数学初三上册知识点

数学初三上册知识点（主要还是{同步}和配套为最佳学习方案）二次根式1、如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

即，如果一个数x²=a，那么这个数x是a的平方根。

2、2、正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用√ā(a≥0)来表示。

3、二次根式的定义和概念：4、1、定义：一般形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。

当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）被开方数必须大于等于0。

5、2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。

√ā（a≥0）是一个非负数。

其中，a叫做被开方数。

√a的性质和几何意义1）a≥0 ; √a≥0 [ 双重非负性]2）2）（√a）^2=a （a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]3）3) c=√a^2+b^2表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论。

4）4) √a^2 = |a|化最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√6、√7、√a（a≥0）、√x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√16、√25、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等最简二次根式同时满足下列三个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽的因式；（3）被开方数不含分母。

二次根式的乘法和除法1.积的算数平方根的性质√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）2. 乘法法则√a·√b=√ab （a≥0，b≥0）二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

3.除法法则√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）且a不等于b二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。

4.有理化根式。

如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根二次根式的加法和减法1、同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

2、合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3、二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

例如：2√5+√5=3√54、有括号时，要先去括号。

二次根式的混合运算1、确定运算顺序。

2、灵活运用运算定律。

3、正确使用乘法公式。

4、大多数分母有理化要及时。

分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b如图II.分母是多项式可以利用平方差公式如1/√a+√b=√a－√b/(√a+√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b如图一元二次方程定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有三个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．里面要有等号，且分母里不含未知数。

（一元二次方程的解法)2、该部分是中考的热点。

3、方程的两根与方程中各数有如下关系：X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理）4、方程两根为x1，x2时，方程为：x2-(x1+x2)X+x1x2=0 (根据韦达定理逆推而得)5、在系数a>0的情况下，b2-4ac>0时有2个不相等的实数根，b2-4ac=0时有两个相等的实数根，b2-4ac<0时无实数根。

(在复数范围内有两个复数根)一般式ax2+bx+c=0（a、b、c是实数，a≠0)例如：x2+2x+1=0配方式两根式（交点式）a(x-x1)(x-x2)=0一般解法1.分解因式法（可解部分一元二次方程）因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。

因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

如 1.解方程：x2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（x+1）2=0解得：x1= x2=-1 2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0即x-3=0 或x+1=0∴ x1=3，x2=-1 3.解方程x2-4=0解：（x+2）（x-2）=0x+2=0或x-2=0∴ x1=-2，x2= 2十字相乘法公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例： 1. ab+2b+a-b- 2 =ab+a+2b-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)2.公式法（可解全部一元二次方程）求根公式首先要通过Δ=b2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当Δ=b2-4ac<0时x无实数根（初中） 2.当Δ=b2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x2 3.当Δ=b2-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b2－4ac）}/2a来求得方程的根3.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x2+2x－3=0解：把常数项移项得：x2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x2+2x+1=4因式分解得：（x+1)2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当4.开方法（可解部分一元二次方程）如：x2-24=1解：x2=25x=±5∴x1=5 x2=-55.均值代换法（可解部分一元二次方程）ax2+bx+c=0同时除以a，得到x2+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1·x2=c/a求得m。

再求得x1, x2。

如：x2-70x+825=0均值为35，设x1=35+m，x2=35-m (m≥0)x1·x2=825所以m=20所以x1=55，x2=15。

一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）一般式：ax2+bx+c=0的两个根x1和x2关系：x1+x2= -b/a x1·x2=c/a1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）2．看是否可以直接开方解3．使用公式法求解4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。

如果要参加竞赛，可按如下顺序： 1.因式分解 2.韦达定理3.判别式4.公式法5.配方法6.开平方7.求根公式8.表示法1、开方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=73x+1=±√7x= ...∴x1=...,x2= ...（2）解：9x2-24x+16=11(3x-4)2=113x-4=±√11x= ...∴x1=...,x2= ...2．配方法：]例一：用配方法解方程3x∧2－4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x∧2-4x=2将二次项系数化为1：x∧2-4/3x=2/3方程两边都加上一次项系数一半的平方：x∧2-4/3x+( -2/3)2= 2/3+(-2/3 )2配方：(x-2/3)∧2=10/9直接开平方得：x-2/3=±√(10)/3∴x1=√(30)/9+2/3 , x2=-√(30)/3+2/3.∴原方程的解为x1=√(30)/9+2/3 , x2=-√ (30)/3+2/3.3．公式法把一元二次方程化成ax2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。

公式：x=[-b±√(b2-4ac)]/2a当Δ=b2-4ac>0时，求根公式为x1=[-b+√(b2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b24ac)]/2a（两个不相等的实数根）当Δ=b2-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根）当Δ=b2-4ac<0时，求根公式为x1=[-b+√(4ac-b2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b2)i]/2a（两个复数根）（初中理解为无实数根）例3．用公式法解方程2x2-8x=-5解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0∴a=2, b=-8，c=5b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0∴x= (4±√6)/2∴原方程的解为x?=(4+√6)/2,x?=(4-√6)/2.4．因式分解法把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8(2) 2x2+3x=0(3) 6x2+5x-50=0 (选学）(4)x2-4x+4=0 （选学）(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)∴x1=5 x2=-2是方程的解。

x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程通常有两个解。

(3)解：6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)∴2x-5=0或3x+10=0∴x?=5/2, x?=-10/3 是原方程的解。

(4)解：x2-4x+4 =0(x-2)(x-2 )=0∴x1=x2=2是原方程的解。