 1，x 2， ∴△=（2k-1）2-4×1×k 2=-4k+1＞0，解得：k ＜14，即实数k 的取值范围是k ＜14；（2）由根与系数的关系得：x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，∵x 1+x 2+x 1x 2-1=0，∴1-2k+k 2-1=0，∴k 2-2k=0∴k=0或2，∵由（1）知当k=2方程没有实数根，∴k=2不合题意，舍去，∴k=0．【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．6．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.【解析】分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值．详解: （1）证明：∵m ≠0，∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m -3）2-4m ×（-3）=（m +3）2，∵（m +3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x =()()332m m m --±+ ， ∴x 1=-3m，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m =-1或-3．点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．7．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根．(1)求n 的取值范围；(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．【答案】(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2．【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围；（2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.【详解】(1)根据题意知，[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯-->解之得：0n >；(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数，∴1n =，则方程为220x x -=，即(2)0x x -=，解得120,2x x ==．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系（①当>0∆ 时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆= 时方程有两个相等的实数根；③当∆<0 时，方程无实数根）是解题关键.8．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.9．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2=0①有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x 1，x 2，当k =1时，求x 12+x 22的值．【答案】（1）k >–14；（2）7 【解析】【分析】（1）由方程根的判别式可得到关于k 的不等式，则可求得k 的取值范围；（2）由根与系数的关系，可求x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，代入求值即可．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴>0∆，即()22214410k k k +-=+>，解得14k >-；（2）当2k =时，方程为2x 5x 40++=，∵125x x +=-，121=x x ，∴()222121212225817x x x x x x +=+-=-=. 【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．10．已知：关于x 的方程x 2－4mx ＋4m 2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．。

2012年中考数学第一次模拟试卷以及参考答案

新世纪教育网精选资料版权全部@新世纪教育网专题 17：二次函数 ( 二)一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1．二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程 ax2+bx+c=0 就是二次函数 y=ax2+bx+c 当函数 y 的值为 0 时的状况．（ 2）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种状况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数2y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y=0 时自变量 x 的值，即一元二次方程ax2＋ bx＋ c=0 的根．2.二次函数的应用：（1）二次函数常用来解决最优化问题，这种问题实质上就是求函数的最大（小）值；（2）二次函数的应用包含以下方面：分析和表示不一样背景下实质问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实质问题中的最大（小）值．3.解决实质问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（ 3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的相关性质进行求解；（5）查验结果的合理性，对问题加以拓展等．（二）：【课前练习】1. 直线 y=3x — 3 与抛物线y=x2－x+1 的交点的个数是（）A．0 B．1C．2D．不可以确立2.函数y ax2bx c 的图象如下图，那么对于x的方程ax2bx c0 的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根；B ．有两个异号实数根C ．有两个相等实数根；D．无实数根3.无论m为什么实数，抛物线y=x2－mx＋ m－2（）A．在x轴上方；B．与x轴只有一个交点C．与 x 轴有两个交点； D ．在 x 轴下方4.已知二次函数 y =x 2－x—6·（1）求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及极点坐标；（2）画出函数图象；（ 3）察看图象，指出方程x2－ x— 6=0 的解；（ 4）求二次函数图象与坐标轴交点所组成的三角形的面积.二：【经典考题分析】与 x 轴、y轴分别交于点5. 如下图，直线 y=-2x+2A、 B，以线段 AB为直角边在第一象限内作等腰直角△oABC，∠ BAC=90，过 C 作 CD⊥x轴，垂足为 D（ 1）求点 A、 B 的坐标和 AD的长BC （ 2）求过 B 、 A、 D三点的抛物线的分析式O A D新世纪教育网-- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。

全国各地中考数学压轴题专集答案动态综合型问题

2012年全国各地中考数学压轴题专集答案十、动态综合型问题1．（北京模拟）已知抛物线y ＝－x2＋2x ＋m －2与y 轴交于点A （0，2m －7），与直线y ＝2x 交于点B 、C （B 在C 的右侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为E ，在抛物线的对称轴上是否存在一点F ，使得∠BFE ＝∠CFE ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由；（3）动点P 、Q 同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC 运动，以PQ 为斜边在直线BC 的上方作直角三角形PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t 秒．若△PMQ 与抛物线y ＝－x2＋2x ＋m －2有公共点，求t 的取值范围．解：（1）把点A （0，2m －7）代入y ＝－x2＋2x ＋m －2，得m ＝5∴抛物线的解析式为y ＝－x2＋2x ＋3（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x2＋2x ＋3y ＝2x 解得⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝23 ⎩⎨⎧x 2＝－3y 2＝－23∴B （3，23），C （－3，－23）∵y ＝－x2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4 ∴抛物线的对称轴为x ＝1 设F （1，y ）∵∠BFE ＝∠CFE ，∴tan ∠BFE ＝tan ∠CFE当点F 在点B 上方时，3－1 y －23 ＝3＋1y ＋23解得y ＝6，∴F （1，6）当点F 在点B 下方时，3－1 23－y ＝3＋1－y －23解得y ＝6（舍去）∴满足条件的点F 的坐标是F （1，6）（3）由题意，OP ＝5t ，OQ ＝25t ，∴PQ ＝5t ∵P 、Q 在直线直线y ＝2x 上 ∴设P （x ，2x ），则Q （2x ，4x ）（x＜0）∴x 2＋4x 2＝5t ，∴x ＝－t∴P （－t ，－2t ），Q（－2t ，－4t ） ∴M （－2t ，－2t ）当M （－2t ，－2t ）在抛物线上时，有－2t ＝－4t2－4t ＋3解得t ＝13－14（舍去负值）当P （－t ，－2t ）在抛物线上时，有－2t ＝－t2－2t ＋3 解得t ＝3（舍去负值） ∴t 的取值范围是：13－14≤t≤ 32．（北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y 1＝ax2＋3x ＋c 经过原点及点A （1，2），与x 轴相交于另一点B ．（1）求抛物线y 1的解析式及B 点坐标；（2）若将抛物线y 1以x ＝3为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线y 2，已知抛物线y 2与x 轴交于两点，其中右边的交点为C 点．动点P 从O 点出发，沿线段OC 向C 点运动，过P 点作x 轴的垂线，交直线OA 于D 点，以PD 为边在PD 的右侧作正方形PDEF ． ①当点E 落在抛物线y 1上时，求OP 的长；②若点P 的运动速度为每秒1个单位长度，同时线段OC 上另一点Q 从C 点出发向O 点运动，速度为每秒2个单位长度，当Q 点到达O 点时P 、Q 两点停止运动．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AC 交于G 点，以QG 为边在QG 的左侧作正方形QGMN ．当这两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上时，求t 的值．（正方形在x 轴上的边除外）解：（1）∵抛物线y 1＝ax2＋3x ＋c 经过原点及点A （1，2）∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ＋3＋c ＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝0 ∴抛物线y 1的解析式为y 1＝－x2＋3x令y 1＝0，得－x2＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3 ∴B （3，0）（2）①由题意，可得C （6，0）过A 作AH ⊥x 轴于H ，设OP ＝a可得△ODP ∽△OAH ，∴DPOP＝AHOH＝2 ∴DP ＝2OP ＝2a∵正方形PDEF ，∴E （3a ，2a ） ∵E （3a ，2a ）在抛物线y 1＝－x2＋3x 上∴2a ＝－9a2＋9a ，解得a 1＝0（舍去），a 2＝7 9∴OP 的长为79②设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b 0＝6k ＋b解得k ＝－2 5 ，b ＝12 5∴直线AC 的解析式为y ＝－2 5 x ＋125由题意，OP ＝t ，PF ＝2t ，QC ＝2t ，GQ ＝45t 当EF 与MN 重合时，则OF ＋CN ＝6 ∴3t ＋2t ＋45t ＝6，∴t ＝3029当EF 与GQ 重合时，则OF ＋QC ＝6 ∴3t ＋2t ＝6，∴t ＝65当DP 与MN 重合时，则OP ＋CN ＝6 ∴t ＋2t ＋4 5 t ＝6，∴t ＝3019当DP 与GQ 重合时，则OP ＋CQ ＝6∴t ＋2t ＝6，∴t ＝23．（北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx ＋4经过A （－3，0）、B （4，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动．（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MA 的值最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y ＝ax2＋bx ＋4经过A （－3，0）、B （4，0）两点∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋4＝016a ＋4b ＋4＝0 解得a ＝－1 3 ，b ＝1 3∴所求抛物线的解析式为y ＝－1 3x2＋ 13x ＋4（2）连接DQ ，依题意知AP ＝t ∵抛物线y ＝－13x2＋13x ＋4与y 轴交于点C ∴C （0，4）又A （－3，0，B （4，0）可得AC ＝5，BC ＝42，AB ＝7∵BD ＝BC ，∴AD ＝AB －BD ＝7－42∵CD 垂直平分PQ ，∴QD ＝DP ，∠CDQ ＝∠CDP ∵BD ＝BC ，∴∠DCB ＝∠CDB ∴∠CDQ ＝∠DCB ，∴DQ ∥BC ∴△ADQ ∽△ABC ，∴ADAB＝DQBC∴ADAB＝DPBC，∴7－427＝DP42解得DP ＝42－32 7，∴AP ＝AD ＋DP ＝177∴线段PQ 被CD 垂直平分时，t 的值为177（3）设抛物线y ＝－13x2＋13x ＋4的对称轴x ＝12与x 轴交于点E 由于点A 、B 关于对称轴x ＝12对称，连接BQ 交对称轴于点M 则MQ ＋MA ＝MQ ＋MB ，即MQ ＋MA ＝BQ当BQ ⊥AC 时，BQ 最小，此时∠EBM ＝∠ACO ∴tan ∠EBM ＝tan ∠ACO ＝34∴MEBE＝34，即ME4－1 2＝34，解得ME ＝218∴M （12，218）∴在抛物线的对称轴上存在一点M （12，218），使得MQ ＋MA 的值最小4．（北京模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．动点P 从点A 出发，沿AC →CB →BA 边运动，点P 在AC 、CB 、BA 边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位．直线l 从与AC 重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB 方向移动，移动过程中保持l ∥AC ，且分别与CB 、AB 边交于点E 、F ．点P 与直线l 同时出发，设运动的时间为t 秒，当点P 第一次回到点A 时，点P 和直线l 同时停止运动．（1）当t ＝_________秒时，点P 与点E 重合；当t ＝_________秒时，点P 与点F 重合；（2）当点P 在AC 边上运动时，将△PEF 绕点E 逆时针旋转，使得点P 的对应点P ′ 落在EF 上，点F 的对应点为F ′ ，当EF ′⊥AB 时，求t 的值；（3）作点P 关于直线EF 的对称点Q ，在运动过程中，若形成的四边形PEQF 为菱形，求t 的值；（4）在整个运动过程中，设△PEF 的面积为S ，直接写出S 关于t 的函数关系式及S 的最大值．B C A Pl F E B C A 备用图解：（1）3；4.5提示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8∴AB＝62＋82＝10，∴sin B＝ACAB＝35，cos B＝BCAB＝45，tan B＝ACBC＝34当点P与点E重合时，点P在CB边上，CP＝CE∵AC＝6，点P在AC、CB边上运动的速度分别为每秒3、4个单位∴点P在AC边上运动的时间为2秒，CP＝4(t－2)∵CE＝43t，∴4(t－2)＝43t，解得t＝3当点P与点F重合时，点P在BA边上，BP＝BF∵AC＝6，BC＝8，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位∴点P在AC、CB边上运动的时间共为4秒，BF＝BP＝5(t－4)∵CE＝43t，∴BE＝8－43t在Rt△BEF中，BEBF＝cos B∴8－43t5(t－4)＝45，解得t＝4.5（2）由题意，∠PEF＝∠MEN∵EF∥AC，∠C＝90°，∴∠BEF＝90°，∠CPE＝∠PEF ∵EN⊥AB，∴∠B＝∠MEN∴∠CPE＝∠B，∴tan∠CPE＝tan B∵tan∠CPE＝CECP，tan B＝ACBC＝34∴CECP＝34，∴CP＝43CE∵AP＝3t（0＜t＜2），CE＝43t，∴CP＝6－3t∴6－3t＝43×43t，解得t＝5443（3）连接PQ交EF于O∵P、Q关于直线EF对称，∴EF垂直平分PQ若四边形PEQF为菱形，则OE＝OF＝12EF①当点P在AC边上运动时易知四边形POEC为矩形，∴OE＝PC∴PC＝12EF∵CE＝43t，∴BE＝8－43t，EF＝BE·tan B＝34(8－43t)＝6－t∴6－3t＝12(6－t)，解得t＝65②当点P在CB边上运动时，P、E、Q三点共线，不存在四边形PEQF③当点P在BA边上运动时，则点P在点B、F之间EB OCAPlFQEB MCA PlFNBCAlFE(P)BCAlFE(P)∵BE ＝8－43t ，∴BF ＝ BE cos B＝5 4 (8－4 3 t )＝10－5 3t ∵BP ＝5(t －4)，∴PF ＝BF －BP ＝10－53t －5(t －4)＝30－203t ∵∠POF ＝∠BEF ＝90°，∴PO ∥BE ，∴∠OPF ＝∠B 在Rt △POF 中，OFPF＝sin B ∴12(6－t)30－ 20 3t＝ 3 5 ，解得t ＝30 7∴当t ＝65或t ＝307时，四边形PEQF 为菱形（4）S ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－23t2＋4t （0≤t≤2）4 3t2－12t ＋24（2＜t≤3）－43t2＋12t －24（3＜t≤4）8 3t2－28t ＋72（4＜t≤4.5）－83t2＋28t －72（4.5＜t≤6）S 的最大值为1635．（北京模拟）在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝10，CD ＝6，AD ＝BC ＝4．点P 从点B 出发，沿线段BA 向点A 匀速运动，速度为每秒2个单位，过点P 作直线BC 的垂线PE ，垂足为E ．设点P 的运动时间为t （秒）．（1）∠A ＝___________°；（2）将△PBE 沿直线PE 翻折，得到△PB ′E ，记△PB ′E 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）在整个运动过程中，是否存在以点D 、P 、B ′为顶点的三角形为直角三角形或等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）60°（2）∵∠A ＝∠B ＝60°，PB ＝PB ′ ∴△PB ′B 是等边三角形∴PB ＝PB ′＝BB ′＝2t ，BE ＝B ′E ＝t ，PE ＝3tA CB D P EB ′A CB D 备用图EB CAPlF QO当0＜t≤2时S ＝S △PB ′E ＝12B ′E ·PE ＝1 2 t ·3t ＝ 3 2t2 当2＜t≤4时S ＝S △PB ′E－S △FB ′C＝3 2t2－ 3 4 ( 2t －4 )2＝－ 3 2t2＋43t －4 3当4＜t≤5时设PB ′、PE 分别交DC 于点G 、H ，作GK ⊥PH 于K ∵△PB ′B 是等边三角形，∴∠B ′PB ＝60°＝∠A ∴PG ∥AD ，又DG ∥AP∴四边形APGD 是平行四边形 ∴PG ＝AD ＝4∵AB ∥CD ，∴∠GHP ＝∠BPH∵∠GPH ＝∠BPH ＝12∠B ′PB ＝30°∴∠GHP ＝∠GPH ＝30°，∴PG ＝GH ＝4 ∴GK ＝12PG ＝2，PK ＝KH ＝PG ·cos30°＝2 3 ∴PH ＝2PK ＝4 3 ∴S ＝S △PGH＝12PH ·GK ＝12×43×2＝4 3 综上得，S 与t 之间的函数关系式为： S ＝⎩⎨⎧32t2（0＜t≤2）－3 2t2＋43t －43（2＜t≤4）43（4＜t≤5）（3）①若∠DPB ′＝90° ∵∠B ′PB ＝60°，∴∠DP A ＝30° 又∠A ＝60°，∴∠ADP ＝90°∴AP ＝2AD ，∴10－2t ＝8，∴t ＝1 若∠PDB ′＝90°作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥B ′B 于N则AM ＝2，DM ＝23，NC ＝3，DN ＝3 3 PM ＝|10－2－2t |＝|8－2t | NB ′＝|3＋4－2t |＝|7－2t |DP 2＝DM 2＋PM 2＝(23 )2＋( 8－2t )2＝( 8－2t)2＋12DB ′ 2＝DN 2＋NB ′＝( 33 )2＋( 7－2t )2＝( 7－2t)2＋27∵DP 2＋DB ′ 2＝B ′P 2∴( 8－2t )2＋12＋( 7－2t )2＋27＝( 2t)2解得t 1＝15＋73 2＞5（舍去），t 2＝15－732若∠DB ′P ＝90°，则DB ′ 2＋B ′P 2＝DP 2∴(7－2t )2＋27＋( 2t )2＝( 8－2t)2＋12 解得t 1＝－1（舍去），t 2＝0（舍去）A C BDP EB ′ AC BDP EB ′M N∴存在以点D 、P 、B ′为顶点的三角形为直角三角形，此时t ＝1或t ＝15－732②若DP ＝B ′P ，则(8－2t )2＋12＝( 2t)2解得t ＝198若B ′D ＝B ′P ，则(7－2t)2＋27＝(2t)2解得t ＝197若DP ＝DB ′，则( 8－2t )2＋12＝( 7－2t)2＋27 解得t ＝0（舍去）∴存在以点D 、P 、B ′为顶点的三角形为等腰三角形，此时t ＝19 8或t ＝19 76．（北京模拟）已知二次函数y ＝－33mx2＋3mx －2的图象与x 轴交于点A （23，0）、点B ，与y 轴交于点C ．（1）求点B 坐标；（2）点P 从点C 出发以每秒1个单位的速度沿线段CO 向O 点运动，到达点O 后停止运动，过点P 作PQ ∥AC 交OA 于点Q ，将四边形PQAC 沿PQ 翻折，得到四边形PQA ′C ′，设点P 的运动时间为t ． ①当t 为何值时，点A ′恰好落在二次函数y ＝－33mx2＋3mx －2图象的对称轴上； ②设四边形PQA ′C ′落在第一象限内的图形面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．解：（1）将A （23，0）代入y ＝－33mx2＋3mx －2 得0＝－33 m ×(2 3 )2＋3m ×23－2，解得m ＝3 3∴y ＝－13x 2＋3x －2 令y ＝0，得－13x 2＋3x －2＝0，解得：x 1＝3，x 2＝2 3 ∴B （3，0）（2）①由y ＝－13x 2＋3x －2，令x ＝0，得y ＝－2 ∴C （0，－2） ∵y ＝－13x2＋3x －2＝－1 3 (x －323)2＋1 4∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝323过A ′作A ′H ⊥OA 于H在Rt △AOC 中，∵OC ＝2，OA ＝2 3 ∴∠OAC ＝30°，∠OCA ＝60° ∴∠PQA ＝150°，∠A ′QH ＝60°，AQ ＝A ′Q ＝2QH ∵点A ′在二次函数图象的对称轴上ACBDPEB ′ AC BDP B ′ E∴⎩⎪⎨⎪⎧OQ ＋QH ＝3 23OQ ＋2QH ＝23解得QH ＝32∴AQ ＝3，CP ＝1 ∴t ＝1②分两种情况：ⅰ）当0＜t≤1时，四边形PQA ′C ′ 落在第一象限内的图形为等腰三角形QA ′DDQ ＝A ′Q ＝3tA ′H ＝AQ ·sin60°＝3t ·32＝32t S ＝S △A ′DQ＝12 ·3t ·3 2t ＝33 4t2 ∵当0＜t≤1时，S 随t 的增大而增大 ∴当t ＝1时，S 有最大值334ⅱ）当1＜t＜2时，四边形PQA ′C ′ 落在第一象限内的图形为四边形EOQA ′ S 四边形EOQA ′＝S 梯形PQA ′C ′－S △OPQ－S △PC ′E＝[23－3 2 (2－t )2]－ 3 2 ( 2－t )2－ 3 4t2 ＝－534t2＋43t －2 3 ∵－53 4 t2＋43t －23＝－53 4 (t －8 5)2＋635且1＜8 5 ＜2，∴当t ＝8 5 时，S 有最大值63 5∵63 5＞33 4 ，∴S 的最大值是63 57．（北京模拟）已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝120°，E 是AB 的中点，过E 点作射线EF ∥BC ，交CD 于点G ，AB 、AD 的长恰好是方程x2－4x ＋a2＋2a ＋5＝0的两个相等实数根，动点P 、Q 分别从点A 、E 出发，点P 以每秒1个单位长度的速度沿AB 由A 向B 运动，点Q 以每秒2个单位长度的速度沿EF 由E 向F 运动，设点P 、Q 运动的时间为t （秒）．（1）求线段AB 、AD 的长；（2）当t＞1时，求△DPQ 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；（3）是否存在△DPQ 是直角三角形的情况，如果存在，求出时间t ；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题意，△＝42－4(a2＋2a ＋5 )＝－4( a ＋1)2＝0 ∴a ＝－1原方程可化为x2－4＋4＝0，解得∴x 1＝x 2＝2 ∴AB ＝AD ＝2（2）作AH ⊥BC 于H ，交EG 于O ，DK ⊥EF 于K ，PM ⊥DA 交DA 的延长线于M ∵AD ∥BC ，∠A ＝120°，AB ＝AD ＝2∴∠B ＝60°，AH ＝ 3A BD Q CP E FG∵E 是AB 中点，且EF ∥BC ，∴AO ＝DK ＝32∵AP ＝t ，∴PM ＝32t∵t＞1，∴点P 在点E 下方延长FE 交PM 于S ，设DP 与EF 交于点N则PS ＝32t －32∵AD ∥BC ，EF ∥BC ，∴EF ∥AD ∴ENAD＝PEP A，∴EN2＝t －1t∴EN ＝2(t －1) t ，∴QN ＝2t －2(t －1)t∴S ＝1 2 (2t －2(t －1) t)( 3 2 t － 3 2 ＋ 32)＝32 t2－3 2 t ＋3 2即S ＝32 t2－3 2 t ＋32（t＞1）（3）由题意，AM ＝12t ，∴DM ＝2＋12t ∴DP 2＝DM 2＋PM 2＝(2＋12t)2＋( 3 2t )2＝t2＋2t ＋4 又DQ 2＝DK 2＋KQ 2＝(32)2＋(2t －1 2－2 )2＝4t2－10t ＋7 PQ 2＝PS 2＋SQ 2＝(32 t －3 2)2＋(2t ＋t －1 2)2＝7t2－4t ＋1 ①若∠PDQ ＝90°，则DP 2＋DQ 2＝PQ 2∴t2＋2t ＋4＋4t2－10t ＋7＝7t2－4t ＋1 解得t ＝6－1（舍去负值）②若∠DPQ ＝90°，则PD 2＋PQ 2＝DQ 2∴t2＋2t ＋4＋7t2－4t ＋1＝4t2－10t ＋7解得t ＝62－1（舍去负值） ③若∠DQP ＝90°，则DQ 2＋PQ 2＝PD 2∴4t2－10t ＋7＋7t2－4t ＋1＝t2＋2t ＋4解得t ＝4±65综上所述，存在△DPQ 是直角三角形的情况，此时t ＝6－1，t ＝62－1，t ＝4±658．（天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，直y ＝－x ＋42交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．在线段OA 上有一动点P ，以每秒2个单位长度的速度由点O 向点A 匀速运动，以OP 为边作正方形OPQM 交y 轴于点M ，连接QA 和QB ，并从QA 和QB 的中点C 和D 向AB 作垂线，垂足分别为点F 和点E ．设P 点运动的时间为t 秒，四边形CDEF 的面积为S 1，正方形OPQM 与四边形CDEF 重叠部分的面积为S 2．（1）直接写出A 点和B 点坐标及t 的取值范围；A BD QCP E FNG S O K HM（2）当t＝1时，求S1的值；（3）试求S2与t的函数关系式（4）直接写出在整个运动过程中，点C和点D所走过的路程之和．解：（1）A（42，0）、B（0，42），0≤t≤4（2）过Q作QH⊥AB于H∵C、D分别是QA和QB的中点∴CD∥AB，CD＝12AB＝12×42×2＝4∵CF⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE∴四边形CDEF是平行四边形又∵CF⊥AB，∴四边形CDEF是矩形∵CF⊥AB，QH⊥AB，∴CF∥QH又∵C是QA中点，∴CF＝12QH连接OQ∵正方形OPQM，∴∠1＝∠2，OP＝PQ＝QM＝MO∵OA＝OB，∴P A＝MB∴Rt△QP A≌Rt△QMB，∴QA＝QB，∠PQA＝∠MQB∵QH⊥AB，∴∠3＝∠4∴∠1＋∠MQB＋∠3＝180°，∴O、Q、H三点共线∴QH＝OH－OQ∵t＝1，点P的运动速度为每秒2个单位长度∴OP＝2，∴OQ＝2又∵OA＝42，∴OH＝4∴QH＝OH－OQ＝4－2＝2，∴CF＝1∴S1＝CD·CF＝4×1＝4（3）当点Q落在AB上时，OQ⊥AB，△QOA是等腰直角三角形∴t＝22÷2＝2当0≤t≤2时，S2＝0当点E落在QM上，点F落在PQ上时，△CFK和△DEG都是等腰直角三角形过C作CT⊥PQ于T则CT＝12AP＝12(42－2t)＝22(4－t)∴CF＝2CT＝4－t连接OQ，分别交AB、CD于N、R则ON＝22OA＝22×42＝4∵OP＝2t，∴OQ＝2t，∴QN＝2t－4∴CF ＝12QN ＝t －2 ∴4－t ＝t －2，∴t ＝3当2＜t≤3时，重叠部分为等腰梯形GHIK △QGK 和△QHI 都是等腰直角三角形∵QN ＝2t －4，RN ＝CF ＝t －2，∴QR ＝t －2 ∴GK ＝2QR ＝2t －4，HI ＝2QN ＝4t －8∴S 2＝1 2 (GK ＋HI)·RN ＝1 2(2t －4＋4t －8)(t －2)＝3(t －2)2当3＜t≤4时，重叠部分为六边形GHEFIK易知Rt △CIK ≌Rt △DHG ，∴GH ＝KI ＝2CT ＝2(4－t)∴S 2＝S 矩形CDEF－2S △CIK＝CD ·CF －KI ·CT＝4(t －2)－2(4－t)·22(4－t)＝－t 2＋12t －24 综上得S 2关于t 的函数关系式为：S 2＝ ⎩⎨⎧0（0≤t≤2）3( t －2 )2（2＜t≤3）－t2＋12t －24（3＜t≤4）（4）8提示：点C 和点D 走过的路程分别为以OP 为边的正方形的对角线的一半 9．（上海模拟）如图，正方形ABCD 中，AB ＝5，点E 是BC 延长线上一点，CE ＝BC ，连接BD ．动点M 从B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BD 向D 运动；动点N 从E 出发，以每秒2个单位长度的速度沿EB 向B 运动，两点同时出发，当其中一点到达终点后另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，过M 作BD 的垂线MP 交BE 于P ．（1）当PN ＝2时，求运动时间t ；（2）是否存在这样的t ，使△MPN 为等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）设△MPN 与△BCD 重叠部分的面积为S ，直接写出S 与t 的函数关系式和函数的定义域．解：（1）∵正方形ABCD ，∴∠DBC ＝45°∵MP ⊥DB ，∴△BMP 是等腰直角三角形∵BM ＝2t ，∴BP ＝2BM ＝2t 又PN ＝2，NE ＝2t当0＜t＜2.5时，BP ＋PN ＋NE ＝BE ∴2t ＋2＋2t ＝10，∴t ＝2当2.5＜t＜5时，BP －PN ＋NE ＝BE ∴2t －2＋2t ＝10，∴t ＝3A B DN C P M EA BDNC P MEQH（2）过M 作MH ⊥BC 于H 则△NQC ∽△NMH ，∴QCCN＝MHHN∴QC5－2t＝t10－t －2t，∴QC ＝5t －2t 210－3t令QC ＝y ，则y ＝5t －2t 210－3t整理得2t 2－(3y ＋5 )t ＋10y ＝0∵t 为实数，∴[－(3y ＋5)]2－4×2×10y≥0即9y 2－50y ＋25≥0，解得y≥5（舍去）或y≤5 9∴线段QC 长度的最大值为59（3）当0＜t＜2.5时∵∠MPN ＝∠DBC ＋∠BMP ＝45°＋90°＝135° ∴∠MPN 为钝角，∴MN＞MP ，MN＞PN若PM ＝PN ，则2t ＝10－4t解得t ＝57(4－2)当2.5＜t＜5时∵∠MNP ＞∠MBP ＝∠MPB ，∴MP＞MN 若MN ＝PN ，则∠PMN ＝∠MPN ＝45° ∴∠MNP ＝90°，即MN ⊥BP ∴BN ＝NP ，BP ＝2BN∴2t ＝2(10－2t)，解得t ＝103若PM ＝PN∵PN ＝BP －BN ＝BP －(BE －NE)＝BP ＋NE －BE∴2t ＝2t ＋2t －10，解得t ＝57(4＋2)∴当t ＝5 7 (4－2)，t ＝10 3，t ＝57(4＋2)时，△MPN 为等腰三角形（4）S ＝⎩⎨⎧ 8t 3－50t 2＋75t20－6t（0＜t＜2.5）5t － 252（2.5＜t＜5）10．（重庆模拟）如图，已知△ABC 是等边三角形，点O 是AC 的中点，OB ＝12，动点P 在线段AB 上从点A 向点B 以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t 秒．以点P 为顶点，作等边△PMN ，点M ，N 在直线OB 上，取OB 的中点D ，以OD 为边在△AOB 内部作如图所示的矩形ODEF ，点E 在线段AB 上．（1）求当等边△PMN 的顶点M 运动到与点O 重合时t 的值；（2）求等边△PMN 的边长（用含t 的代数式表示）；（3）设等边△PMN 和矩形ODEF 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；AB DPC N EMAB DNC P EM AB DP C N MEADB PC N ME（4）点P 在运动过程中，是否存在点M ，使得△EFM 是等腰三角形？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）当点M 与点O 重合时∵△ABC 、△PMN 是等边三角形，O 为AC 中点 ∴∠AOP ＝30°，∠APO ＝90° ∵OB ＝12，∴AO ＝43＝2AP ＝23t 解得t ＝2∴当t ＝2时，点M 与点O 重合（2）由题设知∠ABM ＝30°，AB ＝83，AP ＝3t ∴PB ＝83－3t ，PM ＝PB ·tan30°＝8－t 即等边△PMN 的边长为8－t（3）S ＝⎩⎪⎨⎪⎧23t ＋63（0≤t≤1）－23t2＋63t ＋43（1＜t≤2）－32t2＋103（2＜t≤4）23t2－203t ＋503（4＜t≤5）0（5＜t≤8）提示：①当0≤t≤1时，PM 经过线段AF设PM 交AF 于点J ，PN 交EF 于点G ，则重叠部分为直角梯形FONG∵AP ＝3t ，∴AJ ＝23t ，JO ＝43－23t MO ＝4－2t ，ON ＝8－t －(4－2t)＝4＋t 作GH ⊥ON 于H则GH ＝FO ＝23，HN ＝2，FG ＝OH ＝4＋t －2＝2＋t ∴S ＝S 梯形FONG＝12(FG ＋ON)·FO＝12(2＋t ＋4＋t)·23＝23t ＋6 3 ②当1＜t≤2时，PM 经过线段FO设PM 交EF 于点I ，则重叠部分为五边形IJONGFJ ＝AJ －AF ＝23t －23，FI ＝2t －2∴S ＝S 梯形FONG－S △FIJ＝23t ＋63－12(23t －23)(2t －2)＝－23t 2＋63t ＋4 3③当2＜t≤4时，PN 经过线段ED设PN 交ED 于点K ，则重叠部分为五边形IMDKGA ODC BF E 备用图AODCBF E 备用图A O D CBPFE (N )(M )A ODCBPN F ME∵AP ＝3t ，∴PE ＝43－3t ∴IG ＝GE ＝4－t ，EK ＝43－3t∴KD ＝23－(43－3t)＝3t －23，DN ＝t －2 ∴S ＝S 梯形IMNG －S △KDN＝1 2 (4－t ＋8－t)·23－12(3t －23)(t －2) ＝－32t 2＋10 3 ④当4＜t≤5时，PM 经过线段ED设PM 交ED 于点R ，则重叠部分为△RMD ∵AP ＝3t ，∴EP ＝3t －4 3 ∴ER ＝2EP ＝23t －8 3∴RD ＝23－(23t －83)＝103－23t MD ＝10－2t∴S ＝S △RMD＝12(10－2t)(103－23t)＝23t 2－203t ＋50 3 ⑤当5＜t≤8时，S ＝0（4）∵MN ＝BN ＝PN ＝8－t ，∴MB ＝16－2t ①若FM ＝EM ，则M 为OD 中点 ∴OM ＝3∵OM ＋MB ＝OB ，∴3＋16－2t ＝12 ∴t ＝3.5②若FM ＝FE ＝6，则OM ＝6 2－( 23)2＝2 6∵OM ＋MB ＝OB ，∴26＋16－2t ＝12 ∴t ＝2＋ 6③若EF ＝EM ＝6，点M 在OD 或DB 上则DM ＝6 2－( 23)2＝2 6∴DB ＋DM ＝MB 或者DB －DM ＝MB∴6＋26＝16－2t 或6－26＝16－2t ∴t ＝5－6或t ＝5＋ 6综上所述，当t ＝3.5、2＋6、5－6、5＋6时，△MEF 是等腰三角形11．（浙江某校自主招生）如图，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，且OA 边和AB 边所在直线的解析式分别为y ＝34x 和y ＝－4 3 x ＋ 253．（1）求正方形OABC 的边长；（2）现有动点P 、Q 分别从C 、A 同时出发，点P 沿线段CB 向终点B 运动，速度为每秒1个单位，点QA OD CBP NF ME AOD C BP NF M E A O D C B PN F M E AO D C BPN F M E沿折线A →O →C 向终点C 运动，速度为每秒k 个单位，设运动时间为2秒．当k 为何值时，将△CPQ 沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？（3）若正方形以每秒53个单位的速度沿射线AO 下滑，直至顶点B 落在x 轴上时停止下滑．设正方形在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围．解：（1）联立 ⎩⎨⎧y ＝34xy ＝－4 3 x ＋25 3解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3∴A （4，3），∴OA ＝4 2＋32＝5 ∴正方形OABC 的边长为5（2）要使△CPQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△CPQ 为等腰三角形即可当t ＝2秒时∵点P 的速度为每秒1个单位，∴CP ＝2 分两种情况：①当点Q 在OA 上时，∵PQ ≥BA ＞PC ，∴只存在一点Q ，使QC ＝QP作QN ⊥CP 于N ，则CN ＝12CP ＝OQ ＝1∴QA ＝5－1＝4，∴k ＝42＝2 ②当点Q 在OC 上时，同理只存在一点Q ，使CP ＝CQ ＝2 ∴OQ ＋OA ＝10－2＝8，∴k ＝82＝4综上所述，当t ＝2秒时，以所得的等腰三角形CPQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k 值为2或4 （3）①当点A 运动到点O 时，t ＝3 当0＜t≤3时，设O ′C ′ 交x 轴于点D则tan ∠DOO ′＝3 4 ，即DO ′OO ′＝DO ′5 3t＝ 3 4 ，∴DO ′＝ 54t∴S ＝1 2 DO ′·OO ′＝ 1 2 ·5 4 t ·5 3 t ＝ 25 24t 2②当点C 运动到x 轴上时，t ＝(5×4 3)÷5 3＝4当3＜t≤4时，设A ′B ′ 交x 轴于点E∵A ′O ＝5 3 t －5，∴A ′E ＝ 34 A ′O ＝5t －15 4∴S ＝1 2 (A ′E ＋O ′D )·A ′O ′＝1 2 (5t －15 4＋54 t )·5＝50t －75 8③当点B 运动到x 轴上时，t ＝(5＋5×4 3)÷5 3＝7当4＜t≤7时，设B ′C ′ 交x 轴于点F∵A ′E ＝5t －15 4，∴B ′E ＝5－5t －15 4＝35－5t4∴B ′F ＝43 B ′E ＝35－5t 3∴S ＝52－12 ·35－5t 4·35－5t 3＝－25 24 t 2＋ 175 12 t －625 24综上所述，S 关于滑行时间t 的函数关系式为：S ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2524t 2（0＜t≤3）50t －758（3＜t≤4）－25 24t2＋175 12t －625 24（4＜t≤7）12．（浙江某校自主招生）如图，正方形ABCD 的边长为8cm ，动点P 从点A 出发沿AB 边以1cm /秒的速度向点B 匀速移动（点P 不与点A 、B 重合），动点Q 从点B 出发沿折线BC －CD 以2cm /秒的速度匀速移动．点P 、Q 同时出发，当点P 停止时，点Q 也随之停止．连接AQ 交BD 于点E ．设点P 运动时间为t （秒）．（1）当点Q 在线段BC 上运动时，点P 出发多少时间后，∠BEP ＝∠BEQ ？（2）设△APE 的面积为S （cm 2），求S 关于t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）当4＜t ＜8时，求△APE 的面积为S 的变化范围．解（1）AP ＝x cm ，BQ ＝2x cm∵∠BEP ＝∠BEQ ，BE ＝BE ，∠PBE ＝∠QBE ＝45° ∴△PBE ≌△QBE ，∴PB ＝BQ 即8－x ＝2x ，∴x ＝83∴点P 出发83秒后，∠BEP ＝∠BEQ （2）①当0＜x≤4时，点Q 在BC 上，作EN ⊥AB 于N ，EM ⊥BC 于M ∵AD ∥BC ，∴AEEQ＝ADBQ＝8 2x＝4xA B DEC PQ即AEEQ＝4 x，∴AEAQ ＝4x ＋4∴NEBQ＝AEAQ，∴NE ＝AE ·BQAQ ＝8x x ＋4∴S ＝1 2 AP ·NE ＝ 1 2 x · 8x x ＋4 ＝4x2x ＋4即S ＝4x2x ＋4（0＜x≤4）②当4＜x＜8时，点Q 在CD 上，作QF ⊥AB 于F ，交BD 于H则AEEQ＝ADHQ＝8 16－2x＝48－x即AEEQ＝4 8－x，∴AEAQ ＝ 4 8－x ＋4 ＝412－x作EN ⊥AB 于N ，则 NEFQ＝AEAQ∴NE ＝AE ·FQFQ＝32 12－x∴S ＝1 2 AP ·NE ＝ 1 2 x ·32 12－x ＝16x12－x即S ＝16x12－x（4＜x＜8）（3）当4＜x＜8时，由S ＝16x12－x，得x ＝12S16＋S∵4＜x＜8，∴4＜12S16＋S＜8 ∵S＞0，∴16＋S＞0，∴4(16＋S)＜12S＜8(16＋S) 解得8＜S＜32 13．（浙江模拟）如图，菱形ABCD 的边长为6且∠DAB ＝60°，以点A 为原点、边AB 所在直线为x 轴且顶点D 在第一象限建立平面直角坐标系．动点P 从点D 出发沿折线D －C －B 向终点B 以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q 从点A 出发沿x 轴负半轴以每秒1个单位的速度运动，当点P 到达终点时停止运动．设运动时间为t ，直线PQ 交边AD 于点E ．（1）求出经过A 、D 、C 三点的抛物线解析式；（2）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 值，若不存在，请说明理由；（3）设AE 长为y ，试求y 与t 之间的函数关系式；（4）若F 、G 为DC 边上两点，且点DF ＝FG ＝1，试在对角线DB 上找一点M 、抛物线对称轴上找一点N ，使得四边形FMNG 周长最小并求出周长最小值．A BDE CPQN M A BDE CP QNF H解：（1）由题意得：D （3，33）、C （9，33）设经过A 、D 、C 三点的抛物线解析式为y ＝ax2＋bx 把D 、C 两点坐标代入上式，得：⎩⎨⎧9a ＋3b ＝3381a ＋9b ＝33解得：a ＝－3 9 ，b ＝433∴抛物线的解析式为：y ＝－39 x2＋433x （2）连接AC ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD 若PQ ⊥BD ，则PQ ∥AC 当点P 在DC 上时∵PC ∥AQ ，PQ ∥AC ，∴四边形PQAC 是平行四边形 ∴PC ＝AQ ，即6－2t ＝t, ∴t ＝2当点P 在CB 上时，PQ 与AC 相交，此时不存在符合要求的t 值（3）①当点P 在DC 上，即0≤t≤3时 ∵DP ∥AQ ，∴△DEP ∽△AEQ∴ DE y＝ DP AQ ＝ 2tt ＝2，∴y ＝ 13AD ＝2②当点P 在CB 上，即3＜t≤6时∵AE ∥BP ，∴△QEA ∽△QPB∴AEBP＝QAQB，即y12－2t＝t6＋t∴y ＝12－2t6＋t综上所述，y 与t 之间的函数关系式为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 （0≤t≤3） 12－2t6＋t（3＜t≤6）（4）作点F 关于直线BD 的对称点F ′，由菱形对称性知F ′ 在DA 上，且DF ′＝DF ＝1作点G 关于抛物线对称轴的对称点G ′，易求DG ′＝4 连接F ′G ′ 交DB 于点M 、交对称轴于点N ，则点M 、N过F ′ 作F ′H ⊥DG ′ 于H ，可得HD ＝1 2 ，F ′H＝ 3 2 ，HG ′＝92∴F ′G ′＝F ′H 2＋HG ′ 2＝21∴四边形FMNG 周长最小值为F ′G ′＋FG ＝21＋1 14．（浙江模拟）如图，直线y ＝－x ＋5和直线y ＝kx －4交于点C （3，m ），两直线分别交y 轴于点A 和点B ，一平行于y 轴的直线l 从点C 出发水平向左平移，速度为每秒1个单位，运动时间为t ，且分别交AC 、BC 于点P 、Q ，以PQ 为一边向左侧作正方形PQDE ．（1）求m 和k 的值；（2）当t 为何值时，正方形的边DE 刚好在y 轴上？（3）当直线l 从点C 出发开始运动的同时，点M 也同时在线段AB 上由点A 向点B 以每秒4个单位的速度运动，问点M 从进入正方形PQDE 到离开正方形持续的时间有多长？解：（1）把C （3，m ）代入y ＝－x ＋5得m ＝2 ∴C （3，2），代入y ＝kx －4得k ＝2（2）由题意，点P 横坐标为3－t当x ＝3－t 时，y ＝－x ＋5＝t ＋2，∴P （3－t ，t ＋2） ∵PQ ∥y 轴，∴点Q 横坐标为3－t当x ＝3－t 时，y ＝2x －4＝2－2t ，∴Q （3－t ，2－2t ） ∴PQ ＝t ＋2－(2－2t)＝3t ∵正方形PQDE ，∴PQ ＝PE 当正方形的边DE 刚好在y 轴上时，3t ＝3－t ，∴t ＝3 4（3）∵直线y ＝－x ＋5交y 轴于点A ，∴A （0，5） ∴点M 坐标为（0，5－4t ）当点M 和点P 的纵坐标相等时，5－4t ＝t ＋2，∴t ＝35∵3 5＜3 4，∴点M 进入正方形PQDE 时，t ＝3 4当点M 和点Q 的纵坐标相等时，5－4t ＝2－2t ，∴t ＝3 2∴点M 从进入正方形PQDE 到离开正方形持续的时间为：t ＝32－3 4＝3 415．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，Rt △OAB 的直角边OA 在x 轴的正半轴上，点B 坐标为（3，1），以OB 所在直线为对称轴将△OAB 作轴对称变换得△OCB ．动点P 从点O 出发，沿线段OA 向点A 运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CO 向点O 运动．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P 运动的时间为t （秒）．（1）求∠AOC 的度数；（2）记四边形BCQP 的面积为S （平方单位），求S 与t（3）设PQ 与OB 交于点M ． ①当△OMQ 为等腰三角形时，求t的值．②探究线段OM 长度的最大值，说明理由．解：（1）∵点B坐标为（3，1），∴OA＝3，AB＝1∴在Rt△OAB中，tan∠AOB＝ABOA＝13＝33∴∠AOB＝30°∵将△OAB作轴对称变换得△OCB∴△OCB≌△OAB，∴∠COB＝∠AOB＝30°∴∠AOC＝60°（2）∵OP＝CQ＝t，AB＝1，OC＝OA＝ 3 ∴AP＝OQ＝3－t∴S＝2S△OAB－S△OPQ－S△P AB＝OA·AB－12OP·OQ·sin∠AOC－12P A·AB＝3×1－12×t×(3－t)×32－12×(3－t)×1＝34t2－14t＋32（3）①若△OMQ为等腰三角形，则可能有三种情况：（i）若OM＝MQ，则∠MQO＝∠MOQ＝30°∵∠AOC＝60°，∴∠OPQ＝90°∴OP＝12OQ，即t＝12(3－t)解得：t＝3 3（ii）若OM＝OQ，则∠OMQ＝∠OQM＝75°∵∠AOC＝60°，∴∠OPQ＝45°过点Q作QD⊥OA于D，则QD＝DP即32(3－t)＝t－12(3－t)解得：t＝1（iii）若MQ＝OQ，则∠OMQ＝∠MOQ＝∠MOP 得PQ∥OA，显然不符合题意②分别过点P、Q作OB的垂线，垂足分别为E、F ∵OP＝t，OQ＝3－t，∠MOP＝∠MOQ＝30°∴S△OPQ＝S△OPM＋S△OOM＝12OM·PE＋12OM·QF＝14OM·OP＋14OM·OQ＝14OM(OP＋OQ)＝14OM(t＋3－t)＝34OM过点Q作QG⊥OA于G则S△OPQ＝12OP·QG＝12OP·OQ·sin60°＝34t(3－t)＝－34(t2－3t)∴34OM＝－34(t2－3t)∴OM＝－(t2－3t)＝－(t－32)2＋34∴当t＝32时，线段OM的长度取得最大值3416．（浙江模拟）已知直线y＝43x＋4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点C从O点出发沿射线OA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点D从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动，当点D到达B点时C、D都停止运动．点E是CD的中点，直线EF⊥CD交y轴于点F，点E′与E点关于y轴对称．点C、D的运动时间为t（秒）．（1）当t＝________秒时，点F经过原点O；（2）设四边形BDCO的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当直线EF与△AOB的一边垂直时，求t的值；（4）以CD为一边，在CD的右侧作菱形CDMN，其中DM∥x轴．当点N在直线E′F左侧时，直接写出菱形CDMN与△EFE′重叠部分为轴对称图形时t的取值范围．解：（1）5 2提示：∵直线y＝43x＋4与x轴、y轴分别相交于点A、B∴A（－3，0），B（0，4），∴AO＝3，BO＝4 ∴AB＝AO2＋BO2＝32＋42＝5当点F经过原点时，连接OD由题意，EF是CD的垂直平分线∴OD＝OC＝t∵AD＝t，∴AD＝OD，∴∠DAO＝∠DOA∵∠DBO＋∠DAO＝90°，∠DOB＋∠DOA＝90°∴∠DBO＝∠DOB，∴OD＝BD∴AD＝BD，∴AD＝12AB＝52（2）∵AO＝3，BO＝4，AB＝5∴sin∠BAO＝BOAB＝45，cos∠BAO＝AOAB＝35过D作DH⊥AC于H 当0≤t≤3时∵CO＝t，AD＝t，∴AC＝3－t，DH＝AD·sin∠BAO＝4 5t∴S＝S△ABO－S△ADC＝12×3×4－12·(3－t)·45t＝25t2－65t＋6当3＜t≤5时，AC＝t－3∴S＝S△ABO＋S△ADC＝12×3×4＋12·(t－3)·45t＝25t2－65t＋6综合得S与t的函数关系式为：S＝25t2－65t＋6（0≤t≤5）（3）当EF⊥BO时∵EF⊥CD，∴CD∥BO，∴∠ACD＝90°在Rt △ADC 中，ACAD＝cos ∠BAO∴3－t t＝3 5 ，∴t ＝158当EF ⊥AB 时∵EF ⊥CD ，∴直线CD 与直线AB 重合 ∴点C 与点A 重合，∴t ＝3 （4）t ＝5 4 或t ＝154提示：①当0＜t＜158则∠PEQ ＝∠MQE∵菱形CDMN ，∴CD ∥MN∴∠MQE ＝∠CEQ ，∴∠PEQ ＝∠CEQ ∵EF ⊥CD ，即∠CEF ＝90°，∴∠CEQ ＝∴∠ACD ＝∠CEQ ＝45°过D 作DH ⊥AC 于H ，则△DHC 是等腰直角三角形 ∴DH ＝HC ，∴4 5t ＝3－t －3 5 t ，∴t ＝54②当158＜t＜5，且重叠部分为等腰梯形EHNK 时同理可得∠CHE ＝45° 连接DH∵EF 垂直平分CD ，∴CH ＝DH ，∠DHE ＝∠CHE ＝45° ∴∠DHC ＝90°，∴DH ＝45t 而CH ＝CO －HO ＝CO －(AO －AH)＝t －(3－35t) ∴t －(3－3 5 t )＝45 t ，∴t ＝15417．（浙江模拟）如图1，矩形ABCD 中，AB ＝21，AD ＝12，E 是CD 边上的一点，DE ＝16，M 是BC 边的中点，动点P 从点A 出发，沿边AB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动．设动点P 的运动时间是t 秒．（1）求线段AE 的长；（2）当△ADE 与△PBM 相似时，求t 的值；（3）如图2，连接EP ，过点P 作PH ⊥AE 于H ． ①当EP 平分四边形PMEH 的面积时，求t 的值；②以PE 为对称轴作线段BC 的轴对称图形B ′C ′，当线段B ′C ′ 与线段AE 有公共点时，写出t 的取值范围（直接写出答案）．解：（1）∵ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°∴AE ＝AD 2＋DE 2＝122＋162＝20 （2）∵∠D ＝∠B ＝90°∴△ADE 与△PBM 相似时，有两种情况：当∠DAE ＝∠PMB 时，有DEPB＝ADBM即1621－t＝126，解得t ＝13 当∠DAE ＝∠BPM 时，有DEBM＝ADPB即166＝1221－t，解得t ＝332（3）①由题意得：S △EHP＝S △EMP ∵DC ∥AB ，∴∠DEA ＝∠HAP 又∵∠D ＝∠AHP ＝90°，∴△ADE ∽△PHA∴AHDE＝PHAD＝APAE，即AH16＝PH12＝t20∴AH ＝45t ，PH ＝3 5 t ，EH ＝20－ 45t ∴S △EHP＝1 2 ×3 5 t ×( 20－ 45t)∵DC ＝21，DE ＝16，∴EC ＝5∴S △EMP＝S 梯形EPBC－S △ECM－S △PBM＝1 2 (5＋21－t)×12－1 2 ×5×6－12×(21－t)×6 ∴1 2 ×3 5t ×(20－4 5 t )＝ 1 2 ( 5＋21－t )×12－ 1 2 ×5×6－ 12×( 21－t)×6 解得t ＝75±5174∵0＜t＜21，∴t ＝75－5174②14011≤t≤20 提示：当点B ′ 落在线段AE 上时连接B ′P 、EB ，∵B ′C ′ 和BC 关于PE 对称 ∴B ′P ＝BP ＝21－t ，B ′E ＝BE ＝BC 2＋EC 2＝122＋52＝13D CE M P 图1 DC E MP H图2D CE BM备用图DA C E BMP HC ′B ′N DAC E B MPHDA C EBMP H。

全国中考数学模拟汇编二55动态综合型问题

A BCDP55.动态综合型问题A组一选择题1. （2011广州六校一摸）如图，O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（）Ａ．2Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．5答案:B2．（南京市溧水县2011年中考一模）如图，A，B，C，D为⊙O 的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O—C—D—O路线作匀速运动，设运动时间为x(秒)，∠APB＝y(度)，右图函数图象表示y与x之间函数关系，则点M的横坐标应为（▲）A．2 B．2πC．12π+ D．2π＋2答案：C3．（南京市雨花台2011年中考一模）如图，矩形ABCD中，1AB=，2BC=，点P从点B 出发，沿B C D→→向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，A． B． C． D．(第2题)答案：C4、(2011海淀一模) 如图，在Rt ABC△中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止.设2y PC=, 运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是（第1题）考查内容: 答案：A 二、填空题：1、(2011广东化州二模)15．如图,正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A 点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A 滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按 B→C→D→A→B 滑动到B 止，在这个过程中，线段BM 的长为线段，QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为考查内容：答案：2 4π三、解答题1．（南京市鼓楼区2011年中考一模）（10分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝43，BC ＝4．点M 是AC 上动点（与点A 不重合），设AM ＝x ，过点M 作AC 的垂线，交直线AB 于点N ．（1）当△AND 的面积为833时，求x 的值；（2）以D 、M 、N 三点为顶点的△DMN 的面积能否达到矩形ABCD 面积的18？若能，请求出此时x 的值，若不能，请说明理由．答案：（本题10分）解：（1）在Rt△ABC 中，AB ＝43，BC ＝4，∠B ＝90°，∴tan∠BAC ＝BC AB ＝443． ∴tan∠BAC ＝33．∵∠BAC 是锐角，∴∠BAC ＝30°．在Rt△AMN 中，AM ＝x ，∠AMN ＝90°， ∴MN ＝AM·tan∠BAC ＝33x ，AN ＝MN sin∠BAC ＝23x 3．………………………2分 ABCDMDN∴S △ADN ＝12·AD ·AN ＝12·4·23x 3＝833．∴x ＝2． ………………………3分（2）设DN 交AC 于点E ．当点E 、M 重合时，x ＝AM =12×4=2 ………………………4分①当0＜x ＜2时，点M 在△ADN 的内部．过D 作DF ⊥AC ，垂足为F ． ∴DF ＝AD ·sin60°＝4×32＝23． ∵S △AMN ＝12×x ×33x ＝36x 2，S △ADN ＝12×4×23x 3x ＝433x ，S △ADM ＝12× x ×23＝3x ，∴S △DMN ＝S △ADN －S △AMN －S △ADM ＝433x －36x 2－3x ＝33x －36x 2．设S △DMN ＝18S 矩形ABCD ，33x －36x 2＝18×43×4＝23，2x －x 2＝12．∴x 2－2x ＋12＝0．∵ (－2)2－4×1×12＜0，∴该方程无实数根． ………6分 ②当2＜x ≤8时，点M 在△ADN 的外部． ∴S △DMN ＝S △AMN ＋S △ADM －S △ADN ＝36x 2＋3x －433x ＝36x 2－33x ．设S △DMN ＝18S 矩形ABCD ，36x 2－33x ＝23， x 2－2x ＝12．∴x 2－2x －12＝0．∴x 1＝1－13＜0，舍去，x 2＝1＋13．∵3＜13＜4，∴4＜1＋13＜5． ∴x ＝1＋13满足条件．∴当S △DMN ＝18S 矩形ABCD 时，x ＝1＋13．…………………………………10分2．（南京市建邺区2011年中考一模）（12分）如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =4cm ，点D 为AC 边上一点，且AD =3cm ，动点E 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿线段AB 向终点B 运动，运动时间为x s ．作∠DEF =45°，与边BC 相交于点F ．设BF 长为y cm ．（1）当x = ▲ s 时，DE ⊥AB ；（2）求在点E 运动过程中，y 与x 之间的函数关系式及点F 运动路线的长；（3）当△BEF 为等腰三角形时，求x 的值．E答案：（本题12分）解：（1）32 2 ······························ 2分（2）∵在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =4．∴∠A ＝∠B ＝45°，AB =4 2 ，∴∠ADE ＋∠AED ＝135°；又∵∠DEF ＝45°，∴∠BEF ＋∠AED ＝135°，∴∠ADE ＝∠BEF ；∴△ADE ∽△BEF ······························ 4分 ∴AD BE ＝AE BF， ∴34 2 －x＝x y ，∴y ＝－13 x 2+43 2 x ··················· 5分∴y ＝－13 x 2+43 2 x ＝－13 ( x －2 2 )2+83∴当x ＝2 2 时，y 有最大值＝83 ······················ 6分∴点F 运动路程为163 cm ··························· 7分（3）这里有三种情况：①如图，若EF ＝BF ，则∠B ＝∠BEF ；又∵△ADE ∽△BEF ，∴∠A ＝∠ADE ＝45° ∴∠AED ＝90°，∴AE ＝DE ＝32 2 ，∵动点E 的速度为1cm/s ，∴此时x ＝32 2 s ；②如图，若EF ＝BE ，则∠B ＝∠EFB ；又∵△ADE ∽△BEF ，∴∠A ＝∠AED ＝45° ∴∠ADE ＝90°，∴AE ＝3 2 ， ∵动点E 的速度为1cm/s ∴此时x ＝3 2 s ；E 第4题（1）（2）图 A BCDEF第4题（3）①图③如图，若BF ＝BE ，则∠FEB ＝∠EFB ；又∵△ADE ∽△BEF ，∴∠ADE ＝∠AED ∴AE ＝AD ＝3，∵动点E 的速度为1cm/s ∴此时x ＝3s ；综上所述，当△BEF 为等腰三角形时，x 的值为32 2 s 或3 2 s 或3s ．（注：求对一个结论得2分，求对两个结论得4分，求对三个结论得5分）3．（南京市溧水县2011年中考一模）（9分）已知24AB AD ==，，90DAB ∠=，AD BC ∥（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；（3）连结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．答案：解：（1）取AB 中点H ，连结MH ，M 为DE 的中点，MH BE ∴∥，1()2MH BE AD =+． ········· 1分又AB BE ⊥，MH AB ∴⊥． ······················· 2分12ABM S AB MH ∴=△，得12(0)2y x x =+>； ·············· 3分（2）过D 作DP ⊥BC ，垂足为P ，∠DAB =∠ABC =∠BPD =90°，∴四边形ABPD 是矩形．A BCD E F第4题（3）②图 ABCDE F第4题（3）③图B A D M EC 第28题图 B AD C 备用图以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，1122MH AB DE ∴=+，又1()2MH BE AD =+，∴DE=BE+AD-AB =x +4-2=x +2……4分 PD =AB=2，PE= x -4，DE 2= PD 2+ PE 2，…………………………………………………5分∴（x +2）2=22+（x -4）2，解得：34=x ． ∴线段BE 的长为34．…………………………………………………………………………6分（3）由已知，以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，又易证得DAM EBM ∠=∠． ························ 7分由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADN BEM ∠=∠；②ADB BME ∠=∠． ①当ADN BEM ∠=∠时，AD BE ∥，ADN DBE ∴∠=∠．DBE BEM ∴∠=∠． DB DE ∴=，易得2BE AD =．得8BE =； ················· 8分 ②当ADB BME ∠=∠时，AD BE ∥，ADB DBE ∴∠=∠． DBE BME ∴∠=∠．又BED MEB ∠=∠，BED M EB ∴△∽△．DE BE BE EM ∴=，即2BE EM DE ==221DE ，得x 2=21[22+（x -4）2]．解得12x =，210x =-（舍去）．即线段BE 的长为2． ············· 9分综上所述，所求线段BE 的长为8或2． 4．（南京市六合区2011年中考一模）（9分）如图1，△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =6cm ，边长为2cm 的菱形DEFG 两边DG 、DE 分别在AC 、AB 上．若菱形DEFG 以1cm/s 的速度沿射线AC 方向平移．（1）经过 ▲ 秒菱形DEFG 的顶点F 恰好在BC 上；（2）求菱形DEFG 的面积；（3）设菱形DEFG 与△ABC 的重合部分为S cm 2，菱形DEFG 平移的时间为t 秒．求S 与t 的函数关系式．答案：解：（1）1．…………………………2分（2）方法一：如图，连接GE 、AF ，交于点O ，并延长AF 交BC 于点H ． ∵由AG =AE 得∠AGE=∠AEG ，由AB=AC 得∠B=∠C ， ∴∠AEG=∠C=180°–∠A2．∴GE ∥BC ， ∴AE AC =GE BC ，得GE= 125 ．………………3分∵菱形AEFG 中，GE ⊥AF ，可得AH ⊥BC ，故CH=12BC=3．∴Rt △ACH 中，AH=AC 2–CH 2=4．∴AO AH =AE AC ，得AO=85，于是AF=165．……………………4分 ∴S 菱形AEFG =12⨯GE ⨯AF=9625 ． …………………………5分方法二：易求S △ABC =12．………………3分由△AGE ∽△ABC 得S △AGE S △ABC =(AE AC )2 ，即S △AGE 12=(25)2．……………4分所以，S △AGE =4825得S 菱形AEFG =9625 ．…………………………5分（3）①当0≤t ≤1时，S=9625 ．…………………………6分②当1<t ≤3时，AD=t ，则CE=5–t –2=3–t ，EN=EC=3–t ，故FN=2–（3–t ）=t –1 ．由△FMN ∽△ABC 可得S △FMN S △ABC =(FN AC )2．即S △FMN 12=(t –15)2，所以S △FMN =1225(t –1)2．所以S= S 菱形AEFG –S △FMN =9625 – 1225(t –1)2．……………7分③当3<x ≤5时，AD=t ，则CD=5–t ，由△DMC ∽△ABC 可得S S △ABC =(DC AC )2．即S 12=(5–t 5)2，所以S=1225(5–t)2．……………………8分 ④当t>5时，S=0．…………………………9分5．（南京市浦口区2011年中考一模）（10分）如图，已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ， DC ⊥BC ，AB ＝5，BC ＝6，∠B ＝53°．点O 为BC 边上的一个动点，连结OD ，以O 为圆心，BO 为半径的⊙O 分别交边AB 于点P ，交线段OD 于点M ，交射线BC 于点N ，连结MN ．（1）当BO ＝AD 时，求BP 的长；（2）在点O 运动的过程中，线段 BP 与MN 能否相等？若能，请求出当BO 为多长时BP ＝MN ；若不能，请说明理由；（3）在点O 运动的过程中，以点C 为圆心，CN 为半径作⊙C ，请直接写出．．．．当⊙C 存在时，⊙O 与⊙C 的位置关系，以及相应的⊙C 半径CN 的取值范围.(参考数据：cos53°≈0．6；sin53°≈0．8；tan74°≈3.5)答案：（本题解：（1）∵AD//BC ,BO=AD ∴四边形AB0D 为平行四边形-------------------------------------------------------------------------1分 ∴AB//OD, ∠COD=∠ABO=53°，DO=AB=5在Rt ∆OCD 中，36.05cos =⨯=∠⨯=COD DO CO , BO=BC-CO=3.-----------------2分在RtPOB 中，BO=PO, ∴BP=.6.353cos 20=⨯⨯BO -------------------------------------------3分（2）不存在.---------------------------------------------------------------4分如图,过A 点作AE ⊥BC 交BC 于E 点.若BP = MN ，则△BOP ≌△MON--------------------------------5分 ∴∠BOP=∠MON=180°- 2∠B = 74° DC=AE=.453sin 0=⨯AB-------------------------------------------------------------------------6分在Rt ∆OCD 中，7874tan 0==DC CO . BO=BC-CO=734在△POB 中,BP=83.56.0734253cos 20≈⨯⨯=⨯⨯BO 因为AB=5,所以BP>AB.A BCD（备用图）A BCDO P M N E又因为P 点在边AB 上，即BP ＜AB. 所以BP 与MN 不可能相等.--------------------------------------------------------------------------- 8分（3）当时，30<<BO ⊙O 与⊙C 外切，CN 取值范围为 0< CN < 6 ------------ 9分当时，6253≤<BO ⊙O 与⊙C 内切，CN 取值范围为 370≤<CN ------------- 10分6. （南京市玄武区2011年中考一模）（9分）如图，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形ABCD 和三角形EGF 两张纸片，测得AB=5，AD=4，EF=55．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．(1) 请你求出FG 的长度． (2)在(1)的条件下，小明先将三角形的边EG 和矩形边AB 重合，然后将△EFG 沿直线BC 向右平移，至F 点与B 重合时停止．在平移过程中，设G 点平移的距离为x ，两纸片重叠部分面积为．y ，求在平移的整个过程中，y 与x 的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x 的值．(3)在(2)的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y 的范围(直接写出结果)．答案：(1)∵在Rt △EGF 中，EG=AB=5，EF=55, ∴FG=105)55(2222=-=-EGEF ……………..2分(2)当0≤x ≤4时，2154y x x =-+；………………….3分当4＜x ≤10时，y=－2x+24，…………..4分当y=10时，x=7或10x =-.6分 (3)当0≤x ≤4时，()22115102544y x x x =-+=--+，顶点为(10，25)，…….7分 ∴当0≤x ≤4时，0≤y ≤16．当4＜x ≤10时，y=－2x+24，4≤y ＜16．∴当4≤y<16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积y 可能相等．………8分当0≤y ＜4或y=16时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．…..9分 7．（南京市雨花台2011年中考一模）（14分）如图，在□ABCD 中，cm AB 6=，cm AC AD 5==．点P 由C 出发沿CA 方向匀速运动，速度为1/cm s ；同时，线段EF 由AB 出发沿AD 方向匀速运动，速度为1/cm s ，交AC 于Q ，连接PE 、PF ．若设运动时间为t （s ）（50<<t ）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PE ∥CD ？并求出此时PE 的长; （2）试判断△PEF 的形状，并请说明理由．（3）当5.20<<t 时，(ⅰ)在上述运动过程中，五边形ABFPE 的面积 ▲ (填序号)①变大 ②变小 ③先变大,后变小 ④不变(ⅱ)设PEQ △的面积为2()y cm ，求出2()y cm 与()t s 之间的函数关系式及y 的取值范围．（第9题）解：（1）由题意知AE BF CP t ===，5AP t =-,在□ABCD 中，5AD BC AC ===，6AB EF CD ===，当PE ∥CD 时，APE ∆∽ACD ∆,∴555tt -=，∴ 2.5t =…………………3分 (或当PE ∥CD 时，AE AP =,∴t t -=5，∴ 2.5t =)此时，点P 、E 分别为AC 、AD 的中点，DB∴113()22EF CD AB cm ===……………………………………4分 (2)△PEF 是等腰三角形 ………………………………………………………5分证明：在□ABCD 中，AD BC AC ==，AB EF CD ==，∴CBA CAB ∠=∠, ∵AB ∥EF ,∴,,CBA CFQ CAB CQF ∠=∠∠=∠ ∴,CQF CFQ ∠=∠∴CQ CF =, ∴AQ BF AE ==，∴AP CQ CF ==， ∵AD ∥BC ,∴PAEFCP ??，∴PAE ∆≌)(SAS FCP ∆,∴PF PE =……8分(3) (ⅰ)在上述运动过程中，五边形ABFPE 的面积 ④ (填序号)…………10分(ⅱ) ∵△AQE ∽△ACD ，∴QE AQ CD AC =，∴65AQ QE CD t AC ==…………11分过点P 作PH EF ⊥于点H ，过点C 作CG AB ⊥于点G ，∴△PQH ∽△CAG ，∴PH PQ CG CA =，∴()4525PQ PH CG t CA ==- ∴23)45(25245122524)25(54562122+--=+-=-⋅⋅=t t t t t y ……………13分 ∴当45=t 时，最大y 23=，∴230≤<y ……………………………………14分（其它解法，正确合理可参照给分。

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D图4动态综合型问题一、选择题1、（2012山东省德州三模）如图，A ，B ，C ，D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O —C —D —O 路线作匀速运动，设运动时间为x (秒)，∠APB ＝y (度)，右图函数图象表示y 与x 之间函数关系，则点M 的横坐标应为（）A ．2B ．2πC ．12π+D ．2π＋2答案：C二、填空题 1、（2012荆门东宝区模拟）如图，动点P 在坐标系中按图中所示箭头方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P 的坐标是．答案：（2011，2） 2、（盐城市第一初级中学2011～2012学年期中考试）如图，已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移 ▲ 个单位时，它与x 轴相切．答案1或53. （盐城市亭湖区2012年第一次调研考试）如图4，正方形ABCD 的边长为2，AE ＝EB ，MN ＝1，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM ＝时，△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似。

答案CM ＝552或CM ＝55；（第8题）第17题4、(2012石家庄市42中二模)如图,矩形ABCD 的边AB 在y 轴上，AB 的中点与原点重合，AB =2,AD =1，过定点Q （2，0）和动点P （0，a ）的直线与矩形ABCD 的边有公共点，则a 的取值范围是____________．答案：-2≤a ≤25、（2012年浙江省金华市一模）如图，直角梯形OABC 的直角顶点是坐标原点，边OA ,OC 分别在X 轴，y 轴的正半轴上。

将△AEF 沿EF 对折得△A ′EF与五边形OEFBC 重叠部分的面积。

答案：2133y x x =-+， 1,214， 12。

三、解答题1河南省信阳市二中）．（11分）已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点为（1，0），且经过点（0，1）．（1）求该抛物线对应的函数的解析式；（2）将该抛物线向下平移)0(>m m 个单位，设得到的抛物线的顶点为A ，与x 轴的两个交点为B 、C ，若△ABC 为等边三角形．①求m 的值；②设点A 关于x 轴的对称点为点D ，在抛物线上是否存在点P ，使四边形CBDP 为菱形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：．解：（1）由题意可得，0,1,21.a b c ba c ++=-==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得1,2,1.a b c ==-=⎧⎪⎨⎪⎩ ∴抛物线对应的函数的解析式为221y x x =-+．………………………………3分（2）①将221y x x =-+向下平移m 个单位得：221y x x =-+-m =2(1)x m --，可知A (1，-m )，B (10)，C0)，BC6分由△ABC2m =，由m ＞0，解得m =3．…………7分②不存在这样的点P ． ……………………………………………………………8分 ∵点D 与点A 关于x 轴对称，∴D （1，3）．由①得BCCBDP 为菱形，需DP ∥BC ，DP =BC ．由题意，知点P 的横坐标为当x221y x x =-+-m =222x x --=2(12(1293+-+-=≠，故不存在这样的点P ．……………………………………………………………………11分2（2012年4月韶山市初三质量检测）如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q. （1）求证：△ P O D ≌ △Q O B ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形P B Q D 是菱形．【答案】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ， ∴∠PDO=∠QBO ，又OB=OD ，∠POD=∠QOB ，∴△POD ≌△QOB （2）解法一： PD=8-t∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，∵AD=8cm ，AB=6cm ，∴BD=10cm ，∴OD=5cm. 当四边形PBQD 是菱形时， PQ ⊥BD ，∴∠POD=∠A ，又∠ODP=∠ADB ， ∴△ODP ∽△ADB ， ∴OD AD PD BD =，即58810t =-，解得74t =,即运动时间为74秒时，四边形PBQD 是菱形. 解法二：PD=8-t当四边形PBQD 是菱形时，PB=PD=(8-t)cm ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，在RT △ABP 中，AB=6cm ， ∴222AP AB BP +=， ∴2226(8)t t +=-，解得74t =,即运动时间为74秒时，四边形PBQD 是菱形.3（2012年中考数学新编及改编题试卷）开口向下的抛物线)4)(1(-+=x x a y 与x 轴的交点为A 、B （A 在B 的左边），与y 轴交于点C 。

连结AC 、BC 。

(1) 若△ABC 是直角三角形（图1）。

求二次函数的解析式；(2) 在（1）的条件下，将抛物线沿y 轴的负半轴向下平移k （k ＞0）个单位，使平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点。

求k 的值。

(3) 当点C 坐标为（0，4）时（图2），P 、Q 两点同时从C 点出发，点P 沿折线C →O →B 运动到点B ,点Q 沿抛物线（在第一象限的部分）运动到点B ，若P 、Q 两点的运动速度相同，请问谁先到达点B ？请说明理由.（参考数据：6.313= 4.529=）答案：抛物线)4)(1(-+=x x a y 与x 轴的交点为A （-1，0）、B （4，0）（1）若△ABC 是直角三角形,只有∠ACB =900 。

由题易得△ACO ∽△COB ∴BO CO CO AO = ∴41COCO = ∴2=CO ∵抛物线开口向下 ∴C (0,2) 把 C （0，2）代入得 2)40)(10(=-+a 21-=a )4)(1(21-+-=x x y（2）由 )4)(1(21-+-=x x y 可得抛物线的顶点为（23，825）, 点C (0,2)当点C 向下平移到原点时，平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点 ∴2=k 当顶点向下平移到x 轴时，平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点 ∴825=k （3）当点C 为（0，4）时，抛物线的解析式为)4)(1(-+-=x x y 抛物线的顶点为D （23，425）连结DC 、DB∵D （23，425） B （4，0） C （0，4）∴CD =7.21343)4425()23(22==-+ DB =75.62945)425()234(22==+- ∴CD +DB =2.7+6.75=9.45D∵CO +OB =4+4=8 ∴DB +DC >CO +OB由函数图像可知第一象限内的抛物线的长度比CD +DB 还要长所以第一象限内的抛物线的长度要大于折线C →O →B 的长度所以点P 先到达点B4、（2012年北京中考数学模拟试卷）如图9所示，OAB ∆是边长为32+的等边三角形，其中O 是坐标原点，顶点A 在x 轴的正方向上，将OAB ∆折叠，使点B 落在边OA 上，记为B '，折痕为EF 。

(1)设B O '的长为x ,E B O '∆的周长为c ，求c 关于x 的函数关系式． (2)当E B '//y 轴时，求点B '和点E 的坐标． (3)当B '在OA 上运动但不与O 、A 重合时，能否使F B E '∆成为直角三角形？若能，请求出点B '的坐标；若不能，请说明理由．(1)解：∵B '和B 关于EF 对称，∴B 'E =BE ，∴OE E B B O y +'+'==OE BE B O ++' =OB x +=32++x . (2)解：当E B '//y 轴时，∠O B E '=90°。

∵△OAB 为等边三角形，∴∠EO B '=60°，O B '=21EO 。

设a B O ='，则OE =a 2。

在Rt △OE B '中，tan ∠EO B '=OB EB ''， ∴B 'E =B 'Otan ∠EO B '=a 3∵B 'E + OE =BE +OE =2+3，∴1=a ， ∴B '(1，0)，E (1，3)。

（图9）(3)答：不能。

理由如下：∵∠E B'F=∠B=60°，∴要使△E B'F成为直角三角形，则90°角只能是∠B'EF或∠B'FE。

假设∠B'EF=90°，∵△F B'E与△FBE关于FE对称，∴∠BEF=∠B'EF=90°，∴∠BE B'=180°，则B'、E、B三点在同一直线上，B'与O重合。

这与题设矛盾。

∴∠B'EF≠90°。

即△E B'F不能为直角三角形。

同理，∠B'FE=90°也不成立。

∴△E B'F不能成为直角三角形。

5、(2012年北京市延庆县一诊考试)在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y1=ax2+3x+c 的图像经过原点及点A（1,2），与x轴相交于另一点B。

（1）求：二次函数y1的解析式及B点坐标；（2）若将抛物线y1以x=3为对称轴向右翻折后，得到一个新的二次函数y2,已知二次函数y2与x轴交于两点，其中右边的交点为C点. 点P在线段OC上，从O点出发向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线AO于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF（当P 点运动时，点D、点E、点F也随之运动）；①当点E在二次函数y1的图像上时，求OP的长。

解：（1）二次函数y2如图2：当点F 、点Q 重合时，有OF +CQ =6，则有如图3：当点P 、点N 重合时，有OP +CN =6，则有如图4：当点P 、点Q 重合时，有OP +CQ =6，则有6、（2012年山东泰安模拟）如图，已知抛物线C 1：5)2(2--=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点A 的横坐标是1-．（1）求p 点坐标及a 的值；（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向左平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点A 成中心对称时，求C 3的解析式k h x a y +-=2)(；（3）如图（2），点Q 是x 轴负半轴上一动点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N 的坐标． 1、解：（1）由抛物线C 1：5)2(2--=x a y 得顶点P 的坐标（2，5）∵点A （－1，0）在抛物线C 1上∴95a =. t+2t+45t=6，t=3019t+2t=6，t=2（2）连接PM ，作PH ⊥x 轴于H ，作MG ⊥x 轴于G .. ∵点P 、M 关于点A 成中心对称, ∴PM 过点A ，且P A ＝MA .. ∴△P AH ≌△MAG ..∴MG ＝PH ＝5，AG ＝AH ＝3. ∴顶点M 的坐标为（4-，5）∵抛物线C 2与C 1关于x 轴对称，抛物线C 3由C 2平移得到 ∴抛物线C 3的表达式5)4(952++-=x y . （3）∵抛物线C 4由C 1绕x 轴上的点Q 旋转180°得到 ∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称. 由（2）得点N 的纵坐标为5.设点N 坐标为（m ，5），作PH ⊥x 轴于H ，作NG ⊥x 轴于G ，作PR ⊥NG 于R .∵旋转中心Q 在x 轴上, ∴EF ＝AB ＝2AH ＝6.∴EG ＝3，点E 坐标为（3m -，0），H 坐标为（2，0），R 坐标为（m ，－5）. 根据勾股定理，得,104m 4m PR NR PN 2222+-=+=50m 10m HE PH PE 2222+-=+= 3435NE 222=+=①当∠PNE ＝90º时，PN 2+ NE 2＝PE 2，解得m ＝344-，∴N 点坐标为（344-，5） ②当∠PEN ＝90º时，PE 2+ NE 2＝PN 2，解得m ＝310-，∴N 点坐标为（310-，5）. ③∵PN ＞NR ＝10＞NE ，∴∠NPE ≠90º 综上所得，当N 点坐标为（344-，5）或（310-，5）时，以点P 、N 、E 为顶点的三角形是直角三角形．7、[河南开封2012年中招第一次模拟]（9分）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，在Rt △ABC 中∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm ；Rt △FDE 中∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm 。